SKKN sử dụng tỉ số thể tích giải quyết các bài toán về thể tích và khoảng cách

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019
PHẦN I: MỞ ĐẦU

1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học không gian là môn học khó đối với phần lớn học sinh phổ thông.
Nhiều học sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này. Dẫn đến các em
không tiếp thu được hoặc nắm kiến thức rất sơ sài. Do đó, việc học hình học không
gian ở lớp 12, đặc biệt là vấn đề tính thể tích khối đa diện, học sinh tỏ ra rất lúng
túng. Trong những năm gần đây các bài toán hình học không gian về thể tích khối
đa diện và khoảng cách luôn được đề cập trong các kì thi THPT quốc gia với yêu
cầu học sinh phải giải nhanh trong vòng vài phút. Trước tình hình đó cùng với quá
trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi đã thử giải các bài toán tính thể tích khối đa diện
và tính khoảng cách bằng phương pháp tỉ số thể tích thấy rất có hiệu quả và cho
được lời giải ngắn gọn rất nhiều; hơn nữa học sinh chỉ cần những kiến thức cơ bản
về hình học không gian ở lớp 11 là có thể làm được, lại rất phù hợp với hình thức
thi trắc nghiệm hiện nay.
Xuất phát từ lí do trên, với mong muốn có thể cung cấp cho các em học sinh
thêm một phương pháp để tính khoảng cách và thể tích của các khối đa diện, tôi
nghiên cứu và viết đề tài: “ Sử dụng tỉ số thể tích giải quyết các bài toán về thể
tích và khoảng cách ”.
Trong đề tài này, tôi trình bày một số bài để các em tham khảo, một số bài
hướng dẫn trên lớp và một số bài tập tương tự để các em tự luyện.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài tập về thể tích và khoảng cách, vận
dụng linh hoạt và phát huy tính sáng tạo của học sinh, liên hệ và áp dụng được vào
các dạng bài tập liên quan.
- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồng
nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà trường
và sở phát động.

1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đề tài hướng tới các đối tượng học sinh khối 12, học sinh ôn thi THPT quốc gia
ở trường THPT Tĩnh Gia 2 .

1


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích: Nghiên cứu thực trạng vận dụng kiến thức vào giải bài
toán tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Đặc biệt là các khó khăn học sinh thường gặp với các bài toán khó.
- Phương pháp tổng hợp: Sử dụng các tài liệu tham khảo cùng với thực tế diễn ra
trên lớp học, cùng với đóng góp của quý thầy cô giáo tại trường THPT Tĩnh Gia 2.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 12 sau đó
khảo sát các lớp dạy.

2


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019
PHẦN II: NỘI DUNG

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Xuất phát từ những thực tế trên nên trong quá trình dạy lý thuyết cho học sinh tôi

đã dùng các ví dụ cụ thể, các mô hình thực tế để học sinh tiếp cận dần dần. Ngoài
ra phải bổ trợ các kiến thức về hình học không gian ở lớp 11.
Trên thực tế các dạng toán về tỉ số thể tích rất phong phú đòi hỏi người dạy
phải lựa chọn bài tập để giảng dạy cho phù hợp với từng đối tượng học sinh, giúp
học sinh bổ trợ kiến thức có định hướng, khai thác sâu và chắc chắn.
Tôi chọn đề tài này, mong muốn giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các
bài toán về tỉ số thể tích, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức
đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Bài toán về thể tích không phải là bài toán mới nhưng do thiếu hụt kiến thức
về hình học không gian ở lớp 11 nên nhiều học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc
xác định đường cao hoặc diện tích đáy. Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số
các em chưa hiểu cách vận dụng và phân tích, sâu chuỗi vấn đề để đưa ra dạng bài
toán liên quan, chưa khai thác triệt để các tích chất, giả thiết của bài toán để đưa ra
hướng giải quyết. Để giải quyết nhanh chóng và ngắn gọn dạng bài toán này các
em cần tổng hợp và nắm vững kiến thức cơ sở của vấn đề này.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
Để tính thể tích của một khối đa diện bất kì, chúng ta chia khối đa diện đó
thành các khối đa diện đơn giản đã biết công thức tính ( Khối lăng trụ V  B.h ,
1
3

Khối chóp V  B.h , Khối hộp chữ nhật V  abc , …) rồi cộng các kết quả lại.
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và
khối chóp theo công thức trên lại gặp khó khăn do không xác định được đường cao
hay diện tích đáy, nhưng có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính
thể tích của các khối đã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối.
Sau đây ta sẽ xét một số bài toán cơ bản và ví dụ minh hoạ

3


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

Bài toán1:
Cho khối chóp S.ABC, trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm
A’, B’, C’ khác điểm S. CMR:

VS .MNP SM SN SP

.
.
VS . ABC
SA SB SC

(1)

Giải:

Gọi

H

và

H’

lần

lượt

là

hình

chiếu

vuông

góc

của A và A’ lên (SBC)
Ta có AH//A’H’. Ba điểm S, H, H’ cùng thuộc hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên
chúng thẳng hàng. Xét  SAH ta có

SM MH '

(*)
SA
AH

Do đó
VS .MNP
VS . ABC

1
MH '.S SNP

�
MH ' SN .SP.sin NSP
3


.
� (**)
1
AH SB.SC.sin BSC
AH .SSBC
3

Từ (*) và (**) ta được đpcm .
Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho N �B và P �C ta được
VS . A ' B ' C ' SM

VS . ABC
SA

Ta lại có
VS . ABC  VS .MBC  VM . ABC
(1') � VS . ABC 

SM
.VS . ABC  VM . ABC
SA
4

(1’)

Sáng kiến kinh nghiệm
�

Năm học 2018 - 2019

VM . ABC
SM MA
 1

VS . ABC
SA
SA

Vậy:

VM . ABC MA

VS . ABC
SA

(2)

Tổng quát hoá công thức (2) ta có bài toán sau đây:
Bài toán 2: Cho khối chóp đỉnh S, đáy là 1 đa giác lồi A1A2…An ( n �3) , trên
đoạn thẳng SA1 lấy điểm A1’ không trùng với A1. Khi đó ta có
VA1 '. A1 A2 ... An
VS . A1 A2 ... An



A1 ' A1
SA1

(2’)

Chứng minh (2’) bằng phương pháp quy nạp theo n; ta chia khối chóp
S.A1A2…An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2)
2.3.2 Các dạng bài tập minh họa
Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích
của các khối đa diện và ứng dụng của nó vào bài toàn khoảng cách.
DẠNG1: ỨNG DỤNG CỦA TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀO BÀI TOÁN THỂ TÍCH
Ví dụ1:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N lần lượt là
trung điểm của SA, SB. P, Q lần lượt nằm trên các cạnh SC, SD sao cho SP = 2 PC;
SQ = 2 QD. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.MNPQ và S.ABCD
Giải:

Áp dụng công thức (1) ta có
5


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

VS .MNP SM SN SP 1 1 2 1

.
.

 . . 
VS . BCA
SA SB SC 2 2 3 6
VS .MPQ
VS .CAD



SM SP SQ 1 2 2 2
.
.
 . . 
SA SC SD 2 3 3 9

Suy ra
1
2
VS .MNPQ  VS .MNP  VS .MPQ  VS .ABC  VS .ACD
6
9
1
2

Mà: VS .ABC  VS .ACD  VS .ABCD nên:
1
2
7
7
�1 2 �
VS .MNPQ  VS .ABC  VS .ACD  �  �

VS .ABC  VS .ABC  VS .ABCD
6
9
18
36
�6 9 �

Vậy:

VS .MNPQ
VS .AB CD



7
36

Ví dụ2:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

S

bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB
và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số
thể tích của hai khối chóp được chia bởi

C'

B'

I

mp(AB’D’)

A

Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao
điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’

B

O

D'

O'

C

Ta có
VS . AB ' C ' SB ' SC ' 1 SC ' VS . AC ' D ' SC ' SD ' 1 SC '

.


.

VS . ABC
SB SC 2 SC VS . ACD

SC SD 2 SC

Suy ra

1 SC '
1 SC '
VS . AB ' C '  VS . AC ' D '  .
(VS . ABC  VS . ACD )  .
.VS . ABCD
2 SC
2 SC

Kẻ OO’//AC’ ( O ' �SC ) . Do tính chất các đương thẳng song song cách đều
nên ta có SC’ = C’O’ = O’C
1 1
2 3

Do đó VS . A ' B ' C ' D '  . .VS . ABCD Hay

VS . A ' B ' C ' D ' 1

VS . ABCD
6

Ví dụ3:
6

D

Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a. Mặt bên
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BMN theo a.

Giải:
Áp dụng công thức (1) ta có
VS . BCM SM 1


VS .BCA
SA 2
VS .CMN SM SN 1

.

VS .CAD
SA SD 4

Suy ra
VS . BCNM  VS . BCM  VS .CNM

1
1
a 3 2a 3 a 3
 VS .BCA  VS .CAD 



2
4
2.3 4.3 3

Ghi chú:
1
3

1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức V  B.h gặp nhiều
khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM
về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều
2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối đa diện ABCDMN
Ví dụ4:
Cho khối chóp A.BCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh a, AB = 2a và AB
vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên các đường
thẳng AD và AC. Tính thể tích khối chóp B.CDHK theo a
Giải:
7


Sáng kiến kinh nghiệm

Ta có

Năm học 2018 - 2019

VABHK AH AK

.

VABCD AD AC

BK và BH lần lượt là các đường cao trong các tam giác vuông ABC và ABD
bằng nhau nên ta có
AH AB 2 4a 2
AH 4

 2 4�

2
HD AD
a
AD 5
AK 4

AC 5

Tương tự
Do đó

VABHK 4 4
16
9
 . � VABHK  VABCD . Vậy VB .CDHK  VABCD
VABCD 5 5
25
25

1
a 2 3 a3 3

3a 3 3
Mà VS.ABC = .2a.

. Vậy VB.CDHK =
(đvtt)
3
4
6
50

Ghi chú:

A

Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC

c

b

c'

b'

2

sau đây

b' b


c ' c2

B

H

C

( Chứng minh dựa vào tam giác đồng dạng)
Ví dụ5:
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2
SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC, gọi I là giao
điểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a
8


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

Giải:

S

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có I là
trọng tâm của tam giác ABC, do đó

a

AI 2

AI 1
 �

AO 3
AC 3

a

VAIMN
AI AM 1 1 1

.
 . 
nên
VACDN AC AD 3 2 6

(1)

VACDN NC 1


Mặt khác
VACDS SC 2

(2)

Từ (1) và (2) suy ra
Mà VSACD

A

Ma

I

2

D

O

B

C

VAIMN
1

VACDS 12

1
1 a 2a a 3 2
 .SA.S ACD  a.

.
3
3
2
6

Vậy VAIMN 

1
a3 2
.VSACD 
(đvtt)
12
72

Ví dụ6:
Cho khối hộp ABCDA�B�C �D�có thể tích bằng 2018 . Gọi M là trung điểm của

� �
cạnh AB . Mặt phẳng  MB D  chia khối chóp ABCDA�B�C �D�thành hai khối đa diện.

Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A

Giải:

9


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

Gọi BM �AA� E ; ED��AD  N .
Ta có M là trung điểm của AB
� M là trung điểm là EB�
� N là trung điểm của ED�và AD

V

EA EM EN

1

E . AMN

.
.

Ta có V
EA�EB�ED 8
E . A���
BD

7
7 1
7
7063
� VAMN . A���
VABCD. A����
B D  VE . A���
B D  .2. .VA. A���
BD 
BCD 
8
8 2
24
12

Ví dụ7:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với
góc 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng qua AM và song song với BD, cắt
SB, SD lần lượt tại E và F và chia khối chóp thành hai phần. Tính thể tích V của
khối chóp không chứa đỉnh S.

Giải:
Gọi O  AC �BD, G  AM �SO
SG 2
 .
SO 3
�
�;OC  SCO
�  600.
;( ABCD)  SC
+) Ta có SC

� G là trọng tâm SAC �



1
2

Có OC  .AC 

 



a 2
�  a 2 tan600  a 6
, SO  OC.tan SCO
2
2
2

1
a 6 2 a3 6
� VS.ABCD  SO.SABCD 
.a 
3
6
6
+) Gọi    là mặt phẳng chứa AM và song song với BD �    là mặt phẳng đi qua

G và song song với BD và cắt SB,SD lần lượt tại E và F. Do đó    cắt hình chóp
S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AEMF �    chia khối chóp S.ABCD thành hai
phần là khối chóp S.AEMF và khối đa diện EMFABCD.

10


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

SE SF SG 2




SB SD SO 3
VS.AEF SE SF 2 2 4
2

.
 .  � VS.ABD  VS.ABCD
+) V
9
S.ABD SB SD 3 3 9
VS.EFM SE SF SM 2 2 1 2
2
1

. .
 . .  � VS.EFM  .VS.BCD  .VS.ABCD
+) V
SB SD SC 3 3 2 9
9
9
S.BCD
1
+) Ta có: VS.AEMF  VS.AEF  VS.EFM  .VS.ABCD
3
� Thể tích khối chóp không chứa đỉnh S là:

+) Ta có EF đi qua G và EF//BD �

2

2 a3 6 a 3 6
V  VS . ABCD  VS . AEMF  .VS . ABCD  .

.
3
3 6
9

Ví dụ7:
Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình bình hành, mặt phẳng ( a ) đi qua
AB cắt cạnh SC , SD lần lượt tại M , N . Tính tỉ số

SN
để ( a ) chia khối chóp S . ABCD
SD

thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Giải:
Ta có:    �(SCD)  NM � NM PCD . Do đó    là (ABMN).
Mặt phẳng    chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau là
VS.ABMN  VABCDNM � VS.ABMN 

1
2

.VS.ABCD

(1)

1
Ta có: VS.ABC  VS.ACD  .VS.ABCD
2
Đặt

SN
SD

 x với (0  x  1) , khi đó theo Ta-let ta có

11

SN
SD



SM
SC

 x.


Sáng kiến kinh nghiệm
VS.ABM

Mặt khác
VS.AMN
VS.ACD



VS.ABC



Năm học 2018 - 2019

SA SB SM
x
. .
 x � VS.ABM  .VS.ABCD
SA SB SC
2

2
SA SM SN
2
x
.
.
x �V

.VS.ABCD
S. AMN
SA SC SD
2

�x x2 �
�  �

.VS.ABCD (2)
�2 2 �

� VS.ABMN  VS.ABM  VS.AMN

� 1 5
x
�
x x
1
2
2
Từ (1) và (2) suy ra   � x  x  1  0 � �
2 2 2
� 1 5
x
�
�
2
2

SN 1 5

Đối chiếu điều kiện của x ta được
.
2
SD

* Bài tập tham khảo:
Bài1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, đáy ABC là tam giác đều có trực

tâm H và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA và
M, N, P lần lượt là trung điểm các đoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối
chóp H.MNP và S.ABC. Từ đó tính thể tích khối chóp H.MNP
ĐS:

VH .MNP
1

VS . ABC 32

Bài2:

Cho

khối

tứ

diện

ABCD

có

�
�  900 , CAD
�  1200 ,
ABC  BAD

AB  a, AC  2a, AD  3a . Tính thể tích tứ diện ABCD.

ĐS: VABCD 

a3 2
2

Bài3: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và
SD. Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a
ĐS: VS . A ' B ' C ' D '

16a 3

45

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

Bài4: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . Các
uuu
r

1 uur
3

uuur

1 uur
5

= SA , SC �
= SC . Mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng
điểm A�
, C �thỏa mãn SA�

A��
C cắt các cạnh SB , SD tại B �
, D �và đặt k =

ĐS: k 

VS . A����
BCD
. Giá trị nhỏ nhất của k là
VS . ABCD

1
60

DẠNG2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác
định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách
thông qua thể tích của khối đa diện, mà khoảng cách đó chính là độ dài đường cao
của khối đa diện. Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1:
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm,

AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD).
Giải:

D

Ta có AB2 + AC2 = BC2 � AB  AC
1
6

Do đó VABCD  AB. Ac. AD  8cm 2

I

4
5

Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5

� SBCD

C
5

3

1
2 2
 DC .BI 
5  (2 2) 2  2 34
2

2

Vậy d ( A,( BCD)) 

4

A

Nên BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD

B

3VABCD
3.8
6 34


S BCD
17
2 34

S

Ví dụ2:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình

H

�  900 , AD = 2a, BA = BC = a,
thang, �

ABC  BAD

a
13

B

A

2a

C

D


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của
A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến
mp(SCD)
Giải:
Ta có

VS . HCD SH

VS . BCD SB

SAB vuông tại A và AH là đường cao nên
SH SA2 2a 2
SH 2

 2 2�

Ta có
2
HB AB
a
SB 3

Vậy VS.HCD =

2
2 1
a2 a3 2
VS.BCD = . a 2. =
3
3 3
2
9

1
3

Mà VS .HCD  d ( H ,( SCD)).SSCD .
SCD vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2),

do đó SSCD

1
1
3a 3 2 a
2
 CD.SC  .a 2.2a  a 2 . Vậy d ( H ,( SCD ))  2

2
2
9a 2 3

Ví dụ3:
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
AA’ = a 2 . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và B’C
Giải:
Gọi E là trung điểm của BB’,ta có EM//CB’
Suy ra B’C //(AME) nên
d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME))
Ta có

VC . AEM MC 1


VC . AEB
CB 2

A'

1

1 1 a 2 a 2 a3 2
� VC . AEM  VEACB  . . .

2
2 3 2 2
24

Ta có d (C ,( AME )) 

C'
B'

a 2

3VC . AEM
S AEM

H

A
14

E

a

B

M

a

C


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AE, ta có BH  AE
Hơn nữa BM  ( ABE ) � BM  AE , nên ta được AE  HM
Mà AE =

1
1
1
3
a 6
a 3


 2 � BH 
, ABE vuông tại B nên
2
2
2
BH
AB
EB
a

2
3

BHM vuông tại B nên MH 

Do đó SAEM 

a 2 a 2 a 21


4
3
6

1
1 a 6 a 21 a 2 14
AE.HM  .
.

2
2 2
6
8

3a 3 2
a 7
d (C ,( AME )) 

Vậy:
7

a 2 14
24.
8

Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông để tính SAEM
Ví dụ4:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông
tại A, AB = a, AC  a 3 và hình chiếu vuông góc của

B'

C'

A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của
BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)

A'

2a

Giải:
Theo giả thiết ta có A’H  (ABC).
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến
nên AH =

1
BC = a. A ' AH vuông tại H nên ta có
2

A ' H  A ' A2  AH 2  a 3

1
3

Do đó VA '. ABC  a 3
Mặt khác

VA '. ABC
VABC . A ' B ' C '

Suy ra VA '. BCC ' B '



a.a 3 a 3
 .
2
2

1
3

2
2 a3
 VABC . A ' B ' C '  .3.  a 3
3
3 2

Ta có d ( A ',( BCC ' B ')) 

3VA '. BCC ' B '

S BCC ' B '
15

B
a

C

H

K

a 3

A


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

Vì AB  A ' H � A ' B '  A ' H � A ' B ' H vuông tại A’
Suy ra B’H =

a 2  3a 2  2a  BB ' . � BB ' H cân tại B’. Gọi K là trung điểm

của BH, ta có B ' K  BH . Do đó B ' K  BB '2  BK 2 
Suy ra S BCC ' B '  B ' C '.BK  2a.
Vậy d ( A ',( BCC ' B ')) 

a 14
2

a 14
 a 2 14
2

3a 3
3 14a

2
14
a 14

* Bài tập tương tự:
Bài 1:
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của A’C’, I là giao điểm của AM và A’C.
Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mp(IBC)
ĐS: d ( A,( IBC )) 

2a 5
5

Bài2:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, điểm M
thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M đến mp(AB’C)
ĐS: d ( A,( AB ' C )) 

a

2

Bài3:
Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), �
ABC  900 . Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b
ĐS: d ( A,( BCD)) 

ab
a  b2
2

Bài4:
Cho tứ diện đều ABCD, biết AB = a, M là 1 điểm ở miền trong của tứ diện.
Tính tổng khoảng cách từ M đến các mặt của tứ diện
ĐS: h1  h2  h3  h4 

3VABCD
2
a
S ACB
3
16


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Việc sử dụng tỉ số thể tích để giải các bài toán hình học không gian, đặc biệt là
các bài toán tính thể tích khối đa diện, tính khoảng cách tỏ ra có nhiều ưu điểm,
giúp cho lời giải ngắn gọn và không cần sử dụng nhiều kiến thức của hình học
không gian lớp 11. Trong quá trình giảng dạy cho học sinh khối lớp 12 ở trường
THPT Tĩnh Gia 2 trong học kì I năm học 2018 - 2019, tôi đã đem đề tài này áp
dụng và thấy học sinh có thể tiếp cận rất nhanh và biết vận dụng để giải các bài tập
mà tôi đã cho kiểm tra trên lớp, đặc biệt là trong giải toán trắc nghiệm. Trong học
kì II tôi đã tiếp tục triển khai đề tài này để giảng dạy cho các em học sinh khối 12
ôn thi THPT quốc gia, các em tiếp thu rất tốt.
Với phương pháp trên tôi đã tổ chức cho học sinh tiếp nhận bài học một cách
chủ động, tích cực, tất cả các em đều hứng thú học tập thực sự và hăng hái làm bài
tập giao về nhà tương tự. Phương pháp dạy học trên dựa trên nhu cầu cần thiết của
người học toán:
- Khả năng vận dụng, khả năng liên hệ kết nối kiến thức cũ và mới.
- Khả năng tư duy sáng tạo và tự học.
- Tính thực tế và đổi mới, ham học và tích luỹ kiến thức biết liên hệ, vân dụng vào
thực tiễn.
Qua thực tế giảng dạy các lớp của trường THPT Tĩnh Gia 2. Các em rất hào hứng
và sôi nổi trong việc phát hiện, đề xuất cách giải cho mỗi bài toán. Cụ thể kiểm tra
khảo sát chất lượng học sinh khối 12 năm học 2018-2019 trước và sau khi áp dụng
sáng kiến như sau:
Bảng thống kê

Lớp

Dưới
3đ

12C3
43 học 0

sinh

Trước khi áp dụng

Sau khi áp dụng

SKKN

SKKN

Từ 3đ

Từ 5đ

đến

đến

5đ

7đ

13

16

30.3% 37.2%

Từ 7đ
đến 8đ

Từ 8đ
đến
10đ

12

2

27.9%

4.6%

17

Dưới

Từ 3đ

Từ 5đ

3đ

đến 5đ

đến 7đ

5

20

0

11.6%

Từ 7đ

Từ 8đ

đến

đến

8đ

10đ

14

4

46.5% 32.7%

9.3%


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

12C11
42 học
sinh

6

20

12

14.2% 47.6% 28.5%

4

0

9.7%

3

14

7.1%

33.3%

15

9

35.7% 21.6%

1
2.3%

Qua một năm triển khai thực hiện đề tài này, tôi thấy tính hiệu quả của đề tài
rất cao, có thể áp dụng rộng cho nhiều đối tượng học sinh của khối lớp12, ôn thi
THPT quốc gia. Vì vậy, trong năm học tới tôi sẽ tiếp tục triển khai áp dụng đề tài
này để giảng dạy cho các em học sinh khối 12.
Hy vọng rằng, với đề tài này, có thể giúp cho các em học sinh có thêm một
phương pháp nữa để giải các bài toán hình học không gian trong kì thi THPT quốc
gia đạt được kết quả cao.
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Bài học kinh nghiệm:
Người dạy luôn say mê tìm tòi để vận dung và điều chỉnh cách dạy cho phù hợp.
Biết được nhưng điểm yếu của học sinh về khả năng vận dụng hoặc trình bày lôgíc,
phân tích các giả thiết. Áp dụng phải đúng đối tượng phù hợp với chương trình và
tạo được ý thức học tập cho học sinh. Thúc đẩy được các đối tượng học sinh cùng
học và nghiên cứu, và thực hiện. Sáng kiến kinh nghiệm này cũng là một tư liệu tốt
giúp giáo viên giảng dạy cho đối tượng học sinh: Giỏi; Khá; Trung bình.
Qua quá trình giảng dạy; tôi nhận thấy: Sau khi đưa ra cách giải quyết như
trên học sinh không còn lúng túng nữa và đã làm được phần lớn các bài tập đòi hỏi
tính sáng tạo như các bài tập vận dụng trong đề tài. Với kết quả thực nghiệm ở hai
lớp dạy là 12C3 và 12C11 trườngTHPT Tĩnh Gia 2 đã chứng tỏ đề tài giúp học sinh
phần nào say mê, hứng thú và sáng tạo trong học tập, nghiên cứu. Điều đó làm cho
các em tiếp thu bài tốt và khích lệ tinh thần học tập của các em. Thông

qua

kinh

nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh nghiệm quý báu, giúp tôi
hoàn thành tốt hơn công việc giảng dạy của mình.
Trên đây là kinh nghiệm của tôi trong dạy học chủ đề: “Sử dụng tỉ số thể
tích giải quyết các bài toán về thể tích và khoảng cách ”.

18


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp; và các
đồng chí trong hội đồng khoa học của Sở Giáo dục. Tôi xin chân thành cảm ơn.
3.2 Những kiến nghị
Qua quá trình áp dụng kinh nghiệm sáng kiến tôi thấy để đạt kết quả cao, cần lưu
ý một số điểm sau:
a) Đối với giáo viên:
- Phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng để nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp
vụ sư phạm, tích cực đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng
lực học sinh, sau mỗi tiết dạy cần có sự rút kinh nghiệm, hướng điều chỉnh cho các
tiết tiếp theo nhằm giúp các em hứng thú học tập, tích cực hợp tác với các Thày Cô
hơn, hiểu bài hơn, tự học tự giác hơn và say mê nghiên cứu môn toán hơn .
- Phải lựa chọn các bài tập phát huy được tính sáng tạo cho học sinh, kiên trì áp
dụng phương pháp dạy học theo định hướng phát huy năng lực học sinh. Trước khi
dạy phần kiến thức nâng cao giáo viên cần trang bị cho học sinh thật vững vàng về
những kiến thức cơ bản liên quan.
- Giáo viên phải thực sự tâm huyết, tận tình với công việc, yêu nghề, có tinh thần

trách nhiệm cao trước học sinh.
- Đối với bộ môn này có ứng dụng nhiều vào thực tế nên có những nội sinh hoạt
ngoại khoá để kích thích tính ham hiểu biết của học trò.
- Những sáng kiến đạt giải cao nên được phổ biên rộng rãi để đồng nghiệp học
tập.
b) Đối với nhà trường:
- Cần có sự động viên nhiều hơn nữa trong phong trào đổi mới phương pháp dạy
học, kiểm tra đánh giá học sinh theo định hướng phát huy năng lực học sinh, viết và
áp dụng SKKN.
- Nhà trường mở những chuyên đề hội thảo cho tổ nhóm chuyên môn, giao lưu
các tổ nhóm chuyên môn.
c) Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo:
- Sở có buổi tập huấn về chuyên môn của từng môn học có hiệu quả hơn, mời
các thầy giáo đầu nghành về tập huấn chuyên môn cho các trường.

19


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

- Với các sáng kiến kinh nghiệm hay, tôi và nhiều đồng nghiệp mong muốn Sở
GD và ĐT đưa lên trang “ Trường học kết nối ” để nhiều đồng nghiệp khác tham
khảo và áp dụng hiệu quả các SKKN đã được HĐKH ngành đánh giá xếp loại.
Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũng không
tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các thầy
cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài của tôi được
hoàn thiện hơn.
Cuối cùng xin trân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ chuyên môn và các

em học sinh đã giúp đỡ tôi hoàn thành SKKN này.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯƠNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác.

Hoàng Thị Huệ

TÀI LIỆU THAM KHẢO
20


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019

1. Sách giáo khoa và sách bài tập hình học 12 (Nhà xuất bản giáo dục)
2. Giải toán hình học 11(Trần Thành Minh(chủ biên) – Trần Đức Huyên –
Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường – Nhà xuất bản Giáo Dục)
3. Báo toán học tuổi trẻ.
4. Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị thi vào Đại học cao đẳng ( Tủ sách
toán học và tuổi trẻ).
5. Các phương pháp giải toán sơ cấp Hình học không gian 11(Phan Huy
Khải – Nguyễn Đạo Phương – Nhà xuất bản Hà Nội)
6. Tuyển tập 500 bài toán Hình học không gian chọn lọc(Nguyễn Đức Đồng
chủ biên – Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội)
7. Tuyển tập 170 bài toán hình học không gian(Võ Đại Mau – Nhà xuất bản
trẻ)
8. Phương pháp giải toán sơ Hình học không gian (Trần Bá Hà – Nhà xuất

bản Đại học quốc gia Hà Nội)
9. Khai thác trên mạng Internet.
10. Đề thi đại học và cao đẳng , đề thi THPT quốc Gia.

21


Sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2018 - 2019
MỤC LỤC

Phần I

Phần II

Phần III

Mở đầu
1.1 Lí do chọn đề tài

1

1.2 Mục đích nghiên cứu
1.3 Đối tượng nghiên cứu
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Nội dung

1
1

2

2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
2.3.1 Cơ sở lý thuyết
2.3.2 Các dạng bài tập minh họa

3

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

17

Kết luận và kiến nghị
3.1 Kết luận
3.2 Những kiến nghị

18
18
19

1

22

3
3
3

3
5