Khảo sát hàm số và bài toán liên quan

Dương Phước Sang - 1 - THPT Chu Văn An
Phn
PhnPhn
Phn

I
II
I. KHO SÁT
. KHO SÁT . KHO SÁT
. KHO SÁT HÀM S
HÀM SHÀM S
HÀM S

VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUANVÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN



1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
1 Tập xác định:
D = ℝ

2 Tính
y
′

3 Cho
0y
′

=
để tìm các nghiệm
0
x
(nếu có).
4 Tính hai giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.
6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số.
7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).
8 Lập bảng giá trị.
9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.

3 2
( 0)

y ax bx cx d a= + + + ≠

Số nghiệm của phương
trình
0y
′
=

0a > 0a <
0y

′
= có 2 nghiệm
phân biệt




0y
′
= có nghiệm kép




0y
′
= vô nghiệm




Đồ thị hàm số bậc ba luôn đối xứng qua điểm uốn

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 2 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
4 2
( 0)

y ax bx c a= + + ≠

Số nghiệm của phương
trình
0y
′
=

0a >

0a <

0y
′
=
có 3 nghiệm
phân biệt


0y
′
=
có 1 nghiệm duy
nhất




Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M
0

)
1 Chỉ rõ
0
x
và
0
y
(hoành độ & tung độ của điểm M
0
)
2 Tính
0
( )f x
′

3 Công thức:
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)
1 Lập luận để có được
0
( )f x k
′
=

(*)
2 Thay
0
( )y x
′
vào (*) để tìm
0
x

3 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng công thức
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −


Lưu ý:  Tiếp tuyến song song với
y ax b= +
có hệ số góc k = a
 Tiếp tuyến vuông góc với
( 0)y ax b a= + ≠
có hệ số
góc
1

a
k = −

d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x)

1 Đưa phương trình về dạng:
( ) ( )f x BT m=

2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao
điểm của đồ thị
( ) : ( )C y f x=
và đường thẳng
: ( )d y BT m=
.
3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 3 - THPT Chu Văn An




Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương
trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết
quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề.
e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và d:
( )f x ax b= + (*)
2 Lập luận: số giao điểm của

( )C
và d bằng với số nghiệm của (*)
3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của
( )C
và d
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1 : Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại giao điểm của
( )C
với
trục tung.
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có
nghiệm duy nhất:
3 2
6 9 0x x x m− + + =

Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
6 9 1y x x x= − + +
 Tập xác định: D = R

 Đạo hàm:
2
3 12 9y x x
′
= − +

 Cho
2
0 3 12 9 0 1y x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ =
hoặc
3x =

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;5)D
, điểm cực tiểu
(3;1)T


Cho 6 12. 0 2 3y x y x y

′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
(2;3)I


 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a > 0)
x
−∞
1 3
+∞

y
′

+ 0 – 0 +
y
5 +
∞

–
∞
1
m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt…
… … …. ….
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 4 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán

 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y
1 5 3 1 5
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm
(2; 3)I
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
0 (0) 1x y= ⇒ = .
Giao điểm của
( )C
với trục tung là:
(0;1)A


(0) 9f
′
=

 Phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại A là:
1 9( 0) 9 1y x y x− = − ⇔ = +

Câu c: Ta có,
3 2 3 2
6 9 0 6 9x x x m x x x m− + + = ⇔ − + = −

3 2
6 9 1 1x x x m⇔ − + + = −
(*)
 Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị
( )C
và
đường thẳng
: 1d y m= −
cắt nhau tại 1 điểm duy nhất
1 5 4
1 1 0
m m
m m
 
− > < −
 
⇔ ⇔
 
− < >
 
 

Bài 2
: Cho hàm số
2 3
3 2y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C

của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
( )C
tại các giao điểm của
( )C

với trục hoành.
c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình:
3 2
4 6 3 0x x a− − =

Bài giải
Câu a: Hàm số
2 3
3 2y x x= −
 Tập xác định:
D = ℝ

 Đạo hàm:
2
6 6y x x
′
= −

 Cho
2
0 6 6 0 0y x x x
′
= ⇔ − = ⇔ =
hoặc

1x =

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞

 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
 Bảng biến thiên:
(chú ý: do a < 0)
x
−∞
0 1
+∞

y
′

– 0 + 0 –
y
+∞ 1
0 –∞
www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 5 - THPT Chu Văn An
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0)−∞ và (1; )+∞
Đồ thị hàm số có điểm cực đại
(1;1)D , điểm cực tiểu (0; 0)O


Cho
1 1
2 2
6 12 . 0y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. Điểm uốn
1 1
2 2
( ; )I

 Bảng giá trị:
x

1
2
−
0
1
2
1
1
2

y
1 0
1
2
1 0
 Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng

qua điểm
1 1
2 2
( ; )I
như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho
2 3
0 3 2 0y x x= ⇔ − =
3
2
0x
x

=

⇔

=



Giao điểm của
( )C
với trục hoành là:
(0; 0)O
và
3
2
( ; 0)B

 Tại
(0; 0)O
:
(0) 0f
′
=
, phương trình tiếp tuyến là:
0y =

 Tại
3
2
( ; 0)B
:
3 9
2 2
( )f
′
= −
, phương trình tiếp tuyến là:
27
9 3 9
2 2 2 4
0 ( )y x y x− = − − ⇔ = − +

Câu c: Ta có,
3 2 2 3 2 3
4 6 3 0 6 4 3 3 2x x a x x a x x− − = ⇔ − = − ⇔ −
3
2

a= −
(*)
 Số nghiệm phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị
( )C

và đường thẳng
3
2
:d y a= −
, do đó ta có bảng kết quả sau đây:
a
3
2
a−

Số giao điểm
của
( )C
và d
Số nghiệm của
phương trình (*)

2
3
a < −

3
2
1a− >

1 1
2
3
a = −

3
2
1a− =

2 2
2
3
0a− < <

3
2
0 1a< − <

3 3
0a =

3
2
0a− =

2 2
0a >

3
2

0a− <

1 1


www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 6 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng
3
2
: y x∆ =

c) Tìm toạ độ các giao điểm của
( )C
với đường thẳng
3

2
2y x= +

Bài giải
Câu a:
3 2
3 3
2
x x x
y
+ +
=
 Tập xác định:
D = ℝ

 Đạo hàm
2
3 6 3
0,
2
x x
y x
+ +
′
= ≥ ∀ ∈ ℝ
do đó hàm số luôn đồng
biến trên
ℝ
và không đạt cực trị.
 Giới hạn:

lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞

 Bảng biến thiên:







1
2
3 3 0 1y x x y
′′
= + = ⇔ = − ⇒ = −

Điểm uốn
1
2
( 1; )I − −

 Bảng giá trị:
x

3
−

2−

1−
0 1
y

9
2
−
1−
1
2
−
0
7
2

 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm
1
2
( 1; )I − −

Câu b: Tiếp tuyến của
( )C
song song với đường thẳng
3
2
: y x∆ =

có hệ
số góc
3
0
2
( )k f x
′
= =

2
0 0
3 6 3
2
x x+ +
⇔ =
3
2
2
0
0 0
0
0
3 6 0
2
x
x x
x

=


⇔ + = ⇔

= −



 Với
0
0x =
thì
0
(0) 0y y= =
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
0 ( 0)y x y x− = − ⇔ =
(trùng với
∆
)



x
−∞

1−

+∞

y

′

+ 0 +
y
+∞

–∞
1
2
−

www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 7 - THPT Chu Văn An
 Với
0
2x = −
thì
0
( 2) 1y y= − = −
, tiếp tuyến tương ứng là
3 3
2 2
1 ( 2) 2y x y x+ = + ⇔ = +
(song song với
∆
)
 Vậy, tiếp tuyến thoả đề là
3
2
2y x= +

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của
( )C và
3
2
2y x= +
là nghiệm
phương trình
3 2
3 3
2
x x x+ +
=
3 2
3
2 3 3 3 4
2
x x x x x+ ⇔ + + = +
3 2 2
1
3 4 0 ( 1)( 4 4) 0
2
x
x x x x x
x

=

⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔


= −




7
2
1x y= ⇒ =
và
2 1x y= − ⇒ = −

 Vậy,
( )C
và
3
2
: 2d y x= +

cắt nhau tại 2 điểm:

( )
7
2
1;A
và
( 2; 1)B
− −

Bài 4
: a) Khảo sát và vẽ đồ thị

( )C
của hàm số:
4 2
2 3y x x
= − −

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )C
tại điểm trên
( )C

có hoành độ x là nghiệm của phương trình
( ) 20f x
′′
=

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều
hơn hai nghiệm:
4 2
2 0x x m− + =

Bài giải
Câu a:Hàm số
4 2
2 3y x x= − −
 Tập xác định:
D
=
ℝ


3
4 4y x x
′
= −
 Cho
3
0 4 4 0 0; 1y x x x x
′
= ⇔ − = ⇔ = = ±

 Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

 Bảng biến thiên:
x
–∞ –1 0 1 +∞

y
′

– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
3
− +∞

–4 –4
 Hàm số đồng biến trên các khoảng trên (–1;0), (1;+∞) và nghịch
biến trên các khoảng (–∞;–1), (0;1).
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 8 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
Đồ thị hàm số có điểm cực đại (0; 3)D −
và hai điểm cực tiểu
1 2
( 1; 4), (1; 4)T T− − −

 Bảng giá trị:
x

2−
–1 0 1
2

y
–3 –4 –3 –4 –3
 Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng
qua trục tung như hình vẽ
Câu b:Ta có,
2 2 2
12 4 20 12 24 2 2y x x x x
′′
= − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ±

 Đáp số:

4 2 11y x= −
và
4 2 11y x= − −
(học sinh tự giải)
Câu c:Ta có,
4 2 4 2
2 0 2 3 3x x m x x m− + = ⇔ − − = − −
(*)
 Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi
( )C
và
: 3d y m= − − cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm)
3 3 0
0 1
3 4 1
m m
m
m m
 
 
− − ≤ − ≥
 
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
 
 
− − > − <
 
 
 

Bài 5
:a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
4 2
4 3y x x= − + −

b) Dùng đồ thị
( )C
biện luận số nghiệm pt sau:
4 2
4 0x x m− + =

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: HS tự giải để có được đồ thị:
Câu b: Biến đổi phương trình ta được:

4 2 4 2
4 0 4 3 3x x m x x m− + = ⇔ − + − = −

 Bảng kết quả số nghiệm của phương trình đã cho
m m – 3
Số giao
điểm
của
( )C

và d
Số nghiệm
của

phương
trình (*)
m > 4 m – 3 > 1 0 0
m = 4 m – 3 = 1 2 2
0 < m < 4 – 3 < m – 3 < 1 4 4
m = 0 m – 3 = – 3 3 3
m < 0 m – 3 < – 3 2 2

www.VNMATH.com