H.D ÔN THI TN TOÁN 12 (2)

Đề cương ơn tập Tốn 12
HƯỚNG DẪN ƠN THI TỐT NGHIỆP
MƠN TỐN
****************************
A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m; định giá trị của tham số m
để phương trình có nghiệm…
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
- Tìm ngun hàm, tính tích phân.
Câu III (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn
xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu IV.(2 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng; tính khoảng cách từ một điểm đến ặt phẳng.
Câu V.(1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng
B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG
PHẦN I: GIẢI TÍCH
Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
I/ Khảo sát hàm đa thức:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:
B1: Tập xác đònh: D=

¡
.
B2: Tìm
lim y
x
=
→±∞
B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trò của hàm số tại các nghiệm vừa tìm được.
B4: Lập bảng biến thiên
B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 ⇒ điểm uốn.
B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trò bên trái và một điểm có hoành độ lớn hơn cực trò bên phải.
B7:Vẽ đồ thò
Các dạng đồ thò hàm bậc 3:
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x


' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
=


>

y
a

' 0
0
≥ ∀



>

y x
a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0
0
≤ ∀


<

y x
a

Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thò hàm trùng phương:

y' 0 có 3 nghiệm phân biệt
a 0
=


>


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


>


' 0 có 3 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0 có 1 nghiệm đơn
0

y
a
=


<

Chú ý: Đồ thò hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng.
1
x
Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y
/
=0
f’(x)
Xét dấu y
/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số
Đề cương ơn tập Tốn 12
2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x
3
+3x
2
– 4
Giải:
Tập xác đònh: D = R
lim
x
y
→±∞

=±∞
y
′
= 3x
2
+6x = 3x(x+2), cho
0 4
0
2 0
x y
y
x y
= ⇒ = −

′
= ⇔

= − ⇒ =

Lập bảng biến thiên.
x
−∞
-2 0 +
∞
y
/
+ 0 - 0 +
y 0 CT +
∞
-

∞
CĐ -4
6 6y x
′′
= +
cho
y
′′
= 0
⇔
x= –1
⇒
y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn
Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)
Vẽ đồ thò hàm số:

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x
2
– x
4
Giải
MXĐ : D= R
lim
x
y
→±∞
=−∞
y
′
= 4x–4x

3
= 4x(1–x
2
) cho
y
′
= 0
⇔
4x(1–x
2
)=0
⇔
x = 0 y=0
x = 1 y=1
⇒


± ⇒


Lập bảng biến thiên:
x
−∞
-1 0 1 +
∞
y
/
+ 0 - 0 + 0 -
y 1 CT 1
-

∞
CĐ 0 CĐ -
∞


y
′′
= 4–12x
2
cho
y
′′
= 0
⇔
x =
3
3
±
⇒
y=
5
9
y
′′
đổi dấu qua x =
3
3
±
⇒
Đồ thị hàm số có 2 điêm uốn là

3 5
;
3 9
 
±
 ÷
 ÷
 
Điểm đặc biệt: A
( )
2;0
B
( )
2;0−

Đồ thò:
II/ Khảo sát hàm nhất biến:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm
ax b
y
cx d
+
=
+
:
B1: TXĐ D = R\
d
c
−
 

 
 
B2: Tiệm cận ngang là:
a
y
c
=
. Tiệm cận đứng là x =
d
c
−
.
2
2
-2
-4
x
y
14 -2
2
-2
x
y
1
6
4
2
-2
5
x

y
Đề cương ơn tập Tốn 12
B3: Tính đạo hàm y’=
( )
2
. .a d b c
cx d
−
+

⇒
tính đơn điệu của hàm số
B4: Lập bảng biến thiên.
x Ghi miền xác đònh của hàm số
f’(x) Xét dấu y
/
f(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số
B5:Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ.
B6:Vẽ đồ thò
Dạng đồ thò hàm b1/b1
y’< 0
x D∀ ∈
y’> 0
x D∀ ∈
2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y =
2 2
1
x
x
−

+
.
MXĐ: D= R\
{ }
1−
y
′
=
( )
2
4
1x +
> 0
x
∀ ∈
D
⇒
hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác đònh của nó.
TCĐ: x=–1 ; TCN: y = 2
Lập bảng biến thiên.
Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4)
Đồ thò:
Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/ Bài toán : Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
 Dùng đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình f(x)=
( )m
ϕ
.
 Phương pháp giải:
B1: Vẽ đồ thò (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )

B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y=
( )m
ϕ
. Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.
Ví dụ:
Cho hàm số y=x
3
– 6x
2
+ 9x (C).
Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
Giải:
Phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
⇔
x
3
– 6x
2
+ 9x = m
Số nghiệm của phương trình là số giao
điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d: y=m.
dựa vào đồ thò ta có:

Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm.
Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm.
Bài tập đề nghò:
Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x
4
– 4 x
2
+ 5.
b/ Dùng đồ thò (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x
4
– 4 x
2
+ 5=m.
3
x -
∞
-1 +
∞
y
/
+ +
y +
∞
2
2 -
∞

2 4 6 8-2-4-6-8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
x
y
Đề cương ơn tập Tốn 12
Bài 2: Cho hàm số y= x
3
- 3x – 2 có đồ thò (C)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b/ Dùng đồ thò (C), đònh m để phương trình: x
3
- 3x – 2=m có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 3: Cho hµm sè :
3 2
y x 3x 2= - +
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cđa hµm sè.
b) BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x
3
-3x
2
+m + 1=0
Bài 4: Cho hµm sè

4 2
y x 2x 1= − −
cã ®å thÞ (C)
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
b. Dïng ®å thÞ (C), h·y biƯn ln theo m sè nghiƯm thùc cđa ph¬ng tr×nh
4 2
x 2x m 0 (*)− − =
Bài 5: Cho hàm số
1
4 2
y
4
x x= −
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

4 2
x 4x 4m 0 (*)− − =

Bài 6 : Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 1.
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m :
x
3
+ 3x

2
+ 1 =
m
2
.
Bài 7: Cho hàm số: y =
42
2 xx
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
02
24
=+−
mxx
.
Bài 8: Cho hàm số y =
2
5
3
2
2
4
+−
x
x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào (C); biện luận theo m số nghiệm phương trình:

0256

24
=−+−
mxx
Bài 9: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
- 2
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm
II/ Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x
0
;f(x
0
)) :
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
;f(x
0
))

là: y =
/

0
f (x ) (x–x
0
) + f(x
0
)
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)
⇒
f ’(x
0
), f(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là:y =
/
0
f (x ) (x–x
0
) + f(x
0
)
3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y
0
:
B1: Tìm f ’(x) .

B2:Do tung độ là y
0
⇔
f(x
0
)=y
0
. giải phương trình này tìm được x
0
⇒
f
/
(x
0
)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
là:y =
/
0
f (x ) (x–x
0
) + y
0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M
0
(x
0
;y

0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

)(
0
xf
′
=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x
0

⇒
f(x
0
)
⇒
phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a=-1.
Ví dụ 1 :

Cho đường cong (C) y = x
3
.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Giải:
Ta có y’= 3.x
2
4
Đề cương ơn tập Tốn 12
a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1)
( )C∈
có
0
0
x 1
f(x ) 1
= −


= −

⇒ f’(x
0
)= 3.(-1)
2
= 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x
0
)(x-x
0

)+f(x
0
) = 3.(x+1) + (-1)
b/ Ta có x
0
= -2 ⇒
0
0
f(x ) 8
f '(x ) 12
= −


=

⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
c/ Ta có tung độä bằng y
0
= –8
⇔
f(x
0
)= -8
⇔

3
0
x
=-8
⇒

x
0
=-2
⇒
f’(x
0
)=12
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16
d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3
⇔
f’(x
0
)=3
⇔
3.
2
0
x
=3

⇔

x
0
=
±
1
với x
0

=1
⇒
f(x
0
)=1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
với x
0
=-1
⇒
f(x
0
)= -1
⇒
Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
Bài tập đề nghò:
Bài 1: Cho hàm số y= x
3
- 3x
2
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
1
3
x + 2006. f/Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2).
Bài 2: Cho hàm số y=
2

1
x x
x
− +
+
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 2.
c/ Tại điểm có tung độ y=-
3
2
. d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1. e/Biết tiếp tuyến đi qua A(2;0).
Chủ đề III: Phương trình, bất phương trình mũ loga
1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :
a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
= b ( a> 0 ,
0a
≠
)
• b
≤
0 : pt vô nghiệm
• b>0 :
log
x
a
a b x b= ⇔ =
Dạng
log

a
x b=
( a> 0 ,
0a ≠
)
• Điều kiện : x > 0
•
log
b
a
x b x a= ⇔ =
b/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
> b ( a> 0 ,
0a ≠
)
• b
≤
0 : Bpt có tập nghiệm R
• b>0 :
.
log
x
a
a b x b> ⇔ >
, khi a>1
.
log
x

a
a b x b> ⇔ <
, khi 0 < a < 1
Dạng
log
a
x b>
( a> 0 ,
0a
≠
)
• Điều kiện : x > 0
•
log
b
a
x b x a> ⇔ >
, khi a >1

log
b
a
x b x a> ⇔ <
, khi 0 < x < 1
Bài tập đề nghò:
Phương trình mũ:
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các phương trình sau
a)
4

3
2 4
x−
=
b)
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
c)
2
2 3 3 5
3 9
x x x− + −
=
d)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)
5 17

7 3
1
32 128
4
x x
x x
+ +
− −
=
f) 2
x

+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
g) (1,25)
1 – x
=
2(1 )
(0,64)
x+

Dạng 2. đặt ẩn phụ

Bài 2 : Giải các phương trình
a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0
c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0 d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
x x+
   
− + =
 ÷  ÷
   
e)
3
5 5 20
x x−
− =
f)

( ) ( )
4 15 4 15 2
x x
− + + =
g)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
2 1
)3 9.3 6 0
x x
h
+
− + =

5
Đề cương ơn tập Tốn 12
i)
1
7 2.7 9 0
x x−
+ − =
(TN – 2007) j)
2 2
2 9.2 2 0
x x+

− + =

Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 3 Giải các phương trình
a) 2
x - 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
2
7 12
5
x x− +
d)
2
2 5 6
2 5
x x x− − +
=
e)
1
5 .8 500
x
x
x
−

=
f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 4: giải các phương trình
a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
b) 3
x
– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3
x/2
= 2
x
Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 5: giải các phương trình

a) log
4
(x + 2) – log
4
(x -2) = 2 log
4
6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d) log
4
(x +3) – log
4
(x
2
– 1) = 0
e) log
3
x = log
9
(4x + 5) + ½ f) log
4
x.log
3
x = log
2

x + log
3
x – 2
g) log
2
(9
x – 2
+7) – 2 = log
2
( 3
x – 2
+ 1)
h)
( ) ( )
3 3 3
log 2 log 2 log 5x x+ + − =
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 6: giải phương trình
a)
1 2
1
4 ln 2 lnx x
+ =
− +
b) log
x
2 + log
2
x = 5/2
c) log

x + 1
7 + log
9x
7 = 0 d) log
2
x +
2
10log 6 9x + =
e) log
1/3
x + 5/2 = log
x
3 f) 3log
x
16 – 4 log
16
x = 2log
2
x
g)
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
h)
2
2
lg 16 l g 64 3
x

x
o+ =
Dạng 3 mũ hóa
Bài 7: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log
5
2 = log
5
(3
x
– 5
2 - x
) b) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x
Bất phương trình mũ
Bài 8: Giải các bất phương trình
a) 16
x – 4
≥ 8 b)
2 5
1
9
3
x+
 
<
 ÷

 
c)
6
2
9 3
x
x+
≤
d)
2
6
4 1
x x− +
>
e)
2
4 15 4
3 4
1
2 2
2
x x
x
− +
−
 
<
 ÷
 
f) 5

2x
+ 2 > 3. 5
x
Bài 9: Giải các bất phương trình
a) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x -2
≤ 3 c)
1 1
1 2
4 2 3
x x
− −
> +
d) 5.4
x

+2.25
x
≤ 7.10
x
e) 2. 16
x
– 2
4x

– 4
2x – 2
≤ 15
f) 4
x +1
-16
x
≥ 2log
4
8 g) 9.4
-1/x
+ 5.6
-1/x
< 4.9
-1/x

Bài 10: Giải các bất phương trình
a) 3
x +1
> 5 b) (1/2)
2x - 3
≤ 3 c) 5
x
– 3
x+1
> 2(5
x -1
- 3
x – 2
)

Bất phương trình logarit
Bài 11: Giải các bất phương trình
a) log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b) log
2
( x + 5) ≤ log
2
(3 – 2x) – 4
c) log
2
( x
2
– 4x – 5) < 4 d) log
1/2
(log
3
x) ≥ 0
e) 2log
8
( x- 2) – log
8
( x- 3) > 2/3f) log
2x
(x
2
-5x + 6) < 1
g)

1
3
3 1
log 1
2
x
x
−
>
+
Bài 12: Giải các bất phương trình
a) log
2
2
+ log
2
x ≤ 0 b) log
1/3
x > log
x
3 – 5/2
c) log
2
x + log
2x
8 ≤ 4 d)
1 1
1
1 log logx x
+ >

−
e)
16
2
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>
−
f)
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log ( )
16 4
x
x
−
− ≤
Bài 13. Giải các bất phương trình
a) log
3
(x + 2) ≥ 2 – x b) log
5
(2
x
+ 1) < 5 – 2x
c) log

2(
5 – x) > x + 1 d) log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) ≤ 2
6
Đề cương ơn tập Tốn 12
Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Các đònh nghóa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm.
Bảng nguyên hàm thường dùng.
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HP :
( )
xuu
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

∫
+−=
+=
+−=
+=
≠<+=
+=
≠+=
−≠+
+
=
+=
+
Cgx
x
dx
Ctgx
x
dx
Cxdxx
Cxdxx
aC
a
a
dxa
Cedxe
xCx
x
dx
C

x
dxx
Cxdx
x
x
xx
cot
sin
,9
cos
,8
cos.sin,7
sin.cos,6
.10,
ln
,5
.,4
.0,ln,3
.1,
1
,2
.,1
2
2
1
α
α
α
α
( )

∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+−=
+=
+−=
+=
≠<+=
+=
≠=+=
−≠+
+
=
+=
+
Cgu
u
du
Ctgu
u
du
Cuduu
Cuduu
aC

a
a
dua
Cedue
xuuCu
u
du
C
u
duu
Cudu
u
u
uu
cot
sin
,9
cos
,8
cos.sin,7
sin.cos,6
.10,
ln
,5
.,4
.0,ln,3
.1,
1
,2
.,1

2
2
1
α
α
α
α
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng
⇒
kết quả.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x
3
– 3x +
x
1
b) f(x) =
x
2
+
x
3
c) f(x) = (5x + 3)
5
d) f(x) = sin
4
x cosx

Giải
a/
4
3 3 2
1 1 x 3
( ) (x - 3x + ) x 3 ln
x x 4 2
f x dx dx dx xdx dx x x c
= = − + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b/
x x
2 3
( ) (2 + 3 ) 2 3
ln2 ln3
x x
x x
f x dx dx dx dx c
= = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
c/
6
5 5
(5 3) (5 3)
( ) (5x+ 3) (5x+ 3)
5 30
d x x
f x dx dx c
+ +
= = = +

∫ ∫ ∫
d/
5
4 4
sin
( ) sin x cosx sin x (sin )
5
x
f x dx dx d x c
= = = +
∫ ∫ ∫
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm
⇒
nguyên hàm cần tìm.
Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(
6
π
)= 0.
Giải
7
Đề cương ơn tập Tốn 12
Ta có F(x)= x –
1
3
cos3x + C. Do F(
6
π

) = 0
⇔

6
π
-
1
3
cos
2
π
+ C = 0
⇔
C = -
6
π
.
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –
1
3
cos3x -
6
π
Bài tập đề nghò:
1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin
2
x.cosx, biết giá trò của nguyên hàm bằng
−
3
8

khi x=
π
3

2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e
1-2x
, biết F(
=
1
) 0
2

3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
3 2
2
2 3 3 1
2 1
x x x
x x
+ + −
+ +
, biết F(
1
1)
3
=
II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Bảng nguyên hàm thường dùng.
Đònh nghóa tích phân, các tính chất của tích phân.

Các phương pháp tính tích phân..
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng
⇒
kết quả.
Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:
a/
3
3
1
( 1)x dx
−
+
∫
b/
4
4
2
4
( 3sin )
cos
x dx
x
π
π
−
−
∫

c/
2
2
1x dx
−
−
∫
Giải
a/
3
3
1
( 1)x dx
−
+
∫
=
3
3 3
4
3
1 1
1
81 1
1 ( ) ( 3) ( 1) 24
4 4 4
x
x dx dx x
− −
−

+ = + = + − − =
∫ ∫
b/
4 4 4
4 4 4
2 2
4
4
4 1
( 3sin ) 4 3 sin (4 3cos )
cos cos
x dx dx xdx tgx x
x x
π π π
π π π
π
π
− − −
−
− = − = + =
∫ ∫ ∫
=
(4 3cos ) [4 ( ) 3cos( )]
4 4 4 4
tg tg
π π π π
+ − − + −
=8
c/
2

2
1x dx
−
−
∫
=
1
2
1x dx
−
−
∫
+
2
1
1x dx−
∫
=
1
2
(1 )x dx
−
−
∫
+
2
1
( 1)x dx−
∫
=(x-

2 2
1 2
2 1
) ( )
2 2
x x
x
−
+ −
=5
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/I=
π
+
∫
2
0
(3 cos2 ).x dx
2/J=
+
∫
1
0
( 2)
x
e dx
3/K=
+
∫

1
2
0
(6 4 )x x dx

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
Phương pháp giải:
b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)
⇒
dx =
u (t). dt
′
b2: Đổi cận:
x = a
⇒
u(t) = a
⇒
t =
α
x = b ⇒ u(t) = b
⇒
t =
β
( chọn
α
,
β
thoả đk đặt ở trên)
b3: Viết
b

a
f(x)dx
∫
về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .
Ví dụ: Tính :
1
2
0
1 x dx−
∫
Đặt x = sint
⇒
dx = cost.dt. Vì x
∈
[0;1] nên ta chọn t
∈
[0; ]
2
π
8
Đề cương ơn tập Tốn 12
Đổi cận: x = 0
⇒
t = 0 ; x= 1 ⇒ t =
2
π
Vậy :
1
2
0

1 x dx−
∫
=
2 2
2
2
0
0 0
1 1 s 2
cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )
2 2 2
in t
t
π π
π
= + +
∫ ∫
=
4
π
Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :

2 2
a x−
thì đặt x=
a
sint t
∈

[ ; ]

2 2
π π
−

2 2
a x+
thì đặt x=
a
tgt t
∈

( ; )
2 2
π π
−

2 2
x a−
thì đặt x=
sin
a
t
t
∈

[ ; ]
2 2
π π
−
\

{ }
0
Dạng 2: Tính tích phân
f[ (x)] '(x)dx
b
a
ϕ ϕ
∫
bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp giải:
b1: Đặt t =
ϕ
(x)
⇒
dt =
'( ). dxx
ϕ
b2: Đổi cận:
x = a
⇒
t =
ϕ
(a) ; x = b
⇒
t =
ϕ
(b)
b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
Ví dụ : Tính tích phân sau :
a/

1
2
0
2 1
1
x
I dx
x x
+
=
+ +
∫
b/
1
2
0
3. .J x x dx= +
∫
Giải:
a/ Đặt t = x
2
+ x +1
⇒
dt = (2x+1) dx
Đổi cận: x = 0
⇒
t =1 ; x = 1
⇒
t = 3 Vậy I=
3

3
1
1
ln ln3
dt
t
t
= =
∫
b/ Đặt t=
2
3x +

⇒
t
2
= x
2
+ 3
⇒
tdt = x dx
Đổi cận: x = 0
⇒
t =
3
; x = 1
⇒
t = 2 Vậy J =
2
2

3
2
3
3
1
(8 3 3)
3 3
t
t dt = = −
∫

Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/
π
∫
2
sin
0
.cos .
x
e x dx
2/
+
∫
1
0
1
x
x

e
dx
e
3/
+
∫
1
1 ln
e
x
dx
x
4/
+
∫
1
2 5
0
( 3)x x dx

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
Công thức từng phần :
. . .
b b
b
a
a a
u dv u v v du= −
∫ ∫
Phương pháp giải:

B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần còn lại là dv tìm v.
B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
B3: Tích phân
b
a
vdu
∫
suy ra kết quả.
Chú ý:
a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho
b
a
vdu
∫
dễ tính hơn
∫
b
a
udv
nếu khó hơn phải tìm cách đặt khác.
b/Khi gặp tích phân dạng :
( ). ( ).
b
a
P x Q x dx
∫
9
Đề cương ơn tập Tốn 12
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số e
ax+b

, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx
Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên.
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a/ I=
2
0
.cos .x x dx
π
∫
b/J=
1
.ln .
e
x x dx
∫
Giải
a/ Đặt :
cos . sin
u x du dx
dv x dx v x
= =
 
⇒
 
= =
 
(chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
vậy I=x cosx
2

0
π
-
2
0
sin .x dx
π
∫
= cosx
2
0
π
= -1
b/ Đặt :
2
1
.
ln
.
2
du dx
u x
x
dv x dx
x
v

=

=



⇒
 
=


=


Vậy J= lnx.
2
2
x
1
e
-
2 2 2 2
2
1
1 1
1 1 1 1
.
2 2 2 2 4 4
e e
e
x e e e
dx xdx x
x
+

= − = − =
∫ ∫
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/
∫
1
3
0
.
x
x e dx
2/
π
∫
4
2
0
cos
x
dx
x
3/
∫
1
ln .
e
x dx
4/
−

∫
5
2
2 .ln( 1).x x dx
5/
π
∫
2
0
.cos .
x
e x dx

Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:
Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
2 2
2
1
1 1
2 1 1 1
(1 ) [ ln 2 1] 1 ln3
2 1 2 1 2 2
x
dx dx x x
x x
= + = + - = +

- -
ò ò
=
1
ln3
2
.
b/
0 0
3 3 2
2 0
1
1 1
3 1 5 23
( 4 ) [ 4 ln 1] ln 2
1 1 3 2 6
x x x x
dx x x dx x x
x x
-
- -
+ +
= + + + = + + + - = -
- -
ò ò
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/I=
+ −
∫

2
3 2
2
1
2 3x x x
dx
x
2/J=
+ +
+
∫
4
2
3
2 5 3
1
x x
dx
x

b/Dạng bậc1 trên bậc 2:
Phương pháp giải:
Tách thành tổng các tích phân rồi tính.
Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:
Ví dụ: Tính các tích phân :
( )
2
2
1
5 1

6
x dx
x x
-
- -
ò

Giải
Đặt
( )
2
5 1
6
x
x x
-
- -
=
5 5 ( 3) ( 2)
( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)
x A B A x B x
x x x x x x
- - + +
= + =
+ - + - + -
⇒
A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2
⇒
A=3. cho x=3
⇒

B=2. vậy ta có:
( )
2
2
1
5 1
6
x dx
x x
-
- -
ò
=
2
2
1
1
3 2 16
( ) (3ln 2 2ln 3 ) ln
2 3 27
dx x x
x x
+ = + + - =
+ -
ò
10
Đề cương ơn tập Tốn 12
Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
Ví dụ: Tính các tích phân :
1

2
0
(2 1)
4 4
x dx
x x
+
- +
ò

Giải
CI:
1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
(2 1) 2 4 5 ( 4 4) 1
( ) 5
4 4 4 4 4 4 4 4 ( 2)
x dx x d x x
dx dx
x x x x x x x x x
+ - - +
= + = +
- + - + - + - + -
ò ò ò ò
=(ln
2
5
4 4 )

2
x x
x
− + −
−
1
0
5
ln 4
2
= −

CII: Đặt
2 2 2 2
2 1 2 1 ( 2)
( 2) 2 1
4 4 ( 2) 2 ( 2) ( 2)
x x A B A x B
A x B x
x x x x x x
+ + - +
= = + = Û - + = +
- + - - - -

⇔
Ax -2A+B= 0
⇔

2 2
2 1 5

A A
A B B
= =
 
⇔
 
− + = =
 
Vậy
1 1
2 2
0 0
2 1 2 5
[ ]
4 4 2 ( 2)
x dx
dx
x x x x
+
= +
- + - -
ò ò
=
1
0
5
(2ln x-2 - )
x-2
=
5

ln 4
2
−
Trường hợp mẫu số vô nghiệm:
Ví dụ: Tính các tích phân :I=
0
2
1
(2 3)
2 4
x dx
x x
-
-
+ +
ò

Giải:
0 0 1
2
2 2 2
1 1 0
2 2 5 ( 2 4)
5
2 4 ( 1) 3 2 4
x d x x
I dx dx J
x x x x x
- -
+ + +

= - = -
+ + + + + +
ò ò ò
Ta có
1
2
2
0
( 2 4)
2 4
d x x
x x
+ +
+ +
ò
=
0
2
1
4
ln/x +2x+4/ ln 4 ln3 ln
3
−
= − =

Tính J=
0
2
1
5

( 1) 3
dx
x
-
+ +
ò
Đặt x+1=
3tgt
(t
∈ ;
2 2
π π
−
 
 
 
)
⇒
dx=
2
3(1 )tg t dt+
.
Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t=
6
π
vậy J=
2
6 6
2
0 0

3(1 ) 3 3
1
(3 3 ) 3 3 6
tg t
dt dt
tg t
π π
π
+
= = −
+
∫ ∫

Vậy I= ln
4
5(
3
−
3
3 6
π
−
)
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
1/I=
− +
∫
1
2
0

1
5 6
dx
x x
2/I=
−
− +
∫
5
2
4
1 2
6 9
x
dx
x x
3/ I=
4
2
2
3 1
4 8
x
dx
x x
−
− +
∫

Dạng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ:

 Dạng1:
+
∫
( , )
b
n
a
R x ax b dx
Đặt t=
n
ax b+
 Dạng 2:
+
+
∫
( , )
b
n
a
ax b
R x dx
cx d
Đặt t=
n
ax b
cx d
+
+
Ví dụ: Tính tích phân I =
1

3
0
1 xdx−
∫
Giải
Đặt t =
3
1 x−

⇔
t
3
= 1-x
⇔
x= 1-t
3

⇒
dx= -3t
2
dt.
Đổi cận:
11
Đề cương ơn tập Tốn 12
x=0
⇒
t=1; x=1
⇒
t=0. Vậy I=
1

0 1
4
2 3
1 0
0
3
.( 3 ) 3 3
4 4
t
t t dt t dt− = = =
∫ ∫
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
1/
−
∫
1
3
0
. 1x xdx
2/
−
−
∫
1
2
2
x
dx
x

Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp
 Dạng:
sin .cos , sin .sin , cos .cosax bxdx ax bxdx ax bxdx
β β β
α α α
∫ ∫ ∫
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải.
 Dạng:
sin ; cos
n n
xdx xdx
β β
α α
∫ ∫
Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến.
Ví dụ :
2 1 2 2
2 2
sin sin sin (1 cos ) sin Đặt t =cosx
1 cos2
cos (cos )
2
n n n
n
n n
xdx x xdx x xdx
x
xdx x dx dx
β β β

α α α
β β β
α α α
+
= = −
+
 
= =
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 Dạng:
(sin ).cos R x xdx
β
α
∫
Đặc biệt:
2 2 1
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+
∫
Phương pháp giải: Đặt t =sinx
 Dạng:
(cos ).sin R x xdx
β

α
∫
Đặc biệt:
2 1 2
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+
∫
Phương pháp giải: Đặt t =cosx
 Các trường hợp còn lại đặt x=tgt
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
π
∫
b/
2
2
0
sin xdx
π
∫
c/
2
3

0
cos xdx
π
∫
d/
2
3 2
0
cos sinx xdx
π
∫
Giải
a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
π
∫
=
π
π
+ = − + =
∫
4
2
0
0
1 1 cos 4 cos2 1
(sin 4 s 2 ) ( )
2 2 4 2 2

x x
x in x dx

b/
π π
π
π
−
= = − =
∫ ∫
2 2
2
2
0
0 0
1 cos2 1 sin 2
sin ( )
2 2 2 4
x x
xdx dx x
c/I=
2
3
0
cos xdx
π
∫
=
π π
= −

∫ ∫
2 2
2 2
0 0
cos .cos . (1 sin ).cos .x x dx x x dx
đặt u=sinx
⇒
du = cosx dx.
x=0
⇒
u=0 ; x=
π
2

⇒
u=1 vậy: I=
− = − =
∫
1
3
1
2
0
0
2
(1 ). ( )
3 3
u
u du u
d/J=

2
3 2
0
cos sinx xdx
π
∫
=
π π
= −
∫ ∫
2 2
2 2 2 2
0 0
cos sin .cos . (1 sin )sin .cos .x x x dx x x x dx
đặt u=sinx
⇒
du = cosx dx.
12
Đề cương ơn tập Tốn 12
x=0
⇒
u=0 ; x=
π
2

⇒
u=1 J=
− = − = − =
∫ ∫
1 1

3 5
1
2 2 2 4
0
0 0
2
(1 ) . ( ). ( )
3 5 15
u u
u u du u u du
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
1/
π
∫
4
0
cos .x dx
2/
π
∫
2
3 3
0
sin .cos .x x dx
3/
2
4 4
0
sin .cos .x x dx
π

∫
4/
2
6
1
sin
dx
x
π
π
∫
III/ Diện tích hình phẳng:
1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là :
( )
b
a
S f x dx
=
∫
2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và
các đường thẳng x= a; x=b là :
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −

∫
Phương pháp giải toán:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
TH1:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
[ ( ) ( )]
b
a
S f x g x dx
= −
∫
TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x
1
∈
(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
1
1
( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
x
b b
a a x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
= − = − + −
∫ ∫ ∫
TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x
1
; x

2
∈
(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
[ ] [ ] [ ]
1 1 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= − + − + −
∫ ∫ ∫
x x x
a x b
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.
* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví dụ 1ï:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2
π
] và trục hoành .
Giải :
Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x=
( )
π π
∈ 0;2
vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
S =
π π π
π
= +
∫ ∫ ∫
2 2

0 0
sin sin sinx dx xdx xdx
=
π π
π
+
2
0
cos cosx x
= 4
Ví dụ 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P
1
): y = x
2
–2 x , và (P
2
) y= x
2
+ 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2 .
Giải
phhđgđ : x
2
–2 x = x
2
+ 1
Û
2x +1= 0
Û
x = -1/2 . Do đó :

S =
2 1/ 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1/ 2
( 2 ) ( 1) [( 2 ) ( 1)] [( 2 ) ( 1)]x x x dx x x x dx x x x dx
-
- - -
- - + = - - + + - - +
ò ò ò
=
( ) ( )
1/ 2 2
1 1/ 2
2 1 2 1x dx x dx
-
- -
+ + +
ò ò
=
( ) ( )
1
2
2 2
2
1
1
2
x x x x
-
- -

+ + +
=
1 25 13
4 4 2
+ =
Ví dụ 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y
2
= 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0.
Giải: Ta có (P): y
2
= 4 x
⇔
x =
2
4
y
và (d): 2x+y-4 = 0
⇔
x=
4
2
y−
.
13