SKKN hướng dẫn học sinh lớp 11 sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải bài toán xác suất

MỤC LỤC
Trang

1. MỞ ĐẦU....................................................................................................
1.1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................
1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................................
1.3. Đối tượng nghiên cứu...............................................................................
1.4. Phương pháp nghiên cứu..........................................................................
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM...........................................
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ................................................
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..................
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải
quyết vấn đề....................................................................................................
2.3.1. Nội dung hướng dẫn học sinh...............................................................
2.3.2. Bài tập củng cố....................................................................................14
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường............................................................14
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ......................................................................16
3.1. Kết luận..................................................................................................16
3.2. Kiến nghị................................................................................................16
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................17

1


1. MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Tính xác suất của một phép thử là một câu hỏi thường xuất hiện trong đề
thi THPT Quốc Gia cũng như thi chọn Học sinh giỏi trong những năm gần đây.
Trong chương trình Toán THPT Xác Suất được đưa vào học ở lớp 11.
Kiến thức xác suất hoàn toán mới đối với học sinh, nhưng kiến thức xác suất bắt

nguồn từ các vần đề thực tế của cuộc sống do đó học sinh cần nhìn nhận và tư
duy vấn đề một cách trực quan nhất có thể.
Ngày nay với việc thi THPT Quốc Gia là thi trắc nghiệm học sinh cần
phải nhanh chóng tìm ra cách chọn đáp án chính xác trong khoảng thời gian
ngắn nhất. Do đó học sinh không chỉ giải được bài toán mà còn lựa chọn được
phương án giải nhanh và chính xác nhất có thể. Nên học sinh cần được rèn luyện
nhìn nhận bài toán theo các khía cạnh khác nhau qua đó tìm ra nhiều phương
pháp giải khác nhau để từ đó lựa chọn được phương án tối ưu nhất.
Trong quá trình giảng dạy, ngoài việc áp dụng các cách làm, cách tư duy
quen thuộc, tôi nhận thấy sự cần thiết phải hướng dẫn để học sinh nắm được
phương pháp sử dụng kiến thức tọa độ phẳng để giải quyết một số bài toán xác
suất. Bởi ngoài việc bổ sung, hoàn thiện thêm các phương pháp giải bài toán xác
suất thì việc sử dụng phương pháp tọa độ giúp cho học sinh có được cách nhìn
bài toán hết sức trực quan và nhanh chóng tìm ra kết quả mà các cách làm khác
không có được.
Trong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia, ôn thi Học sinh giỏi cho học sinh
lớp 11, tôi đã có Sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy là: “ Hướng dẫn học
sinh lớp 11 sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải bài toán xác
suất”.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Sáng kiến kinh nghiệm này hướng tới giải quyết một số vấn đề sau đối với
học sinh lớp 11:
- Bổ sung, hoàn thiện phương pháp giải bài toán xác suất thông qua việc
sử dụng phương pháp tọa độ.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng phương pháp giải trên thông qua hệ thống
bài tập có hướng dẫn ở lớp và bài tập tự rèn luyện ở nhà.
Sáng kiến kinh nghiệm này cũng nhằm trao đổi kinh nghiệm với các đồng
nghiệp và là một tài liệu tham khảo đối với học sinh để góp phần nâng cao hiệu
quả dạy và học toán ở trường THPT Như Xuân nói riêng và các trường THPT
nói chung.

1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Một số bài toán về xác suất trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11.
Hướng dẫn học sinh lớp 11 thực hiện giải bài toán xác suất bằng phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng.
2


1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những đặc trưng từ
đó hướng dẫn học sinh thực hiện phương pháp giải.
Thực nghiệm sư phạm: Để thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sử
dụng hai lớp 11 ở trường THPT Như Xuân. Đây là hai lớp tương đương nhau về
học lực môn toán và tất cả học sinh đều có học lực khá, giỏi về môn toán. Trong
đó, lớp 11B4 là lớp chưa áp dụng sáng kiến (lớp đối chứng), lớp 11B3 là lớp áp
dụng sáng kiến (lớp thực nghiệm). Thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm từ
tháng 10/2018 đến tháng 12/2018.
Sau đây là nội dung cụ thể của Sáng kiến kinh nghiệm này.

3


2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Định nghĩa cổ điểm của xác suất: Giả sử A là biến cố liên quan đến một
phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số
n ( A)
là xác suất của biến cố A, kí hiệu là p ( A )
n( Ω)

n ( A)

[3]
n ( Ω)
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Trong
mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bất phương trình
ax + by ≤ c ( ax + by < c; ax + by > c; ax + by ≥ c ) được gọi là miền nghiệm của nó.
Ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương
trình ax + by ≤ c như sau:
Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường thẳng ∆ : a x + by = c
Bước 2: Lấy một điểm M 0 ( x0 ; y0 ) không thuộc ∆
Bước 3: Tính ax 0 + by0 và so sánh ax 0 + by0 với c
Bước 4: Kết luận
Nếu ax 0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa M 0 là miền nghiệm của
ax + by ≤ c
Nếu ax 0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ không chứa M 0 là miền
nghiệm của ax + by ≤ c. [2]
Biểu diễn tập nghiệm của bất
phương trình bậc hai hai ẩn:
Miền nghiệm của bất phương trình
2
2
( x − a ) + ( y − b) ≤ R2
Phần tô màu đậm
p ( A) =

Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng: Cho cấp số cộng ( un ) có số hạng
đầu u1 công sai d . Đặt Sn = u1 + u2 + ... + un
n ( u1 + un )
n ( n − 1)
Khi đó Sn =
= nu1 +

d [3]
2
2

4


2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Trong năm học 2018 – 2019, khi dạy cho học sinh lớp 11B4 nhưng chưa
áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã hướng dẫn học sinh phương pháp sử
dụng kiến thức tọa độ phẳng để giải bài toán xác suất. Tuy nhiên, trong quá trình
cho học sinh làm bài, tôi phát hiện ra học sinh thường vướng mắc một số vấn đề
sau:
- Nhận dạng bài toán sử dụng được phương pháp chưa nhanh nhạy.
- Chưa nắm kỹ các điều kiện vận dụng phương pháp.
- Chưa có thói quen tự nghiên cứu, kiểm tra lời giải.
- Chưa được làm nhiều dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng.
Từ thực trạng trên, khi dạy cho học sinh lớp 11B3, tôi đã khắc phục bằng cách:
- Trang bị cho học sinh cơ sở lý thuyết đầy đủ và cụ thể thông qua các
định lý và tính chất.
- Trang bị cho học sinh nội dung phương pháp thông qua các ví dụ được
chọn lọc cẩn thận, điển hình.
- Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống bài tập về nhà và
sau đó có kiểm tra, hướng dẫn, sửa chữa.
Sau đây là các biện pháp tiến hành cụ thể.
2.3. CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ
DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.3.1. NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH
Để có thể hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa trong mặt phẳng

giải bài toán xác suất bản thân tôi tiến hành phân loại các dạng bài tập xác suất
có thể dùng phương pháp tọa độ, chỉ ra những đặc trưng của từng loại và hướng
dẫn cụ thể cách dùng phương pháp tọa độ cho từng loại.
Ví dụ 1. Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác
suất của các biến cố sau:
A: “ Tổng số chấm bằng 8”
B: “ Tổng số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 7”
C: “ Tổng bình phương số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 20”
Giải:
Cách 1:
Ω = { ( 1,1) , ( 1,2 ) , ( 1,3) , ( 1,4 ) , ( 1,5 ) , ( 1,6 ) , ( 2,1) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) , ( 2,6 )

( 3,1) , ( 3,2 ) , ( 3,3) , ( 3,4 ) , ( 3,5 ) , ( 3,6 ) , ( 4,1) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 4,4 ) , ( 4,5) , ( 4,6 )
( 5,1) , ( 5,2 ) , ( 5,3) , ( 5,4 ) , ( 5,5 ) , ( 5,6 ) , ( 6,1) , ( 6,2 ) , ( 6,3 ) , ( 6,4 ) , ( 6,5) , ( 6,6 ) }

n ( Ω ) = 36

a) A = { ( 2,6 ) , ( 3,5 ) , ( 4,4 ) , ( 5,3 ) , ( 6,2 ) }
5


n ( A) = 5
p ( A) =

n ( A)
5
=
n ( Ω ) 36

b) B = { ( 1,1) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , ( 1,4 ) , ( 1,5 ) ( 1,6 ) , ( 2,1) , ( 2,2 ) , ( 2,3 ) , ( 2,4 ) , ( 2,5 ) , ( 3,1)

( 3,2 ) , ( 3,3) , ( 3,4 ) , ( 4,1) , ( 4,2 ) , ( 4,3) , ( 5,1) , ( 5,2 ) , ( 6,1) }

n ( B ) = 21
p( B) =

n ( B ) 21 7
=
=
n ( Ω ) 36 12

c) C = { ( 1,1) , ( 1,2 ) , ( 2,1) , ( 3,1) , ( 2,2 ) ( 1,3 )

( 4,1) , ( 3,2 ) , ( 2,3) , ( 1,4 ) , ( 4,2 ) , ( 2,4 ) , ( 3,3) }

n ( C ) = 13
p( C) =

n ( C ) 13
=
n ( Ω ) 36

Cách 2:
Gọi x là số chấm xuất hiện ở con súc sắc thứ nhất
x ∈ ¥ ;1 ≤ x ≤ 6
Gọi y là số chấm xuất hiện ở con súc sắc thứ hai
y ∈ ¥ ;1 ≤ y ≤ 6
Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm
có tọa độ nguyên M ( x; y )
n ( Ω ) = 6.6 = 36

a) Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng
với một điểm nguyên thuộc đường thẳng x + y = 8
n ( A) = 5
p ( A) =

n ( A)
5
=
n ( Ω ) 36

b) Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố B tương
ứng với một điểm nguyên thuộc miền nghiệm
x + y ≤ 7.
n ( B ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
p( B) =

n ( B ) 21 7
=
=
n ( Ω ) 36 12

6


c) Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố C tương ứng với một điểm nguyên
thuộc miền nghiệm x 2 + y 2 ≤ 20 .
n ( C ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13
p( C) =

n ( C ) 13

=
n ( Ω ) 36

Nhận xét : Với cách 1 người giải phải liệt kê từng kết quả của không gian
mẫu và kết quả thuận lợi của biến cố từ đó mới tính được xác suất. Với cách 2
việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên
mặt phẳng tọa độ, mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố tương ứng với mỗi điểm
nguyên thuộc miền nghiệm tương ứng ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính
được kết quả nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ 2. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ nhật ABCD với các
điểm A ( −2;0 ) , B ( −2;2 ) , C ( 4;2 ) , D ( 4;0 ) . Một con châu chấu nhảy trong hình
chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt
phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là cả hoành độ và tung độ đều
nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M ( x; y ) mà x + y < 2 . [4]
Giải:
A: “Con châu chấu đáp xuống các điểm
M ( x; y ) mà x + y < 2 ”
Gọi x là hoành độ điểm mà con châu
chấu đáp xuống x ∈ ¢; − 2 ≤ x ≤ 4
Gọi y là tung độ điểm mà con châu
chấu đáp xuống y ∈ ¢;0 ≤ x ≤ 2

Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm nguyên M ( x; y )
n ( Ω ) = 7.3 = 21
Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với một điểm nguyên thuộc miền
nghiệm x + y < 2
n ( A) = 1 + 2 + 3 + 3 = 9

n ( A)
9 3

=
=
n ( Ω ) 21 7
Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có
tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình chữ nhật có 4 đỉnh
tọa độ A ( −2;0 ) , B ( −2;2 ) , C ( 4;2 ) , D ( 4;0 ) , mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A
tương ứng với mỗi điểm nguyên thuộc miền nghiệm x + y < 2 ta có hình ảnh
trực quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh chóng và chính xác.
p ( A) =

7


Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm
mà tọa độ là số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hoặc bằng 4. Nếu các điểm
đều có cùng xác suất được chọn như nhau. Tính xác suất để chọn được một điểm
mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2.
Giải:
A: “Điểm mà khoảng cách đến gốc tọa
độ nhỏ hơn hoặc bằng 2”
Gọi x là hoành độ điểm x ∈ ¢; − 4 ≤ x ≤ 4
Gọi y là tung độ điểm y ∈ ¢; − 4 ≤ x ≤ 4
Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một
điểm nguyên M ( x; y )
n ( Ω ) = 9.9 = 81
Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng
với một điểm nguyên thuộc miền nghiệm
x2 + y 2 ≤ 4 .
n ( A ) = 1 + 3 + 5 + 3 + 1 = 13
p ( A) =

n ( A ) 13
=
n ( Ω ) 81

Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có
tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình vuông có 4 đỉnh tọa
độ M ( −4; − 4 ) , N ( 4; − 4 ) , P ( 4;4 ) , Q ( −4;4 ) , mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A
tương ứng với mỗi điểm thuộc miền nghiệm x 2 + y 2 ≤ 4 ta có hình ảnh trực
quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M ( 0;10 ) ,
N ( 100;10 ) và P ( 100;0 ) . Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A ( x; y ) , ( x, y ∈ ¢ )
nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm
A ( x; y ) ∈ S . Tính xác suất để x + y ≤ 90 . [4]

Giải:
B: “Điểm A ( x; y ) ∈ S
thỏa mãn x + y ≤ 90 ”
Gọi x là hoành độ điểm A với
x ∈ ¢;0 ≤ x ≤ 100
8


Gọi y là tung độ điểm A với y ∈ ¢;0 ≤ x ≤ 10
Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm nguyên A ( x; y )
n ( Ω ) = 101.11 = 1111
Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố B tương ứng với một điểm nguyên thuộc miền
nghiệm x + y ≤ 90 .
n ( B ) = 81 + 82 + 83 + 84 + 85 + 86 + 87 + 88 + 89 + 90 + 91 = 946
p( B) =

n ( B ) 946 86
=
=
n ( Ω ) 1111 101

Nhận xét: Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có
tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình chữ nhật có 4 đỉnh
tọa độ O ( 0;0 ) M ( 0;10 ) , N ( 100;10 ) và P ( 100;0 ) , mỗi kết quả thuận lợi cho
biến cố B tương ứng với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong
và trên cạnh hình thang có 4 đỉnh tọa độ O ( 0;0 ) , M ( 0;10 ) , E ( 80;10 ) và
F ( 90;0 ) ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh chóng và
chính xác.
Ví dụ 5. Bạn A chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 1972, bạn B
chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 2019. Tính xác suất để số bạn A chọn
bé hơn số bạn B chọn.
Giải:
Cách 1:
Số phần tử của không gian mẫu n ( Ω ) = 1972.2019 = 3981468 . Giả sử bạn A
chọn được số tự nhiên x , thì bạn B có 2019 − x cách chọn các số lớn hơn bạn A
chọn.
Khi đó số cách chọn số của bạn A luôn bé hơn số của bạn B có
1972

∑ ( 2019 − x ) = 2036090
x =1

Khi đó xác suất để số của A chọn nhỏ hơn số của B chọn là :
n ( A ) 2036090 2065
p ( A) =

=
=
.
n ( Ω ) 3981468 4038
Cách 2:
A: “Số bạn A chọn bé hơn số bạn B
chọn”
Gọi x là số bạn A chọn x ∈ ¥ ;1 ≤ x ≤ 1972
Gọi y là số bạn B chọn y ∈ ¥ ;1 ≤ y ≤ 2019

9


Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với một điểm nguyên M ( x; y )
n ( Ω ) = 1972.2019 = 3981468
Mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với một điểm nguyên thuộc miền
nghiệm x − y < 0
n ( A ) = 1 + 2 + 3 + ... + 1972 + (2019 − 1972 − 1).1972 = 2036090
p ( A) =

n ( A ) 2036090 2065
=
=
n ( Ω ) 3981468 4038

Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có
tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình chữ nhật có 4 đỉnh
tọa độ A ( 1;1) , B ( 1;2019 ) , C ( 1972;2019 ) và D ( 1972;1) , mỗi kết quả thuận lợi
cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ
trong và trên cạnh AB, BC, CE của hình thang có 4 đỉnh tọa độ A ( 1;1) ,

B ( 1;2019 ) , C ( 1972;2019 ) và E ( 1972;1972 ) ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng
tính được kết quả nhanh chóng và chính xác. Ta nhận thấy cách giải 2 thì học
sinh trực quan và dễ dàng tính n ( A ) chính xác.
Ví dụ 6. Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu
nhiên 2 thẻ. Tính xác suất của biến cố A: “Tổng số ghi trên 2 thẻ nhỏ hơn 70”:
Giải:
Cách 1:
2
1) n ( Ω ) = C100 = 4950
2) Tính n(A) .
Gọi x, y ( x < y ) là số thứ tự ghi trên 2 thẻ được lấy ra có tính chất x + y < 70
Với x < y ⇒ 2 x < 70 ⇒ 1 ≤ x ≤ 34
Từ x < y và x + y < 70 ⇒ x < y < 70 − x ⇒ x + 1 ≤ y ≤ 69 − x . Như vậy số cách
chọn y ứng với mỗi cách chọn x là: ( 69 − x ) − ( x + 1) + 1 = 69 − 2 x cách.
34

n ( A ) = ∑ ( 69 − 2 x ) = 1156 cách.
x =1

Vậy : p ( A ) =

n ( A ) 1156 578
=
=
.
n ( Ω ) 4950 2475

Cách 2:
Mỗi kết quả của phép thử tương ứng với
một điểm M ( x; y )

( x, y ∈ ¥ ;1 ≤ x ≤ 100; 1 ≤ y ≤ 100; x < y )

10


Số phần tử của không gian mẫu là số điểm nguyên thuộc miền trong
∆ABC và thuộc hai cạnh AB và BC trừ A và C.
n ( Ω ) = 1 + 2 + 3 + ... + 99 = 4950
Số phần tử của không gian mẫu là số điểm nguyên thuộc miền trong
∆AEF và thuộc hai cạnh AE trừ hai điểm A và E.
n ( A ) = 1 + 3 + 5 + ... + 67 = 1156
p ( A) =

n ( A ) 1156 578
=
=
n ( Ω ) 4950 2475

Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm có
tọa độ nguyên trên mặt phẳng tọa độ trong ∆ABC và trên cạnh AB, BC. Mỗi kết
quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm có tọa độ nguyên trên mặt
phẳng tọa độ trong ∆AEF và trên cạnh AE, ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng
tính được kết quả nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ 7. Hai bạn Nam và Minh hẹn gặp nhau tại thư viện từ 8 giờ đến 9
giờ. Người đến trước đợi quá 10 phút mà không gặp thì rời đi. Tìm xác suất để
hai người đi ngẫu nhiên để đến nơi hẹn theo quy định mà gặp nhau. [4]
Giải:
A: “Hai người đi ngẫu nhiên để đến nơi
hẹn theo quy định mà gặp nhau”:
Gọi x (phút) là thời gian mà bạn Nam

đến chờ ở thư viện. Gọi y (phút) là thời gian
mà bạn Minh đến chờ ở thư viện.
Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 60, 0 ≤ y ≤ 60
n ( Ω ) = S = 60.60 = 3600 (là diện tích hình
vuông OMNP)
Điều
kiện
gặp
nhau
là
x − y ≤ 10 ⇔ − x + 10 ≤ y ≤ x + 10 (*)
Do điểm M ( x, y ) thỏa điều kiện ( *) thuộc lục giác OEFNKQ giới hạn bởi hai
đường thẳng y = x + 10; y = x − 10 và hình vuông của không gian mẫu.
2
2
2
Lục giác có diện tích S ' = S − 50 = 60 − 50 = 1100 ⇒ n ( A ) = 1100
S ' 1100 11
=
Vậy xác suất để hai người gặp nhau là: p ( A ) = =
.
S 3600 36
Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm
trong và trên cạnh hình chữ nhật có 4 đỉnh tọa độ O ( 0;0 ) M ( 60;0 ) , N ( 60;60 )

11


và P ( 0;60 ) , mỗi kết quả thuận lợi cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm trên
mặt phẳng tọa độ trong và trên cạnh hình lục giác có tọa độ đỉnh O ( 0;0 )

E ( 10;0 ) , F ( 60;50 ) , N ( 60;60 ) , K ( 50;60 ) và Q ( 0;10 ) để từ đó suy ra
n ( Ω ) , n ( A ) là các diện tích hình tương ứng ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng
tính được kết quả nhanh chóng và chính xác.
Ví dụ 8. Trên đoạn thẳng OA ta chọn ngẫu nhiên hai điểm B và C có đọ
dài tương ứng là OB = x; OC = y ( y ≥ x ) . Tính xác suất sao cho độ dài của đoạn
BC bé hơn độ dài của đoạn OB
Giải:
A: “độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài
của đoạn OB”:
Giả sử đoạn OA có độ dài bằng l
Với mỗi cách chọn hai điểm B, C có độ dài
tương ứng OB = x; OC = y ( y ≥ x ) sẽ cho ta
tương ứng một điểm M ( x; y ) trên mặt phẳng
Oxy
0 ≤ x ≤ l

Vì 0 ≤ y ≤ l suy ra miền biểu diễn điểm
x ≤ y

M ( x; y ) là ∆OEF
Để độ dài đoạn BC bé hơn độ dài đoạn OB thì y − x < x ⇔ y < 2 x
Miền biểu diễn kết quả thuận lợi cho biến cố A là ∆OKF
S
1
p ( A ) = ∆OKF =
S∆OEF 2
Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm
trên mặt phẳng tọa độ thuộc ∆OEF với O ( 0;0 ) E ( 0; l ) , F ( l ; l ) , mỗi kết quả
thuận lợi cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ thuộc
l 

∆OKF với O ( 0;0 ) K  ; l ÷, F ( l ; l ) để từ đó suy ra n ( Ω ) , n ( A ) là các diện tích
2 
hình tương ứng ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh
chóng và chính xác.
Ví dụ 9. Có một đoạn thẳng chiều dài l .
Cắt ngẫu nhiên làm ba đoạn. Tính xác suất để ba
đoạn đó ghép thành một tam giác.

12


Giải:
A: “ba đoạn cắt ra ghép thành một tam giác”:
Nếu ta xem đoạn thẳng như là một trục số từ O tới l . Ta kí hiệu x là tọa
độ điểm chia thứ nhất và y là tọa độ điểm chia thứ hai thì đoạn thẳng được chia
làm ba đoạn có độ dài tương ứng x; y − x; l − y .
Mỗi cách chia đoạn thẳng sẽ được biểu thị bằng một điểm M ( x; y ) trên
mặt phẳng tọa độ Oxy.
Ta nhận thấy 0 < x < y < l suy ra mền biểu diễn điểm M ( x; y ) là ∆OEF
Muốn tạo thành tam giác thì tổng hai cạnh phải lớn hơn cạnh thứ ba, do đó
l

y > 2
x + ( y − x) > l − x


l

 x + ( l − y ) > y − x ⇔  y < x + suy ra miền thuận lợi cho A là ∆IKH
2



y
−
x
+
l
−
y
>
x
(
)
(
)

l

x
<

2
S
1
p ( A ) = ∆IKH =
S∆OEF 4
Nhận xét : Với việc đồng nhất mỗi kết quả của phép thử với mỗi điểm
trên mặt phẳng tọa độ thuộc ∆OEF với O ( 0;0 ) E ( 0; l ) , F ( l ; l ) , mỗi kết quả
thuận lợi cho biến cố A tương ứng với mỗi điểm trên mặt phẳng tọa độ thuộc
l l l 

 l
∆IKH với I  ; ÷ K  ; l ÷, H  0; ÷ để từ đó suy ra n ( Ω ) , n ( A ) là các diện
2 2 2 
 2
tích hình tương ứng ta có hình ảnh trực quan và dễ dàng tính được kết quả nhanh
chóng và chính xác.
2.3.2. BÀI TẬP CỦNG CỐ
Bài 1. Tung một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Gọi A là biến
cố “ tổng số chấm xuất hiện ở hai lần tung là một số nhỏ hơn 10 ”. Tính xác suất
của biến cố A?
Bài 2. Gieo ngẫu nhiên hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất của
các biến cố sau:
A: “ Tổng số chấm lớn hơn hoặc bằng 8”
B: “ Tổng bình phương số chấm lớn hơn hoặc bằng 20”

13


Bài 3. Hai bạn An và Bình hẹn gặp nhau tại thư viện từ 0 giờ đến 1 giờ. Người
đến trước đợi quá 20 phút mà không gặp thì rời đi. Tìm xác suất để hai người đi
ngẫu nhiên để đến nơi hẹn theo quy định mà không gặp nhau.
Bài 4. Bạn A chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 1972, bạn B chọn ngẫu
nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 2019. Tính xác suất để số bạn A chọn nhân 2 rồi
cộng với số bạn B chọn lớn hơn 2019.
Bài 5. Bạn A chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 2000 bạn B chọn ngẫu
nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 2019. Tính xác suất để tổng bình phương số bạn
A chọn với số bạn B chọn lớn hơn 10000.
Bài 6. Từ 1 hộp đựng 100 thẻ đánh số thứ tự từ 1 đến 100 lấy ngẫu nhiên 2 thẻ.
Tính xác suất của biến cố A: “Tổng bình phương số ghi trên 2 thẻ nhỏ hơn 90”:
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT

ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ
TRƯỜNG
Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm bản thân tôi tiến hành
thực nghiệm trên các lớp dạy học cụ thể. Quá trình thực nghiệm được tiến hành
tại lớp 11B3 và lớp đối chứng 11B4 hai lớp có trình độ tương đương nhau ở
trường THPT Như Xuân.
Đối với lớp đối chứng, giáo viên dạy như những giờ học bình thường.
Việc dạy học thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo lịch trình
giảng dạy của nhà trường. Việc thực nghiệm được thực hiện và sau đó tiến hành
kiểm tra đánh giá kết quả.
Kết quả kiểm tra:
Điểm 1
2
3 4
5 6
7 8
9 10 Số bài
Lớp
Lớp 11B3
0
0
0 2
4 8
10 10 5 4
43
Lớp 11B4
0
0
1 4
9 8

9 8
0 0
39
+ Lớp thực nghiệm đạt 95,34% trung bình trở lên trong đó 67,44% đạt khá giỏi
+ Lớp thực nghiệm đạt 87,2% trung bình trở lên trong đó 43,6% đạt khá và
không có học sinh đạt điểm giỏi
Qua quá trình dạy thực nghiêm tại lớp 11B3 tôi nhận thấy học sinh lớp
11B3 có những hiệu quả tích cực đó là:
- Khả năng nhìn nhận bài toán dưới các góc độ khác nhau của học sinh
linh hoạt, nhạy bén hơn. Học sinh có được sự linh hoạt trong tư duy, chủ động
trong suy nghĩ tìm lời giải bài toán.
- Học sinh đã nắm vững các bước và vận dụng thành thạo phương pháp
tọa độ vào giải bài toán xác suất.
- Học sinh đã mạnh dạn, chủ động nhận xét bài làm của bạn, tìm sai lầm
và sửa chữa để có lời giải đúng. Từ đó đã hình thành cho học sinh thói quen
14


nghiên cứu lời giải, kiểm tra lại kết quả để phòng tránh, phát hiện và sửa chữa
sai lầm.
Đối với bản thân, khi sử dụng Sáng kiến kinh nghiệm này tôi thấy hiệu
quả tiết dạy tốt hơn, tạo sự tự tin và hứng thú khi giảng bài. Giúp tôi truyền đạt
một cách cô đọng nhưng đầy đủ, chính xác và trọn vẹn nội dung cần giảng dạy
trong khoảng thời gian ngắn.
Ngoài ra, Sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chuyên đánh giá tốt, thiết
thực và được đồng ý triển khai vận dụng cho những năm học tới trong toàn
trường nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán trong Nhà trường nói
riêng và địa phương nói chung.
Đồng thời, Sáng kiến kinh nghiệm này còn là một tài liệu tham khảo hữu
ích cho giáo viên và học sinh 11 trong quá trình ôn thi, đặc biệt là ôn thi THPT

Quốc Gia và Học sinh giỏi. Nó đã hệ thống tương đối hoàn chỉnh nội dung
phương pháp tọa độ trong giải bài toán xác suât.
Như vậy, Sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại hiệu quả tích cực và
thiết thực cho người học và người dạy. Đáp ứng đúng con đường đổi mới
phương pháp dạy và học, nâng cao hiệu quả giáo dục trong giai đoạn hiện nay.

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. KẾT LUẬN
Qua việc nghiên cứu, triển khai vận dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi
rút ra một số bài học kinh nghiệm sau:
- Trong giảng dạy cần phải thường xuyên tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm để
đưa ra những giải pháp nâng cao hiệu quả dạy và học. Đặc biệt là những vấn đề
khó, dễ nhầm lẫn đối với học sinh.
- Nội dung giảng dạy của giáo viên cần được viết dưới dạng Sáng kiến
kinh nghiệm hoặc tập hợp thành tài liệu và cung cấp cho học sinh. Qua đó, phát
huy được khả năng tự học của học sinh.

15


- Những nội dung truyền tải cho học sinh, giáo viên cần phải nghiên cứu
kỹ lưỡng, tìm ra phương pháp giảng dạy hợp lý, đảm bảo xúc tích, ngắn gọn
nhưng đầy đủ, chính xác.
Những cách làm trên sẽ giúp tiết dạy đạt hiệu quả cao, người dạy và
người học đều hứng thú, tiết kiệm thời gian và phát huy tính chủ động, sáng tạo,
khả năng tự học của học sinh. Đó chính là những điều tôi rút ra từ Sáng kiến
kinh nghiệm này.
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử dụng để ôn thi cho học sinh lớp 11,
đặc biệt là với đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc Gia, Học sinh giỏi cho
những năm học tiếp theo trong trường THPT Như Xuân nói riêng và các trường

THPT nói chung.
Có thể mở rộng, phát triển thêm nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm này
để trở thành một tài liệu hoàn chỉnh về phương pháp tọa độ trong giải bào toán
xác suất.
3.2. KIẾN NGHỊ
1. Đối với tổ chuyên môn và đồng nghiệp: Đề nghị Tổ chuyên môn Toán
nhanh chóng triển khai ứng dụng Sáng kiến kinh nghiệm này trong giảng dạy tại
Nhà trường trong các năm học tới.
2. Đối với Sở GD&ĐT: Đề nghị Sở GD&ĐT đóng góp ý kiến và tạo điều
kiện để tôi tiếp tục phát triển Sáng kiến kinh nghiệm này cũng như tìm tòi những
Sáng kiến mới.
XÁC NHẬN CỦA
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2019
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Lê Đình Quân

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) – Nguyễn Văn
Đoành – Trần Đức Huyên (2006). Hình Học 10 NXB Giáo Dục.
2. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cường –
Đỗ Mạnh Hùng – Nguyễn Tiến Tài (2013). Đại Số 10 NXB Giáo Dục.
3. Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Đào Ngọc Nam- Lê
Văn Tiến – Vũ Viết Yên (2016). Đại Số và Giải Tích 11 NXB Giáo Dục.
4. Nguồn khác: Internet.

16