Cơ sở vật lý giáo trình tập 1, cơ học nhiệt học

GS.TS TÔN TÍCH ÁI

c ơ SỞ VẬT LÝ
T â■ p■

I: C ơ h o■ c - N h i ệ■ t h o■ c

(Giáo trình)

m (Hĩtĩ

nt

TT TT-TV * ĐHQGHN

530.071

TO-A(l)
2013
H

NHÀ XUẤT BẢN VÃN HÓA DÂN Tộc


GS.TS. TÔN TÍCH ÁI

c ơ s ở VẬT LÝ
c ơ HỌC - NHIỆT h ọ c
•

•

•

TẬP I
(Giáo trình)

NHÀ XUÁT BẢN VĂN HÓA DÂN Tộ c
HÀ NỘI -2013
■


Ton Tich Ai. Fundamentaỉs o f Physics

MỤC
LỤC
■
■
M ực LỤC....................................................................................................................4
MỞ ĐÀU................................................................................. .................................... 9
Phần thứ nhất............................................................................................................... 13
Cơ HỌC......................................................................................................................13
Chương 1.....................................................................................................................13
ĐỘNG HỌC CHÁT ĐIỂM......................................................................................... 13
1.1. Những khái niệm cơ bản...................................................................................13
1.2. Vận tốc và tốc đ ộ ............................................................................................. 15
1.3. Gia tốc..............................................................................................................18
1.4. Một số dạng chuyển động cơ học.................................................................... 22
BÀI TẬP................................................................................................................ 29
Chương 2 .................................................................................................................... 32
ĐỘNG L ự c HỌC CHÁT ĐIỂM....................................................................................32

2.1. Định luật Nevvton thứ nhất............................................................................... 32
2.2. Định luậtNevvton thứ hai................................................................................. 32
2.3. Định luật Newton thứ ba.................................................................................. 35
2.4. Một vài loại lực cơ học thường gặp..................................................................35
2.5. Một số ví dụ về giải các bài toán động lực học................................................. 40
2.6. Định luật bảo toàn động lượng......................................................................... 45
BÀI TẬP............................ .................... ụ ..........................................................48
Chương 3 .................................................................................................................... 52
ĐỘNG L ực HỌC VẬT RẮN ........................................................................................ 52

3.1. Khối tâm...........................................................................................................52
3.2. Chuyển động tổng quát của vật rắn...................................................................56
3.3. Chuyển động quay quanh trục của vật rắn........................................................ 57
3.4. Phương trình cơ bản cùa vật rắn quay quanh một trục cố định..........................58
3.5. Định luật bảo toàn mô men động lượng............................................................ 63
3.6. Một số ví dụ minh họa lý thuyết....................................................................... 64
3.7. Cân bằng tĩnh học của vật rắn..................... Error! Bookmark not defiined.69
4


Ton Tich Ai. Fundamentaỉs o f Physics

BÀI TẬP............................................................................................................... 72
Chương 4 ................................................................................................................... 77
CỒNG VÀ NĂNG LƯỢNG......................................................................................77
Chương này đề cập đến một đặc trưng quan trọng liên quan đến trạng thái chuyển
động của vật. Đó là năng lượng.............................................................................77
4.1. Công và công suất........................................................................................... 77
4.2. Động năng.......................................................................................................79

4.3. Trường lực thế, thế năng trong trường lực thế................................................. 81
4.4. Định luật bảo toàn năng lượng cơ học............................................................. 83
4.5. Sơ đồ thế năng. Điều kiện cân bằng của hệ cơ học.......................................... 86
BÀI TẬP............................................................................................................... 88
Chương 5 ................................................................................................................... 92
TRƯỜNG HẨP DẢN...................................................................... .........................92
5.1. Định luật Newton về lực hấp dẫn vũ trụ.......................................................... 92
5.2. Sự hấp dẫn gần mặt Quả Đất và bên trong Quả Đất........................................ 94
5.3. Thế năng trong trường hấp dẫn....................................................................... 97
5.4. Chuyển động trong trường hấp dẫn của Quả Đất.............................................99
5.5. Các định luật Kepler......................................................................................100
BÀI TẬP..............................................................................................................105
Chương 6 ..................................................................................................................108
C ơ HỌC CHẤT L ự u .................................................................................................. 108
6 . 1 . Chất

lưu.........................................................................................................108

6.2. Nguyên lý Pascal............................................................................................111
6.3. Nguyên lý Archimede................................................................................... 112
6.4. Chất lòng lý tường chuyển động.................................................................... 114
BÀI TẬP..............................................................................................................119
Chương 7 ................................................................................................................. 122
Cơ HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH................................................................................. 122
7.1. Các tiên đề Einstein....................................................................................... 122
7.2. Động học tương đối tính................................................................................ 123
7.3. Động lực học tương đối tính.......................................................................... 134
BÀI TẬP.............................................................................................................. 139
LỜI GIẢI CÁC BÀI TẬP PHÀN c ơ HỌC.................... .......... ............................. 141
5

Ton Tich Ai. Fundam entals o f Physics

BÀI TẬP CHƯƠNG 1........................................................................................... 141
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ...........................................................................................145
BÀI TẬP CHƯƠNG 3...........................................................................................150
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ...........................................................................................156
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ...........................................................................................162
BÀI TẬP CHƯƠNG 6 ...........................................................................................166
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 ...........................................................................................170
Phần thứ hai............................................................................................................... 176
NHIỆT HỌC............................................................................................................. 176
Chương 1................................................................................................................... 176
NHIỆT Độ, ÁP SUẤT VÀ LÝ THUYẾT ĐỘNG HỌC............................................ 176
1.1. Nhiệt độ...........................................................................................................176
1.2. Nguyên lý 0 (ZERO) của nhiệt động lực học...................................................178
1.3. Đo nhiệt độ......................................................................................................180
1.4. Thang nhiệt độ quốc tế.....................................................................................181
1.5. Thang nhiệt độ bách phân (Celsius) và thang Fahrenheit.................................182
1.6. Sự nờ vì nhiệt.................................................................................................. 183
1.7. Áp suất..................................................................................................... .... 188
1.8. Thuyết động học chất khí và khí lý tưởng..................................................... 188
1.9. Định luật phân bố phân tử theo vận tốc Maxvvell.............................................198
BÀI TẬP............................................................................................................... 203
Chương 2........................................................................................................ .... .... 208
NGUYÊN LÝ THỨ NHÁT CỦA NHIỆT
Lự
208
• ĐỘNG

•
• c HỌC....................................
•

2.1. Nhiệt lượng, đơn vị đo nhiệt lượng......................................................................208
2.3. Nội năng của một hệ nhiệt động. Công và nhiệt........................................... ..214
2.4. Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học.....................................................215
2.5. Sự truyền nhiệt.................................................................................... ......... 216
2.6. Khảo sát các quá trình cân bằng của khí lý tường......................................... 223
BÀI TẬP................................................................................................................ 231
Chương 3........................................................................................................ .........235
NGUYÊN LÝ THỨ HAI CỦA NHIỆT ĐỘNG L ự c HỌC............................................235

3.1. Một số nhận xét về công và nhiệt.....................................................................235
3.2. Máy nhiệt và các phát biểu về nguyên lý hai................................................... 236
6


Ton Tich AL Fundantentaỉs o f Physics

3.3. Chu trình Camot........................................................................................... 246
3.4. Hiệu suất cùa động cơ thực............................................................................249
3.5. Entropy và biểu thức định lượng của nguyên lý thứ hai..................................251
3.6. Ý nghĩa của entropy....................................................................................... 258
3.7. Các hàm thế nhiệt động lực............................................................................258
BÀI TẬP................................................................................................................264
Chương 4 .................................................................................................................. 267
KHÍ THỰC............................................................................................................... 267
4.1. Phương trình Van Der Waals.........................................................................267
4.2. Đường đẳng nhiệt Van Der Waals. Trạng thái tới hạn cùa vật chất................ 271

4.3. Nội năng của khí thực. Hiệu ứng Joule-Thomson...........................................275
4.4. Sự chuyển pha............................................................................................... 279
4.5. Hiện tượng bay hơi và hiện tượng sôi........................................................ 283
4.6. Hiện tượng thăng hoa, nóng chảy và kết tinh................................................ 286
4.7. Hiện tượng khuếch tán...................................................................................287
BÀI TẬP.............................................................................................................. 289
Chương 5 .................................................................................................................. 292
CHẤT LỎNG........................................................................................................... 292
5.1. Tính chất và cấu tạo của chất lỏng.................................................................292
5.2. Hiện tượng khuếch tán và nội ma sát trong chất lòng..................................... 293
5.3. Áp suất phân tử trong chất lòng..................................................................... 295
5.4. Lực căng mặt ngoài........................................................................................296
5.5. Hiện tượng trên mặt biên giới chất lỏng, chất rắn........................................... 301
5.6. Áp suất chất lỏng dưới mặt cong....................................................................303
5.7. Hiện tượng mao dẫn.................. .................................................................... 305
BÀI TẬP.............................................................................................................. 308
LỜI GIẢI CÁC BÀI TẬP PHÀN NHIỆT................................................................ 311
BÀI TẬP CHƯƠNG 1..........................................................................................311
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ..........................................................................................317
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ..........................................................................................322
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ......................................................................................... 327
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ..........................................................................................333

7


Ton Tich Ai. Funiỉamentals o f Physics

MỞ ĐẦU
Vật lý là môn khoa học tự nhiên nghiên cứu các dạng vận động đon giản

nhất, nhưng đồng thòi cũng là tổng quát nhất của thế giới vật chất; nhờ nắm
được các quy luật của các dạng vận động đó, từ đó suy ra những tính chất tổng
quát nhất của thế giới vật chất và những kết luận tổng quát về bản chất của các
đối tượng vật chất.
Vật lý có mối liên hệ mật thiết với các môn khoa học tự nhiên khác, v ề
một khía cạnh nào đó, có thể xem vật lý là cơ sở của các môn khoa học và kỹ
thuật khác. Mục tiêu của vật lý là cho phép chúng ta hiểu biết về các thành phần
cơ bản của vật chất và các tương tác giữa chúng, giải thích những hiện tượng tự
nhiên, những đặc tính của vật chất trong tổng thể.
Vật lý học có tác dụng hết sức to lớn đối với kỹ thuật và sản xuất. Những
thành tựu của vật lý học sớm muộn đều được ứng dụng trong kỹ thuật và làm
cho kỹ thuật tiến những bước nhảy vọt. Sự phát minh ra các hiện tượng điện từ
đã gây nên một cuộc cách mạng về năng lượng trong kỹ thuật. Việc tìm ra sóng
điện từ đã tạo cơ sở cho kỹ thuật thông tin liên lạc. Những thành tựu của vật lý
chất rắn là cơ sở cho kỹ thuật điện tử, tự động hóa v.v.... Trong những năm gần
đây những thành tựu của vật lý được ứng dụng kịp thời và trực tiếp vào sản
xuất. Vật lý nói riêng và khoa học cơ bản nói chung dần dần trở thành lực lượng sản
xuất trực tiếp.
Vật lý học có quan hệ với triết học. Những thành tựu của vật lý không chi
là những thí dụ làm sáng tỏ những quy luật của triết học duy vật biện chứng, mà
còn góp phần xây dựng thế giới quan khoa học.
Dựa trên các hiện tượng quan sát được trong tự nhiên, người ta có thể chia
vật lý thành năm ngành sau đây:
1. Cơ học nghiên cứu chuyển động của các vật thể.
2. Nhiệt động lực học nghiên cứu về nhiệt, nhiệt độ và các tính chất của tập
hợp số rất lớn các hạt.
3. Điện từ học nghiên cứu các hiện tượng điện từ và sóng điện từ.
4. Thuyết tương đối nghiên cứu các vật chuyển động với mọi vận tốc từ
nhỏ đến vận tốc cỡ vận tốc ánh sáng.
5. Cơ học lượng tử là lý thuyết mô tả tất cả các vật thể với mọi kích thước,

từ kích thước nhỏ hơn nguyên tử đến kích thước thiên văn.
1. Đo lường và đơn vị đo
Vật lý học cơ bản là một môn khoa học thực nghiệm. Trước hết người ta

9


Ton Tich Ai. Fundamentaỉs o f Physics

quan sát các hiện tượng trong điều kiện tự nhiên hoặc qua các thí nghiệm. Việc
quan sát có thể thực hiện bằng giác quan hay qua các máy móc dụng cụ thí
nghiệm. Trên cơ sở các số liệu thực nghiệm thu được người ta suy đoán để đi
đến các định luật vật lý.
Để giải thích các định luật vật lý người ta thường đưa ra các giả thuyết
khoa học về bản chất các hiện tượng được đề cập đến trong các định luật vật lý.
Bằng các suy đoán logic, bằng toán học và qua các tư duy trừu tượng người ta rút
ra được các kết luận và tính chất về quy luật của hiện tượng. Sự đúng đàn của
một giả thuyết được đánh giá căn cứ vào mức độ phù hợp với thực nghiệm của
những kết luận suy ra từ giả thuyết. Với sự phát triển của khoa học máy tính, việc
mô hỉnh hóa, mô phòng các hiện tượng vật lý lại tăng thêm tính liên kết giữa lý
thuyết và thực nghiệm trong nghiên cứu vật lý.
Mỗi một thuộc tính của mỗi đối tượng vật lý được đặc trưng bàng một hay
nhiều đại lượng vật lý. Để đo một đại lượng vật lý người ta chọn một đại lượng
cùng loại làm mẫu, gọi là đơn vị, rồi so sánh đại lượng cần đo với đơn vị đó.
Trị số đo của đại lượng cần đo được xác định bằng tỷ số:
Đại lượng cần đo
Đại lượng đơn vị
Đe xây dựng một hệ đơn vị người ta thường chọn trước một số đại lượng
vật lý độc lập với nhau, gọi là các đại lượng cơ bản. Đơn vị của các lượng này
được gọi là các đơn vị cơ bản. Các đại lượng vật lý khác và đơn vị của chúng

được suy ra từ các định luật liên hệ giữa các đại lượng này với các đại lượng cơ
bản. Các đơn vị này được gọi là các đơn vị dẫn xuất.
2. Hệ đơn vị đo lường SI
Từ trước đã tồn tại nhiều hệ đơn vị khác nhau dựa trên các đơn vị cơ bản
khác nhau như hệ CGS, CGSE, CGSM, MKS,...
Năm 1960 nhiều nước trên thế giới đã thống nhất xây dựng quy tắc xác
định tập họp mẫu các đại lượng cơ bản và thừa nhận một hệ các đơn vị đo
lường được gọi là hệ đơn vị đo lường Quốc tế SI (viết tắt của từ Système
Internationale). Trong hệ đơn vị này có bảy đại lượng cơ bản là chiều dài (đo
bằng mét), khối lượng (ki lô gam), thời gian (giây), cường độ dòng điện (am
pe), cường độ sáng (can de la., nhiệt độ (ken vin) và lượng vật chât mol. Năm
1971 hội nghị đo lường quốc tế lần thứ 14 đã chọn thêm một đại lượng cơ bản,
đó là lượng vật chất (mol). Năm 1965 chính phủ Việt Nam dân chủ cộng hòa đã
ban hành hệ đơn vị đo lường hợp pháp của nước mình dựa trên cơ sở của hệ SI.
Đơn vị của các đại lượng cơ bản trong hệ SI trình bày trong bảng 0.1

10


Ton Tich A L I u n dam en taỉs o f Plt vsics

Bảng L Bảy dơn vị cơ bản trong hệ S I
Tên đại lượng

Ký hiệu

Tên đơn vi

Ký hiệu đơn vị

Chiều dài

L

mét

M

Khối lượng

M

kilôgam

Kz

Thời gian

T

s

Cường độ dòng điện

I

Ế m m íi
am pe

A

Cường đô sáng

J

candela

Cd

Nhiệt độ

e

kelvin

K

Lượng vật chất

N

mol

Mol

Muốn biểu thị những số rất lớn và những số rất bé, người ta sử dụng thừa số lũy
thừa 10. Đe thuận tiện, mồi thừa số được gán cho một cái tên được gọi là tiền tố.
Bảng 2. Một số tiền tố thường gặp
Thừa số

1 À ,Ẩ
Tên tiên tô

r f i /V

•

r p

A

Ký hiệu

Thừa số

rri A

. • À

.Á

Tên tiên tô

Ký hiệu
d
c

Têra

T

1 0 '1

đêxi

109

ghi ga

1 0 '2

106

mêga

G
M

103

kilô

k

1 0 '6

xenti
mili
micrô

102

hectô
đêca

h

1 0 '9

nanô

n

da

1 0 12

picô

p

1 0 12

10'

1 0 '3

m
M

Khi găn một tiên tô vào trước đơn vị có nghĩa là nhân đơn vị đó với thừa sô
tương ứng. Ví dụ :
7 ,6 mA - 7 ,6 m iliam pe — 7,6.10~3A
17,8km = 17,8kilom et = 17,8 .1 0 3m
Trong cơ học chủ yếu sử dụng ba đơn vị cơ bản.
1. Mét là chiều dài quãng đường mà ánh sáng đi được trong chân không
trong thời gian bàng 1/299.792.458 s
2. Giây là khoảng thời gian bằng 9.192.631.770 chu kỳ của bức xạ ứng với sự
dịch chuyển giữa hai mức siêu tinh tế của trạng thái cơ bản của nguyên tử xêsil33.

11


Ton Tich AL Fundamefttaỉs o f Physics

Đồng hồ nguyên tử xêsi khá chính xác, người ta ước tính hai đồng hồ xêsi chạy
6000 năm thì số chỉ của chúng mới khác nhau một giây.
3.
Kilôgam là khối lượng của một hình trụ đường kính 3,9 cm cao 3,9 icm
làm bằng platin (bạch kim) pha iriđi đặt tại cơ quan Quốc tế về trọng lượng và
đo lường Sèvres gần Paris, Cộng hòa Pháp. Mầu này được làm từ năm 1901 và
cho đến nay không có một biến đổi nào.
Ngày nay, đối với các phép đo khối lượng của các hạt cỡ nguyên tử, người
ta thường dùng đơn vị khối lượng nguyên tử, ký hiệu là u, bàng 1/12 khối lượng
của nguyên tử cacbon c'62.
lu = 1,6605402.10~27kg
3. Thứ nguyên của các đại lượng vật lý
Thứ nguyên của một đại lượng vật lý là công thức nêu lên sự phụ thuộc cảia
đại lượng vật lý đó đối với các đại lượng cơ bản.
Ví dụ: Hãy xác định thứ nguyên của vận tốc, gia tốc và lực:

s L V -= —
=—
= LT TT- I
t
T

V [v]
LT~'
2
a = —=
= —— = L I
t
T
T
f = ma = M [ a ] - M L T

12

■2


Ton Tich Ai. F undam entals ofP hysics

Phần thứ nhất

C ơ HỌC
•

Trong tự nhiên dạng chuyển động đơn giản nhất là sự chuyển dời tương đối
của vật thể này đối với vật thể khác trong không gian theo thời gian. Các

chuyển động này được gọi là chuyển động cơ. Phần vật lý nghiên cứu chuyển
động cơ được gọi là cơ học. Cơ học gồm những phần chính sau:
- Động học: Nghiên cứu các đặc trưng của các dạng chuyển động cơ mà
không xét đến nguyên nhân gây ra hoặc làm biến đổi các chuyển động đó.
- Động lực học: Nghiên cứu mối liên hệ giữa chuyển động và nguyên nhân
gây ra chuyển động: sự tương tác giữa các vật.

Chương 1

ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIẺM
1.1. Những khái niệm cơ bản
1.1.1. H ệ qụy chiếu
Hệ quy chiếu bao gồm một hệ tọa độ gắn với vật mốc để xác định vị trí của
vật thể trong không gian và một đồng hồ gắn với hệ này để đo thời gian.
Như vậy, một vật chuyển động hay đứng yên tùy theo hệ quy chiếu được
chọn. Một vật có thể chuyển động với hệ quy chiếu này nhưng có thể lại đứng yên
đối với hệ quy chiếu khác. Điều đó đã thể hiện tính tương đối của các chuyển động.

1.1.2. Chất điểm
Chất điểm là một vật có khối lượng, nhưng có kích thước nhỏ không đáng
kể so với những khoảng cách mà ta đang khảo sát. Một tập hợp chất điểm được
gọi là một hệ chất điểm.
13


Ton Tịch Ạù Fundamentals o f Physics

1.1.3. Phương trình chuyển động của chất điếm
Để xác định chuyển động của một chất điểm người ta thường gắn vào hệ
quy chiếu một hệ tọa độ. Ví dụ về hệ tọa độ là hệ tọa độ Đề các. Hệ này gồm ba

trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau. Vị trí M của chất điểm được xác định
bằng ba tọa độ X, y, z hoặc bởi bán kính vectơ r kẻ từ gốc tọa độ đến M (hình
1.1)7
Khi chất điểm chuyển động, vị trí của nó biến đồi theo thời gian, các tọa độ X,
y, z và bán kính vectơ ĩ là những hàm số của biến số thời gian:
x = x (t)
y = y í -‘)

( 1. 1 )

z = z (í)
' = '(< )
0 .2 )
Các phương trình (1.1) và (1.2) được gọi là các phương trình chuyển động
của chất điểm.
1.1.4. Quỹ đạo, quãng đường và vectơ dịch chuyển
Quỹ đạo của chất điểm là đường mà chất điểm vạch ra trong không gian
khi chuyển động. Quỹ đạo được biểu diễn bằng phương trình quỹ đạo, đó là
phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các tọa độ của chất điểm trong quá
trình chuyển động. Từ các phương trình chuyển động, khử bỏ biến số t ta có thể
thu được phương trình quỹ đạo.
Ví dụ:
Phương trình chuyên động của một chât điêm trong mặt phăng xOy có
dạng:
*

»

r

1

1

X - 7 ,5 c o s3 5 ĩĩt

y = 7,5 sin35ĩtt
Tìm phương trình chuyển động của chất điểm.
Giải:
Neu khử bỏ biến số t trong hai phương trình trên ta thu được phương trinh quỹ
đạo. Thật như vậy bình phương hai vế cả hai phương trình trên:
X 2 = 7 , 5 2 cos: 3 5 x t

y 2 = 7,5 2 sin 2 3 5 n t

Cộng hai phương trình lại:
x 2 + y 2 = 7,52 [sin2 35nt + cos 2 3 5 n t) = 7,52
Như vậy quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn có tâm trùng với gốc tọa
độ và có bán kính bàng 7,5.
Quãng đường chuyển động của chất điểm As là độ dài của đoạn quỹ đạo mà
chất điểm đi được trong khoảng thời gian chuyển động A t .
14


Ton Tich ẠL Fiỉndamentals o f Physics

Vectơ dịch chuyển Ar là vectơ kể từ vị trí đầu đến vị trí cuối của chất điểm
trong khoảng thời gian chuyển động A t.
Cần phân biệt quãng đường As luôn luôn dương, còn Ar là đại lượng vectơ
biểu thị sự thay đổi vị trí của chất điểm, độ lớn của Ar có thể dương, âm hoặc

bằng không.
1.2. Vân
• tốc và tốc đô
•
Vận tốc là một đại lượng đặc trưng cho phương, chiều và sự nhanh chậm
của chuyển động, còn tốc độ chỉ biểu thị sự nhanh chậm của chuyển động mà
thôi.
1.2.1. Vận tốc trung bình và tốc độ trung bình
Vận tốc trung bình: Vận tốc trung bình của một chất điểm trong khoảng
thời gian At được xác định bằng công thức (hình 1.2):
Ar

f

V =

(1.3)

—

Át

Hình 1.2. Định nghĩa vận tốc
Trong hệ thống tọa độ Đề các, ba thành phần của vectơ vận tốc trung bình
được xác định bàng các công thức sau:
Ax —
At ’ Vy
r
Độ lớn của vận tôc trung bình:
—

Ay
At

—

Az

V
y Y = -------. •> Vr \> = — - — ■> VY V = ---------

2

V =

(
u

—

+

t )

\ At )

+ í A z ]
l At )

(1.4)

Thứ nguyên của vận tốc:
M =LT'
(1.5)
Đơn vị đo vận tốc trong hệ SI là m/s
Tốc độ trung bình
Tốc độ trung bình bàng tỷ số của quãng đường mà chất điểm đi được trong
một khoảng thời gian và khoảng thời gian đó:
= 45
At

( 1.6)
15


Ton Tich AL Fundantentaỉs QÍPhysics

Tốc độ trung bình là đại lượng vô hướng chỉ biểu thị độ nhanh chậm, còn
vận tốc là đại lượng vectơ không những đặc trưng cho độ nhanh chậm mà còn
biểu thị cả phương và chiều của chuyển động.
Ví dụ:
,
Một người đi bộ và một người đi xe đạp trên một quãng đường thăng
nhưng ngược chiều nhau (hình 1.3). Lúc 6 giờ hai người gặp nhau. Đen 7 giờ
người đi xe đạp (đã đi thêm được '1 0 km) quay lại đuổi theo người đi bộ và đến
8 giờ đuổi kịp người đi bộ ở vị trí cách chỗ gặp trước 7 km.
a. Tìm vectơ dịch chuyển và quãng đường mà người đi xe đạp đi được
trong khoảng thời gian giữa hai lần gặp nhau.
b. Tính vận tốc trung bình và tốc độ trung bình của người đi xe đạp trong
khoảng thời gian đó.

Giải:
Chọn trục tọa độ là đường thẳng trên đó hai người chuyển động. Gốc tọa độ
o là chỗ hai người gặp nhau lần đầu. Hướng dương của trục trùng với hướng
chuyển động ban đầu của người đi xe đạp (hình 1.3).
Đi bô

xl

1

õ

To

7

'

-sa

6 h * -------------------------8h

Hình 1.3
a. Thời gian giữa hai lần gặp nhau: At = t 2 - t , = 8 - 6 = 2h,người đi xe đạp

thực hiện được vectơ dịch chuyển bằng: Ax = x2- x j .
Trên phương của trục tọa độ : Ax = - 7 - 0 = -7 (k m )
Quãng đường A s mà người xe đạp đi được: As = 10 +17 = 27(km)
b. Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian At - 2h là:
=

Ãx
Át

V = ------

Trên phương trục tọa độ:
V =
= — = -3 ,5 (km / h)
x At
2
K
’
Dấu trừ chi rõ hướng chuyển động ngược với hướng dương của trục tọa độ.
Tốc độ trung bình của người đi xe đạp:
Vi = ^ = ^ y = 13’5 (k m /h ) s
Như vậy, qua ví dụ này ta thấy sự khác nhau giữa vận tốc trung bình và tốc độ
trung bình, hai khái niệm mà trong đòi sống hàng ngày ta thường lẫn lộn.


Ton Tich Ai, Fundamentals o f Physics

1.2.2. Vân
tốc tức thời và tốc đô• tức thời
•
Vận tốc tức thời
- Muốn cho vận tốc trung bình đặc trưng chính xác hơn cho độ nhanh chậm
và phương chiều của chuyển động thi ta phải chia nhỏ độ dịch chuyển, hoặc
,
,

. Ar
khoảng thời gian chuyên động. Khi cho At tiên tới 0 thì tỷ sô —- tiên tới một
At
giới hạn. Giới hạn này được gọi là vận tốc tức thời của chất điểm (gọi tắt là vận
toc. tại thời điểm t.
7 c•
Ar dr
v(f) =lim^_>0= ^ = ^ (1.7)
Al dt
Như vậy vận tốc là một đại lượng vectơ bằng đạo hàm bậc nhất của bán
kính vectơ của chất điểm theo thời gian.
- Vận tốc tức thời có phương tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đang xét.
- Độ lớn của vận tốc bằng đạo hàm bậc nhất của quãng đường của chất
điểm đối với thời gian.

Như vậy, theo định nghĩa về vận tốc ta có:
un
uir
Ar
As
/•
—
lim
V =
limAAt->
t 0 -—
= lim A t-> 0
A t-> 0
Át
At

At
Ả ,

A ,

ds

( 1.8)

1,

dt

Trong hệ tọa độ Đề các ta có các thành phần của vận tốc như sau:
dx
v*

dt

Vv = 4
'
dt
dz

(1.9)

v* = ĩ t
Độ lớn của vận tốc v:
r J. . \ 2

v

dy_

+ V, + v z =
V

dt

+
J

r dz'

( 1 . 10)

\d t,

Tốc độ tức thời
Tốc độ tức thời được định nghĩa như sau:
v s = l i m * -> 0 -A -

= (J

O

-

l

l

)

At
dt
Như vậy tốc độ tức thời (gọi tắt là tốc độ) bằng độ lớn của vận tốc nhưng
luôn có giá trị dương.
ĐAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRUNG TẦM THÔNG TIN THƯ VIỆN
ữ i m

m

m

17


Ton Tich AL Fundamentaỉs o f Physics

Ví du:
Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng với phương trình
x { t) = 6 ,5 + 7, l t - 3 ,9 t3. Tính vận tốc và tốc độ của chất điểm tại thời điểm
t=2,5s. Trong khi chuyển động , vận tốc của chất điểm có thay đổi hay không?
Giải:
Thành phần vận tốc:
dx
V = — = 7 , 1 - 3 , 9.3t2 = 7 , 1 - 1 1 , 7t2
dt

Tại t-2 ,5 s
vx = 7 , l - l l , 7 . ( 2 . 5 ) 2 = - 6 6 , 0 ( m / s )

Dấịi trừ chứng tỏ rằng tại t=2,5 s chất điểm chuyển động theo hướng X
giảm với tốc độ bằng 66,0 m/s. Vì vx phụ thuộc vào t, nên trong khi chuyển
động vận tốc luôn biến đổi.
1.3. Gia tốc
1.3.1. Định nghĩa gia tốc
Để đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc, người ta đưa vào một đại lượng
vật lý gọi là gia tốc.
Gia tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thòi gian từ t đến t+ Át
được định nghĩa là:
1. 12)

At

Gia tốc tức thời là đại lượng vectơ bàng đạo hàm bậc nhất của vận tốc theo
thời gian:
IU1 uu
r
Av dv
(L13)
At dt
Trong hệ thống tọa độ Đề các, ba thành phần của gia tốc được xác định như sau:
dv

d 2X

Ton Tich Ai. Fundam entals o f Physics

a
í d vX

Cỉ =

l

1

ì

2

+

dt J

í d2ỵì
Kd t

J

d 2z

dt

d t:

ì + ( dv \
dt J
l dt )

(d v
V

2

dv_
2

+ l dd ry ))

2

2
+

(1.14)

ự z \

l dt2 )

Ví dụ:
Vị trí của một hạt biến đổi theo thời gian được mô tả bằng phương trình:
X — 5 —28t + 1
trong đó đơn vị của các hệ số lần lượt là m, m/s, m/s3.
a. Tìm biểu thức của vận tốc và gia tốc v(t) và a(t)

b. Xác định thời điểm tại đó v=0
c. Mô tả sự chuyển động của hạt khi t>0.
Giải:
a. Theo định nghĩa về vận tốc và gia tốc ta có :
v ( 0 = — = -2 8 + 3í2
v ’ dt
í \ dv ,
b. Thỏd điểm tại đó v=0 được xác định như sau:
-2 8 + 3 r =0
t = ± 3,06(s)
c. Mô tả chuyển động:
xCm)

Hình 1.4. Đồ thị quãng đường, gia tốc, vận tốc
- Khi t=0, hạt nằm tại vị trí x=+5 và chuyển động sang trái với vận tốc
- 28m / s . Tại thời điểm này gia tốc bằng không.
- Khi 0 dần vì gia tốc hướng sang bên phải.
19


Ton Tich Ai. Fundamentals o f Physics

- Khi t=3,06s hạt ngùng chuyển động (v=ớ), vật nàm tại vị trí X --5 2 .0 m.
Gia tốc tiếp tục hướng sang bên phải với độ lớn ngày càng tăng.
- Khi t>3,06s, gia tốc tiếp tục tăng, vận tốc hướng sang phải và cíũng tăng.
Hạt chuyển động sang bên phải và không bị một cản trở nào.
1.3.2. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến
Vectơ gia tốc đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc về độ lớn cũng như
phương chiều. Chính vì lẽ đó người ta phân chia gia tốc ra thành hai thinh phần

mà mỗi một thành phần đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc về mộ t phương
diện nào đó.
Ta xét một chất điểm chuyển động trên quỹ đạo của mình như Itrên hình
1.5. Tại thời điểm t, chất điểm ờ tại điểm M có vận tốc V, tại tlhời điểm
t + At chất điểm tiến tới điểm Mi với vận tốc V;. Đoạn MMI thực tế rất bé nên
có thể xem chúng nằm trên cùng một đường tròn tâm o bán kính R, vóri:
R =

Aa

=k
da

(1.15)

Hình 1.5. Các thành phần của gia tốc
Trong đó R được gọi là bán kính cong của quỹ đạo tại điểm M.
Tại M vẽ MB song song với V, và có độ lớn băng Vj. Như vậy AB = A v . Từ
M trên đường MA vẽ MC = V/.
Như vậy theo hình vẽ ta có:
ÃB = Ã C + CB
Hay:
A v - Av,t + Av n
Theo định nghĩa của gia tốc:
Av

Av.

Av_

Át

Át

Át

dv, dv
—— + —-2dt
dt

20

ã. + ã

(1.16)


Ton Tich Ai. Fundam entals o f Physics

Như vậy gia tốc ã của chất điểm được phân ra thành hai thành phần. Ta
hãy tìm hiểu thêm về bản chất của mỗi thành phần.
Gia tốc tiếp tuyển
Xét thành phần ã' = ỉim Aí_>0

Aỵ,
At

- Phương của ã, là phương của Avt

nghĩa là phương của tiếp tuyến với

quỹ đạo tại điểm m, do đó ã, được gọi là gia tốc tiếp tuyến.
- Chiều của ã, cùng chiều với vận tốc V nếu là chuyển động nhanh dần,
ngược chiều với V nếu là chuyển động chậm dần.
- Độ lớn của ã , :
\Av,
a. = lỉm A t-> 0

= lim'A l-> 0

v ,- v

Av

dv

(1.17)
A.
A
J
Át
Ât
At
dt
Vậy gia tôc tiêp tuyên có độ lớn băng đạo hàm của độ lớn vận tôc đôi với thời
r

gian.

r

r

/

= lim*A t-> 0

^

r

r

r

Gia tôc pháp tuyên
ã_ = lim A t-> 0

-

Av

(1.18)
Át
Phương của ăn là phương của Avn khi At tiến tới 0 (M 1 rất gần M). Góc

giữa vectơ

V

và Avn băng:

c

n - Aa

2

Khi M ị ở rất gần M Aa bầng không, à - n ỉ 2 . Điều này có nghĩa là thành
phần gia tốc pháp tuyến luôn vuông góc với vectơ vận tốc.
- Chiều của ă là chiều của Av luôn hướng về phía lõm của quỹ đạo, tức là
hướng về tâm o của đường tròn, do đó thành phần gia tốc này còn có tên gọi là
gia tốc hướng tâm.
Độ lớn của ã .
Do hai tam giác MCB đồng dạng với OM M ị do đó:

-

CB _ M C

Av»I _ V,

M M , ~ OM ’ M M , ~ R
Khi At rất bé M M , « As1« nên
V

Av. = ^ -A s
R
21

Ton Tich AL Fundamentaỉs o f Physics

Từ đó:
,

V.

“■ -

As

1

As

=

§

V
- R

(1.19)

Như vậy đối với gia tốc ta có thể viết công thức tổng quát như sau:
a = JV a ,2
+ an ' =
t

+

V

( 1.20 )

1.4. Một số dạng chuyển động cơ học
1.4.1. Chuyển động thẳng biến đổi đều
Trong chuyển động biến đổi đều, gia tốc là một đại lượng vectơ không đổi,
tức là ã = const
a

dv

dv = ị adt;

v - v 0+ at

( 1.21)

Mặt khác:
dx
V

dt
[ od x = [ v d t = [ ( v 0 + a t)d t
x = x0 + v0t +

( 1.22)

at

2

Quãng đường đi được:
a t2
s = X - x 0 = v0t + —

2

Từ công thức về vận tốc và quãng đường đi được ta có:
V2

- v / = 2as

(1.23)

Ví du 1:
Một ô tô đang đi với vận tốc V = 65 km/h thì hãm phanh đột ngột vì gặp
chướng ngại vật. ô tô dừng lại sau t = 1,7 s.
a. Tính gia tốc của ô tô, nếu xem chuyển động của ô tô là chậm dần đều.
b. Một giây sau lúc hãm phanh ô tô trượt đi được một quãng đường bằng
bao nhiêu?
22


Ton rích Ai, Fundam entals o f Physics

c. Ô tô trượt một quãng đường dài bao nhiêu cho đến lúc dừng hẳn?
7•

C1‘
ỉiai:
ODKm
65km

a.

V = — —

a

ỉu m m
65.103
= —

—

—

= 18,1 —

h
3600 s
s
v - v 0 0-18,1
I
2\
-----— =
—— = - 1 0 , 6 [ m / s
t

1,7
y
1

b.

a (l)2
, x
s ,= v0. ỉ + - Ỵ - = 1 0 ,6 (m )

c.

s = v Ọ , 7 ) - E Í Ỉ p - = 1 2 ,7 (m )

Ví du 2:
Từ một chiêc câu, một hòn đá được ném thăng đứng từ dưới lên với vận
tốc ban đầu v0 = 23m / s . Hòn đá rod chạm mặt nước sau thời gian t = 7s.
a. Hòn đá đạt đến độ cao bao nhiêu tính từ mặt cầu.
b. Xác định độ cao của cầu so với mặt nước.
c. Tính quãng đường mà hòn đá đi được trong thời gian chuyển động. Gia
tốc rơi tự do g = 9,8 m/s .
Giải:
Chọn trục tọa độ z hướng thẳng đứng lên trên, còn gốc tọa độ tương ứng
với mặt cầu (hình 1 .6 ):
a. Gia tốc khí của đá a - - g = —9,8m / s 2

C àu

\đ ậ t n ưđc

Hình 1.6. Ví dụ 2
Ta có:
V'

- v02 = 2ah =
2

h=

v

2

2 (-g /ỉ)
2

22

-Vọ -Vọ = ~ 2 3
= 2 7 ,0 (m )
2a
2 ( - g ) 2 ( - 9 .8 )

t
9
v /-- gc — =
= 0n->H = zr 0 4+ -v0t
+ 2 3 7. -7—- ^ - = -7 9 , l( m )

b.

\

Vậy câu cao 79,1 m so với mặt nước.
23


Ton Tich AL Fundamentaỉs o f Physics

c. Quãng đường hòn đá đi được:
S = 2h + \H\ = 2.27,0 + 79,1 = 133,l ( m )
1.4.2. Chuyển động tròn
Trong chuyển động này quỹ đạo của chất điểm là một đường tròn. Trong
trường hợp này, ngoài vận tốc, gia tốc dài người ta còn đưa vào các khái niệm
về vận tốc góc và gia tốc góc.

Hình 1.7. Chuyển động tròn
Vận tốc góc
Giả sử sau khoảng thời gian At chất điểm đi được một cung A s , bán kính
R nối chất điểm quay một góc Á(p. Ta có As = RA(p. Tỷ số — được gọi vận
At
tốc góc trung bình trong khoảng thời gian Á t, còn là vận tốc góc tức thời.
,

A(p

dọ

A

i

(1.24)

Vận tốc góc tức thời bằng đạo hàm của góc quay theo thời gian. Thứ
nguyên [&>] = T ~ '. Đơn vị đo là rad/s.
Vectơ vận tốc góc ủ là một vectơ có phương nằm trên trục của đường tròn
quỹ đạo, có chiều xác định bởi quy tắc bàn tay phải uốn cong và có độ lớn bằng
d(p
(ù dt .
Gia tóc góc
Gia tốc góc được xác định bằng công thức:
Aũ) dù)
p = lỉm*->0 -77 = ^ 7
At
dt
Độ lớn của gia tốc góc được tính theo công thức:

24


Ton Tịch Ai. Fundam entaỉs o f Physics

(1.25)
dt
ch
Môi liên hệ giữa các thành phân gia tôc, vận tôc dài với gia tóc, vận tôc góc
r

\

r

r

r

r

Hình 1.8. Mối liên hệ giữa gia tốc, vận tốc góc với gia tốc, vận tốc dài
- Ta có dS = Rd(p nên:
V

_ds
d(p
= — = R - J- = Rú)
dt
dí

(1.26)

Dưới dạng vectơ:
V =

a)AẼ~ị

(1.27)

/

r

- Độ lớn của gia tôc pháp tuyên :
V2
(coR):
a„ = — = ^— - = ú)2R
" R
R
- Độ lón của gia tôc tiêp tuyên :
r

r

(1.28)

f

'

dt

dt

dt

Dưới dạng vectơ :
(1.28)
Chuyển động tròn, khi ã) = const được gọi là chuyển động tròn đều. Trong
trường họp này chu kỳ quay của chất điểm T được xác định bàng công thức:
2k
T =—

(1.29)
co
Tần sổ quay:
J - _ I _ co
(1.30)
T 2n
Khi /? = const ta có chuyển động tròn biến đổi đều.

25


Ton Tich AL Fundam entals o f Physics

Trong cả hai trường hợp trên đê tính góc quay, vận tôc góc, gia tôc góc ta
đều có thể sử dụng các công thức tương tự như trong chuyển động thẳng và
chuyển động thẳng biến đối đều.
Ví dụ 1:
Một vệ tinh bay theo quỹ đạo tròn xung quanh Quả Đất ở độ cao
h = 200kni. Tại độ cao đó, gia tốc rơi tự do g=9,20m/s:.
a. Tốc độ quỹ đạo ( tốc độ dài) của vệ tinh đó bằng bao nhiêu?
b. Xác định vận tốc góc và chu kỳ quay của vệ tinh.
Giải:
a. Trong trường họp này g chính là gia tốc pháp tuyến hay là gia tốc hướng
tâm của vệ tinh, ta có:
_
_ v~ _
y2
g = a’ = h = (RQJ + h)
', = J g { Rọí + ll) = \Ị 9 , 2 ( 6 , 37 . 10 ‘ + 200.10’ ) = 7 7 7 0 ( m /s )
b. Vận tốc góc:

(ứ = — —— = 7---- —— IIIR --------- = 0,0012 (r a d / s )
Rọd +h {6,37.10 + 2000.10 }
T = — = 5312(s) = lh 2 8 '3 2 s
Cù

Ví dụ 2:
Một xe ô tô khởi hành sau t = 15 s đạt đến tốc độ V = 60 km/h. Xem chuyển
động của ô tô là nhanh dần đều. Biết đường kính bánh xe d=70 cm. Hãy xác định:
a. Gia tốc của ô tô.
b. Vận tốc góc của bánh xe tại thời điểm t=15 s.
c. Gia tốc góc của bánh xe.
d. Trong thời gian 15s bánh xe quay được bao nhiêu vòng ?
Giải:
a. Tính gia tốc dài
s„ km
60.1000 m
w
v = 6 0 — = — ——— — = 16,7 —
h
3600 s
s
v-0
16,7
(
a - ------- = — — = I , l [ m / s
t
15
K
’
b. Tốc độ góc của bánh xe tại thời điểm t =15s:

R
c. Gia tốc góc của bánh xe:

26

—= 47 ,6 (rad / s)
0,35
v
'


Ton Tich A L Fiề n (lam en taỉs o f Ph vsics

B - — = 3 ,2Ìrad / s 2)
R
d. Sau 15s bánh xe quay được một góc bằng:

Số vòng bánh xe quay được là:
- ~ ~ - 57,3 (vòng)
2n
1.4.3. Chuyển động của vật bị ném
Sử dụng các kết quả của các mục trên, ta có thể khảo sát chuyển động của
vật trong một mặt phang, cụ thề là chuyển động của vật được ném lên cao theo
một phương bất kỳ.
Ta hãy xét một ví dụ cụ thể.
Ví dụ:
Từ đỉnh tháp cao 108,Om, một vật được ném lên với vận tốc ban đầu
v0 = 79,8m / s theo hướng hợp với phương nằm ngang một góc a = 32°. Hãy
xác định:

a. Độ cao cực đại mà vật tới được.
b. Thời gian bay của vật.
c. Tầm bay xa của vật.
Bỏ qua sức cản không khí. Cho g = 9 ,8 m / s :
Giải:
Chọn gốc tọa độ tại mặt đất dưới chân tháp, trục X hướng theo mặt đất, trục
y hướng lèn trên (hình 1.9).
y (m )

A

Hình 1.9
Các thành phần vận tốc của vật:
vx (ỉ) = v0 c o s a
vy {t) = v0s i n a - g t
Phương trình chuyển động của vật:

27