SKKN một số SAI lầm THƯỜNG gặp TRONG các bài TOÁN về GIỚI hạn, GIÚP học SINH đưa RA lời GIẢI một CÁCH CHÍNH xác và HIỆU QUẢ hơn

1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Thực tế dạy học ở trường Trung học phổ thông cho thấy, học sinh thường
gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm về giới hạn của dãy số, hàm số.
Nhiều học sinh có thể nhớ các định lý, hệ quả, học thuộc các định nghĩa nhưng
không giải thích được đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn đến việc vận
dụng một cách máy móc hoặc không biết hướng vận dụng.
Qua nhiều năm trực tiếp dạy trên các lớp khối 11 tôi nhận thấy học sinh khi
đi sâu vào làm các bài tập giới hạn, đặc biệt là loại bài tập trong các đề thi Đại
học có liên quan đến các hàm số lượng giác, mũ, logarit thì đều cảm thấy lúng
túng và không định hướng được phương pháp giải.
Giới hạn về hàm số có thể nói là một vấn đề khó, học sinh thường cảm thấy
trừu tượng, mơ hồ bởi phần lý thuyết quá dài và mang nhiều khái niệm, định
nghĩa, định lý, hệ quả.
Tôi nghĩ việc phân loại các dạng bài tập và hướng dẫn học sinh khối 11 vận
dụng tốt các định lý, hệ quả, chỉ ra được các sai lầm mà học sinh mắc phải là
việc làm cần thiết, nó sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp và không còn
cảm thấy khó khăn khi khai thác một bài toán về giới hạn.
Xuất phát từ thực trạng trên cùng với một số kinh nghiệm nhỏ sau nhiều
năm công tác, tôi mạnh dạn nêu ra sáng kiến về “Một số sai lầm thường gặp
trong các bài toán về giới hạn, giúp học sinh đưa ra cách giải chính xác và
hiệu quả hơn” với mong muốn các em học sinh THPT có thêm tự tin khi giải
bài tập về giới hạn hàm số.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh nắm vững lí thuyết và xây dựng các cách giải bài tập liên
quan đến giới hạn hàm số.
- Rèn luyện kĩ năng nhận dạng, phân tích, xử lý, trả lời các bài tập trắc
nghiệm, tự luận phần giới hạn hàm số
- Giúp cho học sinh hiểu rõ, nắm vững và phân loại từng dạng bài tập, biết
được một số sai lầm cần tránh, từ đó đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn
trong các kỳ thi Đại học và cao đẳng.

- Giúp đồng nghiệp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán học THPT,
đặc biệt phần tìm giới hạn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Kiến thức:
+ Lý thuyết phần giới hạn
+ đặc biệt là kĩ năng vận dụng dạng giới hạn.
- Học sinh: lớp 11A3, 11A5 của trường THPT Đông Sơn 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu

1


- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu lí thuyết
trong các sách tham khảo cũng như các tài liệu trên mạng từ đó phân tích và
tổng hợp kiến thức rồi phân loại và hệ thống hoá kiến thức.
- Phương pháp điều tra: Khảo sát học sinh lớp 11 để nắm được khả năng
tư duy và lĩnh hội kiến thức của học sinh cũng như kĩ năng giải bài tập có liên
quan đến giới hạn hàm số
- Phương pháp thực nghiệm khoa học: Chủ động tác động lên học sinh để
hướng sự phát triển theo mục tiêu dự kiến của mình.
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm: Nghiên cứu và xem xét lại
những thành quả thực tiễn trong quá khứ để rút ra kết luận bổ ích cho thực tiễn.
- Phương pháp thống kê và xử lí số liệu: Sử dụng xác suất thống kê để xử
lí số liệu thu thập được.
2. NỘI DUNG
2.1. cơ sở lí luận
Chương trình toán học THPT đã cung cấp cho học sinh tương đối đầy đủ
những kiến thức căn bản về giới hạn. Tuy nhiên phần thời gian luyện tập giới
hạn theo phân phối chương trình còn quá ít so với lượng kiến thức bài học, do
đó học sinh không có điều kiện luyện tập nhiều trong khi giới hạn lại là một kiến

thức hoàn toàn mới và chứa đựng nhiều dạng bài tập. Học sinh trung bình, yếu,
kém thì hoang mang khi gặp các bài toán giới hạn dù là cơ bản, học sinh khá
giỏi thì lo lắng khi gặp các bài nâng cao hay các bài chứa nhiều hàm số loga,
mũ, …, tâm lý đó dẫn tới các em bế tắc hoặc mắc sai lầm khi giải toán.
Qua quá trình giảng dạy và tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhiều năm kinh
nghiệm tôi nhận thấy học sinh lúng túng do chưa phân loại được các dạng bài
ẫn đến áp dụng sai phương pháp hoặc có những dạng không định hướng
được phương pháp giải.
Một khó khăn nữa mà tôi gặp phải trong quá trình dạy là việc phân hóa
theo từng đối tượng học sinh. Ở lớp tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh khá
giỏi có, học sinh trung bình, yếu có nên các giáo án, ví dụ, bài tập của tôi cũng
phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh. Trước tiên là ưu tiên các em
diện trung bình, yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất
hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa với vai trò là môn học nòng cốt, môn toán
được trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết tự chọn (ở một số tuần ) với nội dung tự
chọn bám sát chương trình nên tôi có cơ hội thực hiện đề tài này.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Thực tiễn dạy học ở trường THPT cho thấy chất lượng dạy học phần giới
hạn chưa cao, học sinh nắm kiến thức một cách hình thức, lẫn lộn giữa đẳng
thức định nghĩa với định lý. Bên cạnh những học sinh hiếu học, ham hiểu biết
cái mới, thích tự mình tìm tòi, khám phá, sáng tạo thì còn có một bộ phận không
nhỏ học sinh lại học yếu, lười suy nghĩ nên đòi hỏi người giáo viên phải có tâm
2


huyết, có năng lực thực sự, đa dạng trong phương pháp, biết tổ chức, thiết kế và
trân trọng qua từng tiết dạy.
Muốn giờ học có hiệu quả thì đòi hỏi người giáo viên phải đổi mới phương
pháp dạy học, tức là vận dụng kiểu dạy học : “Lấy học sinh làm trung tâm”,
hướng tập trung vào học sinh trên cơ sở hoạt động của các em.

Giáo viên phải biết thiết kế bài giảng sao cho hợp lý, gọn nhẹ, sắp xếp lại
bố cục bài dạy, định hướng phương pháp, tăng cường các ví dụ và bài tập từ đơn
giản đến nâng cao theo dạng chuyên đề phù hợp với từng đối tượng học sinh.
Việc phân loại các dạng bài tập cùng với phương pháp giải là vô cùng cần thiết,
nó sẽ giúp học sinh nắm vững phương pháp giải các bài tập cơ bản, trên cơ sở đó
học sinh sẽ biết cách khai thác các bài tập ở mức độ cao hơn.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi thực hiện
một số giải pháp sau :
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức mà học sinh thiếu hụt
+ Phân tích kỹ các khái niệm, định nghĩa, định lý để học sinh nắm được
bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lý đó.
+ Đưa ra các ví dụ và so sánh giữa các khái niệm, định nghĩa, định lý để
học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng.
+ Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
- Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp
- Đổi mới phương pháp dạy học
+ Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế, tạo hứng
thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
+ Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho bài giảng sinh
động hơn, bớt khô khan và học sinh không thấy nhàm chán. (Ví dụ như sử dụng
bảng phụ, phiếu học tập, hoặc giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu …)
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải
Hệ thống lại kiến thức cơ bản, phân dạng bài tập và xây dựng phương
pháp giải (có thể gợi ý để học sinh phát hiện được phương pháp giải ). Sau mỗi
lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài
toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm
Định nghĩa 1

+ Giả sử (a ; b) là một khoảng chứa điểm x0 và f là một hàm số xác định
trên tập hợp (a ; b) \  x0  . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x
dần tới x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với mọi dãy số ( x n ) trong tập hợp (a ; b) \  x0 
(Tức là x n  (a ; b) và x n  x0 với mọi n ) mà limxn = x0 , ta đều có lim f ( xn ) = L.
f ( x)  L hoặc f ( x )  L khi x  x0
Khi đó ta viết : xlim
x
0

3


2. Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực
Định nghĩa 2
+ Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a ;  ) . Ta nói rằng hàm số f có
giới hạn là số thực L khi x dần tới +  nếu với mọi dãy số ( x n ) trong khoảng
(a ;  ) (tức là x n  a với mọi n) mà lim x n  ta đều có : lim f ( x n )  L
f ( x)  L hoặc f ( x)  L khi x  
Khi đó ta viết xlim
 
f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  L ,
+ Các giới hạn xlim
 
x  
x  
lim f ( x)  và lim f ( x)  được định nghĩa tương tự.
x  

x  

3. Một số định lý về giới hạn hàm số
f ( x )  L và lim g ( x) M ( L , M  R) . Khi đó:
a/ Định lý 1Giả sử xlim
x
x x
0

0

 f ( x)  g ( x)  L  M ; xlim
 f ( x )  g ( x )  L  M
+ xlim
x
x
0

0

 f ( x).g ( x)  L.M ; Nếu M 0 thì lim f ( x)  L
+ xlim
x
x  x g ( x)
M
0

0

 c. f ( x) cL ;
Đặc biệt nếu c là một hằng số thì xlim
x

b/ Định lý 2
f ( x)  L . Khi đó:
Giả sử xlim
x
0

0

f ( x)  L ; lim 3 f ( x) 3 L ;
+ xlim
x
x x
0

0

+ Nếu f ( x) 0 với mọi x  J \  x0  , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0
f ( x)  L
, thì L 0 và xlim
 x0
c/ Định lý kẹp về giới hạn của hàm số
Giả sử J là một khoảng nào đó chứa x0 và f , g , h là ba hàm số xác định
trên tập hợp J \  x0  . Nếu f ( x)  g ( x) h( x) , x  J \  x0  và :
lim f ( x)  lim h( x )  L thì

x  x0

x  x0

lim g ( x)  L

x  x0

Chú ý : Nếu hàm số có giới hạn L thì giới hạn đó là duy nhất
4. Giới hạn một bên
a/ Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 1
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( x0 ; b ) ( x0  R ). Ta nói rằng hàm số
f có giới hạn bên phải là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với
mọi dãy số ( x n ) trong khoảng ( x0 ; b ) mà lim x n  x0 , ta đều có lim f ( x)  L . Khi
f ( x)  L hoặc f ( x)  L khi x  x 
đó ta viết : xlim
0
x
Định nghĩa 2
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng ( a ; x0 ) ( x0  R ). Ta nói rằng hàm số
f có giới hạn bên trái là số thực L khi x dần đến x0 (hoặc tại điểm x0 ) nếu với
mọi dãy số ( x n ) trong khoảng ( a ; x0 ) mà lim x n  x0 , ta đều có lim f ( x)  L . Khi
f ( x)  L hoặc f ( x)  L khi x  x 
đó ta viết : xlim
0
x
0

0





4


Nhận xét :
f ( x)  L thì hàm số có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại
+ Nếu xlim
x
0

f ( x)  lim f ( x)  L
điểm x0 và xlim
x
x x
0



0



f ( x)  lim f ( x)  L thì hàm số có giới hạn tại điểm
+ Ngược lại : Nếu xlim
x
x x
0



0



f ( x)  L . (Nhận xét này vẫn đúng đối với giới hạn vô cực )
x0 Và xlim
 x0

b/ Giới hạn vô cực
f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)  ,
Các định nghĩa: xlim
x
x x
x x
0



0



0



lim f ( x )  được phát biểu tương tự như định nghĩa 1 và định nghĩa 2.

x  x0 

5/ Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

1
f ( x)  thì lim
0
a/ Định lý 1: Nếu xlim
x
x x f ( x)
0

0

f ( x ) ; lim g ( x)  L 0 thì lim  f ( x) g ( x) có dấu sau
Quy tắc 1: Nếu xlim
x
x x
x x
lim f ( x)
lim  f ( x) g ( x)
Dấu của L
x x
x x
0

0

0

0

0

+
+
-
-

+
-
-
+

+
+
-

f ( x )  L 0 , lim g ( x) 0 và g ( x)  0 hoặc g ( x)  0 với mọi
Quy tắc 2: Nếu xlim
x
x x
0

0

x  J \  x 0  , trong đó J là một khoảng nào đó chứa x0 thì lim
x x

0

bảng sau :
Dấu của L

Dấu của g (x)

f ( x)
được cho bởi
g ( x)

lim

x x0

+
+
-

+
+
-

f ( x)
g ( x)

+
-
-
+

B. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số, ta không xét tính chất của
f ( x)

lim
hàm số mà nhận dạng các giới hạn dạng x
bằng cách lấy x  x0 thế vào
x g ( x)
0

f ( x ) ; g ( x) . Nếu gặp các dạng

0 
; ; 0. ;    (gọi là dạng vô định) thì ta cần
0 

thực hiện một vài phép biến đổi để có thể sử dụng được các định lý và quy tắc
đã biết. Làm như vậy gọi là khử dạng vô định.
Ta thường gặp 3 trường hợp tìm giới hạn cơ bản sau :
Loại 1 : Giới hạn vô cực của hàm số
Loại 2 : Giới hạn của hàm số tại một điểm
5


Loại 3 : Giới hạn một bên của hàm số
Trong mỗi loại trên lại có các dạng khác nhau và được xét như sau :
I. Giới hạn vô cực của hàm số
1. Dạng 1 : Dạng




Phương pháp giải
Cách 1 : Chia cả tử và mẫu cho xk với k là lũy thừa cao nhất của tử, mẫu số

Cách 2 : Đặt x chứa lũy thừa cao nhất của tử , mẫu ra ngoài làm nhân tử.
Ví dụ 1 : Tính các giới hạn sau :
x3  5
a. xlim
  x 3  3 x  2

2 x 3  5x 2  1
c. xlim
 
x2  x 1

x2  x
b. lim
x   1  2 x

Bài làm
x3  5
5
1 3
3
3
x 5
x
lim 3 x
lim
1
a. * Lời giải có sai lầm : lim
=
3
x



x


3
2
x  x  3x  2
x  3x  2
1 2  3
x
x
x3
x


* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm : Học sinh dùng ký hiệu
là sai, giáo

viên khi dạy nên chú ý để hướng dẫn học sinh viết đúng ký hiệu .
x3  5
5
1 3
3
3
x 5
x
lim 3 x
 lim
1

* Lời giải đúng : Cách 1 : xlim
=
3
x


x


3
2
  x  3 x  2
x  3x  2
1 2  3
x
x
x3
5
x 3 (1  3 )
3
x 5
x
lim
1
Cách 2: xlim
=
3
x



3
2
  x  3 x  2
3
x (1  2  3 )
x
x
2
1
x  x
1
2
2
1
1
x  x
x
x


b. * Lời giải có sai lầm : lim
= lim
 xlim
  1
x   1  2 x
x  
1
 2
2
 2

 2
x
x

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm
Khi chia cả tử số và mẫu số cho x   , học sinh không chú ý đến dấu của biểu
thức chứa căn sau khi chia cho x<0. Vì vậy khi dạy, giáo viên phải lưu ý kỹ :
1/ Nếu x   thì coi như x > 0 và x  x 2 ; x  x ; x 3 x 3
2/ Nếu x   thì coi như x < 0 và x  x 2 ; x  x ; x 3 x 3
* Lời giải đúng :
Cách 1 : lim
x  

2

x  x
= lim
x  
1  2x



x2  x
x2

1
 2
x

 1

lim

x  

1
x

1
 2
x



1 1

 2 2

6


1
1
1
)
x 1
 x 1
x  x
x  lim
x  lim
x   1 1

Cách 2: lim
= xlim
 
x  
x  
x   1  2 x
1
1
1
 2 2
x (  2)
x(  2)
x(  2)
x
x
x
5 1
2  3
2 x 3  5x 2  1
x x
Cách 1 : xlim
= xlim
2
  1
1
1
 
x  x 1
 2  3
x x

x
5 1
1 1
1
1 1
1
(2   3 ) 2  0 ; lim (  2  3 ) 0 và
 2  3  0, x  0
Do xlim
 
x


x x
x x
x x
x
x
3
2
2 x  5x  1
Nên theo quy tắc 2 ta có : xlim
=- 
 
x2  x 1
x 2 (1 

2

Đây là cách giải trong sách giáo khoa nhưng nhiều học sinh cảm thấy rất khó

hiểu và lúng túng khi xét dấu của

1 1
1
 2  3 khi x   nên tôi nghĩ nên hướng
x x
x

dẫn cho học sinh ở các loại bài như thế này theo cách 2 thì dễ hiểu hơn :
5 1
5 1
 3)
x.(2   3 )
2 x  5x  1
x x
x x
Cách 2: xlim
= xlim
= xlim
2
 


1
1
1
1
 
x  x 1
x 2 (1   2 )

(1   2 )
x x
x x
5 1
1
1
x 
(2   3 ) 2  0 ; lim (1 
 2 ) 1  0 ; xlim
Do xlim
 
 
x  
x x
x
x
2 x 3  5x 2  1
Nên theo quy tắc 1và 2 ta có : xlim
=- 
 
x2  x 1
2.Dạng 2 : Dạng 0. 
Phương pháp giải : Chủ yếu là biến đổi lim f ( x).g ( x)  0. về dạng :
3

2

x 3 (2 

x  

lim

x  

f ( x)


và sử dụng phương pháp dạng 1 để giải .
h( x )


Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :
(1  2 x).
a. xlim
 

4x  5
x3  4

( x  1)
b. xlim
 

2x 1
x  x 1
3

Bài làm
a. * Lời giải có sai lầm

2

lim (1  2 x).

x  

(1  2 x) .( 4 x  5)
4x  5
 lim
= xlim
3
 
x  
x3  4
x 4

1
5
x 2 (  2) 2 x.(4  )
x
x 4
4
3
x (1  3 )
x

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm
Học sinh sử dụng một cách máy móc là chỉ nhìn vào cận x   và cho rằng
(1-2x) = (1  2 x) 2 dẫn đến lời giải sai. Vì vậy ta nên lưu ý : x    1  2 x  0
nên 1-2x = - (1  2 x) 2 .Từ đó giáo viên nên tổng quát :

Khi x   hoặc x   mà p(x)   thì p( x)  ( p( x)) 2 ; p( x)  p( x)
7


Khi x   hoặc x   mà p(x)   thì p( x)  ( p( x)) 2 ; p( x)  p( x)
* Lời giải đúng :
lim (1  2 x).

x  

( x  1)
b. xlim
 

2

(1  2 x) .(4 x  5)
 lim 
x  
x3  4

4x  5

= xlim
 
x3  4

2 x  1  xlim
 
x3  x 1

( x  1) 2 (2 x  1)
 lim
x  
x3  x 1

1
5
x 2 (  2) 2 x.(4  )
x
x  4
4
x 3 (1  3 )
x
1
1
x 2 (1  ).x.(2  )
x
x
1
1
x 3 (1  2  3 ) = 2
x
x

3.Dạng 3 : Dạng (    )
Phương pháp giải
( f ( x )  g ( x ) ) về dạng
Cách 1: Nhân và chia lượng liên hợp để đưa xlim
 

lim

f ( x )  g ( x)

f ( x)  g ( x)

( f ( x )  g ( x) ) về dạng xlim
Hoặc đưa xlim
 
 
f ( x )  g ( x)
f ( x )  g ( x)
Cách 2: Nếu hệ số của f(x và g(x) khác nhau thì có thể đặt x chứa mũ cao nhất
của f(x) ; g(x) ra ngoài làm nhân tử .
Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau :
( x 2  1  x  1)
( x 2  2 x  3  2 x)
a. xlim
b. xlim
 
 
x  

Bài làm
( x 2  1  x  1) = xlim
a. xlim
 
 
lim

= x 

x 2  1  ( x  1) 2
x 2  1  ( x  1)
2
 1

1
1
 1
2
x
x



2
x

( x 2  2 x  3  2 x) = lim  x 1  
b. xlim
 
x  


2
x

x( 1  
= xlim

 

2x

= xlim
 


2

x  1  ( x  1)

2
 1
 2


3
 2 x  (Do x    x  x )
2
x


3
 2)  lim  x 
x  
x2

II. Loại 2 : Giới hạn của hàm số tại một điểm
lim f ( x ) = f ( x 0 )

1. Dạng 1 : x
x
Phương pháp giải
lim f ( x ) = f ( x 0 )
Thay x0 trực tiếp vào biểu thức f (x) và kết luận: x
x
Ví dụ 4 : Tính các giới hạn sau :
0

0

( x 2  5  1)
a. xlim
2

b. xlim
1

4 x 2  5x  1
x 2  2x  3

Bài làm
* Lời giải có sai lầm :
8


2

(
( x 2  5  1) = xlim

a. xlim
2
2

x 5 1
2

x  5 1

)  lim

x  2

x 4
x2  5 1

4
x2

1
5
1


x2 x4 x2
1

2

 lim

x  2

(4 x  1)( x  1)
4 x 2  5x  1
lim
…  Đi tìm cách rút gọn không
b. xlim
=
x   1 ( x  1)( x  3)
  1 x 2  2x  3

được.
* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:
Do không kiểm tra trước dạng giới hạn nên học sinh sử dụng nhầm phương
pháp giải của dạng (    ) hoặc

0
dẫn đến việc giải sai hoặc không giải được.
0

Vì vậy giáo viên cần lưu ý học sinh khi giải một bài toán tính giới hạn thì bước
đầu tiên là phải thay cận để phát hiện xem giới hạn đó thuộc dạng nào rồi mới
áp dụng phương pháp giải. (Đặc biệt, chỉ có dạng


thì mới có thể áp dụng


phương pháp chia cho x chứa số mũ cao nhất )

* Lời giải đúng : Đây không phải là một trong bốn dạng vô định nên chỉ cần
thế cận vào là có luôn đáp số.
( x 2  5  1) = 4  5  1 3  1 2
a. xlim
2
4  5 1
4 x 2  5x  1
0
=
2
1 2  3
x  2x  3
f ( x)
0

Dạng 2 : xlim
 x0 g ( x )
0

b. xlim
1

Phương pháp giải
lim

x x0

f ( x)
0
có

dạng
. Khi đó ta xét các khả năng sau :
g ( x)
0

Khả năng 1:
Nếu f (x) và g (x) là các hàm đa thức thì tử số và mẫu số luôn có nghiệm
x  x 0 nên ta đi phân tích để tử và mẫu số có thể rút gọn được
các lượng chung mục đích làm mất dạng

0
.
0

Chú ý: + Nếu f(x) = ax2 + bx +c có 2 nghiệm x1, x2 thì được phân tích :
f(x )= ax2 + bx +c = a(x-x1)(x-x2)
+ Nếu f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có nghiệm x0 thì thực hiện phép chia
f(x) cho x–x0 và đưa về dạng : f(x) = ax3 + bx2 + cx + d = (x- x0). g(x)
+ Nhắc lại các hằng đẳng thức : A2- B2 ; A3 – B3 ; A3+ B3.
Ví dụ 5 : Tính các giới hạn sau :
a. lim
x 2

x3  8
x2  4

b. lim
x 1

2 x 2  3x  1

x3  x2  x  3

Bài làm
( x  2)( x 2  2 x  4)
x 2  2 x  4 12
x3  8
lim
 3
a. lim
= lim
x 2
x 2
x 2 x 2  4
( x  2)( x  2)
x2
4

9


( x  1)( 2 x  1)
2x  1
1
2 x 2  3x  1
lim
lim 2

b. lim
=
2

x  1 ( x  1)( x  2 x  3)
x 1 x  2 x  3
6
x 1 x 3  x 2  x  3

Khả năng 2
Nếu f (x) và g (x) là các biểu thức chứa căn thì ta nhân tử số và mẫu số
cho các biểu thức liên hợp.
Chú ý : Các biểu thức liên hợp thường gặp :
+ a 1 
+
+

3

+

3

a 1

a 1

a  1

;

a1
a b
a b

;
a b
a 1
a 1 
;
3
a 2  3 a 1
a b
a 3 b 
;
2
3
a  3 ab  3 b 2

a 1
a b
a b
a b
a 1
3
a  1
3
a 2  3 a 1
a b
3
a 3b
2
3
a  3 ab  3 b 2

Ví dụ 6: Tính các giới hạn sau :
a. lim
x 2

x

x2

b. lim
x 0

4x 1  3

3

x  1  3 x 1
2x 1 

c. lim
x 0

x 1

6

5x  1  1
x

Bài làm
a. lim

x 2

x

4x 1  3

= lim
x 2
b. lim
x 0

x2

3

= lim
x 2

( x 2  x  2)( 4 x  1  3)
( x  x  2 )(4 x  1  9)

( x  1)( 4 x  1  3)
4( x  x  2 )
x  1  3 x 1
2x 1 

x 1

( x  1)( x  2)( 4 x  1  3)
( x  x  2 ).4( x  2)

18 9
 
16 8

= lim
x 0
= lim
x 0

= lim
x 2

( x  1  x  1)( 2 x  1  x  1)
(3 ( x  1) 2 

3

( x  1)( x  1)  3 ( x  1) 2 )( 2 x  1  x  1)

2 x ( 2 x  1  x  1)
x(3 ( x  1) 2 

= lim
x 0 3

3

( x  1)( x  1)  3 ( x  1) 2 )

2( 2 x  1  x  1)
( x  1) 2 

3

( x  1)( x  1)  3 ( x  1) 2



4
3

Đối với loại bài tập chứa căn bậc cao như ở ý c (hoặc có thể bậc cao hơn
nữa), nếu nhân liên hợp thì sẽ rất phức tạp và học sinh sẽ khó tiếp thu nên
tôi nghĩ nên hướng dẫn cho các em cách đặt ẩn phụ, khi đó thay bằng phải
nhân liên hợp thì ta chỉ cần thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức (có
thể sử dụng sơ đồ hoocne)
t6  1
. Khi x  0 thì t  1 nên ta có :
5
t1
6
lim 6
5
1
5x  1  1
t  1 t  1 = 5. lim
lim
=
=

5
4
3
2
t1 t  t  t  t  t 1
x 0
6
x
5

c. Đặt t = 6 5 x  1  x 

Khả năng 3
10


Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức chứa nhiều loại căn khác nhau thì ta chưa
thể dùng liên hợp như ở ví dụ 7 được mà phải thêm, bớt, tách thành nhiều giới
hạn rồi mới sử dụng các biểu thức liên hợp.
Ví dụ 7 : Tính các giới hạn sau :
a. lim
x 0

2 x 1 
x

3

8 x

1  4 x .3 1  6 x  1
x

b. lim
x 0

c. lim
x 0

1  4x  3 1  6x
x2

Giáo viên nên gợi ý (nếu cần) để giúp học sinh tự tìm ra được lượng
thêm bớt. Ví dụ như ở ý a. thì thêm bớt với 2; ý b thêm bớt với 3 (1  6 x) hoặc
1  4 x , song với ý c vì mẫu số chứa x2 nên phải thêm bớt với (1+2x) thì mới
có thể phân tích để khử được dạng vô định
Bài làm
2 x 1  2
2 3 8 x
 lim
x 0
x
x
2( x  1  1)
8  (8  x)
 lim
= lim
x  0 x ( x  1  1)
x 0
3

x(4  2 8  x  3 (8  x) 2 )
2
1
1 13
 lim
1  
= lim
x 0
12 12
x  1  1 x  0 4  23 8  x  3 (8  x) 2

a. lim
x 0

b. lim
x 0

2 x 1 
x

3

8 x

= lim
x 0

1  4 x .3 1  6 x  1
x

3
1  6 x ( 1  4 x  1)
1  6x  1
 lim
x 0
x
x
3
1  6 x (1  4 x  1)
1  6x  1
 lim
= lim
x 0
x 0
x( 1  4 x  1)
x(3 (1  6 x ) 2  3 1  6 x  1)

= lim
x 0

= lim
x 0

3

4.3 1  6 x
1  4x 1

 lim

x 0 3

6
2

(1  6 x )  3 1  6 x  1

=

1  4x  3 1  6x
1  4 x  (1  2 x )
(1  2 x )  3 1  6 x
=
lim

lim
x 0
x 0
x2
x2
x2
(1  4 x)  (1  2 x) 2
(1  2 x) 3  (1  6 x)
lim

lim
= x 0 2
x ( 1  4 x  1  2 x) x  0 x 2 (1  2 x) 2  (1  2 x)3 1  6 x  3 (1  6 x) 2
 4
12  8 x

 lim
2
= lim
x 0
1  4 x  1  2 x x  0 (1  2 x) 2  (1  2 x)3 1  6 x  3 (1  6 x) 2

4 6
 4
2 3

c. lim
x 0





Khả năng 4
Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức chứa các hàm số lượng giác thì ta phải
dùng các phép biến đổi lượng giác, có thể thêm bớt hoặc sử dụng các biểu thức
liên hợp nhằm mục đích sử dụng được định lý :
lim
x 0

sin x
tan x
1 ; lim
1 (Trong Bài “Đạo hàm của các hàm số lượng giác” )
x


0
x
x

Từ đó giáo viên có thể tổng quát cho học sinh:
p ( x) 0  lim
Nếu lim
x a
x a

sin( p( x))
tan( p ( x))
1, lim
1
x

a
p ( x)
p( x)

Ví dụ 8 : Tính các giới hạn sau :
11


a.

lim

x
2

sin 2 x

 x
2

( x  1) sin
b. lim
x 1

1
x 1

(1  x) tan
c. lim
x 1

Đối với dạng bài này ta chưa nên biến đổi làm xuất hiện dạng

x
2

sin x
hoặc
x

tan x
vì biến x không dần về 0. Lúc này (x-a)  0 nên ta phải biến đổi để xuất
x
sin( x  a)

tan( x  a )
1 ; lim
1 hoặc có thể đặt
hiện các giới hạn dạng lim
x a
x a
x a
x a

x - a = t rồi chuyển về giới hạn theo t.
Bài làm :
a. Cách 1:


sin 2 x
sin(  2 x )
2 sin(  x ) cos(  x)

lim
2
2
 

lim
 lim 2 cos(  x) 2

=
=
x
x




 x
 x
2
2
2
x
x
 x
2
2
2
2
2


Cách 2: Đặt t =  x . Khi x  thì t  0 nên ta có
2
2
sin 2 x
sin(  2t )
sin 2t
lim
 
lim
lim
.2  2
=

x
t 0
 x t 0
2
t
2t
2
1
sin
1
x  1 1
lim
( x  1) sin
b. * Lời giải có sai lầm : lim
=
x

1
x 1
1
x 1
x 1
lim

* Nguyên nhân dẫn đến sai lầm
Học sinh không để ý cận mà cứ thấy xuất hiện dạng

sin t
là cho bằng 1.
t

1
  dẫn đến việc áp dụng được định lý trên là
x 1
sai. Vì vậy nên nhấn mạnh: nếu t  0 thì mới được áp dụng định lý
sin t
tan t
lim
1 và lim
1
t 0
t 0
t
t

Trong bài này do x  1 nên

* Lời giải đúng
Ta phải sử dụng phương pháp đánh giá :
1
x  1 0  lim( x  1) sin 1 =0
 x  1 , x 1 . Mà lim
x 1
x 1
x 1
x 1

1 x
(1  x)
1 x

2 2
x
lim
2
x 1
lim
. 
(1  x) tan
x lim
c. lim
=
x 1
x 1
x 1


cot
 
2
tan( (1  x))
tan( (1  x))
2
2
2

Do ( x  1) sin

(Chú ý : Yêu cầu học sinh làm câu 3 theo cách hai tương tự câu 1)

12

Khi học sinh tiếp cận chương trình lớp 12, các em được làm quen với
hàm số mũ, logarit thì cũng là lúc các em gặp phải một số bài tập giới hạn có
chứa hàm số mũ hoặc logarit trong các đề thi vào các trường Đại học, Cao
đẳng. Các em thường tỏ ra lúng túng, không định hướng được phương pháp
giải và trong suy nghĩ sẽ bỏ lại câu này trong các đề thi. Mặt khác, câu này có
thể nói không phải là loại câu khó nhất trong đề và các em có thể lấy được
điểm của nó nếu nắm chắc được phương pháp giải. Vì vậy trong sáng kiến
này tôi xin đề cập đến một số bài giới hạn có đặc điểm trên cùng với phương
pháp giải của nó.
Ví dụ 9 : Tính các giới hạn sau :
2

e  3x  3 1  x 2
a. lim
x 0
ln(1  x 2 )

b. lim
x 0

ln(cos 4 x)
x3  x 2

Các loại bài này thường nằm trong dạng

c. lim
x 0

7 x  5x
x 2  2x

0
, ta phải sử dụng 2 định lý
0

ln(1  x)
ex  1
1 (Trong bài : “Hàm số mũ và logarit”)
1 và lim
x

0
x 0
x
x
e p( x)  1
ln(1  p( x))
lim
p
(
x
)

0

lim
1, lim
1

Và có thể tổng quát : Nếu x a
x a
x a
p ( x)
p( x)
lim

Phương pháp giải
+ Sử dụng phương pháp phân tích, thêm bớt, hoặc cùng nhân hay chia với
một lượng nào đó phù hợp trong từng bài với mục đích vận dụng được 2 định lý
vừa nêu.
+Nếu xuất hiện hàm số ax thì biến đổi theo công thức đã học : a x e ln a .
Bài làm
x

2
2

e  3x  1
1 3 1 x2 
x2
e  3x  3 1  x 2
lim

lim
.
lim

a. lim
=  x 0

2
x 0
x 0
x2
x2
ln(1  x 2 )

 x  0 ln(1  x )
2


e  3x  1
1 1 x2
x2
10


lim
.(

3
)

lim
.
lim

= x 0
=
2

2
x 0 2
 3x
3

x (1  3 1  x 2  3 (1  x 2 ) 2  x 0 ln(1  x )
ln(cos 4 x)
b. lim
x 0 x 3  x 2
ln(1  2 sin 2 2 x)  2 sin 2 2 x
ln(1  2 sin 2 2 x) sin 2 2 x  8
.

lim
.
.
 8
= lim
x 0
x 0
 2 sin 2 2 x
x 2 ( x  1)
 2 sin 2 2 x
(2 x ) 2 ( x  1)
x

x

e ln 7  e ln 5
e x ln 7  1

1  e x ln 5
7 x  5x
lim

lim

lim
c. lim
=
x 0
x  0 x ( x  2)
x  0 x ( x  2)
x 0 x 2  2 x
x ( x  2)
e x ln 7  1 ln 7
e x ln 5  1 ln 5
1
1
1 5
.
 lim
.
 ln 7  ln 5  ln
= lim
x  0 x ln 7
x  2 x  0 x ln 5 x  2
2
2
2 7

Ví dụ 10 : Tính các giới hạn sau :

13


a. lim
x 0

1  cos x
2 tan 2 x

b. lim
x 0

3

2


cos( cos x)
2
c. lim
x 0
x
sin 2
2

2

3x  1  2 x  1

1  cos x
2

Bài làm :

x

 sin  1
2 .

x
x
1  cos x

 4
2 sin 2
lim


=
1
x  0 2 tan 2 x
2 lim  2 
lim

2
2
x  0 2 tan x
x 0
4

 tan x 


 x 

a.

Giáo viên nên nhấn mạnh đối với loại bài tập chứa các hàm số lượng
giác, học sinh cần phải xác định được những biểu thức nào làm xuất hiện
dạng

0
và phải biến đổi trực tiếp các biểu thức đó để khử dạng vô định (các
0

biểu thức khác có thể giữ nguyên) thì bài toán sẽ trở thành đơn giản.
b. lim
x 0

3

3x 2  1  2 x 2  1
1  cos x
3x 2  1  1

= lim
x 0

3

3x 2  1  1
2x 2 1  1
 lim
x 0
1  cos x
1  cos x

2x 2 1  1
= x 0
+ x 0
x
x
2 sin 2 (3 (3x 2  1) 2  3 3 x 2  1  1)
2 sin 2 ( 2 x 2  1  1)
2
2
x 2
x
3.( ) .4
4.( ) 2
2
2
 lim
= lim
x 0
x

0
x
x

2 sin 2 (3 (3x 2  1) 2  3 3 x 2  1  1)
sin 2 ( 2 x 2  1  1)
2
2
6
4
 lim
2  2 4
= lim
x 0 3
( (3 x 2  1) 2  3 3 x 2  1  1) x  0 ( 2 x 2  1  1)
lim

lim




x
sin  (1  cos x)
cos( cos x)
sin( sin 2 )
2
2
 lim
2 . = 
c. lim
lim 
x 0
x

x

0
x

0
x
x
sin 2
sin 2
 sin 2
2
2
2

III. Loại 3 : Giới hạn một bên của hàm số
f ( x)

L

 ( với L 0 )
Bài tập giới hạn một bên chủ yếu rơi vào dạng xlim
 a g ( x)
0


và dạng

0
; 0. 

0

Phương pháp giải :
f ( x)

L

 : Cần xét dấu của L , dấu của biểu thức g(x) khi
* Đối với dạng xlim
 a g ( x)
0


x  a hay x  a rồi sử dụng quy tắc 1, 2 để xét dấu .


* Đối với dạng

0
; 0.  thì cần chú ý đến dấu của (x-a) khi gặp một số bài có
0
14


chứa căn, chứa giá trị tuyệt đối và sử dụng phương pháp giải của hai loại này để
khử dạng vô định.
* Giáo viên nên nhấn mạnh nhận xét sau :
f ( x)  L thì hàm số có giới hạn bên phải và giới hạn bên trái tại
+ Nếu xlim
x

0

f ( x)  lim f ( x)  L
điểm x0 và xlim
x
x x
0



0



f ( x)  lim f ( x)  L thì hàm số có giới hạn tại điểm
+ Ngược lại : Nếu xlim
x
x x
0



0



f ( x)  L . (Nhận xét này vẫn đúng đối với giới hạn vô cực )
x0 Và xlim
 x0

Ví dụ 11: Tính các giới hạn sau :
a. xlim
1


3x  4
x 1

b. lim ( x  2)
x 2



x
x  4
2

c. lim
x 2

x 2
x 2

Bài làm
Đối với dạng này nhiều học sinh chỉ viết đáp số là  , như vậy là sai nên
khi dạy, giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh hiểu rõ là phải dùng dấu của
các biểu thức để xác định rõ đáp số là +  hoặc - 
lim (3x  4) 3  4  1



3x  4

a. Ta có :
  xlim

1
lim ( x  1) 0 ; x  1  0, x  1
x 1
x 1

b. Do x  2 nên x  2  0  x  2  ( x  2) 2 . Vì vậy ta có :
x  1

lim ( x  2)

x 2

x
 lim
2
x  4 x 2 

x ( x  2) 2
 lim
x 2
x2  4

x( x  2)
x2

0

c. Đối với bài này do (x- 2) chưa xác định được dấu để phá giá trị tuyệt đối nên
giáo viên cần phân tích kỹ để học sinh thấy được việc cần thiết phải xét giới hạn
một bên.
x 2

x
x 2
x
x 2
2
Với mọi x  2, ta có x  2 2  x nên lim
 lim
x 2 x  2
x 2 x 
x 2
x 2
x 2
 không tồn tại lim
 lim
Do lim
x 2 x  2
x 2 x  2
x  2 x  2
 x 2  2 x  3 khi x  1
Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x) 
khi x   1
 3  3x
Tính lim  f ( x) , lim  f ( x) và lim f ( x) (nếu có)

Với mọi x  2, ta có x  2  x  2 nên lim

x  2

x  (  1)

x  (  1)

 lim
x 2

2
1
2
x
 1
2

x  1

Bài làm
f ( x) = lim ( x 2  2 x  3) = 1+2+3 = 6
Ta có : xlim
(  1)
x  (  1)




lim f ( x ) = lim  (3  3x ) = 3 + 3 = 6
x  (  1)

x  (  1) 

f ( x) = lim f ( x ) = 6  lim f ( x) = 6
Do xlim
(  1)
x  (  1)
x  1
Ngoài ra, có một số giới hạn chứa các hàm số lượng giác mà ta cần phải
dùng phương pháp đánh giá.




15


Ví dụ 13: Tính các giới hạn sau
1

x. sin 

a. lim
x 0

(cos x  1  cos x )
b. xlim
 

x



Bài làm
1
1
x 0  lim x. sin  = 0
 x , x . Do lim
x 0
x

0
x
x

(cos x  1  cos x ) = lim  2 sin( x  1  x ) sin( x  1  x )
b. xlim
 
x  
2
2
x 1  x
1
 2 sin(
) sin(
)
= xlim
 

2
2( x  1  x )

a. Ta có : x. sin

x 1  x
1
1
) sin(
)   2 sin(
)
2
2( x  1  x )
2( x  1  x )
1
1
 0  lim ( 2 sin(
) 0
Mà x   
x  
2( x  1  x )
2( x  1  x )

Ta có :  2 sin(

Nên theo định lý kẹp về giới hạn của hàm số ta có :
lim  2 sin(

x  

x 1  x
1
(cos x  1  cos x ) =0
) sin(
) =0. Vậy xlim
 
2
2( x  1  x )

Ta cần lưu ý cho học sinh
Nên dùng biến đổi x  1  x 

1

thì khi x   ta có

x 1  x

1
x 1  x

 0

và việc tính giới hạn sẽ đơn giản hơn nhiều.
C. PHẦN BÀI TẬP ÁP DỤNG : Tính các giới hạn sau
x2  2 x  6  4 x  1
1.
2. lim x 3  2 x  1
3. lim sin 2 x  2 cos x
lim

2
2
3
x  
x  x 1

x  2x 1
1
1
1
(

)
4. lim
2
x 0 x
1 x 1 x

(3 x  1)
5. xlim
 

( x  x  x  x)
7. xlim
 

( 4 x 4  1  x)
8. xlim
 

x �1

10. xlim
1
13. lim
x 0

x 2  3x  2
x2  7x  6

x  

11. lim
x 2

( x 2  2014)7 1  2 x  2014
x

16. lim
x

2  1  cos x
tan 2 x

19. lim x  1  x  4  3
x �0
x

22. lim

x�0

3

x 1  x  4  3
x

2x 1

x2 
x 1

14. lim
x 0

17. lim
x 0

6x  2
x  2x 2 1
3

5

2x
3 x

5x  1  1
x

cos x  3 cos x
sin 2 x

20. lim x  9  x  16  7
x �0

x
23. lim 2 x  5 x  3
x  (  3) 
( x  3) 2
2

3x  1
x3 1
1
1
(
 2
)
9. lim
x 2 x  2
x  4

(1  2 x)
6. xlim
 

5  x3  3 x2  7
x2  1

12. lim
x 1

1  x 2  cos x
x2
sin x  3 cos x
18. lim
sin 3 x
x

15. lim
x 0

3

2

x
21. lim 3  1
2
x 0

sin 2 x

24.

lim

x 2

x2  4
x3  x 2  x  2

16


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phân loại và giải
những dạng bài tập như đã nêu. tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn học sinh tỉ
mỉ cách phân tích một bài toán từ việc nhận dạng đến việc lựa chọn phương
pháp giải phù hợp trên cơ sở giáo viên đưa ra những sai lầm mà học sinh thường
mắc phải trong quá trình suy luận, từ đó hướng các em đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài
tập về giới hạn thì các em đã thận trọng khi làm và trình bày lời giải, từ đó các
em đã giải được một số lượng lớn các loại bài tập.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại hai lớp có trình độ không tương
đương nhau lớp 11A5 là lớp khối A, Lớp 11A3 là lớp đại trà .
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã thử nghiệm với hai lớp: 11A3, 11a5. Kết quả
kiểm tra phần bài tập liên quan đến tìm giới hạn như sau:
Trước khi tiến hành thử nghiệm:
Lớp
Sĩ số Số học sinh giải được
11A3
39
5 (=12,8%)
11A5
41
8 ( = 19,5%)
Sau khi thử nghiệm:

Lớp
Sĩ số Số học sinh giải được
11A3
39
22 (= 56,4%)
11A5
41
29 (= 70,7%)
Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy : số lượng học
sinh giải được dạng bài tập này đã tăng lên, mặc dù chưa nhiều và số học sinh
có tư duy về dạng bài tập này cũng tăng lên (có thể các em chưa giải đúng)
nhưng đối với tôi điều quan trọng hơn cả là đã giúp các em thấy bớt khó khăn
trong việc học tập bộ môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào
tiết dạy của tôi.

3. KẾT LUẬN - ĐỀ XUẤT
3.1. Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau:
Đưa ra từng phương pháp cụ thể cùng hệ thống ví dụ hợp lý, chỉ ra một số
sai lầm thường gặp của học sinh. Thiết kế cách thức dạy học các ví dụ, hoạt
động theo hướng dạy tích cực. Và đặc biệt đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để
minh họa tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất.

17


Học sinh rất hứng thú khi được tiếp cận nhiều dạng bài tập cùng phương pháp
giải của nó, được chỉ ra những sai lầm mà mình chưa hề nghĩ đến.
Qua thực tế giảng dạy của bản thân tại trường THPT với nội dung và

phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về bài toán
giới hạn nói riêng, Toán học nói chung. Tôi hi vọng có điều kiện để trình bày các
vấn đề này trong những năm tiếp theo.
3.2. Kiến nghị
Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên số sách tham
khảo viết theo dạng chuyên đề về giới hạn hàm số, đặc biệt là các chuyên đề viết
về các sai lầm của học sinh khi giải toán chưa nhiều. Vì vậy nhà trường cần
quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh
được nắm vững các dạng toán và phương pháp giải của chúng, đồng thời tìm tòi
về những sai lầm thường mắc khi giải toán để các em có thể tránh được những
sai lầm đó trong khi làm bài tập.
Tuy nhiên, trong khuôn khổ giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm và thời
gian viết nên không tránh khỏi sai sót, vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý
của đồng nghiệp và các nhà chuyên môn để đề tài được phát triển tốt hơn nhằm
nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ
TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nguyễn Thị Thu Thủy

Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Vũ Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 (Cơ bản) NXB GIÁO DỤC

Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)
2. ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH 11 (Nâng cao)- NXB GIÁO DỤC
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)

18


3. GIẢI TÍCH 12 (Cơ bản)- NXB GIÁO DỤC
Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)
4. GIẢI TÍCH 12 (Nâng cao)- NXB GIÁO DỤC
Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)
5. Bài giảng trọng tâm chương trình chuẩn
Th.s Lê Hồng Đức- Vương Ngọc
Lê Viết Hòa- Lê Hữu Trí- Lê Bích Ngọc
6. Nguồn đề thi từ các đề thi Đại học –Cao đẳng các năm và từ Internet.

19