Chuyên đề hhkg góc khoảng cách

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

CHUYÊN ĐỀ : GÓC-KHOẢNG CÁCH
Vấn đề 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
S . ABC
SA SB SC
Câu 1. Cho hình chóp
có các cạnh bên
,
,
tạo với đáy các góc bằng nhau và đều
( SBC )
AB = 5 BC = 8 AC = 7
d
300
A
bằng
. Biết
,
,
, khoảng cách
từ điểm
đến mặt phẳng
bằng
35 13
35 39
35 13
35 39
d=

d=
d=
d=
52
52
26
13
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
·
a 3 BAD = 60° SA
S . ABCD
O
Câu 2. Cho hình chóp
có đáy là hình thoi tâm , cạnh bằng
,
,
vuông
( ABCD )
M,N
SC
45°.
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng
và

bằng
Gọi
lần lượt
( SMN )
AB, CD
A
là trung điểm
. Tính khoảng cách từ đến
.
3 5a
17 a
3 17 a
5a
.
.
.
.
5
17
17
5
A.
B.
C.
D.
Câu 3.

Cho hình chóp

S

Đỉnh

S . ABC

có đáy

ABC

A, B, C
cách đều các điểm

. Biết góc giữa đường thẳng

600

bằng
. Khoảng cách từ trung điểm
a 39
3a 13
13
13
A.
.
B.
.
Câu 4.

Câu 5.

là tam giác vuông tại đỉnh

Cho hình chóp

S . ABCD

của

SC

đến mặt phẳng
a 39
26
C.
.

2a

.

B.

2

.

là hình vuông,

, với

SB

AC = 2a BC = a
,

và mặt phẳng

( SAB )

D.

SA

bằng
a 13
26

( ABC )

.

.

SA = a M

vuông góc với đáy,
,
là trung
( SAC )
CD

SD
30°
điểm
, góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khoảng cách từ điểm
( SBM )
D
đến mặt phẳng
bằng
a
5a
4a
2a
3
3
3
3
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
( ABCD )
SA = a 3
S . ABCD
Chóp

có
vuông góc với mặt đáy
.Tứ giác đáy $ABCD$ là hình
1
( SAC )
5
SB
tan
vuông.Góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
có giá trị
bằng
.Tính khoảng
( SBC )
A
cách từ đến
.
a
A.

có

ABCD

M

B

C.

a 2

Địa chỉ truy cập  />
.

D.

a

.

 Trang 1 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Câu 6.

Cho hình chóp

S . ABC

A.
Câu 8.

Câu 9.

0
·
A ABC = 60 , BC = 2a

H
có đáy là tam giác vuông tại ,
, Gọi
là hình

( ABC )
SA
vuông góc với mặt phẳng
, và
tạo với đáy
( SAC )
a
600
B
một góc bằng
, Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
theo .
a
2a
2a 5
a
5
5
5
5
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
S . ABCD
60°
a
Cho hình chóp đều
, cạnh đáy bằng , góc giữa mặt bên và mặt đáy là
. Tính
( SCD )
B
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
.
chiếu vuông góc của

Câu 7.

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

a
4

.

A

lên

B.

BC

, biết

a 3
4

.

SH

C.

a 3
2

.

D.

a
2

.

ABC. A′B′C ′
ABC
a.
A′
Cho lăng trụ

có đáy
là tam giác đều cạnh
Hình chiếu của
lên mặt
( BCC ′B′)
( ABC )
BC .
A′
phẳng
trùng với trung điểm
Tính khoảng cách từ
đến mp
biết góc
( ABB ′A′) ( A′ B ′C ′ )
60°
giữa hai mặt phẳng
và
bằng
.
3a 7
a 21
a 3
3a
d=
d=
d=
d=
14
14
4

4
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABC
a
G
ABC
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng , gọi
là trọng tâm tam giác
.
( SBC )
60°
A
Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
. Tính khoảng cách từ đến
.

A.

3a
4

.

B.

a
4

.

C.

a 3
2

D.
.
·
2a 3 BAD = 120°
S . ABCD
O
Câu 10. Cho hình chóp
có đáy là hình thoi tâm
cạnh
,
. Hai mặt phẳng
( SAB )
( SAD )
( SBC )
và
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng
và

( ABCD )
( SBC )
45°
D
bằng
. Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng
.
2a 3
3a 2
3a 2
a 3
3
4
2
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABCD
ABCD
A
D
Câu 11. Cho hình chóp
có đáy

là hình thang vuông tại
và
,
0
( ABCD )
AB = AD = 2a, CD = a
( SBC )
30
I
, góc giữa hai mặt phẳng
và
bẳng
. Gọi là trung
( ABCD )
( SBI )
( SCI )
AD
điểm của
. Biết hai mặt phẳng
và
cùng vuông góc với mặt phẳng
,
( SBC )
a
h
I
tính theo khoảng cách từ đến
.
Địa chỉ truy cập  />
.

3a 3
2

 Trang 2 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

h=

A.

a 15
5

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

h=

.

B.
có đáy

ABC

h=

.

C.

3a 5
10

h=

.
a

D.

a 3
5

.

S
. Hình chiếu vuông góc của
( SBC )
ABC
xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác
. Góc tạo bởi mặt phẳng
với đáy
uuur
2 uuur
MS = − MA
( SBC )
h

a
300
3
M
M
bằng
. Gọi
là điểm thỏa
. Tính khoảng cách từ
đến
theo .
a 3
a 3
a 5
2a 5
h=
h=
h=
h=
5
10
2
5
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
S . ABCD
ABCD
A
D AB = AD = 2a
Câu 13. Cho hình chóp
có đáy
là hình thang vuông tại
và ;
,
( SIB ) ( SIC )
DC = a
I
AD
. Điểm là trung điểm đoạn
, mặt phẳng
và
cùng vuông góc với mặt
( ABCD )
( SBC )
( ABCD )
d1
60°
phẳng
. Mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc
, gọi
là
( SBC ) d 2

( SBC )
A
I
khoảng cách từ
đến mặt phẳng
và
là khoảng cách từ đến mặt phẳng
.
d1 + 2d 2
Tính tổng số
bằng.
4 15a
3 15a
2 15a
15a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABC
a
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60°
C
N M

AB BC
. Gọi ,
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,
. Khoảng cách từ điểm
đến
( SMN )
mặt phẳng
bằng
7 13
5a 13
3a 13
a 13
26
26
26
26
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Vấn đề 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
ABC. A′B′C ′
AB = AC = a
Câu 15. Cho lăng trụ đứng
có đáy là tam giác vuông cân,

. Đường thẳng
( BCC ′B′)
AC ′
30°
hợp với mặt phẳng
một góc bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
BC
AC ′
và
.
2a
a 3
a 3
a 3
4
3
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABC
ABC
B AB = 3a BC = 4a

Câu 16. Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại ,
,
. Cạnh bên
( ABC )
SA
SC
60°
M
vuông góc với đáy. Góc tạo bởi đường thẳng
với mặt phẳng
bằng
. Gọi
AC
SM
AB
là trung điểm của cạnh
, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
.
10a 3
5a
a 3
5a 3
79
2
A.
.
B.

.
C.
.
D.
.
Câu 12. Cho hình chóp

S . ABC

3a 15
10

là tam giác đều cạnh

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 3 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

a
M N
có cạnh đáy bằng . Gọi
,
lần lượt là trung điểm
( ABC )
SA
BC
MN
60°

của
và
. Biết góc giữa
và mặt phẳng
bằng
. Khoảng cách giữa hai
BC
DM
đường thẳng
và
là
15
30
15
15
a.
.
a.
a.
a.
62
31
68
17
A.
B.
.
C.
.
D.

.
S . ABC
SA
a
Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng và góc giữa đường thẳng
với mặt
( ABC )
60°
G
ABC
phẳng
bằng
. Gọi
là trọng tâm của tam giác
, khoảng cách giữa hai đường
GC
SA
thẳng
và
bằng
a 5
a 2
a
a 5
10
5
5
5
A.

.
B.
.
C.
.
D. .
S . ABC
ABC
a SA ⊥ ( ABC )
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác đều cạnh ,
, góc giữa đường
( ABC )
SB
60°
AC
SB
thẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
a 2
a 15
a 7
2a
2
5

7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABCD
ABCD
AB = 2a AD = 4a
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật có
,
,
SA ⊥ ( ABCD )
SC
60°
BC N
M
, cạnh
tạo với đáy góc
. Gọi
là trung điểm của
,
là điểm trên
DN = a
MN

SB
AD
cạnh
sao cho
. Khoảng cách giữa
và
là
8a
2a 285
a 285
2a 95
19
19
19
19
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABC
ABC
SA
B AB = a
Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông cân tại ,

. Cạnh bên
vuông
o
( ABC )
60
SB
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa
và
bằng
.Khoảng cách giữa hai đường thẳng
SC
AB
và
bằng?
a 2
a 3
a 3
a
2
2
3
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
ABC. A′B′C ′
a

A′
Cho hình lăng trụ
có đáy tam giác đều cạnh . Hình chiếu vuông góc của
trên
o
( ABC )
60
A′C
h
AB
là trung điểm của
, góc giữa
và mặt đáy bằng
. Tính khoảng cách giữa
AC
BB′
hai đường thẳng
và
.
3a
4a
6a
a 3
h=
52
3
52
4
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.

Câu 17. Cho hình chóp tứ giác đều

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

S . ABCD

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 4 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

S . ABCD

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

ABCD

( SAB )

3

Câu 23. Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh bằng . Hai mặt phẳng
và
( SAC )
SB
60°
M
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa
và mặt phẳng đáy bằng
. Gọi
,

N

là các điểm lần lượt thuộc cạnh đáy

BC

khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
3 3

3 3
730
370
A.
.
B.
.
Câu 24.

Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

CD

và
DM

sao cho

và

C.

BM = 2MC

và

CN = 2 ND

. Tính

SN .
3
370

.
S . ABCD
ABCD
O AB = a BC = a 3
Cho hình chóp
có đáy
là hình chữ nhật tâm ,
,
. Tam
( SAD )
( ABCD )
ASO
S
SD
giác
cân tại , mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng
, góc giữa
và
( ABCD )
60°
SB

AC
bằng
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
a 3
3a
a
3a
2
2
2
4
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
B
,
S . ABC
AB = a.
SA
Cho hình chóp
có đáy là tam giác vuông cân tại
Cạnh bên
vuông góc
( ABC ) ( SBC )

60°
với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
bằng
. Khoảng cách giữa
SC
AB
hai đường thẳng
và
bằng
a 3
a 2
a 3
a
2
2
3
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
( SCD )
S . ABCD
2a
SAB
Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh

, tam giác
đều, góc giữa
( ABCD )
60o
M
AB
và
bằng
. Gọi
là trung điểm của cạnh
. Biết rằng hình chiếu vuông góc
( ABCD )
S
ABCD
của đỉnh
trên mặt phẳng
nằm trong hình vuông
. Khoảng cách giữa hai
SM
AC
đường thẳng
và
là
a 5
3a 5
a 5
5a 3
10
10
5

3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
·
a,
S . ABCD
SAB
S
BAC
= 60°
Cho hình chóp
đáy là hình thoi cạnh
góc
, tam giác
cân tại
( SCD )
30°
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng
tạo với đáy góc
. Tính khoảng
d
SB
AD.
cách giữa hai đường thẳng

và
21
3
2 3
21
d=
a
d=
a
d=
a
d=
a
14
5
5
7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

Địa chỉ truy cập  />
.

D.

3
730

 Trang 5 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Câu 28. Cho khối chóp
trên mặt phẳng

( SCD )

phẳng
2a 38
A. 17 .

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

S . ABCD

( ABCD )

có đáy

ABCD

là điểm

H

là hình vuông cạnh

thuộc đoạn

và mặt phẳng đáy bằng
2a 13
3 .
B.

45°

BD

2a

sao cho

. Hình chiếu vuông góc của

HD = 3HB

S

. Biết góc giữa mặt
SA

. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và

2a 51
3a 34
C. 13 .
D. 17 .

BD

là

a 5
M
AB
có cạnh bên bằng
. Gọi
là trung điểm của
. Biết góc
( SAB ) ( SCD )
600
SM
giữa hai mặt phẳng
và
bằng
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
và

Câu 29. Cho hình chóp đều

S . ABCD

AC

bằng
a 3
7
A.
.

Câu 30.

Câu 31.

Câu 32.

Câu 33.

B.

a 21
7

.

C.

a 14
7

a 7
7

D.
.
ABC. A′B′C ′
A AB = a, AC = a 3
Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là tam giác vuông tại ,
. Gọi
′
′
( ABM)
CC ′
300
M
là trung điểm của
. Biết góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng đáy bằng
.
AB
B′M
Khoảng cách giữa
và
bằng
a 3
a 2
a 3
a 2
2
2
A.
.

B.
.
C.
.
D.
.
S . ABC
SA
ABC
Cho hình chóp tam giác
có
vuông góc với mặt đáy. Tam giác
vuông cân tại B,
0
mp
(
SBC
)
mp
(
ABC
)
60
BA = BC = a
, góc giữa
với
bằng
. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp
SAC
BC

AI
tam giác
. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
với
là
a 3
a 3
a 2
a 6
4
2
3
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC. A′B′C ′
A′A = 3a
Cho hình lăng trụ đứng
có mặt đáy là tam giác đều, cạnh
. Biết góc giữa
0
′
( A BC )
45

A′B
mặt phẳng
và mặt phẳng đáy bằng
. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau
a
CC ′
và
theo là
3a 3
3a 3
a
3a
3
2
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
SA ⊥ ABCD
S.ABCD
ABCD
a
Cho hình chóp
có
và
là hình vuông có cạnh bằng . Góc
ABCD

450
SC
giữa
và mặt đáy
bằng
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
BD
SC
và
.

(

(

A.

a
.
2

.

)

)

B.

a 2

.
2

C.

a 2.

Địa chỉ truy cập  />
D.

a.

 Trang 6 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

SA
S . ABCD
a
Câu 34. Cho hình chóp
có đáy là hình vuông cạnh , đường thẳng
vuông góc với mặt
( ABCD )
( SBC )
( ABCD )
60°
phẳng

, góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
bằng
. Khoảng cách
SC
AD
giữa hai đường thẳng
và
bằng:
a 3
a
a 2
2a
2
2
2
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
S . ABCD
ABCD
a SA ⊥ ( ABCD )
Câu 35. Cho hình chóp
có đáy
là hình vuông cạnh .
và mặt bên

( SCD )
( ABCD )
60°
SC
AB
hợp với mặt đáy
một góc
. Khoảng cách
và
bằng
a 3
a 2
a 2
a 3
3
3
2
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 36. Cho hình chóp

S . ABCD

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật,

AB = 2a BC = a
,

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
a
SC.
BE
theo khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
a 30
a 3
a 15
10
2
5
A.
.
B.
.
C.
.

Câu 37. Cho hình chóp
giữa

BD

SC

S.ABCD

và mặt đáy
SC
và
.

a
.
2

A.
Vấn đề 3. Góc

(

có
ABCD

B.

(

SA ⊥ ABCD

)

bằng

a 2
.
2

450

)

và

ABCD

E

, mặt bên

là trung điểm của

D.

a

SAB

CD

là

. Tính

.

là hình vuông có cạnh bằng

a

. Góc

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

C.

a 2.

D.

a.

S . ABCD
O
2a
Câu 38. Cho hình chóp tứ giác đều
với
là tâm của đa giác đáy. Biết cạnh bên bằng
và
SO = a 3
. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

45°
30°
90°
60°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC
C
AB = a.
SAB
S.ABC
Câu 39. Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
với
Tam giác
SC
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa đường thẳng
và
ABC
.
o
60
30o

90o
45o
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.

(

)

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 7 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

S . ABCD

AD = 2 AB = 2 BC = 2CD = 2a

ABCD

Câu 40. Cho hình chóp

có đáy
là hình thang cân,
. Hai
( SAB ) ( SAD )
( ABCD )
M, N
mặt phẳng
và
cùng vuông góc với mặt phẳng
. Gọi
lần lượt là
( SAC )
SB
CD
MN
trung điểm của
và
. Tính cosin góc giữa
và
, biết thể tích khối chóp
3
a 3
S . ABCD
4
bằng
.
5
3 310
310
3 5

10
20
20
10
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
ABC. A ' B ' C '
AB = AC = a
Câu 41. Cho hình lăng trụ đứng
có đáy là tam giác cân với
, cạnh bên
( ABC )
( AB ' I )
BB ' = a
CC '
I
. Gọi là trung điểm của
. Tính cosin của góc giữa hai mặt
và
.
a
BC
2
AA '

Biết khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau
và
là .

A.

3
5

3
10

.

7
10

1
2

B.
C.
D.
SA
=
SC
, SB = SD, SO = a
S . ABCD
ABCD
O

Câu 42. Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi tâm ,
.
Khoảng cách từ điểm
( ABCD )
.
ϕ = 300
A.
.

A

đến mặt phẳng

B.

( SBD )

ϕ = 900
S . ABCD,

là

a

. Tính góc giữa đường

ϕ = 600

C.
ABCD

D.

SC

và mặt phẳng

ϕ = 450

O;
a,
Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều
có đáy
là hình vuông cạnh bằng
tâm
cạnh
CD, H
O
SM .
a 2.
M
bên bằng
Gọi
là trung điểm của
là điểm đối xứng của
qua
Góc giữa
( SCH ) ( SCD )

hai mặt phẳng
và
bằng
3
3
2
2
arcsin
.
arcsin
.
arcsin
.
arcsin
.
7
14
14
7
A.
.
B.
.
C.
.
D.
( ABCD ) SA = a
S . ABCD
SA
ABCD

Câu 44. Cho hình chóp
có
vuông góc với mặt phẳng
,
, đáy
là
( SBC )
AB = BC = a AD = 2a
A
B
hình thang vuông tại
và với
,
. Góc giữa hai mặt phẳng
và
( SCD )
bằng
30°
60°
150°
90°
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
S . ABCD

ABCD
AB = 3 BC = 4
SAC
Câu 45. Cho hình chóp
, đáy
là hình chữ nhật với
,
, tam giác

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,
phẳng

( SAB )

và

( SAC )

d ( C ; SA ) = 4

. Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt

.

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 8 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

A.

5 34
34

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

.

Câu 46. Cho hình chóp

B.

3 17
17

.

2 34
17

C.

.
AD = 2a

S . ABCD

3 34
34

D.
.
AB = a
SA
,
, cạnh bên
vuông

có đáy là hình chữ nhật với
( ABCD )
BC
C
M
góc với mặt phẳng đáy
. Gọi
là trung điểm của
. Biết khoảng cách từ điểm
a
( SDM )
( ABCD)
SC
tan
2
đến mặt phẳng
bằng , tính
của góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
.
1

5
5
5
10
1
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
Vấn đề 4. Min , max về góc , khoảng cách.
a
ABCD. A′B ′C ′D ′
Câu 47. Cho hình lập phương
cạnh bằng . Trong các mặt phẳng chứa đường thẳng
d ( A, ( α ) )
(α)
( BDD′B′ )
CD′
, gọi
là mặt phẳng tạo với
một góc nhỏ nhất. Tính
.
a 6
a 6
a 6
a 6
6

2
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
′
′
′
ABC. A B C
M
Câu 48. Cho hình lăng trụ tam giác đều
có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi
là điểm nằm
(C ′MB)
( ABC )
AA′
trên cạnh
sao cho mặt phẳng
tạo với mặt phẳng
một góc nhỏ nhất. Tính
C ′MB
diện tích tam giác
.
6
2

3
2 3
4
4
4
3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2a 3
a
S . ABC
O
3
Câu 49. Cho hình chóp đều
có cạnh đáy bằng , cạnh bên bằng
và
là tâm của đáy.
( P)
AB
,
AC
M,N
SO
Mặt phẳng

thay đổi chứa
và cắt các đoạn thẳng
lần lượt tại các điểm
M,N
( P)
SA
A
(
khác ). Khi góc tạo bởi đường thẳng
và mặt phẳng
có số đo lớn nhất, hãy
2
2
AM + AN
tính

A.

a2

3a 2
.
4

.

Câu 50. Cho hình thoi

ABCD

có

B.
·
BAD
= 600 , AB = 2a

( ABCD )

369a 2
400

C.
. Gọi

H

.

là trung điểm

D.
AB

8a 2
9

.

, trên đường thẳng

d

S
SC
H
lấy điểm thay đổi khác . Biết rằng góc giữa
m
m
4
SH
=
a
.
( SAD )
m, n
n
n
và
có số đo lớn nhất khi
( với
là các số tự nhiên và
là phân số tối
m+n
giản). Khi đó tổng
bằng:

vuông góc với mặt phẳng

A.

7

B.

25

tại

H

C.

23

Địa chỉ truy cập  />
D.

5

 Trang 9 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

1.B
11.C
21.C
31.B
41.B

2.C
12.B
22.D
32.B
42.D

3.A
13.D
23.B
33.A
43.A

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

4.A
14.C
24.D
34.D
44.A

Bảng đáp án
6.D
7.C
16.D
17.B
26.C
27.D
36.A
37.A

46.A
47.C

5.D
15.C
25.A
35.D
45.D

8.A
18.B
28.D
38.D
48.A

9.A
19.B
29.B
39.A
49.D

10.B
20.A
30.A
40.C
50.B

Lời giải
CHUYÊN ĐỀ : GÓC-KHOẢNG CÁCH
Vấn đề 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Câu 1.

Cho hình chóp
bằng
bằng

300

d=

A.

S . ABC

có các cạnh bên

SA SB SC
,
,
tạo với đáy các góc bằng nhau và đều

( SBC )
AB = 5 BC = 8 AC = 7
d
A
. Biết
,
,
, khoảng cách
từ điểm

đến mặt phẳng

35 39
13

d=
.

B.

35 39
52

d=
.

C.

35 13
52

d=
.

D.

35 13
26

.

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Nhã, FB: Thanh Nha Nguyen
Chọn B

+) Kẻ

SH ⊥ ( ABC )

+) Ta có

tại

HA HB HC

,

,

H

.

( ABC )
SA SB SC
lần lượt là hình chiếu vuông góc của
,
,
lên
.

·
·
·
SAH
= SBH
= SCH
= 300 ⇒ ∆SAH = ∆SBH = ∆SCH

+) Theo giả thiết ta có
⇒ HA = HB = HC
∆ABC
H
. Do đó
là tâm đường tròn ngoại tiếp
.

+) Ta có

3VS . ABC
1
VS . ABC = d ( A, ( SBC ) ) .S ∆SBC ⇒ d ( A, ( SBC ) ) =
S∆SBC
3

Địa chỉ truy cập  />
,

( *)

.

 Trang 10 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

p=

+)

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

AB + BC + AC
= 10 ⇒ S
∆ABC =
2

S∆ABC =

+)

+)

+)

Thế vào
Câu 2.

7

3

.

SB + SC + BC 26
⇒ S ∆SBC =
=
2
3

( *)

ta được

Cho hình chóp

p ' ( p '− SB ) ( p '− SC ) ( p '− BC ) =

70 3
3VS . ABC
35 39
d ( A, ( SBC ) ) =
= 3 =
S ∆SBC
52
8 13
3

S . ABCD

có đáy là hình thoi tâm

góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng
là trung điểm

A.

3 5a
.
5

.

.

1
70 3
VS . ABC = SH .S ∆ABC =
3
9

p' =

.

AB.BC. AC
AB.BC. AC 7 3
⇒ HA = R =
=
4R

4 S ∆ABC
3

SH = AH .tan 30 0 =

+)

p ( p − AB ) ( p − BC ) ( p − AC ) = 10 3

AB, CD

. Tính khoảng cách từ

B.

17 a
.
17

A

O

SC

đến

C.

8 13

3

.

.

·
a 3 BAD
= 60° SA
, cạnh bằng
,
,
vuông

và

( ABCD )

( SMN )
3 17 a
.
17

bằng

45°.

Gọi

M,N

lần lượt

.

D.

5a
.
5

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Thanh Nhã; Fb: Thanh Nha Nguyen
Chọn C

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 11 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

( ABCD ) ,

Trong

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

dựng

AI ⊥ MN , I ∈ MN ,

ta được

MN ⊥ ( SAI ) ⇒ ( SMN ) ⊥ ( SAI )

( SMN ) ∩ ( SAI ) = SI
( SAI ) ,

Trong

AH ⊥ SI , H ∈ SI ⇒ AH ⊥ ( SMN ) ⇒ d ( A, ( SMN ) ) = AH .

dựng

Góc giữa đường thẳng
∆BCD

∆SAC

đều cạnh bằng

vuông tại

∆AIM

∆SAI

vuông tại

vuông tại

A,

SC

và

a 3

( ABCD )

⇒ CO =

Cho hình chóp
Đỉnh
bằng

A.

SA
⇒ SA = AC .tan 45° = 3a.
AC

·
tan SCA
=

ta có

AI

a 3 3 3a
·
·
I , IAM
= 30° ⇒ cos IAM
=
⇒ AI = AM .cos30° =
.
= .
AM
2 2
4

A

, đường cao

AH

Vậy khoảng cách khoảng cách từ

S

3a
⇒ AC = 2CO = 3a.
2

, ta có

1

1
1
1
1
17
= 2+ 2= 2+ 2 = 2
2
9a
AH
SA
AI
9a
9a
16

3 17a
.
17

⇒ AH =

Câu 3.

bằng

·
45° ⇒ SCA
= 45°.

S . ABC

có đáy

A

đến

ABC

( SMN )

bằng

3 17a
.
17

là tam giác vuông tại đỉnh

A, B, C
cách đều các điểm

600

a 39
13

. Biết góc giữa đường thẳng

. Khoảng cách từ trung điểm

.

B.

3a 13
13

.

M

của

SC

đến mặt phẳng

C.

a 39
26

.

B

, với

SB

AC = 2a BC = a
,

và mặt phẳng

( SAB )

D.

( ABC )

bằng

a 13
26

.

Lời giải
Chọn A

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 12 

.


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019
S

M
Q
A
C

H
K
B

Đỉnh

S

S

A, B , C
cách đều các điểm

( ABC )

lên mặt phẳng

thẳng

SB

BH =

Có

và mặt phẳng

là trung điểm

( ABC )

là

H

nên

d ( M ; ( SAB ) )

H

cân tại

⇒ ( SHK ) ⊥ ( SAB )
⇒ d ( M ; ( SAB ) )

, gọi

K

là tam giác vuông tại đỉnh
của

·
SBH
= 600

1
AC = a = AH
⇒ ∆AHB
2

MH / / SA

∆AHB

ABC

và

AC SH ⊥ ( ABC )
.

H AB = a 3

HQ ⊥ SK

. Kẻ
, khi đó:
= d ( H ; ( SAB ) ) = HQ
.

nên hình chiếu của

. Suy ra góc giữa đường

.

cân tại
;
= d ( H ; ( SAB ) )

là trung điểm

B

.

.

AB

. Khi đó:

 AB ⊥ KH
⇒ AB ⊥ ( SHK )

 AB ⊥ SH

HQ ⊥ ( SAB )

2

a 3
a
HK = BH − KB = a − 
÷ =
2 SH = t an600.HB = a 3
 2 
2

Có:

2

SK = SH 2 + HK 2 = 3a 2 +

2

;

a 2 a 13
=
4
2

a
a 3.
2 = a 39
=
SH .HK
13

13
⇒ HQ =
a
SK
2

;

.

.

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 13 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Câu 4.

Cho hình chóp
điểm
D

CD

S . ABCD

A.

có

ABCD

, góc giữa đường thẳng

đến mặt phẳng
a
3

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

( SBM )

.

là hình vuông,
SD

SA

và mặt phẳng

vuông góc với đáy,

( SAC )

bằng

30°

SA = a M

,

là trung

. Khoảng cách từ điểm

bằng

B.

5a
3

.

C.

4a
3

.

D.

2a
3

.

Lời giải
Chọn A

Gọi

Đặt

OD ⊥ AC
⇒
·
O = AC ⊥ BD
OD ⊥ SA ⇒ OD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( SD, ( S AC ) ) = DSO = 30°

AB = x

Gọi

x 2
x 6
=
2 ⇒ SO = OD.cot 30°
2

SA + AO = SO
2

Lại có:

⇒ OD =

2

2

⇒ a2 +

2

x
3x
=
2
2

.

2

⇒ x2 = a2 ⇒ x = a

d D, SBM ) ) 1
DI DM 1 ⇒ ( (
=
⇒
=
=
d ( A, ( SBM ) ) 2
AI

AB 2
BM ∩ AD

⇒ d ( D, ( SBM ) ) =

1
h
d ( A, ( SBM ) ) =
2
2

A.SBI

.

.

.

AS , AB, AI

Lại có: Tứ diện
có
đôi một vuông góc
1
1
1
1
⇒ 2=
+

+ 2 = 9 ⇒ h = 2a ⇒ d ( D, ( SBM ) ) = a
2
2
h
AS
AB
AI
4a 2
3
3

Địa chỉ truy cập  />
.

 Trang 14 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Câu 5.

Chóp

S . ABCD

có

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

SA = a 3

vuông.Góc giữa đường thẳng
cách từ

A.

2a

A

đến

( SBC )

vuông góc với mặt đáy

SB

và mặt phẳng

( ABCD )

( SAC )

.Tứ giác đáy $ABCD$ là hình

có giá trị

tan

1
5

bằng

.Tính khoảng

.

.

B.

a
2

.

C.

a 2

.

D.

a

.

Lời giải
Chọn D
S

H

A

B
O

D

Gọi:

O = AC ∩ BD

Ta có:

 BD ⊥ AC
·
·
⇒ BD ⊥ ( SAC ) ⇒ ( BD, ( SAC ) ) = BSO

 BD ⊥ SA

Trong tam giác

·
tan BSO

=

⇒ AB =

Kẻ:

C

BSO

.

,có:

BO
BO
1
a 3
=
=
⇔ BO =
SO
2
5
3a 2 + BO 2

a 6
2

AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d( A,( SBC ) ) = AH

Trong tam giác

SAB

,có:

1
1
1
= 2+
⇒ AH = a
2
AH
SA
AB 2

Địa chỉ truy cập  />
.

 Trang 15 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Câu 6.

Cho hình chóp

S . ABC

chiếu vuông góc của
một góc bằng

A.

a
5

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

600

A

0
·
A ABC = 60 , BC = 2a
H
có đáy là tam giác vuông tại ,
, Gọi
là hình

lên

BC

, biết

SH

, Tính khoảng cách từ

.

B.

2a
5

B

vuông góc với mặt phẳng
đến mặt phẳng

.

C.

a 5

( SAC )

.

( ABC )

theo

a

, và

SA

tạo với đáy

.

D.

2a 5
5

.

Lời giải
Chọn D
S

K
0

B

60
60

0

A

M

H
C

1
AB = BC cos 600 = 2a. = a
AC = BC sin 600 = a 3
ABC
2
Trong tam giác
, có:
.
AH =

Ta có:

AB. AC a.a 3 a 3
=
=
BC
2a
2
·
·
SH ⊥ ( ABC ) ⇒ ( SA, ( ABC ) ) = SAH
= 600

Trong tam giác vuông

Kẻ:

SAH

SH = AH tan 600 =
, có:

3a
2

,

 HM ⊥ AC
⇒ HK ⊥ ( SAC )

 HK ⊥ SM

Trong tam giác

ABC

, có:

BH BA2 1
4
4
=
= ⇒ d( B ,( SAC ) ) = d ( H ,( SAC ) ) = HK

2
BC BC
4
3
3

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 16 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

CH HM CA2 3
3
3a
=
=
= ⇒ HM = AB =
2
CB
AB CB
4
4
4
Trong tam giác

SHM

, có:

1
1
1
4
16
20
3a 5
4 3a 5 2a 5
=
+
= 2 + 2 = 2 ⇒ HK =
⇒ d( B ,( SAC ) ) = .
=
2
2
2
HK
SH
HM
9a 9 a
9a
10
3 10
5

Câu 7.

Cho hình chóp đều

khoảng cách từ điểm

A.

a
4

S . ABCD
B

.

đến mặt phẳng

B.

a

, cạnh đáy bằng

a 3
4

( SCD )

, góc giữa mặt bên và mặt đáy là

60°

. Tính

.

.

C.

a 3
2

.

D.

a
2

.

Lời giải
Tác giả: Chu Minh ; Fb: Minhchu
Chọn C
d ( B; ( SCD ) )

d ( O; ( SCD ) )

* Ta có:
Trong đó

* Gọi

I

H

BD
=2
OD
⇒ d ( B; ( SCD ) ) = 2.d ( O; ( SCD ) ) = 2OH

là hình chiếu vuông góc của

là trung điểm của

Xét tam giác

* Do

=

SOCD

SOI

CD

vuông tại

O

O

lên

( SCD )

.

.

ta có:

.

SO = OI .tan 60 =
ta có:

là tứ diện vuông tại

O

nên:

a 3
2

.

1
1

1
1
2
2
4
16
=
+
+
= 2+ 2+ 2 = 2
2
2
2
2
OH
OC
OD OS
a
a 3a
3a

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 17 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

⇒ OH =

Câu 8.

a 3
a 3
⇒ d ( B; ( SCD ) ) =
4
2
ABC. A′B′C ′

Cho lăng trụ
phẳng

( ABC )

A.

3a 7
14

có đáy

( ABB ′A′)

và

d=

.

B.

.

ABC

trùng với trung điểm

giữa hai mặt phẳng
d=

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

là tam giác đều cạnh

BC .

Tính khoảng cách từ

( A′ B ′C ′ )

a 21
14

bằng

60°

A′

Hình chiếu của

A′

( BCC ′B′)

đến mp

lên mặt
biết góc

.
3a
4

d=

.

a.

C.
Lời giải

d=

.

D.

a 3
4

.

Tác giả: Chu Minh ; Fb: Minhchu
Chọn A

Gọi
Vì

H

là trung điểm

∆ABC

BC

, theo giả thiết

là tam giác đều nên

AH ⊥ BC

A′ H ⊥ ( ABC )

. Vậy

.

BC ⊥ ( A′ AH ) ⇒ BC ⊥ AA′

.

CM ⊥ AB NH
,
là đường trung bình
( ABB ′A′) ( A′ B ′C ′ )
∆BCM
HN //CM ⇒ HN ⊥ AB
nên
. Mà góc giữa hai mặt phẳng
và
bằng
( ABB ′A′) ( ABC )
góc giữa hai mặt phẳng
và
là góc
.
Gọi

M

là trung điểm

AB N

( A′ AH )

,

là trung điểm

MB

. Ta có

AA′ //BB ′
K
HK ⊥ AA′
tại . Ta thấy
mà
HK ⊥ ( BCC ′B ′ )
⇒ HK ⊥ BB ′ HK ⊥ BC
,
nên
.

Trong mặt phẳng

Vì

AA′ //BB ′

nên

, kẻ

HK ⊥ AA′

d ( A′; ( BCC ′B′) ) = d ( K ; ( BCC ′B′ ) ) = HK

Địa chỉ truy cập  />
.
 Trang 18 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

HN =

Ta có

⇒ HK =

Câu 9.

1
a 3
3a
CM =
⇒ A′ H = NH .tan 60° =
2
4
4

∆A′ AH

Trong

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

3a 7
14

AH =

có

a 3
2

A′ H =

;

S . ABC

Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

A.

.

nên

1
1
1
16
4

28
=
+
= 2+ 2 = 2
2
2
2
HK
A′H
AH
9a
3a
9a

.

Cho hình chóp tam giác đều

3a
4

3a
4

.

B.

a
4

có cạnh đáy bằng

60°

a

, gọi

. Tính khoảng cách từ

.

a 3
2

C.

G

A

là trọng tâm tam giác

đến

( SBC )

.

.

.

3a 3
2

D.

ABC

.

Lời giải
Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh
Chọn A

M

Gọi
Do

là trung điểm của

S . ABC

Vậy

BC

. Do tam giác

là hình chóp đều nên

ABC

SG ⊥ ( ABC ) ⇒ SG ⊥ BC

 BC ⊥ AM

⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ SM
 BC ⊥ SG
 AM ∩ SG = G


Ta có

đều nên

AM ⊥ BC

.

.

.

 BC = ( ABC ) ∩ ( SBC )

·

 AM ⊂ ( ABC ) , AM ⊥ BC ⇒ ( ( ABC ) , ( SBC ) ) = ( AM , SM ) = SMA

 SM ⊂ ( SBC ) , SM ⊥ BC

Địa chỉ truy cập  />
.

 Trang 19 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

·
⇒ SMA
= 60°

Theo đề bài
Do
Kẻ

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

. Do

BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAM )
GH ⊥ SM ( H ∈ SM )

GM =
Ta có

. Khi đó

Từ đó
Câu 10. Cho hình chóp

( SAB )

và

( ABCD )
3a 2
4

S . ABCD

( SAD )

bằng

.

nên

45°

3a
4

d ( A, ( SBC ) ) = 3d ( G , ( SBC ) )

.

.

GH ⊥ ( SBC )

GH = d ( G, ( SBC ) )

nên

AM a 3
a
=
⇒ GH = GM sin 60° =
3
6
4

d ( A, ( SBC ) ) = 3GH =

A.

AM = 3GM

.

.

.

có đáy là hình thoi tâm

O

·
2a 3 BAD
= 120°
cạnh
,
. Hai mặt phẳng

cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa hai mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ

B.

3a 2
2

D

.

đến mặt phẳng

C.

a 3
3

( SBC )

.

( SBC )

và

.

D.

2a 3
3

.

Lời giải
Tác giả: Trần Tuấn Anh ; Fb:Trần Tuấn Anh
Chọn B

Do
Do

( SAB ) ⊥ ( ABCD )

( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD )

 SA = ( SAB ) ∩ ( SAD )

.

AD P BC ⇒ AD P( SBC ) ⇒ d ( D, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )

Địa chỉ truy cập  />
.
 Trang 20 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

Từ giả thiết suy ra tam giác

Vậy

ABC

là trung điểm của

BC

, ta có

AM ⊥ BC

·
⇒ SMA
= 45°

. Suy ra tam giác

BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAM )

AH ⊥ SM ( H ∈ SM )
AH =

Ta có

Câu 11. Cho hình chóp

AB = AD = 2a, CD = a

điểm của
tính theo
h=

AD

a

. Vậy

từ

I

h=

.

B.

AB 3
= 3a.
2

( SBI )

đến

và

( SBC )

3a 15
10

là hình thang vuông tại
( SBC )

( SCI )

và

( ABCD )

bẳng

300

A

và
I

. Gọi

cùng vuông góc với mặt phẳng

D

,

là trung

( ABCD )

,

.
h=

.

.

3a 2
2

ABCD

có đáy

. Biết hai mặt phẳng

h

A

⇒ SA = AM =

AH = d ( A, ( SBC ) )

nên

, góc giữa hai mặt phẳng

khoảng cách

a 15
5

AH ⊥ ( SBC )

d ( D, ( SBC ) ) =

S . ABCD

vuông cân tại

.

.

. Khi đó

AM 3a 2
=
2
2

SAM

.

.

 BC = ( ABCD ) ∩ ( SBC )

·
 AM ⊂ ( ABCD ) , AM ⊥ BC ⇒ ( ( ABCD ) , ( SBC ) ) = ( AM , SM ) = SMA

 SM ⊂ ( SBC ) , SM ⊥ BC

Theo đề bài

A.

M

 BC ⊥ AM

⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ SM
 BC ⊥ SA
 AM ∩ SA = A


Ta có

Kẻ

đều. Lấy

C.
Lời giải

3a 5
10

h=

.

D.

a 3
5

.

Tác giả: Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen
Chọn C

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 21 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

( SBI ) ⊥ ( ABCD )

( SCI ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD )

( SBI ) ∩ ( SCI ) = SI

Ta có:
Kẻ

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

( SBC )

IM ⊥ BC ( M ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIM )

Dựng

( ABCD )

suy ra góc tạo bởi
và
HI ⊥ SM ( H ∈ SM ) ⇒ BC ⊥ IH ⇒ IH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( I , ( SBC )) = IH
S ABCD =

Ta có:
S IBC

Suy ra

( AB + CD). AD
= 3a 2
2

S IAB + S ICD =

,
3a 2
= S ABCD − ( S IAB + S IDC ) =
2

là

·
SMI
= 300

AI . AB ID.IC 3a 2
+
=

2
2
2

3a 2
2S
3a 5
BC = ( AB − DC ) 2 + AD 2 = a 5 ⇒ IM = IBC = 2 =
BC
5
a 5
2

Mặt khác

IHM

Xét tam giác

Vậy

3a 5
3a 5
·
IH = IM .sin HMI
=
.sin 300 =
5
10

ta có:
3a 5
h = d ( I , ( SBC ) ) =
10

Câu 12. Cho hình chóp

S . ABC

.

có đáy

ABC

a

là tam giác đều cạnh

. Hình chiếu vuông góc của

S

( SBC )

ABC

xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác
. Góc tạo bởi mặt phẳng
với đáy

uuur
2 uuur
MS
=
−
MA
( SBC )
h
a
300
3
M
M
bằng
. Gọi
là điểm thỏa
. Tính khoảng cách từ
đến
theo .
h=

A.

a 3
5

h=

.

B.

a 3
10

h=

.

C.
Lời giải

a 5
2

h=

.

D.

2a 5
5

.

Tác giả: Nguyễn Thị Bích; Fb: Bich Nguyen
Chọn B

Địa chỉ truy cập  />

 Trang 22 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Gọi

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

H

là trọng tâm tam giác
MS 2
=
SA
SA 5
đoạn
và
.

ABC

, suy ra

AM ∩ ( SBC ) = { S } ⇒ d ( M , ( SBC ) ) =

Ta có
Mặt khác gọi

SH ⊥ ( ABC )

, do

uuur
2 uuur
MS = − MA
3

nên

thuộc

MS
2
d ( A, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )
SA
5

I = AH ∩ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) )

(1)
AI
=
d ( H , ( SBC ) ) = 3d ( H , ( SBC ) )
HI

d ( H , ( SBC ) ) = HK

HK ⊥ SI ( K ∈ SI )

M

(2)

Dựng
khi đó
(3)
¶ = 300
BC ⊥ ( SAI )
( SBC )
SIA
ABC
Do
nên góc tạo bởi
với mặt đáy là
. Ta có
là tam giác đều
AI a 3
¶ = a 3 .sin 300 = a 3
HI =
=
⇒ HK = HI .sin SIA
a
3
6
6
12
cạnh nên
.
6 a 3 a 3

h = d ( M , ( SBC ) ) = .
=
5 12
10
Từ (1)(2)(3) suy ra
.

S . ABCD

Câu 13. Cho hình chóp

DC = a

phẳng

. Điểm

( ABCD )

khoảng cách từ
Tính tổng số
A.

4 15a

.

I

có đáy

ABCD

là trung điểm đoạn

. Mặt phẳng
A

( SBC )

đến mặt phẳng

d1 + 2d 2

AD

là hình thang vuông tại

, mặt phẳng

( SIB )

và

d2

( SIC )

( ABCD )

tạo với mặt phẳng

( SBC )

và

A

là khoảng cách từ

và

D

AB = AD = 2a

;

,

cùng vuông góc với mặt
một góc

I

60°

, gọi

đến mặt phẳng

d1

là

( SBC )

.

bằng.
B.

3 15a

.

C.

2 15a

.

D.

15a

.

Lời giải
Tác giả: Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó

Chọn D
Địa chỉ truy cập  />
 Trang 23 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

Ta có

( SIB ) ⊥ ( ABCD )

( SIC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ ( ABCD ) ⇒ SI ⊥ BC (1)

( SIB ) ∩ ( SIC ) = SI

Trong mp
Từ

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

(1)

Ta có :

( ABCD )

và

, kẻ

IH ⊥ BC

E

)

(

⇔ S IBC =

là trung điểm cạnh

Lại có

AB

(SIH)

kẻ

vuông tại

K

IK ⊥ SH

tại

Sin 60° =
ta có:

.

.

K

2S IBC
AD + AE
2

2

⇔ IH =

3a
5

.

.

 IK ⊥ SH
⇒ IK ⊥ (SBC) ⇒ d 2 = IK = d(I,(SBC))

 IK ⊥ BC

∆IKH

.

3a 2
1
1
1
AD ( AB + CD ) − ID.DC − IA. AB ⇔ S IBC =
2
2
2
2

2S
1
IH .BC ⇒ IH = IBC ⇔ IH =
2
BC

Trong mặt phẳng

Xét

.

(SBC) ∩ (ABCD) = BC

 AH ⊂ (ABCD), AH ⊥ BC ⇒
·
SH ⊂ (SBC),SH ⊥ BC
= 600
(·SBC ) , ( ABCD ) = SHI



S IBC =

Ta có :

H, H ∈ BC (2)

(2) ⇒ BC ⊥ ( SIH ) ⇒ BC ⊥ SH

S IBC = S ABCD − S ICD − SIAB

Gọi

tại

.

.

IK
3a 3 3 15a
⇒ IK = IH.sin 60° =
.
=
IH
10
5 2

Địa chỉ truy cập  />

.

 Trang 24 


STRONG TEAM TOÁN VD-VDC

(ABCD) :

Trong
∆

DC

và

Do

, gọi

CHUYÊN ĐỀ :GÓC-KHOẢNG CÁCH – TỔ 8 – 2018-2019

N

đi qua
∆

là giao điểm của

và

A

IH

và song song với

. Khi đó ta có:

Ta có :

(SNH)

kẻ

IP ⊥ SH

P

Ta có:
NH = NI + IH =
Ta có:

∆NPH

s in 60° =

là giao điểm của

.

.

.

.

nên ta có:

NP
4a 3 2 15a
⇒ NP = NH.sin 60° =
.
=
NH
5
5 2

d1 + 2d 2 = 15a

M

.

IN MD
IA.MD a.a
a
=
⇒ IN =
=

=
IA AM
AM
a 5
5

a 3a 4a
+
=
5
5
5

P

vuông tại

, gọi

.

 NP ⊥ SH
⇒ NP ⊥ (SBC) ⇒ d1 = NP = d(N, (SBC))

 NP ⊥ BC
∆ANI : ∆ADM (g.g.g) ⇒

Vậy:

tại

BC

∆ / / BC
⇒ NH ⊥ ∆

 NH ⊥ BC

AN / / BC
⇒ AN / / (SBC) ⇒ d(A,(SBC))= d(N,SBC))

BC ⊂ (SBC)

Trong mặt phẳng

Xét

∆

Kẻ đường thẳng

.

.

S . ABC
a
Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều
có cạnh đáy bằng , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
60°

C
N M
AB BC
. Gọi ,
lần lượt là trung điểm của các cạnh
,
. Khoảng cách từ điểm
đến
mặt phẳng

A.

7 13
26

.

( SMN )

bằng

B.

5a 13
26

.

C.

3a 13
26

.

D.

a 13
26

.

Lời giải
Tác giả: Phó Văn Giang; Fb: Giang Phó
Chọn C

Địa chỉ truy cập  />
 Trang 25 