Thác triển chỉnh hình kiểu hartogs chirka
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (428.88 KB, 29 trang )
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖
P❍❸▼ ❚❍➚ ◆●➴❈
❚❍⑩❈ ❚❘■➎◆ ❈❍➓◆❍ ❍➐◆❍ ❑■➎❯
❍❆❘❚❖●❙✲❈❍■❘❑❆
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✲
P❍❸▼ ❚❍➚ ◆●➴❈
❚❍⑩❈ ❚❘■➎◆ ❈❍➓◆❍ ❍➐◆❍ ❑■➎❯
❍❆❘❚❖●❙✲❈❍■❘❑❆
❈❍❯❨➊◆ ◆●⑨◆❍✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼❶ ❙➮✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✷
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
●❙✳ ❚❙❑❍✳ ◆●❯❨➍◆ ◗❯❆◆● ❉■➏❯
❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ tr➯♥ ❧➔ ❞♦ tæ✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❝õ❛
●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ♥➯✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣
t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ✤÷ñ❝ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❜➜t ❦ý ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❦❤♦❛ ❤å❝ ♥➔♦ ❦❤→❝✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✻ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❚→❝ ❣✐↔
P❤↕♠ ❚❤à ◆❣å❝
❳⑩❈ ◆❍❾◆
❈Õ❆ ❑❍❖❆ ❈❍❯❨➊◆ ▼➷◆
❳⑩❈ ◆❍❾◆
❈Õ❆ ◆●×❮■ ❍×❰◆● ❉❼◆
●❙✳❚❙❑❍ ◆❣✉②➵♥ ◗✉❛♥❣ ❉✐➺✉
✐
ớ ỡ
r q tr ồ t ự t tổ
ữủ sỹ ú ù t t ừ ữớ ữợ
ổ ụ ố ỷ ớ ỡ ở ổ t t ồ
t ủ ữợ tổ õ t t tốt
tớ õ t t ỏ õ t õ ỳ
t sõt ố ữủ ỵ ỗ õ õ ỹ
ừ t ổ
ổ tr trồ ỡ
t
P ồ
▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
▲í✐ ❝↔♠ ì♥
▼ö❝ ❧ö❝
▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
✐
✐✐
✐✐✐
✶
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶
◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶
P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶
❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶
✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
✷
✶✳✶
❍➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷
✶✳✷
❍➔♠ ✤❛ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❞÷î✐ ✈➔ ♠✐➲♥ ❣✐↔ ❧ç✐
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✺
✶✳✸
❈❤✉é✐ ❋♦✉r✐❡r ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ sü ❤ë✐ tö
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷ ✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❍❛rt♦❣s ✈➔ ❝→❝ ♠ð rë♥❣
✷✳✶
✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❍❛rt♦❣s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷
✣✐♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ❍❛rt♦❣s✲❈❤✐r❦❛ ✈➲ ♠ð rë♥❣ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣
❧➙♥ ❝➟♥ ✤ç t❤à
✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✼
✽
✽
✾
❑➳t ❧✉➟♥
✷✸
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
✷✹
✐✐✐
▼ð ✤➛✉
✶✳ ▲➼ ❞♦ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✳
❚❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❧➔ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♠ët
❜✐➳♥✳❚r♦♥❣
C
♠å✐ ♠✐➲♥ ♣❤➥♥❣ ✤➲✉ ❧➔ ♠✐➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ tç♥
t↕✐ ♠ët ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❦❤æ♥❣ t❤➸ ♠ð rë♥❣ ❧➯♥ ♠ët ♠✐➲♥ rë♥❣ ❤ì♥ t❤➟t sü✳ ❚✉②
♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ♥❤✐➲✉ ❝❤✐➲✉ ✭C
n ✱ ♥
≥ 2✮
t❤➻ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❝á♥
✤ó♥❣ ♥ú❛ ✳ ✣à♥❤ ❧þ ❝ê ✤✐➸♥ ❝õ❛ ❍❛rt♦❣s ♥â✐ r➡♥❣ ♠å✐ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ❧➙♥
❝➟♥ ❝õ❛ ❜✐➯♥ ♠ët s♦♥❣ ✤➽❛ ✤➲✉ ♠ð rë♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❧➯♥ s♦♥❣ ✤➽❛✳ ✣à♥❤ ❧þ ♥➔② ✤➣
✤÷ñ❝ ❈❤✐r❦❛ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝❤♦ ❝→❝ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤ç t❤à ♠ët ❤➔♠
sè ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à✳ ✣➙② ❧➔ ♠ët ♠ð rë♥❣ r➜t s→♥❣ t↕♦ ✈➔ ❧➔ ❝↔♠ ❤ù♥❣ ✤➸
❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ ✤✐ s❛✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❚❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❦✐➸✉ ❍❛t♦❣s ✲ ❈❤✐r❦❛✳ ❈❤ó♥❣ tæ✐
❝ì ❜↔♥ tr➻♥❤ ❜➔② t❤❡♦ ♠ët ❜➔✐ ❜→♦ ❝❤✉②➯♥ ❦❤↔♦ ❝õ❛ ❇❛rr❡t ✈➔ ❇❤❛r❛❧✐✳
✸✳ ◆❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤❛✐ ✤à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥✿ ✤à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr➸♥ ❍❛t♦❣s ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ❈❤✐r❦❛ ✈➲
♠ð rë♥❣ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ♠ët ✤ç t❤à✳
✹✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❉ò♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦ÿ t❤✉➟t ❝õ❛ ❧þ t❤✉②➳t ✤❛ t❤➳ ✈à ✈➔ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝✳
✺✳ ❈➜✉ tró❝ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣ ❝❤➼♥❤✳
• ❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à✳ ❈❤÷ì♥❣
♥➔② tæ✐ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝
❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤ù❝ ♥❤➡♠ ♣❤ö❝ ✈ö ❝❤♦ ❝❤÷ì♥❣ ✷✳
• ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❍❛rt♦❣ ✈➔ ❝→❝ ♠ð rë♥❣✳ ❚r♦♥❣
❝❤÷ì♥❣ ♥➔② s➩
tr➻♥❤ ❜➔② ❧↕✐ ✤à♥❤ ❧þ ❍❛rt♦❣s ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ❦✐➸✉ ❍❛rt♦❣s✲❈❤✐r❦❛ ✈➲ t❤→❝ tr✐➸♥ ❤➔♠
❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤ç t❤à✳
✶
❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ t❛ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✈➲ ❤➔♠
❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥ s➩ ✤÷ñ❝ ❞ò♥❣ ✈➲ s❛✉✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ q✉❛♥ trå♥❣
❧➔ ♠✐➲♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤✱ ♠✐➲♥ ❣✐↔ ❧ç✐ ❝ò♥❣ ✈î✐ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❧✐➯♥ tö❝ ✤➸ ♥❤➟♥ ❜✐➳t ❝→❝
♠✐➲♥ ❣✐↔ ❧ç✐✳
✶✳✶ ❍➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❜✐➳♥
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❍➔♠ f
①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ♠✐➲♥ D ⊂ C ✈î✐ ❣✐→ trà tr♦♥❣ C
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t↕✐ z0 ∈ D ♥➳✉ tç♥ t↕✐ r > 0 ✤➸ f ❧➔ C✲❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ♠å✐
z ∈ ∆(z0 , r) ⊂ D.
◆➳✉ f ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t↕✐ ♠å✐ z ∈ D t❤➻ t❛ ♥â✐ f ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ D✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳ ❈→❝ ❤➔♠ ✤❛ t❤ù❝ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ t♦➔♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣ ♣❤ù❝ C✳ ❈→❝
❤➔♠ ❤ú✉ t✛ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ C trø r❛ t↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ ♠➔ ♥â ❦❤æ♥❣ ①→❝ ✤à♥❤✳
❈æ♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤② s❛✉ ✤➙② ❧➔ ✤à♥❤ ❧þ ♥➲♥ t↔♥❣ ♥❤➜t ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤
♣❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ ❤➔♠ f (z) ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ D ✈➔ γ ❧➔ ♠ët ❝❤✉ t✉②➳♥
tr♦♥❣ D s❛♦ ❝❤♦ ♠✐➲♥ γ 0 ❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐ γ ♥➡♠ tr♦♥❣ D✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ z0 ∈ γ 0 ✱
t❛ ❝â
❛✮
f (z0 ) =
1
2πi
✷
γ
f (z)
dz.
z − z0
✭✶✳✶✮
❱î✐ n ≥ 1 t❛ ❝â
❜✮
f (n) (z0 ) =
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❣✐î✐ ❤↕♥ ❜ð✐
❛✮ ▲➜②
γ✳
δ >0
❑þ ❤✐➺✉
n!
2πi
γ
f (z)
dz.
(z − z0 )n+1
✤õ ❜➨ ✤➸ ❤➻♥❤ trá♥
Cδ
❧➔ ❜✐➯♥ ❝õ❛
∆(z0 , δ)
∆(z0 , δ) ⊂ γ 0 ,
✭✶✳✷✮
♣❤➛♥ ♠➦t ♣❤➥♥❣
✈➔ ✤➦t
Dγ,δ = γ 0 \∆(z0 , δ).
❉♦
Dγ,δ
❧➔ ♠✐➲♥ ✷✲❧✐➯♥✱ ♥➯♥ t❛ ❝â
γ∪Cδ−
f (ν)
dν = 0.
ν − z0
❚ø ✤â ❝â ✤➥♥❣ t❤ù❝
γ
❇➔♥❣ ❝→❝❤ t❤❛♠ sè ❤â❛
Cδ
f (ν)
dν =
ν − z0
Cδ
f (η)
dη.
η − z0
η = a + δeiφ , dη = iδeiφ dφ
2π
f (η)
dη =
η − z0
0
✭✶✳✸✮
t❛ ❝â
f (z0 + ρeiϕ ) iϕ
ρe dϕ
ρeiϕ
2π
f (z0 + ρeiϕ )dϕ
=i
0
2π
[f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ + 2πif (z0 ).
=i
0
❈❤♦
δ→0
t❛ ❝â
2π
[f (z0 + ρeiϕ ) − f (z0 )]dϕ = 0.
lim
δ→0
0
❱➟② t❛ ❝â
lim
δ→0
γ
f (η)
dη = 2πif (z0 ).
η − z0
✭✶✳✹✮
❑➳t ❤ñ♣ ❧↕✐ t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❜✳ ❇➡♥❣ ❝→❝❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❞÷î✐ ❞➜✉ t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❛ ❝â ❝æ♥❣ t❤ù❝ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
◆❤í ❝æ♥❣ t❤ù❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤② t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✈➲ ❜✐➸✉
❞✐➵♥ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ♠ët ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ t❤➔♥❤ ♠ët ❝❤✉é✐ t❤ø❛✳
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ♠✐➲♥ ♠ð D✳ ❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ a ∈ D✱
❤➔♠ f ❝â t❤➸ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ t❤➔♥❤ ❝❤✉é✐ ❧ô② t❤ø❛ tr♦♥❣ ♠å✐ ❧➙♥ ❝➟♥ ✤õ ♥❤ä ❝õ❛ a
∞
cn (z − a)n .
f (z) =
n=0
✸
✭✶✳✺✮
ỡ ỳ số ừ ộ ữủ t t ổ tự
f (n) (a)
.
n!
cn :=
ứ ỵ tr ú t õ t
ữ s
f ữủ ồ t z Cn f õ t
tr ữủ t ộ tứ tr ừ z f tr
D õ t ồ z D
ữỡ tỹ ữ ỵ ởt ự ú t õ t q
s
ỵ sỷ U = U (a, r) = {z Cn : |zj aj | < rj j = 1, . . . , n}
t a r = (r1 , . . . , rn )
= {z Cn : |zj aj | = rj
j = 1, . . . , n}.
f tử tr U tr U t
f (z) =
1
2i
n
f ()d1 ã ã ã dn
(1 z1 ) ã ã ã (n zn )
z U.
ỵ s ữủ ự tữỡ tỹ ữ ởt
ỵ sỷ {fn} ở tử tr ồ t t tr D tợ
f t f tr D
ự
z0 D
t ợ ồ
ồ
z U (z0 , r)
fn (z) =
(fn )
ở tử tợ
f
r >0
tr
1
2i
D(z0 , r)
ừ
U (z0 , r) D
ổ tự
t õ
D(z0 ,r)
fn ()
d.
z
t ợ ữợ t
t ữủ
fn (z) =
ợ ồ
z D(z0 , r)
t
f
1
2i
D(z0 ,r)
tr
fn ()
d
z
D(z0 , r)
ỷ ử ỵ tr ú t õ ỵ s t t ừ ồ
ỵ
sỷ D ởt tr C F H(D)
ỵ t
õ F tr t t ồ {fn } F
ự ởt fnk ở tử tr t t
ỏ ữợ ỗ
D t tr C u : D [, +) ữủ
ồ ỏ ữợ tr D u ỷ tử tr tr D, u = tr t
t tổ ừ D tọ t tự ữợ tr ữợ
tr D ợ ồ x D tỗ t r > 0 s (x, ) D ợ ồ
0 r < r t õ
1
u(x)
2
2
u(x + reit )dt.
0
ỵ u ỏ ữợ tr t D1 v
ỏ ữợ tr t D2 D1 sỷ ợ ồ x D1 D2 t õ
lim sup v(z) u(x).
zx
õ
u =
max{u, v}
trD2
u
tr D1 \ D2
ỏ ữợ tr D1 .
t q s ú ú t trỡ õ ỏ ữợ
ỵ u ỏ ữợ tr t D C ợ u =
1 1x
(x) =
e
2
x < 1
x 1.
0
ợ r > 0 ữỡ t t
r (z) =
1
z
2
2
r
r
z C.
õ u r ỏ ữợ trỡ tr Dr ỡ ỳ u u tr D.
ố ỳ ữợ ữủ t ữ
s
ỵ f : D1 D2 ỳ t
tr C u ỏ ữợ tr D2 t t u f ụ ởt
ỏ ữợ tr D1
t D tr Cn ỷ tử tr
u : D [, +) ỏ ữợ ừ u ộ ữớ t
ự ỏ ữợ
õ ởt số t t s
ỵ ỷ tử tr u : D [, +) tr ồ t
tổ ừ D Cn ổ ỗ t õ u P SH(D)
ợ ồ a D, b Cn
{a + b : C, || 1} D,
t õ
1
u(a)
2
2
u(a + ei b)d = L(u, a, b).
0
ỵ t t ởt ỏ ữợ tũ
ỵ ỏ ữợ trỡ tr ởt ỡ
ỵ u ỏ ữợ tr t D tr Cn
ữỡ s D := {z D : d(z, D) > } = t u C (D ) P SH(D )
ồ {u : > 0} ỡ 0 ợ ồ z D t õ
lim u (z) = u(z).
0
ữợ ởt tr ỳ q trồ t ừ
t ự
D Cn ồ tỗ t ừ
f tr D ổ t rở tợ ởt ợ
ỡ D õ ởt tr ừ t ộ tứ t ồ
z 0 D ổ t ở tử tr ồ P (z 0 , r) ợ r < (z 0 , D)
sỷ D ởt tr Cn ợ ồ t t
K D t
D = {z D : |f (z)| f
K
K
, f H(D)}
D ữủ ồ ỗ ừ D ồ ỗ
K
D t ợ ồ t t tr D
K
D tr Cn ồ ỗ D õ ởt
ữợ t ự tỗ t u P SH(D) {u < c} t
tữỡ ố ợ ồ c R
ỵ D Cn t s tữỡ tữỡ
D
D ỗ
D ỗ
ộ rr ừ số tử sỹ ở tử
ỵ ừ ụ sỷ ử ởt số t t ừ ộ rr
t tr ởt số tử t ộ rr
t s
sỷ f t s tr [, ] ộ rr
ừ f ộ ữủ s
0
+
Ff (x) :=
2
(n cos(nx) + n sin(nx))
n=1
tr õ
1
n =
n =
1
f (t) cos(nt)dt, n = 0, 1, 2, . . .
f (t)(sin nt)dt, n = 1, 2, . . .
t q s ú t ừ ộ rr ừ
f
ữ
tr ở tử
ỵ sỷ f õ t t õ Ff (x) = f (x)
t x (, ) t õ f tử ờ qt ỡ
1
Ff (x) = [f (x+ ) + f (x )]
2
x ởt ừ f.
❈❤÷ì♥❣ ✷
✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤
❍❛rt♦❣s ✈➔ ❝→❝ ♠ð rë♥❣
✷✳✶ ✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❍❛rt♦❣s
❚❛ ♣❤→t ❜✐➸✉ ✈➔ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❞↕♥❣ ✤ì♥ ❣✐↔♥ s❛✉ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ t❤→❝ tr✐➸♥ ❍❛rt♦❣s✳
✣à♥❤ ❧þ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈➔♦ ✤➛✉ t❤➳ ❦✛ ✷✵✳
✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦ f ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ tr➯♥ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ t➟♣ ❝♦♠♣❛❝t
(∂∆ × ∆) ∪ (∆ × ∂∆). ❑❤✐ ✤â f ♠ð rë♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❧➯♥ s♦♥❣ ✤➽❛ ∆ × ∆.
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ▲❛✉r❡♥t ❝õ❛ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ♠ët ❜✐➳♥ tr➯♥
❤➻♥❤ ✈➔♥❤ ❦❤✉②➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥
∞
ak (w)z k ,
f (z, w) =
k=−∞
ð ✤➙②
z∈U
❧➔ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ ✤➽❛ ✤ì♥ ✈à
∂∆, w ∈ ∆
✈➔
f (z, w)
dz.
zk
ak (w) =
|z|=1
ak
❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❧➜② ✤↕♦ ❤➔♠ ❞÷î✐ ❞➜✉ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
❤➻♥❤ tr➯♥
∆
tr➯♥✱ t❛ ✈✐➳t
✈î✐ ♠å✐
k.
❚❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
k = −k , k > 0
ak = 0
♥➳✉
k < 0.
❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾♥❤
❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝
✈➔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ✈î✐
f (z, w)z k dz.
ak (w) =
|z|=1
❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧þ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❈❛✉❝❤②✱ ❦❤✐
❝â t❤➸ ①➨t
f˜(z, w) :=
k≥0 ak (w)z
w
✤õ ❣➛♥
∂∆
❝❤ó♥❣ t❛ ❝â
k ❧➔ ♠ð rë♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❝õ❛
✽
f
ak (w) = 0.
❱➟② t❛
❧➯♥ s♦♥❣ ✤➽❛✳
ỳ ố t tr ổ tr r ự ữủ
rở s ừ ỵ õ tr
ỵ F tử tr tọ
F
< 1. ỵ
(F ) = {(z, F (z)) : z } ỗ t ừ F sỷ f ởt tr
ởt ừ (F ) ( ì ). õ f rở s
ì .
s ổ ự ỵ õ õ t ữủ s r tứ
ự ỵ t ừ ử t t
ỵ rtsr rở
tr ỗ t
t t q t ừ t q ró ỡ
f
t tr ữủ
ỵ F C(; C) sỷ r
F
< 1 ỵ an (r)
số rr tự n ừ F (rei ), r > 0, n Z. sỷ số tọ
nZ
|an (r)|
<1
rn
r (0, 1].
sỷ D1 ởt ừ (F ) ( ì ) D2 ởt t tổ
t ý tọ ì D2 D1 ({|z| 1} ì ). õ f H(D1 ) t
f |D2 õ t tr s ì .
ú ỵ r t ỵ
F (rei )
t số
F (rei )
ởt số
tự trữợ õ t ự ỵ r
t t ỵ
tr
r
t t
a.
r
M(a; r, R)
ợ t t
ụ t
R
ỵ
(a; r)
C (; Cm ), m = 1, 2, . . .
Cn
t t ỵ
(D, D )
ởt t tr tr
tt tr
Cn
ợ ổ
ừ
q
Cn .
ởt số t q ờ trủ
õ
trỏ
tr ỡ õ t tr t tử tr
tr
aC
D
.
D.
D
ởt
õ
D
õ ổ t
ờ ồ G(rei ) =
N
n=N
N
n=N
gn (r)ein sỷ G C (; C) tọ
|gn (r)|
<1
rn
r (0, 1].
õ
N
gn (r)
Mr () =
n
r
n=N
M(0; r, 1),
,
tở H[M(0; r, 1)]C[M(0; r, 1)] tọ |Mr (ei )| < 1 ố N
K
M(0; 1/, 1) ởt t t õ (0, 1/]ìK
(r, ) Mr ()
t tr t tử [0, 1/] ì K.
ự
ự ừ ờ ú ỵ r
N
i
|Mr (e )|
n=N
ố
N
rỗ ố t t
t số
[0, 1/] ì K,
ei
|gn (r)|
r
(0, ] ì K
N
n
K
=
n=N
r = 0,
M(0; 1/, 1)
(r, ) gn (r)(r/)n
trt t t
|gn (r)|
< 1.
rn
õ t rở tử
n = 1, 2, . . . , N
ợ ộ
t
(r, ) gn (r)(/r)n , n = 1, 2, . . . , N.
ú ỵ r
|gn (r)| < rn n = 1, 2, . . . , N.
G
ữủ sỷ trỡ
tr t ộ tr ữủ t tr tử t
n C([0, 1/k] ì K)
ữủ ữ s
n (r, ) :=
Mr
gn (r)(/r)n ,
n
1 d gn
,
n! drn r=0
tờ ỳ tứ
(r, ) (0, 1/k] ì K,
(r, ) {0} ì K.
gn (r)(r/)n
t tr tt
tự ừ ờ
ờ G ữ tr ờ ữ sỷ t r
G
< 1
ỵ D1 ừ (G) ( ì ) ữ tr ỵ õ t
õ s
{Mr }r(0,1) ởt ồ tử t ợ 0 \{0} ố
r Mr (0 ) tử tr (0, |0 |)
limr0+ Mr (0 ) tỗ t ợ ộ 0 \{0} tỗ t H() s
() = limr0+ Mr () tr \{0}
ủ
E := () 0
t t
ự
P ỷ q trỹ t ừ ờ
õ t õ t
() := lim Mr ()
r0+
ố
k N.
\{0}.
ờ ú t
(Mr |M(0;1/k,1) )() () tr ồ t ừ M(0; 1/k, 1) r
0
ứ t tr t t r
|M(0;1/k,1) H[M(0; 1/k, 1)]
k = 2, 3, 4, . . .
rữợ ự t t t r
(Mr ) 0 < r < 1
Mr
ữủ ỹ s
t ữủ t ợ
(G)
ồ
t tr ừ ú t ỵ t tự ữủ ợ
ì
t õ
|Ar ()| max
sup |Ar (x)|, 1
max{ G
|x|=r
B(0; r, 1)
ợ ộ
r (0, 1)
Mr ()
=0
ợ ừ
tr
từ ừ ố tồ ở õ
, r}
\{0}
|()| supx=0 |G(x)|
()
tr
t tr t tr
D.
tọ
ứ ừ ờ
t õ t
(z, w)
/ D1
E
t õ t r E
õ t t r tỗ t
{r(k)}kN (0, 1)
{k }kN s r(k) 0 k (k , Mr(k) (k )) (z, w) k
ự t r tt
ỹ tỗ t
(D1 ) > 0
ử tở
D1
(z, w) E
s
(, Mr ()) D1 r, || <
(D1 )
õ
z = 0
t ổ ự
(z, w)
/ D1 .
0,
tỗ t
ớ
1 N
2 N
ở tử tr t
s
|Mr(k) () ()| < /2
Mr
k 1 , (z; |z|/2).
s
k (z; |z|/2)
|w Mr(k) (k )| < /2
k 2 .
t tự tr t r
|w (k )| |w Mr(k) (k )| + |Mr(k) (k ) (k )| <
s r
(z, w) ()\D1
t
k max{1 , 2 }.
w = limk (k )
ự
ờ s õ tr ự ỵ rữợ ự
õ t t t q ỡ s
ờ F C(; C) ỵ an(r) số rr ừ
F (rei ), r > 0, n Z. sỷ r
F
< 1
F tọ
nZ
|an (r)|
<1
rn
r (0, 1].
trữợ > 0 tỗ t G C (; C) õ
N
i
Cn (r)ein ,
G(re ) =
n=N
tr õ N số ữỡ ừ ợ Cn C ([0, 1]; C), s
|F () G()| <
,
G õ t t (1) tọ tữỡ tỹ ừ (2) tr ợ Cn (r)
ữủ t An (r) ữ tr
tr
r t t (2) ữủ t
2 F ổ õ số rr
t G õ t ữủ ỹ s õ tọ t t (1) Cj 0 ợ
j = 1, 2, . . . , N.
ự
m
aj (r)eij
Sm (, r) :=
j=m
n (, r) :=
t t sỷ
F
S0 (, r) + ã ã ã + Sn (, r)
.
n+1
tọ t t
(2)
>0
ừ ọ s
n<1 F
|an (r)|/rn < 1
+
,
r (0; 1],
nZ
t
:= min(, )
N >0
ỗ t số tỹ
|F (rei ) N (, r)| < /2
s
(, r) [0, 2) ì [0, 1].
t q tr q ừ ỵ r ợ
r [0, 1]
t ừ ỵ r ử t
ố
F (rei )
tr ự ừ ỵ r t t r t tử ỗ ừ
{F (rei )}r[0,1] C(T)
ồ
N
t t
tr tố t ợ
r [0, 1]
N
aj (r)eij ,
N (, r) =
j=N
t t t
Cj (r)
|aj (r)| |aj (r)| r [0, 1]
ợ ộ
j = 1, 2, . . . , N,
tọ s
Cj C ([0, 1]; C),
Cj
trt t tợ ổ t
r0 ,
|aj (r) Cj (r)| /2(2N + 1) r [0, 1]
số rr t õ
{An (r)}nZ , |aj (r)| |aj (r)| rj j = 1, 2, . . . , N, r [0, 1).
0 < R0 < 1
ởt số ừ ọ s
R0
4(2N + 1)
1/j
j = 1, 2, . . . , N.
t ồ
❱î✐ ♠é✐
j = 1, 2, . . . , N
t❛ ✤✐♥❤ ♥❣❤➽❛ ❤➔♠
Cj (r)
αj (r)rj ,
♥➳✉
r ≤ R0 ,
βj (r),
♥➳✉
r ≥ R0 ,
Cj (r) :=
♥❤÷ s❛✉✿
t❤ä❛ ♠➣♥
∗
Cj ∈ C ∞ ([0, 1]; C),
∗
αj
❜à tr✐➺t t✐➯✉ tî✐ ❝➜♣ ✈æ ❤↕♥ t↕✐
∗
αj
t❤ä❛ ♠➣♥
✭✐ ✮
✭✐✐ ✮
✭✐✐✐ ✮
r = 0,
|aj (s)|
sj
|αj (r)| ≤ sup
s≤1
∗
✭✐✈ ✮
βj
∀s ∈ [0, R0 ],
t❤ä❛ ♠➣♥
R0j δ
|βj (r) − aj (r)| ≤
2(2N + 1)
❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛
C0 (r)
❧➔ ❤➔♠
C∞
|C0 (r) − a0 (r)| <
✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥
C0 − C0 (0)
∀r ∈ [R0 , 1].
❜➜t ❦ý s❛♦ ❝❤♦
δ
∀r ∈ [0, 1]
2(2N + 1)
tr✐➺t t✐➯✉ tî✐ ❝➜♣ ✈æ ❤↕♥ t↕✐
r = 0.
❇➙② ❣✐í ✤➦t
N
iθ
Cj (r)eijθ .
G(re ) =
j=−N
❈❤ó♥❣ t❛ ❝â ♠ët sè ✤→♥❤ ❣✐→ ✈➲ ❝→❝ ❤➺ sè
Cj ✳ ✣➛✉ t✐➯♥ ①➨t C−j (r), j = 1, 2, . . . , N.
❈❤ó þ r➡♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ✈➝♥ ✤ó♥❣ ♥➳✉ C−j
N
N
|C−j (r) − a−j (r)| ≤
j=1
j=1
δN
δ
≤
2(2N + 1)
2(2N + 1)
N
N
rj
j
|C−j (r)|r ≤
|a−j (r)| +
j=1
j=1
N
|a−j (r)|rj +
≤
j=1
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ①➨t
Cj (r), j = 1, 2, . . . , N.
∗
❝❤➜t ✭✐✐✐ ✮ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛
Cj (r)
N
δ
2(2N + 1)
∀r ∈ [0, 1].
0 ≤ r ≤ R0 ✳
t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
N
rj αj (r) −
j=1
✶✹
✭✷✳✾✮
δ
2(2N + 1)
❚r÷î❝ t✐➯♥✱ ❝❤♦
|Cj (r) − aj (r)| ≤
j=1
≡ 0 ✈î✐ ❜➜t ❦ý j = 1, 2, . . . , N.
|aj (r)|
rj
✭✷✳✶✵✮
❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤
N
2R0j sup
≤
s≤1
j=1
N
δ
4(2N + 1)
≤
j=1
≤
N
j=1
❱➔ ❦❤✐ ①➨t
R0 ≤ r ≤ 1,
|Cj (r)|
≤
rj
|aj (s)|
sj
sup
s≤1
|aj (s)|
sj
δN
,
2(2N + 1)
N
sup
j=1
s≤1
✭✷✳✶✶✮
|aj (s)|
sj
∀r ∈ [0, R0 ].
∗
t❛ sû ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✈ ✮ tr♦♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛
✭✷✳✶✷✮
Cj (r)
✤➸
t❤✉ ✤÷ñ❝
N
N
|Cj (r) − aj (r)| ≤
j=1
j=1
N
j=1
|Cj (r)|
≤
rj
R0j δ
δN
≤
,
2(2N + 1)
2(2N + 1)
N
R0j δ
|aj (r)|
+
rj
2(2N + 1)R0j
j=1
N
≤
j=1
✭✷✳✶✸✮
|aj (r)|
δN
+
j
r
2(2N + 1)
∀r ∈ [R0 , 1].
✭✷✳✶✹✮
❚ø ✭✷✳✶✵✮ ✈➔ ✭✷✳✶✷✮✱ t❛ ❝â
N
j=−N
|Cj (r)|
≤
rj
N
|a−j (r)|rj +
j=1
δN
+ |a0 (r)|
2(2N + 1)
δ
+
+
2(2N + 1)
N
≤
sup
j=−N
s≤1
N
≤
sup
j=−N
s≤1
N
sup
j=1
s≤1
|aj (s)|
sj
|aj (s)|
δ(N + 1)
+
j
s
2(2N + 1)
|aj (s)| k
+ <1
sj
2
∀r ∈ [0, R0 ].
❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ✤÷ñ❝ s✉② r❛ tø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛
|aj (r)| ≤ |aj (r)| ∀r ∈ [0, 1]✳
N
j=−N
|Cj (r)|
≤
rj
k
✭✷✳✶✺✮
✈➔ ❦➳t q✉↔ r➡♥❣
❚✐➳♣ t❤❡♦✱ →♣ ❞ö♥❣ ✭✷✳✶✵✮ ✈➔ ✭✷✳✶✹✮ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
j=0
|aj (r)|
δN
δ
+
+
|a
(r)|
+
0
rj
2(2N + 1)
2(2N + 1)
✶✺
N
|aj (s)|
+
sj
2
sup
s1
j=N
N
|aj (s)| k
+ <1
sj
2
sup
s1
j=N
r [R0 , 1].
ứ t tự t t ữủ
N
j=N
G
|Cj (r)|
<1
rj
r [0, 1],
tọ tữỡ tỹ ừ ợ
Cn (r)
ữủ t
An (r)
tr
tự
t ủ t t ữủ
N
i
i
i
i
|F (re ) G(re )| |F (re ) N (re )| +
|aj (r) Cj (r)|
j=N
<
N
+2ã
+
= .
2
2(2N + 1) 2(2N + 1)
ừ t t r
G õ t t |G()F ()| < D.
t t ỹ t
G
trỡ
ú ỵ t r t tr
t
G
ụ ổ õ số rr
t t ồ
õ t ồ
C0 (r)
Cj 0
F
F
ổ õ số rr
õ t t
(2 )
t
t õ t sỷ ử ũ q t t
tr tr
Cj (r), j = 1, 2, . . . , N.
tr r ỹ ú t tự ừ ờ
ự ỵ
|k| < 2
>0
ừ ừ s
ờ tỗ t
H C (; C)
ợ
H(rei ) =
N
n=N
Cn (r)ein
s
|H() F ()| < ,
sup |H| < 1,
N
n=N
>0
F (D) + k D1 k C
|Cn (r)|
< 1 r (0, 1].
rn
ừ ọ s
s
sup |H| + < 1
N
n=N
+
|Cn (r)|/rn < 1 r (0; 1]
H() + k D1 k C
ợ ộ
k
s
|k| <
tọ
|k| <
H (k) () := H() + k
(k)
Mr ()
:=
Cn (r)
n=0
ử ờ
n
r
(k)
{Mr }r(0;1)
gn (r) = Cn (r)
ợ
n = 0,
H()
(k)
0 \{0}, r Mr (0 )
s
tử tr
(k)
k : |k| < , K(k)
b0 (r) = C0 (r) + k
\{0} limr0+ Mr () = () + k
ợ ộ
k
ợ ộ
tr ờ t r tỗ t
ố t ý
B(0; r, 1).
+ (C0 (r) + k),
ợ
(0, |0 |)
ợ
|k| < .
|k| < .
t t tr õ t
(k)
E (k) := ( + k) 0
ữủ ợ
k
ố ồ
(k)
{(Mr )}r(0,1)
(H (k) ) ( ì )
r t
(n)
(Mr )
ợ
r
tợ
ừ
1
ồ tử ỗ
( + k)
tr
r 0+
D1 .
ú ỵ
t õ t
ử ỵ tử t r
( + k) D1 (D1 ),
U (O) := {(z, w) ì C : (w (z)) O} =
kO
tr õ
O
t ý tr
(0; )
t t ởt ú t ừ
ú
tr
D1
j : D1 D1
ữỡ ự ợ ộ
t ỵ
E(f )
D1
f H(D1 )
tọ
D1 .
ỵ
tỗ t ởt
E(f ) j = f.
ớ tổ tữớ ử tr t ự
ữủ sỹ tỗ t ừ
Mr ( ; k) : B(0; r, 1) D1 r (0, 1),
s
( ; k) : D1
k
ợ ộ
ợ
|k| <
(k)
D1 Mr (; k) = (, Mr ()) B(0; r, 1)
r (0, 1),
D1 (; k) = (, () + k) .
(k)
j(, Mr ()) = Mr (; k)
j(, () + k) = (; k)
tr
r (0, 1).
tr õ
ú ỵ r t ợ ộ
ố
k (; k)
V
t tổ ừ (
ợ ộ
C2
D1 )1 (U (|k|
q A tỗ t ởt W (q)
s ồ
O
V
< )) ự A := image(( ; 0)).
ừ
q s D1 |W (q) : W (q)
õ t t ố ừ ọ s
image(( ; k))
W (q)
k O .
qA
D := U (O ) 2 ,
D2 2 D1 ;
2 U (O )
tr õ
D2
ợ
2
t tổ tọ
tổ
ữủ t tr ỵ
ử t ừ ú t
tr
j.
t ý
D
ữ
D
f H(D1 )
D
U (O )
D1
ữủ tr
s t
ú t t tr
ởt ừ rts
f |D2
f |2
õ t t tr
s t
j(z, w) :=
ú ỵ r
(z; w (z)),
(z, w) U (O )
j(z, w),
(z, w) 2 .
(z, w) U (O ) 2
t t tr t õ
(z; w (z)) = j(z, (z) + {w (z)}) = j(z, w) (z, w) U (O ) 2 .
õ
õ
j
j
t t tr
t ý
ứ
f |2 f |2
f H(D1 ),
ú ỵ r
D
rts tổ tữớ õ
f |D2
f
j.
ứ t õ tr t
f H(D )
ởt ừ
f := E(f ) j.
() ( ì )
õ ởt t tr tr
õ ởt t tr tr
ì .
ì ,
ự
t q t t ỵ s ợ ởt tốt ỡ ữủ
t tr
F
ỵ F C(; C) sỷ sup |F | < 1 ỵ aj (r) số
rr tự j ừ F (rei ), r > 0, j Z sỷ aj 0 j < 0. sỷ D1 ởt
ừ (F ) ( ì ) D2 ởt t tọ
ì D2 D1 ({|z| 1} ì ). f H(D1 ) t f |D2 õ t tr
tr ì .
ờ G(rei ) =
số rr sỷ t
N
in tự sỷ r G(rei ) ổ
n=0 gn (r)e
r G C (; C) õ
N
Dr () =
gn (r)
n=0
r
õ
n
,
(0; r),
tở H[(0; r)] C[(0; r)] tọ Dr (rei ) = G(rei ) [0, 2) ố
k N K
(0; 1 1/k) t t õ (r, ) Dr ()
tử tr [1 1/k, 1] ì K.
ự ừ ờ tr ỡ ú t t õ õ
tt tr ự t q t t
ờ G ữ tr ờ ữ sỷ t r sup |G| < 1.
ồ D1 ởt ừ (G) ( ì ) ữ t tr ỵ
õ
{Dr }r(0,1) ợ tử t r ợ 0 \{0} ố
r Dr (0 ) tử tr (|0 |, 1)
limr1 Dr () tỗ t ợ ộ ợ ởt
H()
E := () 0
õ E t t
ự
P ỷ ừ q ừ ờ
r
() :=
lim
||
Dr ()
ữủ s r tứ ờ ở tử t
tữỡ tỹ ợ tr ự ờ õ t ọ q tt
ú ỵ r
N
gn (1) n .
() =
n=0
Dr
(G)
ợ
ữủ ỹ s
(Dr ), 0 < r < 1
ồ t ừ ú õ
|Dr ()| sup |Dr (x)| sup |G|
|x|=r
õ
E
t ữủ
(0; r)
ợ ộ
r > 1 1/k.
D
t ự
E
õ t ố ợ ữ
t tr ờ
ự ừ ỵ
ự ừ ỵ ụ t ũ
ởt ữợ ữ ừ ỵ t tr ử t tt
tt t
> 0 ừ ọ s F () + k D1 k C s |k| < 2
ờ tỗ t
H C (; C)
ợ
H(rei ) =
N
in s
n=0 Cn (r)e
|H() F ()| <
,
sup |H| < 1.
ỡ ỳ t õ t
sup |H| + < 1
>0
H() + k D1 k C
ợ ộ
k
tọ
ừ ọ s
s
|k| < ,
|k| < .
t
H (k) () := H() + k,
N
(k)
Dr ()
:=
Cn (r)
n=1
ử ờ
(k)
r
{Dr }r(0;1)
n
+ (C0 (r) + k), (0; r).
ợ ộ
gn (r) = Cn (r) n = 1, 2, . . . , N,
k
t
b0 (r) = C0 (r) + k
