Một số bài toán khó 1

T1/268. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thoả điều kiện: với mỗi số nguyên dương
m < 1999 đều tồn tại số nguyên k sao cho
m k m+1
< <
1999 n 2000
T2/268. Giải phương trình: x
5
- 15x
3
+ 45x - 27 = 0.
T3/268. Chứng minh bất đẳng thức sau với n nguyên dương:
2 3 n
1 2 3 n 3
+ + + ... + <
3 4
3 3 3
T4/268. Cho hai tam giác đồng dạng ABC và A'B'C' (các đỉnh mỗi tam giác đều
viết ngược chiều kim đồng hồ). Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng
AA', BB', CC'. Chứng minh ∆ABC đồng dạng với ∆A
1
B
1
C
1
.

T5/268. Dùng 3 hình tròn đường kính d có thể phủ kín hình vuông có cạnh bằng 1
được không khi:
a) d = 1? b) d = 1,04?
T6/268. Dãy số (a
n
) được xác đònh bởi: a
0
= a, a
1
= b, a
n+2
= da
n+1
- a
n
, trong đó a, b là
hai số nguyên khác 0 còn d là số thực. Tìm mọi giá trò của d để (a
n
) là số nguyên,
với mọi n = 0, 1, 2, ...
T7/268. Tìm giới hạn của S
n
/n
2
khi n → +∞, trong đó S
n
=
n
k=1
k.cos

k
π
∑
T8/268. Tìm tất cả các tập A gồm hữu hạn số thực có tính chất sau: nếu x thuộc A
thì f(x) = x
3
- 3|x| + 4 cũng thuộc A.
T9/268. Gọi a, b, c, r, R lần lượt là 3 cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính
đường tròn ngoại tiếp một tam giác.Chứng minh:
a(b+c-a)
2
+ b(c+a-b)
2
+ c(a+b-c)
2
≤ 6 3 R
2
(2R - r). Đẳng thức xảy ra khi nào?
T10/268. Cho tứ diện ABCD với BC = a, CA = b, AB = c, DA = a', DB = b', DC = c'.
Gọi h
a
, h
b
, h
c
, h
d
lần lượt là các đường cao của tứ diện phát xuất từ các đỉnh A, B, C,
D. Gọi r và R tương ứng là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện. Chứng
minh:

a b b c c a d a d b d c
R a+b+c+a'+b'+c'

r
h h + h h + h h + h h + h h + h h
≥
Đẳng thức xảy ra khi nào?