SKKN KHAI THÁC đồ THỊ hàm số y= f ’(x) để tìm RA một số TÍNH CHẤT của hàm số y =f(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC ĐỒ THỊ HÀM SỐ y= f ’(x) ĐỂ TÌM RA
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y =f(x)

Người thực hiện: Mai Thị Bích
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

THANH HÓA NĂM 2018

1


MỤC LỤC
Mục lục:..............................................................................................Trang 2
1.

Mở đầu......................................................................................Trang 3

2.

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm........................................................4

2.1

Cơ sở lý luận của sáng kiến...............................................................4

2.2

Thực trạng vấn đề..............................................................................5

2.3

Giải pháp thực hiện............................................................................5

*) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) ; y = f(u)
khi biết đồ thị hàm số y =f ’(x). ....................................................................5
*) Tìm cực trị của hàm số y = f(x) khi biết đồ thị hàm số y =f ’(x) ............8
*) Tìm số nghiệm của phương trình f(x )= 0 khi biết đồ thị
hàm số y =f ’(x) ............................................................................................10
*) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x)
khi biết đồ thị hàm số y =f ’(x) ....................................................................12
2.4

Hiệu quả của sáng kiến......................................................................14

3. Kết luận.....................................................................................................15
4. Tài liệu tham khảo.....................................................................................15

2


1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số và tích phân là hai chương trong nội
dung sách giáo khoa giải tích lớp 12, là chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia. Đạo

hiểu nôm na là đường đi, đạo hàm là đường đi của hàm số, vì vậy giữa hàm số
và đạo hàm liên hệ chặt chẽ với nhau. Khai thác những bài toán về đồ thị của
đạo hàm để tìm ra các tính chất của hàm số là một trong những bài toán lý thú,
mới lạ, xuất hiện trong các đề thi THPT Quốc gia gần đây. Những bài toán này
yêu cầu học sinh phải vận dụng kiến thức tổng hợp để giải quyết.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Từ thực tiễn đó; trong quá trình giảng dạy cùng với sự tham khảo ý kiến của
đồng nghiệp; tôi đã mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Khai thác đồ thị hàm số
y = f ’(x) để tìm ra một số tính chất của hàm số y = f(x)”. Qua sáng kiến này tôi
mong muốn một phần nào giúp các em học sinh trong quá trình ôn tập có được
một tài liệu để tự học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Trong khuôn khổ bài viết tôi chỉ hệ thống lại một số dạng toán về tính chất
của hàm số y = f(x).
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Với đề tài này, khi mà nội dung vấn đề không phải quá mới mẻ, tôi chỉ mong
muốn đây như là một tài liệu giúp các em ôn tập và bổ sung thêm kiến thức cơ
bản đồng thời tự luyện về dạng bài toán này.

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN.
2.1. Cơ sở lý luận
Trước hết chúng ta ôn tập lại một số tính chất của hàm số y = f(x).
2.1.1 Tính đơn điệu của hàm số [1]
* Định lý: Cho hàm số : y  f (x) có đạo hàm trên K
a) Nếu f ' ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f (x ) đồng biến trên K.
b) Nếu f ' ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên
K.

2.1.2 Cực trị của hàm số
* Định lý: Giả sử hàm số : y  f (x) liên tục trên khoảng K ( x0  h; x0  h)
và có đạo hàm trên K hoặc K \  x 0  , với h  0 .
Nếu f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ' ( x)  0 trên khoảng
( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x) .

Nếu f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ' ( x)  0 trên khoảng
( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x ) .

* Bảng biến thiên minh họa định lý
X
f’(x)

x0-h

x0
+

x0+h
-

fCĐ

x
f’(x)
f(x)

f(x)

x0-h

-

x0

x0+h
+

fCT

Chú ý: f’(x0) = 0 hoặc f’(x0) không xác định.
2.1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Hàm số y = f(x) xác định trên tập K.

4


Nếu tồn tại x0  K sao cho f(x) ≤ f(x0) với mọi x  K thì số M= f(x0) được
gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y =f(x)
Nếu tồn tại x0  K sao cho f(x)  f(x0) với mọi x  K thì số m = f(x0) được
gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y =f(x)
2.1.4 Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm
số y = f(x) và trục Ox.
2.2. Thực trạng của vấn đề.
Mặc dù ứng dụng của đạo hàm là một chuyên đề lớn trong nội dung ôn thi,
đã được khai thác trong nhiều tài liệu của các tác giả, các nhà sách, nhưng chỉ
trong 2 năm trở lại đây, trong đề thi THPT Quốc gia 2017, trong đề minh họa
của bộ, của các sở năm 2018 mới xuất hiện dạng toán khai thác đồ thị của hàm
số y =f ’(x).
Là dạng toán lạ nhưng quen, đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết cơ bản để vận
dụng mới giải quyết được vấn đề. Vì vậy với tài liệu này, tôi- với tuổi nghề chưa

nhiều, mong muốn giúp các em củng cố tốt hơn lý thuyết để vận dụng linh hoạt
trước nhiều dạng toán mới lạ và cũng để bản thân tôi nâng cao năng lực chuyên
môn.
2.3. Một số giải pháp:
*) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) ; y = f(u) khi
biết đồ thị hàm số y =f ’(x)
Bài toán 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm y  f '  x  như
2
hình vẽ. Xét hàm số g  x   f  x  2  . Mệnh đề nào dưới đây sai?
y
y=f ’(x)
g
x

1;0

A. Hàm số   nghịch biến trên 

B. Hàm số g  x  nghịch biến trên  �; 2 
C. Hàm số g  x  nghịch biến trên (0; 2)

-1 O

2

x

5

D. Hàm số g  x  đồng biến trên  2; �
Lời giải: Chọn đáp án A
Ta có: g ' ( x) 2 x. f ' ( x 2  2)
Hàm số g(x) nghịch biến khi g ' ( x) 2 x. f ' ( x 2  2) < 0
 x  0

2
  f ' ( x  2)  0
<=> 
x0
 
  f ' ( x 2  2)  0

 x  0
 2
 0  x  2
 x  2  2

 x 2  2  1

 
  x 1

 x   2
 x  0
 2
  x  2  2

Do đó hàm số nghịch biến trên  �; 2  và  0; 2  .Mệnh đề A sai.
Bài toán 2: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên

của hàm số y  f '  x  được cho như hình vẽ bên.
x
f ’(x)

-1

0

1

2

3
4

3

1

2
-1

� x�
1  � x nghịch biến trên khoảng ?
Hàm số y  f �
� 2�

A.  2; 4 

B.  4; 2 

C.  2;0 

D.  0; 2 

Lời giải: Chọn đáp án B
Ta có y = g(x) = f( 1-

x
1
x
) + x => g’(x) = - f ' (1  ) +1
2
2
2

� x�
1  � x nghịch biến thì g’(x) < 0
Để y  f �
� 2�
1

x

x

�
�
�
�

1  � 1  0 � f ' �
1  � 2  *
Xét bất phương trình g '  x   0 �  .f ' �
2 � 2�
� 2�

Thử lần lượt từng đáp án

6


x
� x�
1  � 1 � đáp án A sai
Đáp án A: x � 2; 4  � 1  � 1;0  � f ' �
2
� 2�
x

� x�

1  � 2 � B đúng.
Đáp án B: x � 4; 2  � 1  � 2;3 � f ' �
2
� 2�
x
� x�
1  � 2 � C sai
Đáp án C: x � 2;0  � 1  � 1; 2  � 1  f ' �
2

� 2�

x

� x�
�
�

1  � 1 � D sai.
Đáp án D: x � 0; 2  � 1  � 0;1 � 1  f ' �
2
2

Bài toán 3: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x) như hình vẽ.
Xét hàm số g(x) = f(x) +

1 2
x + x – 2. Mệnh đề nào đúng ?
2

A. g(x) đồng biến trên khoảng (1 ; 3)

y= f ’(x)

y

B. g(x) đồng biến trên khoảng (-3 ; 0 )
C. g(x) đồng biến trên khoảng (0 ; 3)

2

D. g(x) nghịch biến trên khoảng (0 ; 3)
Lời giải: Chọn đáp án A

O 1
-2

Ta có g ’(x) = f ’(x) + x +1

-4

-3

x

3

g’(x) = 0 <=> f ’(x) = - x - 1
Xét hai đồ thị y= f ’(x) và y = - x -1 như hình vẽ.
Ta có bảng biến thiên:
x
-3
g’(x)
+

y= f ’(x)
1

y

3
+

-

2
-3

g(x)

O
-2

1

3
x

-4

Vậy hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; 3).
Bài tập tương tự:

Bài 1: ( Đề thi tham khảo THPTQG năm 2018- Bộ GD và ĐT )
Cho hàm số y = f(x) . Hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình bên.
Hàm số y= f(2- x) đồng biến trên khoảng ?

y

-1 O 1

y= f ’(x)

4

x

7


A. (1;3)
B. (2; +∞)
C. (-2;1)
D. (-∞;-2)
Bài 2: ( Đề thi HK I năm 2018- Sở GD Bến Tre)
Cho hàm số y = f(x)= ax4 + bx3 + cx2 + d (a  0) có đạo hàm f ’ (x) và hàm số
y= f ’(x) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây sai? y
4
A. f(x) đồng biến trên khoảng (-2 ; 1)

y= f ’(x)

B. f(x) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2
C. f(x) đồng biến trên khoảng (1; +∞)
D. f(x) nghịch biến trên khoảng (- ∞; - 2).

-2

-1 O

1

x

*) Tìm cực trị của hàm số y = f(x) khi biết đồ thị hàm số y =f ’(x)
Bài toán 1: Cho hàm số y= f(x) liên tục trên R có đồ thị y= f ’(x) như hình bên.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.

y= f ’(x)

y

A. f(x) đạt cực tiểu tại x = 0
B. f(x) đạt cực tiểu tại x = - 2
C. f(x) đạt cực đại tại x = - 2

O 1
-1

-2

D. Cực tiểu của f(x) nhỏ hơn cực đại

x

Lời giải: Chọn đáp án B
Ta có bảng biến thiên của hàm số y =f(x)
x
0

-2
f ’(x)
+
+
f(-2)
f(x)
f(0)
Từ bảng biến thiên ta có mệnh đề sai là B.
Bài toán 2: ( Đề thi thử lần 2 năm 2018 trường THPT chuyên Bắc Ninh)
Cho hàm số y = f(x) với đạo hàm f ’(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
y
y= f ’(x)
1 3
2
y = g(x) = f(x) - x + x - x +2 đạt cực đại tại1 điểm nào trong các điểm sau:
3
-1 O

1
-2

2

x

8


A. x = -1
B. x = 1

C. x = 0
D. x = 2
Lời giải: Chọn đáp án B
Ta có g’(x) = f ’(x) - x2 + 2x - 1 = f ’(x) – (x -1)2
g’(x) = 0 <=> f ’(x) = (x -1)2
Xét hai đồ thị y= f ’(x) và y = (x- 1)2 như hình vẽ . Ta có bảng biến thiên:
x
g’(x)

0

1
+

-

-

2

y
+

g(0)

y=(x- 1)2

1

g(1)

g(x)

y= f ’(x)

-1 O

g(2)

1

2

x

-2

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x =1.
Bài tập tương tự:
Bài 1: ( Đề HK I năm 2018 - Sở Thái Bình)

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x) như hình vẽ. Hàm số
2017  2018 x
y = f(x) +
có số điểm cực trị là:
2017

y
5

A. 4
B. 3

2

C. 2

O

x1

x2 x3

x

D. 1
y= f ’(x)
Bài 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x)ynhư hình
Số điểm cực
y=vẽ.
f ’(x)
trị của hàm số y = f(x - 2017 ) -2018x +2019 là

4
1
-1 O

x
9

-2


A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
*) Tìm số nghiệm của phương trình f(x )= 0 khi biết đồ thị hàm số y =f ’(x)
Bài toán 1 : Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số
y = f ’(x) như hình vẽ. Biết f(-2) = - 6; f( 4) = -10.
y= f ’(x)
Hàm số g  x   f  x  

x2
, g  x  có ba điểm cực trị.
2

y
2

Phương trình g  x   0?
A. Có đúng 2 nghiệm.
B. Vô nghiệm
C. Có đúng 3 nghiệm

1 2
-2

4

O

x

-2
-3
-4

D. Có đúng 4 nghiệm.
Lời giải: Chọn đáp án B
Ta có g’(x) = f ’(x) + x.
g’(x) = 0 <=> f ’(x) = -x.
Xét đồ thị hàm số y = f ’(x) và đường thẳng y = - x như hình vẽ.
Xét giao điểm của đồ thị hàm số y  f '  x  và đường thẳng y   x ta thấy, hai
đồ thị cắt nhau tại ba điểm có hoành độ là: 2; 2; 4 tương ứng với 3 điểm cực trị
y
của y  g  x  .
y= f ’(x)
y= - x
Có g(-2) = - 4; g(4) = -2
2
Ta có bảng biến thiên
4
2
O
-2
x
x
-2
2

4
-2
g’(x)
+
+
-4
-4
-2
g(x)
10


Từ bảng biến thiên ta có g(x) = 0 vô nghiệm.
Bài toán 2: ( Đề thi thử lần 4 năm 2018 - THPT chuyên Thái Bình)
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [ -3; 3 ] và đồ thị y =f ’(x) như
hình vẽ. Biết f(1) =6; g(x) = f(x) -

y
4

( x  1) 2
2

y= f ’(x)

Mệnh đề nào sau đây đúng ?
2

A. g(x) = 0 có đúng 2 nghiệm thuộc [- 3; 3]
B. g(x) = 0 có đúng 1 nghiệm thuộc [- 3; 3]

C. g(x) = 0 không có nghiệm thuộc [- 3; 3]

-3

O 1

3

x

-2

D. g(x) = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc [- 3; 3]
Lời giải:
Ta có g’(x) = f ’(x) – (x+1).
g’(x) = 0 <=> f ’(x) = (x+1)
Xét đồ thị hàm số y = f ’(x) và đường thẳng y = x +1 như hình vẽ.
Ta có g’(x) = 0 có 3 nghiệm trên [-3; 3] là -3; 1 ;3
g(1) = 4; g(3) = f(3) – 8 ; g(-3) = f(-3) -2
1

Có S1 = [ f ' ( x)  ( x  1)] dx > SABCD
3

trong đó SABCD = 6
nên f(1) - f(-3) > 6 <=> f(-3) < f(1) – 6
<=> f(-3) < 0 <=> f(-3) -2 < -2
hay g(-3) < 0
3

Lại có S2 = [( x  1)  f ' ( x)] dx < SEFGH
1

với SEFGH = 4 => 6- f(3) + f(1) < 4 <=> f(3) > 8 <=> f(3) – 8 > 0 => g(3) > 0
11


Ta có bảng biến thiên:

x
g’(x)

-3

1

3

+

4

g(x)

g(3)

g(-3)
Vậy g(x) = 0 có đúng 1 nghiệm thuộc [- 3; 3]
Bài tập tương tự:

Bài 1: ( Đề thi thử năm 2017 trường THPT Lê Quý Đôn , Hà Nội )
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm y = f ’(x) như
hình vẽ. Biết f(1) = - 2; khi đó phương trình f(x) = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 4
B. 3
C. 2

y

y= f ’(x)

O

x

D. 1

Bài 2: Cho hàm số y = ax4 + bx3 + cx2 + dx +e (a  0) có đồ thị (C).
Biết hàm số y = f ’( x ) có đồ thị như hình vẽ và y =f ’(x) đạt cực tiểu tại x = -2 ,
đồng thời 2 cực trị đều âm. Hỏi đồ thị (C) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao
nhiêu điểm?

y= f ’(x)

y

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

-1 O

1

x

-2

*) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x ) khi biết đồ thị
hàm số y =f ’(x).
Bài toán 1 : ( Đề thi thử lần 1 năm 2018 THPT chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi )
y= f ’(x) y
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị y= f ’(x) cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ
a < b < c như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

a O b

c

12


A. f  a   f  b   f  c 
B. f  c   f  b   f  a 
C. f  c   f  a   f  b 

x

D. f  b   f  a   f  c 

Lời giải: Chọn đáp án C
Ta có bảng biến thiên:
a

x
f’(x)

c

b

+

f(c)

f(a)

f(x)

-

+

f(b)

Từ bảng biến thiên ta có f(a) > f(b) ; f(c) > f (b)
Đối chiếu với 4 phương án, ta thấy chỉ có phương án C thỏa mãn.
Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị y= f ’(x) như hình bên. Gọi M và m
9

� �
0; . Hỏi
lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên �
� 2�
�

mệnh đề nào sau đây đúng?

y

9
A. M = f ( ) ; m = f (4)
2

B. M = f ( 0) ; m = f (4)
C. M = f (2) ; m = f (1)

O

y= f ’(x)
1

4

2

9
2

9

2

D. M = f ( ) ; m = f (1)
Lời giải: Chọn đáp án B
9

� �
0;
Ta có bảng biến thiên của hàm số trên �
� 2�
�

x
f ’(x)

1

0
-

4

2
+

9
2

-

+

f(x)
�9 �
Do đó GTLN của hàm số là f (0) ; f (2) hoặc f � �;
�2 �
GTNN của hàm số là f (1) hoặc f (4)

13


2

4

f '  x  dx;f  4   f  2   �
f '  x  dx
Mặt khác f  1  f  2   �

Dựa vào hình vẽ ta có:

1
4

2

2

2

1

f '  x  dx  �
f '  x  dx � f  4   f  1
�

nên loại đáp án

C và D , còn đáp án A và B.
9
2

1

Mặt khác f ( 9 )  f (4)  f ' ( x) dx ; f (0)  f (1)   f ' ( x) dx

0
2
4
9
�1
2
�
��
f ' x dx  �
f '  x  dx � f 0  f �9 �
  ��
Dựa vào hình vẽ ta có: �0  
4
�2 �

�
f  1  f  4 
�
�

Vậy M = f (0) ; m = f (4) . Chọn đáp án B.
Bài tập tương tự:
Bài 1: ( Đề thi THPTQG năm 2016-2017, mã đề 105)
Cho hàm số y= f(x) có đồ thị hàm số y = f ’(x) như hình bên.
Đặt g(x) = 2f(x) + x2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

y
3

A. g(1) < g(3) < g(-3)
B. g(1) < g( -3) < g(3)
C. g(-3) < g(3) < g(-1)

-3

3

O 1

x

-1

D. g(3) < g(-3) < g(1)
-3

y= f ’(x)

Bài 2: ( Đề thi thử chuyên Lam Sơn lần 3)
Cho hàm số y =f(x) , các số thực a, b, c, d thỏa mãn 0 < a < b < c < d

biết hàm số y = f ’(x) có đồ thị như hình vẽ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên [0; d]. Khẳng định nào đúng ?
A. M + m = f(0) +f(c)

y

B. M + m = f(d) +f(c)
C. M + m = f(b) +f(a)

O

y= f ’(x)
a

b

c

d

x

D. M + m = f(0) +f(a)

14

2.4. Kết quả thực nghiệm
Với đề tài này tôi mong muốn sẽ khuyến khích tính tự học, tự tìm tòi của
mỗi học sinh, và còn nhiều bài tương tự trong các đề thi thử, mong rằng các em
học sinh sẽ giải quyết tốt dạng toán này.
3. KẾT LUẬN.
Trong thời gian có hạn đề tài của tôi không tránh khỏi những thiếu sót và
hạn chế. Tôi rất mong được sự bổ sung và góp ý của đồng nghiệp để đề tài này
được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO :
[1]. Sách giáo khoa Giải tích 12- NXB Giáo dục
[2] Đề thi thử của các trường THPT năm 2017 và 2018
[3] Một số tài liệu được tham khảo từ Internet, từ đồng nghiệp.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 26 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Mai Thị Bích

15


16