Tập huấn môn Toán Hè 2009

Những tình huống điển hình trong dạy học toán
Biên soạn: Mai Xuân Vinh + Đội ngũ cốt cán
I. Một số khái niệm thờng gặp
Nội dung môn toán ở trờng phổ thông liên hệ mật thiết trớc hết với những hoạt
động toán học sau đây:
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện
Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động trái ngợc nhau liên hệ với một định
nghĩa, một định lý hay một phơng pháp .
Tuy hai hoạt động trái ngợc nhau nhng lại liên quan mật thiết với nhau và đan kết
vào nhau.
- Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tợng cho trớc có thoả mãn
định nghĩa đó hay không. Thể hiện một khái niệm là tạo một đối tợng thoả mãn định
nghĩa đó.
- Nhận dạng một định lý là xét xem một tình huống cho trớc có ăn khớp với định
lý đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định
lí cho trớc.
- Nhận dạng một phơng pháp là phát hiện xem một loạt tình huống có phù hợp với
các bớc thực hiện phơng pháp đó hay không, thể hiện một phơng pháp là tạo ra một dãy
tình huống phù hợp với các bớc của một phơng pháp đã biết.
+ Những hoạt động toán học phức hợp: nh chứng minh, định nghĩa, giải toán
dựng hình, quỹ tích
Những hoạt động này xuất hiện lặp đi lặp lại trong sách giáo khoa toán phổ thông.
Học sinh luyện tập những hoạt động này làm cho họ nắm vững những nội dung toán
học và phát triển những kỹ năng và năng lực toán học tơng ứng.
- Suy luận: Là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp xuất phát từ một hay nhiều
điều đã biết để đi đến những phán đoán mới.
- Suy đoán: Trên cơ sở thực nghiệm, thấy có một số dấu hiệu giống nhau nào đó
đề ra giả thuyết theo hình thức quy nạp không hoàn toàn.
- Phán đoán: Là một hình thức t duy trong đó khẳng định một dấu hiệu nào đó
thuộc hay không thuộc một đối tợng nào đó xác định.
Phán đoán trong logic hình thức có tính chất đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra

một trong hai trờng hợp đó.
Phán đoán đợc hình thành bởi hai phơng thức chủ yếu: Trực tiếp và gián tiếp.
Nếu hình thành trực tiếp, phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của một quá trình tri
giác một đối tợng. Hình thành gián tiếp thờng thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt
nào đó gọi là suy luận.
- Chứng minh: Là quá trình xác nhận tính đúng đắn hoặc bác bỏ một phán đoán
nào đó dựa vào các phán đoán đã biết từ trớc.
Nh vậy chứng minh (chẳng hạn một BTT) là tìm một dãy hữu hạn các phán đoán
thoả mãn:
* Mỗi phán đoán của dãy hoặc là tiên đề hoặc là định nghĩa hoặc định lí hoặc là
giả thiết đã cho hoặc là những phán đoán đi trớc của dãy nhờ các quy tắc suy luận.
*Phán đoán A
n
của dãy là điều cần chứng minh của BTT.
+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến: Lật ngợc vấn đề, xét tính giải đợc, phân chia
trờng hợp
+ Những hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tơng tự, đặc
biệt hoá, trừu tợng hoá, khái quát hoá
- Phép phân tích là phơng pháp suy luận đi từ cái cha biết đến cái đã biết.
- Phép tổng hợp là phơng pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái cha biết. Nếu A là
phán đoán cần chứng minh và A
i
(i = 1, 2, 3 , n) hoặc là tiên đề hoặc định lí hoặc là
giả thiết đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp nh sau: A
1
=> A
2
=> => A
n
= A.

- So sánh: Phát hiện những điểm chung và những điểm khác nhau của một số đối
tợng.
- Tơng tự: Là thao tác t duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan hệ giữa
các đối tợng toán học khác nhau.
Sự tơng tự do tính trực quan và dễ phát hiện ra nó, thờng đợc áp dụng
trong giải BTT. Tuy nhiên cần lu ý cũng giống nh phơng pháp quy nạp không hoàn
toàn, tơng tự cũng dễ dẫn đến kết quả sai.
- Khái quát hoá: Là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào đó có
ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất có ngoại diên rộng hơn bao gồm tập
hợp các đối tợng ban đầu. (khái quát hoá ngoại diên).
Khái quát hoá cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào đó
sang khái niệm hay tính chất rộng hơn, bao gồm cả khái niệm hay tính chất ban đầu
(khái quát hoá nội hàm).
Hoạt động khái quát hoá có liên quan mật thiết đến đặc biệt hoá, phân tích, tổng
hợp, so sánh, tơng tự, trừu tợng hoá và hệ thống hoá.
- Đặc biệt hoá: Là thao tác t duy ngợc với khái quát hoá. Đặc biệt hoá là thao tác
t duy chuyển từ một khái niệm hay một tính chất nào đó từ ngoại diên rộng sang tập
các đối tợng có ngoại diên hẹp hơn, chứa trong tập ban đầu (đặc biệt hoá ngoại diên).
Đặc biệt hoá cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay tính chất tổng quát về khái
niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hoá nội hàm)
- Trừu tợng hoá: Là thao tác tách ra từ một đối tợng toán học một tính chất (về
quan hệ số lợng hoặc hình dạng logic của thế giới khách quan) để nghiên cứu riêng tính
chất đó. Trừu tợng hoá thoát ra khỏi mọi nội dung có tính chất liệu.
+ Những hoạt động ngôn ngữ
Việc sử dụng ngôn ngữ, nói riêng trong giới học sinh, còn có những điều đáng
bàn. chúng ta có thể tổ chức dạy và học đạt tới trình độ ngôn ngữ hay. Đó là công cụ
của ngời viết văn chẳng hạn. Nhng khi nói đến rèn luyện ngôn ngữ thì ngời ta chủ yếu
nhìn vào mục tiêu là ngôn ngữ đúng, ngôn ngữ chuẩn mực. Việc xây dựng kỹ năng sử
dụng ngôn ngữ đúng, về nguyên tắc phải đợc hình thành ở bậc phổ thông. Nhng trên
thực tế, ở nớc ta học sinh tốt nghiệp phổ thông, viết nói tiếng mẹ đẻ cha tốt lắm. Cho

nên, muốn giữ gìn sự trong sáng của tiếng Việt, chúng ta phải tốn nhiều công sức cho
việc rèn luyện ngôn ngữ, trớc hết, tập trung vào luyện kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng,
chuẩn xác .
Trecnsepxki cho rằng Cái gì anh hình dung không rõ thì diễn đạt không sáng,
diễn đạt thiếu chính xác và lộn xộn thì chứng tỏ ý nghĩ của mình rối rắm, phức tạp mà
thôi
- Ngôn ngữ toán học
Toán học theo nghĩa nào đó là một thứ ngôn ngữ để mô tả một tình huống cụ thể
nảy sinh trong nghiên cứu khoa học, hoặc trong hoạt động thực tiễn của loài ngời. Bởi
vậy: "Dạy toán, xét về mặt nào đó là dạy học một ngôn ngữ, một ngôn ngữ đặc biệt, có
tác dụng to lớn trong việc diễn tả các sự kiện, các phơng pháp trong các lĩnh vực rất
khác nhau của khoa học và hoạt động thực tiễn .
Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theo các khuynh
hớng sau:
- Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên.
- Mở rộng các khả năng biểu diễn của nó.
- Loại bỏ sự đa nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên.
Nhà vật lý học Niels Bohr coi ngôn ngữ toán học là sự cải tiến ngôn ngữ chung,
sự trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mối quan hệ phụ thuộc
mà nếu biểu diễn bằng ngôn ngữ thông thờng thì không chính xác .
Học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ trong học toán khi phát biểu, giải
thích một định nghĩa, một mệnh đề, khi biến đổi chúng từ dạng này sang dạng khác
(chẳng hạn từ dạng kí hiệu toán học sang ngôn ngữ tự nhiên hoặc ngợc lại), trình bày
lời giải của bài tập toán
II. Dạy học khái niệm toán học
1, Khái niệm toán học
KháI niệm là một hình thức t duy phản ánh một lớp đối tợng.
- Do đó khái niệm có thể đợc xem xét theo hai phơng diện:
- Lớp đối tợng xác định khái niệm đợc gọi là ngoại diên.
- Các thuộc tính chung của lớp đối tợng này đợc gọi là nội hàm của khái niệm.

Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ có tính quy luật: Nội hàm càng mở
rộng thì ngoại diên càng hẹp và ngợc lại.
Ví dụ: Mở rộng nội hàm của khái niệm hình bình hành, bổ sung có một góc
vuông ta đợc một lớp là hinh chữ nhật là một bộ phận thực sự của lớp hình bình hành.
2, Định nghĩa khái niệm
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt một lớp dối tợng,
thờng bằng cách chỉ ra nội hàm của khái niệm đó.
- Có những khái niệm không định nghĩa:
- Để định nghĩa một khái niệm mới dựa vào khái niệm đã biết mà quá trình đĩnh
nghĩa cứ tiếp tục đến một khái niệm không thể dựa và khái niệm khác để định nghĩa
vậy khái niệm đó đợc thừa nhận là điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thủy.
Ví dụ: Khái niệm điểm, đờng thẳng, mặt phẳng.
3, Yêu cầu của dạy khái niệm:
Trong việc dạy toán ở phổ thông ,điều quan trọng bậc nhất là hình thành một
cách vững chắc cho hs một hẹ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến thứcToán học
của hs, là tiền đề quan trọng cho hs khả năng vận dụng các kiến thức đ ã học.
Việc dạy kn toán cần làm cho hs dần dần đạt đợc các yêu cầu sau:
- Nắm vững các đặc điểm đặc trng cho một khái niệm.
- Biết nhận dạng và thể hiện khái niệm
- Biết phát biểu rõ ràng chính xácđịnh nghĩa khái niệm.
- Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải
toán và ứng dụng vào thực tiễn.
- Biết phân loại kn, nắm đợc mối quan hệ của một khái niệm với một khái niệm
khác trong cùng một hệ thống.
4, Các hoạt động trình tự trong quá trình dạy học khái niệm
- HĐ1: Tiếp cận khái niệm
- HĐ2: Định nghĩa khái niệm
- HĐ3: Cũng cố khái niệm (nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn
ngữ, vận dụng khái niệm vào giải bài tập ; khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa
những khái niệm đã học)

5, Các con đờng tiếp cận khái niệm:
- Con đờng suy diễn;
- Con đờng quy nạp;
- Con đờng kiến thiết;
a, Con đờng suy diễn
- Các kn Toán học đợc đn nh là một trờng hợp riêng của một khái niệm đã biết.
- Xuất phát từ một kn đã biết thêm vào nội hàm của kn đó một số đặc điểm mà ta
quan tâm.
- Phát biểu đn bằng một cái tên mới và đn nó nhờ một kn tổng quát hơn cùng với
những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong kn tổng quát ó.
- Đa ra ví dụ minh họa
Ví dụ: Đn hình chữ nhật, hình thoi nh là trờng hợp riêng của hình bình hành.
b, Con đờng quy nạp
Xuất phát từ đối tợng riêng lẻ, mô hình, hình vẽ phân tích, so sánh, trừu t ợng
hóa, khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đăc trng của khái niệm ở các trờng hợp cụ thể đó đi
đến định nghĩa từ đó đi đến đĩnh nghĩa tờng minh hay một sự hiểu biết trực giác khái
niệm đó tùy theo yêu cầu của chơng trình.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đờng quy nạp
- Gv đa ra một số ví dụ cụ thể để hs thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một loạt
đối tợng nào đó.
- Dẫn dắt hs phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối t-
ợng đang xem xét.
- Gợi mở cho hs phát biểu đn bằng cách nêu tên và đặc trng của kn.
Ví dụ: Đn tứ giác( ở lớp 8), hàm số ( ở lớp 9)
c, Con đờng kiến thiết
Kết hợp những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đờng kiến thiết.
- Xây dựng một hay nhiều đối tợng đại diện cho khái niệm cần đợc hình thành h-
ớng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ môn toán.
- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tợng đại diện, đi tới đặc điểm đặc

trng cho kn cần hình thành.
- Phát biểu biểu đn theo gợi ý kết quả bớc 2.
(Con đờng kiến thiết không thấy xuất hiện ở Toán THCS)
Ví dụ: Kn lũy thừa số mũ âm, Vận tốc tức thời của chuyển động.
6, Dạy học phân chia khái niệm
Đn một khái niệm (ở dạng tờng minh hoặc không tờng minh), thì nội hàm và
ngoại diên của nó đợc xác định. Ngoại diên của khái niệm đợc sáng tỏ hơn nữa nhờ sự
phân chia khái niệm. Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc
nắm vững những khái niệm toán học
Để học sinh biết phân chia khái niệm, trớc hết cần cho họ hiểu đúng thế nào là
phân chia khái niệm. Một khái niệm có ngoại diên tơng ứng là A đợc phân chia thành
các khái niệm có ngoại diên tơng ứng là A
1
, A
2
, A
n
có nghĩa là các điều kiện sau đây
thõa mãn:
i) A
1
với i = 1, 2, n;
ii) A
1
A
j
= với i j
iii)
n
i

i 1
A A
U
=
=
Ví du: Số phức phân thành số thực và số ảo, số thực phân thành số vô tỉ và số hửu tỉ
III. Dạy học định lý toán học:
Việc dạy học các định lý Toán học nhằm đạt đợc các yêu cầu sau đây:
- Học sinh nắm đợc hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có
khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng nh giải quyết các vấn đề trong
thực tiễn;
- Học sinh thấy đợc sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy đợc chứng minh
định lý là một yếu tố quan trọng trong phơng pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học;
- Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu
chứng minh, trình bàylại đợc chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để
tìm ra chứng minh, theo yêu cầu chơng trình phổ thông.
Hai con đờng dạy học định lý:
Mục này đợc trình bày dựa theo Pietzsch 1980 (tr. 22-23)
Trong việc dạy học những định lý Toán học, ngời ta phân chia hai con đờng: con
đờng có khâu suy đoán và con đờng suy diễn. Hai con đờng này đợc minh họa bằng sơ
đồ sau:
Sự khác biệt căn bản giữa hai con đờng đó là ở chỗ: theo con đờng có khâu suy
đoán thì việc dự đoán phát hiện trớc việc chứng minh định lý, còn ở con đờng suy diễn
thì hai việc này nhập lại thành một bớc.
Con đờng có khâu suy đoán Con đờng suy diễn
Gợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý
Chứng minh định lý Phát biểu định lý
Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề
Củng cố định lý

a. Con đờng có khâu suy đoán
- Gợi động cơ lập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc
trong nội bộ Toán học.
- Dự đoán và phát biểu định lý dựa vào những phơng pháp nhận thức mang tính
suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngợc vấn đề, tơng tự hóa, khái quát hóa một
định lý đã biết, nghiên cứu trờng hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc,
- Chứng minh định lý, trong đó đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng minh và
gợi học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phơng pháp suy luận, chứng
minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thờng dùng.
Tùy theo yêu cầu của chơng trình, trong những trờng hợp nhất định, việc chứng
minh một số định lý có thể không đặt ra cho chơng trình phổ thông.
- Vận dụng định lý vừa tìm đợc để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi
động cơ.
- Củng cố định lý, khâu này đợc trình bày chung cho cả hai con đờng.