Tải bản đầy đủ (.doc) (34 trang)

H.D ÔN THI TN TOÁN 12 (2)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (645.36 KB, 34 trang )

Đề cương ơn tập Tốn 12
HƯỚNG DẪN ƠN THI TỐT NGHIỆP
MƠN TỐN
****************************
A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu I (3 điểm):
- Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số.
- Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: biện luận số nghiệm của phương trình theo tham số m; định giá trị của tham số m
để phương trình có nghiệm…
Câu II (3 điểm):
- Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit.
- Tìm ngun hàm, tính tích phân.
Câu III (1 điểm):
Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn
xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
Câu IV.(2 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Xác định tọa độ của điểm, vectơ.
- Mặt cầu.
- Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
- Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng; tính khoảng cách từ một điểm đến ặt phẳng.
Câu V.(1 điểm):
Nội dung kiến thức:
- Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm.
- Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng
B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG
PHẦN I: GIẢI TÍCH
Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ:
I/ Khảo sát hàm đa thức:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức:
B1: Tập xác đònh: D=


¡
.
B2: Tìm
lim y
x
=
→±∞
B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trò của hàm số tại các nghiệm vừa tìm được.
B4: Lập bảng biến thiên
B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 ⇒ điểm uốn.
B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trò bên trái và một điểm có hoành độ lớn hơn cực trò bên phải.
B7:Vẽ đồ thò
Các dạng đồ thò hàm bậc 3:
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x


' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
=


>

y
a

' 0
0
≥ ∀



>

y x
a

' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0
0
≤ ∀


<

y x
a

Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Các dạng đồ thò hàm trùng phương:


y' 0 có 3 nghiệm phân biệt
a 0
=


>


' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
=


>


' 0 có 3 nghiệm phân biệt
0
y
a
=


<


' 0 có 1 nghiệm đơn
0

y
a
=


<

Chú ý: Đồ thò hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng.
1
x
Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y
/
=0
f’(x)
Xét dấu y
/
f(x)
Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số
Đề cương ơn tập Tốn 12
2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x
3
+3x
2
– 4
Giải:
Tập xác đònh: D = R
lim
x
y
→±∞

=±∞
y

= 3x
2
+6x = 3x(x+2), cho
0 4
0
2 0
x y
y
x y
= ⇒ = −


= ⇔

= − ⇒ =

Lập bảng biến thiên.
x
−∞
-2 0 +

y
/
+ 0 - 0 +
y 0 CT +

-


CĐ -4
6 6y x
′′
= +
cho
y
′′
= 0

x= –1

y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn
Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)
Vẽ đồ thò hàm số:

Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x
2
– x
4
Giải
MXĐ : D= R
lim
x
y
→±∞
=−∞
y

= 4x–4x

3
= 4x(1–x
2
) cho
y

= 0

4x(1–x
2
)=0

x = 0 y=0
x = 1 y=1



± ⇒


Lập bảng biến thiên:
x
−∞
-1 0 1 +

y
/
+ 0 - 0 + 0 -
y 1 CT 1
-


CĐ 0 CĐ -



y
′′
= 4–12x
2
cho
y
′′
= 0

x =
3
3
±

y=
5
9
y
′′
đổi dấu qua x =
3
3
±

Đồ thị hàm số có 2 điêm uốn là

3 5
;
3 9
 
±
 ÷
 ÷
 
Điểm đặc biệt: A
( )
2;0
B
( )
2;0−

Đồ thò:
II/ Khảo sát hàm nhất biến:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm
ax b
y
cx d
+
=
+
:
B1: TXĐ D = R\
d
c

 

 
 
B2: Tiệm cận ngang là:
a
y
c
=
. Tiệm cận đứng là x =
d
c

.
2
2
-2
-4
x
y
14 -2
2
-2
x
y
1
6
4
2
-2
5
x

y
Đề cương ơn tập Tốn 12
B3: Tính đạo hàm y’=
( )
2
. .a d b c
cx d

+


tính đơn điệu của hàm số
B4: Lập bảng biến thiên.
x Ghi miền xác đònh của hàm số
f’(x) Xét dấu y
/
f(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số
B5:Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ.
B6:Vẽ đồ thò
Dạng đồ thò hàm b1/b1
y’< 0
x D∀ ∈
y’> 0
x D∀ ∈
2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y =
2 2
1
x
x


+
.
MXĐ: D= R\
{ }
1−
y

=
( )
2
4
1x +
> 0
x
∀ ∈
D

hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác đònh của nó.
TCĐ: x=–1 ; TCN: y = 2
Lập bảng biến thiên.
Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4)
Đồ thò:
Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/ Bài toán : Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò
 Dùng đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình f(x)=
( )m
ϕ
.
 Phương pháp giải:
B1: Vẽ đồ thò (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số )

B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y=
( )m
ϕ
. Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm.
Ví dụ:
Cho hàm số y=x
3
– 6x
2
+ 9x (C).
Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0
Giải:
Phương trình x
3
– 6x
2
+ 9x – m = 0

x
3
– 6x
2
+ 9x = m
Số nghiệm của phương trình là số giao
điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d: y=m.
dựa vào đồ thò ta có:

Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm.
Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm.
Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm.
Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm.
Bài tập đề nghò:
Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x
4
– 4 x
2
+ 5.
b/ Dùng đồ thò (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
x
4
– 4 x
2
+ 5=m.
3
x -

-1 +

y
/
+ +
y +

2
2 -



2 4 6 8-2-4-6-8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
x
y
Đề cương ơn tập Tốn 12
Bài 2: Cho hàm số y= x
3
- 3x – 2 có đồ thò (C)
a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số.
b/ Dùng đồ thò (C), đònh m để phương trình: x
3
- 3x – 2=m có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 3: Cho hµm sè :
3 2
y x 3x 2= - +
a) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ ( C ) cđa hµm sè.
b) BiƯn ln theo m sè nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh: x
3
-3x
2
+m + 1=0
Bài 4: Cho hµm sè

4 2
y x 2x 1= − −
cã ®å thÞ (C)
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C).
b. Dïng ®å thÞ (C), h·y biƯn ln theo m sè nghiƯm thùc cđa ph¬ng tr×nh
4 2
x 2x m 0 (*)− − =
Bài 5: Cho hàm số
1
4 2
y
4
x x= −
có đồ thị (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

4 2
x 4x 4m 0 (*)− − =

Bài 6 : Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 1.
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m :
x
3
+ 3x

2
+ 1 =
m
2
.
Bài 7: Cho hàm số: y =
42
2 xx

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
02
24
=+−
mxx
.
Bài 8: Cho hàm số y =
2
5
3
2
2
4
+−
x
x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Dựa vào (C); biện luận theo m số nghiệm phương trình:

0256

24
=−+−
mxx
Bài 9: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
- 2
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho
b/ Bằng phương pháp đồ thị, tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm
II/ Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến.
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x
0
;f(x
0
)) :
B1: Tìm f ’(x)

f ’(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x
0
;f(x
0
))

là: y =
/

0
f (x ) (x–x
0
) + f(x
0
)
2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x
0
:
B1: Tìm f ’(x)

f ’(x
0
), f(x
0
)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x
0
là:y =
/
0
f (x ) (x–x
0
) + f(x
0
)
3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y
0
:
B1: Tìm f ’(x) .

B2:Do tung độ là y
0

f(x
0
)=y
0
. giải phương trình này tìm được x
0

f
/
(x
0
)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y
0
là:y =
/
0
f (x ) (x–x
0
) + y
0
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k:
B1: Gọi M
0
(x
0
;y

0
) là tiếp điểm .
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :

)(
0
xf

=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x
0


f(x
0
)

phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
 Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
)=a.
 Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f
/
(x
0
).a=-1.
Ví dụ 1 :

Cho đường cong (C) y = x
3
.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2
c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Giải:
Ta có y’= 3.x
2
4
Đề cương ơn tập Tốn 12
a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1)
( )C∈

0
0
x 1
f(x ) 1
= −


= −

⇒ f’(x
0
)= 3.(-1)
2
= 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x
0
)(x-x
0

)+f(x
0
) = 3.(x+1) + (-1)
b/ Ta có x
0
= -2 ⇒
0
0
f(x ) 8
f '(x ) 12
= −


=

⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
c/ Ta có tung độä bằng y
0
= –8

f(x
0
)= -8


3
0
x
=-8


x
0
=-2

f’(x
0
)=12

Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16
d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

f’(x
0
)=3

3.
2
0
x
=3



x
0
=
±
1
với x
0

=1

f(x
0
)=1

Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 .
với x
0
=-1

f(x
0
)= -1

Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
Bài tập đề nghò:
Bài 1: Cho hàm số y= x
3
- 3x
2
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 4.
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005.
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=
1
3
x + 2006. f/Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2).
Bài 2: Cho hàm số y=
2

1
x x
x
− +
+
có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 2.
c/ Tại điểm có tung độ y=-
3
2
. d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1. e/Biết tiếp tuyến đi qua A(2;0).
Chủ đề III: Phương trình, bất phương trình mũ loga
1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit :
a/ Phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
= b ( a> 0 ,
0a

)
• b

0 : pt vô nghiệm
• b>0 :
log
x
a
a b x b= ⇔ =
Dạng
log

a
x b=
( a> 0 ,
0a ≠
)
• Điều kiện : x > 0

log
b
a
x b x a= ⇔ =
b/Bất phương trình mũ- lôgarít cơ bản :
Dạng a
x
> b ( a> 0 ,
0a ≠
)
• b

0 : Bpt có tập nghiệm R
• b>0 :
.
log
x
a
a b x b> ⇔ >
, khi a>1
.
log
x

a
a b x b> ⇔ <
, khi 0 < a < 1
Dạng
log
a
x b>
( a> 0 ,
0a

)
• Điều kiện : x > 0

log
b
a
x b x a> ⇔ >
, khi a >1

log
b
a
x b x a> ⇔ <
, khi 0 < x < 1
Bài tập đề nghò:
Phương trình mũ:
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 1 : Giải các phương trình sau
a)
4

3
2 4
x−
=
b)
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
c)
2
2 3 3 5
3 9
x x x− + −
=
d)
2
8 1 3
2 4
x x x− + −
=
e) 5
2x + 1
– 3. 5
2x -1
= 110 f)
5 17

7 3
1
32 128
4
x x
x x
+ +
− −
=
f) 2
x

+ 2
x -1
+ 2
x – 2
= 3
x
– 3
x – 1
+ 3
x - 2
g) (1,25)
1 – x
=
2(1 )
(0,64)
x+

Dạng 2. đặt ẩn phụ

Bài 2 : Giải các phương trình
a) 2
2x + 5
+ 2
2x + 3
= 12 b) 9
2x +4
- 4.3
2x + 5
+ 27 = 0
c) 5
2x + 4
– 110.5
x + 1
– 75 = 0 d)
1
5 2 8
2 0
2 5 5
x x+
   
− + =
 ÷  ÷
   
e)
3
5 5 20
x x−
− =
f)

( ) ( )
4 15 4 15 2
x x
− + + =
g)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
2 1
)3 9.3 6 0
x x
h
+
− + =

5
Đề cương ơn tập Tốn 12
i)
1
7 2.7 9 0
x x−
+ − =
(TN – 2007) j)
2 2
2 9.2 2 0
x x+

− + =

Dạng 3. Logarit hóạ
Bài 3 Giải các phương trình
a) 2
x - 2
= 3 b) 3
x + 1
= 5
x – 2
c) 3
x – 3
=
2
7 12
5
x x− +
d)
2
2 5 6
2 5
x x x− − +
=
e)
1
5 .8 500
x
x
x


=
f) 5
2x + 1
- 7
x + 1
= 5
2x
+ 7
x
Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu
Bài 4: giải các phương trình
a) 3
x
+ 4
x
= 5
x
b) 3
x
– 12
x
= 4
x
c) 1 + 3
x/2
= 2
x
Phương trình logarit
Dạng 1. Đưa về cùng cơ số
Bài 5: giải các phương trình

a) log
4
(x + 2) – log
4
(x -2) = 2 log
4
6 b) lg(x + 1) – lg( 1 – x) = lg(2x + 3)
c) log
4
x + log
2
x + 2log
16
x = 5 d) log
4
(x +3) – log
4
(x
2
– 1) = 0
e) log
3
x = log
9
(4x + 5) + ½ f) log
4
x.log
3
x = log
2

x + log
3
x – 2
g) log
2
(9
x – 2
+7) – 2 = log
2
( 3
x – 2
+ 1)
h)
( ) ( )
3 3 3
log 2 log 2 log 5x x+ + − =
Dạng 2. đặt ẩn phụ
Bài 6: giải phương trình
a)
1 2
1
4 ln 2 lnx x
+ =
− +
b) log
x
2 + log
2
x = 5/2
c) log

x + 1
7 + log
9x
7 = 0 d) log
2
x +
2
10log 6 9x + =
e) log
1/3
x + 5/2 = log
x
3 f) 3log
x
16 – 4 log
16
x = 2log
2
x
g)
2
2 1
2
2
log 3log log 2x x x+ + =
h)
2
2
lg 16 l g 64 3
x

x
o+ =
Dạng 3 mũ hóa
Bài 7: giải các phương trình
a) 2 – x + 3log
5
2 = log
5
(3
x
– 5
2 - x
) b) log
3
(3
x
– 8) = 2 – x
Bất phương trình mũ
Bài 8: Giải các bất phương trình
a) 16
x – 4
≥ 8 b)
2 5
1
9
3
x+
 
<
 ÷

 
c)
6
2
9 3
x
x+

d)
2
6
4 1
x x− +
>
e)
2
4 15 4
3 4
1
2 2
2
x x
x
− +

 
<
 ÷
 
f) 5

2x
+ 2 > 3. 5
x
Bài 9: Giải các bất phương trình
a) 2
2x + 6
+ 2
x + 7
> 17 b) 5
2x – 3
– 2.5
x -2
≤ 3 c)
1 1
1 2
4 2 3
x x
− −
> +
d) 5.4
x

+2.25
x
≤ 7.10
x
e) 2. 16
x
– 2
4x

– 4
2x – 2
≤ 15
f) 4
x +1
-16
x
≥ 2log
4
8 g) 9.4
-1/x
+ 5.6
-1/x
< 4.9
-1/x

Bài 10: Giải các bất phương trình
a) 3
x +1
> 5 b) (1/2)
2x - 3
≤ 3 c) 5
x
– 3
x+1
> 2(5
x -1
- 3
x – 2
)

Bất phương trình logarit
Bài 11: Giải các bất phương trình
a) log
4
(x + 7) > log
4
(1 – x) b) log
2
( x + 5) ≤ log
2
(3 – 2x) – 4
c) log
2
( x
2
– 4x – 5) < 4 d) log
1/2
(log
3
x) ≥ 0
e) 2log
8
( x- 2) – log
8
( x- 3) > 2/3f) log
2x
(x
2
-5x + 6) < 1
g)

1
3
3 1
log 1
2
x
x

>
+
Bài 12: Giải các bất phương trình
a) log
2
2
+ log
2
x ≤ 0 b) log
1/3
x > log
x
3 – 5/2
c) log
2
x + log
2x
8 ≤ 4 d)
1 1
1
1 log logx x
+ >


e)
16
2
1
log 2.log 2
log 6
x x
x
>

f)
4 1
4
3 1 3
log (3 1).log ( )
16 4
x
x

− ≤
Bài 13. Giải các bất phương trình
a) log
3
(x + 2) ≥ 2 – x b) log
5
(2
x
+ 1) < 5 – 2x
c) log

2(
5 – x) > x + 1 d) log
2
(2
x
+ 1) + log
3
(4
x
+ 2) ≤ 2
6
Đề cương ơn tập Tốn 12
Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I/TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Các đònh nghóa nguyên hàm và họ nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm.
Bảng nguyên hàm thường dùng.
Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HP :
( )
xuu
=










+−=
+=
+−=
+=
≠<+=
+=
≠+=
−≠+
+
=
+=
+
Cgx
x
dx
Ctgx
x
dx
Cxdxx
Cxdxx
aC
a
a
dxa
Cedxe
xCx
x
dx
C

x
dxx
Cxdx
x
x
xx
cot
sin
,9
cos
,8
cos.sin,7
sin.cos,6
.10,
ln
,5
.,4
.0,ln,3
.1,
1
,2
.,1
2
2
1
α
α
α
α
( )










+−=
+=
+−=
+=
≠<+=
+=
≠=+=
−≠+
+
=
+=
+
Cgu
u
du
Ctgu
u
du
Cuduu
Cuduu
aC

a
a
dua
Cedue
xuuCu
u
du
C
u
duu
Cudu
u
u
uu
cot
sin
,9
cos
,8
cos.sin,7
sin.cos,6
.10,
ln
,5
.,4
.0,ln,3
.1,
1
,2
.,1

2
2
1
α
α
α
α
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm nguyên hàm của một hàm số bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa nguyên hàm đã cho về nguyên hàm của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng

kết quả.
Ví dụ: Tìm nguyên hàm các hàm số sau:
a) f(x) = x
3
– 3x +
x
1
b) f(x) =
x
2
+
x
3
c) f(x) = (5x + 3)
5
d) f(x) = sin
4
x cosx

Giải
a/
4
3 3 2
1 1 x 3
( ) (x - 3x + ) x 3 ln
x x 4 2
f x dx dx dx xdx dx x x c
= = − + = − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
b/
x x
2 3
( ) (2 + 3 ) 2 3
ln2 ln3
x x
x x
f x dx dx dx dx c
= = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
c/
6
5 5
(5 3) (5 3)
( ) (5x+ 3) (5x+ 3)
5 30
d x x
f x dx dx c
+ +
= = = +

∫ ∫ ∫
d/
5
4 4
sin
( ) sin x cosx sin x (sin )
5
x
f x dx dx d x c
= = = +
∫ ∫ ∫
Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm số thoả điều kiện cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số đã cho
B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm

nguyên hàm cần tìm.
Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=1+ sin3x biết F(
6
π
)= 0.
Giải
7
Đề cương ơn tập Tốn 12
Ta có F(x)= x –
1
3
cos3x + C. Do F(
6
π

) = 0


6
π
-
1
3
cos
2
π
+ C = 0

C = -
6
π
.
Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –
1
3
cos3x -
6
π
Bài tập đề nghò:
1. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=sin
2
x.cosx, biết giá trò của nguyên hàm bằng

3
8

khi x=
π
3

2. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = e
1-2x
, biết F(
=
1
) 0
2

3. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) =
3 2
2
2 3 3 1
2 1
x x x
x x
+ + −
+ +
, biết F(
1
1)
3
=
II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN :
1/Các kiến thức cần nắm vững :
Bảng nguyên hàm thường dùng.
Đònh nghóa tích phân, các tính chất của tích phân.

Các phương pháp tính tích phân..
2/Một số dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tính tích phân bằng đònh nghóa và tính chất.
Phương pháp giải:
Thường đưa tích phân đã cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng

kết quả.
Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:
a/
3
3
1
( 1)x dx

+

b/
4
4
2
4
( 3sin )
cos
x dx
x
π
π




c/
2
2
1x dx



Giải
a/
3
3
1
( 1)x dx

+

=
3
3 3
4
3
1 1
1
81 1
1 ( ) ( 3) ( 1) 24
4 4 4
x
x dx dx x
− −


+ = + = + − − =
∫ ∫
b/
4 4 4
4 4 4
2 2
4
4
4 1
( 3sin ) 4 3 sin (4 3cos )
cos cos
x dx dx xdx tgx x
x x
π π π
π π π
π
π
− − −

− = − = + =
∫ ∫ ∫
=
(4 3cos ) [4 ( ) 3cos( )]
4 4 4 4
tg tg
π π π π
+ − − + −
=8
c/
2

2
1x dx



=
1
2
1x dx



+
2
1
1x dx−

=
1
2
(1 )x dx



+
2
1
( 1)x dx−

=(x-

2 2
1 2
2 1
) ( )
2 2
x x
x

+ −
=5
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/I=
π
+

2
0
(3 cos2 ).x dx
2/J=
+

1
0
( 2)
x
e dx
3/K=
+


1
2
0
(6 4 )x x dx

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:
Phương pháp giải:
b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)

dx =
u (t). dt

b2: Đổi cận:
x = a

u(t) = a

t =
α
x = b ⇒ u(t) = b

t =
β
( chọn
α
,
β
thoả đk đặt ở trên)
b3: Viết
b

a
f(x)dx

về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân .
Ví dụ: Tính :
1
2
0
1 x dx−

Đặt x = sint

dx = cost.dt. Vì x

[0;1] nên ta chọn t

[0; ]
2
π
8
Đề cương ơn tập Tốn 12
Đổi cận: x = 0

t = 0 ; x= 1 ⇒ t =
2
π
Vậy :
1
2
0

1 x dx−

=
2 2
2
2
0
0 0
1 1 s 2
cos t.dt (1 cos2t).dt= ( )
2 2 2
in t
t
π π
π
= + +
∫ ∫
=
4
π
Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :

2 2
a x−
thì đặt x=
a
sint t


[ ; ]

2 2
π π


2 2
a x+
thì đặt x=
a
tgt t


( ; )
2 2
π π


2 2
x a−
thì đặt x=
sin
a
t
t


[ ; ]
2 2
π π

\

{ }
0
Dạng 2: Tính tích phân
f[ (x)] '(x)dx
b
a
ϕ ϕ

bằng phương pháp đổi biến.
Phương pháp giải:
b1: Đặt t =
ϕ
(x)

dt =
'( ). dxx
ϕ
b2: Đổi cận:
x = a

t =
ϕ
(a) ; x = b

t =
ϕ
(b)
b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được .
Ví dụ : Tính tích phân sau :
a/

1
2
0
2 1
1
x
I dx
x x
+
=
+ +

b/
1
2
0
3. .J x x dx= +

Giải:
a/ Đặt t = x
2
+ x +1

dt = (2x+1) dx
Đổi cận: x = 0

t =1 ; x = 1

t = 3 Vậy I=
3

3
1
1
ln ln3
dt
t
t
= =

b/ Đặt t=
2
3x +


t
2
= x
2
+ 3

tdt = x dx
Đổi cận: x = 0

t =
3
; x = 1

t = 2 Vậy J =
2
2

3
2
3
3
1
(8 3 3)
3 3
t
t dt = = −


Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/
π

2
sin
0
.cos .
x
e x dx
2/
+

1
0
1
x
x

e
dx
e
3/
+

1
1 ln
e
x
dx
x
4/
+

1
2 5
0
( 3)x x dx

Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tùng phần:
Công thức từng phần :
. . .
b b
b
a
a a
u dv u v v du= −
∫ ∫
Phương pháp giải:

B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du. phần còn lại là dv tìm v.
B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.
B3: Tích phân
b
a
vdu

suy ra kết quả.
Chú ý:
a/Khi tính tính tích phân từng phần đặt u, v sao cho
b
a
vdu

dễ tính hơn

b
a
udv
nếu khó hơn phải tìm cách đặt khác.
b/Khi gặp tích phân dạng :
( ). ( ).
b
a
P x Q x dx

9
Đề cương ơn tập Tốn 12
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số e
ax+b

, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx
Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên.
- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a/ I=
2
0
.cos .x x dx
π

b/J=
1
.ln .
e
x x dx

Giải
a/ Đặt :
cos . sin
u x du dx
dv x dx v x
= =
 

 
= =
 
(chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )
vậy I=x cosx
2

0
π
-
2
0
sin .x dx
π

= cosx
2
0
π
= -1
b/ Đặt :
2
1
.
ln
.
2
du dx
u x
x
dv x dx
x
v

=

=




 
=


=


Vậy J= lnx.
2
2
x
1
e
-
2 2 2 2
2
1
1 1
1 1 1 1
.
2 2 2 2 4 4
e e
e
x e e e
dx xdx x
x
+

= − = − =
∫ ∫
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/

1
3
0
.
x
x e dx
2/
π

4
2
0
cos
x
dx
x
3/

1
ln .
e
x dx
4/



5
2
2 .ln( 1).x x dx
5/
π

2
0
.cos .
x
e x dx

Dạng 4: Tính tích phân của một số hàm hữu tỉ thường gặp:
a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:
Phương pháp giải:
Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính.
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
2 2
2
1
1 1
2 1 1 1
(1 ) [ ln 2 1] 1 ln3
2 1 2 1 2 2
x
dx dx x x
x x
= + = + - = +

- -
ò ò
=
1
ln3
2
.
b/
0 0
3 3 2
2 0
1
1 1
3 1 5 23
( 4 ) [ 4 ln 1] ln 2
1 1 3 2 6
x x x x
dx x x dx x x
x x
-
- -
+ +
= + + + = + + + - = -
- -
ò ò
Bài tập đề nghò:
Tính các tích phân sau:
1/I=
+ −


2
3 2
2
1
2 3x x x
dx
x
2/J=
+ +
+

4
2
3
2 5 3
1
x x
dx
x

b/Dạng bậc1 trên bậc 2:
Phương pháp giải:
Tách thành tổng các tích phân rồi tính.
Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:
Ví dụ: Tính các tích phân :
( )
2
2
1
5 1

6
x dx
x x
-
- -
ò

Giải
Đặt
( )
2
5 1
6
x
x x
-
- -
=
5 5 ( 3) ( 2)
( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3)
x A B A x B x
x x x x x x
- - + +
= + =
+ - + - + -

A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2

A=3. cho x=3


B=2. vậy ta có:
( )
2
2
1
5 1
6
x dx
x x
-
- -
ò
=
2
2
1
1
3 2 16
( ) (3ln 2 2ln 3 ) ln
2 3 27
dx x x
x x
+ = + + - =
+ -
ò
10
Đề cương ơn tập Tốn 12
Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:
Ví dụ: Tính các tích phân :
1

2
0
(2 1)
4 4
x dx
x x
+
- +
ò

Giải
CI:
1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
(2 1) 2 4 5 ( 4 4) 1
( ) 5
4 4 4 4 4 4 4 4 ( 2)
x dx x d x x
dx dx
x x x x x x x x x
+ - - +
= + = +
- + - + - + - + -
ò ò ò ò
=(ln
2
5
4 4 )

2
x x
x
− + −

1
0
5
ln 4
2
= −

CII: Đặt
2 2 2 2
2 1 2 1 ( 2)
( 2) 2 1
4 4 ( 2) 2 ( 2) ( 2)
x x A B A x B
A x B x
x x x x x x
+ + - +
= = + = Û - + = +
- + - - - -


Ax -2A+B= 0


2 2
2 1 5

A A
A B B
= =
 

 
− + = =
 
Vậy
1 1
2 2
0 0
2 1 2 5
[ ]
4 4 2 ( 2)
x dx
dx
x x x x
+
= +
- + - -
ò ò
=
1
0
5
(2ln x-2 - )
x-2
=
5

ln 4
2

Trường hợp mẫu số vô nghiệm:
Ví dụ: Tính các tích phân :I=
0
2
1
(2 3)
2 4
x dx
x x
-
-
+ +
ò

Giải:
0 0 1
2
2 2 2
1 1 0
2 2 5 ( 2 4)
5
2 4 ( 1) 3 2 4
x d x x
I dx dx J
x x x x x
- -
+ + +

= - = -
+ + + + + +
ò ò ò
Ta có
1
2
2
0
( 2 4)
2 4
d x x
x x
+ +
+ +
ò
=
0
2
1
4
ln/x +2x+4/ ln 4 ln3 ln
3

= − =

Tính J=
0
2
1
5

( 1) 3
dx
x
-
+ +
ò
Đặt x+1=
3tgt
(t
∈ ;
2 2
π π

 
 
 
)

dx=
2
3(1 )tg t dt+
.
Khi x= -1 thì t = 0 ; khi x=0 thì t=
6
π
vậy J=
2
6 6
2
0 0

3(1 ) 3 3
1
(3 3 ) 3 3 6
tg t
dt dt
tg t
π π
π
+
= = −
+
∫ ∫

Vậy I= ln
4
5(
3

3
3 6
π

)
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
1/I=
− +

1
2
0

1
5 6
dx
x x
2/I=

− +

5
2
4
1 2
6 9
x
dx
x x
3/ I=
4
2
2
3 1
4 8
x
dx
x x

− +


Dạng 5: Tính tích phân hàm vô tỉ:

 Dạng1:
+

( , )
b
n
a
R x ax b dx
Đặt t=
n
ax b+
 Dạng 2:
+
+

( , )
b
n
a
ax b
R x dx
cx d
Đặt t=
n
ax b
cx d
+
+
Ví dụ: Tính tích phân I =
1

3
0
1 xdx−

Giải
Đặt t =
3
1 x−


t
3
= 1-x

x= 1-t
3


dx= -3t
2
dt.
Đổi cận:
11
Đề cương ơn tập Tốn 12
x=0

t=1; x=1

t=0. Vậy I=
1

0 1
4
2 3
1 0
0
3
.( 3 ) 3 3
4 4
t
t t dt t dt− = = =
∫ ∫
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
1/


1
3
0
. 1x xdx
2/



1
2
2
x
dx
x


Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp
 Dạng:
sin .cos , sin .sin , cos .cosax bxdx ax bxdx ax bxdx
β β β
α α α
∫ ∫ ∫
Phương pháp giải:
Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải.
 Dạng:
sin ; cos
n n
xdx xdx
β β
α α
∫ ∫
Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến.
Ví dụ :
2 1 2 2
2 2
sin sin sin (1 cos ) sin Đặt t =cosx
1 cos2
cos (cos )
2
n n n
n
n n
xdx x xdx x xdx
x
xdx x dx dx
β β β

α α α
β β β
α α α
+
= = −
+
 
= =
 
 
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
 Dạng:
(sin ).cos R x xdx
β
α

Đặc biệt:
2 2 1
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+

Phương pháp giải: Đặt t =sinx
 Dạng:
(cos ).sin R x xdx
β

α

Đặc biệt:
2 1 2
sin .cos
n k
x xdx
β
α
+

Phương pháp giải: Đặt t =cosx
 Các trường hợp còn lại đặt x=tgt
Ví dụ: Tính các tích phân sau:
a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
π

b/
2
2
0
sin xdx
π

c/
2
3

0
cos xdx
π

d/
2
3 2
0
cos sinx xdx
π

Giải
a/
4
0
sin3 .cos .x x dx
π

=
π
π
+ = − + =

4
2
0
0
1 1 cos 4 cos2 1
(sin 4 s 2 ) ( )
2 2 4 2 2

x x
x in x dx

b/
π π
π
π

= = − =
∫ ∫
2 2
2
2
0
0 0
1 cos2 1 sin 2
sin ( )
2 2 2 4
x x
xdx dx x
c/I=
2
3
0
cos xdx
π

=
π π
= −

∫ ∫
2 2
2 2
0 0
cos .cos . (1 sin ).cos .x x dx x x dx
đặt u=sinx

du = cosx dx.
x=0

u=0 ; x=
π
2


u=1 vậy: I=
− = − =

1
3
1
2
0
0
2
(1 ). ( )
3 3
u
u du u
d/J=

2
3 2
0
cos sinx xdx
π

=
π π
= −
∫ ∫
2 2
2 2 2 2
0 0
cos sin .cos . (1 sin )sin .cos .x x x dx x x x dx
đặt u=sinx

du = cosx dx.
12
Đề cương ơn tập Tốn 12
x=0

u=0 ; x=
π
2


u=1 J=
− = − = − =
∫ ∫
1 1

3 5
1
2 2 2 4
0
0 0
2
(1 ) . ( ). ( )
3 5 15
u u
u u du u u du
Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau:
1/
π

4
0
cos .x dx
2/
π

2
3 3
0
sin .cos .x x dx
3/
2
4 4
0
sin .cos .x x dx
π


4/
2
6
1
sin
dx
x
π
π

III/ Diện tích hình phẳng:
1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) :y=f(x) và các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là :
( )
b
a
S f x dx
=

2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.
Công thức:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C) và y=g(x) có đồ thò (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và
các đường thẳng x= a; x=b là :
( ) ( )
b
a
S f x g x dx
= −


Phương pháp giải toán:
B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)
B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm:
TH1:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
[ ( ) ( )]
b
a
S f x g x dx
= −

TH2:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x
1

(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
1
1
( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
x
b b
a a x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
= − = − + −
∫ ∫ ∫
TH3:
Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x
1
; x

2

(a;b). Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
[ ] [ ] [ ]
1 1 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= − + − + −
∫ ∫ ∫
x x x
a x b
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.
* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0
Ví dụ 1ï:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2
π
] và trục hoành .
Giải :
Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x=
( )
π π
∈ 0;2
vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
S =
π π π
π
= +
∫ ∫ ∫
2 2

0 0
sin sin sinx dx xdx xdx
=
π π
π
+
2
0
cos cosx x
= 4
Ví dụ 2:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P
1
): y = x
2
–2 x , và (P
2
) y= x
2
+ 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2 .
Giải
phhđgđ : x
2
–2 x = x
2
+ 1
Û
2x +1= 0
Û
x = -1/2 . Do đó :

S =
2 1/ 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1/ 2
( 2 ) ( 1) [( 2 ) ( 1)] [( 2 ) ( 1)]x x x dx x x x dx x x x dx
-
- - -
- - + = - - + + - - +
ò ò ò
=
( ) ( )
1/ 2 2
1 1/ 2
2 1 2 1x dx x dx
-
- -
+ + +
ò ò
=
( ) ( )
1
2
2 2
2
1
1
2
x x x x
-
- -

+ + +
=
1 25 13
4 4 2
+ =
Ví dụ 3:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y
2
= 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0.
Giải: Ta có (P): y
2
= 4 x

x =
2
4
y
và (d): 2x+y-4 = 0

x=
4
2
y−
.
13

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tải bản đầy đủ ngay
×