hàm số và vấn đề liên quan

Vấn Đề : Bài Giảng Hàm Số Đồng Biến-Hàm Số Nghịch Biến
Nguyễn Đức Huân.0979236484
A.Lý thuyết:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên D xét chiều biến thiên của HS:
-Cách giải:muốn xác định chiều biến thiên của hs ta cần căn cứ vào dấu của y'.
-Các bớc tiến hành:
+B
1
:Tìm TXĐ,xác định y'.
+B
2
:Lập bảng xét dấu y'.
+B
3
: Kết luận.
-Chú ý: nếu y'
0


Dx


HS đồng biến
Dx

.
Nếu y'
0

Dx

HS nghịch biến
Dx

.
-Ví dụ:xét chiều biến thiên của hs y=
782
3
1
23
+
xxx
.
B.Các dạng bài tập.
1.Dạng 1: cho y=g(x,m), tìm đk để hàm số luôn đồng biến.
-Hớng giải: a.Nếu hs có dạng y'=f(x)=
cbxax ++
2
(
0

a
), hoặc y'=f(x)/k(x) thì để hàm
số luôn đồng biến y'
0

Rx

0
0a
. (dựa vào định lý
0)(.0

xfa
).
b.Muốn cm 1 hs không thể đồng biến ta cần cm y'=0 có 2 No

0

-Bài toán :
Bài 1:cho y=
( ) ( )
2512123
23
++++
xmxmx
tìm m để hàm số luôn đồng biến.kq(-
6
1
6
1

m
)

Bài 2: (Đại học thủy lợi 1997)
Tìm m để : y=
( )
xmmxx
m
23
3
1
23
++

đồng biến
Rx

.KQ:
2

m
Bài 3: Tìm

để y=
( )
1.2sin
4
3
cossin
2
1
3
1

23
++
xxx

luôn đồng biến.
KQ:




kk
++
12
11
12
7
.
Bài 4:Cho y=
( )
( )
( )
1222321
223
+++
mmxmmxmx
CMR hàm số này không thể đồng biến.
2.Dạng 2: cho hs y=g(x,m) tìm m để hs đồng biến
( )
+
;

x
- Hớng giải:để hsđb với
( )
+
;

x


21
xx
( )
0
2
0











s
af
-Bài toán :

Bài 1:tìm đk của m để hs y=
( )
( )
( )
1222321
223
+++
mmxmmxmx
đồng biến
( )
+
;2x
KQ:-2
2
3

m
Bài 2:Cho y=
( )
1
3
1
3
+
xmx
.tìm m để hs :
a.luôn đồng biến. KQ:
0

m

b.hsđb
( )
+
;1x
KQ:
1

m
Bài 3:Tìm m để hàm số y=
( )
mx
mxmx

+++
112
2
đồng biến
( )
+
;1x
HD:do
( )
012
2
+=
m
nên xét
0
=
1

=
m
(thỏa mãn)

0

..................................
3.Dạng 3: cho hs y=g(x,m) tìm m để hs đồng biến

x
( )

;

.
- Hớng giải:tơng tự dạng 2.
-Bài toán :
Bài 1:(Đại học quốc gia HN B.2000)
Cho y=
13
23
+
mmxx
.Tìm m để hs đồng biến
( )
0;

x
KQ:
0

m
.
Bài 2:Cho y=
2)512()12(3
23
++++
xmxmx
. Tìm m để hs đồng biến
( )
1;

x
.
4.Dạng 4: Cho hs y=f(x,m) tìm m để hs đồng biến

x
( )

;
.Với y'=
( )
cbxaxmxf
++=
2
,
- Hớng giải : * Nếu a>0 :đkbt
( )

2
0
0
0
.'0
21
S
afxx
Rxoy



* Nếu a<0 :đkbt
( )

( )





<
0
0
21



f
f
xx
-Bài toán :
Bài 1: tìm a để hs y=
( ) ( )
xaxa
x
31
3
2
3
+++
đồng biến

x
( )

3;0
. KQ:
12
7

a
.
Bài 2: Cho y=
( )
mxmx

2
tìm m để hs đồng biến

x
( )
2;1
. KQ:
3

m
.

5.Dạng 5: cho hs y=g(x,m) tìm m để hs nghịch biến
( )
+
;

x
.

- Hớng giải :xét dấu tơng tự nh trên.
- Bài toán :
Bài 1: Tìm m để hs y=
xa
aaxx

+
2
32
22
nghịch biến
( )
+
;1x
. KQ:
Bài 2:(Đại học ngoại thơng Hà Nội 1997)
Tìm m để y=
( )
mxmxx 413
23
++++
.Nghịch biến trên
( )
1;1

KQ:
10

m
Bài 3:( Học viện tài chính 2001)

Cho y=
( )
( )
mx
mmmxxm

++
221
32
.Tìm m để hs nghịch biên trên TXĐ.

Vấn Đề 3. Điểm Tới hạn Của Hàm Số .
1.Định nghĩa: cho hs y=f(x) xác định trên D
Dx

0
.Điểm
0
x
đợc gọi là điểm tới hạn của hàm
số nếu f'(
0
x
)=0 hoặc f'(
0
x
) không xác định.
2.Bài tập:
Bài 1: tìm điểm tới hạn của hàm số: y=
5

3
3
++
x
x
.
Bài 2: tìm điểm tới hạn của hàm số: y=
( )
5
3
2

xx
.
Vấn Đề 4.Cực Trị Của Hàm Số.
1.Định nghĩa:
-Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại
0
x


f(
0
x
)>f(x)
Dx

.
-Hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại
0

x


f(
0
x
)<f(x)
Dx

.


Các điểm cực đại,cực tiểu gọi là cực trị của hàm số.
2.1.Phơng pháp:
+B
1
:Tìm TXĐ,xác định y'.
+B
2
:Lập bảng xét dấu y'.
+B
3
: Kết luận điểm cực trị.
*)Chú ý:Để tính y
CD
,y
CT
của hàm số hữu tỷ y=
)(
)(

xv
xu
ta làm nh sau:
+) cho y'=0 tìm nghiệm
0
x
.
+) Thay
0
x
vào y=
)('
)('
xv
xu
suy ra y
CD
,y
CT
2.2.Dùng đạo hàm bậc 2 để tìm cực trị:
-Giả sử hám số y=f(x) có y'=0 có các nghiệm
i
x
(
ni ,1
=
).
Nếu y"(
i
x

)>0

i
x
cực tiểu.
Nếu y"(
i
x
)<0

i
x
cực đại.
VD
1
: Tìm cực trị của hàm số:y=
12
24
+
xx
.
VD
2
: Tìm cực trị của các hàm số:
a.y=
16
2
++
xx
b.y=2

5123
23
+
xxx
b.y=
3
4
3
4
+
x
x
d.y=
x
xx

+
1
22
2
3.Dạng toán :
3.1.Dạng 1:Tìm đk để hs đạt cực tiểu tại x=
0
x
.
-Cách giải: +B
1
:Tìm TXĐ,xác định y',y".
+B
2

: đk
( )
( )



>
=

0"
0'
0
0
xy
xy
+B
3
: Giải hệ này để tìm m.
Bài 1: Cho y=
1)1(
3
22
3
+++
xmmmx
x
.Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=1.KQ:

Bài 2: Cho
( )

121
24
+=
mmxxmy
. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=1. KQ:m=
3
2
.
3.2.Dạng 2: Tìm đk để hs đạt cực đại tại x=
0
x
.
-Cách giải: +B
1
:Tìm TXĐ,xác định y',y".
+B
2
: đk
( )
( )



<
=

0"
0'
0
0

xy
xy
+B
3
: Giải hệ này để tìm m.
Bài 3: Cho y=
1
2
2

++
x
mxx
. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x=3.KQ:

.
3.3.Dạng 3: Tìm đk để hs đạt cực trị tại x=
0
x
.
+B
1
:Tìm TXĐ,xác định y'.
+B
2
:Giải y'
( )
0
x
=o tìm ra m.

+B
3
:Thay giá trị của m vào y'.Sau đó dựa vào bảng biến thiên xét dấu của y'.

KL.
Bài 4: Cho y=
132
3
2
3
+
mxmx
x
.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x=1. KQ:m=-1.
Bài 5: Cho y=
23
23
++++
abxaxx
. Tìm a,b để hàm số có cực trị bằng 4 tại x=1. KQ:a=o,b=-3.
Bài 6: Cho y=
mx
xx
++
23
23
.Tìm m để hàm số đạt cực đại,cực tiểu tại các điểm có hoành độ >m.
KQ: m<-2.
Bài 7: Cho y =
( )

( )
mx
mmmxxm

++
221
32
.
( )
1
=
m
. Tìm m để hàm số đạt cực đại,cực tiểu
trong khoảng (0;2) .
3.4.Dạng 4: cách chứng minh 1 hàm số có cực trị:
- Hớng giải :chứng minh y' phải đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Bài 8:CMR:Hàm số sau có cực trị
m

:y=
( ) ( )
11
3
222
3
++
mxmmx
x
Bài 9: Cho y=
( )

( )
( )
123213
223
++
mmxmmxmx
. Tìm m để hàm số đạt cực trị.
3.5.Dạng 5:Cách viết PTĐT qua cực đại,cực tiểu: của hàm số y=
dcxbxax
+++
23
.
-Cách giải:
+B
1
:Tìm TXĐ,xác định y'.
+B
2
:Giải đk y'
( )
0
x
=o có 2n
0
phân biệt.
+B
3
:Viết y(x)=y'(x).p(x)+Ax+B.
+B
4

:CM y=Ax+B là PTĐT cần tìm.
+B
5
:KL.
Bài 10:Tìm tọa độ và viết PTĐT qua các điểm cực trị của hàm số sau:y=
863
23
+
xxx
.
KQ:y=-6x+6.CĐ:(1-
3
;6
3
).CT:(1+
3
;-6
3
)
Bài 11:(Học viện kĩ thuật mật mã 99).
Cho y=
( ) ( )
22)27(213
223
++++
mmxmmxmx
.Tìm m để hs có cực đai,cực tiểu và viết PTĐT
qua cực trị.
Bài 12: Tìm m để y=2
( )

xmmxmx )21(613
23
++
.có CĐ,CT thuộc d:y=-4x KQ:m=1.
Bài 13:(ĐH Thủy Lợi-98) Cho y=
1
2

+
x
mmxx
.CMR:khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là không
đổi
.m