Tuyển tập tích phân_hay

BÀI TẬP
Bài 1. Tính các tích phân sau:
a)
1
2
0
(3 5 1)x x dx- +
ò
; b)
1
2
1
2
(2 1)( 3)x x x dx+ - +
ò
;
c)
4
1
1
x dx
x
ỉ ư
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
è ø

ò
; d)
1
3 2
2
3
2 1x x
dx
x
- +
ò
;
e)
2
2
0
3 4
1
x x
dx
x
- +
+
ò
; f)
1
0
( 1)( 2)
dx
x x+ +

ò
;
g)
3
2
2
5 4
dx
x x- +
ò
; h)
2
3 4
1
( )x x x dx+ +
ò
; i)
2
3
1
1x
dx
x
-
ò
;
j)
1
0
2

x x
e e
dx
-
+
ò
; k)
4
4
0
(3 )
x
x e dx-
ò
.
Đáp số :
a) –
1
2
; b)
341
96
; c)
20
3
;
d) –
20
3
; e) 8ln3 – 6; f) 2ln2 – ln3;

g) –
2
3
ln2; h)
3 4
4 2 3 2 8 2 133
3 2 5 60
+ + -
; i)
3
3
(3 4)
10
-
;
j)
1 1
2
e
e
ỉ ư
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
; k) 28 – 4e.

Bài 2. Tính các tích phân sau:
a)
3
1
2x dx-
ò
; b)
3
2
0
1 2x x dx- +
ò
; c)
2
1
2
1
x dx
x
-
ò
;
d)
2
2
2
2x x dx
-
- -
ò

; e)
3
4
0
1 sin2xdx
p
+
ò
.
1
Đáp số :
a) 1; b)
5
2
; c)
1
4
;
d)
19
3
; e) 1 +
2
;
Bài 3. Tính các tích phân sau:
a)
2
2
3
cos xdx

p
p
ò
; b)
4
4
0
sin xdx
p
ò
; c)
4
3
2
0
1 cos
cos
x
dx
x
p
-
ò
;
d)
3
2 2
6
sin cos
dx

x x
p
p
ò
; e)
3
2 2
4
cos2
cos sin
xdx
x x
p
p
ò
; f)
0
sin2 cos3x xdx
p
ò
;
g)
2
2
sin7 sin2x xdx
p
p
-
ò
h)

3
2 2
2
4
cos 2
sin
x tg x
dx
x
p
p
-
ò
; i)
6
3
1
sin
dx
x
p
p
ò
.
Đáp số :
a)
3
12 8
p
-

; b)
1 3
4 32
p
- +
; c) 1 –
2
2
;
d)
4 3
3
; e) –
4 3
3
+ 2; f) –
4
5
;
g)
4
45
; h) 3 –
7 3
3 12
p
-
; i)
1
ln3 ln(2 3)

2
- -
.
Bài 3. Chứng minh rằng
a)
2
2
0
14 8
4 3cos
dx
x
p
p p
£ £
+
ò
; b)
3
4
2
4
4 2
3 2sin
dx
x
p
p
p p
£ £

-
ò
;
c)
( )
11
7
54 2 7 11 108x x dx
-
£ + + - £
ò
; d)
2
2
1
2 1
5 2
1
xdx
x
£ £
+
ò
.
2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Thông thường, người ta dùng phương pháp đổi biến số khi gặp tích
phân có dạng sau: Khi hàm số dưới dấu tích phân f(x) có thể phân tích
thành tích của một hàm số hợp g[

j
(x)] và đạo hàm của hàm số ở bên
trong
j
’(x) tức là f(x) = g[
j
(x)].
j
’(x). Khi đó, để tính:
( ) [ ( )]. '( )
b b
a a
f x dx g x x dx= j j
ò ò
ta thực hiện phép đổi biến số t =
j
(x) và ta có
( ) [ ( )]. '( )
b b
a a
f x dx g x x dx= j j
ò ò
=
( )g t dt
b
a
ò
(*)
Trong đó,
a

và
b
được xác đònh bởi
a
=
j
(a) và
b
=
j
(b).
Chú ý: Khi sử dụng công thức đổi biến số (*) thì phải nhớ rằng: Khi
đã đổi biến số lấy tích phân từ x sang t đồng thời ta cũng phải đổi luôn cận
lấy tích phân từ a, b sang
a
,
b
và ta tính toán với những cận mới ấy,
không cần phải quay lại biến số cũ x như trong tích phân bất đònh.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau:
1)
2
4
1
(2 1)x dx-
ò
; 2)
1
2

2 3 4
0
( 1)x x dx+
ò
; 3)
1
5 3 6
0
(1 )x x dx-
ò
;
4)
3
3
2
1
16
x dx
x -
ò
; 5)
3
2 3
1
( 1)
xdx
x
-
+
ò

; 6)
3
2
1
2
4 3
x
dx
x x
+
+ +
ò
;
7)
2
3 3 2
0
8.x x dx-
ò
; 8)
1
3 2
0
1x x dx-
ò
; 9)
1
5 3
0
1x x dx-

ò
;
10)
3
5 2
0
1x x dx+
ò
; 11)
1
0
2 1
x
dx
x +
ò
; 12)
3
2
0
1
1
x
dx
x
+
+
ò
;
3

13)
7
3
3
0
1
3 1
x
dx
x
+
+
ò
; 14)
7
3
2
3
0
1
x
dx
x +
ò
; 15)
1
2
1
3
2

4 1
dx
x x -
ò
;
16)
2 3
2
5
4
dx
x x +
ò
; 17)
tg
4
0
xdx
p
ò
; 18)
4
6
cotgxdx
p
p
ò
;
19)
2

0
sin
1 3cos
x
dx
x
p
+
ò
; 20)
3
3
0
sin cosx xdx
p
ò
; 21)
4
0
cos2
1 2sin2
xdx
x
p
+
ò
;
22)
3
2

4
1 sin2
cos
x
dx
x
p
p
+
ò
; 23)
2
3
0
cos xdx
p
ò
; 24)
2
5
4
sin xdx
p
p
ò
;
25)
2
2
0

sin2
1 cos
x
dx
x
p
+
ò
26)
2
3
0
4cos
1 sin
x
dx
x
p
+
ò
; 27)
2
3
0
4sin
1 s
x
dx
co x
p

+
ò
;
28)
4
2 2
0
sin 9cos
dx
x x
p
+
ò
; 29)
4
4 4
0
sin4
sin cos
xdx
x x
p
+
ò
; 30)
2
4
0
sin2
1 sin

x
dx
x
p
+
ò
;
31)
4
2
0
(sin 2cos )
dx
x x
p
+
ò
; 32)
4
4
3
cos
dx
x
p
p
ò
; 33)
2
4

3
sin
dx
x
p
p
ò
;
34)
2
2
sin
4
.sin2
x
e xdx
p
p
ò
; 35)
2
6
6 6
0
sin
cos sin
xdx
x x
p
+

ò
; 36)
2
2
0
sin
1 cos
xdx
x
p
+
ò
;
37)
4
1
x
e
dx
x
ò
; 38)
ln2
2
0
1
x
x
e dx
e +

ò
; 39)
1
0
1
x
x
e dx
e
-
-
+
ò
;
40)
1
4
e
x x
dx
e e
-
-
ò
; 41)
1
1
1 ln
e
x

dx
x
+
ò
; 42)
5
ln
e
e
dx
x x
ò
;
4
43)
1
sin(ln )
e
x dx
x
ò
; 44)
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+

ò
45)
2
1
ln .
(ln ) 1
e
xdx
x x
é ù
+
ê ú
ë û
ò
;
46)
2
3
1
ln 2 ln
e
x xdx
x
+
ò
; 47)
1
2
0
1

dx
x+
ò
; 48)
2 3
2
0
4
dx
x +
ò
;
49)
3
2
2
4 5
dx
x x- +
ò
; 50)
1
4 2
0
4 3
dx
x x+ +
ò
; 51)
1

4 2
0
3
xdx
x x+ +
ò
;
52)
1
2
0
1 x dx-
ò
; 53)
2
2 2
0
4x x dx-
ò
; 54)
2
2
2
2
0
1
x
dx
x-
ò

;
55)
2 2 2
0
a
x a x dx-
ò
; 56)
2
2
4
1
1
1
x
dx
x
-
+
ò
; 57)
1 5
2
2
4
1
1
1
x
dx

x
+
+
+
ò
;
58)
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
dx
x x
+
+
- +
ò
; 59)
2
2
0
x xdx-
ò
; 60)
4
2

0
1 2sin
1 sin2
x
dx
x
p
-
+
ò
;
Ñaùp soá :
1)
121
5
; 2)
26281
491520
; 3)
1
168
; 4) 4 + 8ln
7
15
;
5)
3
50
; 6)
1

2
ln3; 7) – 4; 8)
2
15
;
9)
4
45
; 10)
848
105
; 11)
1
3
; 12)
106
15
;
13)
46
15
; 14)
141
20
; 15)
3
p
; 16)
1 5
ln

4 3
;
17)
1
2
ln2; 18)
1
2
ln2; 19)
2
3
ln2; 20)
9
64
;
21)
1
ln3
4
; 22)
3
+ ln2 – 1; 23);
2
3
; 24)
43 2
120
;
25) ln2; 26) 2; 27) 2; 28)
2arctan3

6
p-
;
5
29) ln2; 30)
4
p
; 31)
1
6
; 32)
6 3 4
3
- +
;
33)
10 3
27
; 34) e –
e
; 35)
4
p
; 36)
4
p
;
37) 2e(e – 1); 38)
2 2
3

; 39)
2
ln
1
e
e+
; 40) 1 + 2arctge –
41)
2
3
; 42)
15
4
; 43)1 – cos1; 44)
2 ln(1 2)
2
+ +
45)
1
2
ln2; 46)
3 3
9 3 3 2
8 4
-
; 47)
4
p
; 48)
6

p
;
49)
4
p
; 50)
1 3
8 36
æ ö
÷
ç
÷
- p
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
; 51)
3
8
p
; 52)
4
p
;
53)
p
; 54)

1
8 4
p
-
; 55)
2
16
ap
; 56)
6 2 19
2ln
17
4
æ ö
+
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
57)
4 2
p
; 58)
4
p

; 59) 1; 60)
1
2
ln2;
* Vaøi ñeà thi
1) (A, 2005)
2
0
sin2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
p
+
=
+
ò
Ñ.S:
34
27
;
2) (B, 2005)
2
0
sin2 cos
1 cos
x x
I dx
x

p
=
+
ò
Ñ.S:
2ln2 1-
;
3) (D, 2005)
( )
2
sin
0
cos cos
x
I e x xdx
p
= +
ò
Ñ.S:
1
4
e
p
- +
;
6
4) (TN, 2005)
( )
2
2

0
sin cosI x x xdx
p
= +
ò
Đ.S:
2
2 3
p
-
.
5) (CĐKTĐN, 2005) I =
e
e
2
x
ln x( ) ln ln x( )( )
+
x
⌠


⌡
d
. (
1
2ln2
2
+
)

6) (CĐKTCN, 2005)
( )
2
0
sin .ln 1 cosx x dx
p
+
ò
(
1 2ln2- +
)
II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Đònh lý: Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì :
( ) '( ) ( ) ( ) ( ). '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= -
ò ò
.
Nhận xét : Vì v’(x)dx = dv và u’(x)dx = du nên công thức trên có thể viết
gọn là
b b
b
a
a a
udv uv vdu= -
ò ò
Tích phân dạng

( )
b
x
n
a
P x e dx
a +b
ò
, trong đó P
n
(x) là đa thức bậc n theo biến
x
Phương pháp :
Đặt
ta có
'( )
( )
,
n
n
x
x
du P x dx
u P x
dv e dx
v e dx
a +b
a +b
ì
=

ì
ï
=
ï
ï
ï
ï ï
í í
ï ï
=
=
ï ï
ï
ỵ
ï
ỵ
ò
Chú ý: Ta phải tính tích phân từng phần theo n lần.
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau
1)
1
0
x
xe dx
ò
; 2)
1
2
0

( 2 )
x
x x e dx+
ò
; 3)
ln
2
0
x
x
xe dx
-
ò
;
7