Phương trình toán lý
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.81 MB, 337 trang )
P H A N H U Y T H IỆ N
PHƯƠNG TRÌNH
TOÁN LÝ
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC
Bản q u y ề n th u ộ c H E V O B C O - N h à x u ấ t b ả n G iáo d ụ c
155 - 2006/CXB/7 - 250/GD
Mã số: 7K677M6 - DAI
J lờ i n ó i ctầiL
Nội dung chính cua cuốn P h ư ơ n g trình Toán lý này đcmg được tác gia
giang dạy cho sinh viên cúc khoa Toán, Lý và các ngành kỹ thuật có liên
quan cua Trườnq Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.
Ngoài ra, cuốn sách được bỏ sung và sưa đôi đẽ đáp ứng nhu câu học tập
của sinh viên các inrờniỉ Dại hục Khua hục Tự nhiên và các trường Đại học
Kỹ thuật tromí ca nước.
Mối Hên hệ giữa các đại lượmỉ vật lý trong tự nhiên là phứ c tạp nhưng
có quy luật, mục đích cua chúng tu là tìm ra được các mối liên hệ có quy
luật dó. Chu đến nav, người tu phân loại các dạng p h ư ơ n g trình toán lý theo
môn hục Phương trình đạo hàm riêng, vì nỏ p h ù hợp với p h ư ơ n g pháp giải.
Cụ thê, có ba dạng phương trình đạo hàm riêng cơ bán: p hư ơ ng trình
Hyperbolic, p h ư ơ n g trình Parabolic và p h ư ơ n g trình Elỉiptic. Nội dung của
cuốn sách bao qỏm:
- Chương I trình bày việc phân loại cúc p hư ơ ng trình đạo hàm riêng
cắp 2; tóm tắt cách giải phư ơ ng trình vi p h â n cấp 2; khái niệm chuỗi
Fourier và biêu diên các toán lư vi phân trong các hệ tọa độ cong trực giao.
- Chương II trình bày về phương trình Hyperboìic, còn được gọi là
phương trình sóng. Nó được thiết lập trên cơ sở nghiên cứu các dao động
cua dầy, màng mong, sóng âm, sóng tạo ra do íhuỳ triều, sóng đùn hồi,
sóng điện từ trường...
- Chương III trình bày về phương trình Parabolic, còn được gọi là
phương trình truyền nhiệt. Phương trình Parabolic không chỉ đặc trưng cho
quá trình truyền nhiệt mà cồn mô tá các hiện tượng khuếch tán như khuếch
tán chát khí, chất lỏng...
- Chương IV trình bày về phương trình Elliptic, đặc biệt là lý thuyết thế.
- Chương V đề cập đến các phép biến đôi tích phân, ỉà công cụ quan
trọng đê giai p h ư ơ n g trình phư ơ ng trình vi p h â n đạo hàm riêng.
- Chương VI trình bàv về p h ư ơ n g pháp hàm Green.
3
-
Chương VII trình bày các hàm đặc biệt như các đa thức trực giao,
hàm Gatnma, hàm trụ, hàm cầu, hàm siêu bội... và tỉnh trực giao cùa chúng.
Cuốn sách có đưa vào một so bài giải mẫu và bài tập có hướn<ị dẫn.
Mặc dù, tác giả đã có nhiêu cô'gắnẹ trong quá trình biên soạn sao cho
nội dưng kiến thức troníỊ cuốn sách mang tính khoa học và thực tiễn cao
nhất. Tuy nhiên, cuốn sách không tránh khỏi nhữnẹ thiếu sót. Tác ụ ả rất
mong nhận dược những ỷ kiến đóng góp của độc giá đ ể lấn xuất bản sau
cuốn sách được hoàn thiện liơn. Thư từ xin gửi về địa chỉ: Công ty c ổ phần
Sách Đại học - Dạy nghề, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội.
TÁC GIẢ
4
>
Chương Ị
MỞ ĐÀU
§1. PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CÁP 2
1. Phương trình đạo hàm riêng cấp 2
Phươnti trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng
v
ÔXị'
’ ôx ’ ÔXị ’ õxtõx2
õxk\ ...ôxkn" J
trong đó: F là hàm nhiều biến; ,T = (xp A': .....,v„) là vector trong không gian
Euclide n chiều IR"; u (x) là hàm chưa biết; Ảr, + k2 +... + k n = m .
Câp (bậc) của phương trình là câp của đạo hàm câp cao nhât trong
phương trình. Phương trình tuyến tính có thể viết dưới dạng L u - b ( x ) ,
trong đó toán tử tuyến tính z có dạng
k=I
kị +ic2+...+klt=k
.*„>0
Nếu /? ( X) = 0 , phương trình được gọi là phương trình thuần nhất.
Nghiệm tống quát của phương trình phụ thuộc vào hàm tùy ý, khác với
phương trình vi phân thường là nghiệm tông quát của phương trình vi phân
thường phụ thuộc vào hằng số tùy ý.
Trong các bài toán vật lý, phương trình thường gặp là phương trình vi
phân đạo hàm riêng cấp 2 (m = 2 ).
Ví dụ 1: Xét phương trình
trong mặt phẳng (*,>>) nó có nghiệm tổng quát u ( x , y ) = f ( y ) Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp 2 với hai biến độc lập x , y là
hệ thức liên hệ giữa hàm chưa biết u ( x , y ) và đạo hàm riêng của nó đến cấp 2 :
(*)
5
Trường hợp sổ biến độc lập lớn hơn được mô tả tương tự.
Phương trình vi phân (*) được gọi là tuyến tính đối với đạo hàm cấp 2
nếu nó có dạng
ứ,, w„ + 2an uxy + aĩ2uyy + Fx( x , ) \ u , u x, u t ) = 0 .
(1.1)
trong đó: au , a]2, a22 là hàm củaX v à y.
Nếu các hệ số au , a ]2, aĩ2 không chỉ phụ thuộc vào X và y mà còn phụ
thuộc cả vào X, y , u, ux, u v giống như Fị thỉ (1.1) được gọi là phương
trình chuân tuyên tính.
Phương trình (1.1) được gọi là tuyến tính nếu nó tuyến tính cả với dạo
hàm cấp 2 : uxx, uxv, u w và đạo hàm cấp 1 : wt , u v của nó, tức là nó có dạng
í/,, IIxx + 2 a nuxv + a 22uyy + bxux + b2uy + CU + f = 0 ,
(1.2)
trong đó: a n , a n , a 22, bv b2, c, f là các hàm chỉ phụ thuộc vào X v à y.
Nếu các hệ số của phương trình không phụ thuộc vào
X,
y thì nó là
phương trình tuyến tính với hệ sổ hằng số. Phương trình được gọi là thuần
nhất nếu f ( x , y ) = 0 .
Nhờ phép đối biến: ệ = cp(x,_y), r\ = \ụ ( x , ^ ) và giả sử tồn tại phép
biến đổi ngược, sẽ nhận được phương trình mới tương đương với phương
trình xuất phát. Đương nhiên, vấn đề đặt ra là có thê chọn biến mới nhu thế
nào sao cho sau khi đổi biển phương trình mới có dạng đơn gián nhất?
Đế trả lời câu hỏi trên, xét phương trình (1.1)
a\ Iw,v + 2an wv, + a 2 ĩ uyy + F ị x , y , u , u x, u v) = 0 .
Sau khi đưa vào biến mới, các đạo hàm riêng có dạng
UX = U Ậ X+ U Ĩ \ X\ uy = u Ặ y +u \\y
M,v =
+ «nnTlỉ +
+ W„T1„
(1.3)
uXy = u^ À y + uịn<
Ẵ ^ y + ^ y ^ + un ^ \ +uA n ' + u ^
uyy = uụ£y +
+ uẬyy + u ^ y y
Thay các giá trị đạo hàm (1.3) vào (1.1) thu được phương trình mới
có dạng
ã ,, uự_ + 2ãu uịn + ã22 wnn + F = 0 ,
6
(1.4)
t.-pnií đó:
a \\ ~ Ll\ iSv + ~CI\2^>\^I + a2:^\ " 1: = " i i 4 tn t + " i : ( ^ n 1 + n ,4 ,) + " : ^ , n ,
:
ã22 = É/nrpt + 2 ứi:r |vr|i + ^ 11^;
/r là hàm không phụ thuộc vào đạo hàm cấp 2 .
Nhận xét ràng, nếu phương trình xuất phát tuyến tính, tức là
F
( x
.
y , u , u x, u
v )
=
b ị U y + b 2u } + C U +
f \
thì F có dạng
F ( ị , r \ , u . 11^11,^) = Ị3,»; + P :H11 +ỴỈ/ + Ô,
tức là phương trìnli vẫn tuyến tính. Chọn biến £, và T| sao cho một trong các hệ
số hệ số í7M,Ãl2 , ă 22 bằng không, plnrơns trình sẽ có dạng đơn giản.
2. Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp 2
Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã chi ra rằng, dấu của biểu thức
u n2 - ciua 2ĩ xác định loại của phương trình
í/,, ỉ/tv + 2an uxy + a22 uỵ> + F = 0 .
(**)
Phương trình (**) tại điểm M được phân loại như sau:
- Loại Hyperbolic nếu
a~2 - «, ,a 22 > 0;
- Loại Elliptic nếu
a 2n - í/, ,a 22 < 0;
- Loại Parabolic nếu
ct\2 - í/,
= 0.
Dễ dàng khắng định được tính đủng đắn cùa hệ thức :
Í 7p
với
Clị Ị Cỉ-f-f
I
^
í
£> = ^ r i , - Ĩlvq, .
Từ đó suy ra tính bất biến của loại phương trình khi thực hiện phép đổi
biến, vì định thức hàm Jacobian D trong phép đổi biến là khác không. Tại
mỗi điểm khác nhau trong miền đã cho, phương trình có thể thuộc các loại
khác nhau.
Xét miền G, tại các điểm trong vùng này phương trình có cùng một
loại. Như vậy, qua mỗi điếm của miền G sẽ có 2 đường đặc trưng :
- Hvperbolic có 2 đường đặc trưng thực và khác nhau;
- Elliptic có 2 đường đặc trưng phức và khác nhau;
- Parabolic có 2 đường đặc trưng thực và trùng nhau.
7
Trong mỗi trườns hợp trên, đưa được phương trình về dạng dơn giản sau :
a) P hương trìnli loại Hyperbolic
Nếu tìf|22 - ố/ị ta ĩ2 > 0, dặt
ị = (ọ (x,y), I] = \ụ ( x ,y ) ,
đưa phương trình (1.1) về dạng (1.4). Chia hai vế của (1.4) cho hệ số của
uịn phương trình thu được có dạng
wtn =
í
\
F
trong đó
Z t/| 7
Đó là dạng chính tắc của phương trình loại Hyperbolic.
Người ta thường sử dụng dạng chính tắc thứ hai cúa phương trình loại
Hyperbolic như sau :
Đặt £, = a + 13, r| = a - p , tức là: a =
, [3 =
, trong đó a
và p
là các biến mới. Ta có đạo hàm riêng của hàm u theo các biến mới là
Uị = \ { K
+ ỉ / p ) ’ » n
=
ị
(
M«
-
Wp ) ’ WỊn
=
^
(
“ a a
-
“ pp )
■
Thay vào dạng chính tắc của phương trình loại Hyperbolic ờ trên
phương trình ( 1. 1) có dạng
u^ ~ uw
=
o
,
,t r o n g
đ ỏ
=
4
0
. ( 1 . 5 )
Đó là dạng chính tắc thứ hai của phương trình loại Hyperbolic.
b) Phương trình loại Parabolic
Nếu a ,22 - a na2ĩ = 0 suy ra an = .\Jaua22 . Đặt: £, =
_y),
khi các hệ số biến đổi thành
õ ì ì = a ì & + 2 an ị xị y + a12ị Ị = o,
+ 2^r, ,a22ị xị y + a u ị ]
=(V ^ ,
Vì an = yjauaĩ2 suy ra
«12 = «1 £,T 1, + «12
+ ịyT\x )■+ an ị yT]y
= ( V ^ . v + V ^ r ) ( V ^ TT , + V í ' 11r ) = 0 Cuối cùng chia phương trình (1.4) cho hệ số của wnn ta nhận được dạng
chính tắc của phương trình loại Parabolic
(
1. 6 )
ì-
t r ong dó o
a
c) Phương trì 11lì loại Elliptic
Neu ciị2 - í/,
< 0 . đặt: £, = cp(.v. v), r| = (p * (x, y ) . Như vậy, phương
trình loại Elliptic sẽ có dạim giống như phương trình loại Hyperbolic.
Dế khôntí gặp biến phức, ta đua vào biến mới a và (3 với
(p + cp *
(p —(p *
a = -- - - - , p = —— - - . sao cho: ị = a + /Ị3, ĩ| = a - /p . Trong trường hợp
9
li
= (u ua; + 2aì2a a i - í / .(/ ' )-(í/,,P^. + 2 a l2p tp, +cv22p^) +
+ 2 / (í/, , a fPv + í/,, ( a AP , + a , p v) +
tức là ãu = ã22 và ãị2 - 0 .
Phương trình (1.4) sau khi chia cho hệ số cúa u
(
có dạng
\
F
Mu a +W|1(Ì = (Iỉl a ’P ’M-Mu ’Mh ) ’ t rong đ ó 0 = - ~ -
(1.7)
Ta nhận đựợc dạng chính tắc của phương trình loại Elliptic.
Như vậy, do tính phụ thuộc vào dấu của biểu thửc a ,22 - aua22, ta có thể
đ ư a phương trình ( 1. 1 ) về
các dạng sau:
- Nếu ữ,2, - a uaĩ2
> 0 (loại Hyperbolic): Hrv - u n = o hay uxv - <t>;
- N ế u a,2, - o uơn
< 0 (loại Elliptic):
u +w ti = 0 ;
- Neu aị2 - a ua22 = 0 (loại Parabolic): IIxx = 0 .
3. Các ví dụ
Ví dụ ỉ: Đưa phương trình sau về dạng chính tắc
X\ x - y \ - = 0 •
Giai: Theo như phương trình (1 . 1) ta có
au —x~, av_ = 0 , a22 = - y \ /’i = 0 , cí~2 - a na22 = x 2y 2 > 0 .
Do đó phương trình thuộc dạng Hyperbolic. Lập phương trình đặc trưng
9
X2 (c(y)2 - y 2 ( d x ) 2 = 0 ==> ịx d v + y d x ^ x d y - y d x ) = 0
dy
=>
dx
+— =0
xdy + yd x = 0
XíỊy - yd x - 0
X
ỉ n y + l n x = InCị
dy
dx
ỉ n y - ỉ n x = ln C 2
^
X
Ta có hai họ đường cong đặc trưng:
xy = c ,
z =c2
Thực hiện phép đối biến mới: £, = xy, r| = y
Tính các đạo hàm riêng theo các biến cũ qua các đạo hàm riêng theo
các biến mới:
11, = 11Ậ , + Mnn.v = 11
Ww
=
ax
y
du
X
õự
\
M».v =
y
X
lit x + w —
11y = 1< £ } + wnTij. = uị x + w,
õịởr\x-
ỠTỊ X
Õ2U 1 _ Ỡ2Z/
Ỡ2Ỉ/ 1
-7 X + 2
+— 7- 7.
ổỉ,
ỡy
ỠT| X
dt,õr\
ỠT| X
Thay các giá trị đạo hàm cấp 2 vào phương trình vi phân đã cho ta được
Ô2U
2
ô ị2^
2
^ u y1
ÕĨ^ỞX] X1
d 2u y 2
ổr |2 JC4
2
y
dr\ x ĩ
5 ^2
X2+2
Õ2U
õ^drị
. Õ2U
^ ~duy .
õ~u
Õ2U 1] õu 1
õ~u
õ ĩu
=> - 4 — y + 2-— — = 0 => ■ ■ - 4 - —
= ( )= > - — —
Ỡ^ỠĨỊ
ỡr| X
Ổ^ỠTỊ 2 ỡr|
Ỡ^ỠT|
Õ2U 1
ĩ~~ĩ
ỡr\2 X
=
0
1 du
—- = 0 ,
2 Ễ, ỡr|
tức là phương trình được đưa về dạng chính tắc.
Ví dụ 2: Đưa phương trình sau về dạng chính tắc
Ô2Z
2
•
Ổ2Z
2 Ổ2Z
— r-sin x - 2 v s i n x - -----+ y ———= 0 .
õx
õxõy
õy
Gi ái: Ta có
a n = sin 2 x;
a 12 = - y s i n * ;
a22 - y 2 => ứ ,22 - a ua22 = y 1 sin 2 X - y 2 sin 2 X = 0
Vậy phương trình đã cho thuộc dạng Parabolic. Phương trình đặc trưng
có dạng:
a]\dy2 - 2a n d xd y + a22dx2 = 0
10
sin” .Vch’2 + 2 v s in xiìxciy + y d x : = (sin xdy + ycixỴ = 0
sin XLỈy + vdx = 0 => — + -~X— = 0 => ln y + ln tg A = ln C'
y
sin.Y
2
v lg ~ = c
là đường cone tích phân đặc trưng.
Thực hiện phép đổi biến:
Ẹ, = y tg - ;
r\ = y (hàm tùy ý)
Tính các đạo hàm theo biến mới:
V
dị
T ^ - - — ; ® = ts -'
ệ l = 0- ậ l
õx
ôx
2 sin: X
õy
2
õy
’
2
õ z __
ô z ÕẸ,
õ z ỠTỊ _
1 õ ịy
õx
d ị õx
ồr\ à x
2 õx
õz _
■ 2x ' õy
ô: õ ị
d z õr\ _ õ z
d ị õy
dv\ õ v
õy
X
k 2
dz
ỡr| ’
9
Õ 2 Z _ 1 ô 2:
y 2
\ õz
yV
X
— - = ------ — —
+ - — —— - t g —
õx?
4 ỡ ^ \ . n , x
2 r Ị s i i r .V
2
Õ 2Z
_
1 ^ Õ 2Z
X
^
Õ 2Z
d xd y = 2 t ã p tg 2 +
dÕ l2Z
z
Ô 2Z
“ = — rtg
,y
r í
õz
y
2
Ỡ2Z
Thay các giá tri của —
ôx
Ổ2Z
4 ôt
.
b
4 X
ôxôy
õy
b
2
ổz v s in x
dt sin
+y
^
0 2
' d2í
1
_2
X
r,
Õ2Z
y 2 sin X
' sin
2 X
•> \
X Ô2Z
— T tg — + 2 — — tg -7 + -—4
aặ2
2
a^ỡĩi
2 an2
a
;
Ổ 2Z
ỡz
-—7 - — ——— = 0<=>y — r = — sinx.
^
^ sin2
^
^2
+y
sin 2-
X
2
* • 2
ì n v tg - - s in X
1 ờz y
ơ“z
—-7 tg —+ ------dự
2 ÕịỠTị
. . •2 *
sin
—
2 ô ị
X
Ỡ2Z
--------------------
sin -
sin
— — , — 7 vào phương trình đã cho ta đươc:
* -xs i:n 2 X
_
1 32
-2
! 3 vtg
1 0 z 1y/ 2- ----—
sin-----X L--------------ét--------1 ỡz J & ?
------------------------------- +
X
Õ2Z
- t g - + — -r
ỡ ^ ỡ r)
2
ổ if
Ô
Õ 2Z
1
ỉ
) ~ 7 x _ + ãặ 2
n2 X
_
— + 2
2
2 ỡ z
ỡ z ^^ s ĩ________
n .v
11
X
2 t!
Vì sin X
X
c
2tr\
_
2
ĩ]
ị- +T1“
, ,
...
t g — = — = > s i n x = —” — 7 , ta có dạng c h ín h tăc
=
1+ tg
'
cúa phương trình là
Õ2Z _
ôz
2£,
Ví dụ 3: Đưa phương trình sau về dạng chính tắc
Õ 2Z
Õ 2Z
Õ 2Z
— - 2 - — + 2 —Y = 0 .
ổx
ổxổy
ỡy
Giủi: Trong trường hợp này
a u = 1. a ]2 = - 1, a 22 = 2 => ữ,2-, - ữ nữ l2 = -1 < 0 .
Phương trình thuộc dạng Elliptic, có phương trình đặc trưng
d y 1 + Id xd y + 2 d x 2 = 0 => ỳ 2 + 2 j / + 2 = 0
=> (>'' + l) +1 = 0 => ỳ +1 = ± / =5- ý = - 1 ± /.
Ta nhận được 2 họ đặc trưng ảo:
y + x - ỉ x = Cị
y ' = - 1 ± / <=> dy = ( - 1 ± / ) dx
y + x + ix = C 2
Thực hiện phép đối biến: £,= y + x, r\ = X ta được
õz _ õz ổ£,
õx
õx 2
dxõy
õz
õz _ õz ổ£,
ổz ỠTỊ _ õz
ổ£, ỡx
Ổ2Z _
Ô 2Z
õz dr\ _ õz
_
ởn ổx ỡr| ’ ỡy
Ổ2Z ổẽ,
5 2z ỡ tịn
^ Ỡ2Z ÕẸ,
Ô2Z
y õ ị 2 ôx
ô t c r \ õx y
Kõ£,õr]ôx
dx\2 õx
Õ 2Z ÕỊ,
d 2z
ổr| _
Õ 2Z
õ ị 2 õx d ịd r\ ô x ~ ỡ£,2
Õ 2Z
ởr|^ Ô2Z
~ ÕỊ,1
Õ 2Z _ Õ 2Z
ổ£,
õt,2õy
ỡ£,ỡr|’ ỡy2
ổ£, ởy
2 d 2z
Ô2Z '
ô^õr\
chỷ ’
Õ 2Z
ỡr| __ Õ 2Z
ô^ởr\ õy
õ ị2
Thay các giá trị của đạo hàm riêng vào phương trình đã cho ta thu được
Õ 2Z
Õ 7Z
Õ 2Z
Õ 2Z
Õ 2Z
õịởn
ỠT|
õ ự
õịỡr\
Õ 2Z _
Ô 2Z
Ổ 2Z
õ ự
õị2
d ĩ ]1
— —-|- 2-------- 1----—
— 2 — -— 2---- h2 — ——0
Đó là dạng chính tắc của phương trình Elliptic.
12
„
——H---- — 0.
ỞT|
§2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2
Chúng ta nhắc lại một sô cách giai phương trình vi phân thường. Xét
phươntĩ trinh vi phân tuyến tính có dạng
L{y) = "<>(*)‘rLJ
+
a'
+- +
a" ' ( v) % + a " ( * ) - v = F (x ) -
( 1-8)
trong đó: a0 ( x ) , É/, (x),..., an (x) là các hàm liên tục trone khoáng a < x < b
và ứ0 (.x)* 0 trong khoảng a < X là: trước hết giải phương trình thuần nhất cấp n l à l ( y ) = 0 , thu được một
tập nghiệm cơ bản Ị _)>, ( x ) , y 2(.v).....v„(.v)Ị. nghiệm tổng quát y c của
phương trình thuần nhất là một tổ hợp tuyến tính của tập ntihiệm cơ bản:
X =
i x) + c 2y 2 (.v) +... + c > „ ( x ) ,
( 1.9)
trong đó: Cp C 2,...,C n là các hằng số tùy ý.
Tiếp theo, tìm bất cứ nghiệm riêng y , nào của phương trình vi phân
không thuần nhất L ( y ) = F ( x ) . Đe giải phưưng trình này, ta thường dùng
phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hằng số để tìm
nghiệm riêng. Khi đó nghiệm tống quát của phương trình (1.8) sẽ là
y = yí +yPTrong các bài toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân (1.8) đòi hòi
phái thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Sô điều kiện này trong hầu hết
các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình. Ví dụ, đối với phương
trình vi phân cấp 2 :
a0 ( x ) ^ - y + ứl ( x ) — + ớ2( x ) = 0,
a
(110)
bị lệ thuộc bời điêu kiện bô sung tại X = a có dạng:
y { a ) = a, y (ữ ) = p,
với a . p là các hằng số.
Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài
toán cho trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm
duy nhất. Khi phương trình vi phân (1.10) bị hạn chế bởi hai điểm khác
nhau, tức là tại X = a và X = b phương trình có dạng
cuy (va- v) + ci2ý
12 (Va )/ = a,
~
1 n
1
+<4 * 0
(1
n )
cĩ\y{b) + c22y'{b) = fi' c2 + c 22
trong đó: CM, c l2, C2I, c22, a và p là các hằniỉ số.
13
Điều kiện bố sung (1.11) được gọi là điều kiện biên.
Phương trình vi phân (1.10) với điều kiện biên (1.11) được gọi là
bài toán biên. Nghiệm cúa bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên. Bài
toán biên không chỉ có một nghiệm, mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên
có dạng
cuy ( a ) + cu y ' ( a ) + cìĩy ( b ) + cuy ' ( b ) = a
c2ly ( b ) + c 22y ' ( b ) + c 2ĩy ( a ) + c 2Ay ' ( a ) = p
trong đó: c , i - 1, 2. ị = 1, 2, 3, 4 và a , (3 là các hàng số; được gọi là điểu
kiện biên hồn hợp.
Bài toán biên hồn họp thường khó giải. Xét phương trình tuyến tính cấp 1:
L{y) = Y + p ( x ) y = q{x).
( 1. 12 )
Đế giải phương trình (1.12), trước hết giải phươne trình thuần nhất
L(y) = ị
dx
+p ( x ) y = 0
(1-13)
để thu được nghiệm tổng quát y . Ta có thể tách biến phương trình (1.13)
có dạng
ày
= -p(x)cỉx.
(1.14)
y
Đặt
p(x)=\p(ị)dị
với ^
0
(1.15)
= p(x).
“x
Tích phân (1.14) thu được
\ny = - p ( x ) +c
___ .
=> e
In
V _
= e - l * {wx ) + ( ' =e - H vx )fe( '
___ V
_ r*
y =
Cịứ
\Cr *j = e — .
(
Vậy nghiệm tổng quát (1.13) là y = C,e~/,( v>.
Dùng phương pháp biến thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có
dạng y p - w(x)ếT/
Thay y
14
và
dy
dx
vào phương trình không thuân nhât (1.12) ta có
í
L’ /V1 = í/(.v)=>» = u ( x ) = j d / ( ^ ) / U)í/^.
= </(•>■-)=>
ế /v
< 7A '
Suy ra nụhiệm riêng
= i ' '/(' ) j í y ( s y (;l0
Nuhiệm tỏrm quát cua phương trình (1.12) có dạng
/ ' ( -V
c,+
y = )\ + y n = e
L ( c ) / U)
( 1. 16)
Một phương pháp khác đế giải phươrm trình tuyến tính cấp 1 (1.12) là
V
nhân phưưng trình với thừa số tích phân e l[x) với p ( x ) = |/?(£,)í/£, để thu
0
dược phương trình vi phân
trong đỏ
cỉx
+L‘l í ' ip ( x ) y = — ft;,|' l; íỊ suy ra
dx
Y { e l U y ) = e l‘[-')q(x).
Phương trình này dễ dàng tích phân đổ thu được nghiệm cho bới (1.16).
1. Phương trình vi phân cấp 2
Xét phương trình vi
phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 có dạng (1.10).
Già sử Ịv, ( x ),> ’2 ( x ) | là tập nghiệm cơ bản cùa phương trình vi phân tuyến
tính thuẩn nhất cấp 2
L ừ ) = ữ0 ( X) “ -T + a\ ( * ) “ + «2 ( x )>’ = °dx
dx
Suy ra nghiệm tống quát có dạng
>-
=
(
>
, (
i
)
+
c , v , ( . v ) .
( 1 . 1 7 )
trong dó Cp c \ là các hằng số tùy ý.
Dùng phương pháp biến thiên hằng số tìm một nghiệm riêng của
phương Trình vi phân không thuần nhất
L {y) = aÁ x ) ctx
C
Ọ ^ + aẢ x )dx
íT +aÁ x )y = F (x )
í 1-18)
15
có dạng V , =
ỉv(.v )^!
(1-19)
( x ) + v ( x ) v2 ( x )
trong dó: ìi (x) và v(.y) là các hàm thay thế hằng số C r ( \ trong (1.17).
Các hàm u, v cần tìm để thỏa mãn hệ phương trình
ỉ/'(a')>ì ( x ) +
v '( x )>’2 ( x) = 0
F(x)
u ' ( x ) ú ( x ) + v '(x )y '2 ( X) = — ^
, .
, a0 ( * ) * 0
aữ
Dùng quy tắc Cramer giải hệ (1.20) đối với ù và v' ta được:
0
y\ ( x )
y 2(x)
y'Áx )
y í ( X)
\J
đx
du _ - y 2( x ) F ( x )
hay
trong đó w ( x ) =
y 'M
'ã0 (.v)
yÁx)
y 2{ x )
y'Á x )
y'2{ x )
d v _ V, ( x ) F ( x )
a0 ( x ) w / ( x ) ’ dx
cix
&-ISII
(*)
"o ừ )
X
II
/2
du
0
F(x)
i•-------
F (x)
w'(x) =
-V, (*)
M *)
( 1.21)
a0 ( x ) w ( x )
M *)
y?ix ) là định thức Wronskian.
y\(x )
y' ĩ(x )
Các phương trình (1.21) sau khi tích phân sẽ thu được các hàm n(.v)
và v ( x ) :
u = u (x) - - I
a
dị< % ($ )» '(4 )
( 1.22 )
i " .( < ; ) » '( 5 )
trong đó a là hằng số nào đó.
N hư vậy, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có một
nghiệm riêng tìm được là
y„ = y
,J A .
’
v,w’ti#£í5L* >2ìiam»
V ,M
J p(lw (ij
( X ) . V'|
T
16
{ 'Ĩp ÌÍm Iì
{ x ) y 2( j ) M
p(%)w(ì)
0
(1.23)
.(1.2
Vày nííhiệm tỏníi quát cua phương trình đã cho là
\’ = V + r
................'
r
= c
( W .
(a-) + C ,
, ^ , vf [^2 (-v) V, ( < ? ) - y ị { x ) y 2 ( ậ ) ] F ( ệ )
( x ) + -------------------- --------------------- —
---------c/ệ
'
' '
'
ỉ
p(ỉ)»'(4)
(1.24)
M ột tro nu nhữnu phươnu trình vi phân cấp 2 có cách giải đơn giản là
Ự X +X F - 0 .
U
.!
(1.25)
2 —1 -----
Phương trình này xuất hiện do việc nghiên cứu nhiều phương trình vi
phân đạo hàm riêng trong tọa độ Đề-các (Descartesian) đối với các hiện
tượng vật lý và kỹ thuật. Phương trình vi phân (1.25) chứa tham số X, vì thế
ta sè xét 3 truừne họp của tham số : âm, dương và bằng không.
• Trường hợp 1: /. = -co 2 (oo > o)
Phương trình vi phân có dạng
d 2 f
/ r _ n
——
-co 2 F
=0.
dx
là phương trình vi phân cấp 2 với hệ số hằng số, vì thế người ta có thể giả
thiết nó có một nghiệm mũ F - e"'x ; ta có phương trình đặc trưng là
,
,
m -co = 0
|t/ " \
ịm - co
với nghiệm đặc trưng <
và tập nghiệm cơ bản là
[m = -(ứ
. Nếu biết được tập nghiệm cơ bản của các nghiệm, có thể tạo
nên một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm này và sinh ra một tập vô hạn các
nghiệm khác
F ( x ) = c temx + C 2e-<ữX
trong đó C\,C- 2 là các hằng số tùy ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bổ sung
là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên.
T ừ tính tùy ý của C \,C 2 có thể viết nghiệm dưới nhiều cách như:
F( x) = c\em + c 2e-ax-
■
F ( x ) = Cị shcox + C 2 chcox;
F (x) = c , sh 0) (x - x0) + C2 c h (0 Ọc"-x0.),
với Cị , C 2, x0 là các hàng số tùy ý.
2-P TT L A
17
• Trường hợp 2: X = 0
d 2F
Nghiệm phương trình vi phân —- 7- = 0 có các dạng sau:
dx
F ( x ) = c \ + C 2x ;
F(x) =
+ K ĩ ( x - x ũ).
• Trường hợp 3: À. = o r ( co > 0 )
c ỉ 2F
Phương trình vi phân — — + co2F = 0 là phươne trình vi phân cấp 2 với
dx
hệ số hàng số, vì thế có thể giả thiết nó có một nghiệm mũ F = e"ư , ta có
l i
,
\m = /co
phương trình đặc trưng m + CD = 0 với các nghiệm đặc trưng <
[m = - ị 0)
và tập nghiệm cơ bản là
e~'“xỊ . Nếu biết được tập nghiệm cơ bản có
thế tạo nên một tố hợp tuyến tính cúa các nghiệm này và sinh ra một tập vô
hạn các nghiệm khác
F { x ) = c \e mx + c 2e~m\
trong đó C ị,C 2 là các hằng số tùy ý, nó phụ thuộc vào các điều kiện bố sung
là điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên.
Từ tính tùy ý của C p C , có thể viết nghiệm dưới nhiều cách nlhư sau :
F ( x ) = C ie'ax + c 2e-mx]
F ( x ) = C / ú{x-x") + C 2e-'M{x-x")'
F ( x ) = c , sin (IH + c \ c os 0) x;
/ r (x) = c, s in c o ( x - x 0) + (l’2 c o s ư > ( x - x 0),
với Cị, c , . x 0 là các hằng số tùy ý.
2. Phương trình Cauchy - Euler
P hương trình Caachy - Euler là phương trình có dạng
2 d 2y
d y
dx
dx
aữx — Ỷ + aịx
-
+a-,y = 0 ,
,
. . .
(1.26)
trong đó: au, a ], a ĩ là các hằng số tùy ý.
Thực hiện phép biến đổi t = ìnX và biến đổi đạo hàm:
18
2-PTTL B
dy
dy dt
ch'
cỉx
tỉí dx
di \ X )
c p y _ d_ dy f 1 1
—
(Jx~
1 (Ằ V
+ T" ,
lì! 1 -v' ) X - c h
ch' <--1
— —
cix dí
đưa ihươrm trình (1.26) về dạng
a,
d 2y /
V dy
- + [ax- a0)--- + 6/2v; = 0 .
dr
..............-
ìiá sứ phươna trình (1.27) có nshiệm dirứi dạng mũ
(L 27)
y = e "". ta có
phưcnti trình dặc tnrng:
aụn r + (í/, - a ít)m + tì? = 0 .
(1.28)
Miương trình này cũng có thế đưọc suy ra ngay từ (1.27) bằng cách
giả RÍ niíhiệm có dạng V = x"‘ => >’ = e"" = e"1'"' = x'". Nghiệm của phương
trình dặc trưníì xác định loại nghiệm có thê tồn tại do dạng của phương trình
Cauíhy-Kuler. Xét các trường hợp sau:
» Trường hợp 1: Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực
phâi biệt m = a và m = (3 thì phươnu trình vi phân (1.26) có tập nghiệm cơ
bản tà
vì thế nghiệm tổng quát có dạng y = CịXa + C 2x ữ, với
Cị , ( ’2 là các han” số tùy ý.
• Trường họp 2: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực kép
m =a thì tập nghiệm cơ bản của phươnti trình (1.27) có dạng
Phép bicn đổi I = lnx cho tập nghiệm cơ bản |.Yư, x a ln x ị của phương trình
(1.2o). Nghiệm tổng quát có dạng y - ( \x " + C :x“ l n x , trong đó C ,,C 2 là
các aànu số tùy ý.
• Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức dạng
m = a + /Ị3, m - a - / p thì tập nghiệm cơ ban của phương trình (1.27) có
dạnf Ịt'ư'c o s P /.
s i n p / | . Phép biến đổi / = lnx cho tập nghiệm cơ bản
je u'c o s (p in x ), è " sin((31nx)| của phương trình (1.26). N ghiệm tổng quát
có cạng y = c tx a c o s ( p in x ) + C 2x“ sin(pin.v). trong đó C p C 2 là các hàng
số tuy ý .
19
§3. KHÁI NIỆM CHUÕI VÀ TÍCH PHÂN FO URIER
1. Khái niệm
'r»
'
u-
rập các hàm -í l.sin
nnx
rmx
.cos
L
là các hàm riêng trực giao nhau
L
trong khoảng [ ~ L , L ) . Hàm / ( * ) được gọi là tron từng khúc trong một
khoảng nào đó, có nghĩa là khoảng này có thể chia ra nhiều khoảng nhô. mà
trong mỗi khoảng nhỏ đó, hàm / ( x ) và đạo hàm f ' ( x ) liên tục. Tập các
hàm trực giao ở trên có thể dùng để biểu diễn hàm trơn từng khúc / ( x )
dưới dạng chuỗi
w \
nnx L
nlĩx ì
J {x ) = a0 + ỵ jIV
\ anc o s Lr +b" s ì n rL ) ’
/1 om
(1
)
được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biếu diễn hàm / (x ) trong khoáng
( - L , L ) . Các hàng số a0,a n và bn được gọi là các hệ sổ Fourier của chuồi.
Từ tính trực giao của tập jl,s in - ^ ^ - ,c o s — - 1 có thể tìm được các hệ số
Fourier a0,an và bn như sau:
aữ = ( / . 0
II1!2
/
an =
1 7
ịf(x)dx\
11
>
MIX
1 ,COS---
\
nnx .
co s—— dx\
L
V
1
nnx
(1.30)
cos —L
/
„ . nnx
\
/ ,sin —
L /
-
b. -
V
sin
nnx
rnix f
s in —— đx.
-ỉ.
Ví dụ 1: Tìm biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier của hàm f ( x ) = e'
trong khoảng xác định ( ~ L , L ) .
Giải: Theo công thức (1.30), các hệ số Fourier của khai triển trên
có dạng:
20
_(/.!)
|]|
r , ' í/l = J sh;
21.]
L
1
0
/ '.C C S
....... /77LY ,
2 Z ,( - l) #,shL
' = ] l [ ' COS-—-c/x = ---- yT~ ;
L
L + n Tí
L r
I1TCX r
a lì =
cos
L
\
c^
/,s in
L
b.. =
sin
-
nnx .
= — jc.'si
le sin -----ax =
nnx
u
- Ị.
?77ĩ(-l)/7shZ
r7
2_2
L + n Tí
L
Do đó biểu diễn chuồi lượng giác Fourier của hàm
f ( x ) = e'! trons
khoảng xác định ( - L . L ) có dạng
2 Z ( - l ) sh z HKX 2/771 ( —1) shí,
nnx
- — co s--------------c ,n ----t ' = I s h i + X — 7—
r — ,£-----,
sin
L
+
n
n
L
L2
+
n-TV
L
L
(1=1
Ví dụ 2: Sử dụng chương trình Mathematica khai triển hàm /■(; ) = x
bàng chuỗi Fourier với độ dài L = 2.
Giai:
L = 2;
Định nghĩa các hàm c ơ sở Fourier
f l [ x _ , m _]
. 271/77
2nm
s in —— X vaà / 2 „ ( x ) = ^ | cos
X
I
......... 7 V I
I
: = S q r t [ 2 / L ] s i n [(2 Pi m ) / L x] ;
f2 [x_,m_]
:=Sqrt[2/L]
2
C o s [ (2 Pi m) /L x] ;
Giả sử chọn hàm khai triển là f ( x ) = X
f [x_]
:= x
;
Các hệ số khai triển được tính theo công thức:
a" =
Í
^
“/4
dx = ] f i
ỉ x c o s ^-jTxdx’
”(ỵ2
b„ = J j ị f ( x ) / ln( x ) £ỈX = ]Ị j ĩ
“/■)
.
21
acoff[n_]
:= S q r t [ 2 / a ]
bcoff[n_]
Integrate[f[x]*f2[x,n],{x,-L/2,L/2}]
:= S q r t [ 2 / a ]
ntegrate[f[x]*fl[x,n],{x,-a/2,a/2}]
Biêu diễn chuỗi Fourier có dạng
1
2nn
^ ,
. 2/771
x = ị ao + l i a» c o s ~ x + 2 > „ s i n - p x
“
/1=1
L
/;=Ị
L
Sau đó vẽ đồ thi* khi flm
iv = 3, nMlnX = 10 và nIIlilXv = 100 , ta thấy
rằng^ với
IllnX
'
/7max càng lớn thì khai triển chuỗi Fourier càng gần sát giá trị thực cua hàm
f { x ) = x.
f o u r [ x _ , n m a x _ ] := 1 / 2 a c o f f [ 0 ] +
S u m[ a c o f f [ n ] f2 [x,n] , {n, 1 ,n m a x } ] +
S u m[ b c o f f [ n ] f 1 [ x ,n] , {n , 1 , n m a x } ]
nmax=3
P l o t [ E v a l u a t e [{f o u r [ x , 3 ] ,f [ x ] }] , { x , - a / 2 , a / 2 }]
Hình 1.1. Khai triển hàm f(x) = x bằng chuỗi F o urier với n = 3
nmax=10
P l o t [ E v a l u a t e [{f o u r [ x , 1 0 ] , f [ x ] }], {X ,- a / 2 ,a/2 } ]
Hình 1.2. Khai triển hàm f(x) =
22
Xbằng chuỗi F ourier với
n =10
m a x = l 00
P l o t [ E v a l u a t e [ { f o u r [ x , 1 0 0 ] , f [ x ] } ] , { X , - a / 2 , a / 2 }]
Hình 1.3. Khai triển hàm f(x) = X bằng chuỗi Fourier với n =100
2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier
1) Điều kiện Dirichlel để tồn tại một chuỗi Pourier là :
- Hàm / (x ) phải là đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2 L ;
- Hàm ./ ( x ) có một số hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu
hạn các điểm gián đoạn trong khoảng ( - L , L ).
2) Giả sử khoảng ( - / , , / , ) là khoáng Fourìer đầy đu của hàm f ( x ) .
Chuồi Fourier xác định ở điểm X ngoài khoảng Fourier đầy đủ của
hàm / ( a ) . khi đó cho phép khai triển tuần hoàn hàm f { x ) xác định ngoài
khoáng Pourier đầy đủ.
3) Dấu bằng (= ) trong hiểu thức (1.29) có thể được thay hằng dấu gần
băng ( ~ ) , có nghĩa là "tươ n g đ ư ơ n g với", bởi vì chuỗi bên phải không phải
hội tụ thành hàm f [ x ) đối với mọi giá trị của X. Chuỗi Fourier chỉ biểu
diễn hàm f ( x ) trong khoảng Fourier đầy đủ. Một cách chọn khác, người ta
có thể xác định hàm f ( x ) là mở rộng của hàm f ( x ) bên ngoài khoảng
Fourier đầy đủ. Như vậy,
/(x )
là mở rộng tuần hoàn của hàm
/ ( x ) , - L < X < L có tính chất f [ x + 2 L ) = f ( x ) , ngược lại hàm / ’(*) đối
vó i m ọi X không phải là hàm tuần hoàn.
23
4) Hàm f ( x ) gọi là có một biếu diễn chuỗi Fourier khi các hệ số
a0, a n và b ] được tính cụ thể. Do đó, có một sổ hàm không có biểu diễn
chuỗi Fourier, ví dụ như các hàm: —, —j không có biểu diễn chuồi lượng
XX
giác Fourier trong khoảng ( - 1 , 1 ) . Chú ý rằng, các hàm này không xác
định ở một hoặc vài điểm trong khoảng ( ~ L , L ) .
5) Hàm / (x) được gọi là có bước nhảy gián đoạn tại điểm
/ (* õ ) =
X,
nếu
/ ( x0 - e) * /(* < ;) = lim / ( * „ + £) ■
e>0
e>0
Nếu hàm /'( x ) và f ' ( x ) là liên tục từng khúc trong khoảng ( - / . , / . )
thì biểu diễn chuỗi Fourier của hàm f (x) thỏa mãn các điều kiện:
- Hội tụ về hàm f (x ) tại điểm mà hàm f { x ) là liên tục;
- Hội tụ về đoạn m ở rộng tuần hoàn của hàm
f ( x ) nếu X ở ngoài
khoảng Fourier đầy đủ;
- Tại điếm x0 có bước nhảy gián đoạn hĩm hạn thì biều diễn chuỗi
Fourier của hàm / ( x ) hội tụ về — / ( ^ 0 ) + / ( xõ)
là giá trị trung bình
của giới hạn trái và phải của bước nhảy gián đoạn.
6 ) Hàm 5 V(jc) = aữ + x í a »cos
n=l V
+ bnsin
L
đư(?c ẽ (?i là tôn8 riên8
L
thứ N , nó biểu diễn tổng của N số hạng đầu tiên. Người ta thường vẽ xấp
xỉ hàm ^ ( x ) khi biểu diễn chuỗi Fourier bàng đồ thị. Hàm f ( x ) bất kỳ
có một điểm bước nhảy gián đoạn thì hàm S N (x ) có đồ thị tại lân cận bước
nhảy gián đoạn là dạng hàm dao động. Hiệu ứng này được gọi là hiệu ứng
Gibb. Hiện ứng Gibb luôn có mặt khi người ta dùng một chuỗi hàm liên tục
để biểu diễn một hàm gián đoạn, hiệu ứng này vẫn tồn tại cho dù tăng giá trị
N rất lớn.
7) Chuỗi có dạng
rmx
nnx
bi sin
a0 + x a„ c o s —
~~L
L
«=l
00
7
f
có thê viêt dưới dạng
^
. ( nnx
«0 + X C»s in r T
n=\
\
L
24
ironu đó: Cn = sịa] +b] được gọi là biên độ: (p„ = arct”
a_n_
được lỉọi là
x hn
rnix
pha; sò hạn” thứ n : Cn sin
+
được íiọi là dao cỉộnạ diêu hoà thứ n .
Dao độim diều hoà thứ nhất ('7 = 1) được gọi là dao độniỉ điều ho à cơ ban.
3. Hàm chẵn và hàm lẻ
Hàm / (x) được gọi là hàm chằn cùa X nếu / ( - .\') = f ( x ) với mọi
uiá trị cua V. hàm chằn đôi xứng theo trục y . Hàm / (x ) được gọi là hàm
le cùa X nếu / '( - .v ) = - í ( x ) với mọi giá trị của X. Các tính chất sau của
hàm chằn và hàm lé cho phép đơn giản biểu diễn chuồi Fourier :
1) N êu / (.v) là một hàm chẵn của X thì
ị j \ x ) d x = 2 J /( .v ) íừ .
0
-I.
Thật vậy, vì / (.v) là hàm chẵn nên / ' ( —jc) = f ( x ) , do đó
] f { ị ) d ị = \ f { ị ) d ị + ' [ f { ị ) d ^ '\f{ - ị)d ị + ị.f{ị)dị = 2 \ f { ị ) d ị .
-I
-/
0
0
00
2) Nếu / ’(* ) là hàm lẻ của X , tức là / ( - x ) = - f ( x ) thì
ị f ( x ) d x = 0.
Thật vậy
/
0
/.
/.
/
ị j \ ị ) d 4 = \ f ( ị ) J ị + \ f ( ì ) J ị = ị f ( - ị ) c i í , + [ í ( t , ) J ị = o.
-/.
0
0
0
3) Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là một
hàm chẵn, tích của m ột hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.
- N ế u / ( * ) là m ột hàm lẻ, biểu diễn (1.29) có dạng
/ ( * ) = Ỉ X s in ^“ r> 0 < x < I ,
n=I
L
trong đó bi' = — J / ( x ) sin ỉ^ - dx.
Lị
L
25
