THỂ TÍCH HÌNH CHÓP HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

THỂ TÍCH HÌNH CHÓP
A - LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1
1) Nếu khối chóp đã cho có chiều cao h và diện tích đáy B thì thể tích tính theo công thức V  B.h
3

2) Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì ta phải xác định được vị trí chân đường cao
trên đáy.
a) Chóp có cạnh bên vuông góc chiều cao chính là cạnh bên.
b) Chóp có hai mặt bên vuông góc đáy đường cao là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy.
c) Chóp có mặt bên vuông góc đáy chiều cao của mặt bên vuông góc đáy.
d) Chóp đều chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy.
e) Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnhlên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao là
từ đỉnh tới hình chiếu.
Chú ý: Các công thức tính diện tích đáy
a) Tam giác:
1
1
1
1
1
1
 S  a.h a  b.h b  c.h c
 S  bcsin A  ca.sin B  absin C
2
2
2
2
2
2
abc

 S
 S  pr
 S  p  p  a  p  b  p  c 
4R
 ABC vuông tại A: 2S  AB.AC  BC.AH
a2 3
S
 ABC đều, cạnh a:
4
2
b) Hình vuông cạnh a: S = a (a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b
(a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành ABCD: S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD
1
e) Hình thoi ABCD: S  AB.AD.sinBAD  AC.BD
2
1
f) Hình thang: S   a  b  .h (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1
g) Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc: S  AC.BD
2

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 1


B – BÀI TẬP
HÌNH CHÓP ĐỀU

Câu 1: Thể tích (cm3) khối tứ diện đều cạnh bằng
2
3
Hướng dẫn giải:

A.

B.

2 2
81

2
cm là :
3
2 3
C.
81

Gọi cạnh tứ diện đều là a. Dễ dàng tinh được V = a3.

D.

3
18

2 2
2
2
. Thay a =

ta được V =
12
81
3

Chọn đáp án B.
Câu 2: Thể tích của khối bát diện đều cạnh a là:
2
2
3
A. a 3
B. a 3
C. a 3
3
6
2
Hướng dẫn giải:

D. a3 6

Thề tích của khối chóp tứ giác đều có các cạnh bằng a có thể tích là V1=

a3 2
6

Mà thể tích của khối bát diện đều bằng 2V1. Do đó thể tích khối bát diện đều là V= a 3

2
.
3

Chọn đáp án A.
Câu 3: Kim tự tháp Kê-ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên. Kim tự
tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao 147m, cạnh đáy dài 230m. Thế tích V của khối
chóp đó là?
A. V  2592100 m3
B. V  7776300 m3
C. V  2592300 m3
D. V  3888150 m3
Hướng dẫn giải:
1
+ Thể tích của kim tự tháp Kê - ốp là V  .147.2302  2592100 m3
3
Chọn đáp án A.
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tất cả các cạnh bên tạo với mặt phẳng
đáy một góc 600. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
a3
a3 6
a3 3
a3 3
A.
B.
C.
D.
3
6
2
3
Hướng dẫn giải:
Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là chóp

đều nên SO  (ABCD)
Theo giả thiết ta có SAO  SBO  SCO SDO  600
Trong
tam
giác
OBS
ta
có
a 2
a 6
SO  OB.tan 600 
. 3
2
2
1
1 a 6 1 3
 a 6
Thể tích khối chóp V  S ABCD .SO  a 2 .
3
3
2
3
Chọn đáp án B.

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 2


Câu 5: Một khối chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b, chiều cao h. Khi đó thể tích khối chóp là:
3 2

3 2
3 2
3 2
(b  h 2 )b
(b  h 2 )h
(b  h 2 )h
(b  h 2 )
A.
B.
C.
D.
8
4
4
12
Hướng dẫn giải:
Gọi M là trung điểm BC của hinh chóp S.ABC và H là
S
hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC). Khi đó AH=
3 2
b 2  h 2 , AM=
b  h 2 . Gọi x là cạnh của tam giác
2
đều ABC suy ra

x 3
3 b2  h2 x 3


 x 2  3(b2  h2 )

2
2
2
Diện tích tam giác ABC:
3 3  b2  h2 
3 2
S
 VSABC 
(b  h 2 )h
4
4
Chọn đáp án B.
AM 

A

C

H
M
B

Câu 6: Tính thể tích của khối chóp S.ABCD có tất cả các cạnh bằng 1.
3
3
2
A.
B.
C.
6

2
6
Hướng dẫn giải:
1
1 1
2
.1 
Gọi O là tâm của ABCD, ta có V  .SO.S ABCD 
3
3 2
6
Chọn đáp án C.

D.

2
2

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên tạo với đáy một góc 600 . Thể tích

của khối chóp đó bằng:
a3 3
a3 3
A.
B.
12
6
Hướng dẫn giải:
a 3 tan  a 3 3
V


nên
12
12
Chọn đáp án A.

C.

a3 3
36

D.

a3 3
18

Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a. Mặt bên tạo với mặt đáy một góc 600.
Tính thể tích V của hình chóp S.ABC.
a3 3
a3 3
a3 3
a3 3
A. V 
B. V 
C. V 
D. V 
12
24
6
2

Hướng dẫn giải:
Gọi các điểm như hình vẽ. Theo đề suy ra SIA  600
a 3
a 3
a
 HI 
 SH 
Ta có AI 
2
6
2
3
a 3
Vậy V 
24
Chọn đáp án D.

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 3


Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB  a , SA=a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của các cạnh SA, SB và CD. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.
a3 3
a3 6
a3 6
a3 6
A. V 
B. V 
C. V 

.
D. V 
48
12
36
48
Hướng dẫn giải:
a 6
Gọi O là tâm của đáy ABCD. Tính được SO=
2
1 1
1
1
VAMNP= VABSP= VABCD= . SO. AB 2
8 3
8
4
Chọn đáp án .
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
600. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
4a 3 3
2a 3 3
2a 3 6
a3 3
A.
B.
C.
D.
3
3

3
3
Hướng dẫn giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là trung điểm CD. Khi
đó SO là đường cao hình chóp, góc SMO là góc giữa mặt
bên và mặt đáy của hình chóp.
AD 2a
OM 

 a  SO  OM .tan 600  a 3 . Suy ra
2
2
1
1
4a 3 3
2
VS . ABCD  S ABCD .SO   2a  .a 3 
3
3
3
Chọn đáp án A.

Câu 11: Khối chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khi đó độ dài đường cao h của khối
chóp là:
a 3
a 2
A. h  3a
B. h 
C. h 
D. h  a

2
2
Hướng dẫn giải:
2

a 2
a 2
h  SO  a  
 
2
 2 
Chọn đáp án B.
2

Câu 12: Cho tứ diện đều ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
Cho biết diện tích tứ giác MNPQ bằng 1, tính thể tích tứ diện ABCD.
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 4


11
24
Hướng dẫn giải:

A. V 

B. V 

2 2
3

C. V 

2
24

D. V 

Ta chứng minh được MNPQ là hình vuông, suy ra cạnh tứ diện bằng 2, V 

11
6

2 2
3

Chọn đáp án B.
Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau, đường cao của một mặt bên là a 3 .
Tính thể tích V khối chóp đó.
a3 2
a3 2
a3 2
A. V  a3 2
B. V 
C. V 
D. V 
9
6
3
Hướng dẫn giải:

Gọi các đỉnh của hình chóp tứ giác đều như hình vẽ bên và
đặt cạnh bằng AB  2 x . Khi đó SO  x 2, OH  x suy ra
1
a3 2
SH  x 3 . Vậy x  a . Khi đó V  SO. AB 2 
3
3
Chọn đáp án B.

Câu 14: Để làm một hình chóp tứ giác đều từ một tấm tôn hình vuông
có cạnh bằng 1  3 , người ta cắt tấm tôn theo các tam giác cân bằng
nhau
MAN , NBP, PCQ, QDM sau đó gò các tam giác
ABN , BCP, CDQ, DAM sao cho bốn đỉnh M , N , P, Q trùng
nhau(hình vẽ).
Biết rằng, các góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân là 1500 . Tính thể
tí�i H : SH  AH .tan SAH 

D. V 

3a 3
.
12

3a
2

3a 2
.
4

1
3a 3
.
Vậy VS . ABC  SH .S ABC 
3
8
Chọn đáp án A.

và S ABC 

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 28


Câu 15: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là trung điểm của BC và SB hợp với đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối chóp

S.ABC.
a3
3a 3
3a 3
B. V 
C. V  .
.
.
24
8
8
Hướng dẫn giải:
Do SH   ABC    SB;  ABC    SBH  600.

D. V 

A. V 

Xét tam giác SBH vuông tại H : SH  BH .tan SBH 

3a 3
.
12

3a
2

3a 2
.
4
1
a3
Vậy VS . ABC  SH .S ABC  .
3
8
Chọn đáp án C.

và S ABC 

Câu 16: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là trung điểm của BC và  SAB  hợp với đáy một góc 450. Tính thể tích V của khối
chóp S. ABC.
a3

3a 3
A. V 
B.
V .
.
16
16
Hướng dẫn giải:
Do HK  AB  AB   SHK   AB  SK

C. V 

a3
.
8

D. V 

3a 3
.
12

   SAB  ;  ABC    SKH  450.

1
a 3
, do
Gọi M là trung điểm AB  HK  CM 
2
4

a 3
tam giác SHK vuông cân tại H  SH  HK 
4
2
3a
.
và S ABC 
4
1
a3
Vậy VS . ABC  SH .S ABC  .
3
16
Chọn đáp án B.

Câu 17: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh BC sao cho CH  2 HB, SB hợp với đáy một góc 600. Tính thể
tích V của khối chóp S. ABC.
a3
a3
A. V  .
B. V  .
12
6
Hướng dẫn giải:

C. V 

a3
.

4

D. V 

3a 3
.
12

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 29


Do SH   ABC    SB;  ABC    SBH  600.
Xét tam giác SBH vuông tại H : SH  BH .tan SBH 

3a
3

3a 2
.
4
1
a3
Vậy VS . ABC  SH .S ABC  .
3
12
Chọn đáp án A.

và S ABC 

Câu 18: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh BC sao cho HC  2 BH , SA hợp với đáy một góc 600. Tính thể
tích V của khối chóp S. ABC.
a3
a3
7a3
.
A. V  .
B. V 
C. V  .
12
12
4
Hướng dẫn giải:
Do SH   ABC    SA;  ABC    SAH  600.

D. V 

3a 3
.
8

Xét tam giác AHB :

7a 2
AH  AB  BH  2 AB.BH .cos ABH 
.
9
a 7
 AH 

.
3
Xét tam giác SAH vuông tại
21a
3a 2
H : SH  AH .tan SBH 
.
và S ABC 
3
4
1
7a3
.
Vậy VS . ABC  SH .S ABC 
3
12
Chọn đáp án B.
2

2

2

Câu 19: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh BC sao cho HC  2 BH , và tam giác SAH vuông cân. Tính thể
tích V của khối chóp S. ABC.
7a3
21a 3
.
.

A. V 
B. V 
12
36
Hướng dẫn giải:

C. V 

a3
.
4

D. V 

3a 3
.
8

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 30


Do SH   ABC    SA;  ABC    SAH  600.
Xét tam giác AHB :

AH 2  AB 2  BH 2  2 AB.BH .cos ABH 

7a 2
.
9

a 7
.
3
Do tam giác SAH vuông cân tại H nên SH  AH và
3a 2
S ABC 
.
4
1
21a 3
.
Vậy VS . ABC  SH .S ABC 
3
36
Chọn đáp án A.
 AH 

Câu 20: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng  ABC  là điểm H trên cạnh BC sao cho HC  2BH ,  SAB  hợp với đáy một góc 600. Tính
thể tích V của khối chóp S. ABC.
3a 3
3a 3
.
.
A. V 
B. V 
12
24
Hướng dẫn giải:

Gọi M là trung điểm AB. Dựng
HK  AB  HK / /CM và
1
a 3
HK  CM 
. Ta có
3
6
AB   SHK   AB  SK

C. V 

3a 3
.
4

D. V 

3a 3
.
6

   SAB  ;  ABC    SKH  600.

Xét tam giác SKH vuông tại
3a 2
a
.
H : SH  KH .tan SKH  và S ABC 
4

2
1
3a 3
.
Vậy VS . ABC  SH .S ABC 
3
24
Chọn đáp án A.

Câu 21: Cho hình chóp S. ABC có các cạnh SA  1, SB  2, SC  3, AB  3, BC  CA  7 . Tính thể
tích V khối chóp S. ABC .

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 31


3
2
B. V 
2
4
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng : Phương án C
Lời giải:

A. V 

C. V 

2

2

D. V 

3
4

SA2  SB 2  AB 2 1  4  3 1
+ cos ASB 

  ASB  600
2SA.SB
2.1.2
2
+
SB 2  SC 2  BC 2 4  9  7 1
cos BSC 

  BSC  600
2SB.SC
2.2.3
2
2
2
2
SC  SA  CA
9 1 7 1
+ cos CSA 

  CSA  600

2SC.SA
2.3.1
2
+ Trên SB lấy trung điểm D và trên SC lấy E sao cho
1
SE  SC .
3
Khi đó SADE là tứ diện đều cạnh bằng 1 cho nên thể tích của nó là VSADE 

2
12

VSADE SD SE 1
2

.
 V 
V
SB SC 6
2
Chọn đáp án C.

+ Mặt khác,

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên
mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB = 2HA. Cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy
(ABCD) một góc bằng 600 . Khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng (SCD) là:
a 13
a 13
a 13

A.
B.
C. a 13
D.
2
4
8
Hướng dẫn giải:
 SC ,  ABCD     SC , CH   SCH  600
a 13
a 39
; SH  HC.tan 600 
3
3
1
1 a 39  2 1 a 1 2a  a 3 39
 SH ( S ABCD  S AHD  S BHC ) 
 a  a.  . .a  
3
3 3 
2 3 2 3 
18

HC  BH 2  BC 2 
1
VSHDC  SH .S HDC
3

VCKSD 1
1

a 3 39
  VCKSD  VCHSD 
VCHSD 2
2
36
Tính độ dài các cạnh SD, SC. Khi đó:
2a 2 3
3V
a 13
SSDC 
 d K , SDC   KSDC 
3
SSDC
8
Chọn đáp án D.

Câu 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB là tam giác cân tại
đỉnh S. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 450 , góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt
phẳng đáy bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng
CD và SA bằng a 6 .

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 32


8a 3 3
4a 3 3
2a 3 3
a3 3
A.

B.
C.
D.
3
3
3
3
Hướng dẫn giải:
+ Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lờn mặt đáy, M là trung điểm AB và do tam giác SAB cân
tại S nên SM vuông góc với AB và kết hợp với SH vuông góc với đáy suy ra AB vuông góc với mặt

phẳng SMN nên theo giả thiết ta được:  SA,( ABCD)   SAH  450  SA  SH 2

 (SAB),  ABCD     SM , MH   SMH  60
+

0

2
3
+ Từ điểm N kẻ NP vuông góc với SM thì dễ thấy NP là
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD suy ra
NP  a 6 . Ta có
2
SH .MN  NP.SM  SH . AB  a 6.SH
 AB  2 2a  SH  a 3
3
4SH 2
+ Trong tam giác SAM ta có SA2  AM 2  SM 2  2SH 2 
 2a 2  SH  a 3

3
1
a 3.8a 2 8 3a 3
VS . ABCD  SH .S ABCD 

3
3
3
Chọn đáp án A.
Câu 24: Cho mặt phẳng  P  chứa hình vuông ABCD . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

P

 SM  SH .

tại A, lấy điểm M. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P tại C lấy điểm N (N cùng phía

với M so với mặt phẳng  P  ). Gọi I là trung điểm của MN. Thể tích của tứ diện MNBD luôn có thể
tích được bằng công thức nào sau đây ?
1
1
1
1
A. V  . AC.S IBD
B. V  AC.S BDN
C. V  BD.S BMN
D. V  BD.S MBD
3
3
3

3
Hướng dẫn giải:
Ta có hình vẽ sau:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra IO song song với AM,
suy ra IO vuông góc với mặt phẳng ABCD.
 OI  AC
Mà AC  BD; OI và BD là 2 đường thẳng cát nhau cùng thuộc
mặt phẳng  IBD  . Khi đó AC   IBD  ; hay AO   IBD 
Ta có MN giao với  IBD  tại I


d  M ;  IBD  
d  N ;  IBD  



IM
1
IN

VMIBD
1
 1  VMIBD  VNIBD  VMNBD 1
VNIBD
2
1
1 AC
1
Mặt khác VMIBD  . AO.DIBD  .
.S IBS  2  . Từ (1) và (2)  VMNBD  . AC.S IBD .

3
3 2
3
Chọn đáp án A.


Câu 25: Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy AB  AC  5a, BC  6a và các mặt bên tạo với đáy một
góc 600 . Hãy tính thể tích V của khối chóp đó?
A. V  2a3 3
B. V  6a3 3
C. V  12a3 3
D. V  18a3 3
HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 33


Hướng dẫn giải:
Kẻ SO   ABC  và OD, OE, OF lần lượt vuông góc với BC, AC, AB .
Theo định lí ba đường vuông góc ta có SD  BC, SE  AC, SF  AB
(như hình vẽ).
Từ đó suy ra ABC  ABC  ABC  600 . Do đó các tam giác vuông
SDO, SEO, SFO bằng nhau. Từ đó suy ra OD  OE  OF . Vậy O là
tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A nên
OA vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung
tuyến. Suy ra A, O, D thẳng hàng và D là trung điểm của BC.
Suy ra AD  AB 2  BD 2  16a 2  4a .
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp của
nó.
1
3

Khi đó SABC  .6a.4a  12a 2  pr  8ar . Suy ra r  a
2
2
3 3a
Do đó SO  OD.tan 600 
.Vậy VS . ABC  6 3a 3 .
2
Chọn đáp án B.
Câu 26: Cho hình chóp S.ABC, có tất cả các mặt bên tạo với đáy góc  , hình chiếu của đỉnh thuộc
miền trong tam giác AB C. Biết AB  3a, BC  4a và AC  5a . Khi đó thể tích V của khối chóp BC
bằng bao nhiêu ?
A. V  2a3 tan 
B. V  2a3 cos 
C. V  6a3 tan 
D. V  6a3 cot 
Hướng dẫn giải:
Phân tích : đầu tiên cần xác định đường cao. Việc tưởng trừng như đơn gian nhưng nếu không tinh
ý nó lại trở nên khó khăn. Mấu chốt của bài toán chính la tất cả các mặt phẳng bên tạo với đáy 1 góc



Ta có bài toán phụ sau:
Nếu tất cả các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm nội tiếp mặt
đáy
Công thức cần dùng S= p.( p  a)( p  b)( p  c)  p.r  6a 2
Hay 6a2=6a.r hay r=a( r :bán kính nội tiếp tam giác)
Chiều cao r.tan   a.tan 
1
Vậy V  .a tan .6a 2  2a 3 .tan 
3

Chọn đáp án A.
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC  2BD  4a , cạnh bên SA  a 5 ,
AC
hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H trên cạnh AC sao cho AH 
, M là hình
4
chiếu vuông góc của C trên SA. Tính thể tích của khối chóp SMBC theo a.
4a 3
2a 3
a3
A.
B.
C.
D. 2a3
15
3
3
Hướng dẫn giải:

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 34


SH  SA2  AH 2  2a
 AM  AC.sin MCA  AC.sin ASH  AC.

AH 4a 5

SA
5

AM 4
S
  S SMC  SAC
AS 5
5
VB.SAC VS . ABCD SH . AC.BD 4a 3
 VB.SMC 



5
10
60
15
Chọn đáp án A.


Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều,
SC  SD  a 3 . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Gọi I là trung điểm của AB;
J là trung điểm của CD. Gọi H là hình chiếu của S trên (ABCD). Qua H kẻ đường thẳng song song với
AB, đường thẳng này cắt DA và CB kéo dài tại M,N. Các nhận định sau đây.
(1) Tam giác SIJ là tam giác có SIJ tù
6
(2) sin SIH 
3
(3) MSN là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAD)
1
(4) cos MSN 
3

Chọn đáp án đúng:
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có IJ=a;
a 2 a 11
SJ  SC  JC  3a 

4
2
Áp dụng định lý cosin cho tam giác SIJ ta có
3a 2 11a 2
2
a


2
IJ 2  IS 2  SJ 2
4
4  a  3 0
cos SIJ 

2.IJ .IS
3
a 3
a2 3
2.a.
2
2

2

2

 

Suy ra, tam giác SIJ là tam giác có SIJ tù.
Từ giả thiết tam giác SAB đều và tam giác SCD là cân đỉnh S, ta có H thuộc IJ và I nằm giữa HJ
3
tức là tam giác vuông SHI có H  900 , góc I nhọn và cos I  cos SIH   cos SIJ 
( SIJ và SIH
2
kề bù)
6
sin SIH 
3
Từ giả thiết giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng d qua S và song song với
AD.
Theo định lý ba đường vuông góc ta có SN  BC , SM  AD  SM  d ; SN  d  MSN là góc
giữa hai mặt phẳng. (SBC) và (SAD), MN = AB = a
Xét tam giác HSM vuông tại H có :
a 2
a
2a 2 a 2 a 3
, HM   SM  SH 2  HM 2 


 SN
2
2
4
4

2
Theo định lý cosin cho tam giác SMN cân tại S có
SH 

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 35


3a 2 3a 2
a2

 a2
SM  SN  MN
1
4
cos MSN 
 4
 22 
2
3a
3a
2SM .SN
3
2.
4
2
Chọn đáp án D.
2

2

2

Câu 29: Tính thể tích V của khối chóp S. ABC có độ dài các cạnh SA  BC  5a, SB  AC  6a và
SC  AB  7a.
35 2 3
35
A. V 
B. V  a3 .
C. V  2 95a3.
D. V  2 105a3.
a.
2
2
Hướng dẫn giải:
Qua các đỉnh của tam giác ABC, vẽ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng đôi một
cắt nhau tạo thành tam giác MNP như hình vẽ.
Dễ thấy tứ diện S.MNP là tứ diện vuông đỉnh S và
S
1
VS . ABC  VS .MNP
4
Đặt x  SM , y  SN , z  SP , ta có:
 x 2  y 2  4  5a  2
 x 2  76a 2

 2
2
 2
2

2
 y  z  4  6a    y  24a
 2
 z 2  120a 2
2
2

 z  x  4  7 a 
1
1
 VS . ABC  VS .MNP 
xyz  2 95a3
4
24
Chọn đáp án C.

M

C
A

P
B

N

HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết
Facebook: />Trang 36