Chiều, số bội và tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH MAI

CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
VỚI GIÁ CỰC ĐẠI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THANH MAI

CHIỀU, SỐ BỘI VÀ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT
CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
VỚI GIÁ CỰC ĐẠI
Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 8.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2019

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn, các kết quả nghiên cứu là trung
thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2019
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Mai

Xác nhận
của khoa chuyên môn

Xác nhận
của người hướng dẫn khoa học

GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn "Chiều, số bội và iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối
đồng điều địa phương với giá cực đại" được thực hiện tại Trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình,
tận tụy của GS. TS. Lê Thị Thanh Nhàn. Tác giả xin bảy tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Đồng thời,
tác giả xin trân trọng cảm ơn tới TS. Trần Đỗ Minh Châu với sự giúp đỡ
của cô trong suốt quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm

- Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy cô khoa
Toán đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và
nghiên cứu.
Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động
viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập.

ii


Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin
3
1.1. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Chiều của môđun Artin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Số bội cho môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Chương 2. Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại .

16

2.1. Tính Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2. Chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3. Tập iđêan nguyên tố gắn kết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4. Công thức bội liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

iii


MỞ ĐẦU
Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn
sinh. Chiều Krull, tập iđêan nguyên tố liên kết, đa thức Hilbert-Samuel và số
bội là các bất biến quan trọng của M trong nghiên cứu môđun này. Chúng
có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Nếu kí hiệu chiều của M là d thì từ một
kết quả quen thuộc SuppR (M ) = Var(AnnR M ) và min Var(AnnR M ) =

min AssR (M ) ta tính được d thông qua tập iđêan nguyên tố liên kết của M.
Hơn nữa, d cũng chính là bậc của đa thức Hilbert-Samuel. Số bội của M
tương ứng với một iđêan m-nguyên sơ q của R bằng tích của d! với hệ số cao
nhất của đa thức Hilbert-Samuel. Số bội còn được tính thông qua tập iđêan
nguyên tố liên kết nhờ công thức liên kết cho số bội.
Đối với mỗi R-môđun Artin A, nhìn chung công thức SuppR (A) =

Var(AnnR A) không còn đúng. Thêm vào đó SuppR (A), nếu khác rỗng chỉ
gồm iđêan cực đại. Vì thế chiều Krull và tập iđêan nguyên tố liên kết không
có ý nghĩa trong nghiên cứu cấu trúc của môđun Artin A. Năm 1971, D.
Kirby [11] đã chỉ ra rằng nếu I là iđêan của R sao cho (0 :A I) hữu hạn thì

(0 :A I n ) là một đa thức khi n đủ lớn. Ông gọi đa thức này là đa thức Hilbert
của môđun Artin A vì vai trò của nó đối với A tương tự như vai trò của đa
thức Hilbert-Samuel đối với môđun hữu hạn sinh. Sau đó, R. N. Roberts [21]
đã đưa ra khái niệm chiều Noether (lúc đầu ông gọi là chiều Krull nhưng kí
hiệu là Kdim, chiều Noether là thuật ngữ do D. Kirby đổi lại để tránh nhầm
lẫn với chiều Krull). Trong [21], ông đã chứng minh được chiều Noether của
1


môđun Artin A chính bằng bậc của đa thức Hilbert của A. Chính vì thế,
chiều Noether là thích hợp nhất để đi đến định nghĩa hệ bội, hệ tham số cho
môđun Artin và xây dựng công thức liên kết cho số bội của môđun Artin.
Năm 1973, I. G. Macdonald [12] đã giới thiệu lý thuyết biểu diễn thứ cấp
và đưa ra khái niệm iđêan nguyên tố gắn kết của một môđun. Đối với mỗi
môđun Artin A, vai trò của tập tất cả các iđêan nguyên tố gắn kết hoàn toàn
tương tự vai trò của tập iđêan nguyên tố liên kết đối với môđun hữu hạn
sinh. Chú ý rằng, môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại Hmi (M )
luôn là Artin tại mọi cấp. Vì thế chiều Noether và tập iđêan nguyên tố gắn
kết cũng như số bội có vai trò quan trọng trong nghiên cứu môđun đối đồng
điều địa phương.
Mục tiêu của luận văn là trình bày lại các kết quả gần đây của các tác
giả M. Brodmann, N. T. Cường, L. T. Nhàn, T. N. An, P. H. Quý, T. Đ. M.
Châu, . . . trong các bài báo [3], [7], [8], [17], [18], [19], . . . về chiều, tập iđêan
nguyên tố gắn kết và số bội của các môđun đối đồng điều địa phương với giá
cực đại. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận
văn được trình bày thành hai chương:
Chương 1 trình bày các kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều
và số bội cho môđun Artin.
Chương 2, chương chính của luận văn trình bày một số kết quả về
chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết và công thức liên kết cho số bội của

môđun đối đồng địa phương Artin với giá cực đại Hmi (M ).
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019

2


Chương 1

Iđêan nguyên tố gắn kết, chiều, số
bội cho môđun Artin
Trong toàn bộ luận văn này, luôn giả thiết (R, m) là vành giao hoán
Noether địa phương; M và R-môđun hữu hạn sinh chiều d, A là R-môđun
Artin, N là R-môđun hữu hạn sinh tuỳ ý và L là R-môđun bất kì. Với mỗi
iđêan I của R ta cũng kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa

I. Mục tiêu của chương này là trình bày một số kết quả về tập iđêan nguyên
tố gắn kết, chiều, số bội cho môđun Artin.

1.1. Tập các iđêan nguyên tố gắn kết
Tiết này dành để trình bày các tính chất của tập iđêan nguyên tố
gắn kết của một môđun Artin dựa trên các tài liệu tham khảo của I. G.
Macdonald [12], M. P. Brodmann và R. Y. Sharp [2]. Theo một nghĩa nào
đó, tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin có vai trò tương tự như
tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun hữu hạn sinh. Vì thế, nó là một công
cụ hữu hiệu trong nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin. Cơ sở để đi đến
định nghĩa tập iđêan nguyên tố gắn kết là biểu diễn thứ cấp.

3

Định nghĩa 1.1.1. (i) Cho x ∈ R. Nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho

xn L = 0 thì ta nói phép nhân bởi x trên L là luỹ linh. Nếu xL = L thì ta
nói phép nhân bởi x trên L là toàn cấu.
(ii) Ta nói L là môđun thứ cấp nếu L = 0 và với mỗi x ∈ R, phép nhân
bởi x trên L hoặc là toàn cấu hoặc luỹ linh. Trong trường hợp này, tập tất
cả các phần tử x ∈ R sao cho phép nhân bởi x trên L là luỹ linh là một
√
iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là p . Hơn nữa, AnnR L = p . Ta gọi L là
p-thứ cấp.
(iii) Mỗi cách viết L dưới dạng L = L1 + L2 + . . . + Ln , trong đó mỗi

Li là pi -thứ cấp, được gọi là một biểu diễn thứ cấp của L. Biểu diễn thứ cấp
này gọi là tối tiểu nếu các pi đôi một khác nhau và mỗi Li không thừa, tức
là Li = L1 + . . . + Li−1 + Li+1 + . . . + Ln với mọi i = 1, . . . , n. Ta nói L là

R-môđun biểu diễn được nếu nó có biểu diễn thứ cấp. Vì tổng của hữu hạn
môđun con p-thứ cấp của L là p-thứ cấp nên mỗi biểu diễn thứ cấp đều có
thể quy về tối tiểu.
Định lý 1.1.2 (Định lý duy nhất thứ nhất). Giả sử L = L1 + . . . + Lr =

L1 + . . . + Ls là hai biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L, trong đó Li là pi -thứ
cấp với i = 1, . . . , r và Li là qi -thứ cấp với i = 1, . . . , s. Khi đó r = s và

{p1 , . . . , pr } = {q1 , . . . , qs }.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử L biểu diễn được. Theo Định lý duy nhất thứ
nhất, tập {p1 , . . . , pn } chỉ phụ thuộc vào L mà không phụ thuộc vào biểu
diễn thứ cấp tối tiểu của L. Ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

L và kí hiệu là AttR (L). Mỗi phần tử của AttR (L) là iđêan nguyên tố gắn

kết của L. Nếu p là tối tiểu trong tập AttR (L) thì thành phần thứ cấp tương
ứng gọi là thành phần thứ cấp cô lập của L.
Nhận xét 1.1.4. Rõ ràng L là R-môđun biểu diễn được thì AttR (L) là hữu
hạn. Hơn nữa, AttR (L) = ∅ nếu và chỉ nếu L = 0.
4


Định lý tiếp theo chỉ ra rằng các thành phần thứ cấp cô lập là duy
nhất.
Định lý 1.1.5 (Định lý duy nhất thứ hai). Giả sử L là biểu diễn được.
Khi đó các thành phần thứ cấp cô lập của L không phụ thuộc vào biểu diễn
thứ cấp tối tiểu của L.
f

g

Định lý 1.1.6. Cho 0 → L →
− L→
− L → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu
diễn được và các R-đồng cấu. Khi đó

AttR (L ) ⊆ AttR (L) ⊆ AttR (L ) ∪ AttR (L ).
Định lý sau đây cho thấy ứng dụng của biểu diễn thứ cấp trong nghiên
cứu môđun Artin.
Định lý 1.1.7. Mọi môđun Artin đều biểu diễn được.
Sau đây là một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun
Artin tương tự với các kết quả đã biết về tập iđêan nguyên tố liên kết của
môđun hữu hạn sinh.
Mệnh đề 1.1.8. Cho A là R-môđun Artin và r ∈ R. Khi đó
(i) rA = A nếu và chỉ nếu r ∈ R \

√
(ii) AnnR A = p∈AttR (A) p .

p∈AttR (A) p .

Chứng minh. Nếu A = 0 thì AttR (A) = ∅ theo Nhận xét 1.1.4. Vì thế khẳng
định (i) và (ii) luôn đúng.
Giả sử A = 0 và A = L1 + . . . + Ln là một biểu diễn thứ cấp tối tiểu
của A, trong đó mỗi Li là môđun con pi -thứ cấp của A. Khi đó AttR (A) =

{p1 , . . . , pn }.
(i) Giả sử r ∈ R \

p∈AttR (A) p .

Suy ra rLi = Li với mọi i = 1, . . . , n.

Do đó rA = A. Ngược lại, nếu r ∈ pj , với j nào đó (1 ≤ j ≤ n) thì tồn tại
5


h ∈ N sao cho rh Lj = 0. Vì thế
n
h

h

h

h

h

r A = r L1 + . . . + r Lj−1 + r Lj+1 + . . . + r Ln ⊆

Li ⊂ A.
i=1
i=j

Suy ra rA = A.
(ii) Theo tính chất của tập linh hoá tử và căn của iđêan ta có
n

AnnR A =

AnnR

n

AnnR (Li )

Li =
i=1

i=1

n

=

pi =
i=1

p.
p∈AttR (A)

Hệ quả 1.1.9. Cho (R, m) là vành địa phương và A là R-môđun Artin. Khi
đó A có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu AttR (A) ⊆ {m}.
Chứng minh. (⇒) Giả sử (A) < ∞. Khi đó tồn tại h ∈ N sao cho mh A = 0.
Nếu A = 0 thì AttR (A) = ∅. Do đó AttR (A) ⊆ {m}. Giả sử A = 0. Ta sẽ
chứng minh A là m-thứ cấp. Thật vậy, lấy r ∈ R. Nếu r ∈ m thì rh A = 0.
Nếu r ∈
/ m thì r khả nghịch. Suy ra rA = A. Do đó A là m-thứ cấp. Vì thế

AttR (A) = {m}. Vậy AttR (A) ⊆ {m}.
(⇐) Nếu AttR (A) ⊆ {m} thì theo Mệnh đề 1.1.8 (ii),

√

AnnR A = m.

Suy ra tồn tại h sao cho mh A = 0. Do đó A có độ dài hữu hạn.
Chú ý rằng

√

AnnR A =

p =
p⊇AnnR A

p nên từ Mệnh đề
p∈Var(AnnR A)

1.1.8 ta có kết quả sau.
Mệnh đề 1.1.10. Cho A là R-môđun Artin. Khi đó
(i) min AttR (A) = min Var(AnnR A).
(ii) dim(R/AnnR A) = max{dim(R/ p) | p ∈ AttR (A)}.

6


Để chuyển tập iđêan nguyên tố gắn kết của R-môđun Artin A qua
đồng cấu phẳng địa phương ta sử dụng công thức sau đây. Nhắc lại rằng,
đồng cấu ϕ : R → S giữa các vành địa phương (R, m) và (S, n) được gọi là
đồng cấu phẳng địa phương nếu S là R-môđun phẳng và ϕ(m) ⊆ n.
Bổ đề 1.1.11. Cho A là một R-môđun Artin, (S, n) là vành Noether địa
phương và ϕ : R → S là đồng cấu phẳng địa phương giữa các vành địa
phương (R, m) và (S, n). Giả sử rằng dim(S/mS) = 0. Khi đó A ⊗R S là

S -môđun Artin và
AttR (A) = {ϕ−1 (P) | P ∈ AttS (A ⊗R S)}.
Chứng minh. Trước hết, ta sử dụng tiêu chuẩn Melkersson [2, 7.1.2] để chứng
minh A ⊗R S là một S -môđun Artin. Vì S là phẳng trên R và R/m là môđun
biểu diễn hữu hạn nên theo [14, Định lý 7.11] ta có

HomS (S/mS; A ⊗R S) ∼
= HomS (R/m ⊗R S; A ⊗R S)
∼
= HomR (R/m; A) ⊗R S.

Vì HomR (R/m; A) ∼
= (0 :A m) nên HomR (R/m; A) là R-môđun có độ
dài hữu hạn. Vì thế HomR (R/m; A) là R-môđun hữu hạn sinh. Suy ra

HomR (R/m; A) ⊗R S là S -môđun hữu hạn sinh được triệt tiêu bởi mS. Do
đó HomR (R/m; A)⊗R là S/mS -môđun hữu hạn sinh. Vì dim(S/mS) = 0
nên S/mS là vành Artin. Suy ra HomR (R/m; A) ⊗R S là S -môđun có độ dài
hữu hạn. Chú ý rằng, với mỗi a ∈ A, môđun Ra có độ dài hữu hạn nên a bị
triệt tiêu bởi một luỹ thừa nào đó của m. Vì thế A là m-xoắn. Suy ra A ⊗R S
là mS -xoắn. Do đó A ⊗R S là S -môđun Artin.
Giả sử A = A1 + . . . + An là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A, trong
đó Ai là pi -thứ cấp với i = 1, . . . , n. Khi đó AttR (A) = {p1 , . . . , pn }. Vì S là

R-đại số phẳng hoàn toàn nên theo [14, Định lý 7.5(i)] ϕ là đơn cấu. Vì thế
7


có thể xem R như là vành con của S và Ai ⊗R S có thể xem như là S -môđun
con của A ⊗R S với mọi i = 1, . . . , n. Khi đó ta có

A ⊗R S = (A1 ⊗R S) + . . . + (An ⊗R S).
Với mỗi i = 1, . . . , n, chọn một biểu diễn thứ cấp tối tiểu Ai ⊗R S = Bi1 +

. . .+Biki của S -môđun Ai ⊗R S, trong đó Bij là Pij -thứ cấp. Khi đó A⊗R S =
n
i=1 (Bi1

+ . . . + Biki ) là biểu diễn thứ cấp của A ⊗R S. Bằng cách loại bỏ

các thành phần thừa và đánh số lại, ta có thể giả sử tồn tại một số nguyên

ti ≤ ki với i = 1, . . . , n sao cho A ⊗R S =

n
i=1 (Bi1

+ . . . + Biti ) là biểu

diễn thứ cấp của A ⊗R S mà không có thành phần nào thừa. Nếu ti = 0 với

i nào đó thì Ai ⊗R S = 0. Suy ra Ai = 0 do S là phẳng hoàn toàn trên R,
mâu thuẫn với tính chất Ai là không thừa trong biểu diễn thứ cấp tối tiểu

A = A1 +. . .+An . Vì thế ti ≥ 1 với mọi i = 1, . . . , n. Để khẳng định biểu diễn
thứ cấp A⊗R S =

n
i=1 (Bi1 +. . .+Biti )

là tối tiểu, ta còn phải chứng minh các

Pij là đôi một phân biệt. Thật vậy, giả sử i ∈ {1, . . . , n} và x ∈ pi . Khi đó tồn
tại m ∈ N sao cho xm Ai = 0. Suy ra xm (Ai ⊗R S) = 0 và do đó xm Bij = 0 với
mọi j = 1, . . . , ti . Vì thế x ∈ Pij ∩ R với mọi j = 1, . . . , ti . Lấy x ∈ R \ pi thì

xm Ai = Ai . Suy ra xm (Ai ⊗R S) = Ai ⊗R S với mọi m ∈ N. Nếu ϕ(x) ∈ Pij
với j ∈ {1, . . . , ti } nào đó thì tồn tại m0 ∈ N sao cho ϕ(x)m0 Bij = 0. Do đó

xm0 (Ai ⊗R S) = Ai ⊗R S, mâu thuẫn. Vì thế ϕ(x) ∈
/ Pij với mọi j = 1, . . . , ti .

Kéo theo pi = Pij ∩ R với mọi j = 1, . . . , ti . Do đó Pij là đôi một khác nhau.
Suy ra A ⊗R S =

n
i=1 (Bi1

+ . . . + Biti ) là biểu diễn thứ cấp tối tiểu của

A ⊗R S. Vì thế AttS (A ⊗R S) = {Pij | i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , ti }. Vậy
AttR (A) = {P ∩ R | P ∈ AttS (A ⊗R S)}.

Vì đồng cấu tự nhiên f : R → R là đồng cấu phẳng địa phương nên
với mỗi R-môđun Artin A ta có công thức sau.
8


Hệ quả 1.1.12.

AttR (A) = {P ∩ R | P ∈ AttR (A)}.
1.2. Chiều của môđun Artin
Cho A là R-môđun Artin. Khi đó SuppR (A) ⊆ {m}. Vì thế chiều Krull

dim(R/ AnnR A) không phù hợp để đi đến một cách tự nhiên các khái niệm
hệ bội, hệ tham số cho môđun Artin. Năm 1973, D. Kirby đã đưa ra kết quả
về đa thức Hilbert-Samuel cho môđun Artin, tương tự với kết quả về đa thức
Hilbert-Samuel cho môđun Noether. Kết quả được phát biểu như sau.
Định lý 1.2.1. (Xem [11, Mệnh đề 2]) Cho A là R-môđun Artin và q là
iđêan của R sao cho (0 :A q) hữu hạn. Khi đó (0 :A qn ) có độ dài hữu hạn
và

R (0 :A

qn ) là một hàm đa thức với n đủ lớn.

Đặt HqA (n) =

R (0 :A

qn+1 ). Theo Định lý 1.2.1, HqA (n) là một hàm

đa thức, nghĩa là tồn tại các số nguyên s, g0 , g1 , . . . , gs , trong đó s ≥ 0, sao
s
s
n+i
n+i
A
A
cho Hq (n) =
gi , với n đủ lớn. Đặt Pq (n) =
gi . Ta
i
i
i=0
i=0
A
gọi Hq (n) là hàm Hilbert-Samuel của R-môđun Artin A và PqA (n) là đa thức
Hilbert-Samuel ứng với iđêan q . Với kết quả này, D. Kirby đã nhận xét rằng
sự tồn tại của đa thức Hilbert-Samuel của môđun Artin là một gợi ý để
định nghĩa các khái niệm chiều và số bội cho môđun Artin. Năm 1974, R.
N. Roberts [21] định nghĩa chiều Krull (kí hiệu là Kdim) cho môđun tùy ý

và đưa ra một số kết quả về chiều Krull này cho môđun Artin. Ông cũng
chỉ ra rằng chiều Kdim của môđun Artin A chính bằng bậc của đa thức
Hilbert-Samuel của A. Để tránh nhầm lẫn với khái niệm chiều Krull của các
môđun hữu hạn sinh, D. Kirby trong [11] đã đổi thuật ngữ của R. N. Roberts
9


thành chiều Noether. Sau đây, chúng tôi nhắc lại khái niệm chiều Noether
cho môđun Artin theo thuật ngữ của D. Kirby. Chú ý rằng chiều Noether có
thể định nghĩa cho một môđun tùy ý, không nhất thiết là môđun Artin.
Định nghĩa 1.2.2. Chiều Noether của một R-môđun Artin A, kí hiệu
bởi N-dimR A, được định nghĩa bằng quy nạp như sau. Nếu A = 0, thì
đặt N-dimR A = −1. Cho số nguyên s ≥ 0, ta đặt N-dimR A = s nếu

N-dimR A < s là sai và với mỗi dãy tăng các môđun con A0 ⊆ A1 ⊆ . . .
của A, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho N-dimR (An+1 /An ) < s với mọi

n ≥ n0 .
Như vậy N-dimR A = 0 khi và chỉ khi A = 0 và A là Noether. Bổ đề
sau cho ta tính chất của chiều Noether khi chuyển qua dãy khớp.
Bổ đề 1.2.3. Nếu 0 → A → A → A → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin
thì N-dimR A = max{N-dimR A , N-dimR A }.
Chứng minh. Ta có thể giả sử A là môđun con của A và A = A/A . Đặt

max{N-dimR A , N-dimR A } = d. Rõ ràng ta có
N-dimR A ≥ d.
Nếu d = −1 thì A , A = 0 và do đó A = 0. Suy ra N-dimR A = −1. Nếu

d = 0 thì A = 0 hoặc A = 0 và A , A là Noether. Do đó A = 0 cũng là
Noether. Suy ra N-dimR A = 0. Cho d > 0. Nếu N-dimR A < d thì

d ≤ N-dimR A < d,
vô lý. Lấy A0 ⊆ A1 ⊆ . . . là một dãy tăng các môđun con của A. Khi đó ta
có dãy tăng (A0 + A )/A ⊆ (A1 + A )/A ⊆ . . . các môđun con của A và
dãy tăng A0 ∩ A ⊆ A1 ∩ A ⊆ . . . các môđun con của A . Xét dãy khớp

0 → An+1 ∩ (An + A )/An → An+1 /An → An+1 /An+1 ∩ (An + A ) → 0.
10


Vì N-dimR A ≤ d nên tồn tại n0 sao cho với mọi n ≥ n0

N-dimR (An+1 /(An+1 ∩ (An + A )))
= N-dimR ((An+1 + An + A ) (An + A ))
= N-dimR ((An+1 + A ) (An + A ))
= N-dimR ((An+1 + A )/A ) ((An + A )/A ) < d − 1.
Vì N-dimR A ≤ d nên tồn tại n1 sao cho

N-dimR (An+1 ∩ (An + A )/An ) ≤ N-dimR (An+1 ∩ A An ∩ A ) < d − 1
với mọi n ≥ n1 . Do đó áp dụng giả thiết quy nạp cho dãy khớp trên ta có

N-dimR (An+1 /An ) < d − 1 với mọi n ≤ n2 , trong đó n2 = max{n0 , n1 }.
Theo định nghĩa chiều Noether ta suy ra N-dimR A = d.
Định lý sau đây chứng tỏ rằng chiều Noether của A là bậc của đa
thức Hilbert-Samuel của A, và cũng là số k bé nhất sao cho có k phần tử

x1 , . . . , xk ∈ m để

R (0 :A

(x1 , . . . , xk )R) < ∞. Đây là kết quả của R. N.

Roberts trong [21].
Ký hiệu 1.2.4. Với mỗi R-môđun Artin A, kí hiệu

t(A) = inf{t ∈ N | ∃x1 , . . . , xt ∈ m :

R (0 :A

(x1 , . . . , xt )R) < ∞}.

Nếu A = 0 thì ta đặt t(A) = −1.
Định lý 1.2.5. (Xem [21, Định lý 6])Với mỗi R-môđun Artin A ta có

N-dimR A = t(A) = deg HqA (n).
Hệ quả 1.2.6. Cho x ∈ m. Khi đó N-dimR (0 :A x) ≥ N-dimR A − 1.
Hơn nữa, nếu N-dimR A > 0 thì tồn tại x ∈ m để N-dimR (0 :A x) =

N-dimR A − 1.

11


Cho A là R-môđun Artin và r ∈ R, a ∈ A. Gọi (rn )n∈N là dãy Côsi
trong R đại diện cho lớp r. Vì Ra có độ dài hữu hạn nên tồn tại số tự nhiên

k sao cho mk a = 0. Chú ý rằng tồn tại n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi
m, n ≥ n0 . Suy ra rn a = rn0 a với mọi n ≥ n0 . Ta định nghĩa tích vô hướng
ra = rn0 a. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như R-môđun. Với cấu trúc này,
một môđun con của A xét như R-môđun khi và chỉ khi nó là môđun con của

A xét như R-môđun. Do đó A là R-môđun Artin. Hơn nữa, chiều Noether
của A trên R và R là như nhau.
Bổ đề 1.2.7. Với mỗi R-môđun Artin A ta có

N-dimR A = N-dimR A.
Kết quả sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa N-dim A và dim(R/ AnnR A).
Mệnh đề 1.2.8. (Xem [8, Mệnh đề 2.4])Các phát biểu sau là đúng.
(i) N-dimR A = 0 nếu và chỉ nếu dim(R/ AnnR A) = 0. Trong trường
hợp này A có độ dài hữu hạn và R/ AnnR A là vành Artin.
(ii) N-dimR A ≤ dim(R/ AnnR A).
Chứng minh. (i) Giả sử N-dimR A = 0. Suy ra A là R-môđun Noether và do
đó

R (A)

< ∞. Vì vậy, dim(R/ AnnR A) = 0.

Ngược lại, giả sử dim(R/ AnnR A) = 0. Khi đó

√

AnnR A = {m}. Vì

thế, tồn tại n ∈ N sao cho mn ⊆ AnnR A. Suy ra mn A = 0. Vì thế ta có dãy

A ⊇ mA ⊇ m2 A ⊇ . . . ⊇ mn−1 A ⊇ mn A = 0.
Chú ý rằng với mọi i ta có m(mi A/mi+1 A) = 0. Vì thế mi A/mi+1 A có cấu
trúc R/m-môđun Artin, và do đó mi A/mi+1 A là R/m-không gian véctơ hữu
hạn chiều. Suy ra

i
i+1
A)
R (m A/m

= dimR/m (mi A/mi+1 A) < ∞ với mọi

12


n−1

i. Vì thế

R (A)

i
i+1
A)
R (m A/m

=

< ∞. Suy ra A Noether và do đó

i=0

N-dim A = 0.
(ii) Ta chứng minh điều này bằng quy nạp theo t = dim(R/ AnnR A).

Nếu t = 0 thì theo (i) ta có N-dimR A = 0. Cho t > 0. Gọi p1 , . . . , pk là
tất cả các iđêan nguyên tố của AttR (A) sao cho t = dim(R/ pi ). Chú ý
rằng SuppR (A) ⊆ {m}. Vì t > 0 nên các iđêan nguyên tố pi = m, với mọi

i = 1, . . . , k. Do đó dim(0 :A x) ≤ t − 1. Theo giả thiết quy nạp ta có
N-dimR (0 :A x) ≤ t − 1. Vì thế theo Hệ quả 1.2.6 ta có N-dimR A ≤ t.
Chú ý rằng tồn tại A sao cho N-dimR A < dim(R/ AnnR A) (xem
Chương 2, Ví dụ 2.2.2). Vì vậy một câu hỏi tự nhiên là với điều kiện nào của
vành R hoặc của môđun Artin A ta có N-dimR A = dim(R/ AnnR A)?
Hệ quả 1.2.9. (Xem [8, Hệ quả 2.5]) Nếu (R, m) là vành địa phương đầy đủ
thì

N-dimR A = dim(R/ AnnR A).
Cũng trong [8], các tác giả đã đưa ra điều kiện cho môđun Artin A để
chiều Noether và chiều Krull của vành R/ AnnR A bằng nhau. Điều kiện đó
là A thoả mãn tính chất (∗).
Định nghĩa 1.2.10. (Xem [8, Định nghĩa 4.2]) Một R-môđun Artin A
được gọi là thoả mãn tính chất (∗) nếu AnnR (0 :A p) = p với mọi p ∈

Var(AnnR A).
Mệnh đề 1.2.11. Nếu A thoả mãn tính chất (∗) thì

N-dimR A = dim(R/ AnnR A) = dim(R/ AnnR A).

13


1.3. Số bội cho môđun Artin
Lý thuyết bội cho các môđun Noether đóng vai trò rất quan trọng
trong đại số giao hoán và hình học đại số. Mục tiêu của tiết này là trình bày

khái niệm và một số kết quả về số bội cho môđun Artin. Luôn giả thiết A là

R-môđun Artin với N-dimR A = s. Định lý 1.2.5 dẫn chúng ta tới các khái
niệm sau đây.
Định nghĩa 1.3.1. Một hệ x = (x1 , . . . , xk ) các phần tử trong m được gọi
là một hệ bội của A nếu (0 :A xR) < ∞. Một hệ bội x = (x1 , . . . , xk ) của A
được gọi là hệ tham số của A nếu k = s. Hệ các phần tử (x1 , . . . , xi ) trong
m với i ≤ s được gọi là một phần hệ tham số của A nếu chúng ta có thể bổ
sung được s − i phần tử xi+1 , . . . , xs trong m sao cho (x1 , . . . , xk ) là một hệ
tham số của A.
Ta có thể dễ dàng suy ra từ Định lý 1.2.5 rằng một hệ các phần tử

(x1 , . . . , xi ) trong m là một hệ tham số của A khi và chỉ khi
N-dim(0 :A (x1 , . . . , xi )R) = s − i.
Mệnh đề 1.3.2. (Xem [7, 2.10, 2.11]). Các phát biểu sau là đúng.
(i) Mỗi hệ bội của A là hệ bội của mọi môđun con của nó.
(ii) Nếu (x1 , . . . , xk ) là một hệ bội của A và xi A = 0 với một số i nào
đó thì x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xk cũng là một hệ bội của A.
(iii) Nếu 0 → A → A → A → 0 là một dãy khớp các R-môđun Artin
thì x là một hệ bội của A nếu và chỉ nếu nó là một hệ bội của A và A .
Định nghĩa 1.3.3. Giả sử x = (x1 , . . . , xk ) là một hệ bội của A. Bội hình
thức của A tương ứng với hệ bội x, kí hiệu là e (x, A), được định nghĩa bằng
quy nạp như sau: Với k = 0, nghĩa là
14

R (A)

< ∞, ta đặt e (∅, A) =

R (A).

Với k > 0, theo Mệnh đề 1.3.2 thì y = (x2 , . . . , xk ) là một hệ bội của

(0 :A x1 R) và A/x1 A. Do đó theo giả thiết quy nạp, ta có các số e (y; (0 :A
x1 R)), e (y; A/x1 A) đã được định nghĩa. Vì thế ta đặt
e (x, A) = e (y; (0 :A x1 R)) − e (y; A/x1 A).
Mệnh đề 1.3.4. Các phát biểu sau là đúng.
(i) Nếu x = (x1 , . . . , xk ) là một hệ bội của A thì e (x, A) > 0 nếu và
chỉ nếu k = s = N-dimR A.



n+i

gi là
(ii) Giả sử x là một hệ tham số của A và PqA (n) =
i
i=0
s

đa thức Hilbert-Samuel của A. Khi đó e (x, A) = gs .
Cho q là iđêan của R sao cho (0 :A q) < ∞. Dựa vào kết quả về đa thức
Hilbert-Samuel của D. Kirby ta có thể định nghĩa số bội của môđun Artin A
ứng với iđêan q như sau. Theo Định lý 1.2.1, tồn tại đa thức PqA (n) bậc s sao
cho với n đủ lớn ta có HqA (n) = PqA (n), trong đó HqA (n) = (0 :A qn+1 ). Chú
ý rằng, theo Mệnh đề 1.3.2, tồn tại các số e0 (q, A) > 0; e1 (q, A), . . . , es (q, A)
sao cho

PqA (n) = e0 (q, A)

n+s
n+s−1
+ e1 (q, A)
+ . . . + es (q, A).
s
s−1

Hệ số e0 (q, A) gọi là số bội của A ứng với iđêan q . Nếu x = (x1 , . . . , xs ) là
hệ tham số của A và q = (x1 , . . . , xs ) thì e0 (q, A) = e (x, A).

15


Chương 2

Môđun đối đồng điều địa phương với
giá cực đại
Mục tiêu của chương này là trình bày một số kết quả về tính Artin,
chiều, tập iđêan nguyên tố gắn kết và công thức liên kết cho số bội của môđun
đối đồng điều địa phương với giá cực đại. Nội dung được tham khảo trong
các bài báo [3], [17], [18], [19].

2.1. Tính Artin
Lý thuyết môđun đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên
bởi A. Grothendieck vào những năm 1960 và nhanh chóng phát triển, được
nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Ngày nay lý thuyết đối đồng điều
địa phương đã trở thành công cụ không thể thiếu trong nhiều lĩnh vực khác
nhau của toán học như Đại số giao hoán, Hình học đại số, Đại số tổ hợp, . . .
Mục tiêu của tiết này là trình bày tính Artin của môđun đối đồng điều địa

phương. Trước hết ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương
và ba tính chất cơ bản của môđun này là tính độc lập với vành cơ sở, tính
chất chuyển phẳng cơ sở và tính triệt tiêu.

16


Định nghĩa 2.1.1. (Xem [2, Định nghĩa 1.1.1]) Cho I là iđêan của R. Với
mỗi R-môđun M, đặt

(0 :M I n ).

ΓI (M ) =

n≥0

Nếu f : M → N là đồng cấu các R-môđun thì f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ). Do đó
ta có đồng cấu ΓI (f ) : ΓI (M ) → ΓI (N ) xác định bởi ΓI (f )(x) = f (x) với
mỗi x ∈ ΓI (M ). Khi đó ΓI (•) là hàm tử hiệp biến, khớp trái trên phạm trù
các R-môđun và được gọi là hàm tử I -xoắn.
Định nghĩa 2.1.2. (Xem [2, Định nghĩa 1.2.1]) Với mỗi số nguyên i ≥ 0,
hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I -xoắn được gọi là hàm tử đối đồng
điều địa phương thứ i đối với I và được kí hiệu là HIi (•). Kết quả của tác
động HIi (•) vào R-môđun M được kí hiệu là HIi (M ) và được gọi là môđun
đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với giá I .
Để xác định HIi (M ) ta làm như sau: Lấy một giải nội xạ của M
d−1

d0

di

I • : 0 −−→ I 0 −
→ I1 → . . . → Ii −
→ I i+1 → . . .
Khi đó, có một R-đồng cấu α : M → I 0 sao cho dãy sau là khớp.
α

d0

di

0→M →
− I0 −
→ I1 → . . . → Ii −
→ I i+1 → . . .
Tác động hàm tử ΓI vào phức I • ta được phức mới
ΓI (d0 )

ΓI (di )

0 → ΓI (I 0 ) −−−→ ΓI (I 1 ) → . . . → ΓI (I i ) −−−→ ΓI (I i+1 ) → . . .
Khi đó môđun thương Ker ΓI (di )/ Im ΓI (di−1 ) không phụ thuộc vào việc chọn
giải nội xạ I • của M và môđun này chính là HIi (M ).
Chú ý rằng hàm tử HIi (•) là hiệp biến, tuyến tính và HI0 (M ) ∼
= ΓI (M ).
√
√
Hơn nữa, nếu I, J là các iđêan của R sao cho I = J thì HIi (M ) = HJi (M ).
Nếu f : R → R là một đồng cấu vành và N là R -môđun thì N cũng

là R-môđun cảm sinh bởi f với phép nhân vô hướng được định nghĩa bởi
17


rn := f (r)n, trong đó r ∈ R, n ∈ N. Với phép nhân vô hướng này, ta luôn
i
(N ) và HIi (N ), trong đó IR là iđêan của
xác định được các R-môđun HIR

R sinh bởi f (I). Khi đó việc tính môđun đối đồng điều địa phương thứ i
của N trên R và trên R là như nhau. Tính chất này được gọi là tính độc lập
với vành cơ sở.
Định lý 2.1.3. (Xem [2, Định lý 4.2.1]) Cho f : R → R là một đồng cấu
vành, N là R -môđun và I là một iđêan của R. Khi đó với mọi i ≥ 0 ta có
đẳng cấu H i (N ) ∼
= H i (N ) các R-môđun.
IR

I

Khi f : R → R là đồng cấu phẳng, ta có tính chất cơ bản sau của
môđun đối đồng điều địa phương, được gọi là tính chất chuyển phẳng cơ sở.
Định lý 2.1.4. (Xem [2, Định lý 4.3.2]) Giả sử đồng cấu vành R → R là
đồng cấu phẳng, I là iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó, với mọi i ≥ 0
ta có R -đẳng cấu
i
HIi (M ) ⊗R R ∼
(M ⊗R R ).
= HIR

Một trong những tính chất quan trọng có nhiều ứng dụng là tính triệt
tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.
Định lý 2.1.5. (Xem [2, Định lý 6.1.2])(Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu
của A. Grothendieck) Cho I là iđêan của R, M là R-môđun hữu hạn sinh.
Khi đó các khẳng định sau là đúng.
(i) HIi (M ) = 0 với mọi i > dim(M ).
(ii) Nếu M = 0 thì d = max{i | HIi (M ) = 0}.
(iii) Nếu M = 0 thì depth(I, M ) = min{i | HIi (M ) = 0}.
Chú ý rằng môđun đối đồng điều địa phương của môđun hữu hạn sinh
nhìn chung không Artin. Vì thế, hai kết quả sau về tính Artin của môđun
18


đối đồng điều địa phương chứng minh bởi I. G. Macdonald và R. Y. Sharp
rất được quan tâm.
Định lý 2.1.6. (Xem [2, Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6]) Các khẳng định sau
là đúng.
(i) Hmi (M ) là R-môđun Artin với mọi số nguyên i ≥ 0.
(ii) HId (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R.
Chứng minh. (i) Ta chứng minh Định lý bằng quy nạp theo i. Vì M là Rmôđun hữu hạn sinh nên Γm (M ) là R-môđun hữu hạn sinh. Do đó tồn tại

n ∈ N sao cho mn Γm (M ) = 0. Suy ra Hm0 (M ) là Artin. Vậy khẳng định đúng
với i = 0.
Giả sử i > 0 và ta đã chứng minh được Hmi−1 (N ) là R-môđun Artin
với mọi R-môđun hữu hạn sinh N . Chú ý rằng theo [2, Hệ quả 2.1.7(iii)] ta
có R-đẳng cấu

Hmi (M ) ∼
= Hmi (M/Γm (M )).
Hơn nữa, theo [2, Bổ đề 2.1.2], M/Γm (M ) là R-môđun m-xoắn tự do. Vì thế

ta có thể giả thiết thêm M là R-môđun m-xoắn tự do.
Áp dụng [2, Bổ đề 2.1.1(ii)] suy ra m chứa một phần tử r là M -chính
quy. Dãy khớp
r

0→M →
− M → M/rM → 0
cảm sinh ra dãy khớp
f

r

Hmi−1 (M/rM ) →
− Hmi (M ) →
− Hmi (M )
các môđun đối đồng điều địa phương. Vì M/rM là môđun hữu hạn sinh nên
theo giả thiết quy nạp Hmi−1 (M/rM ) là Artin. Chú ý rằng từ dãy khớp trên
ta có

Hmi−1 (M/rM )/ Ker f ∼
= Im f = (0 :Hmi (M ) r).

19


Suy ra (0 :Hmi (M ) r) là R-môđun Artin. Vì Hmi (M ) là m-xoắn nên nó cũng là

Rr-xoắn. Theo [2, Định lý 7.1.2] ta có Hmi (M ) là Artin.
(ii) Ta chứng minh Định lý bằng quy nạp theo d. Nếu d = 0 thì M là

R-môđun m-nguyên sơ. Vì thế tồn tại t ∈ N sao cho mt M = 0. Do ΓI (M )
là R-môđun con của M nên mt ΓI (M ) = 0. Vì thế HI0 (M ) = ΓI (M ) là

R-môđun Artin.
Giả sử d > 0 và ta đã chứng minh được HIdimR N (N ) là Artin, với
mọi R-môđun N khác không, hữu hạn sinh có chiều nhỏ hơn d. Theo [2,
Hệ quả 2.1.7(iii)], H d (M ) ∼
= H d (M/ΓI (M )). Suy ra nếu dim M/ΓI (M ) < d
I

I

thì HId (M/ΓI (M )) = 0 theo Định lý triệt tiêu Grothendick 2.1.5(i). Vì thế

HId (M ) = 0 và do đó là Artin. Vì M/ΓI (M ) là I -xoắn tự do theo [2, Bổ đề
2.1.2] nên ta có thể giả thiết thêm M là R-môđun I -xoắn tự do.
Tiếp theo ta lập luận tương tự như trong chứng minh 2.1.6(i). Theo
[2, Bổ đề 2.1.1(ii)], iđêan I chứa phần tử M -chính quy là r và ta cũng có dãy
khớp
r

HId−1 (M/rM ) → HId (M ) →
− HId (M ).
Vì r là M -chính quy nên r ∈
/ q với mọi q ∈ AssR M. Giả sử p ∈ AssR M
thỏa mãn dim(R/ p) = d. Khi đó p không chứa AnnR (M/rM ). Vì thế

dim(M/rM ) ≤ d − 1. Theo giả thiết quy nạp HId−1 (M/rM ) là Artin và
do đó áp dụng vào dãy khớp trên ta suy ra (0 :HId (M ) r) là Artin. Vì HId (M )
là Rr-xoắn nên theo [2, Định lý 7.1.2], môđun HId (M ) là R-môđun Artin.

Khi vành cơ sở là vành Gorenstein, đối ngẫu Matlis và đối ngẫu địa
phương là những công cụ quan trọng để nghiên cứu đối đồng điều địa phương.
Nhắc lại rằng vành R được gọi là vành Gorenstein địa phương nếu R có chiều
nội xạ hữu hạn, tức là R có một giải nội xạ trong đó chỉ có hữu hạn môđun
nội xạ khác 0. Ta gọi D(N ) := HomR (N, E(R/m)) là đối ngẫu Matlis của
20