skkn sử dụng tỉ số để giải các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam giác ở lớp 5

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1. Tên sáng kiến: Sử dụng tỉ số để giải các bài toán nâng cao liên quan đến diện
tích hình tam giác ở lớp 5.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bồi dưỡng học sinh năng khiếu môn Toán lớp 5.
3. Tác giả:
Họ và tên: Vũ Huy Thành

Nam (nữ): Nam

Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Tiểu học
Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường Tiểu học Cộng Hòa,
Chí Linh, Hải Dương
Điện thoại: 0988 476 937
4. Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường Tiểu học Cộng Hòa
ĐT: 03203 882 666
5. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:
Phạm vi kiến thức: HS đã học phần diện tích hình chữ nhật, hình vuông,
hình bình hành, hình thoi, hình tam giác, hình thang, hình tròn; tỉ số, các dạng
toán điển hình ở lớp 4 và lớp 5.
Đối tượng áp dụng: HS năng khiếu toán lớp 5, GV bồi dưỡng HS năng
khiếu môn toán.
6. Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: năm học 20012-2013

Tác giả

Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến
……………………………………………………………
……………………………………………………………
……………………………………………………………

Vũ Huy Thành

……………………………………………………………
……………………………………………………………
…………………………….

1


TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Trong thực tiễn bồi dưỡng môn toán lớp 5 cho đối tượng học sinh năng
khiếu do nhà trường phân công trong hai năm học 2012 - 2013 và 2013 - 2014
vừa qua, tôi thấy phần hình học các em nhận thức kiến thức chậm, tư duy chưa
linh hoạt, trình bày hạn chế, phương pháp giải nghèo nàn nhất là đối với phần
hình học phẳng. Trong phần hình phẳng của chương trình toán lớp 5, thì phần
diện tích hình tam giác đặc biệt rất quan trọng, nó có mặt ở hầu hết các đề bài
liên quan đến những hình khác như: hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình
bình hành, hình thang, hình tròn, …thậm chí liên quan đến cả phần hình học
không gian như hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
Trong việc tính diện tích các loại hình có một phương pháp rất hay sử
dụng và cũng hay được đưa vào các đề kiểm tra cho đối tượng học sinh năng
khiếu, đó chính là phương pháp sử dụng tỉ số để giải các bài toán liên quan đến
diện tích các hình nói chung và diện tích hình tam giác nói riêng. Nhưng khi giải
các bài toán liên quan đến diện tích các hình có thể sử dụng phương pháp tỉ số
thì các em hầu như không biết cách sử dụng hoặc có biết cách sử dụng thì vẫn
còn lúng túng, hiểu chưa sâu, chưa đúng bản chất, còn máy móc, chưa biết cách
nhìn hình; trình bày chưa khoa học, lập luận không chặt chẽ, dùng từ chưa phù
hợp... Do vậy xuất phát từ thực tế đó sáng kiến “Sử dụng tỉ số để giải các bài
toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam giác ở lớp 5” mà tôi đã thực
hiện trong hai năm học vừa qua đã giúp được GV cũng như HS có kĩ năng vận

dụng tỉ số để giải quyết tốt nhất các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích
hình tam giác ở lớp 5.
2. Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến
2.1. Điều kiện: Kinh nghiệm của tôi chỉ được nghiên cứu và thực nghiệm
trong việc dạy học toán nâng cao phần diện tích hình tam giác ở khối lớp 5.
2.2. Thời gian: 2 năm học ( Năm học 2012 - 2013; 2013 - 2014 )
2.3. Đối tượng: Áp dụng cho giáo viên dạy bồi dưỡng và học sinh năng
khiếu học nâng cao đối với môn toán phần hình học lớp 5.
2


3. Nội dung sáng kiến
3.1. Tính mới, tính sáng tạo
- Vận dụng linh hoạt trong việc lập tỉ số giữa các yếu tố liên quan trong
hình tam giác. Hiểu ý nghĩa của mỗi tỉ số mình lập được.
- Xây dựng các bước giải bằng tỉ số cơ bản nhất trong một quy trình giải
toán có liên quan đến diện tích hình tam giác và các hình khác có liên quan.
- Có kĩ năng vận dụng tỉ số vào giải các bài toán có liên quan đến diện
tích hình tam giác.
- Tạo sự tự tin, tính sáng tạo cho HS, GV trong việc giải các bài toán liên
quan đến diện tích hình tam giác nói riêng và phần hình học nói chung. GV
cũng như HS có thể vận dụng để sáng tạo ra một bài toán khác từ những bài cơ
bản đã cho.
3.2. Khả năng áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho giáo viên bồi dưỡng và
học sinh năng khiếu học nâng cao môn toán liên quan đến diện tích hình tam
giác ở lớp 5.
3.3. Lợi ích thiết thực của sáng kiến: Giúp giáo viên cũng như học sinh có
một phương pháp giải các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam
giác một cách ngắn gọn và linh hoạt nhất.
4. Giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến:

- HS vận dụng thành thạo, linh hoạt tỉ số trong việc giải quyết các bài
hình nâng cao trong chương trình toán Tiểu học.
- Thấy được vẻ đẹp toán học trong phương pháp giải bằng tỉ số ở bậc Tiểu
học.
5. Đề xuất, kiến nghị để thực hiện áp dụng, mở rộng sáng kiến.
- Sáng kiến được áp dụng rộng rãi đối với học sinh năng khiếu môn toán
ở lớp 5, có thể mở rộng cho học sinh lớp 6 bậc Trung học cơ sở.

3


MÔ TẢ SÁNG KIẾN
1. Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến:
Mục tiêu giáo dục hiện nay là đào tạo nên những con người mới, con
người phát triển toàn diện. Cơ sở nền móng của sự phát triển này là học sinh cấp
Tiểu học. Mỗi môn học ở Tiểu học đều hình thành và phát triển những cơ sở
ban đầu rất quan trọng của nhân cách con người Việt Nam.
Trong nhà trường và trong trường tiểu học môn Toán cùng với các môn
học khác góp phần quan trọng trong việc hình thành, phát triển tư duy của học
sinh. Ở mỗi cấp học, mỗi lớp môn toán có một vị trí, yêu cầu và nhiệm vụ khác
nhau. Giai đoạn cuối bậc tiểu học có nhiệm vụ hoàn thành yêu cầu phổ cập giáo
dục cho học sinh vừa tạo cơ sở cho học sinh tiếp tục học ở bậc học trên và cuộc
sống lao động sau này. Ở giai đoạn này, người giáo viên vừa dạy và học môn
toán vừa phải quan tâm đến việc hệ thống hoá, khái quát hoá nội dung kiến
thức vừa phải chú ý dạy các em ứng dụng toán vào thực tế đời sống.
Trong chương trình toán Tiểu học, cùng với việc học các kiến thức về số
học, đại lượng… học sinh còn được học các kiền thức về hình học. Các kiến
thức về hình học ở Tiểu học không phải được dạy và học thành môn riêng mà
nó là một bộ phận gắn bó mật thiết với các kiến thức số học, đại số, đại lượng
giải toán tạo thành một môn học thống nhất. Các kiến thức này hỗ trợ bổ sung

cho nhau góp phần phát triển toàn diện năng lực toán học cho học sinh.
Do đó, yếu tố hình học là một trong những nội dung cơ bản của môn
Toán ở Tiểu học, góp phần xây dựng cơ sở ban đầu cho phân môn hình học nói
riêng ở Trung học. Các yếu tố hình học ở Tiểu học nói chung và phần toán về
diện tích hình phẳng (Trong đó có diện tích về tam giác) nói riêng có tầm quan
trọng như vậy nên việc tìm hiểu và lựa chọn phương pháp dạy học cho phù hợp
nhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung này là một việc làm cần thiết mà
tôi cho rằng người giáo viên Tiểu học cần phải có và nắm vững nội dung đó.
Chúng ta biết rằng đặc điểm của học sinh Tiểu học là tư duy cụ thể vẫn
còn chiếm ưu thế. Chính vì vậy các em thường gặp khó khăn trong việc lĩnh hội
các kiến thức hình học mang tình chất trừu tượng mới. Nhất là những năm gần
4


đây, nội dung thi học sinh giỏi bậc Tiểu học của học sinh lớp 5 thường có nội
dung về hình học liên quan đến diện tích hình tam giác. Do đó, đây chính là khó
khăn chung trong việc dạy các yếu tố hình học ở Tiểu học nói chung và diện
hình tam giác ở lớp 5 nói riêng.
Để giải quyết các khó khăn đó đòi hỏi trong quá trình dạy học nội dung
này người giáo viên không những phải có trình độ kiến thức tốt về hình học, có
lòng say mê nghề nghiệp mà còn phải biết sử dụng hợp lý các phương pháp và
hình thức dạy học sao cho phù hợp và hợp lí nhất. Có như vậy kết quả của quá
trình dạy học mới được nâng cao.
Từ nhận thức của mình, trong quá trình được phân công bồi dưỡng học
sinh năng khiếu và giảng dạy ở khối lớp 5, tôi đã nghiên cứu nội dung chương
trình toán lớp 5 nói chung và phần diện tích hình tam giác nói riêng, đồng thời
tìm hiểu các phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng và phát huy tính
tích cực của học sinh trong học tập. Bên cạnh đó, qua việc dự giờ của các đồng
nghiệp tôi đã rút ra được một vài sáng kiến và mạnh dạn đưa ra để các đồng
nghiệp xem xét, giúp đỡ tôi hoàn thiện hơn sáng kiến: “Sử dụng tỉ số để giải

các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam giác ở lớp 5”.
2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
2.1. Nội dung phần hình học lớp 5:
* Các kiến thức về hình học phẳng:
- Giới thiệu hình tam giác, hình thang, hình tròn.
- Các yếu tố của hình tam giác, hình thang, hình tròn (cạnh đáy, cạnh bên,
đáy lớn, đáy bé, đường cao, đường kính, bán kính, …)
- Diện tích hình tam giác, hình thang, hình tròn, chu vi diện tích của các
hình đó.
* Các kiến thức về hình học không gian:
- Hình hộp chữ nhật, hình lập phương và các yếu tố của hình đó.
- Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, hình
lập phương.
- Thể tích hình hộp chữ nhật, thể tích hình lập phương.
5


Trong các nội dung kiến thức trên thì kiến thức về diện tích hình tam giác
là nội dung cơ bản nhất có nhiều bài tập mở rộng với nhiều hướng phát triển của
bài toán hơn cả.
2.2. Việc học tập của học sinh đối với diện tích hình tam giác:
Trong hình học của lớp 5 thì diện tích hình tam giác là hình cơ bản có
công thức tính diện tích cụ thể. Do vậy đa số khi tính diện tích tam giác thì HS
thường hướng đến áp dụng công thức để giải quyết bài toán đặt ra mà ít chú ý
đến các mối liên hệ khác để tìm ra những lời giải hay và ngắn gọn hơn. Hoặc
đối với diện tích những hình khác như hình chữ nhật, hình bình hành, hình
thang, ... liên quan đến diện tích hình tam giác học sinh cũng chưa biết sử dụng
mối quan hệ tỉ số giữa các yếu tố để giải quyết vấn đề đặt ra.
2.3. Việc dạy học của giáo viên:
- Đa số giáo viên mới hướng đến việc tính diện tích tam giác hoặc diện

tích các hình khác có liên quan bằng công thức tính cụ thể mà ít chú ý đến tỉ số
giữa các yếu tố liên quan.
- Việc sử dụng tỉ số để giải quyết các bài toán hình liên quan đến diện tích
hình tam giác ở một bộ phận giáo viên bồi dưỡng còn hạn chế. Nguyên nhân là
do giáo viên nhìn hình chưa linh hoạt, chưa thấy được mối quan hệ giữa các yếu
tố trong một hình, ...
- Giáo viên ngại dạy phần hình vì kiến thức trừu tượng. Một số giáo viên
chưa tiếp xúc nhiều với những bài tập nâng cao nên việc tính diện tích các hình
chưa mở rộng cho HS những cách giải khác, ngắn gọn, dễ hiểu hơn cho đối
tượng học sinh năng khiếu.
2.4. Khảo sát chất lượng học sinh:
Sau khi tìm hiểu thực trạng về việc học phần tính diện tích hình tam giác
qua việc giảng dạy cũng như dự giờ các đồng nghiệp trong nhà trường cũng như
việc học của học sinh, tôi đã khảo sát chất lượng học sinh bằng một bài kiểm tra
(Xem phụ lục 1) và nhận được kết quả như sau:
Đội tuyển học sinh Giỏi lớp 5A (năm học 2012 - 2013) với tổng số học
sinh là 23 em:
6


Số học sinh

Học sinh vận Học sinh biết làm Học sinh vận
dụng bài tập cơ bài tập mở rộng, dụng chậm kiến
bản
nâng cao
thức cơ bản
23
23 em = 100%
4 em = 17,4%

0 em = 0 %
Đội tuyển học sinh Giỏi lớp 5A (năm học 2013 - 2014) với tổng số học

sinh là 27 em:
Số học sinh

Học sinh vận Học sinh biết làm Học sinh vận
dụng bài tập cơ bài tập mở rộng, dụng chậm kiến
bản
nâng cao
thức cơ bản
27
27 em = 100%
8 em = 29,6%
0 em = 0%
Qua bảng trên ta thấy : Các em đều biết vận dụng kiến thức cơ bản vào

bài làm (Câu 1; 2), song số học sinh biết vận dụng kiến thức để giải quyết bài
tập nâng cao còn hạn chế. Cụ thể với các bài toán vận dụng tỉ số để giải quyết
(bài 3 và 4) chỉ có 4 em (Năm học 2012-2013) và 8 em (Năm học 2013-2014)
làm được, song cách lập luận và trình bày còn yếu.

3. Các biện pháp thực hiện
Qua giảng dạy và khảo sát chất lượng học tập của học sinh, tôi đã xây
dựng cho mình những việc làm cụ thể sau:
3.1. Xây dựng mức độ cần đạt của học sinh:
Để học tốt nội dung về hình học, cụ thể là hình tam giác thì:
- Học sinh phải nhận biết hình theo đặc điểm riêng của từng hình. Biết vẽ
và nhớ công thức tính diện tích, chu vi của các hình tam giác.
- Học sinh nhận biết và dùng Ê ke để kiểm tra hình tam giác và đường cao

của chúng.
- Biết vận dụng từ công thức cơ bản đã được xây dựng, xây dựng thêm
những công thức tính khác phù hợp nội dung bài.
- Biết xây dựng công thức mới về tìm đáy, chiều cao hình tam giác dựa
vào công thức cơ bản.
- Biết sử dụng công thức, vận dụng tỉ số, mở rộng kiến thức để giải toán .
3.2. Kiểm tra các kiến thức về hình học có liên quan đến việc xây
dựng công thức tính diện tích hình tam giác:

7


- Học sinh nhớ được cách tính diện tích hình chữ nhật, nhận biết được
mối quan hệ giữa các yếu tố chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật với đáy và
chiều cao của hình tam giác.
- Mặt khác, việc nhớ công thức cũng giúp các em xây dựng được những
cách làm phù hợp với yêu cầu từng bài toán hay giúp các em liên hệ mối quan
hệ giữa các yếu tố để có cách làm mới.
3.3. Hướng dẫn học sinh xây dựng công thức tính diện tích hình tam
giác dựa trên những công thức tính diện tích của các hình đã học:
Để xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác tôi đã hướng dẫn các
em qua bài “Diện tích tam giác”, (tiết 86, SGK Toán 5 - trang 87. Xem phụ lục
2). Cụ thể tôi đã thực hiện theo các bước sau:
* Bước 1: Vẽ hình, yêu cầu học sinh lên vẽ đường cao của tam giác để
giúp học sinh củng cố cách vẽ đường cao của tam giác trong các loại tam giác:
tam giác tù, tam giác nhọn, tam giác vuông; nhận biết đường cao ngoài, đường
cao trong của một tam giác; mối quan hệ giữa đáy và đường cao của tam giác..
* Bước 2: Giáo viên đưa ra hai tam giác có diện tích bằng nhau.

- Giáo viên yêu cầu học sinh dùng thước đo và so sánh độ dài của chiều

cao và cạnh đáy hai tam giác. (Hai tam giác có chiều cao bằng nhau và có đáy
bằng nhau).
- Hướng dẫn học sinh cắt hình tam giác GHK thành hai hình tam giác
nhỏ theo đường cao GM, sau đó ghép vào hình tam giác ABC để tạo thành một
hình chữ nhật mới.

8


- Yêu cầu học sinh nhận xét:
+ Chiều rộng hình chữ nhật mới và chiều cao hình tam giác có độ dài
như thế nào ?
(Chiều rộng hình chữ nhật mới và chiều cao hình tam giác có độ dài bằng nhau)
+ Chiều dài của hình chữ nhật và đáy tam giác có độ dài như thế nào ?
(Chiều dài của hình chữ nhật và đáy tam giác có độ dài bằng nhau).
+ Từ mấy tam giác ta ghép được thành một hình chữ nhật?
(Từ hai tam giác ta ghép được một hình chữ nhật)
+ Theo em, diện tích hình chữ nhật như thế nào so với diện tích hình tam
giác ?
(Diện tích hình chữ nhật gấp đôi diện tích hình tam giác hay diện tích hình tam
giác bằng diện tích hình chữ nhật).
+ Em hãy nêu cách tính diện tích hình chữ nhật dựa vào các yếu tố của
hình chữ nhật ? (Chiều dài ED, chiều rộng BC )
( Diện tích hình chữ nhật là: EB x BC )
+ Nêu cách tính diện tích hình tam giác ? (EB x BC : 2 hoặc AH x BC : 2)
+ Nêu cách tính diện tích hình tam giác ? Muốn tính diện tích hình tam
giác ta lấy độ dài đáy nhân với chiều cao (cùng đơn vị đo) rồi chia cho 2.

9

- Khi xây dựng xong công thức tính, giáo viên cần nhấn mạnh những yếu
tố cần có để tính diện tích các hình như độ dài đáy, chiều cao, đơn vị đo,…
3.4. Các bài tập vận dụng từ kiến thức cơ bản:
3.4.1. Khái niệm về kiến thức cơ bản:
Bài toán cơ bản là những bài toán học sinh được vận dụng những công
thức, qui tắc trên cơ sở đã được xây dựng. Bên cạnh đó, yêu cầu về kiến thức
và kỹ năng không cao, phù hợp với đối tượng đại trà. Bài toán cơ bản là những
bài toán chứa đựng những kiến thức trọng tâm, cần thiết nhất để học sinh nắm
vững bài học. Từ bài toán cơ bản có thể phát triển, xây dựng thành bài toán
nâng cao tuỳ theo mức độ.
Hệ thống các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa được sắp xếp tương
đối hợp lý (từ đơn giản đến phức tạp). Việc giải các bài tập cơ bản giúp học sinh
củng cố được các kiến thức vừa được học, giúp cho các em ghi nhớ và khắc sâu
các khái niệm, công thức. Việc thực hành giải toán còn rèn luyện cho học sinh
các thao tác, kỹ thuật tính toán, đo vẽ hình...
Vì vậy, trong quá trình giúp học sinh hoàn thành nhiệm vụ của mình
trước hết học sinh cần thực hiện các việc sau:
+ Xác định được yêu cầu và tóm tắt bài toán, phát hiện ra các tình huống
liên quan đến bài toán cơ bản và chuyển bài toán, phát biểu dưới dạng bài toán
cơ bản.
+ Giải bài toán theo quy trình quen thuộc.
+ Luôn chú ý đến khai thác bài toán, lập hệ thống bài toán liên quan, mở
rộng nhiều cách giải mới nhằm phát triển tư duy cho học sinh.
3.4.2. Các bước cần có khi thực hiện bài toán:
Từ nhiệm vụ trên, khi giải bài toán ở Tiểu học, nhất là với dạng bài liên
quan đến diện tích cần hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích tìm hiểu đề
Bước này rất quan trọng không thể thiếu được trong dạy học giải toán .
Muốn vậy, học sinh phải biết được ngôn ngữ và ký hiệu toán học (Bài toán về

diện tích thường sử dụng rất nhiều ký hiệu theo quy ước) học sinh phải biết
“giải mã” các ký hiệu đó để thấy được ba yếu tố cơ bản của bài toán: dữ kiện
10


(những cái đã cho biết), ẩn số (những cái chưa biết, phải tìm), điều kiện (là mối
quan hệ giữa các dữ kiện và ẩn số). Khi tìm hiểu đề, học sinh phải biết dựa trên
yếu tố cơ bản để phân biệt, lựa chọn, xác định được các dự kiện cần thiết để tìm
ra cái cần tìm, gạt bỏ các điều kiện thừa, phát hiện các điều kiện thiếu hoặc
không tương minh của bài toán.
Bước 2: Tóm tắt đề bài
Sau khi phân tích tìm hiểu đề thì yêu cầu đối với học sinh là phải biết tóm
tắt đề toán bằng ngôn ngữ ngắn gọn, hoặc sơ đồ, hình vẽ, biểu bảng...để từ đó
suy nghĩ, tìm tòi và phát hiện mỗi liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm để đi tới
hướng giải quyết đúng.
Bước 3: Lập chương trình giải toán
Để lập chương trình giải toán thì cần phải phân tích để tìm ra hướng giải
bài toán trước (Thao tác này thường đi ngược từ cuối lên từ những cái cần tìm
đến những cái đã biết).
Lập chương trình giải toán sẽ ngược với quá trình phân tích này (Gồm các
phép tính cụ thể).
Bước 4: Trình bày bài giải.
Thực hiện bước giải của bài toán, từ phép toán đã được thiết lập ở trong
chương trình để tìm tới đáp số (Bước này yêu cầu tính toán một cách chính xác,
không viết tắt và không dùng các ký hiệu một cách tuỳ tiện).
Bước 5: Kiểm tra đánh giá kết quả.
Đây là việc làm cần thiết khi giải xong một bài toán. Và yêu cầu học sinh
thử lại kết quả vừa tìm được bằng các phép tính (nếu có thể) hoặc bằng cách đo,
vẽ, cắt ghép hình...đó là việc kiểm lại quá trình giải toán và đáp số của bài toán
cũng từ các hoạt động của bước này giúp cho học sinh tìm ra cách giải khác cho

bài toán.
3.4.3. Bài toán vận dụng công thức tính:
Bài 1 (Trang 88 - Sách giáo khoa Toán 5). Tính diện tích hình tam giác có:
a) Độ dài đáy là 8cm và chiều cao là 6cm.
b) Độ dài đáy là 2,3dm và chiều cao là 1,2dm.
11


* Với bài tập này học sinh chỉ cần sử dụng đúng công thức tính và nhớ cách viết
đơn vị đo diện tích.
Bài 1b (Trang 88- Sách giáo khoa Toán 5). Tính diện tích hình tam giác có:
a= 16dm và h = 5,3m
Bài tập này cũng vận dụng công thức tính nhưng ở đây các em cần lưu ý
đơn vị đo của đáy và chiều cao phải cùng một đơn vị đo. Ở bài tập này, trước
khi làm bài giáo viên nên yêu cầu học sinh đọc bài, phát hiện ra yếu tố khác với
bài tập trước, từ đó các em biết cần phải đổi để đưa hai đơn vị đo về cùng một
đơn vị đo. Cụ thể:
Đổi 5,3m = 53dm
Diện tích hình tam giác là:

16 x 53 : 2 = 424 ( dm2)
Đáp số: 424 dm2

Bài 2 (Trang 95- Sách giáo
khoa Toán 5): Diện tích của
hình thang ABED lớn hơn
diện tích hình tam giác
BEC bao nhiêu đề - xi mét vuông?
Bài tập này, ngoài việc vận dụng công thức tính thì các em còn phải nhận
biết được hình thang ABED và hình tam giác có chung chiều cao chính là chiều

cao AH của hình thang ABCD. Khi đã nhận ra các yếu tố cần thiết để tính diện
tích các hình học sinh vận dụng tính theo các bước:
- Diện tích hình thang ABED là : ( 1,6 + 2,5 ) x 1,2 : 2 = 2,46(dm2)
1,3 x 1,2 : 2 = 0,78(dm2)

- Diện tích hình tam giác BEC là:

- Diện tích hình thang ABED hơn diện tích hình thang BEC số đề - xi - mét
vuông là:
2,46 - 0,78 = 1,68(dm2)
Đáp số: 1,68 dm2
*Mở rộng: Tổng độ dài hai đáy hình thang hơn độ dài đáy hình tam giác
là:

(1,6 + 2,5) - 1,3 = 2,8 (dm)

12


Hình thang ABED và hình tam giác có chung chiều cao chính là chiều
cao AH của hình thang ABCD. Vậy Diện tích hình thang ABED hơn diện tích
hình thang BEC số đề - xi - mét vuông là:
2,8 x 1,2 : 2 = 1,68 (dm2)
3.4.4. Bài toán vận dụng công thức tính diện tích có mở rộng nhiều
cách giải:
Bài 1. ( Trang 127 - Sách giáo khoa Toán 5)
Cho hình thang vuông ABCD có AB = 4cm, DC = 5cm, AD = 3m. Nối B
với D được hai hình tam giác ABD và BDC.

a) Tính diện tích mỗi hình tam giác đó.

b) Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích hình
tam giác BDC.
Trước khi giải bài toán này, học sinh cũng phải nhận thấy tam giác ABD
và tam giác BDC có chung chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD và có
độ dài 3cm.
* Với phần a của bài tập, các em có thể tìm được nhiều cách giải:
+ Cách 1: Học sinh vận dụng đúng công thức để tính từng diện tích hình
tam giác.
+ Cách 2: Tính diện tích hình thang, tìm tỉ số giữa hai cạnh AB và DC,
đưa bài toán về dạng toán Tìm hai số khi biết Tổng và tỉ số của hai số đó để tính
diện tích hai hình tam giác.
+ Cách 3: Tính diện tích hình thang, tính diện tích của một hình tam giác.
Tính diện tích hình tam giác còn lại bằng cách lấy diện tích hình thang trừ đi
diện tích hình tam giác đã có.
13


* Với phần b của bài tập các em cũng có hai cách làm:
+ Cách 1: Các em sử dụng diện tích của hai hình tam giác đã có để tính tỉ
số phần trăm của hai hình tam giác.
+ Cách 2: Các em không cần sử dụng diện tích, lí luận: hai tam giác ABD
và BDC có chung chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD nên tỉ số của hai
tam giác chính là tỉ số của hai cạnh. Lúc này các em chỉ việc sử dụng hai cạnh
đáy của tam giác là tìm được tỉ số phần trăm của hai tam giác.
3.5. Sử dụng tỉ sô khi giải bài toán nâng cao được mở rộng từ kiến
thức cơ bản liên quan đến diện tích hình tam giác.
3.5.1. Mối quan hệ giữa toán nâng cao và bài toán cơ bản:
Bài toán nâng cao được hiểu là bài toán mà trong đó yêu cầu vận dụng
kiến thức và kỹ năng ở mức độ tổng hợp hoặc khái quát hoá. Bài toán nâng cao
không chỉ là việc áp dụng trực tiếp các kỹ năng cơ bản mà khi giải các bài tập

này đòi hỏi người giải phải vận dụng linh hoạt và có tính sáng tạo các kỹ năng
đã học.
Như vậy, các bài toán nâng cao được xây dựng trên cơ sở các bài toán cơ
bản. Đối với những học sinh đã giải được và giải thành thạo các bài toán cơ bản
thì việc đưa hệ thống bài tập nâng cao rất quan trọng và cần thiết để phát huy
năng lực, trí tuệ của mình vượt ra khỏi tư duy cụ thể mang tính chất ghi nhớ và
áp dụng một cách máy móc để tìm tòi, phát hiện cái mới, cái hay và độc dáo
tiềm ẩn bên trong nội dung các bài toán nâng cao.
Vì vậy, bài toán cơ bản và bài toán nâng cao có mối liên hệ chặt chẽ với
nhau, bổ sung, hỗ trợ cho nhau. Bài toán cơ bản là tiền đề, là cốt lõi để phát
triển thành bài toán nâng cao. Do đó từ bất cứ bài toán cơ bản nào cũng có thể
chuyển thành bài toán nâng cao bằng nhiều cách khác nhau. Ngược lại, việc giải
các bài toán nâng cao cũng hỗ trợ rất nhiều cho việc dạy các kiến thức cơ bản.
Dạy học các bài toán nâng cao không chỉ phát huy tính sáng tạo, bồi dưỡng
năng lực trí tuệ cho học sinh mà còn củng cố các kiến thức cơ bản.
3.5.2. Một số tính chất cần nắm rõ.
14


Trong bài toán có nội dung hình học, tỉ số thường được dùng trong tỉ số
các đoạn thẳng, tỉ số các số đo diện tích và được sử dụng như một phương tiện
để tính toán, giải thích lập luận cũng như trong tháo tác so sánh giá trị về độ dài
đoạn thẳng, về diện tích. Cụ thể với hình tam giác thì:
1, Nếu một hình được phân ra thành các hình nhỏ thì tổng diện tích các
hình nhỏ bằng diện tích của hình lớn ban đầu.
2, Nếu ghép các hình nhỏ để được một hình lớn thì diện tích hình lớn
bằng tổng diện tích các hình nhỏ.
3, Hai tam giác có cùng số đo cạnh đáy và có cùng số đo đường cao thì
diện tích của chúng bằng nhau.
4, Nếu số đo cạnh đáy không đổi thì số đo diện tích và số đo đường cao

của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
5, Nếu số đo đường cao không đổi thì số đo diện tích và số đo cạnh đáy
của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ thuận.
6, Nếu số đo diện tích không đổi thì số đo đường cao và số đo cạnh đáy
của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
7, Nếu hai hình có diện tích bằng nhau cùng bớt đi một phần diện tích
chung thì phần diện tích còn lại của hai hình đó cũng có diện tích bằng nhau.
8, Nếu ta ghép thêm vào hai hình có diện tích bằng nhau cùng một hình
thì hai hình mới nhận được cũng có diện tích bằng nhau.
9, Những bài tập liên quan đến hình thang có nhiều mối quan hệ về diện
tích với hình tam giác như: hai tam giác nằm trong hình thang nếu chung đáy
thường có chung chiều cao là chiều cao của hình thang,…
3.5.3. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh đáy BC = 24cm, chiều cao AH =
20cm. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = MB. Tính diện tích tam giác
AMC và diện tích tam giác MCB?
*Phân tích:

15


Với bài toán này trước hết học sinh phải vẽ hình để nhận ra tỉ số giữa hai
tam giác MAC và tam giác MCB là

và diện tích tam giác ABC chính là tổng

diện tích của hai tam giác MAC và MBC.
*Bài giải:

Diện tích hình tam giác ABC là : 24 x 20 : 2 = 240( cm2)

Xét hai tam giác AMC và ABC có:
+ Đáy AM =

2
AB (Vì AM = MB)
5

+ Có chung đường cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh đáy AB.
2

Vậy SAMC = 5

SABC

Diện tích tam giác AMC là:
240 x

2
= 96(cm2)
5

Diện tích tam giác MBC là:
240 - 96 = 144(cm2)
Đáp số:

SAMC: 96cm2
SMBC: 144cm2

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho MC gấp đôi
MA. Nối B với M, gọi D là trung điểm của BM. Nối A với D. Tính diện tích

tam giác ABC biết diện tích tam giác ADM là 4,5 cm2.
(Đề Olimpic học sinh tiểu học cấp huyện, thị xã, thành phố tỉnh Hải
Dương năm học 2011-2012)

16


*Phân tích: Với bài toán này ta thấy có những cặp tam giác cùng chung
đường cao, do vậy dựa vào tỉ số đáy tương ứng ta sẽ tìm được diện tích tam giác
ABC.
*Bài giải:
1
BM
2

Vì D là trung điểm của BM nên DM =
MC gấp đôi MA nên AM =

1
AC
3

Xét hai tam giác ADM và ABM có:
- Chung đuờng cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BM
- Đáy DM =

1
1
BM ; Nên SADM =
2

2

Vậy diện tích tam giác ABM là: 4,5 :

SABM

1
= 9 ( cm2)
2

Xét hai tam giác ABM và ABC có:
- Chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC
- Đáy AM =

1
AC
3
1

Nên SABM = 3

SABC

Vậy diện tích tam giác ABC là: 9 :

1
= 27 (cm2)
3

Đáp số: 27 cm2

Ví dụ 3: Tam giác ABC có độ dài đáy AC là 16cm, kéo dài đáy AC một
đoạn về phía C sao cho CE = AC thì được tam giác ABE có diện tích hơn diện
tích ABC 25cm2. Tính diện tích tam giác ABC ?

17


*Phân tích: Để giải bài toán này, trước hết học sinh cũng phải vẽ hình để
nhận ra tỉ số giữa hai tam giác BCE và tam giác ABC là

và giải toán.

*Bài giải:

Theo hình vẽ ta thấy : SBEC = SABE - SABC = 25cm2
Xét tam giác ABC và tam giác BCE có:
+Đáy CE = AC
+Có chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh đáy AE.
Vậy

SBCE = SABC

Diện tích tam giác ABC là: 25 :

= 100( cm2)

Đáp số: 100cm2
Ví dụ 4: Cho hình bên trong đó ABCD là hình thang. Hình thang đó có
những tam giác nào diện tích bằng nhau? Vì sao ?

*Phân tích: Học sinh nhớ được: Những tam giác nào có cạnh đáy và
đường cao bằng nhau thì các tam giác đó có diện tích bằng nhau. Ta thấy các
cặp tam giác: BAD và CDA, ABC và DCB là những tam giác có cạnh đáy và
đường cao bằng nhau.

18


Các tam giác là hiệu của hai tam giác có diện tích bằng nhau thì các tam
giác đó có diện tích bằng nhau. DAO và COB là hai tam giác thoả mãn được
điều kiện đó.
*Bài giải:

SABD = SABC( vì hai tam giác có chung cạnh đáy AB và đường cao hạ
từ B và A xuống cạnh CD và cũng chính là đường cao của hình thang ABCD).

SADC = SBCD (vì hai tam giác chung cạnh đáy BC và các chiều cao hạ
từ A và D và là chiều cao của hình thang ABCD).
Ta lại có:
hay

SAOD = SABD – SAOB và SBOC = SABC – SAOB

SAOD = SBOC

Ví dụ 5: Cho hình tam giác ABC (hình vẽ), P là trung điểm của CB, biết
PM vuông góc với AC, PN vuông góc với AB và PM = 6cm, PN= 4cm ,
AC + AB = 20cm. Tính diện tích tam giác ABC ?

*Phân tích:

Để giải bài tập này, học sinh phải nhớ được hai tam giác có diện tích bằng
nhau thì đáy và đường cao của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau. Ở
bài tập này, SACP = SAPB mà PM = NP thì tỉ lệ giữa AC và AB là , tức là AC
= AB. Từ tỉ lệ của hai cạnh đáy, học sinh tìm độ dài hai đáy và tính được diện
tích tam giác ABC.
*Bài giải:
Xét hai tam giác ACP và APB có:
+ Đáy CP = PB

19


+ Có chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh đáy CB.
Vậy
Mà

SACP = SAPB
= = nên tỉ số giữa cạnh AC với cạnh AB là , hay AC = AB

Do vậy, ta có sơ đồ sau:

Độ dài cạnh AC là : 20 : ( 2 + 3 ) x 2 = 8(cm)
Độ dài cạnh AB là: 20 - 8 = 12( cm)
Diện tích tam giác ABC là: 8 x 6 : 2 + 12 x 4 : 2 = 48( cm2)
Đáp số: 48cm2.
Ví dụ 6: Cho hình thang ABCD (như hình vẽ) có diện tích 45cm 2. Biết
cạnh đáy AB bằng cạnh đáy CD. Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam
giác BDC?

Với bài toán này, các em phải so sánh diện tích hai tam giác ABD và BCD để

nhận ra tỉ số của hai tam giác. Sau đó đưa bài toán về dạng toán cơ bản: “Tìm
hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó” để giải toán.
*Phân tích: Muốn tính được diện tích của hai hình tam giác ta phải biết tỉ
số của hai tam giác dựa vào cách so sánh diện tích của hai tam giác.
Bài toán cho biết diện tích hình thang mà tổng diện tích hai hình tam giác
chính là diện tích hình thang nên khi xác định được tỉ số của hai tam giác ta chỉ

20


việc đưa bài toán về dạng toán cơ bản“Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai
số đó” là thực hiện được yêu cầu của bài tập.
*Bài giải:
Xét hai tam giác ABD và BCD có:
+ Đáy AB = CD
+ Có chung đường cao là đường cao của hình thang ABCD.
Vậy SABD =

SBCD

Theo bài ra ta có sơ đồ sau:

Diện tích tam giác ABD là : 45 : ( 4 + 5 ) x 4= 20 ( cm2)
Diện tích tam giác BCD là : 45 - 20 = 25 ( cm2 )
Đáp số: Diện tích ABD: 20cm2
Diện tích BCD: 25cm2
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC. N là điểm chính giữa cạnh AC. Tứ giác
BMNE là hình thang có hai đường chéo cắt nhau tại điểm O (Như hình vẽ)
a) So sánh diện tích hai tam giác BOM và EON.
b) Biết diện tích tam giác ABC là 64cm2. Tính diện tích tam giác CEM ?

(Đề Olimpic học sinh tiểu học tỉnh Hải Dương, năm học 2011-2012)
*Phân tích: Phần a vận dụng VD4 ta sẽ chứng minh được diện tích hai
tam giác BOM và EON bằng nhau.

21


Phần b vận dụng tỉ số để thấy được diện tích tam giác CEM bằng diện
tích tam giác BCN và bằng

1
diện tích tam giác ABC.
2

*Bài giải:
a) SBEM = SBEN (1) (vì hai tam giác chung cạnh đáy BE và các đường
cao hạ từ M và N xuống cạnh BE cũng chính là chiều cao của hình thang
BMNE).
Ta lại có:

SBOM = S BEM – SBOE và SEON = SBEN – SBOE (2)
SBOM = SEON

Từ (1), (2) suy ra

b) Xét hai tam giác BCN và tam giác ABC có:
+Chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC
+Đáy NC =

1
AC
2
1

Vậy SBCN = 2

SABC (1)

Xét hai tam giác EMN và tam giác BMN có:
+Chung đáy MN
+Chiều cao bằng nhau vì đều bằng chiều cao hình thang BMNE.
Vậy SEMN = SBMN (2)
Mặt khác ta có SMNC + SBMN = SBCN (3)

SMNC + SEMN = SCEM (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra SCEM =

1

SBCN = 2 SABC

Vậy diện tích tam giác CEM là: 64 x

1
= 32 (cm2)
2

Đáp số: a) SBOM =

SEON

b) 32 cm2
Ví dụ 8: Cho hình thang ABCD có đáy bé AB bằng

1
đáy lớn CD. Hai
2

đường chéo AC và BD cắt nhau tại E.
a) So sánh diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác ACD.
22


b) Tính diện tích tam giác BEC, biết diện tích tam giác DEC bằng 9 cm2.
c) Kéo dài DA và CB cắt nhau tại M. Tìm tỉ số diện tích của tam giác
MAB và diện tích hình thang ABCD.
(Đề Olimpic học sinh tiểu học tỉnh Hải Dương, năm học 2013-2014)
*Phân tích: Với phần a, HS dựa vào tỉ số hai đáy AB và CD và chiều cao
hình thang để so sánh diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác ACD.
Với phần b, HS dựa vào tỉ số đường cao hạ từ đỉnh B và D xuống đáy AC
để tìm tỉ số diện tích giữa hai tam giác ABC và ACD. Từ tỉ số diện tích giữa hai
tam giác ABC và ACD suy ra được tỉ số diện tích giữa hai tam giác EBC và
ECD. Từ đó tính được diện tích tam giác BEC.
Với phần c, Từ tỉ số diện tích giữa hai tam giác ABD và ACD ta suy ra
được tỉ số hai chiều cao BK và CI. Từ tỉ số hai chiều cao BK và CI suy ra tỉ số
diện tích hai tam giác MAB và MAC. Từ đó ta suy ra được SMAB=SABC.

*Bài giải:
a) Xét hai tam giác ABC và ACD có:

+Đáy AB =

1
CD
2

+Chiều cao bằng nhau vì đều bằng chiều cao hình thang ABCD
1

Vậy SABC = 2 SACD (1)

23


b) Xét hai tam giác ABC và ACD có:

1

SABC = 2 SACD (theo phần a),

mà hai tam giác này lại có chung đáy AC, nên đường cao hạ từ đỉnh B xuống
đáy AC bằng

1
đường cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AC (2)
2

Xét hai tam giác BEC và DEC có:
+Chung đáy EC
+Có đường cao như (2)

1

Vậy SBEC = 2 SDEC
Diện tích tam giác BEC là: 9 x

1
= 4,5 (cm2)
2

c) Xét hai tam giác ABD và ACD có:
+Đáy AB =

1
CD
2

+Chiều cao bằng nhau vì đều bằng chiều cao hình thang ABCD
1

Vậy SABD = 2 SACD
Mặt khác hai tam giác này lại có chung đáy AD, do vậy chiều cao
BK =

1
CI (3)
2

Xét hai tam giác MAB và MAC có:
+Chung đáy AM
+Chiều cao như (3)

1

Vậy SMAB = 2 SMAC (4)
Từ (4) suy ra SMAB = SABC (5)
1

Từ (1) ta có SABC = 3 SABCD (Vì SABC + SACD = SABCD) (6)
1

Từ (5), (6) suy ra SMAB = 3 SABCD
1

Đáp số: a) SABC = 2 SACD
b) 4,5 (cm2)
24


1

c) SMAB = 3 SABCD
Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có diện tích 312 cm 2. E là điểm chính giữa
BC; I là điểm chính giữa AE, nối BI kéo dài cắt AC tại D. Tính diện tích tam
giác AID.
*Phân tích: Để làm bài này ta cần nối AI để Tìm tỉ số diện tích giữa cặp
tam giác ABI và BIC để rút ra tỉ số đường cao AG với đường cao CK. Từ đó
tìm được tỉ số diện tích tam giác AID với diện tích tam giác AIC.

*Bài giải:

Nối I với C.

Xét hai tam giác ABE và ABC có:
+Chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC.
+Đáy BE =

1
BC
2
1

Vậy SABE = 2 SABC (1)
Xét hai tam giác ABI và EBI có:
+Chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AE.
+Đáy AI = EI
Vậy S ABI = SEIB (2)
1

Từ (2) suy ra S ABI = SEIB = 2

SABE (3)
1

Từ (1), (3) suy ra S ABI = SEIB = 4
25

SABC (4)