cac phuong phap tich phan-ung dung (hay)

Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm & TÝch ph©n – øng dơng cđa tÝch ph©n. LT§H 2010
I/ C«ng thøc nguyªn hµm :
Nguyªn hµm cđa c¸c hµm sè c¬ b¶n Nguyªn hµm cđa hµm hỵp ( du = u dx )’
dx x c
= +
∫
1
1
x
x dx c
α
α
α
+
= +
+
∫
sin xdx cosx c= − +
∫
sincosxdx x c= +
∫
2
1
tandx x c
cos x
= +
∫
2
1
cot
sin

dx x c
x
= − +
∫
1
lndx x c
x
= +
∫
x x
e dx e c= +
∫
ln
x
x
a
a dx c
a
= +
∫
(a>0)
2
1 1
dx c
x x
−
= +
∫
1
2dx x c

x
= +
∫
tan lnxdx cosx c= − +
∫
cot ln sxdx inx c= +
∫
du u c= +
∫
1
1
u
u du c
α
α
α
+
= +
+
∫

sin cosudu u c= − +
∫
cos sinudu u c= +
∫
2
1
tandu u c
cos u
= +

∫
2
1
cot
sin
du u c
u
= − +
∫
1
lndu u c
u
= +
∫
u u
e du e c= +
∫
ln
u
u
a
a du c
a
= +
∫
(a>0)
2
1 1
du c
u u

−
= +
∫
1
2du u c
u
= +
∫
tan ln cosudu u c= − +
∫
cot ln sinudu u c= +
∫
II/ C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm – tÝch ph©n :
A. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) thì:

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
( Công thức NewTon - Leiptnitz)
B. Các tính chất của tích phân:
• Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì :

( ) 0
b
a
f x dx =
∫
• Tính chất 2 :
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −
∫ ∫
• Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên
[ ]
;a b
thì:
( )
b
a
cdx c b a= −
∫
GV: Ph¹m Xu©n Trung. 1 
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm & TÝch ph©n – øng dơng cđa tÝch ph©n. LT§H 2010
• Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) 0f x ≥
thì
( ) 0
b

a
f x dx ≥
∫
• Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
[ ]
( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈
thì

( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥
∫ ∫
• Tính chất 6 : Nếu f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và
( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M≤ ≤
thì

( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −
∫
• Tính chất 7 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên
[ ]

;a b
thì

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
• Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và k là một hằng số thì

. ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=
∫ ∫
• Tính chất 9 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên
[ ]
;a b
và c là một hằng số thì

( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +
∫ ∫ ∫
• Tính chất 10 : Tích phân của hàm số trên

[ ]
;a b
cho trước không phụ thuộc vào
biến số , nghóa là :
( ) ( ) ( ) ...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= = =
∫ ∫ ∫

Ph ¬ng ph¸p 1: BiÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc
.
VÝ dơ1: tÝnh
2
cos xdx
∫
dïng ct h¹ bËc
1 2
2
2
cos a
cos a
+
=

1 2
2
2
cos a
sin a

−
=

2
tan xdx
∫
dïng ct
1
2
cos
α
= 1+ tan
2
α

1
1 3
dx
x x+ − +
∫
;
2
1
1 3
dx
x x+ − −
∫
dïng c¸ch nh©n liªn hỵp

. 5cosx cos xdx

∫
;
.sin 5cosx xdx
∫
dïng ct biÕn tÝch thµnh tỉng

2
2
3
2x x dx
−
− −
∫
;
( )
2
1
2 1x x dx
−
− −
∫
chia kho¶ng ®Ĩ bá dÊu gtt®

3
0
1 sin 2
2
x
cos xdx
Π

±
∫
cã
1 sin 2 cos
2 2
x x
cos x cos sinx x± = ±

2
5
2 5 3
x
dx
x x
−
− +
∫
t×m A,B sao cho
2
5
2 5 3 1 2 3
x A B
x x x x
−
= +
− + − −

2 3
2 5
sinx cosx

dx
sinx cosx
−
+
∫
t×m A,B sao cho
2 3 (2 5 ) (2 5 )sinx cosx A sinx cosx B cosx sinx− = + + −
GV: Ph¹m Xu©n Trung. 2 
Chuyªn ®Ị: Nguyªn hµm & TÝch ph©n – øng dơng cđa tÝch ph©n. LT§H 2010

3
2 2
6
tan cot 2x x dx
Π
Π
+ −
∫


2
0
1
2 cos
dx
sinx x
Π
+ −
∫
cã

2 cos 2(1 cos( ))
4
sinx x x
Π
+ − = − +
VÝ dơ2: : Tính các tích phân sau:
1)
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫
2)
1
0
x
dx
2x 1+
∫
3)
1
0
x 1 xdx−
∫
4)
1
2
0

4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +
∫

5)
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +
∫
6)
3
3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +
∫
7)
6
6 6
0

(sin x cos x)dx
π
+
∫
8)
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫

9)
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x
π
+
∫
10)
2
4
0
cos 2xdx

π
∫
11)
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sin x cosx
π
π
+ +
+
∫
12)
1
x
0
1
dx
e 1+
∫
.
13)
dxxx )sin(cos
4
0
44
∫
−
π

14)
∫
+
4
0
2sin21
2cos
π
dx
x
x
15)
∫
+
2
0
13cos2
3sin
π
dx
x
x

16)
∫
−
2
0
sin25
cos

π
dx
x
x
17)
∫
−+
−
0
2
2
32
4
dx
xx

18)
∫
++
−
1
1
2
52xx
dx

VÝ dơ3:
1)
3
2

3
x 1dx
−
−
∫
2)
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +
∫
3)
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −
∫
4)
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −

∫

5)
3
x
0
2 4dx−
∫
6)
0
1 cos2xdx
π
+
∫
7)
2
0
1 sin xdx
π
+
∫
8)
dxxx
∫
−
2
0
2

VÝ dơ4:

1) Tìm các hằng số A,B để hàm số
f(x) Asin x B= π +
thỏa mãn đồng thời các điều kiện

'
f (1) 2=
và
2
0
f(x)dx 4=
∫
2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức :
2
2 3
0
[a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =
∫

Ph ¬ng ph¸p 2: §ỉi biÕn lo¹i I
D¹ng 1:
2 2
a x dx−
∫

2 2
1
a
a
dx
a x

−
−
∫

2 2 2
x a x dx−
∫
§Ỉt x = a.sint ( hc x = a.cost )
dx = a.cost.dt , ®ỉi cËn råi thay vµo tÝch ph©n ban ®Çu ®Ĩ tÝnh
VÝ dơ: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau
a,
2
2
2
4 x dx
−
−
∫
b,
1
2
1
1
1
dx
x
−
−
∫
c,

1
2 2
1
1x x dx
−
−
∫
d,
1
2
0
2x x dx−
∫
D¹ng 2:
2 2
1
a
a
dx
x a
−
+
∫

2 2
a x dx+
∫

GV: Ph¹m Xu©n Trung. 3 
Chuyên đề: Nguyên hàm & Tích phân ứng dụng của tích phân. LTĐH 2010

Đặt x = a.tant dx = a(1+ tan
2
t ).dt , đổi cận rồi thay vào tích phân ban đầu để
tính
Ví dụ1: tính các tích phân sau
a,
2
2
2
1
4
dx
x

+

b,
1
2
1
1 x dx

+

c,
1
2
1
1
1

dx
x x

+

( hoặc mẫu là bậc 2 vô nghiệm)
Ví dụ2: tính các tích phân sau
1)
1
2
0
1 x dx

2)
1
2
0
1
dx
1 x+

3)
1
2
0
1
dx
4 x

4)

1
2
0
1
dx
x x 1 +

5)
1
4 2
0
x
dx
x x 1+ +

6)
2
0
1
1 cos sin
dx
x x

+ +

7)
2
2
2
2

0
x
dx
1 x

8)
2
2 2
1
x 4 x dx

9)
2
3
2
2
1
dx
x x 1

10)
3
2
2
1
9 3x
dx
x
+

11)
1
5
0
1
(1 )
x
dx
x

+

12)
2
2
2
3
1
1
dx
x x

13)
2
0
cos
7 cos2
x
dx
x

+

14)
1
4
6
0
1
1
x
dx
x
+
+

15)
2
0
cos
1 cos
x
dx
x

+

16)

++

0
1
2
22xx
dx
17)

++
1
0
311 x
dx
18)



2
1
5
1
dx
x
xx


Ph ơng pháp 3: Đổi biến loại II.
Đặt t = U(x) ( U(x) thờng là các biểu thức trong căn, trong luỹ thừa)
dt = U.dx
'

dt
dx
U
=
đổi cận rồi thay vào tích phân ban đầu để tính.
Ví dụ1: tính các tích phân sau:
a,
2 2
0
1
a
dx
x a

đặt t = ln (
2 2
x x a+
) dt =
2 2
dx
x a
b,
5
3
2
1
1
x
dx
x

hoặc
5
2
1
1
1
dx
x x

đặt t =
2
1x

c,
2
2
1
1
x
dx
x +

đặt t =
1x +
d,
7
3
0
1x

dx
x
+

đặt t =
3
1x +
e,
2
5
1
2
1
x
dx
x
+

ữ
+


hoặc
3
1
2
1
x
dx
x

+
+

ta có
2 1
1
1 1
x
x x
+
= +
+ +
đặt t =
1
1
1x
+
+
f,
2
3
1
1
2 1 2 1
dx
x x+ +

đặt t =
6
2 1x +

g,
1
2
1
3
2 5
x
dx
x x

+
+

có
2 2
1
(2 2) 4
3
2
2 5 2 5
x
x
x x x x
+
+
=
+ +
h,
2
2 3

0
sin .x cos xdx


đặt t = sinx k,
4
3
0
tan xdx


hoặc
4
4
0
1
cos
dx
x


đặt t = tanx
l,
3
2
2
0
cos .sin
sin 1
x x

dx
x

+

hoặc
2
3 2
0
cos .sin sin 1x x x dx

+

đặt t =
2
sin 1x +
GV: Phạm Xuân Trung. 4
Chuyªn ®Ò: Nguyªn hµm & TÝch ph©n – øng dông cña tÝch ph©n. LT§H 2010

2
2 2
0
sin 2
4sin 9 s
x
dx
x co x
Π
+
∫

®Æt t =
2 2
4sin 9 sx co x+
m,
2
0
cos
3. cos
x
dx
sinx x
Π
±
∫
cã
cos
2sin( )
3
cos
3. cos
x
x
x
sinx x
Π
±
=
±
®Æt t =
3

x
Π
±

5
2
3
2
cos 2
cos 3.
x
dx
x sinx
Π
Π
−
∫
n,
2
2 2
0
3s 4cos
3 4 cos
inx x
dx
sin x x
Π
+
+
∫

0,
3
2
4
tan
1
x
dx
cosx cos x
Π
Π
+
∫
;
2
3
2
4
1 tan
(1 t )
x
dx
anx
Π
Π
+
+
∫

2
3
0
5 4 n
( n )
cosx si x
dx
cosx si x
Π
−
+
∫
®Æt t = tanx p,
ln 2
0
x x
x x
e e
dx
e e
−
−
+
−
∫
®Æt t = e
x
q,
ln 2
2

0
1
1
x
dx
e+
∫
®Æt t = 1+e
2x
t,
3
2
1
ln ln 1
e
x x
dx
x
+
∫
®Æt t =
3 2
ln 1x +
VÝ dô2: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1)
2
3 2
0
cos xsin xdx
π

∫
2)
2
5
0
cos xdx
π
∫
3)
4
2
0
sin 4x
dx
1 cos x
π
+
∫
4)
1
3 2
0
x 1 x dx−
∫
5)
2
2 3
0
sin2x(1 sin x) dx
π

+
∫
6)
4
4
0
1
dx
cos x
π
∫
7)
e
1
1 ln x
dx
x
+
∫
8)
4
0
1
dx
cosx
π
∫
9)
e
2

1
1 ln x
dx
x
+
∫
10)
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx−
∫
11)
6
2
0
cos x
dx
6 5sin x sin x
π
− +
∫
12)
3
4
0
tg x
dx
cos2x
∫

13)
4
0
cos sin
3 sin 2
x x
dx
x
π
+
+
∫
14)
∫
+
2
0
22
sin4cos
2sin
π
dx
xx
x
15)
∫
−+
−
5ln
3ln

32
xx
ee
dx
16)
∫
+
2
0
2
)sin2(
2sin
π
dx
x
x
17)
∫
3
4
2sin
)ln(
π
π
dx
x
tgx
18)
∫
−

4
0
8
)1(
π
dxxtg
19)
∫
+
−
2
4
2sin1
cossin
π
π
dx
x
xx
20)
∫
+
+
2
0
cos31
sin2sin
π
dx
x

xx
21)
∫
+
2
0
cos1
cos2sin
π
dx
x
xx
22)
∫
+
2
0
sin
cos)cos(
π
xdxxe
x

23)
∫
−+
2
1
11
dx

x
x
24)
∫
+
e
dx
x
xx
1
lnln31
25)
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
VÝ dô3: tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
GV: Ph¹m Xu©n Trung. 5 