WWW toancapba net các dạng toán dùng đồ thị để KS ,vẻ đths, tiếp tuyến với tiệm cận, khoảng cách trong hàm số, đối xứng trong đồ thị

NguyÔn §×nh Sü - §KSV
WWW.ToanCapBa.Net

Một số bài toán thường về đồ thị hàm số
A. Tìm giao điểm hai đồ thị
Bài toán : cho đồ thị C1 có phương trình là y=f(x),và đồ thị C2 có phương trình là :
y=g(x). Tìm giao điểm của C1 với C2.
Phương pháp giải :
Lập phương trình hoành độ điểm chung : f(x)=g(x) (1)
Số ngiệm của phương trình (1) cho ta số hoành độ giao điểm .Để tìm tung độ
các giao điểm ,ta thay các ngiệm của (1) vào y=f(x) hoặc y=g(x)
I. Cho C1:y=f(x) và C2 : y=g(x) Tìm giao của C1 với C2
1. Lập phương trình hoành độ điểm chung :
F(x)=g(x)
2. Giải phương trình (1) ta có các ngiệm :x1,x2..
3. Các giao điểm là :M1(x1,f(x1)),M2(x2,,F(x2))...
Ví dụ :Bài 57-tr55 GT12NC
Cho C: y= 2 x3  3x 2  1 và P: y=g(x)=2x2+1 Tìm giao của C và P .
Giải :
: Phương trình hoành độ điểm chung
2x3+3x2+1=2x2+1 � 2 x3  x 2  0 � x  0, x  
1
2

Ta có g(0)=1, g(- )=

1
2

3
1 3

Vậy Ccắt P tại 2 điểm M 1 (0,1), M 2 ( , )
2
2 2

II. Cho C : y=f(x) và C' : y=g(x,m) .Tìm m để C giao với C' tại n điểm : (Gỉa sử :
Tại hai điểm A,B . Đồng thời hai điểm đó thoả mẵn một điều kiện cho sẵn )
Phương pháp giải:
 Lập phương trình hoành độ điểm chung :
F(x)=g(x,m) (1)


Tìm điều kiện của m để (1) có hai ngiệm phân biệt thuộc D (Tập xác định
của hàm số ) (*)

WWW.ToanCapBa.Net


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Nu A,B tho mn iu kin cho sn :
1. Tỡm qy tớch trung im I ca AB

xI

yI

xI
a. Tỡm to im I :
yI

xI

yI

1
2
1
2
1
2

f ( m)
g ( m)
a
g ( m)
f ( m)
b


m h ( xI ) 3

yI g h( xI ) 4

b. Biộn i thnh

c. Kt lun s b : Khi m thay i I chy trờn ng (4)

d. Tỡm gii hn qu tớch : Thay m t (3) vo iu kin (*), ta
c ( gi s : x<, x> )
e. Kt lun qu tớch : Khi m thay i ,I chy trờn ng (4) ,b
i nhng im cú honh i ,
2. Tỡm di on thng AB
a. Vi iu kin (*),s tn ti A,B . Gi A(x,y),B(x',y'). Thỡ
b.

AB 2 f (m) x ' x y ' y
2

2

5

Tỡm m AB ngn nhõt,hoc ln nht ,thỡ ta ch cn
kho sỏt (5) tỡm GTNN,hoc GTLN . T ú suy ra
m cn tỡm
Tỡm m AB=b .Ta ch vic gii phng trỡnh : f(m) =
b ,suy ra m cn tỡm
3. Tỡm m d: y=mx+b ct (H) ti A,B ,nm trờn mt nhỏnh hay
trờn hai nhỏnh khỏc nhau

WWW.ToanCapBa.Net

2


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV

WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

a. Nu A(x,y) ,B(x',y') nm trờn 1 nhỏnh ,thỡ x0

m

af ( ) 0


b. Nu A,B nm trờn hai nhỏnh khỏc nhau thỡ : x</k : a.f()<0. T ú suy ra m
4. Tỡm m hm s bc 3 ct trc Ox ti 3 im phõn bit: Thỡ iu

y '( x, m) 0
kin l
yCD . yCT 0

co 2n . tỡm C,CT ta cú th lm nh sau :
0

Bng phộp chia a thc ta cú : f(x,m) =y'(x,m)+Mx+N. ng thng
i qua hai im C,CT l : y = Mx +N


Ngoai ra cũn mt s trng hp khỏc. Tu theo cõu hoi
m ta cú cỏc cỏch gii khỏc nhau

Vớ d : Bi 65-tr58-GT12NC
a) Kho sỏt v th hm s y

2x2 x 1
x 1

b) vi giỏ tr no ca m ng thng y=m-x ct th cho ti 2 im phõn
bit ?
c) Gi AvB l hai giao dim ú .Tỡm tp hp cỏc trung im M ca on thng
AB khi m bin thiờn .
Gii :
a).Phng trỡnh honh im chung :

2x2 x 1
mx
x 1

2 x 2 x 1 ( x 1)(m x)
3 x 2 (2 m) x 1 m 0 (cú 2 ngim phõn bit khỏc 1)

(2 m) 2 4.3(1 m) f 0
2
3.(1) (2 m).1 1 m 0

m 2 8m 8 f 0

m p 4 2 2vam f 4 2 2
2 0

WWW.ToanCapBa.Net

3


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

c). Gi M l trung im ca AB thỡ


2m
2m

x1 x2
xM
x


M


xM


3

3

2

yM m xM
y m 2 m
y 2m 2
M
M



3
3

Ta cú : m=3xM-2 thay vo yM 3 xM 2 xM 2 xM 2 (3)

Do ú M chy trờn ng thng d : y=2x-2
Vỡ m p 4 2 2, m f 4 2 2 nờn 3 xM 2 p 4 2 2,3xM f 4 2 2

62 2
xM p

3

x f 6 2 2
M

3

Vy M chy trờn ng thng d cú phng trỡnh l : y=2x-2 b i on thng cha
cỏc im cú honh tho món

62 2
62 2
x
3
3

Mt s bi tp ỏp dng :
Bi 1.Bi 1.67-tr23-BGT12NC
x 2 3x 1
a) Kho sỏt v v th hm s y
x

b) Vi cỏc giỏ tr no ca mthỡ th C ct ng thng y=m ti 2 im phõn bit
AvB
c) Tỡm tp hp trung im M ca AB khi m thay i
2.(Bi 1.88-tr28-BTGT12NC )
Cho hm s y

x2
x 1

a) Kho sỏt bin thiờn v v th H ca hm s ó cho ?
b) Chng minh rng vi mi m 0 , ng thng d: y=mx-3m ct H ti 2 im
phõn bit ,trong ú ớt nht mt giao im cú honh ln hn2.
3. ( Bi 1.89-tr29-BTGT12NC )
x2 2x 3

a). Kho sỏt v v th hm s C : y
b) Tỡm cỏc giỏ tr m sao cho
x2

ng thng y=m-x ct C ti 2 im A,B
c) Tỡm tp hp cỏc trung im M ca on thng AB khi m thay i
4. (Bi 191-tr29-BTGT12NC )

WWW.ToanCapBa.Net

4


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Cho hm s y

Nguyễn Đình

2 x 2 3x 3
x 1

a) Kho sỏt v v th C ca hm s ó cho
b) Da th C ,bin lun s giao dim ca ng thng d : y=m(x+1)+3 v C,
tu theo cỏc giỏ tr ca m
5(.Bi 11-tr46-GT12CB )
a) Kho sỏt v v th C ca hm s y

x3

x 1

C

b) Chng minh rng vi mi giỏ tr ca m ,ng thng y=2x+m luụn ct C ti 2
im phõn bit M,N
c) Xỏc nh m sao cho di MN l nh nht
d) Tip tuyn ti mt im S bt k ca C ct hai tim cn ca C ti P,Q. Chng
minh rng S l trung dim ca PQ
6. (Bi 1.29-tr22-BTGT12CB )
Cho hm s y x 3 (m 4) x 2 4 x m (1)
a). Tỡm cỏc im m th (1) i qua vi mi giỏ tr ca m
b) Chng minh rng vi mi giỏ tr ca m, th ca hm s (1) luụn cú cc tr
c).Kho sỏt s bin thiờn v v th C ca (1) khi m=0
d) Xỏc nh k C ct ng thng y=kx ti 3 im phõn bit
B sung mt s bi tp v giao hai ng :
Bi 1. Cho hm s y

x2 x 1
x 1

a) Kho sỏt v v th C
b) Tỡm trờn C nhng im cỏch u trc 0x
c) Tỡm m ng thng d cú phng trỡnh y=m-x ct C ti 2 im phan bit .
Chng minh rng khi ú c 2 im thuc cựng mt nhỏnh
Bi 2. Cho th C cú phng trỡnh y

x3
x 1

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C
b) Tỡm m ng thng d : y=2x+m ct C ti 2 im M,N . Tỡm m MN ngn
nht
Bi 3. Cho hm s y

mx 2 3mx 2m 1
x2

Tỡm m ng thng d :y=m ct th ca hm s cho ti hai im A,B sao
cho AB ngn nht

WWW.ToanCapBa.Net

5


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
Bi 4. Cho hm s y

Nguyễn Đình

(2m 1) x m 2
(1)
x 1

a) Kho sỏt v v thi hm s khi m=-1
b) Tỡm m th (1) tip xỳc vi ng thng d : y=x (HKD-2002 )
Bi 5. ( HKA-2003 )

Cho hm s y

mx 2 x m
(1)
x 1

a) Kho sỏt v v th (1) khi m=-1
b) Tỡm m th (1) ct trc 0x ti hai im phõn bit cú honh dng
Bi 6. (HKD-2003 )
x2 2x 4
a) Kho sỏt v v d thi hm s y
(1)
x2

b) Tỡm m d : y=mx+2-2m ct th (1) ti hai im phõn bit
Bi 7. (HKA-2004 )
Cho hm s y

x 2 3x 3
(1)
2( x 1)

a) Kho sỏt v v th C ca (1)
b) Tỡm m ng thng d : y=m ct th C ti hai im A,B sao cho AB=1
Bi 8. (HKD-2004 )
Cho hm s y x3 3mx 2 9 x 1 (1)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v d th hm s khi m=2
b) Tỡm m im un ca (1) thuc ng thng d :y=x+1
Bi 9. (CCNHN-2005 )
x3

(1)
x2
1
b) Chng minh ng thng d : y x m luụn ct C ti hai im A,B. Tỡm m
2

a) Kho sỏt v v th C y

AB nh nht
Bi 10.
a) Kho sỏt v v th hm s y

x2 2x 9
(C)
x2

b)Tỡm m ng thng d : y=m(x-5)+10 ct C ti hai im phõn bit nhn im
A(5,10) lm trung im
Bi 11.
a) Kho sỏt v v th hm s y x3 6 x 2 9 x (C)

WWW.ToanCapBa.Net

6


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

b) Tỡm cỏc ng thng i qua M(4,4) v ct C ti 3 im phan bit
Bi 12. Cho hm s y x 2 (m x) m (1)
a) Kho sỏt v v th hm s khi m=0 , th l C
b) Tỡm m th (1) ct (P): y x 2 ti 3 im phõn bit
II). ng dng bi toỏn giao hai th bin lun ngim ca mt phng trỡnh
Bi toỏn :
Cho th C cú phng trỡnh : y=f(x) .Da vo th C hy bin lun theo m s
ngim ca phng trỡnh : F(x,m)=0
Gii :
Ta bin i (1) thnh mt trong cỏc trng hp sau :
1. f(x)=m , hoc f(x)=g(m)=k
2. f(x)=kx+m ( trong ú k l hng s bit ,m l tham s
3. f(x)=f(m)
A) Trng hp f(x)=m
- K mt ng thng y=m song song vi trc 0x vo th hm s C
- Cn c vo v trớ tng i ca C v d : y=m ta bit c s giao im
ca C v d . T ú suy ra s ngim ca phng trỡnh
Vớ d : (Bi 5.-tr44-GT12CB)
a) Kho sỏt v v th hm s y x 3 3x 1 (C)
b) Da vo th C ,bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh
x3 3x m 0

Gii :
T phng trỡnh ta cú : x3 3x 1 1 m k
.............................................................................
Hng dn hc sinh gii trờn bng
Mt s bi tp tng t :
Bi 1. (Bi 7-tr45-GT12CB)

a) V th C : y x3 3x 2 1
b) Da vo th C ,bin lun s ngim ca phng trỡnh

WWW.ToanCapBa.Net

7


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net
x3 3x 2 1

Nguyễn Đình

m
2

c) Vit phng trỡnh ng thng i quaim cc i v im cc tiu ca th
C
Bi 2. (Bi 1.61-tr22-BTGT12NC)
Vi giỏ tr no ca m phng trỡnh 4 x3 3x 2m 3 0 cú mt ngim duy nht
Bi 3. (Bi 1.68 -tr24-BTGT12NC)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C ca hm s
f ( x)

x2 x 1
x 1

b) T th C suy ra cỏch v th hm s

y

x2 x 1
x 1

c). Vi giỏ tr no ca m thỡ phng trỡnh
x2 x 1
m cú 4 ngim phõn bit
x 1

Bi 4. (Bi 1.26-tr21-BTGT12CB)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C y x 3 3x 1
b) Ch ra phộp bin hỡnh bin C thnh C" ca hm s
y ( x 1)3 3 x 4

c) Da vo C',bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh
( x 1)3 3x m

d) Vit phng trỡnh tip tuyn d ca th C', bit tip tuyn ú vuụng gúc
x
9

vi ng thng y 1
Bi 5.
a) V th C y

x2 x 1
x 1

x2 x 1

b) Da vo th C nờu cỏch v th C' y
x 1

c) Da vo th C ,bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh
x 2 (m 1) x m 1 0

Bi 6.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s

WWW.ToanCapBa.Net

8


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

y x3 6 x 2 9 x

b) T th C nờu cỏch v th hm s
3

y x 6x2 9 x

c) Bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh
3

x 6 x2 9 x 3 m 0

Bi 7.
Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
x2 x 1
y
(C)
x

b) Da vo th C .Bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh
t 4 (m 1)t 3 3t 2 ( m 1)t 1 0

Bi 8(Bi 1.84tr27-BTGT12NC )
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C : y x 4 4 x 2 3
b) T th C suy ra cỏch v th C': y x 4 x 3
c) Tỡm cỏc giỏ tr ca m sao cho phng trỡnh
x 4 4 x 2 3 2m 1 0 cú 8 ngim
4

2

Cha cho hc sinh bi 1.91-tr29-BTGT12NC (Nờu cho hc sinh thy ,cũn mt
dng na l f ( x) m( x x0 ) y0 vi ( x0 , y0 ) l im c nh ó bit )
Cho hm s y

2 x 2 3x 3
(C)
x 1

a) Kho sỏt v v th C

b) Da vo th C,hy bin lun theo m s giao im ca ng thng
y=m(x+1)+3 v th C
B) Trng hp f(x)=kx+m vi k l hng s ,ml tham s
-Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C cú h s gúc l k (cỏc tip tuyn ny
song song vi ng thng d : y=kx+m ) .Gi s d': y=kx+n v d": y=kx+p
- Tỡm giao ca d' vd" vi trc 0y : E(0,n) v F(0,p)
- K mt ng thng bt k y=kx+q (q tu ý ) nú ct 0y ti H(0,q)
- Da vo v trớ tng i ca H so vi 2 im E,F ta suy ra c s giao
dim ca d v th C .T ú suy ra s ngim ca phng trỡnh
Cha cho hc sinh bi : ( Vớ d 2.tr21-GT12CB)

WWW.ToanCapBa.Net

9


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh
2x2 2 x 3
xm
x 3

Ap dng :( Bi 1.28-tr22-BTGT12CB)
Bin lun theo k s ngim ca phng trỡnh
2

a) ( x 1) 2 x k
b) ( x 1) 2 (2 x) k
Bi 2.
a)Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s
y

x 2 3x
(C)
x 1

b) Da vo th C ,bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh
x 2 (1 m) x m 0

x 2 3x
2x m
x 1

Bi 3.
a) Kho sỏt v v th hm s y x

1
x2

b) Da vo th C ,bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh :
4tg 2 x (8 m)tgx 1 2m 0 x

1
2 x m
x2

Bi 4.
a).Kho sỏt v v th C y

x2 2x 2
x 1

b) Da vo th C ,bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh :
x2 2 x 2 3
xm
x 1
4

Bi 5.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C y 9 x 2
b) Da vo C ,bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh
9 x 2 mx 4m 3 0

C. Trng hp f(x)=f(m)
Cỏch 1
f ( x ) f ( m) f ( x ) f ( m ) 0 ( x m ) g ( x , m ) 0

WWW.ToanCapBa.Net

10


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Trong ú g(x,m)=0 l mt hm s bc hai . Vỡ vy vic bin lun s
ngim ca phng trỡnh khụng cú gỡ khú
Cỏch 2:
-Gi s th C cú im cc i M(x 1 ,y1 ) v im cc tiu N ( x2 , y2 )
- t k=f(m) v gii cỏc phnh trỡnh f(m)= y1 , f (m) y2 m1 , m2 ...
- Da vo th C v v trớ ca d :y=m (song song vi trc 0x) ta cú cỏc
bt phng trỡnh :
F(m)>m1 ,f(m)<m1 hoc f(m)>m2,f(m)- T ú suy ra kt qu cn tỡm
Vớ d (HKA-2002)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s C
y x3 3 x 2

b) Bin lun theo k s ngim ca phng trỡnh
x 3 3 x k 3 3k 2 0 (1)
2

Gii :
Cỏch 1: T (1) ta cú
xk 0

(k x)
x 2 (k 3) x k 2 3k

0 x 2 (k 3) x k 2 3k 0(2)

2
2

(2) cú (k 3) 4( k 3k ) 3( k 3)( k 1)
0 1 k 3
Do ú :
f 0 k p 1, k f 3

Vy :- phng trỡnh cú 2 ngim
k 0
g (k ) k 2 (k 3)k k 2 3k 0
3k (2 k ) 0




k 1
(k 2)( k 1) 0

3(k 3)(k 1) 0
k 2


- Phng trỡnh cú 3ngim

g (k ) 0
k 0, k 2



1 k 3
0
- Phng trỡnh cú 1 ngim : 0 k 1, k 3

Cỏch 2 :
Khi kho sỏt v th hm s ta cú im cc tiu M(0,0) v im cc i N(2,4)
Do ú ta cú cỏc phng trỡnh
k 3 3k 2 0
k 0, k 3

3
2
k 1, k 2
3k 3k 4



Nu trỏo i vai trũ y=m , v x=k . Ta cú bng bin thiờn
k

-1

0

2

WWW.ToanCapBa.Net

3

11

Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

m

4

0

4

Nguyễn Đình

0

Cn c vo bng ta cú kt qu nh trờn
Mt s bi tp tng t :
Bi 1 .
a) Kho sỏt v th C y 4 x 3 3 x
b) Bin lun theo m s ngim ca phng trỡnh
4 x3 3x 4m3 3m

Bi 2
a) Kho sỏt v v th hm s : y ( x 1)2 (2 x)
b) Bin lun theo m s ngim phng trỡnh :
( x 1) 2 (2 x) (m 1) 2 (2 m)

Bi 3
a) Kho sỏt v th hm s

y x

9
x2

b) Bin lun theo m ngim ca phng trỡnh
x

9
9
m2 2
x2
m 2

B. BI TON TIP TUYN (HAY BI TON TIP XC )

nh ngha : Gi s hai hm s f v g cú o hm ti im x0. Ta núi rng
hai ng cong y=f(x) v g(x) tip xỳc nhau ti im M(x0,y0),nu M l
im chung ca chỳng v hai ng cong cú tip tuyn chung ti M. im
M c gi l tip im ca hai ng cong ó cho

WWW.ToanCapBa.Net

12


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Ngha l :Nu hai ng cong tip xỳc nhau khi v ch khi h sau cú
f ( x) g ( x)
v ngim ca h l honh tip im ca hai
f '( x) g '( x)

nghim

ng cong ú

Mt s dng thng gp

Dng 1:
a) Bi toỏn : Cho th C cú phng trỡnh y=f(x) v mt im M ( x0 , y0 ) . Vit
phng trỡnh tip tuyn ca C ti im M
b) Phng phỏp gii :
1. Tớnh f'(x) f '( x0 )
2. Phng trỡnh tip tuyn l : y y0 f '( x0 )( x x0 )
Trong ú x0 , y0 l to ca dim M
Vớ d : (Bi 1.62-tr22-BTGT12NC)
1
4

Cho hai hm s f(x)= x 2 x

1
v g(x)= x 2 x 1
4

a) Chng minh th f(x) v th g(x) tip xỳc nhau ti im A cú honh
bng 1
b) Vit phng trỡnh tip tuyn chung ca hai th ti im A(d)
c) Chng minh rng th ca f nm phớa di d cũn th g nm phớa trờn
d
Bi gii :
Xột h

1
1 2
2
(2 x 1)
2
2
2

x

x


x

x

1
x

4
x

1

4
0(1)

x

4
x

1

4
x

x

1



4
4


2 x

1
2x 1

2
2x 1
x 1
x x 1
x 2 x 1 2 x 1 (2)
2 x


2 x

2 x2 x 1
2
T (1) x3 6 x 2 x 6 0 ( x 6)( x 2 1) 0 x 1, x 1, x 6

WWW.ToanCapBa.Net

13


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Ta cú g(-1)= 3 ,g'(-1)= 3 . g(1)=1, g'(1)=1. g(6)=6 , g'(6)=

11
6

Vy : Tip tuyn ti M(-1, 3 ) cú phng trỡnh l
y- 3 =- 3( x 1) y 3 x
Tip tuyn ti N(1,1) cú phng trỡnh
y-1=(x-1) y x
Tiộp tuyn ti E(6,6) cú phng trỡnh
y6

11
11
( x 6) y x 5
6
6

Chỳ ý : cha cho hc sinh bi 79-tr63-GT12NC
Cho hm s : y x

1
cú th C
x

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C
b) Tip tuyn ca ng cong C ti im M( x0 , f ( x0 ) ) ct tim cn ng v tim
cn ngang ti A,B. Chng minh rng M l trung im ca on thng AB v tam
giỏc OABcú din tớch khụng ph thuc vo v trớ ca im Mtrờn ng cong C
Mt s bi tp ỏp dng :
Bi 1. (HKB-2004 )
1
3

a) V th C cú phng trỡnh : y x 3 2 x 2 3x

b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th C ti im un,chng minh rng h s
gúc ca tip tuyn ti im un l nh nht .
Bi 2.
2 x 2 mx m
Cho th Cm : y
(1)
x 1

Tỡm m th (1) ct trc 0x ti A,B sao cho tip tuyn ti A v B vuụng gúc
nhau .
Bi 3.
Cho th C cú phng trỡnh y

x 2 2 x 15
(1)
x3

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C .
b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca C ti cỏc giao im ca C vi trc 0x (A vB)
Dng 2 .

WWW.ToanCapBa.Net

14


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Bi toỏn : Cho th C cú phng trỡnh y=f(x) v ng thng c nh d :
y=kx +m (trong úk,m l cỏc hng s ó bit ). Vit phng trỡnh tip tuyn
ca C bit tip tuyn ny
Song song vi ng thng d
Vuụng gúc vi ng thng d
Phng phỏp gii :
1. Tớnh o hm f'(x)
f '( x ) k d '// d

2. Gii phng trỡnh
(nu gi d' l tip ca C )
1
f '( x) d ' d

k

3. Tớnh giỏ tr : y1 f '( x1 ), y2 f '( x2 )... (vi x1 , x2 l cỏc ngim ca

phng trỡnh trờn )
Vit phng trỡnh d' : d '1; y y1 f '( x1 )( x x1 )...
Vớ d : (CNL-2003 )
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C : y x 3 3x
b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C bit rng cỏc tip tuyn ny song song
vi ng thng d : y=3x+2
( Cha cho hc sinh trờn bng . ỏp s y 3x 4 2, y 3 x 4 2 )
MT S BI TP TNG T
Bi 1 (HKD-2005 )
1

3

Cho hm s y x 3

m 2 1
x (Cm )
2
3

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C khi m=2.
b) Gi M l im thuc th Cm cú xm 1 . Tỡm m tip tuyn ca Cm ti M //
vi ng thng d :5x-y=0
Bi 2

Cho hm s y

x 2 3x 3
(C)
x2

a) Kho sỏt bin thiờn v v th C
b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C bit rng cỏc tiwps tuyn ny vuụng gúc
vi ng thng d' :3y-x+6=0

WWW.ToanCapBa.Net

15


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số

Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Bi 3
Cho th Cm ; y

4 mx 3 x 2
(1)
4x m

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C khi m=0
b) Tỡm m tip tuyn ca Cm ti im cú x=0 vuụng gúc vi tim cn
Bi 4
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C y x 3 3 x 2 2
b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C ,bit rng cỏc tip tuyn ny vuụng gúc
vi d :5y- 3x +2 =0
Bi 5
Cho hm s y

2 x 2 mx m
(Cm ) (1)
x 1

Tỡm m th (1) ct 0x ti hai im A,B sao cho tip tuyn ti A v B vuụng
gúc nhau
Bi 6 (KTQD-2001 )
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C : y

x 1
x3

b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C bit rng cỏc tip tuyn ny vuụng gúc
vi ng thng d : y= x+2001
Bi 7
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th C : y

2x2 7 x 7
x2

b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C bit rng cỏc tip tuyn ny// vi ng
thng d :y=x+4
Bi 8
a) V th C: y

x2 2x 3
x 1

b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C, bit cỏc tip tuyn ny // vi ng
thng d: y=-x
Dng 3

WWW.ToanCapBa.Net

16


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV

WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Bi toỏn : Cho th C cú phng trỡnh : y=f(x) v mt im M ( x0 , y0 ) (M l bt
k , dự nm trờn C hay khụng nm trờn C cng c ) .Cú mt s cỏch hi nh sau
:
Vit phng trỡnh cỏc ng thng i qua M v tip xỳc vi C
T M k c bao nhiờu tip tuyn ti th C
Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C bit cỏc tip tuyn ny i qua M
Cú bao nhiờu tip tuyn ca C k t M
............(cú mt s cỏch núi khỏc na ...)
Phng phỏp gii :
a. Gi d l ng thng i qua M cú h s gúc k (cha bit ) thỡ d cú
phng trỡnh l : y k ( x x0 ) y0
f ( x) k ( x x0 ) y0 (1)
f '( x ) k (2)

c. Thay (2) vo (1) ta cú : f ( x) f '( x)( x x0 ) y0 (3) (n l x ) v gii
(3) ta thu c cỏc ngim : x1 , x2 ...xi

b. d tip xỳc C thỡ h sau cú ngim

d. Thay

cỏc

ngim

ca

(3)

vo

(2)

ta

cú

k1 f '( x1 ), k2 f '( x2 )...ki f '( xi )
e. Thay k1 , k 2 ,....ki vo phng trỡnh ca d ta cú : di : y ki ( x x0 ) y0

;

Vớ d : (TN-2003-2004)
1
3

a) Kho sỏt v v th hm s y x3 x 2 (C)
b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C i qua A(3,0)
Gii :
ng thng i qua A cú h s gúc l k. d cú phng trỡnh l
Y=k(x-3) (1)
d l tip tuyn ca C thỡ h phng trỡnh sau cú ngim
1 3
2
x x k ( x 3)(2)
3

2

x 2 x k (3)
x 0
x 3

3
2
2
2
Thay (3) vo (2) ta cú : x 3x 3( x 2 x)( x 3) 2( x 3) x 0

Vi x=0 thay vo (3) ta c k=0 do ú d : y=0 (T (1) )
Vi x=3 thay vo (2) ta cú k=3 .Do ú d : y=3(x-3)=3x-3
Vy ,t A cú 2 tip tuyn k n C
Mt s bi tp tng t :

WWW.ToanCapBa.Net

17


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Bi 1.
1

2

a) Kho sỏt v th hm s y x 4 3 x 2

3
(C)
2

b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C ti im un
c) Viột phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C i qua A(0,3/2)
Bi 2 ( 96-BTTS )
x2 2x 2
(C)
x 1
x2 2 x 2
b) T C nờu cỏch v th C' : y
(1)
x 1

a) Kho sỏt v th hm s : y

c) Viờt phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C' k t im A(3,0)
Bi 3 (HTN-KA-2001 )
x 2 3x 6
a) Kho sỏt v th hm s y
(C)
x 1
x 2 3x 6
y

b) T C nờu cỏch v th C':
x 1

c) Qua O k c bao nhiờu tip tuyn n C. Tỡm to tip im nu
cú
Bi 4 (H An Giang K.A+B-2001 )
a) Kho sỏt v th hm s : Y x 4 x 2 1 (C)
b) Tỡm cỏc im trờn trc 0y t ú k c ỳng 3 tip tuyn n C
Chỳ ý :
Cha thi ca i Hc Cn Th Khi A+B -2001 cho hc sinh
x 2 3x 2
a) Kho sỏt v v th hm s y
(C)
x

b) Tỡm trờn ng thng x=1 nhng im m t ú k c 2 tip tuyn n th
C
Gii : b)
Gi M l im thuc ng thng x=1, d l ng thng i qua M cú h s gúc l
k. d cú phng trỡnh l : y= k(x-1)+m ( vi M(1,m) )
d l tip tuyn ca C thỡ h sau cú ngim.

WWW.ToanCapBa.Net

18


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

x 2 3 x 2
k ( x 1) m(1)

x

x2 2

k (2)

x

x 2 3x 2 x 2 2
2
( x 1) m
Thay (2) vo (1) ta cú
x
x


x ( x 2 3 x 2) ( x 2 2)( x 1) mx 2
g ( x, m) (2 m) x 2 4 x 2 0 (3)

t M k c ỳng 2 tip tuyn n C thỡ phng trỡnh (3) cú ỳng 2 ngim
phõn bit
' 4 2(2 m) 0

(2 m) g ( x, m) (2 m)(2) 0

2m 0
m 0

Do ú
(*)
2 m 0
m 2



Vy trờn ng thng x=1 .Tp hp cỏc im cú tung nh hn 0 (m<0) b i
im (1,-2) thỡ t ú k c ỳng 2 tip tuyn n C
Bi tp tng t :(Hc sinh v nh t lm )(HSP -Hi Phũng KA-2001)
a) V d th C : y x3 3 x 2 2
b) Tỡm trờn ng x=2 nhng im m t ú cú th k c 3 tip tuyn
n C
Bi tp v nh :
Bi 1.(HXD-2001)
Cú bao nhiờu tip tuyn ca C : y x ln x i qua im M(2,1)
Bi 2.
a) Kho sỏt v v th C : y x 3 3x 2 3
23
9




b) Vit phng trỡnh cỏc tip tuyn ca C i qua M , 2

Bi 3(HNNI-2001)
a) Kho sỏt v th hm s : y

x2 2x 1
(C)
x 1

b) Tỡm trờn trc 0y nhng im m t ú k c 2 tip tuyn n C

C.S tip xỳc ca hai ng cong

WWW.ToanCapBa.Net

19


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Bi toỏn 1:
Cho 2 ng cong cú phng trỡnh C :y=f(x) v C' :y=g(x) .Chng minh rng C
v C' tip xỳc nhau ti M.Tỡm to im M. Vit phng trỡnh tip tuyn chung
ca C v C' ti M
Phng phỏp gii :
Honh tip im ca 2 ng cong l ngim ca h :
f ( x) g ( x)

f '( x) g '( x)

Gii h ta cú M( x0 , y0 )
H s gúc ca tip tuyn chung ti M l k= f '( x0 )
Tip tuyn chung ti M cú phng trỡnh :y=f'( x0 )( x x0 ) y0
Vớ d :(Bi 59-tr56-GT12NC)
Chng minh rng cỏc th ca 3 hm s : f ( x) x 2 3x 6, g ( x) x 3 x 2 4 v
h( x) x 2 7 x 8 tip xỳc nhau ti im A(-1,2) (tc l chỳng cú tip tuyn chung
ti A)
Gii :

x 2 3x 6 x 2 7 x 8
Xột h :
2 x 3 2 x 7

2( x 1) 2 0

x 1
4( x 1) 0

Thay x=-1 vo f(-1)= (1)3 (1) 2 4 2 = to im A
Chng t 3 ng cong tip xỳc nhau ti A
Ta cú tip tuyn chung ti A l d thỡ h s gúc ca d l f'(-1)=-2(-1)+3=6 . Do ú d
cú phng trỡnh l :y=6(x+1)+2 =6x+8
Bi tp tng t
Bi 1 (Bi 60-tr56-GT12NC )
Chng minh rng cỏc th ca 2 hm s f ( x)

x2 3
3x

x, g ( x)
tip
2 2
x2

xỳc vi nhau .Xỏc nh tip im ca 2 ng cong trờn v vit phng trỡnh
tip tuyn chung ca chỳng ti im ú
Bi 2. (Bi 78-tr63-GT12NC )
a) V th P : y x 2 x 1 v th H ca hm s y

WWW.ToanCapBa.Net

1
x 1

20


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

b) Tỡm giao ca 2 ng cong .Chng minh rng hai ng cong ú cú tip
tuyn chung ti giao im ca chỳng
c) Xỏc nh cỏc khong trờn ú P nm phớa trờn hoc phớa di H
Bi 3 (Bi 1.64-tr23-GT12CB)
Chng minh C cú phng trỡnh y x 2 3x 1 tip xỳc vi C' :
x2 2x 3

y
x 1

Vit phng trỡnh tip tuýen chung ca 2 ng cong ti tip im ca
chỳng
Bi 4. (Bi 1.87-tr28-BTGT12CB)
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s y

x4
(H)
x2

b) Chng minh rng P cú phng trỡnh y x 2 2 tip xỳc vi H. Xỏc nh
tip im v vit phng trỡnh tip tuyn chung ca H v P ti im ú
c) Xột v trớ tng i ca P v H (Tc l xỏc nh mi khong trờn ú P
nm phớa trờn hoc phớa di H )
Bi toỏn 2
Cho th C cú phng trỡnh y=f(x). Lp phng trỡnh P i qua cỏc im cc tr
ca hm s f(x) v tip xỳc vi ng thng d : y=Ax+B (ng thng ny cho
sn )
Phng phỏp gii :
Gi im cc i ca C l M x0 , y0 v im cc tiu l N x1 , y1 . (P) cn
lp cú phng trỡnh l :y=ax2+bx+c
1. (P) qua M y0 ax0 2 bx0 c (1)' v (P) qua N y1 ax12 bx1 c (2)'
2. (P) tip xỳc d thỡ h sau cú ngim

ax 2 bx c Ax B (1)
f ( x) Ax B

f '( x) A
2ax b A(2)
Ab
3. T (2) ta cú x
thay vo (1)
2a
Ab 2
A b
A b
) b
a(
c A
B (3)
2a
2a
2a

Thay : c= y0 ax0 2 bx0 v b= y1 ax12 c / x1 t (1)' v (2)' vo (3) ta c
h(a)=0 gai ta suy ra a sau ú thay ngc li vo (1)' v (2)' ta tỡm c b v c
Vớ d ( Vớ d 1 -tr20-BTGT12CB )

WWW.ToanCapBa.Net

21


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

a) Vit phng trỡnh (P) dng y ax 2 bx c i qua cỏc im cc i ,cc tiu ca
th C : y x 3 3 x 2 4 v tip xỳc vi ng thng d : y=-2x+2
5
3

b) Vit phng trỡnh tip tuyn ca C song song vi ng thng d' : y x 1
Gii :
b) T a) ta tỡm c im cc i v im cc tiu l M(0,4 ),N(2,0)
-(P) qua M(0,4) : c=4 (1)
-(P) qua N(2,0) :4a+2b+c=0 (2)
- T (1) v (2) ta suy ra b=-2a-2 (3) .Thay vo (P) : y ax 2 2(a 1) x 4 (a
0 )
- (P) tip xỳc d thỡ h sau cú ngim

ax 2 2(a 1) x 4 2 x 2(4)
Thay (5) : x 1 vo (4) ta cú a=2 t (3) cú

2ax 2(a 1) 2(5)

b=-6
Vy (P) cú phng trỡnh l : y 2 x 2 6 x 4
Hc sinh ỏp dng gii thi HSP I HN-KD-99
Cho hm s y x 3 3mx 2 (m 2 2m 3) x 4 (1)
a) Kho sỏt v th C khi m=1
b) Vit phng trỡnh (P) i qua 2 im cc tr ca C .
c) Tỡm m (1) cú cc i ,cc tiu ng thi 2 im cqcj tr ny nm v 2
phớa ca 0y
Bi tp tng t :

Bi 1 (H An Ninh -99)
Cho hm s : y

x 2 mx m 8
(1)
x 1

a) Kho sỏt v th C khi m=-1
b) Vit phng trỡnh (P) i qua 2 im cc i ,cc tiu ca th C v tip
xỳc vi ng thng d :y=2x-10
c) Tỡm m (1) cú cc i ,cc tiu nm v 2 phớa ca d' : 9x-7y-10=0
Bi 2 (HAN-KD-98 )
a) Khp sỏt v th C : y

x2
x 1

b) Vit phng trỡnh (P) i qua 2 im cc i ,cc tiu ca th C v tip
xỳc vi ng thng d : y=

1
2

WWW.ToanCapBa.Net

22


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV

WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Bi 3 (H Tõy Nguyờn KA-99 )
1
3

a) Kho sỏt v th C : y x3 x

2
3

b) Vit phng trỡnh (P) i qua 2 im cc i ,cc tiu ca C v tip xỳc vi
ng thng d : y

4
3

Nhc nh hc sinh v mt dng bi tp sau :

Bi 1 (HDHN-2001 )
Tỡm m hm s y x 2 3x

m
3 cú 3 im cc tr , khi ú CM 3 im cc tr
x

ú nm trờn (P) : y 3( x 1)2
Cỏch gii :

iu kin hm s cú 3 cc tr l :
m

y x 2 3x 3(1)


3
cú 3 ngim khỏc 0

y ' 2 x 3 m 0(2)

x2
T (2) ta cú g(x)= 2 x3 3x 2 m (3)
Xột g'(x)= 6 x 2 6 0 x 1

Ta cú bng

x
-1
1
g'(x)
+
0
0
+
g(x)
-5
-1
Cn c vo bng ta thy , hm s cú 3 cc tr thỡ -5Khi ú t (3) thay vo (1)

y x 2 3x



+

2 x3 3x 2
3 3( x 1) 2 ú chớnh l phng trỡnh (P) . Nghió l 3 im
x

cc tr nm trờn (P)
Bi 2
Chng minh rng mi im cc tr ca hm s :
y

4

x
x 3 3 x 2 8 x nm trờn (P) c nh . Vit phng trỡnh (P) c nh ú
4

WWW.ToanCapBa.Net

23


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình

Bi toỏn 3
Cho h Cm cú phng trỡnh y= f(x,m) (1) trong ú m l tham s . Tỡm phng
trỡnh ng (L) c nh tip xỳc vi h Cm
Dng 1 : tip tuyn c nh ca h Cm , t i mt im c nh
Gi s (1) cú im cú nh A( x0 , y0 )
H s gúc ca tip tuyn ti A: f'(x) khụng ph thuc vo m
H (1) cú chung mt tip tuyn l :y- y0 f '( x0 )( x x0 )
Vớ d : (HQG-A-96 )
Cho hm s y

2 x 2 (1 m) x 1 m
(m 1) (1)
x m

CM rng (1) luụn tip xỳc vi mt ng thng c nh ti mt im c nh
Cỏch gia :
Tỡm im c nh :
Gi A( x0 , y0 ) l im c nh m vi mi m th (1) luụn i qua .

2 x0 2 (1 m) x0 1 m
m
Ta cú : y0
x0 m

(m x0 ) y0 2 x02 (1 m) x0 1 mm

( x0 y0 1)m 2 x0 2 x0 1 x0 y0m

y x0 1
x0 y0 1 0
0
2
Vy im c nh A(-1,2)
2
(
x

1)

0
2
x

x

1

x
y

0
0

0
0
0 0
Tớnh o hm s ti A

m 2m 1
2 x 2 4mx m 2 2m 1
f '(1, m)
1 ( Khụnh ph
F'(x,m)=
2
( x m)
(1 m)2
2

thuc vo m ) Do ú ng thng d :y=-x+1 l ng thng c nh tip xỳc vi
(1) ti A c nh
Cỏch khỏc :
Nu (1) tip xỳc vi d c nh khi v ch khi h sau cú ngim vi mi m

WWW.ToanCapBa.Net

24


Các bài toán thờng gặp về đồ thịHàm Số
Sỹ -ĐK-SV
WWW.ToanCapBa.Net

Nguyễn Đình


2 x 2 (1 m) x 1 m
y f ( x, m)
(1)

x m
Kh m t (1) v (2) ta cú pt ca d

d ( f ( x, m))

0(2)

dm

y(m x) 2 x 2 (1 m) x 1 m
( y x 1)m 2 x 2 x 1 xy Ly o hm 2 v theo bin
T (1) :

m ,Ta cú

Y+x-1=0 . Ngha l y=-x+1 Chớnh l phng trỡnh ca d
Dng 2 : Cho bit dng ca ng cong (L) : y=g(x)
Nu (L) l ng thng : y=ax+b
Nu (L) l parabol : y=ax2+bx+c
f ( x, m) g ( x )
cú ngim
f '( x, m) g '( x )

Vy nu f(x,m) tip xỳc vi (L) thỡ :
Vớ d : (HTN-KA+B-2001 )
Cho hm s y

2m 2 x 2 (2 m 2 )( mx 4)

(1)
mx 1

a) Kho sỏt v v th C khi m=1
b) CM rng m 0 , tim cn xiờn ca th (1) luụn tip xỳc vi mt (P)
c nh
Cỏch gii :
Bng phộp chia a thc ta tỡm c tim cn xiờn cú phng trỡnh l :
y 2mx m 2
Gi (P) cú phng trỡnh : y ax 2 bx c (a 0)
Tip tuyn ca (P) ti M( x0 , y0 ) l d : y (2ax0 b)( x x0 ) ax0 2 bx0 c
y (2ax0 b) x ax0 2 c (2)

tim cn xiờn tip xỳc (P) thỡ ta buc cho tim cn xiờn trựng vi tip tuyn d
2ax b 2m(3)
2m b
20
(a 0) Thay vo (4) ta cú :
T (3) x0
2
ax0 c m (4)
2a

2

2m b
2
a
c m (m)
2a

4(1 a) m2 4mb b 2 4 ac 0(m)

WWW.ToanCapBa.Net

25