TRẮC NGHIỆM HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐẠI SỐ 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

HÀM SỐ VÀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
A – LÝ THUYẾT CHUNG
CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
I. CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
2
2

sin x  1  cos x
 sin 2 x  cos 2 x  1   2
2

cos x  1  sin x
1
1
 1  tan 2 x  tan 2 x 
1

2
cos x

cos 2 x
1
1
 1  cot 2 x  cot 2 x  2  1

2
sin x
sin x
1
 tan x.cot x  1  cot x 
tan x
4
4
2
2

sin x  cos x  1  2sin x cos x
  6
6
2
2

sin x  cos x  1  3sin x cos x
3
3

sin x  cos x   sin x  cos x 1  sin x cos x 
  3
3


sin x  cos x   sin x  cos x 1  sin x cos x 
II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
Góc I
Góc II
Góc III
+
+
sin x

+
cos x


tan x
+
+

cot x
+
+

III. MỐI QUAN HỆ CỦA CÁC CUNG LƢỢNG GIÁC ĐẶC BIỆT
 Hai cung đối nhau
sin   x    sin x
cos   x   cos x
 Hai cung bù nhau
sin   x   sin x

+




cos   x    cos x
cot   x    cot x

tan   x    tan x
 Hai cung phụ nhau


sin   x   cos x
2



tan   x   cot x
2

 Hai cung hơn nhau 
sin   x    sin x



cos   x   sin x
2



cot   x   tan x
2


cos   x    cos x
cot   x   cot x

tan   x   tan x



sin   x   cos x
2




cot   x    cot x

tan   x    tan x

 Hai cung hơn nhau

Góc IV


2



cos   x    sin x
2


Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A



tan   x    cot x
2

 Với k là số nguyên thì ta có:
sin  x  k 2   sin x

Lượng giác Nâng Cao



cot   x    cot x
2

cos  x  k 2   cos x

tan  x  k   tan x cot  x  k   cot x
IV. CÔNG THỨC CỘNG
sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y

sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y

cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y

cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y

tan  x  y  

tan x  tan y
1  tan x tan y

tan  x  y  

tan x  tan y
1  tan x tan y

Đặc biệt:

sin 2 x  2sin x cos x

TH1: Công thức góc nhân đôi: cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x

2 tan x
 tan 2 x 
1  tan 2 x

1  cos 2 x
1  cos 2 x
;cos 2 x 
Hệ quả: Công thức hạ bậc 2: sin 2 x 
2
2
3


sin 3x  3sin x  4sin x
TH2: Công thức góc nhân ba: 
3

cos 3x  4 cos x  3cos x
V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG SANG TÍCH VÀ TÍCH SANG TỔNG
1
x y
x y
cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y  
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
2
1
x y
x y
sin x sin y   cos  x  y   cos  x  y  
cos x  cos y  2sin
cos
2
2
2
1
x y
x y
sin x cos y  sin  x  y   sin  x  y  
sin x  sin y  2sin

cos
2
2
2
1
x y
x y
cos x sin y  sin  x  y   sin  x  y  
sin x  sin y  2 cos
sin
2
2
2
Chú ý:




 sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
4
4






 sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x  
4
4



u  v  k 2
u  v  2k
 sin u  sin v  
 cos u  cos v  
u  v  k 2
u    v  k 2
u  v  k

 tan u  tan v  

u   k


2
Đặc biệt:

u  v  k
 cot u  cot v  
u  k

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

sin x  0  x  k

sin x  1  x 


2

cos x  0  x 

 k 2

sin x  1  x  


2

 k 2


2

Lượng giác Nâng Cao

 k

cos x  1  x  k 2

cos x  1  x    k 2

Chú ý:
 Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x  m và cos x  m là: 1  m  1
 Sử dụng thành thạo câu thần chú “Cos đối – Sin bù – Phụ chéo” để đưa các phương trình dạng sau

về phương trình cơ bản:




sin u  cos v  sin u  sin   v 
cos u  sin v  cos u  cos   v 
2
2



sin u   sin v  sin u  sin  v 

cos u   cos v  cos u  cos   v 

cos 2 x  1 cos x  1
 Đối với phương trình  2
không nên giải trực tiếp vì khi đó phải giải 4

sin x  1
sin x  1
phương trình cơ bản thành phần, khi đó việc kết hợp nghiệm sẽ rất khó khăn. Ta nên dựa vào công
cos 2 x  1 sin x  0
thức sin 2 x  cos2 x  1 để biến đổi như sau:  2

 sin 2 x  0
cos x  0
sin x  1

1
 2
cos
x

2

2   2 cos x  1  0  cos 2 x  0
 Tương tự đối với phương trình 

2
sin 2 x  1
1  2sin x  0

2
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
1. Hàm số sin
Hàm số y  sin x xác định trên
nhận giá trị trên  1;1 và:



Là hàm số lẻ vì sin   x    sin x , x 

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y  sin x nhận các giá trị đặc biệt
 sin x  0 khi x  k , k 

 sin x  1 khi x   k 2 , k 
2


 sin x  1 khi x    k 2 , k 
2
Đồ thị hàm số y  sin x :

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
2. Hàm số côsin
Hàm số y  cos x xác định trên


Lượng giác Nâng Cao

, nhận giá trị trên  1;1 và:

Là hàm số chẵn vì cos   x   cos x , x 

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2
Hàm số y  cos x nhận các giá trị đặc biệt:

 cos x  0 khi x   k , k 
2
 cos x  1 khi x  k 2 , k 
 cos x  1 khi x    k 2 , k 
Đồ thị hàm số y  cos x :

3. Hàm số tang

sin x
Hàm số y  tan x 
xác định trên
cos x



/   k , k   , nhận giá trị trên
2



 Là hàm số lẻ vì tan   x    tan x , x  /   k , k  
2

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 
Hàm số y  tan x nhận giá trị đặc biệt
 tan x  0 khi x  k , k 

 tan x  1 khi x   k , k 
4

 tan x  1 khi x    k , k 
4
Đồ thị hàm số y  tan x :

4. Hàm số cô tang
cos x
Hàm số y  cot x 
xác định trên \ k , k   , nhận giá trị trên

sin x
 Là hàm số lẻ vì: cot   x    cot x , x  \ k , k  

và:

và:

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 
Hàm số y  cot x nhận các giá trị đặc biệt

 cot x  0 khi x   k , k 
2

 cot x  1 khi x   k , k 
4

 cot x  1 khi x    k , k 
4
Đồ thị hàm số y  cot x :

MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
DẠNG 1. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

1. Phƣơng trình sin x  a 1


a  1 : Phương trình vô nghiệm



a  1 : Gọi  là một cung sao cho sin   a . Khi đó 1  sin x  sin  và 1 có các nghiệm

x    k 2 , k 
Chú ý:



và x      k 2 , k 



và sin   a thì ta viết   arcsin a
2
2
 Phương trình sin x  sin  có các nghiệm:
 Khi 

 

x    k 360 , k  và x  180    360 , k 
 Trong một công thức nghiệm của phương trình lượng giác, hông dùng đồng thời hai đơn vị độ
và radian.
2. Phƣơng trình cos x  a 1



a  1 : Phương trình  2  vô nghiệm



a  1 : Gọi  là một cung sao cho cos  a . Khi đó  2   cos x  cos  vì  2  có các
nghiệm : x    k 2 , k 

Chú ý:
 Khi 0     và cos  a thì ta viết   arccosa
 Phương trình cos x  cos  có các nghiệm x    k 360 , k 
3. Phƣơng trình tan x  a  3 


Phương trình  3  xác định khi x 



a 
x    k , k  .



 k , k 
2
, tồn tại cung  sao cho tan   a . Khi đó  3  tan x  tan  và  3  có nghiệm

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 6

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Chú ý:



Lượng giác Nâng Cao



và tan   a thì ta viết   arctan a
2
2
 Phương trình tan x  tan  có các nghiệm x    k180 , k 
 Khi 

 

4. Phƣơng trình cot x    4 


Phương trình  4  xác định khi x  k , k 



a  , tồn tại cung  sao cho cot   a . Khi đó  4   cot x  cot  và  4  có nghiệm
x    k . k 

Chú ý:

 Khi 0     và cot   a thì ta viết   arc cot a
 Phương trình cot x  cot  có các nghiệm x    k180 , k 
DẠNG 2. PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phƣơng trình: a sin x  b cos x  c
 Cách giải: Chia hai vế phương trình cho a 2  b 2
a
b
c

sin x 
cos x 
2
2
2
2
2
a b
a b
a  b2
a
b
c
 cos  ,
x?
 sin  . Khi đó PT  sin  x    
C1: Đặt
2
2
2
2

2
a b
a b
a  b2
a
b
c
 sin  ,
 cos  . Khi đó PT  cos  x    
x?
C2: Đặt
a 2  b2
a 2  b2
a 2  b2
 Điều kiện có nghiệm của phương trình: a2  b2  c2
 Chú ý: Khi phương trình có a  c hoặc b  c thì dùng công thức góc nhân đôi và sử dụng phép
nhóm nhân tử chung.
DẠNG 3. PHƢƠNG TRÌNH THUẦN BẬC HAI VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phƣơng trình: a sin 2 x  b sin x cos x  c.cos2 x  d  0
 Cách giải:
Cách 1:
+ Xét cos x  0 có là nghiệm phương trình không?
+ Xét cos x  0 , chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:
a tan 2 x  b tan x  c  d 1  tan 2 x   0  tan x  x
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất với sin 2x và cos 2x (dạng 1)
DẠNG 4. PHƢƠNG TRÌNH BẬC BA VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phƣơng trình:
a sin3 x  b cos3 x  c sin 2 x cos x  d cos2 x sin x  e sin x  f cos x  0
 Cách giải:
+ Xét cos x  0 có là nghiệm phương trình không?

1
 1  tan 2 x
+ Xét cos x  0 , chia hai vế phương trình cho cos3 x với chú ý:
cos 2 x
DẠNG 5. PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX
 Dạng phƣơng trình:
f  sin x  cos x,sin x cos x   0
 Cách giải:
+ Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x 

t 2 1
2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

1 t2
+ Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x 
. Đưa về phương trình ẩn t.
2


Chú ý: Nếu t  sin x  cos x  2 sin  x   thì  2  t  2
4


DẠNG 6. PHƢƠNG TRÌNH DẠNG THUẬN NGHỊCH
 Dạng phƣơng trình:


k2 
k 
A  f 2  x   2
  B  f  x  
  C  0 , với f  x   sin x, cos x (1)
f  x 
f  x  


hoặc A  a 2 tan 2 x  b 2 cot 2 x   B  a tan x  b cot x   C  0 (2).
 Cách giải:

 Đối với phương trình (1): Đặt t  f  x  

k

f  x
 Đối với phương trình (2): Đặt t  a tan x  b cot x

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

B – BÀI TẬP
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC
Câu 1:

1
A. m  1; M  .
2
Câu 2:

B. m  1; M  2.

Hàm số y  tan x  cot x 

1
1

không xác định trong khoảng nào trong các khoảng
sin x cos x

sau đây?



A.  k 2 ;  k 2  .
2






C.   k 2 ;   k 2  .
2

Câu 3:

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

sin x  cos x
lần lượt là:
2sin x  cos x  3
1
C. m   ; M  1.
D. m  1; M  2.
2

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 

3


B.    k 2 ;

 k 2  .
2



D.   k 2 ; 2  k 2  .



Tìm tập xác định D của hàm số y  5  2 cot 2 x  sin x  cot   x  .
2

 k
 k


A. D  \  , k   .
B. D  \ 
,k   .
 2
 2


C. D  .
D. D  \ k , k   .

Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
1





A. y 
.
B. y  sin  x   .
C. y  2 cos  x   .D. y  sin 2 x .
2
sin x
4
4


Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một

hàm số y  4sin
 t  60   10 , với t  Z và 0  t  365 . Vào ngày nào trong năm thì
178
thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?.
A. 28 tháng 5 .
B. 29 tháng 5 .
C. 30 tháng 5 .
D. 31 tháng 5 .
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước
trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

 t
h  3cos 
   12 . Mực nước của kênh cao nhất khi:
7 8 4 
A. t  13 (giờ).

B. t  14 (giờ).
C. t  15 (giờ).
D. t  16 (giờ).
2
3 1  tan x
Hàm số y  4cot 2 2 x 
đạt giá trị nhỏ nhất là
tan x
A. 0 .
B. 3  2 3 .
C. 2  2 2 .
D. 1 .


Hàm số y  2 cos x  sin  x   đạt giá trị lớn nhất là
4






A. 5  2 2 .
B. 5  2 2 .
C. 5  2 2 .
4
4
Câu 9: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x  cos x  sin x cos x là
5
9

A. .
B. .
C. 1 .
8
4
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x cos x  cos x sin x là
A. 0 .

B.

2.

C.

4

2.

D.

D.

D.

52 2 .
4
.
3

6.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 11: Hàm số y 
A. 1.

Lượng giác Nâng Cao

2sin 2 x  cos 2 x
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
sin 2 x  cos 2 x  3
B. 2.
C. 3.

D. 4.

Câu 12: Cho hàm số h  x   sin x  cos x  2m sin x.cos x .Tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là
1
1
1
1
1
A.   m  .
B. 0  m  .
C.   m  0 .
D. m  .

2
2
2
2
2
3x
Câu 13: Tìm m để hàm số y 
xác định trên .
2
2sin x  m sin x  1
4

4




D. m  2


2 .

B. m  2 2; 2 2 .

A. m  [  2 2; 2 2] .

 



C. m  ; 2 2  2 2;  .

2; 2

1
1
5  2sin 2 x
Câu 14: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y  1  cos 2 x 
2
2
11
22
5
A. 1 
.
B.
.
C.
.
D. 1  5 .
2
2
2
1
1
 

Câu 15: Cho hàm số y 
với x   0;  . Kết luận nào sau đây là đúng?
2  cos x 1  cos x

 2


4
2
A. min y  khi x   k , k  T
B. min y  khi x 
3
3
3
3
 
 
0;
0;







2

C. min y 
 
 0; 
 2



2
khi x   k 2 , k 
3
3

Câu 16: Cho x, y, z  0 và x  y  z 


2

D. min y 
 
 0; 
 2


4
khi x  .
3
3



. Tìm giá trị lớn nhất của
2
y  1  tan x.tan y  1  tan y.tan z  1  tan z.tan x

A. ymax  1  2 2 .

B. ymax  3 3 .

D. ymax  2 3 .

C. ymax  4 .

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC





Câu 17: Hỏi trên đoạn  2017; 2017  , phương trình  sin x  1 sin x  2  0 có tất cả bao nhiêu
nghiệm?
A. 4034.

B. 4035.

C. 641.

D. 642.


3

Câu 18: Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin  3x   
4 2

bằng:
A.


.
9

B. 


.
6

C.


.
6

D. 

6
6
Câu 19: Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình sin x  cos x 


.
9

7
là:
16

5

7

,
B. .
C.
.
D. .
6
6
2
6
2
2
Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos x  sin 2 x  2  sin x trên khoảng  0; 2  .

A.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

11
21
7

3
.
.
.
.
B. T 
C. T 
D. T 
4
8
8
4
Câu 21: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất x0 của 3sin 3x  3 cos9 x  1  4sin 3 3 x.
A. T 

A. x0 



2

.

B. x0 



18

C. x0 

.



24

.

D. x0 



54

.

 
Câu 22: Số nghiệm của phương trình sin 5x  3 cos5x  2sin 7 x trên khoảng  0;  là?
 2
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.




Câu 23: Giải phương trình 3 cos  x    sin  x    2sin 2 x.
2

2


7
5


 x  6  k 2
 x  6  k 2
A. 
B. 
, k .
, k .
 x     k 2
 x    k 2


18
18
3
3

5
2


 x  18  k 3
 x  6  k 2
C. 
D. 

, k .
, k .
7


2

x    k
x 
 k 2


6
18
3
Câu 24: Gọi x0 là nghiệm âm lớn nhất của sin9 x  3 cos7 x  sin 7 x  3 cos9 x . Mệnh đề nào sau
đây là đúng?

  
 
  
  
A. x0    ; 0  .
B. x0    ;   . C. x0    ;   .
D. x0    ;   .
 12 
 6 12 
 3 6
 2 3
Câu 25: Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2 x  3sin 2 x  3sin x  cos x  2. Mệnh đề nào

sau đây là đúng?
  
  
  
  
A. x0   0;  .
B. x0   ;  .
C. x0   ;  .
D. x0   ;  .
 6 3
 3 2
12 6 
 12 
Câu 26: Gọi a, b lần lượt là nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình
cos x  sin 2 x
 3 , ta có:
2 cos 2 x  s inx  1
11 2
11 2
2
A. ab  0 .
B. ab 
.
C. ab  
.
D. ab  
.
36
6
6

3
1

Câu 27: Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình 8sin x 
ở cung phần tư thứ I và
cos x sin x
thứ III của đường tròn lượng giác là:
A. 2 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 8 .
1
 3  1 cot x  3  1  0 trên  0;   là?
Câu 28: Số nghiệm của phương trình
sin 2 x
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 29: Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình 2cos 2 x  2cos x  2  0 trên đoạn
 0;3  .



A. T 

17
.
4

B. T  2 .





C. T  4 .



D. T  6 .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao




 5
Câu 30: Số nghiệm của phương trình cos 2  x    4 cos   x   thuộc  0; 2  là?
3

6
 2
A. 1.

B. 2.
C. 3.
D. 4.
x
x
Câu 31: Tổng các nghiệm thuộc khoảng  0; 2018  của phương trình sin 4  cos 4  1  2sin x là:
2
2
A. 207046 .
B. 206403 .
C. 205761 .
D. 204603 .
 
Câu 32: Phương trình 3sin 3x  3 cos9 x  2cos x  4sin3 3x có số nghiệm trên  0;  là:
 2
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
2
2
2
2
Câu 33: Phương trình sin 3x  cos 4 x  sin 5x  cos 6 x không phải là phương trình hệ quả của
phương trình nào sau đây?
A. sin x  0 .
B. cos x  0 .
C. sin 9 x  0 .
D. cos 2 x  0 .
5 

7 


Câu 34: Phương trình sin  2 x 
  3cos  x 
  1  2sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc
2 
2 




 ;3  ?
2

A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 7 .
Câu 35: Phương trình sin x  4cos x  2  sin 2 x có số nghiệm trên  0; 2  là:
A. 0.

C. 2.

B. 1.

D. 4.

Câu 36: Phương trình  2sin x  1 4 cos 4 x  2sin x   4 cos3 x  3 nhận các giá trị x  arccos m  k

(k  ) làm nghiệm thì giá trị m là:
A. m 

1
.
4

1
B.  .
4

C. m 

1
16

D. m  

1
.
16

sin 5 x
 1 có số nghiệm là:
5sin x
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
2

2
Câu 38: Phương trình 3cot x  2 2 sin x  (2  3 2) cos x có các nghiệm dạng
Câu 37: Phương trình

x    k 2 ; x    k 2 , k  Z , 0   ,  

2
A.
12


2

thì  . bằng:

7
C.
12

2
B. 12

D.

2
12 2

1
1
1



có tổng các nghiệm trên (0;  ) là:
cos x sin 2 x sin 4 x
2


A.
B.
C.
D. 
3
6
6
sin 2 x  2cos x  sin x  1
 0 có bao nhiêu nghiệm trên (0;3 ) ?
Câu 40: Phương trình
tan x  3
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 39: Phương trình



(1  sin x  cos 2 x)sin( x  )
4  1 cos x có các nghiệm dạng
Câu 41: Phương trình
1  tan x

2
x    k 2 ; x    k 2 ,   ; k  Z ,    ,    thì  2   2 là:

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 12


2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

13 2
15 2
35 2
B.
C.
D.
18
18
36
4
4
sin 2 x  cos 2 x
Câu 42: Phương trình
 cos 4 x 1 có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường





tan   x  tan   x 
4

4

tròn lượng giác là:
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

2
A.
36

2

x
x

Câu 43: Phương trình  sin  cos   3 cos x  2 có nghiệm dương nhỏ nhất là a và nghiệm âm
2
2

lớn nhất là b thì a  b là:

A.  .

B.


.
2


.
3
 3

D. 

C.


.
3

 

Câu 44: Phương trình cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3 x     0 có tổng 2 nghiệm âm lớn
4 
4 2

nhất liên tiếp là:
3
5

A. 

.
B.  .
C.  .
D. 
.
2
2
2
cos 2 x  cos3 x  1
Câu 45: Phương trình cos 2 x  tan 2 x 
có bao nhiêu nghiệm trên 1;70  ?
cos 2 x
A. 32 .
B. 33 .
C. 34 .
D. 35 .
Câu 46: Phương trình cos x  cos3x  2cos5x  0 có các nghiệm là x 

Câu 47:

Câu 48:

Câu 49:

Câu 50:

Câu 51:

Câu 52:



2

 k và

1
x   arc cos m  k . Giá trị của m là:
2
1  17
1  17
1  17
1  17
A. m 
.
B. m 
.
C. m 
.
D. m 
.
16
8
16
8
Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình sin 3x  sin x  sin 2 x  0 trên đường tròn lượng
giác là:
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .

D. 5 .
 1

Phương trình sin 4 x  cos 4  x    có bao nghiêu nghiệm trên  2 ;3  ?
4 4

A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
3
Tổng 2 nghiệm âm liên tiếp lớn nhất của phương trình 4sin x  sin x  cos x  0 bằng:
5
5
5
A.
.
B. 
.
C. 
.
D.  .
2
2
4
Phương trình 1  3tan x  2sin 2 x có số điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác
là:
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .

D. 4 .
3



Từ phương trình 1  sin 3 x  cos3 x  sin 2 x , ta tìm được cos  x   có giá trị bằng:
2
4

2
2
2
A. 1.
B. 
C.
D. 
.
.
.
2
2
2
Các nghiệm của phương trình tan x  cot x  2sin 2 x  cos 2 x là:

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao



 x  2  k
B. 
k   .
.
 x  1 arc cot 1  k

2
2



x  4  k 2
D. 
k   .
.
 x  arctan 1  k 

4
2
 
Câu 53: Phương trình 1  sin x  cos x  sin 2 x  0 có bao nhiêu nghiệm trên  0;  ?
 2
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .


2 


Câu 54: Phương trình tan x  tan  x    tan  x    3 3 tương đương với phương trình.
3
3 


A. cot x  3 .
B. cot 3x  3 .
C. tan x  3 .
D. tan 3x  3 .
Câu 55: Phương trình 2cot 2 x  3cot 3x  tan 2 x có nghiệm là:



x  4  k 2
A. 
k 
 x  1 arc cot 1  k 

2
2
2



x  4  k 2
C. 

k 
 x  1 arctan 1  k 

2
2
2

A. x  k



3

.

B. x  k .

C. x  k 2 .

4x
 cos 2 x .
3


 x  k 3
 x  k
 x  k 3







A. x    k 3 .
B. x    k .
C. 
.
 x     k 3


4
4

4


5
5
x  
x  
 k 3
 k

4

4
cos 2 x
Câu 57: Phương trình cos x  sin x 
có nghiệm là:
1  sin 2 x

3





 x   4  k 2
 x  4  k
 x  4  k 2








A. x   k
.
B. x   k .
C.  x    k 2 .



8
2
2

 x  k 2


x

k


x  k





2
1
1
 2cos 3x 
Câu 58: Phương trình 2sin 3x 
có nghiệm là:
sin x
cos x
3


 k .
A. x   k .
B. x   k .
C. x 
4
12
4



Câu 59: Phương trình 2sin  3 x    1  8sin 2 x.cos 2 2 x có nghiệm là:.
4







 x  6  k
 x  12  k
 x  12  2k
A. 
.
B. 
.
C. 
.
5

5

7

x 
x 
x  
 k
 k

 2 k



6
12
12

D. Vô nghiệm.

Câu 56: Giải phương trình cos

 x  k 3
D. 
.
 x   5  k 3

4

5

 x  4  k

3
 k .
D.  x 

8

x  k 


4

D. x  

3
 k .
4



 x  24  k
D. 
.
5

x 
 k

24

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao



2 


Câu 60: Phương trình: 4sin x.sin  x   .sin  x 
  cos 3 x  1 có các nghiệm là:
3
3 



2







x  6  k 3
 x  4  k
 x  2  k 2
x


k
2

A. 
.
B. 

.
C. 
.
D. 
.
3


2


x  k
x  k
x  k
 x  k



3
4
3
10
10
6
6
sin x  cos x
sin x  cos x

Câu 61: Giải phương trình
.

4
4cos 2 2 x  sin 2 2 x
A. x  k 2 , x 
C. x 


2


2

 k 2 .

B. x 

 k .

k
2

.

D. x  k , x 


2

 k 2 .

sin 3 x  cos 3 x  3  cos 2 x


Câu 62: Cho phương trình:  sin x 
. Các nghiệm của phương trình

1  2sin 2 x 
5

thuộc khoảng  0; 2  là:

A.
Câu 63:

Câu 64:

Câu 65:

Câu 66:

Câu 67:

 5
,

.

B.

 5
, .
6 6

C.

 5
,
.
4 4

D.

 5
,
.
3 3

12 12
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Phương trình 1  cos x  cos 2 x  cos3x  0 có số điểm biểu diễn trên vòng tròn lượng giác
là:
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 5 .
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Cho phương trình cos x cos5x  cos 2 x cos 4 x số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình
trên đường tròn lượng giác là:
A. 3 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 8 .

Sử dụng công thức nhân ba
Cho phương trình cos3x  4cos 2 x  3cos x  4  0 có bao nhiêu nghiệm trên  0;14 ?
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
Sử dụng công thức các cung có liên quan đặc biệt
5 
7 


Phương trình sin  2 x 
  3cos  x 
  1  2sin x có bao nhiêu nghiệm thuộc
2 
2 




 ;3  ?
2

A. 4 .
B. 5 .
C. 6 .
D. 7 .
Sử dụng công thức hạ bậc cao
Cho các phương trình sau:
17

1 sin 8 x  cos8 x  cos 2 2 x
16
17
 2  sin 8 x  cos8 x 
32
97
 3 sin 8 x  cos8 x 
128
1
 4  sin 8 2 x  cos8 2 x 
8
Phương trình không tương đương với một trong các phương trình còn lại là:

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

A. 1 .
B.  2  .
C.  3  .
D.  4  .
Câu 68: Biểu diễn tổng của các đại lượng không âm
Phương trình cos 2 x  cos 6 x  4 3sin x  4sin 3 x  1  0 có phương trình tương đương là:





A. cos x  0 .
B. sin 3x  1  0 .
C. cos x(sin 3x  1)  0 .
D. sin x 1  0 .
Câu 69: Đặt ẩn phụ - công thức nhân ba
 3 x  1   3 x 
   sin    có tổng các nghiệm trên  0; 2  là:
Phương trình sin 
 10 2  2  10 2 
10
10
9
9
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
15
5
6
3
Câu 70: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
4 x
2 x

Phương trình sin    sin  sin x  3  sin x  2  0 có các nghiệm là:
2
2
A. x  k 2 ; k  . .

B. x  k ; k  . .

C. x   2k  1  ; k  . D. x  k


2

;k  . .

Câu 71: Phương pháp đánh giá
2
Với phương trình 3cos 4 x   cos 2 x  sin x   7 (*) thì:
A. trên đoạn  0; 2  phương trình có 1 nghiệm.
B. trên đoạn  0; 2  phương trình có 2 nghiệm
C. trên đoạn  0; 2  phương trình có 3 nghiệm.
D. trên đoạn  0; 2  phương trình có 4nghiệm.
Câu 72: Phương pháp hàm số


2
2
Phương trình sin x  1  2 sin   x   cos x  1 (*) có tổng các nghiệm trong
4

 

khoảng  0;  là:
 2
A. 0 .

B.



.

C.



D.



.
2
4
3
Câu 73: Phương trình 1  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x  0 có các nghiệm dạng
x1  a  k 2 , x2  b  k 2 , x3  c  k 2 , x4  d  k 2 . Với 0  a, b, c, d  2 thì
a  b  c  d là:
7
5
9
A. 0 .
B.

.
C.
D.
.
2
4
2
Câu 74: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos3 2 x  cos2 2 x  a sin 2 x  0 có
 
nghiệm x   0;  ?
 6
A. 0 .
B. 1 .
C. 2
D. 3 .
Câu 75: Phương trình sin 2 x  2cos x  cos 2 x  sin x là phương trình hệ quả của phương trình:

1
1
A. sin( x  ) 
B. sin 2 x  0
C. sin x  cos x 
D.
4
2
2
1
sin x  cos x 
2
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết

Facebook: />Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 76: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức

Lượng giác Nâng Cao

1
1

k
 2  1  2 đúng với x  (0; )
2
sin x x
2


. Khi đó giá trị của k là
A. 5
B. 2
C. 4
D. 6
Câu 77: Có bao nhiêu giá trị của  trong  0; 2  để ba phần tử của S  sin  ,sin 2 ,sin 3  trùng
với ba phần tử của T  cos  , cos 2 , cos 3  .
A. 1
B. 2
C. 3

D. 4

PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CHỨA THAM SÓ
Câu 78: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình tan x  m cot x  8 có nghiệm.
A. m  16.
B. m  16.
C. m  16.
D. m  16.
Câu 79: Biến đổi phương trình cos3x  sin x  3  cos x  sin 3x  về dạng sin  ax  b   sin  cx  d 
  
với b , d thuộc khoảng   ;  . Tính b  d .
 2 2

A. b  d 



B. b  d 

.



.

C. b  d  



.

D. b  d 



12
4
2
3
Câu 80: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10  để phương trình

.





sin  x    3 cos  x    2m vô nghiệm.
3
3


A. 21.
B. 20.
C. 18.
D. 9.
Câu 81: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x  sin x  2  m 2  1 vô
nghiệm.
A. m   ; 1  1;   .

B. m   1;1 .

C. m   ;  

D. m   ;0    0;   .
Câu 82: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10  để phương trình

 m  1 sin x  m cos x  1  m

có nghiệm.

A. 21.
B. 20.
C. 18.
D. 11.
Câu 83: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2018; 2018 để phương trình

 m  1 sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  0

có nghiệm.

A. 4037.
B. 4036.
C. 2019.
D. 2020.
3
2
Câu 84: Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình cos 2 x  cos 2 x  a sin 2 x  0 có
 
nghiệm x   0;  ?
 6

A. 0 .
B. 1 .
C. 2
D. 3 .
  3 
Câu 85: Giá trị của m để phương trình cos2 x   2m  1 cos x  m  1  0 có nghiệm trên  ;  là
2 2 
m   a; b  thì a  b là:
B. 1 .
C. 1 .
D. 2 .
6
Câu 86: Phương trình sin x  cos x  3sin x cos x  m  2  0 có nghiệm khi m   a; b  thì tích a.b
bằng:
9
9
75
15
A. .
B. .
C.
.
D.
.
4
2
4
16
A. 0 .

6

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 87: phương trình m sin x  (m  1) cos x 

Lượng giác Nâng Cao

m
. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10
cos x

để phương trình có nghiệm là:
A. 9 .
B. 8 .
C. 10 .
D. 7
Câu 88: Phương trình sin 4 x  tan x có nghiệm dạng x  k và x   m arc cos n  k
m  n bằng:

k  

thì

1  3
1  3
3

3
.
B. m  n  
.
C. m  n 
. D. m  n 
.
2
2
2
2
Câu 89: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2 x   2m  1 cos x  m  1  0

A. m  n 

  3 
có nghiệm trên khoảng  ;  .
2 2 

1
.
2
Câu 90: Biết rằng khi m  m0 thì phương trình 2sin 2 x   5m  1 sin x  2m 2  2m  0 có đúng 5
A. 1  m  0 .

Câu 91:

Câu 92:

Câu 93:

Câu 94:

Câu 95:

B. 1  m  0 .

C. 1  m  0 .

D. 1  m 

 

nghiệm phân biệt thuộc khoảng   ;3  . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
 2

1
 3 2
3 7 
A. m  3.
B. m  .
C. m0   ;  .
D. m0    ;   .
2
 5 5
 5 10 
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
 
2 cos 2 3 x   3  2m  cos 3 x  m  2  0 có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng   ;  .
 6 3

A. 1  m  1.
B. 1  m  2.
C. 1  m  2.
D. 1  m  2.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
sin x cos x  sin x  cos x  m  0 có nghiệm?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.


Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: sin 2 x  2 sin  x    m  0 có
4

nghiệm.
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
3
3
Phương trình cos x  sin x  cos2 x có tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất
là:
5
7


A. .
B.

.
C.
.
D.  .
4
2
4
2
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  10;10  để phương trình

11sin 2 x   m  2  sin 2 x  3cos 2 x  2 có nghiệm?
A. 16.
B. 21.
C. 15.
Câu 96: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc để phương trình
sin 2 x  2  m  1 sin x cos x   m  1 cos 2 x  m có nghiệm?
A. 2.

D. 6.

B. 1.

C. 0.
D. Vô số.
2
Câu 97: Tìm điều kiện để phương trình a sin x  a sin x cos x  b cos x  0 với a  0 có nghiệm.
4b
4b
 1.
A. a  4b .

B. a  4b .
C.
D.
1.
a
a
Câu 98: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin 2 x  m sin 2 x  2m vô nghiệm.
2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

4
4
4
4
.
B. m  0 , m  .
C. 0  m  .
D. m   , m  0 .
3
3
3
3
Câu 99: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  3;3 để phương trình

A. 0  m 

m

2

 2  cos 2 x  2m sin 2 x  1  0 có nghiệm.

A. 3 .
B. 7 .
C. 6 .
D. 4 .
6
6
Câu 100: Để phương trình sin x  cos x  a | sin 2 x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là:
1
1
1
1
3
A. 0  a  .
B.  a  .
C. a  .
D. a  .
8
4
4
8
8
Câu 101: Cho phương trình: sin x cos x  sin x  cos x  m  0 , trong đó m là tham số thực. Để phương

trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:.
1
1
1
1
A. 2  m    2 . B.   2  m  1 . C. 1  m   2 .
D.   2  m  1
2
2
2
2
.
Câu 102: Cho phương trình: 4  sin 4 x  cos 4 x   8  sin 6 x  cos 6 x   4sin 2 4 x  m trong đó m là tham
số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:
3
3
A. m  4 hay m  0 . B.   m  1 .
C. 2  m   .
2
2
m  2 hay m  0 .

D.

sin 6 x  cos6 x
 2m.tan 2 x , trong đó m là tham số. Để phương trình có
Câu 103: Cho phương trình:
cos 2 x  sin 2 x
nghiệm, các giá trị thích hợp của m là:
1

1
1
1
1
1
A. m   hay m  . B. m   hay m  . C. m   hay m  . D. m  1 hay m  1
8
8
2
8
8
2
.
1
4 tan x
 m . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m
Câu 104: Cho phương trình cos 4 x 
2
1  tan 2 x
phải thỏa mãn điều kiện:.
5
3
A.   m  0 .
B. 0  m  1 .
C. 1  m  .
D.
2
2
5
3

m   hay m  .
2
2




Câu 105: Để phương trình: 4sin  x   .cos  x    a 2  3 sin 2 x  cos 2 x có nghiệm, tham số a
3
6


phải thỏa điều kiện:
1
1
A. 1  a  1.
B. 2  a  2 .
C.   a  .
D. 3  a  3 .
2
2
a2
sin 2 x  a 2  2

Câu 106: Để phương trình
có nghiệm, tham số a phải thỏa mãn điều kiện:
1  tan 2 x
cos 2 x
A. | a | 1 .
B. | a | 2 .

C. | a | 3 .
D. a  1, a   3 .
Câu 107: Tìm m để phương trình  cos x  1 cos 2 x  m cos x   m sin 2 x có đúng 2 nghiệm

x  0;


2
3

.


A. 1  m  1 .

B. 0  m 

1
.
2

1
C. 1  m   .
2

1
D.   m  1 .
2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết

Facebook: />Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

 
Câu 108: Tìm m để phương trình cos2 x   2m  1 cosx  m  1  0 có đúng 2 nghiệm x    ;  .
 2 2 
A. 1  m  0 .
B. 0  m  1 .
C. 0  m  1.
D. 1  m  1.
  
Câu 109: Tìm m để phương trình 2sin x  m cos x  1  m có nghiệm x    ;  .
 2 2
A. 3  m  1 .
B. 2  m  6 .
C. 1  m  3
D. 1  m  3 .
Câu 110: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m  sin  m  sin 3x   sin  3sin x   4sin 3 x có
nghiệm thực?
A. 9
B. 5
C. 4
D. 8
2
Câu 111: Cho phương trình:  cos x  1 cos 2 x  m cos x   m sin x . Phương trình có đúng hai nghiệm

 2 
thuộc đoạn  0;  khi:
 3 

A. m  1.

B. m  1.

Câu 112: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình

x

C. 1  m  1.

1
D. 1  m   .
2

3sin 2 x  cos 2 x
 m  1 đúng với mọi
sin 2 x  4 cos 2 x  1

3 5 9
65  9
65  9
3 5
B. m 
C. m 
D. m 
4

2
4
4
2
Câu 113: Số các giá trị nguyên của m để phương trình  cos x  1 4 cos 2 x  m cos x   m sin x có

A. m 

 2 
đúng 2 nghiệm x  0;  là:
 3 
A. 3
B. 0
C. 2
D. 1
0
0
0
Câu 114: Gọi a, b là các số nguyên thỏa mãn 1  tan1 1  tan 2  ... 1  tan 43   2a. 1  tan b0 

đồng thời a, b   0;90 . Tính P  a  b ?
A. 22
B. 46
C. 27
D. 44
Câu 115: Tìm m để phương trình  m  1 cos x   m  1 sin x  2m  3 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn

x1  x2 



.
3
A. m  2  3
B. m  2  3
C. m  2  3
D. Không tồn tại m
2
Câu 116: Các giá trị của m   a; b  để phương trình cos 2 x  sin x  3cos x  m  5 có nghiệm thì:
A. a  b  2 .
B. a  b  12 .
C. a.b  8 .
D. a.b  8 .
m
Câu 117: Cho phương trình m sin x   m  1 cos x 
. Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ
cos x
hơn 10 để phương trình có nghiệm là:
A. 8 .
B. 9 .
C. 10 .
D. 7 .



Câu 118: Phương trình cos 2 x   2m  1 sin x  m  1  0 có nghiệm trên   ;   khi tất cả các giá
2


trị thỏa mãn:

A. m .
B. m .
C. m   1;1 .
D. m   1;1 .
Câu 119: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2018 để phương trình
3
 3tan 2 x  tan x  cot x  m có nghiệm?
2
sin x
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A. 2000 .

B. 2001 .

C. 2010 .

Lượng giác Nâng Cao
D. 2011 .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

C - HƢỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN
HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC

Câu 1:

sin x  cos x
lần lượt là:
2sin x  cos x  3
1
B. m  1; M  2.
C. m   ; M  1.
D. m  1; M  2.
2
Hƣớng dẫn giải

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y 

1
A. m  1; M  .
2
Chọn A
+ TXĐ:

.
sin x  cos x
  2 y  1 sin x   y  1 cos x  3 y (1)
+ y
2sin x  cos x  3
2

2
+ Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm x là  2 y  1   y  1  9 y 2

 4 y 2  2 y  2  0  1  y 

Câu 2:

Câu 3:

1
.
2

1
+ Vậy max y  ;min y  1 .
2
1
1

Hàm số y  tan x  cot x 
không xác định trong khoảng nào trong các khoảng
sin x cos x
sau đây?
3





A.  k 2 ;  k 2  .

B.    k 2 ;
 k 2  .
2
2







C.   k 2 ;   k 2  .
D.   k 2 ; 2  k 2  .
2

Hƣớng dẫn giải
Chọn D
sin x  0
k
 sin 2 x  0  x 
,k  .
Hàm số xác định khi và chỉ khi 
2
cos x  0
3
3
Ta chọn k  3  x 
nhưng điểm
thuộc khoảng   k 2 ; 2  k 2  .
2

2
Vậy hàm số không xác định trong khoảng   k 2 ; 2  k 2  .


Tìm tập xác định D của hàm số y  5  2 cot 2 x  sin x  cot   x  .
2

 k

 k

A. D  \  , k   .
B. D  \ 
,k   .
 2

 2

C. D  .
D. D  \ k , k   .

Hƣớng dẫn giải
Chọn A
Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời.


5  2cot 2 x  sin x  0 , cot   x  xác định và cot x xác định.
2

Ta có

5  2cot 2 x  sin x  0
 5  2cot 2 x  sin x  0, x  .

1  sin 2 x  0  5  sin x  0
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao







cot   x  xác định  sin   x   0   x  k  x    k , k  .
2
2
2

2

cot x xác đinh  sin x  0  x  k , k  .

Câu 4:

Câu 5:

Câu 6:



k
 x    k
x
,k  .
Do đó hàm số xác đinh 
2
2
 x  k
 k

Vậy tập xác định D  \  , k   .
2


Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?
1




A. y 
.
B. y  sin  x   .
C. y  2 cos  x   .D. y  sin 2 x .
2

sin x
4
4


Hƣớng dẫn giải
Chọn A
 1

Viết lại đáp án B y  sin  x   
 sin x  cos x  .
4
2

Kết quả được đáp án A là hàm số chẳn nên có đồ thị đối xứng qua trục tung.
Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ.
Xét đáp án D.



 Hàm số xác định  sin 2 x  0  2 x   k 2 ;   k 2   x   k ;  k  .
2






 D   k ;  k   k   . .
2





 Chọn x   D nhưng  x    D. Vậy y  sin 2 x không chẵn, không lẻ.
4
4
Số giờ có ánh sáng của một thành phố A trong ngày thứ t của năm 2017 được cho bởi một

hàm số y  4sin
 t  60   10 , với t  Z và 0  t  365 . Vào ngày nào trong năm thì
178
thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?.
A. 28 tháng 5 .
B. 29 tháng 5 .
C. 30 tháng 5 .
D. 31 tháng 5 .
Hƣớng dẫn giải
Chọn B.


Vì sin
 t  60   1  y  4sin
 t  60   10  14 .
178
178
Ngày có ánh nắng mặt trời chiếu nhiều nhất




 y  14  sin
 t  60   1   t  60    k 2  t  149  356k .
178
178
2
149
54
k .
Mà 0  t  365  0  149  356k  365  
356
89
Vì k  nên k  0 .
Với k  0  t  149 tức rơi vào ngày 29 tháng 5 (vì ta đã biết tháng 1 và 3 có 31 ngày,
tháng 4 có 30 ngày, riêng đối với năm 2017 thì không phải năm nhuận nên tháng 2 có 28
ngày hoặc dựa vào dữ kiện 0  t  365 thì ta biết năm này tháng 2 chỉ có 28 ngày).
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (mét) của mực nước
trong kênh được tính tại thời điểm t (giờ) trong một ngày bởi công thức

 t
h  3cos 
   12 . Mực nước của kênh cao nhất khi:
7 8 4 

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
B. t  14 (giờ).
C. t  15 (giờ).

Hƣớng dẫn giải

A. t  13 (giờ).

Câu 7:

Chọn B.
Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất
t 
 t  
 cos     1 
  k 2 với 0  t  24 và k  .
8 4
 8 4
Lần lượt thay các đáp án, ta được đáp án B thỏa mãn.
t 
  2 (đúng với k  1 ).
Vì với t  14 thì
8 4
3 1  tan 2 x
2
Hàm số y  4cot 2 x 
đạt giá trị nhỏ nhất là
tan x
A. 0 .
B. 3  2 3 .
C. 2  2 2 .
Hƣớng dẫn giải
Chọn D
1  tan 2 x

Ta có cot 2 x 
2 tan x
2 3 1  tan 2 x
2
 3cot 2 2 x  2 3 cot 2 x
Từ đó suy ra y  3cot 2 x 
2 tan x







D. t  16 (giờ).







Lượng giác Nâng Cao

D. 1 .



2

3 cot 2 x  1  1  1, x 

.

1
.
3


Hàm số y  2 cos x  sin  x   đạt giá trị lớn nhất là
4

Vậy min y  1  cot 2 x 

Câu 8:

B. 5  2 2 .

A. 5  2 2 .

C. 5  2 2 .
Hƣớng dẫn giải

D.

52 2 .

Chọn C

1


1



Ta có y  2 cos x  sin  x    2 cos x 
2 sin  x    2cos x 
 sin x  cos x 
4
4
2
2


1 
1

 2
sin x .
 cos x 
2
2

2

2

1   1 

2

Ta có y   2 
 
  y  5 2 2 .
2  2

2

Do đó ta có  5  2 2  y  5  2 2 .
Câu 9:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5  2 2 .
Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin 4 x  cos4 x  sin x cos x là
5
9
4
A. .
B. .
C. 1 .
D. .
8
4
3
Hƣớng dẫn giải
Chọn A
Ta có y  sin 4 x  cos4 x  sin x cos x  y  1  2sin 2 x cos2 x  sin x cos x .
1
1
 y  1  sin 2 2 x  sin 2 x
2
2

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 24


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Lượng giác Nâng Cao

2
2
1 
1  1
9 1
1 9
 y  1   sin 2 x      y    sin 2 x    .
2 
2  4 
8 2
2 8
1
Dấu bằng xảy ra khi sin 2 x  .
2
Câu 10: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  sin x cos x  cos x sin x là

A. 0 .

2.

B.

C. 4 2 .
Hƣớng dẫn giải

D.

6.

Chọn A
Ta có sin x cos x  cos x sin x  2 sin x cos x sin x cos x

1
1
sin 2 x sin 2 x  0 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2 x  0 .
2
2
2sin 2 x  cos 2 x
Câu 11: Hàm số y 
có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
sin 2 x  cos 2 x  3
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Hƣớng dẫn giải
Chọn B
2sin 2 x  cos 2 x
  y  2  sin 2 x   y  1 cos 2 x  3 y. .
Ta có y 
sin 2 x  cos 2 x  3

2
2
2
Điều kiện để phương trình có nghiệm   y  2    y  1   3 y   7 y 2  2 y  5  0 .
5 y
 1  y  
 y  1;0 nên có 2 giá trị nguyên.
7
 y2

Câu 12: Cho hàm số h  x   sin 4 x  cos4 x  2m sin x.cos x .Tất cả các giá trị của tham số m để
hàm số xác định với mọi số thực x (trên toàn trục số) là
1
1
1
1
1
A.   m  .
B. 0  m  .
C.   m  0 .
D. m  .
2
2
2
2
2
Hƣớng dẫn giải
Chọn A.
Xét hàm số g  x    sin 2 x    cos 2 x   m sin 2 x
2

2

  sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x cos 2 x  m sin 2 x
2

1
 1  sin 2 2 x  m sin 2 x .
2
Đặt t  sin 2 x  t   1;1 .
Hàm số h  x  xác định với mọi x 

 t 2  2mt  2  0, t   1;1 .

 g  x   0, x 

1
  t 2  mt  1  0, t   1;1
2

Đặt f  t   t 2  2mt  2 trên  1;1 .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 25