CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

CHỦ ĐỀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ
HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN
Lý thuyết: Thể tích khối lăng trụ
Dạng 1: Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều
Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ xiên
Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết chiều cao và độ dài cạnh đáy
Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Tính thể tích khối lăng trụ đứng biết góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ đều cực hay
Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ xiên cực hay


Chủ đề: Thể tích hình lăng trụ
Lý thuyết: Thể tích khối lăng trụ
Thể tích khối lăng trụ
1. Định nghĩa
Cho hai mặt phẳng song song (α) và (α'). Trên (α) ta lấy đa giác lồi A 1 A2…An,
qua các đỉnh này ta dựng các đường thẳng song song cắt (α') tại A' 1,A'2,…A'n.
Hình bao gồm 2 đa giác A 1 A2…An, A'1 A'2…A'n và các hình bình hành
A1 A2 A'1 A'2,… được gọi là hình lăng trụ, kí hiệu là A1 A2…An A'1 A'2…A'n.

Nhận xét:
+ Các mặt bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau
+ Các mặt bên là các hình bình hành
+ Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau
2. Hình lăng trụ đứng - hình lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật và hình lập
phương


a) Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài
cạnh bên được gọi là chiều cao của hình lăng trụ. Lúc đó các mặt bên của hình

lăng trụ đứng là các hình chữ nhật
b) Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên
của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều,
tứ giác đều... thì ta hiểu là hình lăng trụ đều
c) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành
d) Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành
e) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật
f) Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông
được gọi là hình lập phương (hay hình chữ nhật có ba kích thước bằng nhau
được gọi là hình lập phương)
Nhận xét:
+ Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng (Có tất cả các mặt là hình chữ nhật
+ Hình lập phương là hình lăng trụ đều (tất cả các cạnh bằng nhau)
+ Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng (mặt bên là hình chữ nhật, mặt đáy là
hình bình hành)
3. Thể tích khối lăng trụ:
V=B.h : Với B là diện tích đáy và h là chiều cao
4. So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều:
ĐỊNH NGHĨA:

TÍNH CH

+ Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

+ Các mặ

+ Các mặ


+ Chiều c

+ Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

+ Các mặ

+ Chiều c

Dạng 1: Tính thể tích khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Khối lăng trụ đứng
Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt
đáy.
Tính chất:
+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật
+ Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy
+ Chiều cao là cạnh bên
2. Khối lăng trụ đều
Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Tính chất:
+ Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau
+ Chiều cao là cạnh bên.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a, AD = 2a, AA’= 2a. Tính thể tích
của khối A’.ACD’


Hướng dẫn:

Do mặt bên ADD’A’ là hình chữ nhật nên ta có:

Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc

giữa và đáy là 60º. Gọi M là trung điểm của . Thể tích của khối chóp M.A’B’C’ là:
Hướng dẫn:


Bài 3: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B có BA = BC = 2a, biết A1 M=3a với M là trung điểm của BC. Tính thể tích
khối lăng trụ ABC.A1 B1 C1


Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 4: Cho khối lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C’ với AB= a; AC = 2a và
∠(BAC)=120º, mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy một góc 60º. Tính thể tích khối
lăng trụ ABC.A’B’C’ là:


Hướng dẫn:

Dựng A'M ⊥ BC, ta có:

Ta có:

Do AM ⊥ BC nên


Xét tam giác AAM vuông tại A có:

Bài 5: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và mặt

(DBC’) với đáy ABCD một góc 60º. Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D là:
Hướng dẫn:

Ta có:AC ⊥ BD tại tâm O của hình vuông ABCD.
Mặt khác CC' ⊥ BD do đó BD ⊥ (COC')
Suy ra ((C'BD),(ABCD)) = ∠(C'OD) = 60º
Lại có:


B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B, biết BA = BC = 2a, và (A’BC) hợp với đáy một góc 30°. Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.A’B’C’ là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :


Khi đó:


Bài 2: Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC'=a√3

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :


Gọi x là độ dài cạnh của hình lập phương

Xét tam giác AA’C vuông tại A có:

Do đó, thể tích của khối lập phương là V=a^3.
Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 60°, cạnh AB = a. Thể tích khối đa diện ABCC’ là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Giải thích :


Hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ ⇒ AA' ⊥ (ABC) và ∆ABC đều.
Gọi M là trung điểm của BC, do ∆ABC đều cạnh a nên:

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:


Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB
= 2a, AD = a và đường chéo B’D của lăng trụ hợp với đáy (ABCD) một góc 30°.
Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :


BB' ⊥ (ABCD) nên BD là hình chiếu của B’D lên (ABCD)
Do B’D hợp với đáy ABCD một góc 30º nên ta có:

Xét tam giác B’BD vuông tại B có:

Bài 5: Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, mặt phẳng (A’BC)
hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : A
Giải thích :

do ABC.A’B’C’ là lăng trụ đều nên A'A ⊥ (ABC), ∆ABC đều cạnh
Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC
Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC


Xét tam giác A’AM vuông tại A có:

Bài 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
A, cạnh BC=a√2, A’C tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :


ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC=a√2
⇒ AB=AC=BC/√2=a
AA' ⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC)
⇒ (A' C;(ABC))= ∠(A'CA)=60°
Xét tam giác A’AC vuông tại A có:

Bài 7: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều. Mặt phẳng
(A’BC) tạo với đáy một góc 30° và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích
lăng trụ.

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :


ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên A'A ⊥ (ABC),
Giả sử ∆ABC đều cạnh a
Gọi M là trung điểm của BC, khi đó AM ⊥ BC;AM=(a√3)/2
Mặt khác A'A ⊥ BC nên BC ⊥ (A' AM) ⇒ AM ⊥ BC

Xét tam giác A’AM vuông tại A có:


Bài 8: Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a
là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :
Đáy A’B’C’ là tam giác đều cạnh a nên S(A' BC) = (a2 √3)/4
Khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a nên chiều cao


AA’ = a

Bài 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ∠(ACB)=120º
và đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30°. Thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ là:

Hiển thị đáp án
Đáp án : B
Giải thích :


Kẻ CP ⊥ AB (P ∈ (AB).
Ta có:

⇒ Hình chiếu vuông góc của CA’ trên mặt phẳng (ABB’A’) là CP

Mà


Bài 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AA’ = a. Tam giác ABC đều cạnh
a. Gọi I là trung điểm của AA’. Tìm mệnh đề đúng.

Hiển thị đáp án
Đáp án : C
Giải thích :