SKKN sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt

1.

MỤC LỤC
Mở đầu……………………………………………………………..

2

1.1

Lý do chọn đề tài…………………………………………………..

2

.
1.2

Mục đích nghiên cứu………………………………………………

2

.
1.3

Đối tượng ngiên cứu……………………………………………….

3

.
1.4

Phương pháp nghiên cứu…………………………………………..

3

.
2.
2.1

Nội dung sáng kiến kinh nghiệm…………………………………..
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm…………………………

3
3

.
2.2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…..

3

.
2.3

Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề………………….

4

.
2.4

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,

.
3.
3.1

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường………………………..
Kết luận, kiến nghị………………………………………………..
Kết luận……………………………………………………………

19
20
20

.
3.2

Kiến nghị………………………………………………………….

20

.
3.3

Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được hội đồng SKKN

.

Ngành GD huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C
trở lên……………………………………………………………..

20

1


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài:
Trong hai năm trở lại đây đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán bậc THPT
tỉnh Thanh hóa luôn có câu hỏi về dãy số với mức độ khó so với các bài tập
trong sách giáo khoa hiện hành và cũng không có bài tập nào trong sách giáo
khoa tương tự như vậy làm cho nhiều học sinh khó khăn khi giải quyết vấn đề.
Cụ thể:
Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2018): cho
u1  2, u2  5
�
�u �
lim � n �
.
�
un 2  5un1  6un , n �1
(
u
)
n
�
�
�
n
dãy số

xác định như sau
.Tính giới hạn
Câu III ý 2 (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019): cho
u1  2
�
�
u  4un  3.4 n , n ��*.
dãy số xác định bởi �n1
.Tìm số hạng tổng quát un và tính
2n 2  3n  1
lim
.
u
n
giới hạn
Bên cạnh đó các vấn đề về dãy số như hai câu trong đề thì học sinh giỏi
bậc THPT môn toán tỉnh Thanh hóa hai năm 2018, 2019 không xuất hiện trong
các đề thi THPT QG các năm trước đó nên nhiều học sinh không hứng thú với
nội dung này. Tài liệu tham khảo về dãy số cũng rất ít và nếu có chủ yếu viết
cho học sinh theo chương trình THPT chuyên nên rất rộng, có bài vượt ngoài cơ
sở lý thuyết của sách giáo Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, do đó
những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sâu thêm về dãy số hoặc những học sinh ôn
thi học sinh giỏi rất khó tìm cho mình một cuốn tài liệu để đọc phù hợp.
Mục tiêu của tổ bộ môn toán trường THPT Thường Xuân 2 là phải xây
dựng được chuyên đề về dãy số phù hợp với cấu trúc đề thi của tỉnh nhà và bám
sát chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản.
Hiện tại chưa có nhiều tài liệu nghiên sâu vấn đề này mà lại bám sát
chương trình sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chương trình cơ bản, đồng
nghiệp trong nhóm chuyên môn chưa có nhiều kinh nghiệm để giải quyết, khắc
phục.

Do vậy, tôi lựa chọn đề tài “Sử dụng cấp số cộng, cấp số nhân để tìm số
hạng tổng quát của một số dãy số truy hồi có quy luật đặc biệt” là cấp thiết.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau
2


Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theo quan điểm của
học sinh trung học phổ thông không chuyên. Hệ thống và phân tích các bài tập
về dãy số một cách logic từ dễ đến khó.
Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là các phép thế tuyệt đẹp,
nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát và là phép
biến đổi điển hình của đại số và giải tích.
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bài toán về dãy số
chánh sự gượng ép máy móc.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải
nghiên cứu về dãy số và các tính chất của cấp số cộng, cấp số nhân. Để qua đó
hình thành cách tìm số hạng tổng quát của một số dãy số thường gặp dựa vào sử
dụng cấp số cộng và cấp số nhân.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp ghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết cho việc tìm số hạng
tổng quát cho một số dãy số thường gặp bằng cách sử dụng cấp số cộng, cấp số
nhân.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
2.1.1.Cấp số cộng
*
* Dãy số  un  là cấp số cộng � un1  un  d với n �� , trong đó d là số
không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.

* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì un  u1   n  1 d .

* Nếu dãy số  un  là cấp số cộng thì tổng
n
Sn  u1  u2  ...  un   u1  un  .
2
2.1.2.Cấp số nhân
*
* Dãy số  un  là cấp số nhân � un1  un .q với n �� , trong đó q là số
không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
n 1
* Nếu dãy số  un  là cấp số nhân thì un  u1.q
* Nếu dãy số  un  là cấp số nhân vơi q �1, q �0 thì tổng
1  qn
Sn  u1  u2  ...  un  u1.
.
1 q
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như
sau:
Trong năm học 2018– 2019 sau khi học sinh lớp 11 đã học hết chương II tức là
khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về dãy số theo chương trình sách giáo khoa Đại
số và giải tích 11 chương trình cơ bản. Tôi cho hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 05

3


học sinh có lực học tương đương là nhóm 1 và nhóm 2 và đều là học sinh lớp
11B1 trường THPT Thường Xuân 2 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong tiết
5 của buổi sáng thứ 2 tuần học thứ 21.

Nhóm Tên học sinh được kiểm tra / điểm TB môn toán học kỳ 1( 2018-2019)
1
Phong (8,3) C.Anh (7,5) Dũng (7,6)
Sơn (6,5)
H.Phương (5,8)
2
Giang (8,2) Q Hoa (7,6) T.Anh (7,7) Q.Chi(6,6) Trang (5,9)
(Bảng điểm học lực môn toán các học sinh ở học kỳ 1 năm học 2018-2019)
Với đề kiểm tra như sau:
Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:
u1  1
u1  2
�
�
a) �
b) �
un1  un  2; n �1.
un1  3un ; n �1.
�
�
Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
u1  2
u 2
�
�
a ) �1
b) �
un 1  un  n; n �1
un1  un  3n ; n �1
�

�
.
Câu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 un 

 un 

xác định bởi:

xác định bởi:

u1  1
�
b) �
un1  2un  ( n  1).3n ; n �1.
�

u1  1
�
a) �
un1  2un  5n; n �1.
�

Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)
Điểm
Lớp

Nhóm 1 (số hs)
Nhóm 2 (số hs)

0–3
1
1

3,5 – 5
2
1

5,5 – 7,0
2
3

7,5 – 8,5
0
0

9-10
0
0

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Trước hết ta giải quyết một số bài toán rất cơ bản để khai thác định nghĩa
và tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân
u1  1
�
�
u  un 1  2; n �2
Bài 1. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: �n
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số

Giải
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  un  là một cấp số cộng có u1  1 và công sai

d  2 nên số hạng tổng quát là un  u1   n  1 d � un  2n  1. Vậy un  2n  1.
Kết luận.

4


u1  a
�
�
un  un 1  b; n �2.
�

 un  thỏa mãn
Để xác định số hạng tổng quát của dãy số
Ta làm như sau un 1  un  b nên dãy số  un  là cấp số cộng với số hạng
thứ nhất u1  a và công sai b nên un  a  (n  1)b.
u 4
�
�1
�
1
u

un ; n �1.
n

1

�
u


�
2
n
Bài 2. Cho dãy số
xác định bởi công thức:
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Từ công thức truy hồi đã cho suy ra  un  là một cấp số nhân có u1  4 và công
n 1

�1 �
1
un  u1.q n1 � un  4.� �  23 n.
q
�2 �
2 nên số hạng tổng quát là
bội
3 n
Vậy un  2 .

Kết luận.
u1  a
�
.
�
un  bun 1 ; n �2

�

Để xác định số hạng tổng quát của dãy số  un  thỏa mãn
Ta thấy dãy số  un  là cấp số cộng với số hạng thứ nhất u1  a và công bội b nên

un  a.b n 1.

u1  2
�
.
�
u

u

n
,

n
�
2
n 1
�n

Bài 3. Cho dãy số  un  có
Tìm số hạng tổng quát un của dãy số.
Giải

Theo đề bài suy ra
u1  2.

u2  u1  2.
u3  u2  3.
...
un  un1  n.
Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra
un  1   1  2  3  ...  n  .
n  n  1
1  2  3  ...  n 
.
2
Trong đó
n( n  1) n 2  n  1
un  1 

.
2
2
Vậy:
5


u1  1
�
�
un1  un  3n ; n �1 .
Bài 4. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: �
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Theo đề bài suy ra
u1  1.

u2  u1  31.
u3  u2  32.
...
un1  un  3n.
Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra
un  1  31  �
31  32  ...  3n �
.
�
�

un  2  3

3n  1
3
 2   3n  1 .
3 1
2

3 n
 3  1 .
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là
u1  1
�
�
un1  un  3n  1  2.5n ; n �1
Bài 5. Cho dãy số  un  xác định bởi công thức: �
.
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số

Giải
Theo đề bài suy ra
u1  1.
u2  u1  3.1  1  2.51.
u3  u2  3.2  1  2.52.
...
un  un 1  3. n  1  1  2.5n1.
Cộng n đẳng thức trên theo vế suy ra
un  1  3 �
1  2  3  ...   n  1 �
51  52  53  ...  5n1 �
.
�
�
�
�  n  1  2 �
u n  2 

1  2  3  ...   n  1 

 n  1 n .

2
Trong đó
1
2
n 1
Và tổng A  5  5  ...  5 là tổng n  1 số hạng đầu của cấp số nhân có số
hạng thứ nhất a1  5 , công bội q  5

1  q n1
1  5n1
5 5n
� A  S n 1  a1
� A  5.
  .
1 q
4
4 4
n
 n  1 n  2 � 5  5 � 1 3n 2  5n  9  5n .
un  2  n  3

�4 4 � 2
2
�
�
6


Vậy số hạng tổng quát của dãy số là

un 

1
3n 2  5n  9  5n  .

2

Trên cơ sở của cấp số cộng và cấp số nhân và cách tư duy tương tự các bài

trên ta sẽ giải quyết một số bài toán về dãy số khá phức tạp dưới đây mà bản
thân nó không phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân
u1  2
�
.
�
u

5
u

6;
n
�
2
u


n 1
Bài 6. Cho dãy số n xác định bởi công thức: �n
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số
Giải
Ta xét un  a  5  un 1  a  � un  5un 1  4a.
3
� 4a  6 � a  .
2
Kết hợp với đề bài
3
3�
�

un  5un 1  6 � un   5 �
un1  �
.
2
2
�
�
Vậy
3
3 7
� v1  u1  
2
2 2 và vn  5vn1.
Đặt
7
v

1
v
2 , công bội q  5.
Suy ra dãy số  n  là cấp số nhân có
7
3 7
3
� vn  v1.q n 1 � vn  .5n1 � un  vn   .5n1  .
2
2 2
2
7
3

un  .5n1  .
2
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Kết luận: Theo cách giải của bài toán trên ta có thể tìm được số hạng tổng quát
u1  
�
�
u  qun  f  n  ; n �1.
của các dãy số cho bới công thức truy hồi có dạng: �n1
Trong đó  ,q là các hằng số đã cho, f  n  là đa thức theo biến số n
* Nếu q  1 ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I
vn  un 

* Nếu q �1 ta phải tìm một đa thức g  n  có bậc bằng bậc của f  n  sao cho
u  qun  f  n  � un1  g  n  1  q �
un  g  n  �
.
�
�
phương trình n1
Khi đó việc tìm un sẽ trở thành tìm vn trong đó dãy số  vn  là một cấp số nhân
Bài 7. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  3
�
�
un  un1  6n 2  2n; n �2.
a) �

7

b)

u1  1
�
�
un1  3un  4n  2; n �1.
�
u1  5
�
�
un1  9un  8n 2  14n  1; n �1.
�

c)
Giải
a) Theo đề bài suy ra
u1  3.
u2  u1  6.22  2.2.
u3  u2  6.32  2.3.
u4  u3  6.42  2.4.
…
un  un 1  6.n2  2.n.
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un  3  6 �
22  32  ...  n 2 �
�
� 2  2  3  ...  n  .

� un  3  6 �
12  22  32  ...  n 2 �
�
� 2  1  2  3  ...  n   4.
� un  1  n  n  1  2n  1  n  n  1  2n3  2n 2  1.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  2n  2n  1.
b) Từ đề bài suy ra f  n   4n  2. là đa thức bậc nhất ẩn n nên ta xét đa thức
3

2

un  g  n  �
.
g  n   an  b sao cho un 1  g  n  1  3 �
�
�
� un1  a  n  1  b  3 un  an  b  .

� un1  3un  2an  2b  a.
Mà un1  3un  4 n  2 nên ta phải có
2a  4
a2
�
�
2an  2b  a  4n  2 � �
��
2b  a  2 �
b  0.
�

Do đó un1  2  n  1  3 un  2n  .
Đặt vn  un  2n � v1  u1  2  3 và vn1  3vn .

Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1  3 , công bội q  3.
� vn  v1 .q n 1 � vn  3.3n 1  3n mà vn  un  2n � un  3n  2n.

n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3  2n.
2
c) Từ đề bài suy ra f  n   8n  14n  1 là đa thức bậc hai ẩn n nên ta xét đa

2
u  g  n  1  9 �
un  g  n  �
.
�
�
thức g  n   an  bn  c sao cho n 1
2
� un1  a  n  1  b  n  1  c  9 �
un  an 2  bn  c �
.
�
�

8


� un1  9un  8an 2   8b  2a  n  8c  b  a.
2

Mà un1  9un  8n  14n  1 nên ta phải có

8an 2   8b  2a  n  8c  b  a  8n 2  14n  1.

8a  8
�
�
8an 2   8b  2a  n  8c  b  a  8n 2  14n  1 � �
8b  2a  14
�
8c  b  a  1.
�
1
1
� a  1; b  2; c 
g  n   n 2  2n 
2 suy ra
2
1
1�
2
�
� un 1   n  1  2  n  1   9 �
un  n 2  2n  �
2
2�
�
Do đó
1
7 17

vn  un  n 2  2n  � v1  u1  
2
2 2 và vn1  9vn .
Đặt
17
v

1
2 , công bội q  9
Suy ra  vn  là cấp số nhân có
17
17
� vn  v1.q n1 � vn  .9n1  .32 n 2.
2
2
1
1 � 17
1
�2
vn  un  n 2  2n  � un  vn  �
n  2n  � .32 n 2  n 2  2n  .
2
2� 2
2
�
Mà
17
1
un  .32 n  2  n 2  2n  .
2

2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Bài tập tương tự:
Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi

b)

u1  1
�
�
un  un1  4n3  6n; n �2.
�
u1  4
�
�
un 1  5un  8n  3; n �1.
�

c)

u1  3
�
�
un1  2un  3n 2  4n  1; n �1.
�

a)

Bài 8. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bới công thức truy hồi

u1  1
�
�
un  un1   n  3 2n ; n �2.
�

Giải
Cách 1. Theo đề bài suy ra
9


u1  1.
u2  u1   2  3 .22.

u3  u2   3  3 .23.
u4  u3   4  3 .2 4.
…
un  un1   n  3 2n.
Cộng n đẳng thức trên theo vế ta được
un  1  2.22  3.33  ...  n.3n  3 �
22  23  ...  2n �
.
�
�

2
3
n
Trong đó tổng A  2  2  ...  2 là tổng n  1 số hạng đầu của một cấp số
2

nhân có phần tử thứ nhất a1  2  4 , công bội q  2.

1  q n1
1  2n1
� A  a1.
� A  4.
 2n 1  4.
1 q
1
2
3
4
n
Xét B  2.2  3.2  4.2  ...  n.2 .
� 2 B  2.23  3.24  4.25  ...  n.2n 1
Trừ theo vế hai đẳng thức trên suy ra
B  2 B  2.22  23  24  ...  2 n  n.2n 1.
�  B  A  2 2  n.2n1  2n 1  n.2n 1 � B   n  1 2n1.

� un  1  B  3 A  1   n  1 2n1  3  2n1  4    n  4  2 n1  13.

n 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là un   n  4  2  13.
n 1
Cách 2. Xét hàm số g  n    an  b  .2 . sao cho

un  g  n   un1  g  n  1 .

n
� un   an  b  2n1  un1  �

a  n  1  b �
�
�2 .
� un  un 1  �
a  n  1  b �
2n.
�
�

n
u

u

n

3
2


n
n

1
Mà
nên ta phải có
a  1
a  1
�
�

a  n  1  b  n  3 � �
��
a  b  3 �
b4
�
n 1
� g  n    n  4  .2 .

n
u    n  4  2n1  un 1  �
  n  1  4�
�
�2 .
Do đo n
n 1
2
Đặt vn  un    n  4  2 � v1  u1   1  4  2  13 và vn  vn 1.
Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1  13 , công bội q  1.

n 1
n 1
� vn  v1.q n1 � vn  13 mà vn  un    n  4  2 � un  13   n  4  2 .
n 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là un   n  4  2  13.

Chú ý: Dãy số

u 
n

thỏa mãn
10


u1  1
u1  1
�
�
�
�
�
un  un 1   n  3 2n ; n �2 �
un1  un   n  2  2 n 1; n �1.
�
Tương tự cách giải của bài tập 7 và 8 ta có thể tìm được số hạng tổng quát
của các dãy số cho bới công thức truy hôi như sau:
u1  
�
�
un1  qun  f  n  . n ; n �1.
�
Trong đó  , q,  là các hằng số đã cho, f  n  là một đa thức theo biến số n
Kết luận:
* Nếu q    1 ta sẽ tìm đa thức g  n  có bậc bằng bậc của f  n  cộng với 1
sao cho un 1  g  n  1  un  g  n  . Khi đó ta sẽ đưa về bài toán tìm số hạng
tổng quát của một cấp số nhân.
* Nếu   1 và q �1 , ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8.

* Nếu  �1 , q � , ta sẽ tìm đa thức g  n  có bậc bằng bậc của f  n  sao cho
un1  g  n  1  n1  q �

un  g  n   n �
.
�
�

g n
* Nếu q   �1 , ta sẽ tìm đa thức   có bậc bằng bậc của f  n  cộng với 1
un1  g  n  1  n1  q �
un  g  n   n �
.
�
�
sao cho
Vấn đề này được thể hiện rất rõ ràng qua các ví dụ sau đây theo thứ tự
tương ứng.
Bài 9. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  1
�
�
un1  un  2n 2  n; n �1.
�
Giải
Theo đề bài � q    1 , bậc f  n  bằng 2 � bậc g  n  bằng 3
3
2
g
n

an


bn
 cn  d sao cho


Xét

un 1  g  n  1  un  g  n  .

� un1  a  n  1  b  n  1  c  n  1  d  un  an3  bn 2  cn  d .
� un1  un  3an 2   3a  2b  n   a  b  c 
2
Mà un 1  un  2n  n nên ta phải có
3

2

3a  2
�
�
3an 2   3a  2b  n   a  b  c   2n 2  n � �
3a  2b  1
�
abc 0
�

11


2
3

5
2
3
5
� a   ; b  ; c   � g  n    n3  n 2  n.
3
2
6
3
2
6
Do đó un1  g  n  1  un  g  n  .
2 3 5
  1
3
2 6
Đặt
và vn1  vn
n 1
Suy ra  vn  là cấp số nhân có v1  1 , công bội q  1 � vn  v1.q  1
2
3
5
vn  un  g  n  � un  vn  g  n   n 3  n 2  n  1
3
2
6
mà
2
3

5
un  n3  n 2  n  1.
3
2
6
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là
Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 7a.
vn  un  g  n  � v1  u1  g  1  1 

Bài 10. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  0
�
�
un 1  2un  n 2  3n  1; n �1.
�
Giải
Theo đề � q  2,   1 , bậc của f  n  bằng 2 suy ra bậc của g  n  bằng 2
2
un  g  n  �
.
g
n

an
 bn  c sao cho: un 1  g  n  1  2 �


�
�
Xét

2
� un1  a  n  1  bn  c  2 �
un  an 2  bn  c �
.
�
�

� un 1  2un  an 2   b  2a  n  c  a.

a 1
a 1
�
�
�
�
b  2a  3 � �
b  1
�
2
�
�
c  a 1
c2
�
Mà un 1  2un  n  3n  1 nên ta phải có �
un  g  n  �
� g  n   n 2  n  2 và un1  g  n  1  2 �
�
�
Đặt vn  un  g  n  � v1  u1  g  1  2 và vn 1  2vn

n 1
n 1
n
Do đó  vn  là cấp số nhân có công bội q  2 nên vn  v1.q  2.2  2
� un  vn  g  n   2n  n 2  n  2.
n
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  2  n  n  2.

Bài 11. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  1
�
�
�
un 1  un   n 2  1 3n ; n �1.
�
Giải
12


Theo đề � q  1,   3 , bậc của f  n  bằng 2 suy ra bậc của g  n  bằng 2
2
n 1
n
Xét hàm số g  n   an  bn  c sao cho un1  g  n  1 3  un  g  n  3
2
� un 1  �
a  n  1  b  n  1  c �
3n 1  un  �

an 2  bn  c �
3n.
�
�
�
�
� un1  un  �
2an 2   2b  6a  n  2c  3b  3a �
3n.
�
�

un 1  un   n 2  1 3n

Mà
nên ta phải có
�2a  1
1
3
�
� a   ; b  ; c  2.
�2b  6a  0
2
2
�2c  3b  3a  1
�
1
3
n 1
n

� g  n    n2  n  2
u

g
n

1
3

u

g
n
3
.




n

1
n
2
2
và
n
1
Đặt vn  un  g  n  3 � v1  u1  g  1 3  2 và vn1  vn

Do đó  vn  là cấp số nhân có công bội q  1 nên vn  v1  2
3
�1
�n
� 2  un  g  n  3n � un  2  g  n  3n  2  � n 2  n  2 �
3.
2
2
�
�
3
�1
�n
un  2  � n 2  n  2 �
3.
2
2
�
�
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

Bài 12. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  0
�
�
un1  2un   n  1 3n ; n �1.
�
Giải
Theo đề � q  2,   3; q � , bậc của f  n  là 1 suy ra bậc của g  n  là 1

un1  g  n  1 3n1  2 �
un  g  n  3n �
.
g
n

an

b


�
�
Xét hàm số
sao cho
� un1  �
a  n  1  b �
3n 1  2un  2  an  b  3n.
�
�
� un1  2un   an  b  3a  3n.

a  1
a  1
�
�
�
�
�
b  3a  1 �

b2
�

n
u

2
u

n

1
3


n

1
n
Mà
nên ta phải có
� g  n    n  2.
n
1
v

u

g
n

3
�
v

u

g
1
3
 3 và vn1  2vn .




n
n
1
1
Đặt
n 1
n 1
Do đó  vn  là cấp số nhân có công bội q  2 nên vn  v1.q  3.2

� 3.2n1  un  g  n  3n � un  3.2n 1   n  2  3n.

n 1
n
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un  3.2   n  2  3 .

13

Bài 13. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  3
�
�
un1  2un   n  5 2n ; n �1.
�
Giải

Theo đề � q    2 , bậc của f  n  là 1 suy ra bậc của g  n  là 2
2
Xét hàm số g  n   an  bn  c sao cho

un 1  g  n  1 2 n1  2 �
un  g  n  2n �
.
�
�

2
� un 1  �
a
n

1
 b  n  1  c �
2 n1  2 �
un   an 2  bn  c  2 n �
.



�
�
�
�
� un1  2un   4an  2b  2a  2n.

4a  1
�
1
9
� a   ;b  
�
2b  2a  5
4
4
�

n
Mà un1  2un   n  5 2 nên ta phải có
1
9
� g  n    n 2  n.
4
4
u  g  n  1 2n1  2 �
un  g  n  2 n �
.
�

�
Và n1
n
1
Đặt vn  un  g  n  2 � v1  u1  g  1 2  2 và vn1  2vn .
n 1
n 1
n
Do đó  vn  là cấp số nhân có công bội q  2 nên vn  v1.q  2.2  2

� 1 2 9 �n
� 2 n  u n  g  n  2 n � u n   2 n  �
 n  n�
2  2 n   n2  9n  2 n 2.
4 �
�4
u  2n   n 2  9n  2n2.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là n

Bài 14. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  1
�
�
un1  3un  2n  1   n  1 .3n ; n �1.
�
Giải
Theo đề � q  3,   3 , bậc của 2n  1 bằng 1 bậc của n  1 bằng 1
n
u  g  n  1  3 �
u n  g  n �

.
g
n

an

b

n
cn

d
3




�
�
Xét
sao cho: n1
un1  a  n  1  b   n  1 �
c  n  1  d �
3n1  3 �
u n  an  b  n  cn  d  3n �
.
�
�
�
�

� un1  3u n 2an  2b  a   6cn  3d  3c  3n.

n
Mà un 1  3un  2n  1   n  1 .3 nên ta phải có :

14


2a  2
�
�
2b  a  1
1
1
�
� a  1; b  1; c  ; d  
�
6c  1
6
2
�
�
3d  3c  1
�
1 �n
�1
� g  n  n  1  n� n  �
3
u n g  n �
.

2 � và un 1  g  n  1  3 �
�6
�
�
Đặt vn  u n  g  n  � v1  u 1  g  1  2 và vn1  3vn .
n 1
n 1
Do đó  vn  là cấp số nhân có công bội q  3 nên vn  v1q  2.3

� 2.3n1  u n  g  n  � un  2.3n1  g  n  .
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
1 �n
�1
u n  2.3n 1  n  1  n � n  �
3.
6
2
�
�

Bài 15. (Đề thi HSG môn Toán THPT tỉnh Thanh hóa năm 2019) cho dãy số
u1  2
�
�
u  4un  3.4n , n ��*.
xác định bởi �n1
.Tìm số hạng tổng quát un
Giải
Theo đề � q    4 �1 , bậc của f  n  là 0 suy ra bậc của g  n  là 1
Xét hàm số g  n   an  b, (a �0) sao cho

un 1  g  n  1 4n1  4 �
un  g  n  4n �
.
�
�

� un1  �
a  n  1  b �
4 n1  4 �
un   an  b  4n �
.
�
�
�
�
� un1  4un   4a  4n.
3
a


n
4 và b tùy ý, nên ta chọn b  0
Mà un 1  4un  3.4 nên ta phải có
3
� g  n    n.
4
3(n  1) n1
� 3n n �
un1 
.4  4 �

un  4 �
.
4
4
�
�
Và
3n
3
vn  un  .4 n � v1  u1  .41  1
4
4
Đặt
và vn1  4vn .
n 1
n 1
n 1
Do đó  vn  là cấp số nhân có công bội q  4 nên vn  v1.q  1.4  4
3n
3n
 3n  1 4 .
 un  .4n � un  4n1  .4 n 
4
4
4
n

� 4

n 1

15


un 

(3n  1).4n
.
4

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là

Bài 16. cho dãy số (un ) xác định như sau
Giải
Theo đề bài suy ra
un  2  2un 1  3(un 1  2un ).
Đặt vn  un1  2un .

u1  2, u2  5
�
�
un 2  5un1  6un , n �1
�

.Tìm un .

� v1  u2  2u1  1.
Và vn1  3vn nên dãy  vn  là cấp số nhân với công bội q  3
vn  v1.q n 1  3n1.
1

� 3n1  un1  2un � un1  2un  3n 1  2un  .3n.
3
Vậy
Theo đề � q  2,   3; q � , bậc của f  n  là 0 suy ra bậc của g  n  là 0
un1  g  n  1 3n1  2 �
u n  g  n  3n �
.
g
n

a


�
�
Xét hàm hằng
sao cho
� un 1  a.3n 1  2(un  a3n ).
� un1  2un  ( a)3n.
1
1
1
un1  2un  .3n
a  � a 
3 nên ta phải có
3
3
Mà
1
� g  n  .

3
1
1
w n  un  .3n � w1  u1  31  1
3
3
Đặt
và w n1  2w n .
n 1
n 1
Do đó  w n  là cấp số nhân có công bội q  2 nên w n  w1.q  2
1
� 2n1  un  3n � un  2n1  3n1.
3
un  2n 1  3n 1.
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Kết luận: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  a1 , u2  a2
�
�
u  aun 1  bun  c; n �1.
sau: �n  2
Cách làm như sau: phân tích un  2  xun 1  y (un 1  xun )  c
� un  2  ( x  y )un 1  xyun  c

16


�x  y  a
��

�xy  b

2
nên x, y là hai nghiệm phương trình X  aX  b  0.
Giả sử phương trình có hai nghiệm là  ,  .
Khi đó un  2   un1   (un1   un )  c

n 1
n 1
. Đặt vn1  un 1   un thì vn1   vn � vn  v1 � un 1   un  v1 . Bài toán
này đã được giải quyết ở trên, từ đó tìm được  u n  .

Bài tập tương tự

Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi sau:
u1  0
u1  3
�
�
�
�
u  2un  3n  1; n �1.
un  un 1  n 2  2n; n �2.
a) �
b) �n 1
u1  2
�
�
un  un 1   n  1 3n ; n �2.
�

c)

u1  10
�
�
�
un1  3un   2n 2  1 2n ; n �1.
�
d)

u1  1, u2  3
�
�
un 2  3un 1  2un ; n �1.
�

u1  1, u2  3
�
�
un 2  3un1  2un  4; n �1.
�

e)

f)

Bây giờ ta sẽ xét một bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số bằng cách
quy về cấp số nhân theo một khía cạnh khác.
Bài 17. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  1

�
�
un
�
u

; n �1.
n

1
�
1

2
n

3
u


n
�

Giải

1   2n  3  u n
1
1
1


�
  2n  3; n �1.
un
un1 un
Từ giả thiết suy ra un1
1
 1.
u
1
Do đó

1 1
  2.1  3.
u2 u1
1 1
  2.2  3.
u3 u 2
1 1
  2.3  3.
u4 u3
17


…
1
1

 2. n  1  3.
un un1
Cộng theo vế n đẳng thức trên ta được

1
1 2�
1  2  3  ...   n  1 �
�
� 3  n  1 .
un
1
1
�  1   n  1 n  3  n  1  n 2  2n  2 � un  2
.
un
n  2n  2
1
un  2
.
n  2n  2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Bài 18. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bới công thức truy hồi
u1  1
�
�
2un
�
u

; n �1.
n

1
�

1

3
n

5
u


n
�
Giải

1   3n  5  un
1
1
1
3
5

�

 n  ; n �1.
2un
un1 2un 2
2
Theo đề bài suy ra un1
1
1
1

3
5
vn  � v1 
 1.
v

v

n

; n �1.
n

1
n
un
1
2
2
2
Đặt
và
vn1  g  n  1 

Xét g  n   an  b sao cho
1
� vn1  a  n  1  b   vn  an  b  .
2
1
1

1
� vn1  vn  an  a  b.
2
2
2

1
�
vn  g  n  �
.
�
2�

3
�1

a

�
a  3
�
�2
2
��
.
�
1
5
b


1
1
3
5
�
�
a  b 
vn1  vn  n 
2
2
2
2
2 nên ta phải có �
Mà
1
v

g
n

1

�
vn  g  n  �
.


n

1

�
� g  n   3n  1 và
2�
1
x

xn .
n

1
x

v

g
n
�
x

v

g
1


3
  1 1  
2
Đặt n n
và

1
q

n 1
1 n
2 nên xn  x1.q  3.2 .
Do đó  xn  là cấp số nhân có công bội
18


� vn  xn  g  n   3.21n  3n  1 � un 

1
.
3.2  3n  1
1 n

1
.

3.2

3
n

1
Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
Theo cách tư duy của các bài tập nêu trên ta có thể tìm được số hạng
tổng quát của các dãy số cho bởi công thức truy hồi có dạng sau:
u1  

�
�
aun
�
un1 
; n �1.
n
�
�
�
b

f
n

g
n
.

u




n
�
�
�
Trong đó a, b, ,  là các số thực cho trước,  �0 ; f  n  và g  n  là các đa
thức theo biến số tự nhiên n .

un 

1 n

Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi:

a)

u1  2
�
�
un
�
un1 
; n �1.
�
1  2n.un
�

u1  5
�
�
3un
�
un1 
; n �1.
2
�
2


n

2
n

3
u


n
c) �

u1  1
�
�
un1
�
un 
; n �2.
2
� 1   n  n  3n  u
n

1
b) �

u1  1
�
�
un

�
u

; n �1.
n

1
n
�
3

n

1
2
.
u


n
d) �

u1  2
�
�
un 1
�
u

n

� 3   2n  1 .3n.u ; n �2.
n 1
e) �

Bài 19. Tìm số hạng tổng quát của các dãy số  un  cho bởi công thức truy hồi
u1  1
�
�
2un
�
u

; n �1.
n

1
�
1

3
n

5
u


n
�
Giải
1   3n  5  un

1
1
1
3
5

�

 n  ; n �1.
2un
un1 2un 2
2
Theo đề bài suy ra un1
Đặt

vn 

1
1
1
3
5
� v1 
 1.
v

v

n


; n �1.
n

1
n
un
1
2
2
2
và

19


Xét

g  n   an  b sao cho

vn1  g  n  1 

1
vn  g  n  �
.
�
�
2�

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với
bản thân, đồng nghiệp và nhà trường:

Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số
bài tập tôi đã nắm được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận
toàn diện nên giữa học kì II năm học 2018 – 2019 khi học sinh nhóm 1 đã học
song các phần liên quan đến nội dung của đề tài này, nhóm 2 chưa được học, sau
đó tôi đã cho cả hai nhóm 1 và nhóm 2 ở phần khảo sát ban đầu cùng làm bài
kiểm tra 45 phút . Trong đó nhóm 1 là nhóm thực nghiệm trong quá trình triển
khai đề tài còn nhóm 2 là nhóm đối chứng không tham gia trong việc triển khai
đề tài.
Nội dung đề kiểm tra
Câu 1 (3 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi:
u1  2
u1  3
�
�
a) �
b) �
un 1  un  1; n �1.
un1  2un ; n �1.
�
�
Câu 2 (4 điểm) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
u1  3
u1  3
�
�
a) �
b) �
un1  un  2n; n �1
un1  un  2n ; n �1
�

�
.
Câu 3. (3 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số

 un 

 un 

xác định bởi:

xác định bởi:

u1  1
�
b) �
un1  3un  (n  1).2n ; n �1
�

u1  2
�
a) �
un1  3un  4n; n �1
�

Nhóm thực nghiệm: Nhóm 1 (05 học sinh)
Nhóm đối chứng: Nhóm 2 (05 học sinh)
Kết quả thu được với các mức điểm được đã được làm tròn (theo số học sinh)
Điểm
0–3
3,5 – 5

5,5 – 7,0 7,5 – 8,5
9-10
Lớp
Nhóm 1 (số hs)
Nhóm 2 (số hs)

0
1

1
1

1
3

2
0

1
0

Căn cứ vào kết quả kiểm tra và đối chiếu so sánh kết quả làm bài của
nhóm thực nghiệm và nhóm còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy
với các nội dung đã trình bày trong đề tài này đã giúp các em học sinh ở nhóm 1
giải quyết được vấn đề đặt ra trong đề kiểm tra, đồng thời các học sinh nhóm 1
tự tin hơn khi làm bài kiểm tra ở lần 2 này.
20


3. Kết luận, kiến nghị

3.1. Kết luận:
Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh có học lực từ trung bình khá
trở lên ở môn toán lớp 11 trong một số giờ dạy bồi dưỡng, chủ yếu là hướng
dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung như đã trình bày. Tôi thấy các em học sinh
đã tự tin hơn khi đứng trước bài toán về dãy số và các phép biến đổi trong dãy
số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tư duy đó là một yêu cầu rất cần thiết
đối với người học Toán nói riêng và học môn tự nhiên nói chung.
Trong nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trong trường và một
số trường trong tỉnh viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấy rằng việc chấm
sáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biến sáng kiến trong
ngành được đưa lên trang web của ngành để các giáo viên trong các trường
THPT có thể tìm hiểu và nghiên cứu đã góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy
của giáo viên và nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
Với thời lượng hạn chế, tôi chưa thể mở rộng đề tài trong sáng kiến này
được, tôi sẽ tiếp tục phát triển đề tài này trong các năm tiếp theo. Bên cạnh đó
tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài
được hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị: đối với nhà trường xem đề tài này là tài liệu tham khảo cho bồi
dưỡng học sinh giỏi môn toán phần dãy số và được lưu ở thư viện nhà trường để
các đồng nghiệp và học sinh tham khảo.
3.3. Danh mục các đề tài SKKN mà tác giả đã được Hội đồng SKKN Ngành
GD, huyện, tỉnh và các cấp cao hơn đánh giá đạt từ loại C trở lên.
Họ và tên tác giả: Đỗ Văn Hào
Chức vụ và đơn vị công tác: giáo viên trường THPT Thường Xuân 2

T
T

1

2

3

Tên đề tài SKKN

Hướng dẫn học sinh tìm tòi và
phát triển một bài toán.
Hướng dẫn học sinh THPT
Thường Xuân 2 sử dụng máy
tính Casio FX-570ES trong
giải toán.
Hướng dẫn học sinh THPT sử

Cấp đánh
giá xếp loại
(Ngành GD
cấp
huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết
quả
đánh
giá xếp
loại
(A, B,
hoặc C)

Ngành GD

C

2006-2007

Ngành GD

C

2012-2013

Ngành GD

C

2015-2016

Năm
học
đánh
giá
xếp
loại

21


dụng đường thẳng và đường
tròn trong mặt phẳng để giải
và biện luận một số hệ

phương trình và hệ bất
phương trình đại số.

Xác nhận của Hiệu trưởng

Thường Xuân, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm
này do tôi tự viết chứ không phải đi sao
chép. Nếu sai tôi xin chịu mọi trách nhiệm!
Tác giả

Đỗ Văn Hào

22