SKKN về CHIỀU BIẾN THIÊN và áp DỤNG GIẢI một số bài TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM số NHẰM NÂNG CAO NĂNG lực

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VỀ CHIỀU BIẾN THIÊN VÀ ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ
BÀI TOÁN LƯỢNG GIÁC CHỨA THAM SỐ NHẰM
NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH
LỚP 11 TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II

Người thực hiện: Nguyễn Bá Đại
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2019


MỤC LỤC
Mục

Nội Dung

Trang

1

Mục lục

1

2

1 Mở đầu

2

3

1.1 Lý do chọn đề tài

2

4

1.2 Mục đích nghiên cứu

2

5

1.3 Đối tượng nghiên cứu

2

6

1.4 Phương pháp nghiên cứu

3

7

2 Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

3

8

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

9

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

3

nghiệm
10

2.3 Các sáng kiến và giải pháp đã sử dụng giải quyết vấn

4

đề
11

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động

15

giáo dục, bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
12

3 Kết luận, kiến nghị

16

13

3.1 Kết luận

16

14

3.2 Kiến nghị

16

15

Tài liệu tham khảo

17

1.
1.1

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài.

Khoa học ngày càng phát triển, đòi hỏi con người ngày càng hoàn thiện hơn.
Trong toán học cũng vậy ngoài việc đòi hỏi tư duy sáng tạo, kỹ năng tính toán thì
phương pháp và cách thức giải một bài toán cũng rất quan trọng. Trong sách giáo
khoa hợp nhất năm 2000 có trình bày một công cụ rất hữu hiệu để giải quyết một số

2


bài toán về phương trình đó là “Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai” tuy nhiên
sau khi thay đổi sách giáo khoa 2006 thì phần đó bị cắt bỏ và cùng với đó thì công
cụ này không được sử dụng trong các trường phổ thông nữa. Qua một số năm được
phân công dạy học sinh khối 11, tôi nhận thấy sự bế tắc của học sinh khi gặp bài
toán về phương trình, bất phương trình hay hệ phương trình chứa tham số. Chính vì
lẽ đó tôi mạnh dạn chọn chuyên đề “Về chiều biến thiên và áp dụng giải một số
bài toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải toán cho học
sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2” làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình.
Mục đính chính của bản Sáng kiến kinh nghiệm này là trình bày một phương pháp
khác để giải quyết vấn đề được nêu ở trên, cụ thể là sử dụng chiều biến thiên của
hàm số bậc hai trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao và cùng với đó là sử dụng
sự tương quan đồ thị. Cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào các vấn đề sau:
•

Trình bày các khái niệm cơ bản về chiều biến thiên của hàm số bậc hai, sự tương
quan hình học.
•

Các bài toán có nghiệm trên tập
D
giác có nghiệm trên tập .

D

bao gồm các bài toán về phương trình lượng

n
D
Các bài toán có nghiệm thuộc
bao gồm các bài toán về phương trình lượng
n
D
giác có
nghiệm thuộc .
•

1.2

Mục đích nghiên cứu.

Mục đính chính của bản Sáng kiến kinh nghiệm này là trình bày phương pháp
chiều biến thiên trong giải một số bài toán lượng giác chứa tham số lớp 11, cụ thể
là sử dụng chiều biến thiên của hàm số bậc hai trong sách giáo khoa Đại số 10 nâng
cao và cùng với đó là sử dụng sự tương quan đồ thị.
1.3

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

Đối tượng nghiên cứu là áp dụng chiều biến thiên của hàm số bậc hai để biện luận
một số bài toán về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình lượng giác có
tham số.
Phạm vi nghiên cứu là các kiến thức cơ bản về chiều biến thiên của hàm số bậc
hai, cùng với sự tương quan về đồ thị để giải quyết vấn đề.

3


1.4

Phương pháp nghiên cứu. Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp, quan sát thực tế
và thực nghiệm.
2.

NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Bài toán chứa tham số về phương trình, bất phương trình, hay hệ phương trình
thường gây khó khăn cho học sinh khi công cụ “Định lý đảo về dấu của tam thức
bậc hai” được giảm tải và với học sinh lớp 10 lại chưa tiếp cận được với đạo hàm.
2.1

Qua nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề, tôi thấy nhiều tác giả cũng
đã tiếp cận về vấn đề này nhưng việc giải quyết chưa thật triệt để.
Thông qua quá trình giảng dạy những bài toán về phương trình, bất phương
trình chứa tham số, tôi thấy việc học sinh nắm vững được các tính chất của hàm số
bậc hai cũng như chiều biến thiên của nó thì các em sẽ giải quyết vấn đề dễ dàng
hơn.
Với mong muốn góp phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn

Toán nói chung và phân môn Đại Số và Giải Tích nói riêng ở trường THPT Nông
Cống 2, huyện Nông Cống tôi đã nghiên cứu đề tài “Về chiều biến thiên và áp
dụng giải một số bài toán lượng giác chứa tham số nhằm nâng cao năng lực giải
toán cho học sinh lớp 11 trường THPT Nông Cống 2” .
2.2

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Là giáo viên giảng dạy môn Toán ở vùng khó khăn trình độ nhận biết của học

sinh ở mức vừa phải tôi nhận thấy áp dụng đề tài này vào các lớp mà tôi phụ trách
rất hiệu quả, đặc biệt năm học này tôi đã tiến hành trên các lớp 11A1 và 11A2
trường THPT Nông Cống 2, kết quả thu được tương đối tốt.
Các em thấy rất khó khăn khi giải các bài toán dạng này, sau khi được tiếp cận,
hướng dẫn, rèn luyện thì các em đã giải thành thạo các dạng toán này. Học sinh
không còn lúng túng khi gặp dạng toán này nữa.
2.3

Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết

vấn đề.
2.3.1 Các khái niệm cơ bản.

4


Trong phần này, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản về sự biến thiên của hàm
số bậc hai và sự tương quan của đồ thị hàm số để giải quyết một số bài toán phương
trình, bất phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số.
2.3.1.1 Định nghĩa. [3] Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có
y = ax 2 + bx + c

a , b, c
a ≠ 0.
dạng
trong đó
là các hằng số với
2.3.1.2 Chiều biến thiên của hàm số bậc hai. [3]
y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )
Ta có hai bảng biến thiên của hàm số bậc hai
sau:

2.3.1.3 Sự tương quan của đồ thị.

Số nghiệm của phương trình

f ( x) = g ( m)

là số giao điểm
y = f (x)
của đồ thị hàm số
và
đường thẳng

y = g ( m)

(xem hình minh họa ở bên)

Trong trang này: Mục 2.3.1.1 và mục 2.3.1.2 được tham khảo TLTK số 3; Trong mục 2.3.1.3 hình
mình họa là “của” tác giả.

Các bài toán có nghiệm trên tập D
2.3.2.1 Một số kết quả. [2]
2.3.2

5


Trong sáng kiến kinh nghiệm này, giả sử các hàm
min
f ( x)
x∈D

y = f ( x)

khi kí hiệu

m ax f ( x )

hay

x∈D

thì đều tồn tại.
f (x) = g ( m )
x∈D
•
Điều kiện để phương trình
có nghiệm
là
min

f ( x ) ≤ g ( m ) ≤ max f ( x )
x∈D
x∈D
(Số nghiệm của phương trình
đồ thị
2.3.2.2

y = f ( x)

với đường thẳng
Một số bài toán.

Ví dụ 1. Tìm

Giải.

Đặt

f ( x) = g ( m)

m

trên

D

D

phụ thuộc số giao điểm của

).

 π π
x ∈ − ; 
 2 2

để phương trình sau có nghiệm
sin 2 x + 3sin x + 5m = 0 ( 1)

Ta có

t = sinx

y = g ( m)

trên

, với

.

( 1) ⇔ sin 2 x + 3sin x = −5m
 π π
x ∈  − ;  ⇒ t ∈ [ −1;1]
 2 2
m

.

t 2 + 3t = −5m

Bài toán quy về tìm để phương trình
có nghiệm
2
f ( t ) = t + 3t
[ −1;1]
Xét
trên
, ta có bảng biến thiên sau

t ∈ [ −1;1]

.

6


min f ( t ) = −2 maxf ( t ) = 4
t∈[ −1;1]

Từ bảng biến thiên ta có,

nghiệm

 π π
x ∈ − ; 
 2 2

Ví dụ 2. Tìm

m

Giải. Điều kiện:

thì:

,

t∈[ −1;1]

. Vậy để phương trình có

4
2
−2 ≤ −5m ≤ 4 ⇔ − ≤ m ≤ .
5
5

để phương trình sau có nghiệm

tan 2 x − m = 2 tan x − 4 ( 2 )

cos x ≠ 0

Trong trang này: Mục 2.3.2.1 được tham khảo TLTK số 2; Ví dụ 1, Ví dụ 2 là “của” tác giả.

Ta có

Đặt

 tan 2 x − m = 2 tan x − 4  tan 2 x − 2 tan x + 4 = 0
⇔
( 2) ⇔ 
2
tan
x
−
4
>
0

 tan x ≥ 2

t = tan x

. Khi đó hệ trên trở thành
m

t 2 − 2t + 4 = m ( 2a )

( 2b )
t ≥ 2

( 2a )

Bài toán quy về tìm để phương trình
có nghiệm thỏa mãn
2
f ( t ) = t − 2t + 4
[ 2;+∞ )

Xét
trên
, ta có bảng biến thiên sau:

( 2b )

.

m ≥ 4.

Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có nghiệm thì:
m
Ví dụ 3. Tìm để phương trình sau có nghiệm
sin 2 x + 4 ( cosx - sinx ) = m ( 3)

7


(

)

t = cos x − sinx, t ≤ 2 ⇒ sin 2 x = 1 − t 2

Giải. Đặt
thành

trở

−t 2 + 4t + 1 = m ( 3a )

Bài toán quy về tìm
Xét

. Khi đó phương trình

( 3)

m

f ( t ) = −t 2 + 4t + 1

để phương trình

( 3a )

t ≤ 2.
có nghiệm

t ≤ 2
trên

, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thì:
m
Ví dụ 4. [4] Cho phương trình tham số

−4 2 − 1 ≤ m ≤ 4 2 − 1

.

2cos 2 x + sin 2 x.cosx+cos 2 x.sinx = m ( sinx + cos x ) ( 4 )
a.

Giải phương trình khi

m = 2.

Trong trang này: Ví dụ 3 là “của” tác giả. Ví dụ 4 tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác
giả.

m

để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
( 4 ) ⇔ 2 ( cos 2 x − sin 2 x ) + sinx.cosx ( sinx + cosx ) = m ( sinx + cosx )
Giải. Ta có
⇔ ( sinx + cosx )  2 ( cos x − sinx ) + sinx.cosx - m  = 0
b.

Tìm

 π
 0; 2  .

sinx + cosx = 0
( 4a )
⇔
 2 ( cosx - sinx ) + sinx.cosx - m = 0 ( 4b )

8


( 4a ) ⇔ x = −

( 4b )

Với
thành

a.

Khi

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
4
t = cosx - sinx ⇒ sinx.cosx =

, đặt

1− t2
2

. Khi đó phương trình

( 4b )

trở

−t 2 + 4t + 1 = 2m ( 4c )

m = 2,

( 4c ) ⇔ −t

2

ta có

t = 1
+ 4t − 3 = 0 ⇔ 
⇒ t =1
t = 3

 x = k 2π
π
2

⇒ cos  x + ÷ =
⇔
π
 x = − + k 2π
4 2


2

Vậy phương trình có các nghiệm là
x=−

b.

Ta thấy

π
+ kπ ( k ∈ ¢ )
4


 x = k 2π

 x = − π + k 2π ( k ∈ ¢ )

2

π
 x = − + kπ

4

không có nghiệm thuộc

π

−1 ≤ 2cos  x + ÷≤ 1 ⇒ t ∈ [ −1;1] .
4


thuộc đoạn
Xét

.

 π
0; 2  .

Bài toán quy về tìm

m

để

0≤ x≤
Do

( 4c )

π
2

nên

có nghiệm

[ −1;1] .

f ( t ) = −t 2 + 4t + 1

trên miền

t ∈ [ −1;1]

có

tD = 2,

ta có bảng biến thiên sau:

9


Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn
−2 ≤ m ≤ 2.
thì:
Ví dụ 5. [4]
m
Tìm để phương trình sau có nghiệm
4 ( sin 4 x + cos 4 x ) − 4 ( sin 6 x + cos6 x ) − sin 2 4 x = m ( 5 )
Giải. Ta có

( 5) ⇔ 4 ( 1 − 2sin

2

 π
0; 2 

x.cos 2 x ) − 4 ( 1 − 3sin 2 x.cos 2 x ) − sin 2 4 x = m

 1


 3

⇔ 4 1 − sin 2 2 x ÷− 4  1 − sin 2 2 x ÷− sin 2 4 x = m
 2

 4

⇔ sin 2 2 x − sin 2 4 x = m
 1 − cos4x 
2
⇔
÷− ( 1 − cos 4 x ) = m
2



1
1
⇔ cos 2 4 x − cos4x - = m ( 5a )
2
2

Đặt
m

t = cos4x, t ∈ [ −1;1] .

( 5b )

( 5a ) ⇔ t 2 −
Khi đó

1 1
t − = m ( 5b )
2 2

. Bài toán quy về tìm

t ∈ [ −1;1] .

để phương trình
có nghiệm
1 1
1
f ( t) = t2 − t −
t
=
,
D
t ∈ [ −1;1]
2 2
4
Xét
trên
có
ta có bảng biến thiên sau:

10

−
Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có nghiệm thì:

9
≤ m ≤ 1.
16

Trong trang này: Ví dụ 5 tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

n

2.3.3.1

2.3.3.2

2.3.3 Các bài toán có nghiệm trên tập D.
Một số chú ý.
Trong phần này, chúng ta cần chú ý về tương quan nghiệm sau khi đặt ẩn phụ: Có
D1
t
x
nghĩa là cứ một nghiệm trên miền
thì cho ta bao nhiêu nghiệm trên miền
D,
để làm tốt việc này ta có thể sử dụng đường tròn lượng giác. Ngoài ra trong
phần này tác giả còn sử dụng công thức
minh.
Một số bài toán.

Ví dụ 1. [4] Tìm

Giải. Ta có

t ∈ [ 0;1] ,

về tìm

m

m

cos3x = 4cos3 x − 3cosx

mà không chứng

để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt thuộc
cos4x + 6sinx.cosx = m ( 1)

( 1) ⇔ 2sin

2

2 x − 3sin 2 x + m − 1 = 0

ngoài ra ta thấy, cứ mỗi

. Đặt

t ∈ [ 0;1]

t = sin 2 x

thì cho ta một

để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
2t 2 − 3t = 1 − m ( 1a )

. Khi

 π
x ∈  0; 
 4

 π
0; 4 

 π
x ∈ 0; 
 4

thì

. Bài toán quy

t ∈ [ 0;1]

11

f ( t ) = 2t − 3t
2

Xét

trên

t ∈ [ 0;1]

có

3
tD = ,
4

ta có bảng biến thiên sau:

( 1a )

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình
có hai nghiệm phân biệt
9
17
− < 1 − m ≤ −1 ⇔ 2 ≤ m < .
8
8

Ví dụ 2. Tìm

Giải. Ta có

m

để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
sin 2 x + sinx + 1 − 5m = 0 ( 2 )

( 2 ) ⇔ sin 2 x + sinx + 1 = 5m

t ∈ [ 0;1]

thì

 π π
x ∈ − ; 
 2 2

.

Trong trang này: Ví dụ 1 tham khảo từ TLTK số 4, lời giải “của” tác giả. Ví dụ 2 là “của” tác giả.

Đặt

t = sinx

, với

 π π
x ∈  − ;  ⇒ t ∈ [ −1;1]
 2 2

 π π
x ∈ − ; 
 2 2

một nghiệm

có 2 nghiệm phân biệt
f ( t) = t + t +1

. Bài toán quy về tìm

m

để phương trình

cho

t 2 + t + 1 = 5m

t ∈ [ −1;1] .

2

Xét

. Ta thấy cứ một nghiệm

t ∈ [ −1;1]

trên đoạn

[ −1;1]

tD = −
có

1
2

, ta có bảng biến thiên sau

12


Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

t ∈ [ −1;1]

thì:

3
3
1
< 5m ≤ 1 ⇔
4
20
5

Vậy để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì

Ví dụ 3. [4]

Xác định

m

3
1
20
5

để phương trình sau có đúng 7 nghiệm thuộc khoảng
cos3x - cos2x + mcosx - 1=0 ( 3)

 π

 − ;2π ÷.
 2


Giải.
cos3x - cos2x + mcosx - 1=0

⇔ 4cos3 x − 3cos x − 2cos 2 x + 1 + m cos x − 1 = 0
 cosx = 0
( 3a )
⇔ cosx ( 4cos 2 x − 2cos x + m − 3) = 0 ⇔ 
2
 4cos x − 2cos x + m − 3 = 0 ( 3b )

( 3a ) ⇔ x =
Giải

π
+ kπ .
2

Bài toán quy về tìm

m

Do

để pt

 π

x ∈  − ;2π ÷
 2


( 3b )

nên

π

x
=


2

 x = 3π

2

có 5 nghiệm thuộc

.

 π
  π 3π 
 − ;2π ÷ \  ; 
 2
 2 2 

Trong trang này: Ví dụ 3 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

13


Phương trình

( 3b )

đặt

t = cosx ( t ≤ 1) ,

phương trình trở thành

Từ đường tròn lượng giác để phương trình
 π
  π 3π 
 − ;2π ÷\  ; 
 2
 2 2 
−1 < t1 < 0 < t2 < 1

Xét

( 3c )

thì phương trình

có 5 nghiệm thuộc

có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

.

f ( t ) = 4t 2 − 2t

trên

[ −1;1]

tD =
có

1
4

, ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên ta có, để phương trình
−1 < t1 < 0 < t2 < 1

( 3b )

4t 2 − 2t = 3 − m ( 3c ) .

thì

( 3c )

có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn

0 < 3 − m
⇔ 1 < m < 3.

3
−
m
<
2


m

Ví dụ 4.[4] Cho phương trình tham số
1
+ cot 2 x + m ( tanx+cotx ) + 2 = 0 ( 4 )
2
cos x

Xác định
Giải

m

Điều kiện:

để phương trình vô nghiệm.

sin 2 x ≠ 0 ( *)

1
+ cot 2 x + m ( tanx+cotx ) + 2 = 0
2
cos x
⇔ tan 2 x + cot 2 x + m ( tanx+cotx ) + 3 = 0

14


t = tanx+cotx
Đặt
Để phương trình

( t ≥ 2) .

( 4)

Khi đó phương trình trở thành:

vô nghiệm thì

t 2 + mt + 1 = 0 ( 4a )

( 4a )

( −∞; −2] ∪ 2; +∞ ) .

vô nghiệm trên miền
m
2
t
=
−
D
f ( t ) = t + mt + 1
( −∞; −2] ∪ 2; +∞ )
2
Xét
trên
có
, ta có các trường hợp
sau:
m

− ≤ −2 ⇔ m ≥ 4.
2
Trường hợp 1:
Ta có bảng biến thiên sau:
Trong trang này: Ví dụ 4 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

( 4a )

( −∞; −2] ∪ 2; +∞ )

Từ bảng biến thiên ta có, pt
vô nghiệm trên miền
m ≥ 4
m ≥ 4

⇔
 m2
> 0 −2 < m < 2
1 −

4
(vô lý).
m
− ≥ 2 ⇔ m ≤ −4.
2
Trường hợp 2:
Ta có bảng biến thiên sau:

thì:

15


Từ bảng biến thiên ta có, pt
m ≤ −4
m ≤ −4

2
⇔
 m

> 0  −2 < m < 2
1 −

4

−2 < −
Trường hợp 3:

( 4a )

vô nghiệm trên miền

thì:

(vô lý).

m
< 2 ⇔ −4 < m < 4.
2

Từ bảng biến thiên ta có, phương trình

( −∞; −2] ∪ 2; +∞ )

( −∞; −2] ∪ 2; +∞ )

Ta có bảng biến thiên sau:

( 4a )

vô nghiệm trên miền

thì:


 −4 < m < 4

  −4 < m < 4
 m ≤ 0


5
 5 − 2m ≥ 5 + 2m
 m > −
 5 + 2m > 0
5
5

2

⇔
⇔− 

2
2
  −4 < m < 4

−4 < m < 4
 5 − 2m ≤ 5 + 2m






m ≥ 0
 5 − 2m > 0

 n < 5
 
2

Vậy để phương trình vô nghiệm thì:

5
5
− 2
2

16


Ví dụ 5.[4] Cho phương trình
( cosx+1) ( cos2x - mcosx ) = m sin 2 x ( 5 )
a.

Giải phương trình khi

m = −2.
 2π 
0; 3  .

m
Tìm để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn
( 5) ⇔ ( cosx+1) ( cos2x - mcosx ) = m ( 1 − cosx ) ( 1 + cosx )
Giải. a)
⇔ ( cosx+1) ( cos2x - m ) = 0
b.

⇔ ( cosx+1) ( 2cos 2 x − m − 1) = 0 ( 5a )

m = −2, ( 5a ) ⇔ ( cosx+1) ( 2cos 2 x + 1) = 0

Với
⇔ cosx = -1 ⇔ x = π +k2π ( k ∈¢ ) .

b) Ta thấy

 2π 
x ∈ 0;  .
 3 

x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )

không có nghiệm
 1 
 2π 
 1 
t = cosx, x ∈ 0;  ⇒ t ∈  − ;1
t ∈  − ;1
 3 
 2 
 2 
Đặt
. Ta thấy cứ một nghiệm
cho

một nghiệm

 2π 
x ∈ 0;  .
 3 

Bài toán quy về tìm
 1 
t ∈  − ;1
 2 

m

để phương trình

2t 2 − 1 = m ( 5b )

có 2 nghiệm phân biệt

.

Trong trang này: Ví dụ 5 được tham khảo từ TLTK số 4, lời giải là “của” tác giả.

f ( t ) = 2t − 1
2

Xét

trên

 1 
 − 2 ;1

có

tD = 0

, ta có bảng biến thiên sau:

17

Từ bảng biến thiên ta có, phương trình
1
−1 < m ≤ − .
2
thì

( 5b )

có 2 nghiệm phân biệt

 1 
t ∈  − ;1
 2 

Bài tập áp dụng không có hướng dẫn giải.

1.

2.

[5] Tìm

b.

4.

để phương trình sau có nghiệm
m cos 2 x − 4sin x.cosx - m - 2 = 0

[5] Cho phương trình:
a.

3.

m

 π
x ∈  0; ÷
 4

sin 2 x + ( 2m − 2 ) sinx.cosx - ( m + 1) cos 2 x = m

m = 2.
Giải phương trình khi
m
Tìm để phương trình có nghiệm.

[5] Tìm

[5] Tìm

m

m

để phương trình sau có đúng một nghiệm thuộc đoạn
cos 4 x + 6sinx.cosx = m

để phương trình có đúng một nghiệm thuộc đoạn

( cos x + 1) ( cos2x - mcosx ) = m sin 2 x

 π
0; 4 

 2π 
0; 3 

18


Trong trang này: Bài tập áp dụng 1, 2, 3, 4 tham khảo từ TLTK số 5.

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường.
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có
chất lượng tương đương nhau là học sinh lớp 11A1 và lớp 11A2 trường THPT
Nông Cống 2 – Nông Cống. Trong đó lớp 11A1 chưa được tiếp cận phương pháp
đã sử dụng trong đề tài, kiểm tra bằng hình thức tự luận, thời gian làm bài 45 phút
với kết quả thu được như sau:

Lớp

Sĩ số

Điểm < 5

5

≤

Điểm < 8

Điểm

≥

8

Số lượng

%

Số lượng

%

Số lượng

%

11A2

39

2

5.1

10

25.5

27

69.4

11A1

42

23

55

11

26

8

19

Đối với đồng nghiệp trong trường tôi cũng đã được triển khai ở các buổi sinh
hoạt chuyên môn và được các đồng chí đánh giá cao về hiệu quả trong quá trình
giảng dạy.

3.

3.1

KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

Kết luận.

Sáng kiến kinh nghiệm đề cập về sự biến thiên của hàm số bậc hai cùng với
sự tương quan đồ thị để giải quyết một số bài toán lượng giác chứa tham số lớp 11.
Những kết quả chính của sáng kiến kinh nghiệm là:
•

Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về sự biến thiên của hàm số bậc hai, sự tương
quan hình học.

19


•

Nhắc lại điều kiện để phương trình có nghiệm hay có

•

n

nghiệm trên miền D.

Đưa ra một số bài tập dưới dạng ví dụ để làm sáng tỏ những điều trên.

Kết quả thu được: Sau nhiều năm tác giả mạnh dạn đưa sáng kiến vào dạy học
sinh lớp 11 Trường THPT Nông Cống 2, đa số học sinh được tiếp cận đều giải được

bài toán về phương trình chứa tham số bằng phương pháp chiều biến thiên.
3.1

Kiến nghị.
Nhà trường cần tổ chức nhiều hơn các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy

cho toàn thể cán bộ giáo viên.
Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên được phổ biến rộng rãi.
Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học
tập.
Qua việc nghiên cứu một vấn đề nhỏ này tôi hy vọng cùng các đồng nghiệp có
thể góp phần nhỏ cải tiến nâng cao kết quả giảng dạy bộ môn.

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 4 năm 2019.
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, không sao chép nội dung của người
khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)

Nguyễn Bá Đại
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]

Lê Khắc Bảo (2003), 172 bài toán có chứa tham số, Nhà xuất bản giáo dục.

[2] Phan Huy Khải (1999), Phương pháp đồ thị để biện luận hệ có tham số, Nhà
xuất bản giáo dục.

20


[3] Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan – Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng
– Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục.
[4]

Đề thi tuyển sinh Đại học các trường.

[5] Tham khảo từ một số tài liệu trên mạng internet
- Nguồn:
- Nguồn:
- Nguồn:

DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH
GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP
CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

21


Họ và tên tác giả: NGUYỄN BÁ ĐẠI
Chức vụ và đơn vị công tác: THPT Nông Cống 2

TT

Tên đề tài SKKN

1.

Về chiều biến thiên và áp dụng
giải một số bài toán chứa tham số
nhằm nâng cao năng lực giải toán
cho học sinh lớp 10 trường
THCS và THPT Nghi Sơn huyện
Tĩnh Gia

Cấp đánh
giá xếp loại
(Phòng, Sở,
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B, hoặc
C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

Cấp Ngành

C

2017 - 2018

* Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ khi tác giả được tuyển dụng vào
Ngành cho đến thời điểm hiện tại.

----------------------------------------------------

22