CÁC KỸ THUẬT GIẢI PT-BPT-HPT mũ và lôgarit

Chuyên đề Tổng hợp pp giải PT,BPT,HPT mũ và logarit
Kỹ thuật hằng số biến thiên trong giải PT và chứng minh BĐT
1 Lý thuyết cần nhớ
1.1 hàm số mũ và logarit



1.2 Các công thức mũ và logarit
a
m
.a
n
= a
m+n
; a
m
/ a
n
= a
m-n
; a
-m
=1/ a
m
; a
m/n
= căn bặc n của a
m
log
a
x

x=a log
a
x

1.3 Các kỹ thuật giải phơng(pt) sơ cấp
Giả sử ta cần GPT dạng f(x)=0
Phần này mình lấy EX là các pt mũ và logarit nhng những phơng pháp này đợc dùng
chung để giải hầu hết các loại pt xuất hiên trong các bài thi

Nguyên tắc chung là biến đổi tơng đơng để giải.Ví dụ gặp kăn thức thì ta nâng luỹ
thừa,gặp phân thức thì ta qui đồng,gặp hiệu hay thong căn thức thì ta nhân liên hợp. đôi
khi 2 vế phơng trình bị cho khuyết hay thừa 1 đại lợng nào đó ta cần nhân hay chia 2 vế pt
với đại lợng đó
Nếu sau các bớc này mà ra luôn pt cơ bản.Còn nếu không ra những pt thì ta dùng các kỹ
thuật sau
1 Biến đổi đa về pt tích:Đây là dạng rất hay có trong các đề thi.Khi ấy có 1 phần pt là các
pt đơn giản giải đợc luôn,còn lại là những pt khó nhằn mà ta phải giải bằng các kỹ thuật
dới đây( đây là kiểu cấu trúc đề thi rất hay gặp trong các đề thi của BGD nhằm phân loại
học sinh)
1 đặt ẩn phụ : sau khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền giá trị và miền xác định cho ẩn
mới.Điều này rất quan trọng trong các bài toán tham số
+ kiểu 1: đặt x= g(t) pt trở thành f(g(t))=0.dĩ nhiên là việc thao tác trên g(t) đơn giản
hơn x.Thông thờng g(t) là các hàm lợng giác
+ kiểu 2: đặt g(x)=t pt trở thành f(g
-1
(t))=0 khi này biến tham giai giả toán là t chứ
không là g(t) nh kiểu 1
+ Kiểu 3 đặt 1 ẩn phụ đa pt về dạng pt vừa chứa ẩn mới vừa chứa ẩn x.
Thông thờng pt mới có thể đa về pt dạng g(t).h(x)=0 trong đó t là ẩn mới đặt
+ Kiểu 4 Đặt 2 ẩn phụ đa pt về dạng pt tích: g(u).h(v)=0

+ Kiểu 5 Đặt 2 ẩn phụ đa pt về hệ pt 2 ẩn.Trong đó pt thứ nhất của hệ là pt cũ với các
ẩn mới u,v.Phơng trình thứ hai là pt liên hệ giữa hai ẩn u,v
2 Dùng tính chất hàm số:
+ kiểu 1: ta chứng minh hàm f(x) là hàm đơn điệu,sau đó nhẩm trớc 1 nghiệm và kết
luận đó là nghiệm duy nhất
+ kiểu 2: đa pt về dạng f(x) = g(x)
Ta chứng minh hai hàm là đối nhau tức là một hàm tăng một hàm giảm sau đó nhẩm
trớc 1 nghiệm và kết luận đó là nghiệm duy nhất
Nếu mà đoán trớc đợc 2 nghiệm của pt thì dùng định lý lagrang để chứng minh pt chỉ có 2
nghiệm
để khảo sát tính đơn điệu của f(x) ,g(x) có thể dùng đạo hàm đối với hàm bất kỳ hay
dùng luôn các tính chất đơn điệu biết trớc của hàm mũ,logarit, lợng giác đã biết Còn
một số bài mà không đơn điệu nhng vẫn có nghiệm duy nhất thì ta phải đạo hàm đến
nhiều lần để xét tính cực trị của hàm đó.Thông thờng thì đạo hàm của nó sẽ là 1 hàm đơn
điệu
3 Dùng đánh giá:
Kiểu 1: dạng f(x) = m.Ta dừng hàm số hay BĐT chứng minh rằng f(x) đạt cực đại hay
cực tiểu bằng m tại x= x
1
,x
2,
, x
k
khi ấy x= x
1
,x
2,
, x
k
là các ngiệm

Kiểu 2: f(x) = g(x) dùng BĐT đánh giá f(x) lớn hơn hay nhỏ hơn g(x),xét dấu bằng có
xảy ra không rồi kết luận nghiệm hay vô nghiệm của pt
4 Ba kỹ thuật đặc biệt gpt
4.1 Hằng số biến thiên: khi 1 bài toán cho ở dạng biến đổi về pt tích mà thao tác trên ẩn
phức tạp ta chuyển sang thao tác trên hằng số.Đặt k=t (với k=const) khi ấy thông thờng ta
đa đợc pt về dạng bậc 2 hay 3 với ẩn là t tham số là x.Mà pt này dễ giải ra nghiệm t=h(x)
4.2 Tham số biến thiên:Tổng quát hơn hằng số bién thiên khi này các hằng số k đợc thay
bằng các tham số m.Bài toán bắt ta đi giải biện luận PT.Khi này ta coi m là ẩn x lầtham số
và thao tác trên biến m
4.3 kỹ thuật cô lập tham số: bài toán bắt là tìm giá trị m để pt f(x,m)=0 có nghiệm x thoả
điều kiện K.Ta biến đổi pt về dạng g(m)= h(x).Sau đó khảo sát hàm h(x).Rồi giải biện
luận pt g(m)= h(x) bằng bảng biến thiên suy ra ycbt