Rèn luyện kĩ năng tư duy lôgic cho HS THCS qua dạy toán

- 1 -
******************************************************************************
A. Më ®Çu
I. Cơ sở của đề tài
1. Cơ sở lí luận.
Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán đoán, suy lý
trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng sự vật xung quanh. Đó chính là tư
duy lôgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, nhận xét, đánh giá một cách chính xác, lập
luận có căn cứ. Như vậy tính lôgic là bắt buộc đối với mọi khoa học.Và Toán học
là một nghành khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt
các quy luật của tư duy lôgic hình thức.Có nghĩa là khi xây dựng Toán học, người
ta dùng suy diễn lôgic, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề. Theo phương pháp đó,
xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để
định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác. Vì thế Toán học
được coi là " môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện
phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp
giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh và sáng tạo"(Phạm
Văn Đồng).
Bởi vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán
học ở trường phổ thông đó là "Dạy suy nghĩ". Phải có sự suy nghĩ chính xác thì
mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập
môn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Như vậy rèn luyện khả
năng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cần
thiết và rất đáng để đầu tư công sức.
2. Cơ sở thực tiễn.
Khi trình bày môn Toán cấp THCS, do đặc điểm lứa tuổi và yêu cầu của cấp học
người ta có phần châm chước, nhân nhượng về tính lôgic. Cụ thể là : Mô tả(không
định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thuỷ, thừa nhận (không chứng
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 2 -

******************************************************************************
minh ) một số mệnh đề không phải là tiên đề, hoặc chấp nhận một số chứng minh
chưa chặt chẽ. Tuy vậy, nhìn chung chương trình toán THCS vẫn mang tính lôgic,
hệ thống: Tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, kiến thức được sắp xếp như một
chuỗi mắt xích liên kết với nhau chặt chẽ. Bởi thế học sinh muốn lĩnh hội được các
kiến thức toán học thì phải có trình độ phát triển tư duy phù hợp với yêu cầu của
chương trình. Cụ thể là phải nhận thức được mối liên hệ giữa các mệnh đề toán
học, biết suy luận để tìm ra những tính chất mới từ những tính chất đã biết, vận
dụng các kiến thức đó để giải các bài tập đa dạng. Như vậy, rõ ràng học sinh phải
biết phân tích cấu trúc của các định nghĩa khái niệm, các mệnh đề, biết vận dụng
kiến thức thông qua việc sử dụng các quy tắc suy luận lôgic mà trong sách giáo
khoa lại thể hiện dưới dạng không tường minh. Bằng chứng cụ thể là trong chương
trình toán ở trường THCS rất nhiều kí hiệu và ngôn ngữ lôgic toán đã được đưa
vào sử dụng(Chẳng hạn:
...,,,,,
≡⇔⇐⇒∃∀
, mệnh đề đảo, phản đảo, mệnh đề phủ
định, chứng minh phản chứng... ), tuy nhiên vì lí do sư phạm, trong chương trình
không có chương nào, thậm chí không có bài nào dạy riêng về vấn đề lôgic toán
học. Các kí hiệu và ngôn ngữ, liên từ lôgic toán được giới thiệu và hình thành dần
dần trong quá trình học tập các phần kiến thức liên quan.(Khi nào cần đến chúng
thì giới thiệu, cung cấp và hướng dẫn sử dụng). Các phương pháp suy luận, chứng
minh, các quy tắc kết luận lôgic thông thường chỉ được hình thành một cách "ngấm
ngầm " thông qua hàng loạt những hoạt động cụ thể chứa đựng chúng trong quá
trình học tập bộ môn.
Do đó, trong điều kiện tôn trọng nội dung sách giáo khoa và kế hoạch dạy học đã
quy định hiện hành, đồng thời để đảm bảo tính vừa sức với đối tượng học sinh
THCS, muốn cho học sinh học toán có hiệu quả thì người thầy giáo dạy toán phải
khéo léo dạy cho học sinh cách tư duy lôgic. Khả năng tư duy lôgic không chỉ là
cái đích cần đạt mà còn là phương tiện giúp học sinh học tốt môn toán. Tuy nhiên,

như đã trình bày, vì kiến thức về lôgic toán học chỉ "chạy ngầm " trong sách giáo
khoa nên mặc dù cả thầy và trò đều sử dụng đến một cách thường xuyên nhưng vì
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 3 -
******************************************************************************
không nhấn mạnh, không làm "nổi " lên do đó chưa đọng lại trong trí óc các em và
cũng chưa hình thành được thói quen sử dụng và rèn luyện nó.
Nhận thức rõ vai trò to lớn, tầm quan trọng hàng đầu của tư duy lôgic đối với
hiệu quả học tập môn toán của học sinh phổ thông nói chung, học sinh THCS nói
riêng nên trong quá trình dạy học môn Toán đặc biệt là loại toán chứng minh, tôi
luôn để ý đến khả năng tư duy lôgic của các em và so sánh các cách làm khác nhau
của giáo viên tác động như thế nào đến khả năng ấy. Tôi đã phát hiện ra rằng khi
học loại toán chứng minh đòi hỏi các em phải có kỹ năng tư duy lôgic chặt chẽ và
đó cũng là môi trường thuận lợi để rèn luyện tốt kỹ năng này cho các em . Vì vậy,
tôi chọn lựa đề tài " Rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh THCS thông
qua dạy học chứng minh toán học".
II. Lịch sử của đề tài.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán cấp THCS hơn 10 năm qua và cả trong
quá trình tự học, tự rèn bản thân, tôi thường xuyên quan sát, tìm hiểu những khó
khăn, vướng mắc của học sinh cũng như của bản thân mình trong việc nâng cao
năng lực tư duy toán học. Dưới sự giúp đỡ của các đồng nghiệp và sự nỗ lực không
ngừng của bản thân tôi đã gặt hái được kết quả đáng mừng trong việc rèn luyện khả
năng tư duy toán học cho đối tượng học sinh THCS thuộc các lớp mà tôi đã giảng
dạy ở trường mình thông qua loại toán chứng minh. Những kết quả thu được báo
hiệu phương pháp thực hiện mang tính khả thi cao nên tôi mạnh dạn hoàn thành
bản sáng kiến kinh nghiệm này.
III. Mục đích - nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu.
1. Mục đích:
Tôi chọn đề tài này nhằm góp thêm một hướng đi, một cách làm có hiệu quả

đối với nhiệm vụ rèn luyện cho học sinh kỹ năng tư duy lôgic nói chung, kỹ năng
tư duy lôgic toán học nói riêng thông qua loại toán chứng minh ở THCS. Đồng
thời với cách làm này khi học sinh có được khả năng tư duy lôgic tốt thì càng góp
phần kích thích sự hứng thú và làm tăng lòng say mê môn Toán ở các em.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 4 -
******************************************************************************
2. Nhiệm vụ:
2.1. Nghiên cứu về mặt lý luận các khái niệm liên quan đến khả năng tư
duy lôgic, tư duy lôgic toán học.
2.2. Tìm hiểu thực trạng về khả năng tư duy lôgic toán học trong học sinh
THCS.
2.3. Tìm hiểu mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết quả học tập
môn Toán ở học sinh THCS.
2.4. Tìm hiểu cơ chế hình thành và phát triển kỹ năng tư duy lôgic toán học
trong học tập môn Toán.
2.5. Nghiên cứu nội dung, mục tiêu, chuẩn chương trình sách giáo khoa và
đặc biệt quan tâm đến nội dung dạy học môn Toán mà trong đó ẩn chứa nhiều
nhất khả năng phát triển tốt tư duy lôgic toán học cho học sinh. Thu thập, phân
tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện pháp trên đối tượng học sinh
THCS tại các lớp mình giảng dạy
2.6. Phân tích những thành công, thất bại và nguyên nhân của những thành
công thất bại đó từ đó rút kinh nghiệm, lựa chọn và cải tạo các biện pháp hình
thành và phát triển khả năng tư duy lôgic toán học cho học sinh sao cho hiệu quả
nhất.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này được hoàn thành bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, phương
pháp tổng kết kinh nghiệm, phương pháp thực nghiệm sư phạm trên đối tượng
học sinh THCS trong khi học loại toán chứng minh.

IV. Phạm vi nghiên cứu.
Như đã trình bày ở trên, bản chất lôgic của toán học là lôgic hình thức và mối
quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và hiệu quả học tập môn Toán là hai vấn đề
có mối quan hệ chạt chẽ với nhau. Để học tốt môn Toán người học phải có khả
năng nhất định về tư duy lôgic. Ngược lại khả năng tư duy lôgic được hình thành
và phát triển tốt hơn trong học tập môn Toán. Vì thế, việc hình thành khả năng tư
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 5 -
******************************************************************************
duy lôgic cho học sinh là một quá trình lâu dài, đòi hỏi sự quan tâm ngay từ đầu
và duy trì bền bỉ trong suốt cả quá trình dạy học của giáo viên. Mọi bài toán, mọi
đối tượng toán học đều ẩn chứa trong đó yếu tố lôgic học. Vì vậy trong mọi giờ
học toán dù chính khoá hay ngoại khoá, dù dạy kiến thức mới hay luyện tập, ôn
tập, dù với đối tượng học sinh khá giỏi hay yếu kém đều có thể thực hiện được
vấn đề rèn tư duy lôgic.Tuy nhiên để có điều kiện nghiên cứu sâu, tìm hiểu kỹ thì
trong đề tài này tôi tập trung nghiên cứu và thể nghiệm chủ yếu trong loại toán
chứng minh. Bởi vì khi học loại toán chứng minh thì khả năng tư duy của các em
được bộc lộ rõ nhất và cũng ở dạng toán này rất thuận lợi cho việc kiểm tra kết
quả thực nghiệm. Để đảm bảo yêu cầu sư phạm và tính phổ dụng rộng rãi của đề
tài, các bài toán, các vấn đề được sử dụng trong đề tài mang tính vừa sức với đối
tượng học sinh THCS.
V. Đổi mới trong kết quả nghiên cứu.
Qua nghiên cứu và thử nghiệm nhiều năm trên nhiều đối tượng học sinh
THCS thuộc các lớp tôi đã giảng dạy cho thấy kết quả rất khả quan.
Trước một vấn đề , một bài toán đặt ra, học sinh bước đầu biết "cách suy nghĩ"
biết định hướng, lựa chọn phương pháp phù hợp . Khi tìm ra cách giải quyết vấn
đề các em đã khắc phục dần những sai lầm trong cách suy nghĩ cũng như khi
trình bày bài làm do khả năng tư duy lôgic được rèn luyện tốt. Từ đó, các em biết
trình bày, lập luận một cách chặt chẽ, hợp lý, ngắn gọn súc tích và đầy đủ. Qua đó

hình thành thói quen xem xét vấn đề ở các góc độ khác nhau theo các chiều
hướng khác nhau, các khả năng khác nhau . Hơn thế nữa, khi khả năng tư duy
lôgic của học sinh được nâng lên cũng góp phần đáng kể trong việc hình thành
các phương pháp học tập phù hợp với các bộ môn khác kể cả năng lực tư duy
lôgic trong đời sống hằng ngày.
B. Néi dung ®Ò tµi
I. Làm rõ các khái niệm.
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 6 -
******************************************************************************
1.Tư duy lôgic như đã nói ở trên là "chìa khoá" để tối ưu hoá khả năng phát
triển cá nhân và khả năng hoạch định công vịêc một cách có hiệu quả.
2. Chứng minh toán học là thao tác lôgic dùng để lập luận tính đúng đắn của
một phát biểu, một tính chất hay mệnh đề nào đó.
3. Rèn luyện khả năng tư duy lôgic trong học toán là rèn luyện khả năng linh
hoạt, sáng tạo trong suy nghĩ, khả năng phân tích, suy luận, chứng minh một tình
huống, một vấn đề toán học hoặc vấn đề thực tiễn chặt chẽ, từ đó đưa ra chọn lựa
hợp lý các phương án giải quyết một cách nhạy bén, sắc sảo, phù hợp và tối ưu
nhất.
II. Tìm hiểu thực trạng khả năng tư duy lôgic toán học của học sinh của
trường sở tại nói riêng, học sinh THCS nói chung.
Trong mỗi giờ lên lớp ngay từ khi tiếp nhận giảng dạy đầu năm học tôi thường
xuyên quan tâm để ý đến các câu trả lời, cách diễn đạt, trình bày của các em trong
mỗi vấn đề, mỗi câu hỏi mà tôi nêu ra. Kết quả cho thấy ở đa số học sinh thể hiện
rõ sự non yếu, thiếu chặt chẽ . Các em thiếu hẳn kỹ năng phân chia vấn đề để xem
xét một cách đầy đủ các khả năng có thể xảy ra . Đặc biệt là khâu trình bày tự
luận ở các bài toán đòi hỏi suy luận, chứng minh cho thấy học sinh vấp phải nhiều
sai lầm mà nguyên nhân chủ yếu là do khả năng tư duy lôgic toán học còn non
kém.

Chẳng hạn:
• Khi dạy khái niệm số nguyên tố, hợp số cho học sinh lớp 6 thì các em
đều biết: "Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và
chính nó"
Và " Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước"
Tuy nhiên khi hỏi học sinh:
" Chứng minh một số là số nguyên tố ta làm thế nào ? "
Học sinh chỉ trả lời được:
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 7 -
******************************************************************************
" Muốn chứng minh một số là số nguyên tố ta chứng tỏ nó là hợp số"
Như vậy học sinh đã tỏ rõ khiếm khuyết trong việc phân tích cấu trúc lôgic
của khái niệm dẫn đến trả lời thiếu chặt chẽ yêu cầu chứng minh của bài toán.
• Hoặc khi gặp bài toán:
Cho số :
*6

Tìm * để
*6
chia hết cho 2, cho 3 và cho 5.
Không ít học sinh lần lượt xét * để
*6
chia hết cho 2. Rồi lại xét * để
*6

chia hết cho 3 .....
Trong trường hợp này học sinh không phân tích được bản chất của dấu phẩy
(,) cũng như từ "và" của bài toán. Thực ra chúng là phép hội trong lôgic toán học.

• Đơn giản như khi ta cho học sinh viết gọn bằng kí hiệu câu diễn đạt sau:
"x là số lớn hơn 3 và bé hơn 4".
Trong thực tế ban đầu học sinh đều viết: x > 3 và x <4 . Thậm chí có em
còn viết sai: x < 3 > 4
(Yếu tố lôgic toán "ngầm" chứa ở đây là " tuyển của hai hàm mệnh đề" - một
vấn đề rất cơ bản của lôgic toán học. Tuy nhiên vì lý do sư phạm nên giáo viên
không thể trình bày tường minh được mà phải khéo léo hướng dẫn bằng ngôn ngữ
dễ hiểu hơn, phù hợp với học sinh hơn).
• Ngay cả ở học sinh lớp 8, nếu không chú ý đến việc rèn luyện tư duy
lôgic thì sai lầm vẫn diễn ra thường xuyên. Thí dụ khi giải phương trình
tích số:
( )( )
0732
=+−
xx
Tôi đã gặp học sinh trình bày như sau:
( )( )
0732
=+−
xx

⇒




=+
=−
07
032

x
x

⇒






−=
=
7
2
3
x
x

Rõ ràng học sinh đã mắc cả lỗi về sử dụng dấu "
⇒
" cả lỗi về dấu "
{
"
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 8 -
******************************************************************************
( Thực chất của dấu "
⇒
" là phép "Kéo theo" , dấu "

{
" hay liên từ "và "
là "Phép tuyển" trong lôgic toán học )
• Không chỉ có ở số học và đại số,trong hình học, học sinh cũng mắc
nhiều lỗi không kém.Thí dụ:
Từ kết luận " Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA = MB"
Nhiều học sinh đã kết luận " Nếu MA = MB thì M là trung điểm của đoạn
thẳng AB".
Hoặc từ tính chất: "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau". Nhiều học sinh đã sai
lầm rút ra kết luận: "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh"
Trong cả hai tình huống hình học trên học sinh đã sử dụng quy tắc suy diễn
không hợp lôgic.
v.v và v.v...
Không chỉ bản thân tôi mà qua trao đổi với nhiều đồng nghiệp ở các đon vị
bạn đều phản ánh thực trạng chung như thế. Thực tế khi tham gia chấm bài các
đợt khảo sát chất lượng, thi tốt nghiệp THCS thậm chí cả thi chọn học sinh giỏi
cũng gặp những sai lầm tương tự do quá trình tư duy không hợp lôgic mang lại.
III. Tìm hiểu thực tế mối quan hệ giữa khả năng tư duy lôgic và kết
quả học tập môn Toán ở học sinh THCS.
Khi tìm hiểu thực tế tôi thấy: Những học sinh học tốt môn Toán là những
em có khả năng tư duy lôgic. Ngược lại, nếu được rèn luyện thường xuyên khả
năng này thì hiệu quả học tập môn Toán được nâng lên rõ rệt. Đặc biệt những học
sinh làm tốt dạng bài toán chứng minh là những em thực sự có có khả năng tư
duy lôgic.
IV.Phân tích những nội dung chương trình sách giáo khoa THCS có
thể thực hiện hoạt động rèn luyện tư duy lôgic cho các em.
Nhìn chung hầu hết các nội dung trong chương trình sách giáo khoa đều
"ngầm chứa" yếu tố tư duy lôgic. Trong dạy học khái niệm, định lý, dạy học luyện
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học

- 9 -
******************************************************************************
tập hay bài tập tổng hợp và ôn tập chương đều đòi hỏi giáo viên phải có ý thức
khai thác và rèn luyện thường xuyên để có thể tìm chọn biện pháp tốt nhất phù
hợp với đối tượng học sinh mà mình giảng dạy. Tuy nhiên về mặt lý luận cũng
như thực tiễn giảng dạy bộ môn cho thấy qua hoạt động suy luận, chứng minh
toán học thì khả năng tư duy lôgic của học sinh được rèn luyện tốt nhất.
V. Thu thập, phân tích, tổng hợp và tiến hành thể nghiệm các biện
pháp trên đối tượng học sinh THCS tại các lớp mình giảng dạy.
Bằng kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy và nhiệt tình trao đổi học hỏi về
chuyên môn cũng như sự bền bỉ kiên trì tìm kiếm, thể nghiệm, lựa chọn ...tôi rút
ra các biện pháp như sau để rèn luyện cho học sinh THCS có tư duy logic toán
học tốt qua loại toán chứng minh.
1. Trước hết cho học sinh tiếp cận với phương pháp chứng minh trực tiếp.
Có nhiều phương pháp chứng minh. Tuy nhiên đầu tiên giáo viên cần cho
học sinh tiếp xúc, làm quen và rèn luyện phương pháp chứng minh trực tiếp. Để
có hiệu quả, giáo viên cần chú trọng việc giúp đỡ học sinh rèn khả năng chuyển
đổi ngôn ngữ của bài toán. Sau đó dần dần hình thành ở các em kỹ năng sử dụng
các kết luận lôgic tuân theo các quy tắc lôgic.
1.1 Rèn luyện khả năng chuyển đổi ngôn ngữ của bài toán từ lời sang kí
hiệu, hình vẽ và ngược lại.
Việc phiên dịch bài toán từ ngôn ngữ thông thường sang kí hiệu toán học,
hình vẽ và ngược lại có một ý nghĩa hết sức quan trọng. Không những giúp cho
các em nắm chắc cấu trúc của bài toán (cái cho biết, cái phải tìm) mà còn giúp các
em dễ dàng phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, từ đó tìm được hướng
huy động các kiến thức có liên quan. Như vậy cũng góp phần cho việc rèn luyện
khả năng tư duy có lôgic.
Dẫn chứng:
Ví dụ 1:
Ngay từ bài toán "Vỡ lòng" sau:

***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
- 10 -
******************************************************************************
"Chứng minh rằng: Trong hình chữ nhật hai đường chéo bằng nhau".
Trước hết rèn cho học sinh biết vẽ hình và diễn đạt nội dung bài toán bằng
kí hiệu (ở bài toán này chính là giả thiết, kết luận)

k
B
D
C
A
Hay: ( Nếu ABCD là hình chữ nhật )
⇒
(AC = BD)
Với cách viết đó học sinh thấy rõ cấu trúc bài toán và "Khoanh vùng" kiến
thức cần huy động. Như thế ít nhất các em cũng đã suy nghĩ một cách hợp lí.
Hay ở bài toán phức tạp hơn một chút:
1.2.Giúp học sinh nắm vững bản chất lôgic của loại toán chứng minh trực
tiếp.
Các thao tác kết luận lôgic theo những quy tắc thông thường không được
dạy tường minh ở trong chương trình THCS.Vì vậy học sinh lĩnh hội chúng một
cách ẩn tàng thông qua những trường hợp cụ thể. Thường dùng nhiều nhất là quy
tắc có sơ đồ sau:

B
ABA ,
⇒
( Nghĩa là: từ A suy ra B, A đúng thì B đúng )

Thí dụ:
Khi trình bày phần chứng minh bài toán trên giáo viên cần để ý đến việc
vạch rõ tiền đề của từng kết luận lôgic trong lời giải.Chẳng hạn có thể trình bày
lời giải bài toán trên như sau(đầy đủ và chi tiết, không bỏ qua tiền đề nào), để có
điều kiện làm rõ cấu trúc của lời giải:
***************************************************************************************
SKKN: Rèn luyện khả năng tư duy logic cho học sinh THCS thông qua dạy học chứng minh toán học
GT ABCD là hình chữ nhật
KL AC = BD