TRẮC NGHIỆM QUAN HỆ VUÔNG GÓC HÌNH HỌC 11 CÓ ĐÁP ÁN

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 0


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

QUAN HỆ VUÔNG GÓC
A – LÝ THUYẾT CHUNG
I - VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Định nghĩa và các phép toán:
 Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn
tương tự như trong mặt phẳng.
 Phép cộng, trừ vectơ:
 Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB  BC  AC .
 Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC .
 Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' , ta có: AB  AD  AA '  AC ' .
 Lưu ý:
 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
Hai vectơ a và b ( b  0 )  !k  : a  k.b .
 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k  1 ), điểm O tùy ý.
OA  kOB
1 k
 Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.

Ta có:

MA  k .MB

OM 

OA  OB  2OI
Ta có: IA  IB  0
 Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm  ABC, điểm O tùy ý.

Ta có: GA  GB  GC  0
2. Sự đồng phẳng của ba vectơ:

OA  OB  OC  3OG

 Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một
mặt phẳng.
 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó a và b không cùng
phương.
Khi đó: a, b, c đồng phẳng  !m, n  : c  m.a  n.b
 Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý.
Khi đó: !m, n, p  : x  m.a  n.b  p.c
3. Tích vô hƣớng của hai vectơ:
 Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: AB  u, AC  v .
Khi đó:  u, v   BAC (00  BAC  1800 )
 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

 

Cho u, v  0 . Khi đó: u.v  u . v .cos u, v

 Với u  0 hoặc v  0 , quy ước: u.v  0
 Với u, v  0 , ta có: u  v  u.v  0
II - GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG

1. Vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng:

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Vectơ a  0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc
trùng với đường thẳng d.
2. Góc giữa hai đƣờng thẳng:

  

 Cho a //a ' , b //b ' và a ' , b ' cùng đi qua một điểm. Khi đó: a, b  a ', b '



 

 Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và u, v   .


Khi đó: a, b  

0

180  

 

 

 0    90 
 90    180 
0

0

0

0

 Nếu a //b hoặc a  b thì a, b  00 .
3. Hai đƣờng thẳng vuông góc:

 

 a  b  a, b  900 .
 Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: a  b  u.v  0
 Cho a //b . Nếu a  c thì b  c .
Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
III - ĐƢỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG
1. Định nghĩa: d  ( )  d  a, a  ( )
d  a

d  b

 d  ( )
2. Điều kiện để đƣờng thẳng vuông góc với mặt phẳng: 
a, b  ( )
a  b  I
3. Tính chất:
 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung
điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm
cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
a  b
 
    b
   a

a  b

  a     a //b
b  
 



  //   
 
 a   

 a   

     


    a    //   

    a

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 2


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

a //  
 
ba
b   
 a   

 a  b  a //  
  b
 
4. Định lý ba đƣờng vuông góc:
Cho a    và b    , b ' là hình chiếu của b lên   . Khi đó: a  b  a  b '
5. Góc giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng:
 Nếu d vuông góc với   thì góc giữa d và   là 900 .
 Nếu d không vuông góc với   thì góc giữa d và   là thì góc giữa d và d ' với d ' là
hình chiếu của d trên   .
 Chú ý: góc giữa d và   là  thì 00    900 .
IV - GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. Góc giữa hai mặt phẳng:


 a   
 Nếu 
thì góc giữa hai mặt phẳng   và    là góc giữa hai đường thẳng a và b.
b







a  d , a  ( )
 Giả sử ( )  ( )  d . Từ điểm I  d , dựng 
thì góc giữa hai mặt phẳng
b  d , b  (  )

 

và    là góc giữa hai đường thẳng a và b .

 Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng   và    là  thì   00 ;900  .
2. Diện tích hình chiếu của một đa giác:
Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong   và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu
vuông góc của đa giác ℋ lên    . Khi đó S '  S.cos  với  là góc giữa hai mặt phẳng  
và    .
3. Hai mặt phẳng vuông góc:
Nếu hai mặt phẳng   vuông góc mặt phẳng    thì góc giữa hai mặt phẳng   và   

bằng 900.

a  ( )
 ( )  (  )
a  (  )

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: 

4. Tính chất:

     

       d
 a   
 
 a   
a  d

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

     

 A   
 a   

 
A

a

a    


     

 d   
       

       d

V - KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đƣờng thẳng
a) Cho điểm O và đường thẳng  . Hạ OH  ( H ) . Khi đó
khoảng cách từ O tới  bằng độ dài đoạn OH . Kí hiệu là
d  O,   .

b) d  O,    OA ,với A là điểm bất kì thuộc  .

c) Cho hai đường thẳng a và  cắt nhau tại M . Trên a lấy hai
d  A,   MA
điểm A, B . Khi đó:

d  B,   MB

d) Cho ABC vuông tại A . Dựng đường cao AH , khi đó ta có:

AH  d  A, BC  và AH được tính theo công thức:
1
1
AB. AC
1


hoặc AH 
.
2
2
2
AH
AB
BC
AC

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
a) Định nghĩa
Cho điểm O và mặt phẳng   . Dựng OH    ,  H     .
Khi đó khoảng cách từ O tới   bằng độ dài đoạn OH và được
kí hiệu là d  O,    .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

b) Giả sử đường thẳng  cắt   tại M . Trên  lấy hai điểm

A, B . Khi đó:

d  A,   

d  B ,   



AM
.
BM

c) (Tính chất tứ diện vuông)
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H
là hình chiếu của O trên  ABC  .
Khi đó OH  d  O,  ABC   và

1
1
1
1



.
2
2

2
OH
OA OB OC 2

d) Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng   . Khi đó
khoảng cách giữa  và   được định nghĩa bằng khoảng cách
từ một điểm bất kì thuộc  tới   .

e) Cho hai mặt phẳng   và    song song.
Khi đó khoảng cách giữa hai mặt phẳng   và    là khoảng
cách từ một điểm bất kì thuộc   tới    .

3. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau
+ Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng  vuông góc với
cả hai đường thẳng a và b và cắt cả hai đường thẳng
a và b.  được gọi là đường vuông góc chung của a và b. Đoạn
thẳng AB được gọi
là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b.Khi
đó khoảng
cách giữa hai đường thẳng a và b bằng độ dài đoạn vuông góc chung
AB
+ Nếu gọi (P);(Q) là hai mặt phẳng song song với nhau và lần lượt
chứa hai
thẳng a và b chéo nhau thì AB=d(A;(Q))=d(b;(P))=d(( P);(Q)
Nhận xét:
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách
hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn
còn lại.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

B - BÀI TẬP
VÉC TƠ - TÍNH VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N , P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho
AM 

1
2
1
AB, BN  BC , AQ  AD, DP  k DC .
3
3
2
Hãy xác định k để M , N , P, Q đồng phẳng.

A. k 

1
2

B. k 

1
3

C. k 

1
4

D. k 

1
5

1
Câu 2. Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM  AD. N là điểm
2
P
trên đường thẳng BD1 .
là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N , P thẳng hàng.
MN

Tính

.
NP

A.

1
.
3

B.

2
.
3

C.

1
.
2

D.

3
.
4

Câu 3. Giả sử M , N , P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là
giao điểm của ba mặt phẳng  BCM  ,  CAN  ,  ABP  và J là giao điểm của ba mặt phẳng

 ANP  ,  BPM  ,  CMN  .
Ta được S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?
MS NS PS 1 JS


 
MA NB PC 2 JI
MS NS PS 1 JS
C.


 
MA NB PC 3 JI

MS NS PS 1 JS


 
MA NB PC 4 JI
MS NS PS
JS
D.


1 
MA NB PC
JI

A.

B.

Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là
trọng tâm tam giác BCD,  là góc giữa 2 vectơ MG và NP . Khi đó cos có giá trị là:
A.

2
2

B.

2
3

C.

2
6

D.

1
2

Câu 5. Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC và BDA  600 , ADC  900 , BDC  1200 . Trong các mặt
của tứ diện đó:
A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất.
B. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất.
C. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất.

D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Câu 6. Cho hình lăng trụ ABCD. ABCD . Hình chiếu vuông góc của A lên  ABC  trùng với trực
tâm H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng?
A.  AABB    BBC C  .
B.  AAH    ABC   .
C. BBCC là hình chữ nhật.

D.  BBC C    AAH  .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 7


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Câu 7. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của
O trên mặt phẳng  ABC  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

1
1
1
1 .



2
2

2
OH
AB
AC
BC 2

B.

1
1
1
1 .



2
2
2
OA
AB
AC
BC 2

C.

1
1
1
1
.




2
2
2
OA OB
OC
BC 2

D.

1
1
1
1 .



2
2
2
OH
OA
OB
OC 2

Câu 8. Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với
AB  BC  a , AD  2a . Cạnh SA  2a và SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Gọi M là trung
điểm của cạnh AB và   là mặt phẳng qua M vuông góc với AB . Diện tích thiết diện của mặt

phẳng   với hình chóp S. ABCD là
A. S  a 2 .

B. S 

3a 2
.
2

C. , S 

a2
.
2

D. S  2a 2 .

Câu 9. Cho tứ diện SABC có hai mặt  ABC  và  SBC  là hai tam giác đều cạnh a , SA  a

3
. M là
2

điểm trên AB sao cho AM  b  0  b  a  .  P  là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC. Thiết
diện của  P  và tứ diện SABC có diện tích bằng?
3 3  a b 
A.
.
 .
4  a 

2

3  a b 
B.
.
 .
4  a 
2

3 3  a b 
C.

 .
16  a 
2

3 3  a b 
D.

 .
8  a 
2

Câu 10. Cho lăng trụ đứng OAB.O ' A ' B ' có các đáy là các tam giác vuông cân
OA  OB  a, AA '  a 2 . Gọi M , P lần lượt là trung điểm các cạnh OA, AA ' . Tính diện tích thiết diện

khi cắt lăng trụ bởi  B ' MP  ?

a 2 15
A.

12 2

5a 2 15
B.
12 2

5a 2 15
C.
6 2

a 2 15
D.
6 2

Câu 11. Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AB  CD  6 ; M là điểm thuộc cạnh BC sao cho

MC  xBC  0  x  1 . Mặt phẳng  P  song song với AB và CD lần lượt cắt BC , AC , AD , BD tại
M , N , P , Q . Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là:

A. 9 .

B. 6 .

C. 10 .

D. 12 .

Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA  a, SB  b, SC  c . Một mặt phẳng   luôn đi qua trọng tâm
của tam giác ABC , cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A ', B ', C ' . Tìm giá trị nhỏ nhất của
1

1
1


.
2
2
SA ' SB ' SC '2

A.

3
a  b2  c 2
2

B.

2
a  b2  c2
2

C.

2
a  b2  c 2
2

D.

9

a  b2  c 2
2

Câu 13. Cho tứ diện ABCD có BC  DA  a , CA  DB  b , AB  DC  c

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Gọi S là diện tích toàn phần ( tổng diện tích tất cả các mặt). Tính giá trị lớn nhất của
1
1
1
 2 2 2 2.
2 2
ab bc ca
A.

9
S2

B.

3
S

C.

2
S2

D.

2
S

Câu 14. Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi  ,  ,  lần lượt là góc giữa các
đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng  ABC  .
Tìm Giá trị nhỏ nhất của M   2  cot 2   2  cot 2   2  cot 2   .
A. 64

B. 8

D. 64 2

C. 1

Câu 15. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  a, SA  a 3 và
SA   ABC  . Gọi M là điểm trên cạnh AB và AM  x  0  x  a  , mặt phẳng   đi qua M và

vuông góc với AB
Giả sử thiết diện của hình chóp S. ABC với   là tứ giác MNPQ .
a) Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì
A. Hình chữ nhật
B. hình vuông

C. hình thang

D. hình bình hành

Câu 16. Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a , đường cao SO  2a . Gọi M là
điểm thuộc đường cao AA ' của tam giác ABC . Xét mặt phẳng   đi qua M và vuông góc với AA '
. Đặt AM  x . Giả sử tồn tại thiết diện của hình chóp khi cắt bởi   .
Giả sử tính được diện tích thiết diện theo a và x . Xác định vị trí của M để diện tích thiết
diện lớn nhất.
A. x 

a 3
8

B. x 

3a 3
2

C. x 

3a
8

D. x 

3a 3
8

Câu 17. Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. M là một điểm bất kì thuộc

miền trong tam giác ABC .

MA2 MB 2 MC 2


.
OA2 OB 2 OC 2
B. min T  2
C. min T  4

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của T 
A. min T  3

D. min T  6

Câu 18. Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S. ABCD cạnh bên bằng 200 m ,
góc ASB  15 bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó
điểm L cố định và LS  40m . Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí?

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 9


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

A. 40 67  40 mét.
mét.

B. 20 111  40 mét.

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

C. 40 31  40 mét.

D. 40 111  40

Câu 19. Cho hình lập phương ABCD.EFGH . Gọi  là góc giữa đường thẳng AG và mặt phẳng

 EBCH  . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A.   30 .

B.   45 .

C. tan   2 .

D. tan  

2
.
3

Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính côsin của góc giữa mặt bên và
mặt đáy.
1
1
1
1
A.
.
B. .

C.
.
D. .
3
2
3
2
Câu 21. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC không vuông gọi H , K
lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và tam giác SBC . Tính số đó góc tạo bởi HK và mặt phẳng

 SBC  .
C. 90 .

B. 65 .

A. 45 .

D. 120 .

Câu 22. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Mặt bên SAB là tam giác đều có
đường cao AH vuông góc với mp  ABCD  . Gọi a là góc giữa BD và mp  SAD  . Chọn khẳng định
đúng trong các khẳng định sau:
A. cos a 

3
.
2 2

B. sin a 

3
.
2 2

C. a  60 .

D. a  30 .

Câu 23. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABCD  và SA  a 6 .
Gọi  là góc giữa SC và  SAB  ,  là góc giữa AC và  SBC  . Giá trị tan   sin  bằng?
A.

1 7
.
7

B.

1  19
.
7

C.

7  21
.
7

D.

1  20
.
7

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Câu 24. Cho hình chóp đều S. ABCD , đáy có cạnh bằng a và có tâm O . Gọi M , N lần lượt là trung
điểm của SA , BC . Biết góc giữa MN và  ABCD  bằng 60 . Tính góc giữa MN và  SAO  .
A.   arcsin

1
2 5

.

B.   arcsin

1
.
5

C.   arcsin

3

2 5

.

D.   arcsin

1
4 5

.

Câu 25. Cho hình chóp đều S. ABCD . Thiết diện qua đỉnh A và vuông góc với cạnh bên SC có diện
tích thiết diện đó bằng nửa diện tích đáy. Gọi  là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính  .
A.   arcsin

1  33
.
4

B.   arcsin

1  33
.
8

C.   arcsin

1  33
.
8

D.   arcsin

2  33
.
8

Câu 26. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
AB  2a , SA vuông góc với  ABCD  và SA  a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  .
A. arccos

10
.
5

B. arccos

5
.
5

C. arccos

10
.
10

D. arccos

10

.
3

Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA  BC  a , SA   ABC  ,

SA  a . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng

 SEF  và  SBC  .
A.

3
.
10

5
.
10

B.

C.

1
.
10

D.

3
.

2 10

Câu 28. Cho ba tia Ox , Oy , Oz trong không gian sao cho xOy  120 , zOy  90 , xOz  60 Trên ba
tia ấy lần lượt lấy các điểm A , B , C sao cho OA  OB  OC  a . Gọi  ,  lần lượt là góc giữa mặt
phẳng  ABC  với mặt phẳng  OBC  và mặt phẳng  OAC  . Tính tan   tan  ?
A.

1
.
2

B.

2.

C.

3
.
2

D. 1 .

Câu 29. Cho lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC cân đỉnh A, ABC   , BC ' tạo đáy góc  . Gọi
I là trung điểm của AA’ , biết BIC  90 . Tính tan 2   tan 2 
0

A.

1

.
2

B. 2 .

C.

D. 1 .

3.

Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tại B . Cho

BSC  450 , gọi ASB   . Tìm sin  để góc giữa hai mặt phẳng  ASC  và  BSC  bằng 600
A. sin  

15
.
5

B. sin  

2
.
2

C. sin  

3 2
.

9

D. sin  

1
.
5

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐÉN MẶT PHẲNG
Câu 31. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB  AD  a ,
CD  2a , cạnh SD vuông góc với  ABCD  , SD  a . Tính d  A;  SBC   .
A.

a 3
.
3

B. a 3 .

C.

a 6

.
6

D.

a 6
.
3

o
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , SA  3a , AB  BC  2a , ABC  120 . Tính khoảng

cách từ A đến  SBC  .
A. a .

B. 2a .

C.

a 3
.
2

D.

3a
.
2

Câu 33. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều với đáy lớn AD  2a

SA   ABCD  và SA  a 3 . Tính khoảng cách từ A đến  SBC  .
A. a .

B.

a 3
.
2

C.

a 3
.
5

D.

a 3
.
7

Câu 34. 24 Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , đường chéo AC  a ,
mặt bên SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy; góc giữa SC và

 ABCD 

o
bằng 60 . Gọi I là trung điểm của AB . Tính khoảng cách từ I đến  SBC  .

A.

3a 13
.
26

B.

a 3
.
4

C.

a 13
.
26


D.

3a 13
.
16



Câu 35. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, ABC  BAD  90 ,

BA  BC  a, AD  2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 .Gọi H là hình chiếu vuông góc

của A trên SB. Tính d  H ;  SCD  
A.

a
2

B.

2a 2a
3 3

C.

a
3

D.

a
3

Câu 36. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB  3a , BC  4a , mặt phẳng

 SBC  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Biết
A.

3a 7
.
14

B. 6a 7 .

SB  2a 3 và SBC  30 . Tính d  B;  SAC   .
C.

6a 7
.
7

D. a 7 .


Câu 37. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD  60 ;
3a
.Đặt x  d  O;  SBC   ; y  d  A;  SBC   ; z  d  AD; SB  . Tính x  y  z
SO  ( ABCD); SO 
4
9a
3a
15a
15a
A.
B.
C.
D.
8
4
8
4

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

3a
Câu 38. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD 
. Hình chiếu vuông
2
góc của S trên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm của AB . Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt

phẳng  SBD  .
A.

a
.
3

B.

2a
.
3

C.

a 3

.
2

D.

a 3
.
3

Câu 39. Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a; ABC  120 . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  là trọng tâm G của tam giác ABD, ASC  90 .
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBD  tính theo a bằng
A.

a 3
.
6

B.

a 3
.
3

C.

a 2
.
3

D.

a 6
.
3

Câu 40. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đường chéo AC, BD vuông
góc với nhau, AD  2a 2; BC  a 2 . Hai mặt phẳng  SAC  và  SBD  cùng vuông góc với mặt đáy

 ABCD  . Góc giữa hai mặt phẳng  SCD  và  ABCD 
đoạn AB đến mặt phẳng  SCD  là
A.

a 15
.
2

B.

a 15
.
20

bằng 60 . Khoảng cách từ M là trung điểm

C.

3a 15
.
20

D.

9a 15
.
20

Câu 41. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB  a , AA  2a ,
AC  3a . Gọi M là trung điểm đoạn thẳng AC , I là giao điểm của AM và AC . Tính khoảng
cách từ A đến mặt phẳng  IBC  .
A. 2a 5 .

B.

2a 5
.
5

C.

a 5
.
5

D.

3a
.
5

Câu 42. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có AB  a, AC  2a, BAC  1200 . Gọi M là trung điểm
cạnh CC ' thì BMA '  900 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  BMA ' .
A.

a 5
7

B.

a 7
7

C.

a 5
5

D.

a 5
3

Câu 43. Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a , AD  a 3 . Hình
chiếu vuông góc của điểm A1 trên  ABCD  trùng với giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách
từ điểm B1 đến mặt phẳng  A1 BD  theo a .
A.

a 3
.
2

B. a 3 .

C.

a
.
2

D.

a 3
.
6

Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA = a. Góc giữa
đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) bằng 30 . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM)
với M là trung điểm CD .
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

a
3

B.

2a
3

C.

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao
4a
3

D.

5a
3

o
Câu 45. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang. ABC  BAD  90 , BA  BC  a , AD  2a .

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  a 2 . Gọi H là hình chiếu của A lên SB . Tính theo a
khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD 
A.

5a
.
3

B.

4a
.
3

C.

2a
.
3

D.

a
.
3

Câu 46. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,

AB  3a, AD  DC  a. Gọi I là trung điểm của AD, biết hai mặt phẳng  SBI  và  SCI  cùng vuông
góc với đáy và mặt phẳng  SBC  tạo với đáy một góc 600. Tính khoảng cách từ trung điểm cạnh SD
đến mặt phẳng  SBC  .
A.

a 17
.
5

B.

a 15
.
20

C.

a 6
.
19

D.

a 3
.
15

Câu 47. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Gọi M là trung điểm của
cạnh AA’, biết BM  AC’. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BMC’).
A.

a 5
5

B.

a 2
2

C.

a 5
3

D.

a 5
4

Câu 48. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ , đáy ABC có AC  a 3, BC  3a, ACB  300 . Cạnh bên hợp
với mặt đáy góc 600 và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC).Điểm H trên cạnh BC sao
cho HC=3HB và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ B đến mặt
phẳng (A’AC)
A.

2a 5
3

B.

3 3a
4

C.

3a 5
2

D.

3a 5
7

Câu 49. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ , ABC đều có cạnh bằng a, AA’ = a và đỉnh A’ cách đều
A, B, C. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A’B. Tính theo a khoảng cách từ C đến mặt

phẳng (AMN).
A.

a 5
.
23

B.

3a
.
33

C.

a 5
.
22

D.

a 22
.
11

Câu 50. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng a . Gọi M là trung điểm
của AC . Hình chiếu của S trên mặt đáy là điểm H thuộc đoạn BM sao cho HM  2 HB . Khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng  SHC  bằng
A.

2a 7
.
14

B.

a 7
.
14

C.

3a 7
.
14

D.

2a 7
.
7

Câu 51. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA  a 3 .
Gọi I là hình chiếu của A lên SC . Từ I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với SB, SD cắt BC, CD
tại B, Q. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AD . Tính khoảng cách từ E đến (SBD).

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 14

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
A.

3a 21
11

B.

a 21
9

C.

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao
3a 21
7

D.

a 21
7

Câu 52. Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, ACB = 300; M
là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Hình chiếu vuông góc
của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt
phẳng (BMB’).
A.

a 5
.

2

B.

3a
.
3

C.

3a
.
4

D.

a 2
.
2

Câu 53. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD  2 AB  2BC ,
CD  2a 2 . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm M của cạnh CD . Khoảng cách
từ trọng tâm G của tam giác SAD đến mặt phẳng  SBM  bằng

A.

4a 10
.
15

B.

3a 10
.
5

C.

a 10
.
5

D.

3a 10
.
15

2
Câu 54. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2a , AB  a 2 ,
BC  2a . Gọi M là trung điểm của CD . Hai mặt phẳng  SBD  và  SAM  cùng vuông góc với đáy.

Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SAM  bằng
A.

4a 10
.
15

B.

3a 10
.
5

C.

2a 10
.
5

D.

3a 10
.
5

Câu 55. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB  AD  2a ,

CD  a ; góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng 60o . Gọi I là trung điểm của AD , hai
mặt phẳng  SBI  và  SCI  cùng vuông góc với  ABCD  . Tính theo a khoảng cách từ A đến

 SBC  .
A.

a 15
.
5

B.

3a 15
.
10

C.

2a 15
.
10

D.

2a 15
.
5

Câu 56. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ có AB  a; AD  2a, AA’  a .Gọi M là điểm chia
đoạn AD với
A.

3a 2
2 6

AM
 3 .Đặt x  d  AD’; B’C  ; y  d  M ;  AB’C   . Tìm x. y
MD

B.

5a 2
3 6

C.

a2
2

D.

3a 2
4

KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƢỜNG - MẶT, MẶT- MẶT, ĐƢỜNG –
ĐƢỜNG THẲNG
Câu 57. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy bằng a . Gọi M , N , P lần lượt
là trung điểm của AD, DC, A ' D ' . Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (MNP) và ( ACC ') .
A.

a 3
.
3

B.

a
.
4

C.

a
.
3

D.

a 2
.
4

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Câu 58. Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A ' B ' C ' có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 600 ,
đáy ABC là tam giác đều cạnh a và A ' cách đều A, B, C . Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình
lăng trụ.
A. a .

B. a 2 .

C.

a 3
.

2

D.

2a
.
3

Câu 59. Cho lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  a , AC  a 3 và
BBCC là hình vuông. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC  là
A.

a 3
.
2

B. a .

Câu 60. Cho hình chóp S.ABC có SC 

C. a 3 .

D.

3a 2
.
4

a 70
, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  2a, AC  a

5

và hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm cạnh AB. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng BC và SA.
3a
A.
.
5

B.

4a
.
5

C.

a
.
5

D.

2a
.
5

Câu 61. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng 3a. Chân đường cao hạ từ
đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB  3AH , góc tạo bởi đường thẳng SC
và mặt phẳng  ABC  bằng 600 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

A.

a 3
.
25

B.

a 3
.
45

C.

a 3
.
15

D.

a 3
.
5

Câu 62. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng
vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Biết AC  2a, BD  4a. Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng AD và SC.
A.

4a 13

.
91

B.

a 165
.
91

C.

4a 1365
.
91

D.

a 135
.
91

Câu 63. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , AB  AC  2a , hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết SH  a ,
khoảng cách giữa 2 đường thẳng SA và BC là
A.

2a
.
3

B.

4a
.
3

C.

a 3
.
2

D.

a 3
.
3

Câu 64. Cho khối chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hình chiếu vuông góc của S
trên mặt phẳng  ABCD  là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD  3HB . Biết góc giữa mặt phẳng

 SCD 

và mặt phẳng đáy bằng 45 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD là
A.

3a 34
.
17

B.

2a 13
.
3

C.

2a 51
.
13

D.

2a 38
.
17

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Câu 65. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là
trung điểm các cạnh AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với ABCD
mặt phẳng và SH  a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a .
A.

2 3a
.
19

B.

2 3a
.
19

C.

2a
.
5

D.

a
.
5

Câu 66. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  BC  2a ; hai mặt
phẳng  SAB  và  SAC  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Gọi M là trung điểm của AB , mặt
phẳng  ABC  đi qua SM và song song với BC cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng  SBC 
và  ABC  bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a .
A.

2a 39

.
13

B.

2a 39
.
13

C.

2a 11
.
13

D.

2a 11
.
13

Câu 67. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  BC  2a . Tam giác
SAC cân tại S có đường cao SO  a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a .
A.

a 3
.
2

B. 2a 3 .

C. a 3 .

D. a .

Câu 68. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2 HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng  ABC  bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a .
A.

a 42
.
8

B.

a 42
.
4

C.

a 42
.
12

D.

a 42

.
10

Câu 69. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và mặt phẳng  SBD  tạo với mặt phẳng  ABCD  một góc bằng 60 . Gọi M là trung
điểm của AD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BM .
6a
2a
a
A.
.
B.
.
C.
.
11
11
11

D.

3a
.
11

Câu 70. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy  ABC  bằng
a 21
. Góc tạo bởi mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 60 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của
7
AB, SC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, MN .

A.

9a 3
.
42

B.

3a 3
.
42

C.

6a 3
.
42

D.

12a 3
.
42

Câu 71. Cho hình lập phương ABCD. ABCD cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính
d  CK ; AD  .
A.

2a

.
3

B.

a
.
3

C.

3a
.
4

D.

4a
.
3

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Câu 72. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình bình hành với AB  2a ; BC  a 2 ; BD  a 6 .

S
 ABCD  là trọng tâm G của tam giác BCD, biết
Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng
SG  2a.
AC và SB
Khoảng cách giữa hai đường thẳng
theo a là:
a
a
A. a .
B. 2a .
C. .
D. .
2
3
Câu 73. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB  4a; BC  3a, gọi I là
trung điểm của AB, hai mặt phẳng  SIC  và  SIB  cùng vuông góc với  ABC  , góc giữa hai mặt
phẳng  SAC  và  ABC  bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a là:
A.

12a 3
.
5

B.

3a 3
.
5

C.

2a 3
.
5

D.

5a 3
.
3

Câu 74. Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD  60 . Gọi G là trọng tâm tam giác ABD,

SG  ( ABCD) và SG 

a 6
. Gọi M là trung điểm CD. Tính khoảng cách giữa các đường thẳng
3

AB và SM theo a .
A.

a 2
.
2

B.

a 3

.
2

C.

a 5
.
2

D.

a 7
.
2

Câu 75. hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a , tam giác SAB cân
tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ D đến  SBC  bằng

2a
. Khoảng
3

cách giữa hai đường thẳng SB và AC là :
A.

a 10
.
10

B.

a 10
.
5

C.

2a 10
.
5

D.

2a 5
.
5

Câu 76. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Khi đó, tỉ số
A.

2
4

a 2 .d  MN , A ' C 
bằng
VA. A' B 'C ' D '

B.

2
2

C.

3 2
4

D.

2
3

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 18


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

C – HƢỚNG DẪN GIẢI
VÉC TƠ - TÍNH VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1. Cho tứ diện ABCD . Lấy các điểm M , N , P, Q lần lượt thuộc AB, BC, CD, DA sao cho
AM 

1
2
1
AB, BN  BC , AQ  AD, DP  k DC .

3
3
2
Hãy xác định k để M , N , P, Q đồng phẳng.

A. k 

1
2

B. k 

1
3

C. k 

1
4

D. k 

1
5

Hƣớng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1.
Ta có AM 

A
1
1
AB  BM  BA   BA
3
3

2
BA .
3
2
Lại có BN  BC do đó MN AC .
3
Vậy Nếu M , N , P, Q đồng phẳng thì

M
Q

 BM 

 MNPQ    ACD   PQ


AC

D

B
N

1
1
PC QA

 1 hay DP  DC  k  .
2
2
PD QD

P
C

Cách 2. Đặt DA  a, DB  b, DC  c thì không khó khăn ta có các biểu diễn
2
2
1
1
1
2
MN   a  b , MP   a  b  kc , MN   a  b
3
3
6
3
3
3

Các điểm M , N , P, Q đồng phẳng khi và chỉ khi các vec tơ MN , MP, MQ đồng phẳng
 x, y : MP  xMN  yMQ
2

1
2 
1 
 2
 1
  a  b  kc  x   a  c   y   a  b 
3
3
3 
3 
 3
 6

Do các vec tơ a, b,c không đồng phẳng nên điều này tương đương với

1
2
 2

x

y


 3
6
3

1
3

1
 1
 x  , y  1, k  .
 y  
3
4
2
 3
2
3 x  k

1
Câu 2. Cho hình hộp ABCD. A1B1C1D1 . M là điểm trên cạnh AD sao cho AM  AD. N là điểm trên
2
đường thẳng BD1 . P là điểm trên đường thẳng CC1 sao cho M , N , P thẳng hàng.

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 19


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

MN

Tính

.
NP

A.

1
.
3

B.

1
.
2
Hƣớng dẫn giải

2
.
3

C.

D.

3
.
4

Chọn B

Đặt AB  a, AD  b, AA1  c và BN  xBD1 ; CP  yCC1  yc .
Ba điểm M , N , P thẳng hàng nên MN   .NP 1 .

Ta có: MN  MA  AB  BN
1
1
  b  a  xBD1   b  a  x BA  BC  BB1
3
3
1
1

  b  a  x a  b  c  1  x  a   x   b  xc  2 
3
3

Ta lại có:













NP  NB  BC  CP   xBD1  b  yc   x b  a  c  b  yc
 NP  xa  1  x  b   y  x  c  3

Thay (2), (3) vào (1) ta được:
1  x   x

2
3
3
 1
 x    1  x  . Giải hệ ta được   , x  , y  .
3
5
2
 3
 x    y  x 
MN

Vậy
NP



2
.
3

Câu 3. Giả sử M , N , P là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC . Gọi I là
giao điểm của ba mặt phẳng  BCM  ,  CAN  ,  ABP  và J là giao điểm của ba mặt phẳng

 ANP  ,  BPM  ,  CMN  .
Ta được S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức nào sau đây đúng?

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

MS NS PS 1 JS


 
MA NB PC 4 JI
MS NS PS
JS
D.


1 
MA NB PC
JI
Hƣớng dẫn giải

MS NS PS 1 JS


 
MA NB PC 2 JI
MS NS PS 1 JS
C.



 
MA NB PC 3 JI

A.

B.

Chọn D.
Goi E  BP  CN , F  CM  AP, T  AN  BM .

S

Trong  BCM  có I  BF  CT trong  ANP  có

M

NF  PT  J .

P
F

Đặt SA  a, SB  b, SC  c và
SM  xMA, SN  yNB, Sp  zPC

T N

x
y

z
Ta có SM 
a, SN 
b, SP 
c
x 1
y 1
z 1

J

E

I

A

C

 x  0, y  0, z  0  .
Do T  AN  BM nên
B


T  AN
ST   SM  1    SB



T  BM


ST   SN  1    SA
  SM  1    SB   SN  1    SA


x
x 1

a  1    b 

y
y 1

b  1    a . Vì a, b không cùng phương nên ta có

x

 x



1



 x  1
x  y 1
x
y



 ST 
a
b.
 y
y
x  y 1
x  y 1

 
 1
 y  1
x  y 1

Hoàn toàn tương tự ta có:
y
z
z
x
SE 
b
c, SF 
c
a.
y  z 1
y  z 1
z  x 1
z  x 1
Làm tương tự như trên đối với hai giao điểm I  BF  CT và NF  PT  J ta được:
1

1
SI 
xa  yb  zc , SJ 
xa  yb  zc
x  y  z 1
x yz2
x  y  z 1
Suy ra SJ 
SI  SJ   x  y  z  1 IJ
x yz2
SI
SM SN SP
Vậy S , I , J thẳng hàng và
 x  y  z 1 


 1.
IJ
MA NB PC









Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CB, AD và G là
trọng tâm tam giác BCD,  là góc giữa 2 vectơ MG và NP . Khi đó cos có giá trị là:

2
2
Chọn C

A.

B.

2
3

C.

2
6

D.

1
2

Hƣớng dẫn giải:
Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 21


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Đặt AB  a; AC  b; AD  c;
1
1
 AG  (a  b  c)  MG  AG  AM  (a  2b  2c)
3
6
1
PN  AN  AP  (a  b  c)
2
Không mất tính tổng quát, giả sử độ dài các cạnh của tứ diện đều bằng 1
1
 a  b  c  1 và a.b  b.c  c.a  1.1.c os600 
2

 cos  cos( MG, PN ) 

MG.PN

(*)

MG . PN
Ta có:  MG.PN 


1
(a  2b  2c)(a  b  c)
12

2

2
2
1
1
(a  ab  ac  2ab  2b  2bc  2ac  2bc  2c ) 
12
12

1
1
1
2
(a  2b  2c) 2  ; PN 
(a  b  c) 2 
6
2
2
2
1
1
2

. (*)
Thay vào (*) ta được  cos  12 
1 2 3 2 6
.
2 2
MG 

Câu 5. Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC và BDA  600 , ADC  900 , BDC  1200 . Trong các mặt

của tứ diện đó:
A. Tam giác ABD có diện tích lớn nhất.
B. Tam giác BCD có diện tích lớn nhất.
C. Tam giác ACD có diện tích lớn nhất.
D. Tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Hƣớng dẫn giải
Chọn D

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Đặt DA  DB  DC  a
Tam giác ABD đều cạnh a nên diện tích S ABD 

a2 3
.
4

Tam giác ACD vuôn tại D nên diện tích S ACD 

1
a2
DA.DC  .
2
2

Diện tích tam giác BCD là S BCD 

1
a2 3
DB.DC sin1200 
.
2
4

Tam giác ABC có AB  a, AC  a 2, BC  a 3 nên tam giác ABC vuông tại A . Diện
tích tam giác ABC là S ABC

1
a2 2
 AB. AC 
.
2
2

Vậy diện tích tam giác ABC lớn nhất.
Câu 6. Cho hình lăng trụ ABCD. ABCD . Hình chiếu vuông góc của A lên  ABC  trùng với trực tâm
H của tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây không đúng?
A.  AABB    BBC C  .
B.  AAH    ABC   .

C. BBCC là hình chữ nhật.

D.  BBC C    AAH  .
Hƣớng dẫn giải

Chọn A

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên BC
 H  AK , BC  AK , BC  AH  BC   AAH 
  AAH    ABC  

  BBC C    AAH  nên đáp án B,C,D đúng.

BC  BB


Câu 7. Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O
trên mặt phẳng  ABC  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.

1
1
1
1 .




2
2
2
OH
AB
AC
BC 2

C.

1
1
1
1
.



2
2
2
OA OB
OC
BC 2

B.

1
1

1
1 .



2
2
2
OA
AB
AC
BC 2

1
1
1
1 .



2
2
2
OH
OA
OB
OC 2
Hƣớng dẫn giải

D.

Chọn D

Ta có
OA  OB 
  OA   OBC   OA  BC .
OA  OC 
Mà OH   OBC   OH  BC .

Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 24