chuyen de luong giac ( hay)

Công thức lợng giác và PT lợng giác Đại số và giải tích lớp 11
I/ Công thức l ợng giác:
1,
Bảng g/trị l

ợng giác của các góc đặc biệt
:

30
0
(/6
)
45
0
(/4)
60
0
(/3)
90
0
(/2)
120
0
(2/3)
135
0
(3/4)
150
0
(5/6)
180

0
( )
Sin

1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2

1
2
0
Cos
3
2
2
2

1
2
0
-
1

2
-
2
2
-
3
2
-1
Tan
1
3
1
3
////
-
3
-1
-
1
3
0
Cot
3
1
1
3
0
-
1
3

-1
-
3
////
2, Các công thức cơ bản cần nhớ:
sin
2
+ cos
2
= 1 tan .cot =1
1
2
cos

= 1+ tan
2

1
2
sin

= 1+ cot
2

3, Công thức về góc :
Góc đối: và -
sin(-) = - sin
cos(-) = cos
tan(-) = - tan
cot(-) = - cot

Góc bù: và

-
sin(-) = sin
cos(-) = - cos
tan(-) = - tan
cot(-) = - cot
Góc: và

+
sin(+) = - sin
cos(+) = - cos
tan(+) = tan
cot(+) = cot
Góc phụ: và
2

-
sin(
2

-) = cos
cos(
2

-) = sin
tan(
2

-) = cot

cot(
2

-) = tan
Góc : và
2

+
sin(
2

+) = cos
cos(
2

+) = -sin
tan(
2

+) = -cot
cot(
2

+) = -tan
4, Công thức cần nhớ:
Công thức cộng:
cos(a b) = cosa.cosb
m
sina.sinb
sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb

tan(a b) =
tan tan
1 tan .tan
a b
a b

m
Công thức nhân đôi:
sin2a = 2 sina.cosa
cos2a = cos
2
a- sin
2
a
= 2cos
2
a - 1
= 1- 2sin
2
a
GV: Phạm Xuân Trung 1 0915 673 504
C«ng thøc lỵng gi¸c vµ PT lỵng gi¸c §¹i sè vµ gi¶i tÝch líp 11
C«ng thøc h¹ bËc 2: ( §ỵc suy ra tõ
c«ng thøc nh©n ®«i).
1 2
2
2
cos a
cos a
+

=
1 2
2
2
cos a
sin a
−
=
1 2
2
tan
1 2
cos a
a
cos a
−
=
+

C«ng thøc biÕn tÝch thµnh tỉng:
cosa.cosb =
1
2
[cos(a+b)+ cos(a-b)]
sina.cosb =
1
2
[sin(a+b)+sin(a-b)]
sina.sinb =
1

2
[cos(a-b)- cos(a+b)]
C«ng thøc biÕn tỉng thµnh tÝch:
cosa + cosb = 2 cos
2
a b+
.cos
2
a b−
cosa - cosb = -2 sin
2
a b+
.sin
2
a b−
sina + sinb = 2 sin
2
a b+
.cos
2
a b−
sina - sinb = 2cos
2
a b+
.sin
2
a b−
tana ± tanb =
sin( )
cos .cos

a b
a b
±
cota ± cotb =
sin( )
sin .sin
a b
a b
±
Chó ý:
mét sè ct hay dung trong biÕn
®ỉi
1+ sin2x = ( sinx + cosx)
2
1- sin2x = ( sinx - cosx)
2
1- cos2x = 2sin
2
x
1+ cos2x = 2cos
2
x
tanx + cotx =
2
sin 2x
sinx + cosx =
2 ( )
4
cos x
Π

−
sinx - cosx =
2 s ( )
4
in x
Π
−
cosx- sinx =
2 ( )
4
cos x
Π
+
cos3x = 4cos
3
x - 3cosx
sin3x = 3sinx - 4sin
3
x
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.
4 4 2 2
cos sin 1 2sin cosx x x x+ = −
2.
xxxx
2266
cossin31sincos
−=+
Ví dụ: Tính
)

4
11
cos(
π
−
,
4
21
π
tg
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()
2
cos( xxxA
++−++=
ππ
π
Ví dụ: 1. Biến đổi thành tổng biểu thức:
xxA 3cos.5cos
=
2. Tính giá trò của biểu thức:
12
7
sin
12
5
cos
ππ
=
B

Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức:
3xsin 2x sinsin
++=
xA
GV: Ph¹m Xu©n Trung 2  0915 673 504
Công thức lợng giác và PT lợng giác Đại số và giải tích lớp 11
II/ Ph ơng trình l ợng giác:
A. PT l ợng giác cơ bản :
1/ phơng trình: sinx = m = sin
- Đk để pt có nghiệm là: -1 m 1
- nghiệm của pt là:
2
2
x k
x k






= +
= +
(kZ)
- nghiệm của các pt đặc biệt:
+ sinx=1 x=
2

+k2
+ sinx=-1 x= -

2

+k2
+ sinx= 0 x= k
- trong trờng hợp m không xác định đợc là
sin của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm

arcsin 2
arcsin 2
x m k
x m k






= +
= +
(kZ)
3/ phơng trình: tanx = m = tan
- TXĐ: x
2

+k (kZ)
- nghiệm của pt là:
x k

= +
(kZ)

- nghiệm của các pt đặc biệt:
+ tanx=1 x=
4

+k
+ tanx=-1 x= -
4

+k
+ tanx= 0 x= k
- trong trờng hợp m không xác định đợc là
tan của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm

arctanx m k

= +
(k

Z)
2/ phơng trình: cosx = m = cos
- Đk để pt có nghiệm là: -1 m 1
- nghiệm của pt là:
2
2
x k
x k

= +
= +
(kZ)
- nghiệm của các pt đặc biệt:
+ cosx=1 x= k2
+ cosx=-1 x= +k2
+ cosx= 0 x=
2

+k
- trong trờng hợp m không xác định đợc là
cos của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm

arc 2
arc 2
x cosm k
x cosm k






= +
= +
(kZ)
4/ phơng trình: cotx = m = cot
- TXĐ: x k (kZ)

- nghiệm của pt là:
x k

= +
(kZ)
- nghiệm của các pt đặc biệt:
+ cotx=1 x=
4

+k
+ cotx=-1 x= -
4

+k
+ cotx= 0 x=
2

+k
- trong trờng hợp m không xác định đợc là
cot của góc đặc biệt nào, ta dùng
nghiệm

arccotx m k

= +
(k

Z)
Vớ duù: 1) Giaỷi caực phửụng trỡnh :
a)

=
1
sin2
2
x
b)
2
cos( )
4 2
x

=
c)
03)
6
2sin(2
=+

x

d)
03)
3
cos(2
=+

x
e)
12cos2sin
=+

xx
f)
xxx 2cossincos
44
=+
2) Giaỷi caực phửụng trỡnh:
GV: Phạm Xuân Trung 3 0915 673 504
Công thức lợng giác và PT lợng giác Đại số và giải tích lớp 11
a)
4 4
1 cos sin 2cos2x x x+ =
c)
024sin)cos(sin4
44
=++
xxx

b)
6 6
sin cos cos 4x x x+ =
d)
3 3
1
sin .cos cos .sin
4
x x x x =
e)
4)
2
.1(sincot

=++
x
tgtgxxgx
B.Các ph ơng trình th ờng gặp:

PT thuần nhất bậc 2,bậc 3 đối với một hàm số l ợng giác sinx, cosx, tanx,cotx:
- Tổng quát: a.sin
2
x+b.sinx+c = 0 (1)
a.sin
3
x+b.sin
2
x+c.sinx+d = 0 (2)
- Cách giải: Đặt Sinx = t , điều kiện của t là: -1 t 1
sau đó thay vào (1) và (2) giải pt theo ẩn t , tìm x=?



Chú ý:

Nếu đặt t theo sin hoặc cos thì có đk của t nh trên, còn nếu đặt t theo tan hoặc cot
thì đk của t là R.
Vớ duù : giai cac phuong trinh sau:
a)
2
2cos 5sin 4 0x x+ =
b)
5
cos2 4cos 0

2
x x + =

c)
2
2sin 4 5cosx x= +
d)
2cos cos2 1 cos2 cos3x x x x= + +

e)
4 4
1
sin cos sin2
2
x x x+ =
f)
0)2
2
cos()cos(sin2
44
=+
xxx

g)
4 4
sin cos 1 2sin
2 2
x x
x+ =
h)

0cos.sincossin
44
=++
xxxx
k)
0
sin22
cos.sin)sin(cos2
66
=

+
x
xxxx
l)
32cos)
2sin21
3sin3cos
(sin5
+=
+
+
+
x
x
xx
x
PT bậc nhất đối với sinx và cosx:
- Tổng quát: a.sinx + b.cosx = c (1)
- ĐK cần và đủ để (1) có nghiệm là: a

2
+b
2
c
2
- Cách giải:
chia hai vế của (1) cho
2 2
a b+
ta đợc pt:

2 2
a
a b+
.sinx +
2 2
b
a b+
.cosx =
2 2
c
a b+
(2)
Đặt sin =
2 2
b
a b+
và cos =
2 2
a

a b+
(2) sinx.cos + cosx. sin =
2 2
c
a b+
sin( x+ ) =
2 2
c
a b+

GV: Phạm Xuân Trung 4 0915 673 504
Công thức lợng giác và PT lợng giác Đại số và giải tích lớp 11
- chú ý : ở pt dạng này sau khi đa về (2) thì
2 2
b
a b+
và
2 2
a
a b+
có thể là giá trị lg giác
của các góc đặc biệt nh
3

;
4

;
6

.
Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh :
a)
+ = cos 3 sin 1x x
b)
2sin3cos
=+
xx
c)
4 4
4(sin cos ) 3sin 4 2x x x+ + =
d)
x
tgx
cos
1
3
=
e)
3
1sincos2
2sincos
2
=


xx
xx
/ PT bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx:
- Tổng quát: a.sin

2
x + b.sinxcosx + c.cos
2
x = d (1)
a.sin
3
x + b.sin
2
xcosx + c.cos
2
xsinx + d.cos
3
x = e( sinx+ cosx) (2)
- Cách giải:
+ xét cosx= 0 sinx = 1 có thoa mãn (1) hay không, nếu có thì nghiệm của pt là:
x=
2

+k
+ xét cosx 0, chia cả hái vế (1) cho cos
2
x, ta đa về pt bậc 2, bậc 3 theo tanx
sau đó đặt tanx = t, tìm t =? x= ?
- Chú ý: trong PT dạng này ta phải dùng công thức:
1
2
cos

= 1+ tan
2

Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh:
a;
031coscos.sin)31(sin3
22
=++
xxxx
b;
3 3 2
4sin 3cos 3sin sin .cos 0x x x x x+ =
c;
1 3sin 2 2 tanx x
+ =
PT dạng:
- Tổng quát: a.( sinx cosx) + b. sinxcosx = c (1)
- Cách giải:
Đặt sinx cosx = t , ĐK của t là:
2 2t
sinxcosx =
2
1
2
t

(2)
sau đó thay vào (1) giải PT và tìm t=?
thay t vào (2) có sin2x= (t
2
-1) x=?
Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh :

sin2 2 2(sin cos ) 5 0x x x + =
sin2 4(cos sin ) 4x x x+ =
Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh : a.
+ + =
3 3
3
1 sin cos sin2x
2
x x

b.
1)cos(sin2cossin
33
+=+
xxxx
GV: Phạm Xuân Trung 5 0915 673 504