SKKN kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (147.49 KB, 20 trang )
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
1.1 Lí do chọn đề tài.............................................................................................1
1.2 Mục đích nghiên cứu......................................................................................2
1.3 Đối tượng nghiên cứu.....................................................................................2
1.4 Phương pháp nghiên cứu...............................................................................2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.................................................. 2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến...........................................................................2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến.........................................4
2.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề........................................5
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan....................................................................5
2.3.2. Các bài tập vận dụng................................................................................. 5
2.3.3. Hệ thống bài tập tự luyện………………………………………….. . .12
2.4. Hiệu quả của sáng kiến...............................................................................13
3. KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ...........................................................................15
3.1. Kết quả.........................................................................................................16
3.2 Kiến nghị.......................................................................................................16
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
1
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
1.Mở đầu:
1.1. Lí do chọn đề tài:
Kể từ kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2016- 2017, Bộ giáo dục và đào tạo đã
quyết định thay đổi hình thức thi đối với môn toán, chuyển từ hình thức thi tự
luận sang hình thức trắc nghiệm. Đây là cả một sự thay đổi lớn đối với môn học
này. Nó đã làm cho cả giáo viên và học sinh phải thay đổi cách dạy, cách học,
cách tư duy để có thể đáp ứng được sự thay đổi nói trên. Bản thân là một giáo
viên trực tiếp giảng dạy môn này và đang thực hiện công việc ôn thi THPT Quốc
Gia cho học sinh cuối cấp, tôi đã phải suy nghĩ và trăn trở rất nhiều, mình phải
giảng dạy và hướng dẫn làm sao để học sinh hiểu, biết cách vận dụng, để học
sinh có thể giải quyết bài toán trắc nghiệm một cách nhanh nhất, hiệu quả nhất
có thể.
Trước tình hình đó cùng với việc nghiên cứu các đề thi THPT Quốc Gia năm
học 2016-2017 và đề thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo vừa qua, kết hợp
với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi nhận thấy các bài toán giải phương
trình mũ có chứa tham số xuất hiện tương đối nhiều và nằm ở vị trí từ câu 40 trở
đi, trong khi những năm trước đây khi còn thi theo hình thức tự luận thì bài toán
này gần như không thấy xuất hiện nên đã gây cho giáo viên và học sinh nhiều
vướng mắc. Chính vì vậy, với mong muốn có thể cung cấp thêm cho các em một
số kiến thức, giúp các em vượt qua vướng mắc đó và hướng dẫn để các em có
thể giải được những bài toán liên quan đến giải phương trình mũ có chứa tham
số nhằm mục đích nâng cao số điểm thi cho các em trong kỳ thi THPT Quốc Gia
sắp tới. Từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh
giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm’’.
Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi chỉ đề cập đến hai dạng
toán:
Dạng 1: Tìm m để phương trình mũ có α nghiệm.
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
2
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
Dạng 2: Tìm m để phương trình mũ có α nghiệm thỏa mãn điều kiện cho
trước.
Hi vọng đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh bài
toán trắc nghiệm, từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt được
kết quả cao nhất.
-Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm của mình, tôi muốn định hướng để
học sinh có thể giải nhanh và chính xác đối với bài toán về phương trình mũ có
chứa tham số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Kiến thức về hàm số mũ.
- Kiến thức về một số phương pháp giải phương trình mũ.
- Kiến thức về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số.
- Kiến thức liên quan đến phương trình bậc hai.
- Học sinh lớp 12D, 12G năm học 2017 – 2018 trường THPT Nga Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp.
- Sử dụng phương pháp thực nghiệm.
- Sử dụng phương pháp phân tích và so sánh những vấn đề có liên quan đến đề
tài.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
a) Hàm số mũ : y = a x (a > 0, a ≠ 1)
+) Tập xác định: D = R
+) Tập giá trị: T = ( 0; +∞ )
+) Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.
b) Một số phương pháp giải phương trình mũ:
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
3
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
f ( x)
g ( x)
+) Đưa về cùng cơ số: Với a > 0, a ≠ 1 : a = a ⇔ f ( x ) = g ( x )
f ( x)
g ( x)
+) Logarit hóa: a = a ⇔ f ( x ) = (log a b).g ( x )
+) Đặt ẩn phụ:
• Dạng 1: P (a
f ( x)
t = a f ( x ) , t > 0
)=0⇔
, trong đó P(t) là đa thức theo t.
P ( t ) = 0
• Dạng 2: α .a 2 f ( x ) + β ( ab )
Chia cả hai vế cho: b
2 f ( x)
f ( x)
+ γ b2 f ( x) = 0
f ( x)
a
, rồi đặt t = ÷
b
• Dạng 3: a f ( x ) + b g ( x ) = m , với a.b = 1 . Đặt t = a f ( x ) ( t > 0 ) ⇒ b f ( x ) =
1
t
+) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
Xét phương trình: f ( x ) = g ( x ) (1)
Đoán nhận x0 là nghiệm của phương trình (1).
Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến của f ( x ) , g ( x ) để kết luận x0 là nghiệm
duy nhất
+) Đưa về các phương trình đặc biệt:
A = 0
B = 0
A = 0
2
2
Phương trình tích: A + B = 0 ⇔
B = 0
Phương trình tích: A.B = 0 ⇔
+) Phương pháp đối lập:
Xét phương trình: f ( x ) = g ( x ) (1)
f ( x ) ≥ M
f ( x ) = M
thì (1) ⇔
g ( x ) ≤ M
g ( x ) = M
Nếu ta chứng minh được:
c) Sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số:
+) Xét phương trình: f ( x ) = g ( x ) (1)
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của ( C1 ) : y = f ( x ) và
( C2 ) : y = g ( x )
Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của ( C1 ) : y = f ( x ) và
( C2 ) : y = g ( x )
d) Kiến thức liên quan đến phương trình bậc 2: a.x 2 + b.x + c = 0 (1)
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
4
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
b
x
+
x
=
−
1
2
a
+) Định lí Viet: Nếu phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thì ta có:
x .x = c
1 2 a
a ≠ 0
+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
∆ > 0
+) Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi: a.c < 0
a ≠ 0
∆ > 0
+) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
S > 0
P > 0
a ≠ 0
∆ > 0
+) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:
S < 0
P > 0
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Việc hướng dẫn cho học sinh biết cách giải một số phương trình mũ có chứa
tham số theo hướng trắc nghiệm là rất cần thiết vì các lí do sau: Thứ nhất, môn
toán đã có sự thay đổi hình thức thi từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm, từ đó
đòi hỏi học sinh phải giải một bài toán một cách nhanh nhất có thể, để tiết kiệm
thời gian. Thứ hai, trong các đề thi tự luận ngày trước bài toán về phương trình
mũ gấn như không xuất hiện, nếu có chỉ xuất hiện thoáng qua trong đề thi học
sinh giỏi cấp tỉnh, nhưng nay thì khác một số phương trình mũ chứa tham số xuất
hiện khá nhiều trong các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường và trong các
đề thử nghiệm của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, nó nằm ở ví trí từ câu 40 trở đi,
điều đó cho thấy bài toán này đã được khai thác sâu hơn và phức tạp hơn.
Trong bài viết này, tôi đưa ra hai dạng toán mà trong quá trình giảng dạy
thường gặp và một số bài tập tự luyện. Mong rằng bài viết này sẽ giúp ích cho
một số em học sinh hay chí ít cũng cung cấp cho các em có một tài liệu hữu ích
trong quá trình ôn luyện, đồng thời cùng trao đổi, học hỏi với các đồng nghiệp.
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
5
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong kì thi cho kì thi THPT Quốc Gia sắp
tới.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan
2.3.2. Một số bài tập vận dụng
Dạng 1: Tìm m để phương trình mũ có α nghiệm:
Phương pháp: - Biến đổi đưa phương trình F ( x; m ) = 0 về dạng f ( x ) = m ( 1)
( hoặc dạng f ( t ) = m với t = g ( x ) trong trường hợp này ta phải tìm điều kiện cho
ẩn số phụ)
- Số nghiệm của phương trình ( 1) chính là số giao điểm của đồ
thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = m ( hoặc là số giao điểm của đồ thị
hàm số y = f ( t ) với đường thẳng y = m ) .
- Khảo sát hàm số y = f ( x ) ( hoặc hàm số y = f ( t ) trên miền đã
tìm ở điều kiện cho ẩn phụ)
- Từ kết quả khảo sát đưa ra kết luận.
Dưới đây là một số ví dụ ứng với các phương pháp giải của phương trình
mũ đã trình bày ở trên:
Thí dụ 1 : Số nguyên dương lớn nhất để phương trình:
91+ 1− x − ( m + 2 ) 31+ 1− x + 2m + 1 = 0 có nghiệm.
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12.
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Chuyên Đại học Huế)
Hướng dẫn: Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1
Đặt : t = 31+ 1− x , với −1 ≤ x ≤ 1 ⇒ t ∈ [ 3;9]
2
Phương trình trở thành: t − ( m + 2 ) t + 2m + 1 = 0 , với t ∈ [ 3;9]
2
2
2
⇔m=
Xét hàm số: f ( t ) =
t 2 − 2t + 1
t −2
t 2 − 2t + 1
, với t ∈ [ 3;9]
t −2
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
6
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
/
Ta có: f ( t ) =
suy ra: 4 ≤ m ≤
t 2 − 4t + 3
( t − 2)
2
> 0 , với t ∈ [ 3;9] , do đó hàm số đồng biến trên đoạn [ 3;9] ,
64
7
Kết luận: Đáp án A
Phân tích: Học sinh có thể dễ dạng nhận ra cách để giải bài này là dùng
phương pháp đặt ẩn phụ, tuy nhiên sai lầm mà học sinh hay mắc phải ở đây là
hễ cứ đặt t = 31+ 1− x là các bạn sẽ viết ngay t > 0 điều này sẽ dẫn đến dư nghiệm
nên đối với ví dụ này, để tránh mắc phải sai lầm thì đầu tiên phải hướng dẫn học
sinh đặt điều kiện cho biến x , sau đó xem t = g ( x ) , với −1 ≤ x ≤ 1 và tiến hành
khảo sát hàm g ( x ) tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ −1;1] , từ đó
suy ra t ∈ [ 3;9]
2
x2 − 4 x +3
1
Thí dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: ÷
5
= m 4 − m2 + 1 có
4 nghiệm phân biệt:
A. m > 1
B. −1 < m < 1
C. m ≤ 1
D. ( −1;0 ) ∪ ( 0;1) .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Đại học Sư Phạm Hà
Nội)
x2 − 4 x +3
1
Hướng dẫn: Phương trình: ÷
5
= m 4 − m2 + 1 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = log 1 ( m 4 − m 2 + 1)
5
Ta có bảng biến thiên của hàm số: y = x − 4 x + 3
2
x
y’
y
−∞
1
0
+∞
0
+
2
0
1
-
3
0
+∞
+
+∞
0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi:
4
2
−1 < m < 1
m − m < 0
0 < log 1 ( m − m + 1) < 1 ⇔ 4
⇔
2
m ≠ 0
5
5m − 5m + 4 > 0
4
2
Kết luận: Đáp án D
Nhận xét: Đối với ví dụ này học sinh phải nhận dạng và đưa ra cách giải là sử
dụng phương pháp logarit hóa. Như vậy học sinh muốn làm được bài toán
phương trình mũ có chứa tham số thì trước hết phải nắm vững các phương pháp
giải phương trình mũ để có thể đưa ra hướng giải quyết nhanh nhất.
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
7
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
Thí dụ 3:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
x
x
7+3 5
7 −3 5
+
m
.
÷
÷
2 ÷
÷ = 8 có nghiệm:
2
A. m > 0
B. 0 < m < 16
C. m < 16
D. m ≤ 16 .
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2017 )
Hướng dẫn:
x
7+3 5
m
t + = 8 ⇔ m = 8t − t 2 (1)
t
>
0
Đặt : t =
,
,
ta
có
phương
trình:
÷
÷
t
2
Suy ra: phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có
nghiệm t > 0
2
/
Xét hàm số: f ( t ) = 8t − t với t > 0 , ta có: f ( t ) = 8 − 2t
Bảng biến thiên của hàm số :
t
+∞
4
0
/
f ( t)
+
0
f ( t)
16
-∞
0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: m ≤ 16
Kết luận: Đáp án D
Thí dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
5 x + 2 mx + 2 − 52 x + 4 mx + m + 2 = x 2 + 2mx + m có 2 nghiệm phân biệt:
2
2
m > 1
A.
B. 0 < m < 1
C. m < 0
D. 0 ≤ m ≤ 1 .
m < 0
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2017 )
Hướng dẫn: Đặt: u = x 2 + 2mx, u = 2 x 2 + 4mx + m + 2 ⇒ v − u = x 2 + 2mx + m
Phương trình đã cho trở thành: 5u − 5v = v − u ⇔ 5u + u = 5v + v
t
Vì hàm số: f ( t ) = 5 + t là hàm số đồng biến, suy ra u = v ⇔ x 2 + 2mx + m = 0 ( 2 )
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm
phân biệt
m < 0
⇔ ∆ / = m2 − m > 0 ⇔
m > 1
Kết luận: Đáp án A
Nhận xét: Đối với ví dụ này học sinh phải phát hiện ra được mối quan hệ giữa
hai số mũ và biểu thức bên vế phải, từ đó đưa ra hướng làm đồng thời biết sử
dụng tính đơn điệu của hàm số để đưa phương trình về dạng phương trình bậc 2
đơn giản.
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
8
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
Thí dụ 5:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 2 x + x = 1 − x 2 + x 2 + m
có đúng một nghiệm:
A. ( 1;3) ∪ { 0}
B. { 0}
C. ( 1;3]
D. ( 1;3] ∪ { 0} .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Phan Đình Phùng, Đắc
Lắc)
Hướng dẫn: Giả sử x0 là nghiệm của phương trình thì − x0 cũng là nghiệm của
phương trình. Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì nghiệm đó chỉ có thể
là x = 0 . Thay x = 0 vào phương trình ta được m = 0 .
Với m = 0 , Ta có phương trình: 2 x + x = 1 − x 2 + x 2
2 x ≥ 1 ≥ 1 − x 2
⇒ 2 x + x ≥ 1 − x2 + x2
Do x ≤ 1 nên
2
x ≥ x
Suy ra: phương trình có nghiệm duy nhất: x = 0
Vậy : m = 0
Kết luận: Đáp án A
Thí dụ 6: Phương trình 2 x −2+
3
m−3 x
+ ( x 3 − 6 x 2 + 9 x + m ) .2 x −2 = 2 x +1 + 1 có 3 nghiệm
phân biệt khi và chỉ khi m ∈ ( a; b ) , đặt T = b 2 − a 2 thì:
A. T = 36
B. T = 48
C. T = 64
D. T = 72 .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường Trần Nhân Tông,
Quảng Ninh)
Hướng dẫn: Ta có:
2 x − 2+
3
m−3 x
+ ( x 3 − 6 x 2 + 9 x + m ) .2 x − 2 = 2 x +1 + 1
3
− 1 + ( x − 2 ) + ( m − 3 x ) .2 x −2 = 0
3
3
3
⇔ 2 x −2+ m −3 x − 1 + ( x − 2 ) + 3 m − 3 x .2 x − 2 = 0
Đặt: u = x − 2, v = 3 m − 3x
⇔ 2 x −2+
3
m −3 x
(
)
Khi đó phương trình đã cho tương đương với:
2 u + v − 1 + ( u 3 + v 3 ) 2u = 0
⇔ 2u +v − 1 + ( u + v ) ( u 2 − uv + v 2 ) 2u = 0
Nhận thấy:+) u + v = 0 là nghiệm của phương trình
+) u + v > 0 thì VT > 0. Suy ra phương trình vô nghiệm
+) u + v < 0 thì VT < 0. Suy ra phương trình vô nghiệm
Suy ra: − x + 2 = 3 m − 3x ⇔ m = − x 3 + 6 x 2 − 9 x + 8
3
2
Đặt: f ( x ) = − x + 6 x − 9 x + 8
/
2
Ta có: f ( x ) = −3x + 12 x − 9
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
9
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
x =1
f / ( x) = 0 ⇔
x = 3
Ta có bảng biến thiên sau:
x
−∞
f / ( x)
f ( x)
1
-
0
+∞
+∞
3
+
0
8
-
4
-∞
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ
khi: 4 < m < 8 . Suy ra T = 84 − 16 = 48
Kết luận: Đáp án B
Nhận xét: Thí dụ 5, thí dụ 6 học sinh muốn làm được thì đòi hỏi học sinh phải
có khả năng tư duy linh hoạt hơn, bởi vì các phương trình này không nằm trong
các dạng cơ bản. Học sinh phải phát hiện được sự đặc biệt của các phương
trình từ đó đưa ra được cách đánh giá chính xác.
Dạng 2: : Tìm m để phương trình mũ có α nghiệm thỏa mãn điều kiện cho
trước
Phương pháp:
Trường hợp 1: - Phương trình đưa được về dạng phương trình bậc 2:
a.t 2 + b.t + c = 0
( lưu ý ta phải tìm điều kiện cho ẩn phụ)
- Tùy yêu cầu của đề bài mà sử dụng khéo léo định lý Viet:
b
t1 + t2 = − a
và các điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm cho phù hợp.
t .t = c
1 2 a
Trường hợp 2: - Phương trình không đưa được về dạng phương trình bậc 2, thì
tìm cách biến đổi đưa phương trình F ( x; m ) = 0 về dạng f ( x ) = m ( 1) ( hoặc dạng
f ( t ) = m với t = g ( x ) trong trường hợp này ta phải tìm điều kiện cho ẩn số phụ)
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
10
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
- Số nghiệm của phương trình ( 1) chính là số giao điểm của đồ
thị hàm số y = f ( x ) với đường thẳng y = m ( hoặc là số giao điểm của đồ thị hàm
số y = f ( t ) với đường thẳng y = m ) .
- Khảo sát hàm số y = f ( x ) ( hoặc hàm số y = f ( t ) trên miền đã
tìm ở điều kiện cho ẩn phụ)
- Từ kết quả khảo sát đưa ra kết luận.
x
x
Thí dụ 1: Giá trị của m để phương trình: ( m + 3) 16 + ( 2m − 1) .4 + m + 1 = 0 có hai
nghiệm trái dấu là:
m < −1
A.
3
m>−
4
B. m ≥ −1
C. m < −
3
4
3
4
D. −1 < m < − .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , Thành phố Đà Nẵng)
2
Hướng dẫn: Đặt : t = 4 x , t > 0 , ta có phương trình: ( m + 3) t + ( 2m − 1) .t + m + 1 = 0
(1)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình (1) có 2 nghiệm
∆ > 0
S > 0
3
⇔ −1 < m < −
dương t1 , t2 thỏa mãn: t1 < 1 < t2 ⇔ ( t1 − 1) ( t2 − 1) < 0 ⇔
4
P > 0
P − S + 1 < 0
Kết luận: Đáp án D
Thí dụ 2 : Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
4
(
) (
x
2 +1 +
)
x
2 − 1 − m + 1 = 0 có đúng 2 nghiệm âm phân biệt:
A. 5 < m < 7
B. 4 < m < 5
C. 5 < m < 6
D. 7 < m < 8 .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, Sở GD và ĐT Hà Tĩnh)
Hướng dẫn: Đặt : t = ( 2 + 1) , t > 0 , ta có phương trình:
x
1
4t + − m + 1 = 0 ⇔ 4t 2 + ( 1 − m ) t + 1 = 0 (1)
t
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt thì phương trình (1) có 2
∆ > 0
S > 0
⇔5
P > 0
P − S + 1 > 0
Kết luận: Đáp án C
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
11
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
Nhận xét: Đối với những bài toán yêu cầu tìm m để phương trình có nghiệm
thỏa mãn điều kiện cho trước là so sánh nghiệm đó với số 0 như ở 2 ví dụ trên
thì ta thường làm theo cách biến đổi phương trình ban đầu về phương trình bậc
2 đối với ẩn phụ t( có điều kiện của ẩn phụ kèm theo). Sau đó sử dụng linh hoạt
các kiến thức liên quan đến phương trình bậc 2 như đã trình bày ở trên để giải
bởi vì phần so sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số α đã được giảm
tải .
Còn đối với những bài toán yêu cầu tìm m để phương trình có nghiệm α thỏa
mãn điều kiện cho trước là so sánh nghiệm với một số khác 0 hay với một
khoảng, một đoạn nào đó thì ta cùng xét thí dụ sau:
Thí dụ 3:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
4 x +1 + 41− x = ( m + 1) ( 22+ x − 22− x ) + 4m có nghiệm x ∈ [ 0;1]
A. 1 ≤ m ≤ 2
B. 1 < m < 2
C. 1 < m ≤ 2
D. 1 ≤ m < 2 .
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2018 )
Hướng dẫn: Đặt: t = 2 x − 2− x
Vì x ∈ [ 0;1] suy ra: t ∈ 0;
2
Khi đó phương trình đã cho được đưa về phương trình sau:
3
t2 − t + 2
t +1
2
3
t −t + 2
Xét hàm số: f ( t ) =
, với t ∈ 0;
2
t +1
2
t + 2t − 3
/
3
Ta có: f ( t ) =
, với t ∈ 0;
2
( t + 1)
2
t 2 + 2 = (m + 1) t + m ⇔ m =
t = 1
f / ( t) = 0 ⇔
t = 3
suy ra: 1 ≤ m ≤ 2
Kết luận: Đáp án A
Nhận xét: Như vậy trong trường hợp này thì ta sẽ tìm cách đặt ẩn phụ đồng thời
tìm điều kiện chặt cho ẩn phụ. Sau đó đưa phương trình về dạng: f ( t ) = m và
tiến hành khảo sát hàm số f ( t ) rồi đưa ra kết luận.
Thí dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 23− x .52 x + m = 2 có 2 nghiệm
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 − x2 = 2 2
A. m = log 5 2
B. m = − log 2 5
C. m = 2
D. m = 2 .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, trường Chuyên Hưng Yên)
Hướng dẫn: Logarit hóa theo cơ số 2 cả hai vế ta được phương trình:
x 2 − 2 x.log 2 5 − 2 − m.log 2 5 = 0 (1)
2
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
12
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 − x2 = 2 2 thì:
∆ / > 0
log 2 2 5 + 2 + m.log 2 5 > 0
⇔
⇔ m = − log 2 5
2
m
=
−
log
5
x
+
x
−
4
x
.
x
=
8
(
)
2
1 2
1 2
Kết luận: Đáp án D
Thí dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 4 x − 2m.2 x + 2m = 0 có 2
nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 3 :
A. m = 4
B. m = 2
C. m = −4
m = 0
D.
.
m = 4
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2018 )
Hướng dẫn: Đặt : t = 2 x , t > 0 , ta có phương trình: t 2 − 2m.t + 2m = 0 (1)
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu thì phương trình (1) có 2 nghiệm
phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 3 thì:
t1.t2 = 2 x1 + x2
∆ > 0
= 8 ⇔ S > 0 ⇔ m = 4
P = 8
Nhận xét: Đối với thí dụ 5 thì đơn giản hơn, bởi vì sau khi tiến hành lgarit hóa
thì học sinh có thể sử dụng trực tiếp nội dung định lí Viet cho phương trình bậc
hai đối với ẩn x. Còn với thí dụ 6 nếu là đối tượng học sinh trung bình thì sẽ mắc
phải sai lầm là sử dụng luôn định lí Viet cho phương trình ẩn t. Chính vì vậy
trong quá trình giảng dạy giáo viên phải nhấn mạnh để học sinh phân biệt và
chuyển từ mối quan hệ giữa các nghiệm của ẩn x sang mối quan hệ giữa các
nghiệm của ẩn t.
Qua việc phân dạng và đưa ra phương pháp giải tương ứng như trên. Hi vọng
rằng nó sẽ giúp học sinh có thể nhanh chóng đưa ra cách giải phù hợp cho từng
bài nhằm tiết kiệm thời gian tối đa và có kết quả làm bài chính xác nhất.
Dưới đây là hệ thống bài tập tương tự mà tôi đã siêu tầm được. Mong rằng
đây sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích giúp các em học sinh ôn tập tốt phần kiến
thức này:
2.3.3. Hệ thống bài tập tự luyện:
Bài tập 1: Giá trị của m để phương trình: 25x +1 − 5 x+ 2 + m = 0 có hai nghiệm phân
biệt là:
A. m <
25
4
B. 0 < m <
25
4
C. m > −
25
4
D. −
25
< m< 0.
4
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, trường THPT Hàn Thuyên,
Bắc Ninh)
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 25x − 3.5x − 7 + m = 0 có
đúng hai nghiệm trong đoạn [ 0;log5 3]
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3.
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
13
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, trường THPT Phương Xá, Phú
Thọ)
1− x
1− x
Bài tập 3: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 9 + 2 ( m − 1) 3 + 1 = 0
có hai nghiệm phân biệt:
A. m > 1
B. m < −1
C. m ≤ 1
D. ( −1;0 ) ∪ ( 0;1) .
Bài tập 4:. Giá trị của m để phương trình: 9 x − 2.6 x + m 2 .4 x = 0 có hai nghiệm trái
dấu là:
m < −1
A.
B. m ≥ −1
C. m < 0
D. −1 < m < 0 .
m > 1
(Trích bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 môn toán)
x
x
x
Bài tập 5: Giá trị của m để bất phương trình: ( 3m + 1) 12 + ( 2 − m ) 6 + 3 < 0 có
nghiệm đúng với mọi x > 0 là:
A. m < −
1
3
B. −2 < m < −
1
3
C. m > −2
D. m ≤ −2 .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018, trường THPT Quảng Xương,
Thanh Hóa)
Bài tập 6: Giá trị của m để bất phương trình: 91+ 1− x − ( m + 2 ) 31+ 1− x + 2m + 1 ≤ 0 có
nghiệm là:
2
A. m ≤
64
7
B. 4 ≤ m ≤
64
7
C. m ≥ 4
2
D. m ≤ 4 .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 lần 2 , trường THPT Hậu Lộc,
Thanh Hóa)
Bài tập 7: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 7 x + 3 = m 49 x + 1 có
đúng một nghiệm:
A. ( 1;3) ∪ { 10 }
B. { 10 }
C. ( 1;3]
D. ( 1;3] ∪ { 10 } .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường THPT Lê Lợi, Thanh
Hóa)
Bài tập 8: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
m.2 x −5 x +6 + 21− x = 2.26 −5 x + m có 4 nghiệm phân biệt:
2
2
1
B. ( 0; 2 ) \
A. ( 0; 2 )
8
C. ( 0; 2 ) \ ;
1 1
8 256
D. ( 0; 2 ) \
1
.
256
Bài tập 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:
4 x − 3.2 x +1 + m − 3 = 0 có 4 nghiệm phân biệt:
A. 4
B. 12
C. 9
D. 3.
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 lần 1, trường Thanh Chương 3,
Nghệ An)
2
2
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
14
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
Bài tập 10: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 9 x − 2m.6 x + m.4 x = 0 có 2
nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 = 2 :
9
4
B. { 2}
A.
C. { 1}
3
2
D. .
Bài tập 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình
2sin x − 2+ m−3sin x + ( sin 3 x + 6cos 2 x + 9sin x + m − 6 ) .2sin x −2 = 2sin x +1 + 1 có nghiệm thực:
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24 .
Bài tập 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:
9 x + 1− x − 8.3x + 1− x = m − 4 có nghiệm thực:
A. 10
B. 12
C. 11
D. 13 .
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 lần 3 , trường THPT Nga Sơn,
Thanh Hóa)
Bài tập 13: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
3
2
(
2
)
x
5 + 1 + m.
A. m < 0
(
)
x
5 − 1 = 2 x có nghiệm duy nhất:
m < 0
B.
1
m=
4
C. m ≤ 0, m =
1
4
1
4
D. m ≥ .
Bài tập 14: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 81sin x + 81cos x = m có
nghiệm:
A. 18 ≤ m < 82
B. 18 ≤ m ≤ 82
C. 18 < m ≤ 82
D. 3 < m ≤ 82 .
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2018 )
Bài tập 15: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:
4 x +1 + 3− x − 14.2 x +1+ 3− x + 8 = m có nghiệm:
A. −41 ≤ m < −32
B. −41 ≤ m ≤ −32
C. −41 < m ≤ −40
D. −41 < m ≤ −32 .
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2018 )
Bài tập 16: Cho phương trình: 8 x − 9.4 x + 24.2 x − 15 − m = 0 . Tìm m để phương trình
trên có 3 nghiệm phân biệt trong đó có hai nghiệm nhỏ hơn log 2 3
A. 3 ≤ m < 5
B. 1 < m < 3
C. 1 < m < 5
D. 3 < m ≤ 5 .
(Trích bộ đề thi THPT Quốc gia năm 2018 )
x
Bài tập 17: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: e = m ( x + 1) có nghiệm
duy nhất:
2
2
m < 0
B.
C. m < 0, m = 1
D. m < 1 .
m ≥ 1
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 lần 3 , trường Chuyên Đại học
Vinh)
Bài tập 18: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: 4 x − 2m.2 x + 2m = 0 có 2
nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn: x1 + x2 < 3 :
A. m > 1
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
15
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
A. m < 4
B. 2 < m < 4
C. 0 < m < 4
m < 0
D.
.
2 < m < 4
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 , trường THPT Triệu Sơn,
Thanh Hóa)
Bài tập 19: Có bao nhiêu giá trị nghuyên dương của tham số m để phương trình:
16 x − 2.12 x + ( m − 2 ) .9 x = 0 có nghiệm dương:
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3.
(Trích đề thi minh họa của Bộ GD và Đào Tạo năm 2018)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
Thực tế cho thấy, đối với đối tượng học sinh tôi đang trực tiếp giảng dạy và ôn
luyện, các em có lực học ở mức trung bình, khá thì khi gặp những bài toán có
chứa tham số đặc biệt là phần mũ, logarit thì thường rất sợ và bỏ qua, tuy nhiên
sau khi tôi đã hệ thống lại toàn bộ kiến thức về mũ, logarit và các kiến thức liên
quan , đồng thời tiến hành dạy cho các em từ những bài đơn giản nhất và nâng
dần mức độ lên thì thấy rằng cách làm đó đã tạo được cho học sinh sự nhanh
nhẹn, kiên trì, linh hoạt, hứng thú trong quá trình giải toán. Học sinh biết vận
dụng và có sự sáng tạo hơn trong học tập, biết liên kết nhiều mảng kiến thức,
nhiều phương pháp giải cho mỗi phần trong cùng một bài toán. Cách làm trên đã
đáp ứng được nhu cầu học tập tích cực của học sinh. Sau khi đã được ôn tập kĩ
lưỡng, học sinh đã tự giải được những bài tập tương tự, nhất là những bài tập
nằm trong các đề thi thử THPT Quốc gia của các trường trên cả nước trong thời
gian gần đây. Đồng thời biết tự xây dựng cho mình hệ thống bài tập phù hợp với
nội dung kiến thức được học và những bài tập tương tự trong các đề thi thử
nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo. Qua đó, hiệu quả trong học tập của học sinh
đã được nâng lên rõ rệt.
Qua kết quả thực nghiệm, đồng thời với cương vị là người trực tiếp giảng dạy tôi
nhận thấy việc hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa
tham số theo hướng trắc nghiệm là rất cần thiết và hiệu quả.
3. Kết luận, kiến nghị:
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
16
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
3.1. Kết luận:
Hầu hết trong các đề thi thử THPT Quốc Gia của các trường THPT trên cả
nước,kể cả đề minh họa của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đều có các bài toán tìm giá
trị tham số m ∈ R để phương trình, bất phương trình mũ- logarit có nghiệm trong
miền D nào đó, hoặc có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó….Một trong những
công cụ chủ đạo để giải đó là dùng khảo sát hàm số trong chương trình 12 và đa
số thông qua biến phụ t để đưa phương trình đầu tiên về các dạng quen thuộc
hay có thể đặt được dưới dạng một hàm số mà có thể khảo sát được. Một điều
cần lưu ý nữa, đó là trong chương trình THPT đã giảm tải phần so sánh nghiệm
của phương trình bậc hai với một số α hay β cho trước, do đó việc dùng các
tính chất đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, của hàm số là điều tất yếu
để giải quyết vấn đề. Bài viết này xin điểm qua các bài toán về phương trình mũ
chứa tham số trong các đề thi thử của các trường THPT trên cả nước, qua đó đã
phân tích, nhận xét mối tương quan giữa các yếu tố, các số hạng, tính chất của
các biến… trong bài toán để hình thành phương pháp giải quyết đồng thời đưa ra
một số lỗi kĩ thuật mà học sinh hay mắc phải do thói quen hay nhầm lẫn.
Từ đó, bản thân sẽ xây dựng được phương pháp giảng dạy và đưa ra hệ thống
các bài tập phù hợp với từng đối tượng học sinh để giúp cho việc học của học
sinh tích cực, chủ động và đạt kết quả cao hơn.
3.2. Kiến nghị:
Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc không tránh khỏi những
thiếu sót, tôi rất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung, góp ý để bài viết được hoàn
thiện hơn, cũng như việc ứng dụng nội dung bài viết này vào giảng dạy cho học
sinh lớp mình, qua đó có thể đem lại cho học sinh những bài giảng hay hơn, hấp
dẫn hơn và hiệu quả hơn.
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
17
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 05/05/2018
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến
kinh nghiệm của mình viết, không sao
chép nội dung của người khác.
Người viết:
Lê Thị Minh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
18
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
1. Đề thi thử nghiệm của Bộ giáo dục và đào tạo
2. Đề thi thử THPT Quốc gia của các THPT chuyên và không chuyên trên cả
nước.
3. Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017 môn toán – Phạm
Đức Tài( chủ biên) – Lại Tiến Minh – Nguyễn Ngọc Hải – NXB Giáo dục
Việt Nam.
DANH MỤC
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
19
Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số phương trình mũ có chứa tham số theo hướng trắc nghiệm
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG
ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC
CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:
Lê Thị Minh
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Nga Sơn
TT
Tên đề tài SKKN
1.
Rèn luyện kĩ năng giải nhanh
các bài toán trắc nghiệm về
Kết quả
Năm học
Cấp đánh
đánh giá đánh giá xếp
giá xếp loại
xếp loại
loại
Sở GD&ĐT
tỉnh Thanh
C
Hóa
2016 - 2017
đường tiệm cận của đồ thị
hàm số
Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn
20
