De thi HSG tinh lop 12- vinh phuc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2008-2009
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT chuyên)
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu 1. Giải hệ phương trình:







−=+
−=+
−=+
=+
128
4
8
2
33
22
ytxz
ytxz
ytxz
yx
Câu 2. Cho tam giác

ABC
ngoại tiếp đường tròn
)(I
, với ba đường trung tuyến
000
,, CCBBAA
. Gọi
a
ω
,
b
ω
,
c
ω
theo thứ tự là các đường tròn với đường kính
000
,, CCBBAA
tương ứng. Chứng minh rằng: nếu hai trong ba đường tròn
a
ω
,
b
ω
,
c
ω
tiếp
xúc với
)(I

thì đường tròn thứ ba cũng tiếp xúc với
)(I
.
Câu 3. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương
);;( zyx
sao cho:
12
1
=−
+
yx
z
Câu 4. Cho dãy số
{ }
0
≥
n
n
a
xác định như sau:



≥∀−−=
==
−+
127
1
11
10

naaa
aa
nnn
.
Chứng minh rằng: mọi số hạng của dãy đều là số chính phương.
Câu 5. Cho các số dương
cba ,,
. Chứng minh rằng:
abcacccbbbaa 2
3111
≥
+
+
+
+
+
——Hết——
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ tên thí sinh ........................................................................... SBD ....................