SKKN ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN THỰC TẾ
NHẰM TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN CHO HỌC SINH

Người thực hiện: Vi Thanh Hoàng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2019

MỤC LỤC


Nội dung

Trang

…………………………………………………………… 18

1.Mở đầu
1.1.Lý do chọn đề tài
Kể từ năm 2017 kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, môn toán thi theo
hình thức trắc nghiệm.Trong số 50 câu trắc nghiệm sẽ có các bài toán áp dụng
kiến thức toán học để giải các bài toán thực tế hoặc các bài toán liên quan đến
các môn học khác. Một thực tế đáng buồn là nhiều học sinh vẫn còn rất lúng

túng thậm chí không biết cách giải khi gặp các câu hỏi liên quan đến các bài
toán vận dụng toán học vào thực tế và vào giải các bài toán liên quan đến môn
học khác.
Để đáp ứng với sự phát triển của kinh tế tri thức và sự phát triển của khoa
học thì ngay từ bây giờ khi ngồi trên ghế nhà trường phải dạy cho học sinh tri
thức để tạo ra những con người lao động, tự chủ, năng động sáng tạo và có năng
lực để đáp ứng được những yêu cầu phát triển của đất nước và cũng là nguồn lực
thúc đẩy cho mục tiêu kinh tế - xã hội, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc. Chính vì
thế dạy học toán ở trường trung học phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết với
thực tiễn đời sống.
Tuy nhiên trong thực tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông nhìn
chung mới chỉ tập chung rèn luyện cho học sinh vận dụng trí thức học toán ở
kỹ năng vận dụng tư duy tri thức trong nội bộ môn toán là chủ yếu còn kĩ
năng vận dụng tri thức trong toán học vào nhiều môn khác vào đời sống thực
tiễn chưa được chú ý đúng mức và thường xuyên.
Những bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản
xuất còn được trình bày một cách hạn chế trong chương trình toán phổ thông
nói chung cũng như trong chương trình toán 12 nói riêng.
Như vậy, trong giảng dạy toán nếu muốn tăng cường rèn luyện khả năng
và ý thức ứng dụng, toán học cho học sinh nhất thiết phải chú ý mở rộng
phạm vi ứng dụng, trong đó ứng dụng vào thực tiễn cần được đặc biệt chú ý
thường xuyên, qua đó góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm
cho toán học không trừu tượng khô khan và nhàm chán. Học sinh biết vận
2


dụng kiến thức đã học để giải quyết trực tiếp một số vấn đề trong cuộc sống
và ngược lại. Qua đó càng làm thêm sự nổi bật nguyên lý: “Học đi đôi với
hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý luận gắn với thực tiễn, giáo
dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Chính vì

vậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “Ứng dụng tích phân để
giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’. Với
mục đích giúp học sinh lớp 12 nắm vững cách vận dụng kiến thức về tích phân
để giải các bài toán thực tế, các bài toán liên môn. Đặc biệt có thể giúp học sinh
lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia .
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm sáng tỏ cơ sở lý luận và thực tiễn tăng
cường vận dụng kiến thức về tích phân để giải các bài toán có nội dung thực tiễn
.
- Phân tích và xây dựng phương án dạy học có nhiều nội dung toán học thể
hiện về mối liên hệ giữa toán học với các môn học khác và thực tiễn, các bài
toán thực tiễn đã được đưa vào giảng dạy ở trung học phổ thông. Qua đó thấy
được ý nghĩa: “Học đi đôi với hành”.
- Biết vận dụng toán vào giải các bài tập thực tế và các bài tập môn học khác.
- Góp phần nâng cao tính thực tế, chất lượng dạy học môn toán ở trường
THPT.
- Giúp học sinh ôn luyện tốt kiến thức chuẩn bị cho kỳ thi trung học phổ
thông quốc gia.
1.3. Đối tượng nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tài
là:
- Nghiên cứu về tính thực tiễn, tính ứng dụng của tích phân.
- Toán học liên hệ với thực tiễn đựơc thể hiện như thế nào trong một số
nội dung của chương trình toán lớp 12.
- Tìm hiểu thực tiễn dạy học môn toán 12 và vấn đề tăng cường vận
dụng các bài toán có nội dung thực tiễn hoặc các bài tập môn học khác vào
giảng dạy.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phương pháp

giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp điều tra quan sát thực tiễn, thu thập thông tin.
- Thực nghiệm sư phạm.

3


2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Cơ sở lý luận
Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết hội
nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo
nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài”. Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn
mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán
về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển
nguồn nhân lực.
Hiện nay giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo
dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và toàn thế giới. Ta
đã biết Unesco đã đề ra 4 trụ cột của giáo dục trong thế kỉ 21 là: “ học để biết,
học để làm, học để cùng chung sống, học để khẳng định mình” (Learning to
know, Learning to do, Learning to live together and learning to be) [6]. Chính vì
thế vai trò của các bài toán có nội dung liên quan đến môn học khác hoặc nội
dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến.
Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thể
hiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,
sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúc
đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm
vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học. Toán học có vai

trò quan trọng như vậy không phải là do ngẫu nhiên mà chính là sự liên hệ
mật thiết với môn học khác và liên hệ thường xuyên với thực tiễn, lấy thực
tiễn làm động lực phát triển và là mục tiêu phục vụ cuối cùng. Toán học có
nguồn gốc từ thực tiễn lao động sản xuất của con người và ngược lại toán học
là công cụ đắc lực giúp con người chinh phục và khám phá thế giới tự nhiên,
một số ngành khoa học luôn cần toán học phát triển trước và toán học là
công cụ để lĩnh vực đó phát triển .
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho học sinh lớp 12 vận dụng kiến thức về tích phân để giải một số bài toán thực
tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh. Giúp học sinh chuẩn bị tốt kiến
thức cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia.
Để vận dụng tốt tích phân vào giải một số bài toán thực tế cần nắm vững kiến
thức ở chương III trong sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản nhà xuất bản giáo dục
Việt Nam năm 2009 như sau:
2.1.1. Kiến thức cơ bản về tích phân
+ Các định nghĩa: Cho hàm số

F ( x)

là một nguyên hàm của

f ( x)

f ( x)

là hàm số liên tục trên đoạn

trên đoạn

[ a; b ]

[ a; b ]

. Giả sử

.
4


Hiệu số

được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định

F ( b) − F ( a)

trên đoạn

[ a; b ]

) của hàm số

f ( x)

, kí hiệu là

b

∫ f ( x ) dx
a

Vậy

b

∫
a

.

f ( x ) dx = F ( x ) a = F ( b ) − F ( a )
b

Các tính chất của tích phân
Tính chất 1
b

b

a

a

với k là hằng số.

∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx
Tính chất 2
b

b

b

a

a

a

∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx
Tính chất 3
c

b

b

a

c

a

với

∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

a
.

[5]
2.1.2. Ứng dụng hình học của tích phân
Diện tích hình phẳng
a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số
trục hoành và hai đường thẳng

x = a; x = b

y = f ( x)

liên tục,

được tính theo công thức

b

S = ∫ f ( x ) dx
a

5


y = f(x)

y

S
o

a

b

x

Chú ý: Trong trường hợp dấu của

f ( x)

thay đổi trên đoạn

[ a; b]

[ a; b]

chia đoạn
thành một số đoạn con để trên đó dấu của
đổi, do đó ta có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn đó.

thì ta phải

f ( x)

không

b. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai hàm số

y = f ( x)

và

y = g ( x)

liên tục trên đoạn

[ a; b ]

. Khi đó diện
y = f ( x) y = g ( x)
tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
,
và hai
b

đường thẳng

x = a, x = b

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx

là

a

.

Tương tự như chú ý ở trên thì ở bài toán này ta cũng phải xét đoạn mà dấu
của

f ( x) − g ( x)

không đổi.

Chú ý:
Khi áp dụng công thức này cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm số dưới
dấu tích phân. Muốn vậy ta phải giải phương trình
đoạn

[ a; b ]

f ( x) − g ( x) = 0

trên

.

Giả sử phương trình có hai nghiệm
đổi dấu trên các đoạn

c; d ( c < d )

[ a; b] , [ c; d ] , [ d ; b]

. Khi đó

f ( x) − g ( x)

không

. Trên mỗi đoạn đó, chẳng hạn trên
6


đoạn

[ a; c ]

thì ta có

c

c

a

a

∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx
[5]

Thể tích vật thể
Cho vật thể (T) giới hạn bởi 2 mp song song (P), (Q). Xét hệ tọa độ Oxy sao
cho Ox vuông góc với (P), (Q). Gọi giao điểm của (P), (Q) với Ox là a, b (aMột mp( γ) vuông góc với Ox tại x và cắt (T) theo một thiết diện có diện tích
S(x).
Giả sử S(x) là hàm liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích của (T) là :

b

∫ S ( x)dx
V=

a

Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox

7


b

V =π∫ f
a

2

( x ) dx
[5]

2.2. Thực trạng của đề tài
- Trong sách giáo khoa Toán 12 hiện nay các bài tập về vận dụng kiến thức về
tích phân để giải các bài toán thực tế, các bài toán liên quan đến vật lý có số
lượng rất hạn chế. Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng
này.
- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học
toán cho học sinh’’ cho ta phương pháp giải các bài toán liên quan đến thực tế

một cách dễ hiểu hơn đối với các đối tượng học sinh có học lực trung bình trở
lên.
- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học
toán cho học sinh’’ kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá của
học sinh.
- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học
toán cho học sinh’’ giúp học sinh yêu thích học tập môn toán hơn, thấy được
“vẻ đẹp’’ và tính thực tiễn của toán học.
- “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế nhằm tạo hứng thú học
toán cho học sinh’’ có thể giúp học sinh phát huy tối đa sự tự học, tự bồi dưỡng
tri thức – một con đường tiết kiệm, kinh tế nhất để học tập tốt.

8


2.3. Các biện pháp giải quyết vấn đề
2.3.1. Ứng dụng tích phân trong thực tiễn liên quan đến vật lý và sinh
học
Bài 1. Một chất điểm A xuất phát từ 0, chuyển động thẳng với vận tốc biến
v(t ) =

1 2 11
t + t (m / s ),
180
18

thiên theo thời gian bởi quy luật
trong đó t (giây) là
khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một
chất điểm cũng xuất phát từ 0, chuyển động thẳng cùng hướng với A, nhưng

chậm 5 giây so với A và có gia tốc bằng a ( m/s2 )( a là hằng số). Sau khi B
xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp
A bằng:
A. 22 (m/s).

B. 15 (m/s)

C. 10 (m/s)

D. 7 (m/s)
[7]

Lời giải
Quãng đường điểm A đi được cho đến khi hai điểm gặp nhau là:
15

1 2 11
S = ∫(
t + )dt = 75m.
180
18
0

Vận tốc của điểm B tại thời điểm t (giây) tính từ lúc B xuất phát là:
Quãng đường điểm B đi được cho đến khi hai điểm gặp nhau là:
10

vB (t ) = at

3

at 2
S = ∫ atdt =
= 50a(m)
2
0
0

Suy ra 50 a =75

⇔ a = 1,5

Vậy vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A là
Do đó ta chọn đáp án B

vB (10) =

10a =15 (m/s)

Bài 2. Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì tài xế đạp phanh; từ thời điểm
đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc

v ( t ) = −5t + 10

(m/s), trong đó t

là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp
phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 0,2 m

B. 2 m

C. 10 m

D. 20 m
9


[1]
Lời giải
Nguyên hàm của hàm vận tốc chính là quãng đường

mà ô tô đi được sau

s( t)

quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe.
Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với
Thời điểm ô tô dừng lại ứng với , khi đó
t1

t =0

v ( t1 ) = 0 ⇔ t1 = 2

.

.

Vậy từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại quãng đường ô tô đi được là:

2

2

 −5

s = ∫ ( −5t + 10 ) dt =  t 2 + 10t ÷ = 10m
 2
0
0

Do đó ta chọn đáp án C.
Ghi nhớ: Hàm số thể hiện quãng đường vật đi được tính theo thời gian là biểu
thức nguyên hàm của hàm số vận tốc.
Bài 3. Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc
(m/s). Giả sử tại thời điểm

t=0

thì

s=0

v ( t ) = 2 t ( 0 ≤ t ≤ 30 )

. Phương trình thể hiện quãng đường

theo thời gian ô tô đi được là
A.

4 3
s=
t
3

(m) B.

s=2 t

(m)

C.

4
s = t3
3

(m) D.

s = 2t

(m)

[1]
Lời giải
Tương tự như ở ví dụ 1 thì ta có

1
2

s ( t ) = ∫ 2 tdt = 2 ∫ t dt = 2.

1

3
2

4
.t = . t 3
1
3
+1
2

(m)

Do đó ta chọn đáp án A
Bài 4. Một vật chuyển động với vận tốc đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy
luật, và có gia tốc
(m/s2). Xác định quãng đường vật đó đi được trong
a = 0,3

10


40 phút đầu tiên.
A. 12000m

B. 240 m

C. 864000 m

D. 3200 m
[1]

Phân tích
Nhận thấy bài toán này khác với hai bài 3, và bài 4 trên ở chỗ bài toán cho biểu
thức gia tốc mà không cho biểu thức vận tốc, ở đây ta có thêm một kiến thức
như sau:
Biểu thức gia tốc là đạo hàm của biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với 2 ví dụ
đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc là đạo hàm cấp một của biểu thức vận tốc, và
là đạo hàm cấp hai của biểu thức quãng đường”. Từ đây ta có lời giải:
Lời giải
Ta có

v ( t ) = ∫ 0,3dt = 0,3t

(do ban đầu vận tốc của vật bằng 0).

Vậy quãng đường vật đi được trong 40 phút đầu tiên là:

∫

(m) . Do đó ta chọn đáp án C

2400

40.60

0,3tdt =

0

Ghi
nhớ
:
Biểu thức
gia tốc là
đạo hàm
cấp một
của biểu
thức vận
tốc, và là
đạo hàm
cấp hai
của biểu
thức
quãng
đường.

0,3 2
.t
2
0

= 864000

Bài 5. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc (km/h) phụ thuộc thời
gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình dưới. Trong khoảng thời gian 1 giờ
kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có

I ( 2;9 )

đỉnh
và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn
lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s
mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
A.
C.

s = 23, 25
s = 15,50

(km)

B.

(km)

D.

s = 21,58
s = 13,83

(km)
(km)

11


Lời giải

Ta tìm được phương trình của parabol là

( P) : v ( t ) = −
Khi

Vậy

t =1

thì

5 2
t + 5t + 4
4

.

5
31
v ( 1) = − + 5 + 4 =
4
4

(km/h).

 5 2
− t + 5t + 4 khi 0 ≤ t ≤ 1

 4
v( t) = 

 31 khi 1 < t ≤ 3

4

Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:
1

31
73 31
 5

s = ∫  − t 2 + 5t + 4 ÷dt + .2 =
+
4
4
12
2


0
259
=
≈ 21, 58 ( km )
12
Do đó ta chọn đáp án B
Bài 6. Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N(t). Biết rằng
N '(t ) =

4000
1 + 0,5t

và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng
vi trùng là bao nhiêu?
[2]

Lời giải
N (t ) = ∫

Ta có

4000
dt = 8000 ln(1 + 0,5t ) + C
1 + 0,5t

(*)

Vì lúc đầu đám vi trùng có 250000 con nên N(0) = 250000 suy ra C = 250000
12


Thay vào (*) ta có:

N (t ) = 8000 ln(1 + 0,5t ) + 250000

Sau 10 ngày số lượng vi trùng là:
N (10) = 8000 ln(1 + 0, 5.10) + 250000 ≈ 264334.

2.3.2. Ứng dụng tích phân trong thực tiễn liên quan đến hình học

Bài 1. Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ

dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận
trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là
100.000 đồng/1m2. Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất
đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)
A. 7.862.000 đồng
C. 7.128.000 đồng.

B. 7.653.000 đồng.
D. 7.826.000 đồng.

[1]

Lời giải
Nhận thấy đây là bài toán áp dụng ứng dụng của tích phân vào tính diện tích
hình phẳng. Ta có hình vẽ bên:
Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp 4 lần diện tích phần gạch chéo, do đó
ta chỉ cần đi tìm diện tích phần gạch chéo.
13


Ta có phương trình đường elip đã cho là

5 2
y=
8 − x2
8

. Khi đó

x2 y 2

+
=1
82 52

. Xét trên

[ 0; 4]

nên

y>0

thì

. Vậy diện tích trồng hoa của ông

4

5 2
8 − x 2 dx
8
0

Scheo = ∫

An trên mảnh đất là

4

5 2

8 − x 2 dx ≈ 76,5289182
0 8

(m2). Khi đó số kinh phí phải

S = 4.∫

trả của ông An là

76,5289182.100000 ≈ 7.653.000

đồng.

Do đó ta chọn đáp án B.

Bài 2. Một công ty
quảng cáo X muốn làm
một bức tranh trang trí

12 m
A

I

B
E

F

MNEIF

hình chữ nhật
chiều

cao

ABCD

6m

hình
ở chính
giữa của một bức tường
có

BC = 6 m

,

CD = 12 m

D

M

4m

N

C

chiều dài
(hình vẽ bên). Cho biết
MNEF

là hình chữ nhật

MN = 4 m

EIF

có
; cung
có hình dạng là một
phần của cung parabol
có đỉnh I là trung điểm
của cạnh AB và đi qua
hai điểm C, D. Kinh phí
làm bức tranh là

A. 20.400.000 đồng
B. 20.600.000 đồng
C. 20.800.000 đồng
D. 21.200.000 đồng.

m2

900.000 đồng/ . Hỏi
công ty X cần bao nhiêu
tiền để làm bức tranh đó

?

[3]

14


Lời giải
- Nếu chọn hệ trục tọa độ có gốc là trung điểm O của MN, trục hoành trùng với
đường thẳng MN thì parabol có phương trình là

1
y = − x2 + 6
6

.

2

- Khi đó diện tích của khung tranh là
- Suy ra số tiền là:

208 2
 1

S = ∫  − x 2 + 6 ÷dx =
m
6
9


−2 

208
× 900.000 = 20.800.000
9

đồng. Do đó ta chọn đáp án C

Bài 3. Tính thể tích vật thể tạo được khi lấy giao vuông góc hai ống nước hình
trụ có cùng bán kính đáy bằng a.
V=

A.

16a 3
3

V=

B.

2a 3
3

V=

C.

4a 3
3

D.

V = a3

[3]

Lời giải
Ta sẽ gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào vật thể này, tức là ta sẽ đi tính thể tích vật thể
V giới hạn bởi hai mặt trụ:
và
(
).
x2 + y 2 = a2

x2 + z 2 = a 2

a>0

15


Hình vẽ trên mô tả một phần tám thứ nhất của vật thể này, với mỗi

x ∈ [ 0; a ]

thiết

diện của vật thể (vuông góc với trục Ox) tại x là một hình vuông có cạnh
(chính là phần gạch chéo trong hình ). Do đó diện tích thiết diện sẽ

y= a −x
2

2

là:
S ( x) = a − x . a − x = a − x
2

2

2

2

2

,
2

x ∈ [ 0; a ]

.

b

V = ∫ S ( x)dx
a

Khi đó áp dụng công thức :

thì thể tích vật thể cần tìm sẽ bằng:
a

 2
x3 
16a 3
V = 8∫ S ( x ) dx = 8∫ ( a − x ) dx = 8  a x −
÷ =
3 0
3

0
0
a

a

2

2

Do đó ta chọn đáp án A
Bài 4. Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol. Người ta
dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính
cần lắp vào biết rằng vòm cửa
cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ)

A.

28 2
(m )
3

26
(m 2 )
B. 3

C.

128 2
(m )
3

D.

131 2
(m )
3

[4]
Lời gải
Chọn hệ trục
Ta có

Oxy

như hình vẽ.

( P1 ) : y = ax 2 + c

Gọi
là Parabol đi qua hai điểm
Nên ta có hệ phương trình sau:

A ( 4; 0 ) , B ( 0;8 )

16


1

0 = a.16 + c
1 2
a = −
⇔
2 ⇒ ( P1 ) : y = − x + 8

2
c = 8
c = 8
4

S=

1

∫ −2x

−4

2

+8 =

128 2
m
3

( )

Do đó ta chọn đáp án C

Bài 5. Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài 500m, biết rằng
người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau
40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng
5m. Bề dày và bề rộng của nhịp cầu không đổi là 20 cm (mặt cắt của một nhịp
cầu được mô phỏng như hình vẽ). Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là
bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 20m 3

B. 50m3

C. 40m3

D. 100m3
[3]

Lời giải

17


Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O (0;0) là chân cầu( điểm tiếp xúc
Parabol trên), đỉnh I( 25;2), điểm A (50; 0) ( điểm tiếp xúc Parabol trên với chân
đế)
Gọi Parabol trên có phương trình:

( P1 ) : y1 = ax 2 + bx + c = ax 2 + bx
(0 ∈ ( P1 ))
y 2 = a.x 2 + b.x −

20
1
= ax 2 + bx −
100
5

là phương trình parabol có I, A
2 2 4
2 2 4
1
⇒ ( P1 ) : y1 = −
x +
x ⇒ y2 = −
x +
x−
625
25

625
25
5
Khi đó diện tích mỗi nhịp cầu là
trong khoảng (0;25)
0,2

S = S1

với

S1

∈ ( P1 )

là phần giới hạn bởi

y1 ; y2

25

2 2 4
1
S = 2( ∫ (−
x + x)dx + ∫ dx ) ≈ 9,9m 2
625
25
5
0
0,2

Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích là tích diện tích và bề dày
V = S .0, 2 ≈ 1,98m3 ⇒
≈ 2m3
số lượng bê tông cần cho mỗi nhịp cầu
≈ 40m3
Vậy 10 nhịp cầu hai bên cần
Do đó ta chọn đáp án C.
Nhận xét. Qua bài trên ta thấy rằng: Tùy theo hình dáng của hình cần tính diện
tích hoặc thể tích mà ta thiết lập phương trình của đường giới hạn các hình đó
dựa vào giả thiết cho trước. Bước này rất quan trọng, nó ảnh hưởng trực tiếp
đến sự thành công hoặc thất bại của việc giải các bài toán thực tế.

18


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2017-2018 và tiếp tục hoàn thiện
vào năm học 2018-2019. Kết quả thu được là rất khả quan. Sau đây là kết quả
kiểm nghiệm:
- Năm học 2017-2018 (kiểm nghiệm ở lớp 12C2)

Kết quả
Trước khi áp
dụng SK
Sau khi áp
dụng SK

Giỏi
SL %

Kết quả
Khá
Trung bình
SL %
SL
%

Yếu, kém
SL
%

44

01

2.2

07

15.9

17

38.6

19

43.3

44

09

20.5 20

45.5

9

25.5

6

13.5

Tổng số
học sinh

- Năm học 2018 -2019 (kiểm nghiệm ở lớp 12A3)
Kết quả
Tổng số
Kết quả
Giỏi
Khá
Trung bình
học sinh
SL % SL %
SL
%
Trước khi áp

dụng SK
41
2
4.9 8 19.5 21 51.2
Sau khi áp
dụng SK
41
13 31.7 23 56.1
3
7.3

Yếu, kém
SL
%
10

24.4

2

4.9

Qua hai bảng thống kê trên, tôi nhận thấy ở các lớp có vận dụng những kinh
nghiệm nêu trong bản sáng kiến, số học sinh đạt điểm khá, giỏi cao hơn, số học
sinh điểm trung bình, yếu ít hơn so với các lớp chưa vận dụng những kinh
nghiệm trên. Điều đó chứng tỏ “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán
thực tế nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’ đã nâng cao hiệu quả học
tập môn toán cho học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3.
Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm tôi thấy rằng đa số học sinh rất hào
hứng với các bài toán thực tế mà tôi đã trình bày ở trên. Các em cảm thấy tự tin

hơn khi giải các bài toán thực tế ở trong các đề thi khảo sát của trường và của Sở
giáo dục và Đào tạo. Ngoài ra các em không ngừng sưu tầm các bài toán thực tế
khác trên Internet để làm phong phú thêm kiếm thức của mình để tự tin khi dự
thi THPT quốc gia và tự tin bước vào thị trường lao động sản xuất sau khi các
em tốt nghiệp THPT.
19


Sáng kiến kinh nghiệm này của tôi đã được giáo viên trong tổ đánh giá cao
và các đồng nghiệp hưởng ứng cùng áp dụng trong phạm vi tổ. Qua đó đã đóng
góp một phần nho nhỏ vào công tác nâng cao hiệu quả giáo dục của trường
THPT Tĩnh Gia 3.
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Việc vận dụng kiến thức về tích phân để giải một số bài toán thực tế đã
thể hiện được cho học sinh thấy khả năng ứng dụng toán học vào cuộc sống thực
tiễn và cũng là một mục tiêu xuyên suốt, một nhiệm vụ quan trọng trong dạy
học môn toán ở nhà trường phổ thông. Dạy học môn toán ở nhà trường phổ
thông rất cần cho học sinh vận dụng những tri thức và phương pháp toán học
vào những môn học khác trong nhà trường. Thông qua môn toán để hiểu rõ bài
học môn học khác và ngược lại thông qua môn khác để yêu thích và hứng thú
học toán hơn.
Ngoài ra còn được vận dụng giải thích các sự việc trong cuộc sống thông
qua những hoạt động thực hành toán học trong nhà trường và ngoài nhà trường
như nhà máy ngoài ruộng đồng vv… Để tìm lời giải, đối chiếu với thực tiễn để
kiểm tra và điều chỉnh. Việc tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực
tiễn vào dạy học môn toán dẫn tới hình thành phẩm chất luôn luôn muốn ứng
dụng tri thức và phương pháp toán học để giải thích, phê phán và giải quyết
những sự việc xảy ra trong cuộc sống.
3.2. Kiến nghị

Cần coi trọng và cần thiết phải tìm ra những biện pháp tích cực hơn, hiệu quả
hơn nữa ngay từ khi học sinh còn ngồi trên nghế nhà trường, cụ thể ở ngay từ
trong các bài mà học sinh được học cần lồng và tăng cường làm đậm nét hơn
nữa mạch ứng dụng toán học và toán học ứng dụng. Qua đó không những học
sinh được củng cố các kiến thức đã học mà quan trọng hơn là hình thành rèn
luyện cho học sinh phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khả năng tư duy, suy
luận đặc trưng của toán học cần thiết cho cuộc sống tương lai của mỗi người và
góp phần cho đất nước thêm phồn vinh.
Qua nghiên cứu và áp “Ứng dụng tích phân để giải một số bài toán thực tế
nhằm tạo hứng thú học toán cho học sinh’’ tôi thu được hiệu quả nhất định, để
học tập môn toán của các em có kết quả cao hơn và kiến thức vững hơn. Tôi
kính mong đồng nghiệp và hội đồng khoa học của trường THPT Tĩnh Gia 3
cũng như hội đồng khoa học của Sở Giáo Dục và Đào Tạo tỉnh Thanh Hóa góp ý
kiến thêm để đề tài của tôi hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình
giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.

20


Trong khi chờ sự xem xét, nghiên cứu đánh giá của Hội đồng khoa học các
cấp tôi xin chân thành cảm ơn nhiều. Chúc hội đồng khoa học các cấp sức khỏe,
hạnh phúc, thành đạt.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Ngọc Huyền LB. Công Phá Toán 3. Hà Nội : Đại học Quốc gia Hà Nội,
2018.
2. Đoàn Quỳnh. Giải Tích 12 Nâng Cao. Hà Nội : Nhà xuất bản Giáo dục Việt
Nam, 2012.
3. Huỳnh Công Thái. Luyện Tốc Độ Và Kĩ Thuật Giải Nhanh Chuyên Đề Ứng

Dụng Toán Để Giải Các Bài Toán Thực Tế 12 Và ôn Thi THPT. Hà Nội : Đại
Học Quốc Gia Hà Nội, 2017.
4. Nguyễn Cảnh Duy. Bộ Đề Minh Họa Luyện Thi THPT Quốc Gia Năm 2019
Môn Toán. Hà Nội : Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội , 2019.
5. Trần Văn Hạo. Giải Tích 12. Hà Nội : Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,
2009.
6. UNESCO />7. Mã đề 101, câu 32, Đề Thi THPT Quốc gia 2018.
8. Tác giả sáng kiến.

21


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 04 năm
2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác.

Vi Thanh Hoàng

22