Chuyên đề :TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG XUÂN HÒA

Chuyên đề : “ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ”

Họ tên : DƯƠNG THANH HÙNG.
Đơn vị : Trường THPT XUÂN HÒA.
Thành phố Phúc yên, Tỉnh Vĩnh Phúc.

Trang - 1 -


1. Người thực hiện: Dương Thanh Hùng.
Giáo viên : Trường THPT Xuân Hòa, Thành phố Phúc yên,
Tỉnh Vĩnh phúc.
2. Đối tượng bồi dưỡng học sinh lớp 12.
3. Dự kiến số tiết 03.
4. Hệ thống kiến thức:
4.1 Tính đơn điệu của hàm số.
4.2 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số.

Trang - 2 -


Tính đơn điệu của hàm hàm số là một trong những phần kiến thức quan
trọng trong chương trình THPT đặc biệt là lớp 12. Tính đơn điệu của hàm số còn
được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán như bài toán về cực trị; bài toán về giá
trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số; bài toán giải phương trình, giải bất
phương trình; bài toán chứng minh bất đẳng thức,…..
Trong tất các đề thi đều xuất hiện những câu hỏi và phần liên quan đến
kiến thức này. Nhất là đề thi THPTQG những năm gần đây, số lượng câu hỏi về

tính đồng biến nghịch biến được tăng lên.
Nâng cao chất lượng dạy và học, nhất là nâng cao kết quả thi THPTQG của
các em lớp 12 là nhiệm vụ chung và rất quan trọng đối với mỗi nhà trường hiện
nay.
Trong phạm vi của chuyên đề, chủ yếu tập trung vào kiến thức thi
THPTQG, nên tôi có hệ thống lại các dạng toán, phương pháp giải và bài tập liên
quan, từ mức độ cơ bản đến nâng cao, qua đó giúp việc tiếp thu kiến thức của học
sinh một cách thuận tiện và hiệu quả hơn.

Trang - 3 -


Tóm tắt nội dung
Phần I : LÝ THUYẾT.
Phần II: DẠNG TOÁN và BÀI TẬP.
Phần III: BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Trang - 4 -


1. Định nghĩa
Cho hàm số y

f (x ) xác định trên K với K là một khoảng.

+) Hàm số y

f (x ) đồng biến (tăng) trên K nếu x1, x2

+) Hàm số y

f (x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1, x2

K, x1

x2

K, x1

f (x1 )
x2

f (x 2 ).

f (x1 )

f (x 2 ).

+) Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K .
2. Định lý
Cho hàm số y
+) Nếu f (x )

f (x ) có đạo hàm trên khoảng K .

0,

x

K và f (x )

0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y

0,

x

K và f (x )

0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y

f (x ) đồng biến trên

khoảng K .
+) Nếu f (x )

f (x ) nghịch biến

trên khoảng K .
3. Lưu ý:
+) Nếu hàm số y

f (x ) liên tục trên đoạn [a;b ] và f '(x )

0,

x

(a;b) thì ta nói hàm số đồng biến trên

đoạn [a;b ].
+) Nếu hàm số y

f (x ) liên tục trên đoạn [a;b ] và f '(x )

0,

x

(a;b) thì ta nói hàm số nghịch biến trên

đoạn [a;b ].
+) Tương tự với các khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên các nửa khoảng.

Trang - 5 -


DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
I - PHƯƠNG PHÁP XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Xét tính đơn điệu của hàm số y = f ( x ) trên tập xác định
Bước 1 :Tìm tập xác định D.
Bước 2 :Tính đạo hàm y = f ( x) .
Bước 3 :Tìm nghiệm của f ( x ) hoặc những giá trị x làm cho f ( x ) không xác định.
Bước 4 :Lập bảng biến thiên.
Bước 5 :Kết luận.
Chú ý: - Trên một khoảng, nửa khoảng hay trên một đoạn ta làm tương tự.
- Đối với bài toán trắc nghiệm, ta có thể sử dụng Phương pháp sử dụng MTCT
Cách 1 :Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio . Quan sát
bảng kết quả nhận được, khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến,
khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng nghịch biến.

Cách 2 :Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất
phương trình INEQ của máy tính Casio (đối với bất phương trình bậc hai, bậc ba)

II - BÀI TẬP ÁP DỤNG
Mức 1: Nhận biết
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; + ) .

x−2
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
x +1
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1; + ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −1) .

1. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y =

TXĐ D =

Lời giải

\ {−1}.
x−2
3
 y'=
 0 x  −1. Nên hàm số đồng biến trên ( −; −1) và
Ta có y =
2
x +1

( x + 1)

( −1; + )

Chọn D.
2. (MÃ ĐỀ 110 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho hàm số y = x3 − 3x 2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 2; + ) .

Lời giải

TXĐ D = .
Ta có y = x3 − 3x2  y ' = 3x2 − 6x  0 x  ( −;0 ) , ( 2; + ) ; y '  0 x  ( 0;2 ) . Chọn B.
3. Hàm số y = x 4 − 8 x 2 + 2018 nghịch biến trên khoảng

Trang - 6 -


A. ( −; −2 ) và ( 0;2) .

B. ( −2;2 ) .

C. ( −;2 ) .

D. ( −2;0 ) và ( 2 +  ) .

Lời giải
TXĐ D = .
Ta có y = x 4 − 8x 2 + 2018  y ' = 4 x3 − 16 x; y ' = 0  x = −2; x = 0; x = 2 .
Bảng xét dấu
x
y’

-2
0

-

0
0

+

2
0

-

+

Hàm số nghịch biến ( −; −2 ) và ( 0;2) . Chọn A.
4. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + 3x + 2019 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −1) và ( −1; + ) .
C. Hàm số nghịch biến trên

.

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −1) và ( −1; + ) .
Lời giải

TXĐ D = .
2
Ta có y = x3 + 3x 2 + 3x + 2019  y ' = 3x 2 + 6 x + 3 = 3 ( x + 1)  0 x 

.

Chọn A.
2
HS có thể nhầm lẫn khi cho y ' = 0  3x 2 + 6 x + 3 = 3 ( x + 1) = 0  x = −1, y '  0 x  −1 nên chọn B.
5. (MÃ ĐỀ 123 BGD&DT NĂM 2017) Hàm số y =
A. ( −; +)
TXĐ D = .
Ta có y ' =

(x

B. (0; + )

2
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
x +1
C. ( − ; 0)
D. ( −1;1)
2

Lời giải

−4 x
2

+ 1)

2

.

Bảng xét dấu y’
x
y’
+
Hàm số nghịch biến ( 0;+ ) . Chọn B.

0
0

-

6. (MĐ 104 BGD&DT NĂM 2017) Cho hàm số y = 2 x 2 + 1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; +  ) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; 0 ) .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; +  ) . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1) .
Lời giải
TXĐ D = .
2x

Ta có y ' =
.
2x2 + 1
Bảng xét dấu y’
x
0
y’
0
+
Hàm số đồng biến ( 0;+ ) . Chọn A.

Trang - 7 -


Mức 2: Thông hiểu
7. Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = − x 2 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên .
B. Hàm số nghịch biến trên ( −;0 ) và đồng biến trên ( 0; + ) .
C. Hàm số đồng biến trên .
D. Hàm số đồng biến trên ( −;0 ) và nghịch biến trên ( 0; + ) .
Lời giải

TXĐ D = .
Ta có f ' ( x ) = − x2  0, x 
8. Cho hàm số y =

nên hàm số nghịch biến trên

. Chọn A.

x +1
. Khẳng định nào đúng?
x − 4x + 4
2

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; + ) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −4 ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −4; + ) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; + )

Lời giải

\ 2 .

Tập xác định D =
Ta có y =

− x2 − 2 x + 8

( x − 2)

4

; y = 0  − x 2 − 2 x + 8 = 0 x = −4 và x = 2

Bảng biến thiên:

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( −4;2 ) , nghịch biến trên các khoảng ( −; −4 ) và ( 2; + ) .
Chọn B.
9. Cho các hàm số sau:

1
x −1
;
(I) : y = x 3 − x 2 + 3 x + 4 ;
(II) : y =
3
x +1
(IV) : y = x3 + 4 x − sin x ;
(V) : y = x 4 + x 2 + 2 .
Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
A. 2.
B. 4.
C. 3.
10. Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?
A. y

2x 1
.
x 1

B. y

2x 1
x 1

1

x2

1.

x

C. y

Lời giải
Ta có y
y

Trang - 8 -

y'

2 x sin x 2018

x 1

y'

2

0, x

2 cos x

1 . loại A.

0, x

. Chọn C.

(III) : y = x 2 + 4

2x sin x 2018

D. 5.

D. y

x3

4x2

5x 1 .


  
11. Cho hàm số y = cos 2 x + sin 2 x.tan x, x   − ;  . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
 2 2
  
  
A. Hàm số luôn giảm trên  − ;  .
B. Hàm số luôn tăng trên  − ;  .
 2 2
 2 2
æ p ö
  
C. Hàm số không đổi trên  − ;  .
D. Hàm số luôn giảm trên ç - ;0÷ .
è 2 ø

 2 2

Lời giải

  
Ta có y = cos 2 x + sin 2 x.tan x = cos2 x − sin 2 x + 2sin 2 x = 1 . Vậy hàm số là hàm hằng trên  − ; 
 2 2

Cách khác: Tính y’ = 0 hoặc có thể dùng máy tính bằng chức năng table. Chọn C.
−x + 2


12. Cho hàm số y = −2 x 2 + 2 x + 7

3x − 3


nÕu x  −1
nÕu − 1  x  2 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
nÕu x  2

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −1) và đồng biến trên khoảng ( −1; + ) .
1

B. Hàm số đồng biến trên khoảng  −1;  và nghịch biến trên khoảng (1;3) .
2

1 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −1) và nghịch biến trên khoảng  ; 2  .
2 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −1) và đồng biến trên khoảng ( 2; + ) .

Lời giải
Tập xác định D=
−1


y = −4 x + 2

3

y = 0  x =

Bảng xét dấu của y :

Trang - 9 -

\{-1;2}.

nÕu x  −1
nÕu − 1  x  2 .
nÕu x  2
1
 ( −1; 2 ) .
2


1

Từ bảng xét dấu của y ta có hàm số đồng biến trên các khoảng  −1;  và ( 2;+ ) , nghịch biến trên các khoảng

2

1
( −; −1) và  ; 2  . Chọn D.
2 
13. Cho hàm số y = x + 3 + 2 2 − x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −2 ) và đồng biến trên khoảng ( −2; 2 ) .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −2 ) và nghịch biến trên khoảng ( −2; 2 ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;1) và đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .
Lời giải
Tập xác định D = ( −; 2 .
1
; y ' = 0  x = 1.
2− x

Ta có y ' = 1 −
Bảng xét dấu y’

x
-∞
1
2
y’
+
0
Hàm số đồng biến trên khoảng ( −;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) . Chọn C.
14. Cho hàm số y = x 2 − 2 x − 3 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −1) và (1;3) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ) .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1) và nghịch biến trên khoảng ( 2; 4 ) .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −1) và đồng biến trên khoảng ( 2; + ) .
Lời giải
Ta có y =

2 ( x 2 − 2 x − 3) ( x − 1)

(x

2

− 2 x − 3)

2

, y = 0  x = 1 ; y không xác định tại x = −1; x = 3

Bảng xét dấu của y :

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;1) và ( 3; + ) , nghịch biến trên các khoảng ( −; −1) và (1;3) .
Chọn A.
15. Cho hàm số y = x 2 − 4 x + 3 + 4 x + 3 . Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; + )
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) và đồng biến trên khoảng ( 0; + ) .

Trang - 10 -


C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −;0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0; + ) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) và đồng biến trên khoảng ( 6; + ) .
Lời giải
Tập xác định D =

.

 x 2 + 6
nÕu x  1 hoÆc x  3
=
Ta có y = x − 4 x + 3 + 4 x + 3  2
.
− x + 8 x nÕu 1  x  3
2

 2 x nÕu x  1 hoÆc x  3
y = 
nÕu 1  x  3
−2 x + 8

y = 0  x = 0 .
Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; + ) và nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) . Chọn B.
16. Cho hàm số y = 3 x2 ( x − 20) . Biết hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) . Khi đó giá trị a 2 + b 2 là
A. không xác định.
Tập xác định D =
Ta có y =

2 ( x − 20 )
33 x

B. 64.

C. 8.
Lời giải

D.16.

.

+ 3 x2 =

5 ( x − 8)
33 x

.

y = 0  x = 8 ; y không xác định khi x = 0 .

Bảng biến thiên:

x

−

y

0
+

||

+

8
-

0

+

+

y

−

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( −;0 ) , (8; + ) và nghịch biến trên khoảng ( 0;8) . Nên a 2 + b 2 = 64
Chọn B.

Trang - 11 -


x2 + 4
. Biết hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; a ) , ( a; b ) . Có bao nhiêu giá trị
x+2
nguyên thuộc ( a; b ) ?

17. Cho hàm số y =

A. 5.

B. 4

Tập xác định D =

x ( x + 2)
y =

D. 3.

\ −2 .

− x2 + 4

x +4
2
( x + 2)
2

C. 2.
Lời giải

=

2x − 4

( x + 2)

2

x2 + 4

; y = 0  2 x − 4 = 0  x = 2 .

Bảng xét dấu của y :

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; + ) , nghịch biến trên các khoảng ( −; −2 ) và ( −2; 2 ) . Nên

( −2; 2)

có 3 giá trị nguyên. Chọn D.
Mức 3: Vận dụng

18. Hàm số f ( x ) = 2 tan x − tan 2 x đồng biến trên khoảng ( 0; ) và nghịch biến trên khoảng ( ;  )



 0       . Giá trị tan  + tan  là :
2

A. 3.

B. 1

C. 2.

D. 4.

Lời giải



 x  + k
Điều kiện 
.
2
2 tan x − tan 2 x  0
 
Đặt t = tan x , ta có hàm số t = tan x đồng biến trên khoảng  0;  .Từ điều kiện ban đầu ta được t 0;2 .
 2
Xét hàm số y = 2t − t 2 . Ta có y =
Ta có bảng xét dấu của y

Trang - 12 -

1− t
2t − t

2

, y = 0  t = 1 .


 
Dựa vào bảng xét dấu trên ta có hàm số y = 2 tan x − tan 2 x đồng biến trên khoảng  0;  và nghịch biến
 4




trên khoảng  ;arctan 2  . Vậy  =  tan  + tan  = 3 . Chọn A.
4
4

19. Cho hàm số y = x2 − 6 x + 6 2 x + 1 −1 . Biết rằng hàm số đồng biến trên các khoảng ( a; b ) , ( c; +  ) và
nghịch biến trên khoảng ( b; c ) . Khi đó 2019a + 2020b + 2021c là :
A. 2023.
B. 2022
C. 2020.

D. 4042.

Lời giải
t2 −1
 1

TXĐ:  − ; +  . Đặt t = 2 x + 1 ( t   0; + ) )  x =
.
2
 2

2

 t 2 −1 
 t 2 −1 
1
Xét hàm số y = 
− 6
+ 6t − 1 = t 4 − 14t 2 + 24t + 9



 2 
 2 
4





(

)

t = 1
.
y = t − 7t + 6 , y = 0  t = 2

t = −3 ( ktm )
3

3
Với t = 1  x = 0 , t = 2  x = .
2

Ta có bảng dấu của y


 1  3
Vậy hàm số y = x2 − 6 x + 6 2 x + 1 − 1 đồng biến trên các khoảng  − ; 0  ,  ; +   và nghịch


 2  2
1
3
 3
biến trên khoảng  0;  . Ta được a = − ; b = 0; c = . Nên 2019a + 2020b + 2021c = 2022.
2
2
 2

Chọn B.

Trang - 13 -


DẠNG 2: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHO BỞI BBT,
ĐỒ THỊ
I - PHƯƠNG PHÁP CHUNG
- Qua bảng biết thiên ta chú ý thông tin về dấu của đạo hàm, thông tin hàm số (mũi tên trong bảng biến
thiên)
- Qua đồ thị (C) của hàm y = f ( x) ; nếu hướng của đồ thị đi lên từ trái qua phải ở khoảng nào thì hàm số
đồng biến trên khoảng đó, còn nếu hướng của đồ thị đi xuống từ trái qua phải thì hàm số nghịch biến.
- Qua đồ thị (C’) của hàm y ' = f '( x) ;
+) nếu đồ thị (C’) nằm trên trục Ox với mọi x  ( a; b )  f ' ( x )  0 trên khoảng ( a; b ) thì hàm số
đồng biến trên khoảng ( a; b ) .
+) còn nếu nếu đồ thị (C’) nằm dưới trục Ox với mọi x  ( a; b )  f ' ( x )  0 trên khoảng ( a; b ) thì
hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) .
- Ở một số bài chung ta phải sử dụng cách biến đổi hàm số(Đặt biến mới).

II - BÀI TẬP ÁP DỤNG
Mức 1: Nhận biết

20. (Câu 3 Mã 101-2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −2;0 ) .
B. ( 2; + ) .
C. ( 0; 2 ) .
Lời giải
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng ( 0; 2 ) thì f ' ( x )  0 .

D. ( 0; + ) .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 ) . Chọn C.
21. (ĐỀ THAM KHẢO BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm
số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Trang - 14 -


y

-1

1
O

x
-1

-2

C. ( −1;0 )
D. ( 0;1)
Lời giải
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −1;0) , (1; + ) . Chọn C.
A. ( −; −1)

B. ( −1;1)

22. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:

Khi đó hàm số đồng biến trong khoảng
A. (−1; +) .
B. ( −; 2) .

C. (3; +)

D. (1;3) .

Lời giải
Từ bảng biến thiên ta thấy y '  0 x  ( −;1) , (1;3) hàm số đồng biến trên các khoảng ( −;1) , (1;3) .
Chọn D.
23. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Khi đó hàm số nghịch biến trong khoảng

A. ( −; 2) .

B. ( −; +) .

C. (0; +)

24. (Câu 12 Mã 102 2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Trang - 15 -

D. (1; + ) .


Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( −1; + ) .

B. (1; + ) .

C. ( −1;1) .

D. ( −;1)

25. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ . Khi đó y = f ( x ) đồng biến trên khoảng:
y
6

4

3
2

x

3

O
1

-1
2

4

A. (1;3)

B. ( −3;2 )

C. ( 3; + )

D. ( −2;4 )

26. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

x

0

f' x

0

+

2
0

+

f ( x)

Khẳng định nào đúng về hàm y = f ( −2 x + 6 ) ?
A. Hàm số nghịch biến trên 0;
C. Hàm số đồng biến trên 2;

.
.

B. Hàm số nghịch biến trên

; 2 , 2;3 .

D. Hàm số nghịch biến trên

;3 .

Lời giải
Đặt g ( x ) = f ( −2 x + 6) . g  ( x ) = −2. f  ( −2x + 6) .

 −2 x + 6 = 0  x = 3

.
g  ( x ) = 0  f  ( −2 x + 6 ) = 0  
 −2 x + 6 = 2  x = 2
Bảng biến thiên
x

2

g' x

0

3
0

+

g ( x)

Vậy hàm số y = f ( −2 x + 6 ) nghịch biến trên khoảng ( − ;3 ) . Chọn D.
Mức 2: Thông hiểu

Trang - 16 -


27. (Câu 35 Mã 101-2019) Cho hàm số f ( x ) , bảng xét dấu của f ' ( x ) như sau:

Hàm số y = f ( 3 − 2 x ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

( 4; +  ) .

B.

( −2;1) .

C.

( 2;4) .

D. (1;2) .

Lời giải
Chọn B
y = −2. f  ( 3 − 2 x ) .
Hàm số nghịch biến khi

 −3  3 − 2 x  −1
y  0  −2. f  ( 3 − 2 x )  0  f  (3 − 2 x )  0  
3 − 2 x  1

2  x  3

. Vậy chọn đáp án B.
x  1
28. Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm thỏa mãn f  ( x )  0, x  (1;4) ; f  ( x ) = 0  x  2;3. Mệnh đề nào dưới
đây sai?
A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( 3; 4 ) .
C. f

( 5 ) = f ( 7 ).

D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 4 ) .
Lời giải
Từ giả thiết suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; 2 ) và ( 3; 4 ) .
Hàm số f ( x ) là hàm hằng trên  2;3  f

29. Cho hàm số f ( x ) xác định trên

( 5 ) = f ( 7 ). Do đó D sai. Chọn D.

và có đồ thị hàm số y = f  ( x ) là đường cong trong hình bên. Mệnh

đề nào dưới đây đúng?
8

y

6

4

2

O

2

1

2

x

2

3


A. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng  −1;  . B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −2; 2 ) .
2

C. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) . D. Hàm số f ( x ) đồng biến trên khoảng ( −; −2 ) .

Trang - 17 -


30. Cho hàm số f ( x ) xác định trên

( c; + ) . Khi đó 2019a + 2020b là

và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( a; b ) và
y

O

-3

1

x

A. – 4039
B. 5049
C. 1011
3
2
31. Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên.

D. – 8077

Hàm số g ( x ) =  f ( x )  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
2

A. ( −;3) .

B. (1;3) .

C. ( 3; + ) .

D. ( −3;1) .

Lời giải
Chọn B
Cách 1:

 f ( x) = 0

 x = 3; x = −3 (nghiêm kép)

.
 f  ( x ) = 0  x = 1; x = −3

Ta có g  ( x ) = 2 f ( x ) . f  ( x )  g  ( x ) = 0  

x  1
 f  ( 4)  0 .
 x  −3

Từ đồ thị hàm số y = f ( x )  f ( 4 )  0 và f  ( x )  0  
Do đó g  ( 4) = 2 f ( 4) . f  ( 4)  0 . Ta có bảng biến thiên

Trang - 18 -


Từ bảng biến thiên suy ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên các khoảng ( −; −3) và (1;3) .
Cách 2: Từ đồ thị suy ra f ( x ) = a ( x − 3)( x + 3) ; a  0 .
2

Suy ra g ( x ) = a 2 ( x − 3) ( x + 3)  g  ( x ) = 2a 2 ( x − 3)( x + 3) + 4a 2 ( x − 3) ( x + 3)
2

4

4

2

3

 g  ( x ) = 2a 2 ( x − 3)( x + 3) ( 3x − 3) . Lập bảng biến thiên tương tự trên suy ra kết quả.
3

32. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số y = g ( x ) = f ( 2 x − 4) nghịch biến trên khoảng nào?
5
C.  ;3 

2 

B. ( 4; + )

A. 1;2 .

D.

; 2.

Lời giải
Ta có g ( x ) = 2. f  ( 2 x − 4 ) .
3

x=

2
x
−
4
=
−
1

2

2 x − 4 = 1
5

.

g ( x ) = 0  
 x =
2
2 x − 4 = 2


2
x
−
4
=
4
nghiÖm
béi
ch½n
x = 3
(
)

 x = 4 ( nghiÖm béi ch½n )


Bảng biến thiên:

3
5
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = g ( x ) nghịch biến trên khoảng  − ;  và  ;3  . Chọn C.
2

2 

33. Cho hàm số y
x

.

Hàm số g x

Trang - 19 -

f x có đạo hàm f
f x

2

x

x 2 x 1 x 4 .u x với mọi x

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

và u x

0 với mọi


A. 1;2 .

1;1 .

B.

2; 1 .

C.

D.

; 2.

Mức 3: Vận dụng
34. Cho hàm số f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau.

Hàm số y

3f x

A. 1,
y

3f

x

.

2

3x

2

B.
3; y

Để hàm số đồng biến
Đặt t

f

0

x

, 1.

3f
x2

2

x

t

2

2

f t

1 x 2 2
2 x 2 3

Vậy hàm số y

3f x

1
t

0

1
0
2

x

0

1;0 .

Lời giải
3x 3
f

2

x

D. 0, 2 .
2

x2

1.

0.

1

1

1 0

C.
2

x 2 , bất phương trình trở thành f t

Ta chọn t sao cho

Khi đó

3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

x3

2

t

t

2

2

2

1

t 2
4

1.

1 t 2
.
2 t 3

.

x

1

x3

3x đồng biến trên khoảng

1;0 và 0;1 . Chọn C.

35. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên

Hỏi hàm số y = f ( f ( x ) ) đồng biến trên những khoảng nào?
A.

; 2 .

B. 2;

.

C. 0;
Lời giải

+ Đặt g ( x ) = f ( f ( x ) ) .
+ g ( x ) = f  ( x ) . f  ( f ( x )) .

 f ( x) = 0
x = 0
x = 0


+ g ( x ) = 0  
.
 x = 2
 f  ( f ( x ) ) = 0

 f ( x) = 0

Trang - 20 -

.

D. 0;2 .


x  2
+ Xét f  ( f ( x ) )  0  f ( x )  0  
.
 x  −2
+ Bảng xét dấu:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −2;0 ) và ( 2;+  ) . Chọn B.
36. Cho hàm số y

và có đồ thị hàm số y = f  ( x ) như hình vẽ.

f x có đạo hàm liên tục trên

Tìm các khoảng đồng biến của hàm số g ( x ) = f ( −2 x + 1) + ( x + 1)( −2 x + 4) .
A.

; 3 , 2;5 .

B.

2;

1
, 2;
2

.

C. 0;

.

Lời giải

(

)

+) g ( x ) = f ( −2 x + 1) + ( x + 1)( −2 x + 4) = f ( −2 x + 1) + −2 x 2 + 2 x + 4 .

 g  ( x ) = −2 f  ( −2 x + 1) − 4 x + 2 = −2  f  ( −2 x + 1) + 2 x − 1 .
+) g  ( x )  0  f  ( −2 x + 1) + 2 x − 1  0  f  ( −2 x + 1)  −2 x + 1
Đặt t = −2 x + 1 thì (1) trở thành f  ( t )  t .

Trang - 21 -

(1) .

D.

5

;
2

.


Quan sát đồ thị hàm số y = f  ( t ) và y = t trên cùng một hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta thấy với t  ( − ; −3)
và t  ( 2;5) thì đồ thị hàm số y = f  ( t ) luôn nằm phía dưới đường thẳng y = t .

t  −3
Suy ra f  ( t )  t  
.
2  t  5
x  2
 −2 x + 1  −3

Như vậy f  ( −2 x + 1)  −2 x + 1  
.
 −2  x  − 1
2

−
2
x
+
1

5

2


1

Do đó hàm số g ( x ) = f ( −2 x + 1) + ( x + 1)( −2 x + 4) đồng biến trên các khoảng  −2; −  và ( 2;+ ) .
2


Chọn B.
Mức 4:Vận dụng
37. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f  ( x ) như hình vẽ

Hàm số y = f (1 − x ) +
A.

2;0 , 4;

.

B.

x2
− x nghịch biến trên khoảng nào?
2
; 3 , 1;3 .

C. 3;
Lời giải

Trang - 22 -

.

D.

; 2 .


+ Xét hàm số y = f (1 − x ) +

x2
− x có y = − f  (1 − x ) + x −1 .
2

Đặt t = 1 − x ta được y = − f  ( t ) − t .

1  t  3
+ y  0  − f  ( t ) − t  0  f  (t )  −t  
. Khi đó
t  −3

1  1 − x  3  −2  x  0
.
1 − x  −3   x  4



( Nghiệm của bất phương trình f  ( t )  −t là hoành độ những điểm thuộc phần đồ thị hàm số y = f  ( t ) nằm
phía trên đường thẳng y = −t ).
x2
− x nghịch biến trên các khoảng ( −2;0 ) và ( 4;+  ) . Chọn A.

2
38. (Câu 50 Mã 101 2018) Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) . Hai hàm số y = f  ( x ) và y = g  ( x ) có đồ

Do đó hàm số y = f (1 − x ) +

thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y = g  ( x ) .

3

Hàm số h ( x ) = f ( x + 4 ) − g  2 x −  đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
2

 31 
9 
 31

A.  5;  .
B.  ;3  .
C.  ; +  .
5
4
5






Lời giải

Trang - 23 -

 25 
D.  6;  .
 4 


Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f  ( x ) tại A ( a;10 ) , a  ( 8;10) . Khi đó ta có

 f ' ( x + 4 )  10, khi 3  x + 4  8
 f ' ( x + 4 )  10, khi − 1  x  4


 
 
3
3
3
3
25 .
 g '  2 x − 2   5, khi 0  2 x − 2  11  g '  2 x − 2   5, khi 4  x  4


 
 
3
3

Do đó h ( x ) = f  ( x + 4 ) − 2 g   2 x −   0 khi  x  4 .
4

2

Kiểu đánh giá khác:
3

Ta có h ( x ) = f  ( x + 4 ) − 2 g   2 x −  .
2

9 
Dựa vào đồ thị, x   ;3  ,
4 
25
ta có :
 x + 4  7 , f ' ( x + 4)  f ' ( 3) = 10 ;
4
3
3 9

3  2 x −  , do đó g '  2 x −   g ' ( 8 ) = 5 .
2 2
2

3

9 
9 
Suy ra h ( x ) = f  ( x + 4 ) − 2 g   2 x −   0, x   ;3  . Do đó hàm số đồng biến trên  ;3  . Chọn B.
2

4 

4 
39. Cho hai hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x) và y = g ( x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó đường
đậm hơn là đồ thị hàm số y = f ( x) . Biết rằng hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ là −3
và cắt nhau tại hai điểm nữa có hoành độ lần lượt là −1 và 3 . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
m để bất phương trình f ( x )  g ( x ) + m nghiệm đúng với mọi x   −3;3 .



A.  −;



12 − 8 3 
.
9


12 − 10 3

; +  .
9



B. 



C.  −;



12 − 10 3 
.
9


12 − 8 3

; +  .
 9


D. 

Lời giải
Đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x) cắt trục tung lần lượt tại điểm có tung độ bằng −1, −2 suy ra
f (0) = −1, g (0) = −2
Phương trình hoành độ giao điểm f ( x) = g ( x) . Do hai đồ thị này tiếp xúc với nhau tại điểm có hoành độ −3
và cắt nhau tại hai điểm phân biệt nữa có hoành độ lần lượt là −1 và 3 nên

Trang - 24 -


f ( x) − g ( x) = a ( x + 3)

2

( x + 1)( x − 3) . Suy ra

f (0) − g (0) = −27 a  a = −

Ta có f ( x)  g ( x) + m  m  f ( x) − g ( x)  m  −

1
.
27

1
2
( x + 3) ( x + 1)( x − 3) (1) .
27

1
2
( x + 3) ( x + 1)( x − 3) .
27
Bất pt (1) có nghiệm với mọi x   −3;3  m  min h( x) .

Đặt h( x) = −

 −3;3

Ta có h '( x) = −

 x = −3
4
( x + 3) ( x 2 − 3) ; h '( x) = 0  
27
 x = − 3; x = 3

h(−3) = h(3) = 0 .
h(− 3) =

Suy ra

12 − 8 3
12 + 8 3
.
; h( 3) =
9
9
12 − 8 3
12 − 8 3
. Vậy m 
. Tập hợp tất cả các GT thực của tham số m là
min h( x) =
 −3;3
9
9


12 − 8 3 
 −;
 . Chọn A.
9


x2 - 2x + 3 - x2 - 6x +11 > 3- x - x -1 có tập nghiệm ( a;bùû . Hỏi hiệu b- a có

40. Bất phương trình
giá trị là bao nhiêu?
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. -1.

Lời giải
+) Điều kiện: 1  x  3 ; bpt 

( x −1)

2

+ 2 + x −1 

(3 − x )

2

+ 2 + 3 − x (1)

+) Xét f (t ) = t 2 + 2 + t với t  0 .
+) Có f '(t ) =

t
t +2

2

+

1
2 t

 0, t  0 .

Do đó hàm số đồng biến trên [0; +) .
+) (1)  f ( x − 1)  f (3 − x )  x − 1  3 − x  x  2 .
+) So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S = (2;3]  b = 3, a = 2; b − a = 1 . Chọn A.

Trang - 25 -