Phân loại và hướng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết

Phân loại và hớng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết
I. Phần mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
Đối với học sinh lớp 6, trong chơng I "Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên", sau
17 tiết ôn tập và bổ túc về tập hợp số tự nhiên và các phép tính trên tập hợp đó, chơng
trình tiếp tục với 6 tiết về tính chất chia hết của một tổng và dấu hiệu chia hết. Thực
ra ở Tiểu học học sinh đã đợc học các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9,
nhờ các bảng chia nhng do cha học các tính chất chia hết của một tổng nên cha đủ cơ
sở lý luận để giải thích đợc các dấu hiệu chia hết đó. Các hạn chế đó đợc khắc phục ở
lớp 6. Trong chơng I, dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 học sinh đợc học trong một bài;
dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 cũng vậy, nhờ đó vừa giảm đợc một số tiết học, vừa
làm nổi bật nét chung của hai dấu hiệu chia hết.
Tuy chỉ với 6 tiết đợc bố trí song những kiến thức đợc trang bị này có môt ý
nghĩa rất lớn chúng làm cơ sở cho việc trình bày và tiếp thu nhiều kiến thức cơ bản
về sau nh: số nguyên tố - Hợp số, ƯC-BC, ƯCLN-BCNN, rút gọn, quy đồng so sánh,
cộng trừ phân số...ở lớp 6; phân tích đa thức thành nhân tử, quy đồng mẫu thức ...ở
lớp 8. Mặt khác nó góp vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu về đa thức, phân
thức ở môn đại số các lớp sau.
Phần kiến thức này có một ý nghĩa đặc biệt là trang bị cho học sinh phơng
pháp t duy có hệ thống, logic chặt chẽ, giúp học sinh phơng pháp suy luận mới từ dự
đoán -> chứng minh, từ phân tích -> tổng hợp, từ cụ thể -> khái quát. Mở rộng khả
năng đào sâu suy nghĩ, phát hiện và vận dụng những vấn đề mới có liên quan. Rèn
luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dỡng phát triển năng lực t duy, óc
linh hoạt, tính độc lập và sáng tạo bớc đầu hình thành thói quen tự học, tự nghiên
cứu, biết diễn đạt chính xác, khoa học ý tởng của mình và hiểu ý tởng của ngời khác.
Chơng trình Số học 6 góp phần giúp học sinh chủ động khám phá kiến thức
mới. Khai thác những kiến thức cơ bản áp dụng vào việc hoàn chỉnh các bài toán liên
quan bằng việc xây dựng quy trình suy luận có lý xuất phát từ những điều đã biết để
đi đến kết quả cuối cùng.
1.2. Tính cần thiết của đề tài
GV: Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II

-1-
Phân loại và hớng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy có nhiều vấn đề nảy sinh: Học sinh lớp 6
mới chỉ tiếp cận với các phơng pháp suy luận cụ thể, giải quyết các bài toán đơn lẻ.
Suy luận logic còn hạn chế ảnh hởng đến năng lực tiếp thu và mở rộng kiến thức của
học sinh trung bình, khá. Đối với học sinh khá giỏi các em có nhu cầu đợc tìm hiểu
những kiến thức cao hơn song sách giáo khoa cha đáp ứng (sách giáo khoa mới chỉ
dừng ở các kiến thức cơ bản). Sử dụng những kiến thức này các em mới chỉ giải
quyết đợc những bài tập ứng dụng đơn thuần. Đối với các bài tập đòi hỏi có sự suy
luận và phát triển thì hầu hết học sinh gặp khó khăn. Vì vậy các em thờng trình bày
không rõ ràng, giải thích thiếu hệ thống các vấn đề. Ví dụ: Học sinh sẽ gặp nhiều
lúng túng khi giải quyết bài tập: Chứng minh rằng: Với mọi n

N thì số 5
n
- 1

4
hay chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27...
Mặt khác sau chơng I, học sinh lại tiếp tục đợc làm việc với bài toán chia hết
(ớc và bội) của số nguyên. Vậy làm thế nào để vừa sử dụng tốt kiến thức cơ bản vừa
khai thác sâu chúng để phát triển, mở rộng theo một hệ thống chặt chẽ giúp học sinh
phát huy tích cực, chủ động tìm tòi vận dụng sáng tạo vào việc giải các bài tập có nội
dung liên quan, đồng thời dễ dàng tiếp thu kiến thức mới.
Số học quả là mênh mông! Kiến thức thì vô tận! Trong phạm vi đề tài này tôi
trình bày một số kinh nghiệm của bản thân về "Phân loại và hớng dẫn học sinh
giải các bài tập liên quan đến tính chia hết". Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp
đỡ phần nào cho các em trong quá trình vơn lên chinh phục những đỉnh cao kiến thức
của nhân loại.
1.3. Mục đích nghiên cứu đề tài

Dựa trên cơ sở khoa học và thực tiễn giảng dạy, để góp phần nâng cao chất l-
ợng dạy và học trong giảng dạy tôi luôn có ý thức tìm ra biện pháp thích hợp và hiệu
quả nhất bằng cách:
- Khắc sâu kiến thức cơ bản và mở rộng phát triển từ cái đã biết: Tính chất
chia hết của một tổng, các dấu hiệu chia hết, sau đó khai thác hớng dẫn cho học sinh
phát hiện tính chia hết có liên quan đến những kiến thức nào.
- Hớng dẫn học sinh phân loại đợc các dạng bài tập khác nhau liên quan đến
chia hết và giải chúng nh thế nào? Từ đó xây dựng lời giải hoàn thiện bằng hệ thống
t duy logic chặt chẽ với mục đích là học sinh xây dựng đợc phơng pháp t duy tích cực
GV: Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
-2-
Phân loại và hớng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết
trong học toán và giải toán. Từ đó các em phấn khởi tự tin hình thành thói quen phân
tích tổng hợp khi học toán.
1.4. Đối t ợng, phạm vi, kế hoạch, thời gian nghiên cứu
4.1. Đối tợng nghiên cứu: Học sinh khối 6
4.2. Phạm vi nghiên cứu: Trong 2 lớp 6A1, 6A2 - Trờng THCS Mạo Khê 2
4.3. Thời gian nghiên cứu: 3 năm (2008 - 2010)
1.5. Đóng góp về mặt lý luân thực tiễn
Môn số học thực sự là một lĩnh vực có nhiều hấp dẫn chỉ từ những con số quen
thuộc, đơn giản. Song chúng đã tạo ra một thế giới đầy bí ẩn và có sức thu hút kỳ
diệu. Nghiên cứu nó, ta thấy có nhiều tính chất hay, quy luật đẹp đến bất ngờ. Vì vậy
thông qua các bài tập liên quan đến tính chất chia hét, giúp học sinh phát huy đợc
tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo trong học tập. Đồng thời rèn luyện kỹ năng
vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú
và trách nhiệm học tập cho học sinh.
II. Phần nội dung
II.1. Thực trạng vấn đề
II.1.1. Sơ lợc về trờng THCS Mạo Khê 2
Trng THCS Mo Khờ II cú 1018 hc sinh chia lm 28 lp theo cỏc khi

6,7,8,9 mi khi 7 lp. Nhng vn ln nh trng quan tõm l duy trỡ cht
lng i tr hng nm ó t: Tt nghip 99 - 100%. Lờn lp 98% gi vng cht
lng mi nhn 8 - 10% hc sinh t hc sinh gii cỏc cp hng nm. Nm hc
2008 - 2009 hc sinh gii cp huyn cú 43 em (lp 9); Tnh cú 21 em (lp 9). Gi
vng n np k cng trong dy v hc, tng cng cỏc hot ng giỏo dc ngoi
gi v qun lý hc sinh. c bit l a cỏc ni dung dy phỏp lut cú cht lng
hn. Thc hin tt mt s chuyờn ln nh giỏo dc - dõn s - mụi trng -
phũng chng ma tuý. Phn u theo khu hiu nh trng Mt a ch tin cy ca
nhõn dõn trong khu vc. Do ú vi nhim v ỏp ng nhu cu bc hc trung hc
c s khu trung tõm th trn v phn u t chun quc gia giai on 2 ca
ngnh. Nh trng phi tng cng c s vt cht: n nm 2015 tng 100% s
phũng hc (28 lp), cỏc phũng thit b b mụn. Tip tc bi dng chun hoỏ
GV: Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
-3-
Phân loại và hớng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết
i ng giỏo viờn t 50% i hc 2015. Tớch cc thc hin i mi phng phỏp
dy hc v tng cng ng dng cụng ngh thụng tin ỏp ng vic i mi chng
trỡnh THCS ca B.
II.1.2. Một số thành tựu đạt đợc:
Sau khi giảng dạy về tính chất chia hết của một tổng và các dấu hiệu chia hết,
HS ở hai lớp 6A1, 6A2 đã vận dụng thành thạo các tính chất và dấu hiệu chia hết vào
giải các bài tập có liên quan. Đặc biệt HS làm bài diễn đạt chính xác, có nhiều cách
giải hay, lập luận logic, hợp lý các em hăng hái xây dựng bài, tạo ra các giờ học thoải
mái, tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng, từ đó giúp các em thêm yêu bộ môn
Toán hơn và bớc đầu hình thành khả năng vận dụng kíên thức toán học vào đời sống
và các môn khoa học khác
II.1.3. Một số tồn tại và nguyên nhân
Học sinh ở 2 lớp 6A1, 6A2 học lực không đồng đều, còn một số học sinh cha
chăm học: Trong lớp còn hay nói chuyện, ghi bài không đầy đủ, lời học bài và làm
bài tập. Một số em này do hổng kiến thức từ cấp 1, gia đình thiếu quan tâm đôn đốc,

mải chơi...=> kết quả học tập cha cao.
II.1.4. Vấn đề đặt ra
GV cần giúp học sinh suy đoán, suy diễn, hoạt động t duy để dẫn đến các tính
chất chia hết, từ đó học sinh vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9 vào các tình
huống cụ thể của hoạt động giải toán. Rèn luyện t duy linh hoạt sáng tạo: tìm thêm
các cách giải khác và chọn cách giải tối u. Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả
hay phơng pháp cho các bài toán khác, đề xuất bài toán mới...
II.2. á p dụng trong giảng dạy
II.2.1. Các bớc tiến hành
Qua khảo sát chất lợng đầu năm học, tôi thu đợc kết quả nh sau:
Lớp SS Nữ Giỏi Khá TB Yếu Kém
6A1
6A2
43
39
23
22
39.5%
53.3%
45.9%
28.9%
7.6%
15.3%
7%
2.5%
0
0
II.2.2. Bài dạy minh hoạ
1. Kiến thức cơ bản
GV: Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II

-4-
Phân loại và hớng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết
1.1. Định nghĩa: Cho 2 số tự nhiên a; b (b

0) ta nói a chia hết cho b nếu tồn
tại số tự nhiên q sao cho a = b.q
1.2. Các tính chất
1.2.1. Tính chất chung:
1.2.1.1. Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho 1 và chính nó.
1.2.1.2. Số 0 chia hết cho mọi số khác 0
1.2.1.3. Tính chất bắc cầu: a

b và b

c thì a

c
1.2.2. Tính chất chia hết của tổng và hiệu:
1.2.2.1. a

m; b

m => a + b

m; a - b

m (a

b)
* Hệ quả: Nếu a + b

m và a

m thì b

m
1.2.2.2. a

/ m; b

m => a + b

/ m; a - b

/ m (a

b)
1.2.2.3. Tính chất chia hết của một tích
+ Nếu a

m => ab

m
+ Nếu b

m và b

n => ab

mn

* Hệ quả: Nếu a

b thì a
n


b
n
1.3. Một số dấu hiệu chia hết:
1.3.1. n

2

Chữ số tận cùng của n chẵn
=> n : 2 d r => n = 2k + r (k

N), r = 0;1.
1.3.2. n

5

Chữ số tận cùng của n là 0 hoặc 5
=> n : 5 d r => n = 5k + r (k

N), r = 0;1;2;3;4.
1.3.3. n

4

Số tạo bởi hai chữ số tận cùng của n chia hết cho 4.

1.3.4. n

25

Số tạo bởi hai chữ số tận cùng của n chia hết cho 25.
1.3.5. n

8

Số tạo bởi ba chữ số tận cùng của n chia hết cho 8.
1.3.6. n

2
k


Số tạo bởi k chữ số tận cùng của n chia hết cho 2
k
.
1.3.7. n

5
k


Số tạo bởi k chữ số tận cùng của n chia hết cho 5
k
.
1.3.8. n

3

Tổng các chữ số của n chia hết cho 3.
1.3.9. n

9

Tổng các chữ số của n chia hết cho 9.
n

9 => n

3. Điều ngợc lại không đúng
1.3.10. n

11 Tổng các

Tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số
hàng lẻ có hiệu chia hết cho 11.
2. Nội dung các bài toán cụ thể liên quan đến tính chia hết.
GV: Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
-5-
Phân loại và hớng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết
2.1. Bài toán về chữ số tận cùng:
2.1.1. Ví dụ 1: Cho A = 51
n
+ 47
102
( n

N). Chứng tỏ A

10.
* H ớng dẫn : Mấu chốt của bài toán này là học sinh phải nắm đợc một số nh
thế nào thì chia hết cho 10. Trong trờng hợp này muốn chứng tỏ A

10 thì ta cần
giải theo hớng đi tìm chữ số tận cùng của A. Bài toán này trở về bài toán dạng: Tìm
chữ số tận cùng của A. Nếu A có chữ số tận cùng bằng 0 thì chứng tỏ A

10.
Ta có: 51
n
có tận cùng là 1
47
102
= 47
100
. 47
2
= (47
4
)
25
.47
2
= (
1...
).(
9...

) 0= số có tận cùng là 9
=> A =
1...
+
9...
có tận cùng là 0 nền A

10.
2.1.2. Ví dụ 2 Cho A = 2 + 2
2
+ 2
3
+....+2
20
Tìm chữ số tận cùng của A.
* H ớng dẫn : Bài toán này thuộc loại toán tìm chữ số tận cùng của tổng các
luỹ thừa của 2 nên ta phải xét xem tổng đó có đặc điểm gì? Tìm chữ số tận cùng
bằng cách nào?
* Lời giải: Bài tập này có nhiều cách giải, song nên hớng dẫn học sinh theo
hai cách cơ bản sau:
* Cách 1:
A = (2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + (2
5
+....+2

8
)+...+(2
17
+ 2
18
+2
19
+2
20
)
= (2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + (1 + 2
4
+....+2
16
)
= 30(1 + 2
4
+....+2
16
)
Mà 30

10 => A

10 => A có tận cùng là 0.
* Cách 2:
A = 2 + 2
2
+ 2
3
+ ...+2
20
=> 2A = 2
2
+ 2
3
+...+ 2
21
2A - A = 2
21
- 2
A = 2
21
- 2 = (2
4
)
5
.2 - 2
A = 16
5
.2 - 2 =
2........
- 2 = số có tận cùng là 0
* Nhận xét: Bản chất đều là dạng toán: Tìm chữ số tận cùng, giải quyết thông qua

tính chất chia hết.
GV: Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
-6-
Phân loại và hớng dẫn học sinh giải các bài tập liên quan đến tính chia hết
Hai bài toán có yêu cầu ngợc nhau: Để có sự chia hết phải tìm chữ số tận cùng
( Ví dụ 1). Để biết chữ số tận cùng phải xét tính chia hết (ví dụ 2). Tuy nhiên bản
chất hai bài toán này đều là xác định chữ số tận cùng.
Để thành thạo loại toán này đòi hỏi học sinh phải xác dịnh đợc chữ số tận
cùng của một luỹ thừa, một tích từ đó định hớng cách giải.
2.2.3. Bài toán t ơng tự
2.2.3.1 - Cho A = 11
9
+ 11
8
+ 11
7
+ ...+ 11 + 1. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.
* H ớng dẫn : Tìm chữ số tận cùng của A bằng cách nhóm các số hạng rồi chứng
minh A có tận cùng là 0 nên chia hết cho 5.
2.2.3.2. Chứng minh rằng:

n

N thì n
2
+ n + 6

/ 5
* H ớng dẫn : Lu ý n
2

+ n = n(n+1), tích 2 số tự nhiên liên tiếp chỉ tận cùng bằng 0;
2; 6
=> n
2
+ n + 6 chỉ tận cùng bằng 6; 8; 2

/5
2.2.3.3. Chứng tỏ rằng: 17
5
+ 24
4
- 13
21

10
* H ớng dẫn : Tơng tự nh ví dụ 1
2.2. Bài toán về số nguyên tố
Ngoài các tính chất đã nêu ở trên, với các kiến thức về số nguyên tố, nguyên tố cùng
nhau ta cần chú ý thêm một số tính chất về chia hết sau:
1) Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết
cho p.
* Hệ quả: a
n+

p => a

p
2) Nếu ab

m ; (b,m) = 1 => a

m
2.2.1. Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3

7
* H ớng dẫn :
* Cách 1: 18n + 3

7

14n + 4n + 3

7

4n + 3

7

4n + 3 - 7

7

4n -7

7

4(n - 1)

7 Do (4;7) = 1 nên n - 1

7
Vậy n = 7k + 1 (n

N)
GV: Bùi Thị Nga Trờng THCS Mạo Khê II
-7-