Một số lớp bài toán tối ưu không lồi thuật toán và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

PHẠM THỊ HOÀI

MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI:
THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

PHẠM THỊ HOÀI

MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG LỒI:
THUẬT TOÁN VÀ ỨNG DỤNG

Ngành: Toán học
Mã số: 9460101

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. NGUYỄN CẢNH NAM
2. GS. TSKH. LÊ THỊ HOÀI AN

Hà Nội - 2019


LỜI CAM ĐOAN
Bản luận án này được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin học,
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.
Nguyễn Cảnh Nam và GS. TSKH. Lê Thị Hoài An.
Tôi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới và
chưa từng được tác giả khác công bố. Các đồng tác giả đã đồng ý việc đưa
các kết quả công bố chung vào luận án.
Hà Nội, ngày tháng năm 2019

Thay mặt tập thể hướng dẫn

Nghiên cứu sinh

TS. Nguyễn Cảnh Nam

Phạm Thị Hoài

i


LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của TS. Nguyễn
Cảnh Nam và GS. TSKH. Lê Thị Hoài An. Tác giả xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết
ơn sâu sắc tới Thầy, Cô. Thầy Cô đã luôn ân cần hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả kiến
thức về chuyên môn, từng bước định hướng nghiên cứu và truyền cho tác giả niềm đam
mê nghiên cứu khoa học, ý thức tự học, tự tìm tòi bằng tấm gương của mình trong công
việc cũng như trong cuộc sống. Những lời động viên, khích lệ của Thầy Cô là nguồn động

lực to lớn để tác giả có thể vượt qua những khó khăn và trở ngại trên con đường học tập
và nghiên cứu, tự tin bước tiếp trên con đường mình đã chọn.

Trong quá trình học tập nói chung và thực hiện luận án này nói riêng, tác giả cũng
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ, chỉ dẫn tận tình cùng những lời khuyên quý báu
của GS. Hoàng Tụy, GS. TSKH. Lê Dũng Mưu, PGS. TS. Nguyễn Thị Bạch Kim, GS.
TSKH. Nguyễn Đông Yên, TS. Tạ Anh Sơn, TS. Trần Ngọc Thăng, TS. Trần Đức
Quỳnh, TS. Lê Quang Thủy, TS. Nguyễn Thị Bích Thủy, TS. Nguyễn Quang Thuận.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy Cô.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Tổ chức Cán bộ, Phòng
Đào tạo - Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác
giả trong suốt quá trình làm việc, học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo cùng toàn
thể cán bộ Viện Toán ứng dụng và Tin học, Trường Đại học Bách khoa Hà
Nội, đã giúp đỡ, tạo điều kiện để tác giả vừa có thể hoàn thành công tác và
vừa có thời gian học tập, hoàn thành chương trình nghiên cứu sinh.
Trong quá trình thực hiện luận án tác giả cũng nhận được sự hỗ trợ của
Quỹ Phát triển Khoa học và Công nghệ Quốc gia (NAFOSTED) về kinh phí
tham gia báo cáo tại hội thảo khoa học quốc tế và sự giúp đỡ tài trợ từ dự
án của GS. TSKH. Lê Thị Hoài An trong thời gian học tập tại phòng nghiên
cứu về khoa học máy tính và ứng dụng, Đại học Lorraine, Cộng Hòa Pháp.
Ngoài ra tác giả cũng nhận được kinh phí tài trợ mua vật tư, dụng cụ, tài
liệu từ chương trình học bổng 911 trong nước. Tác giả trân trọng cảm ơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS. TS. Đỗ Đức Thuận, TS. Nguyễn Phương
Thùy, ThS. Nguyễn Hải Sơn, TS. Trịnh Ngọc Hải cùng các Thầy Cô và anh chị em
đồng nghiệp trong Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng và Xêmina Bài toán cân
bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan, Viện Toán ứng dụng và Tin học
- Đại học Bách khoa Hà Nội, đã dành cho tác giả những cơ hội học tập trao đổi

chuyên môn cùng những ý kiến đóng góp quý báu giúp cho tác giả hiểu sâu sắc hơn

ii


vấn đề nghiên cứu của mình.
Cuối cùng tác giả xin dành lời cảm ơn đặc biệt gửi tới những người thân yêu trong
gia đình cùng bạn bè của tác giả - những người đã, đang và sẽ là hậu phương vững
chắc, cho tác giả nguồn cổ vũ và động viên tinh thần lớn lao để tác giả có thể hoàn
thành công việc, học tập, nghiên cứu nói chung và luận án này nói riêng.

iii


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
DANH MỤC BẢNG
DANH MỤC HÌNH VẼ

vi
vi
viii

MỞ ĐẦU

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

6

1.1 Tối ưu DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Thuật toán DCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Tối ưu đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Thuật toán giải bài toán tối ưu đơn điệu . . . . . . . . . . . .
Chương 2. THUẬT TOÁN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG

6
6
12
13
13
18

LỒI TRONG VIỄN THÔNG
2.1 Thuật toán giải bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây
OFDMA/TDD..............................
2.1.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Bài toán tối ưu DC đa diện tương đương với bài toán (RAP) .
2.1.3 Thuật toán toàn cục giải bài toán phân bổ tài nguyên cho
mạng không dây OFDMA/TDD (RAP) . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Thuật toán giải bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến
vô tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc tương đương với bài toán (SCEP)
2.2.3 Thuật toán toàn cục nhánh-giảm-cận (BRB) giải bài toán (SCEP)
2.2.4 Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chương 3. THUẬT TOÁN TRÊN KHÔNG GIAN ẢNH GIẢI BÀI TOÁN

25
25
26
29
32
35
36
37
38
42
49

TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU RỜI RẠC
57
3.1 Bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.2 Thuật toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục
tiêu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
iv


3.2.1

Biểu diễn miền tìm kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời
rạc (MODO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Thuật toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu
đa mục tiêu rời rạc (MODO) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3 Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Thuật toán giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu đa
mục tiêu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Thuật toán toàn cục giải bài toán (P ) . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Kết quả tính toán thử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN CHUNG

64
68
69
77
78
79
85
89

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

91

TÀI LIỆU THAM KHẢO

92

v


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

0

véc-tơ không với số chiều phù hợp
n n;

x y
x2R
x; y 2 R n
x; y 2 R n ; x 6 y
x;ny 2 R ; x < y
R

+

T

n

u = x _ y; x; y 2 Rn
vi = x ^ y; x; y 2 R
e

n

[a; b]; a; b 2 R n
(a; b]; a; b 2 R n
[a; b); a; b 2 R

#S
clG

V (P)

x = (x1; : : : ; xn) ; xi 2 R; i = 1; : : : ; n
xi yi; i = 1; : : : ; n
9i 2 f1; : : : ; ng : xi > yi;
xi < yi;ni = 1; : : : ; n
fx 2 R j x 0g
ui = maxfxi ; yig; i = 1; : : : ; n
i
vi = minfxi; yig; i = 1; : : :n; n
véc-tơ đơn vị thứ i trong R , tức là, ei
n

fx 2 R
fx 2 R
fx 2 R

n
n

j a x bg

j a < x bg
j a x < bg

số phần tử của tập S
bao đóng của tập G
tập đỉnh của tập P

vi

= 1; ej

i

= 0; 8j 6= i


BB
BRB
DC
DCA
DMO
FDMA
MO

Branch and Bound
Thuật toán nhánh cận
Branch-Reduce-Bound
Thuật toán nhánh-giảm-cận
Difference of two Convex functions
Hiệu hai hàm lồi
DC Algorithm
Thuật toán hiệu hai hàm lồi
Discrete Monotonic Optimization
Tối ưu đơn điệu rời rạc
Frequency Division Multiple Access
Đa truy nhập phân chia theo tần số
Monotonic Optimization
Tối ưu đơn điệu

OFDMA Orthogonal Frequency Division Multiple Access
Đa truy nhập phân chia theo tần số trực giao
SCEP
Sensor Cover Energy Problem
Bài toán năng lượng phủ cảm biến
TDD
Time Division Duplexing
Song công phân chia theo thời gian
TDMA
Time Division Multiple Access
Đa truy nhập phân chia theo thời gian
t.ư.
tương ứng
v.đ.k.
với điều kiện

vii


DANH MỤC BẢNG

2.1
2.2
2.3
3.1

Kết quả giải bài toán (RAP) bằng Thuật toán 2.2 và Thuật toán 2.3 . .
Kết quả áp dụng các Thuật toán 2.4, 2.5, 2.6 cho bài toán (SCEP) . . .
Kết quả áp dụng Thuật toán 2.5 cho bài toán (SCEP) . . . . . . . . .

Dữ liệu của Ví dụ 3.1 [68] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
50
51
59

Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- RA . . . . . . . . . . . . . . .
Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- RE . . . . . . . . . . . . . . .
Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1- NEWVERTEX . . . . . . . . .
Kết quả tính toán theo Thuật toán 3.1 với các thủ tục cập nhật miền
tìm kiếm và các cách quản lí khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Kết quả tính toán thử nghiệm Thuật toán 3.2 . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Kết quả so sánh Thuật toán 3.3 và Thuật toán 3.4 . . . . . . . . . . .

73
74
75

3.2
3.3
3.4
3.5

viii

76
86
87

DANH MỤC HÌNH VẼ

1.1 Minh họa trên đồ thị của hàm lồi y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2 Minh họa tập chuẩn, đối chuẩn và biên trên, biên dưới tương ứng của
chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1
2
3
4
1
2
4
1.3 Đa khối với tập đỉnh fu ; u ; u ; u g; trong đó fu ; u ; u g là tập đỉnh
3

chính, u là đỉnh không chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Đối đa khối với tập đỉnh chính fz1; z2; z3g . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Minh họa Mệnh đề 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Khung OFDMA/TDD mô tả xung đột giữa hai người dùng . . . . . .

16
16
19
27

2.2 Tài nguyên cấp phát cho một người dùng là khung hình chữ nhật nhận
2.3

2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23

(i1; j1) và (i2; j2) là đỉnh nếu anh ta được cấp hai nút này . . . . . . .
n=25, m=5, Bộ dữ liệu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=25, m=5, Bộ dữ liệu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=25, m=5, Bộ dữ liệu 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=25, m=5, Bộ dữ liệu 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=25, m=5, Bộ dữ liệu 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=25, m=50, Bộ dữ liệu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=25, m=50, Bộ dữ liệu 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=25, m=50, Bộ dữ liệu 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n=25, m=50, Bộ dữ liệu 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=75, m=15, Bộ dữ liệu 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=75, m=15, Bộ dữ liệu 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=75, m=15, Bộ dữ liệu 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=75, m=15, Bộ dữ liệu 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=75, m=15, Bộ dữ liệu 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=75, m=150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=125, m=25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=125, m=250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=175, m=35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=175, m=350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=225, m=45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=225, m=450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix

28
52
52
52
52
52
52
53
53
53
53
53
53
54
54

54
54
54
54
55
55
55


2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
3.1

n=500, m=100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=500, m=1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=750, m=150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=750, m=1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n=1000, m=500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Minh họa Ví dụ 3.1 [68] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I

3.2 Khởi tạo, N = ; và
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7

3.8
3.9

S(N) = [y ; b) . . . . . . . . . . . . . .
1
I
1
I
2
Bước 1, N = fy g và
S(N) = [y ; u ) [ [y ; u ) . . . . . . .
1 2
I
2
I
12
Bước 2, N = fy ; y g và
S(N) = [y ; u ) [ [y ; u ) . . . .
1 2 3
I
12
I
21
Bước 3, N = fy ; y ; y g và S(N) = [y ; u ) [ [y ; u ) . . . . . .
1 2 3
I
21
Bước 4, N = fy ; y ; y g và S(N) = [y ; u ) . . . . . . . . . . . .
Minh họa Ví dụ 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Minh họa Ví dụ 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Số phần tử của tập V (Y ) nhỏ hơn rất nhiều so với số phần tử của tập

Y; YN hay V (convY ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Minh họa Ví dụ 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

55
55
55
56
56
60
61
61
62
62
62
67
67
80
82


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Tối ưu không lồi và tối ưu toàn cục là những vấn đề quan trọng của lí thuyết tối ưu
với rất nhiều ứng dụng trong thực tế. Công trình của GS. Hoàng Tụy năm 1964 [1] về
việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán cực tiểu một hàm lõm với ràng buộc

tuyến tính là xuất phát điểm cho hàng loạt những nghiên cứu về tối ưu không lồi và tối
ưu toàn cục của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước sau này. Trải qua hơn
nửa thế kỷ, những công trình nghiên cứu về vấn đề này vô cùng đa dạng, phong phú
cả về lí thuyết, phương pháp, thuật toán và ứng dụng. Tuy nhiên, do nhu cầu ứng
dụng, sự hấp dẫn về mặt toán học cũng như tính phức tạp của bài toán tối ưu không
lồi nên cho đến nay, việc nghiên cứu giải quyết hiệu quả các bài toán này vẫn mang
tính thời sự và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong và ngoài
nước (xem Tụy [2] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo).
Khó khăn lớn nhất của bài toán tối ưu không lồi tổng quát chính là sự có mặt của
tính không lồi. Điểm khác biệt cơ bản so với bài toán tối ưu lồi là không có một đặc
trưng cụ thể nào cho nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán tối ưu không lồi. Đối với bài
toán tối ưu không lồi liên tục thì nghiệm tối ưu địa phương chưa chắc đã là nghiệm tối
ưu toàn cục của bài toán. Do đó việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục cho một bài toán tối
ưu không lồi, đặc biệt trong trường hợp số chiều lớn là vô cùng khó khăn. Một số
phương pháp chung nổi tiếng giải toàn cục bài toán tối ưu không lồi phải kể đến là:
phương pháp nhánh cận, phương pháp nhánh cắt, phương pháp siêu phẳng cắt.
Theo một tiếp cận khác, ta có thể giải bài toán tối ưu không lồi bằng cách sử dụng
những phương pháp tìm nghiệm tối ưu địa phương. Một trong những thuật toán địa
phương hiệu quả được áp dụng cho rất nhiều lớp bài toán tối ưu không lồi, kể cả
những bài toán cỡ lớn, là thuật toán DCA (Difference of two Convex functions
Algorithm) (xem An và Tảo [3] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo).
Theo GS. Hoàng Tụy [2], nhiều bài toán tối ưu không lồi có thể được xem xét dưới hai
cấu trúc: cấu trúc DC (difference of two convex functions) hoặc cấu trúc DM (difference of
two monotonic functions). Tùy vào đặc điểm của từng bài toán mà ta chọn cách nhìn nhận
phù hợp để có được lời giải hiệu quả. Đặc biệt đối với những mô hình bài toán cụ thể
trong thực tế, việc vận dụng và kết hợp các phương pháp và thuật toán một cách linh
hoạt rất quan trọng vì nó sẽ giúp việc giải quyết vấn đề trở nên dễ dàng hơn. Chẳng hạn,
thông thường, việc giải toàn cục các bài toán tối ưu rời rạc

1

(thuộc lớp bài toán tối ưu không lồi) gặp khó khăn khi sử dụng các thuật toán truyền
thống như: nhánh cận, nhánh cắt, siêu phẳng cắt. . . nhưng sau khi chuyển về một
bài toán tối ưu liên tục, kết hợp với một số kĩ thuật trong tối ưu thì việc giải quyết trở
nên dễ dàng hơn (xem [3, 4]...). Vậy, ngược lại, liệu có thể đưa một bài toán tối ưu
không lồi liên tục về một bài toán tối ưu rời rạc với một lời giải dễ dàng và hiệu quả
hơn không? Trong luận án này, chúng tôi sẽ nghiên cứu thuật toán giải hai bài toán tối
ưu không lồi trong viễn thông, trong đó có vận dụng cả hai cách tiếp cận này.

Như đã biết, các phương pháp giải bài toán tối ưu không lồi được ứng dụng
rộng rãi để giải quyết rất nhiều bài toán tối ưu một hàm mục tiêu duy nhất theo
những điều kiện nhất định. Với những bài toán cần tối ưu đồng thời nhiều mục
tiêu khác nhau thì ta cần các công cụ của Quy hoạch đa mục tiêu (hay Tối ưu đa
mục tiêu hoặc Tối ưu véc tơ). Mục đích của bài toán tối ưu đa mục tiêu là tìm cực
đại hoặc cực tiểu của đồng thời m 2 hàm mục tiêu f1; : : : ; fm trên một tập khác
n

m

rỗng X R . Do không gian giá trị R không có thứ tự đầy đủ nên trong tối ưu đa
mục tiêu, khái niệm nghiệm hữu hiệu (hay nghiệm Pareto) được sử dụng thay cho
khái niệm nghiệm tối ưu thông thường. Việc xác định một phần hoặc toàn bộ tập
nghiệm hữu hiệu XE của bài toán tối ưu đa mục tiêu là một nhiệm vụ khó khăn, đòi
hỏi thời gian và khối lượng tính toán rất lớn vì ngay trong trường hợp bài toán quy
hoạch đa mục tiêu tuyến tính, tức bài toán tối ưu đồng thời m hàm mục tiêu tuyến
tính trên một tập lồi đa diện khác rỗng thì tập nghiệm hữu hiệu X E, nói chung, đã
là tập không lồi với cấu trúc rất phức tạp. Do đó, khối lượng tính toán để xác định
n

toàn bộ XE tăng rất nhanh khi số chiều của không gian quyết định R , số hàm mục
tiêu m và số ràng buộc biểu diễn tập X tăng (xem Benson [5]).
Tuy nhiên, thông thường, rất nhiều bài toán tối ưu đa mục tiêu nảy sinh trong thực
tế thường có số hàm mục tiêu m nhỏ hơn rất nhiều thứ nguyên n của không gian
n

quyết định R nên đã có khá nhiều thuật toán được đề xuất để giải bài toán tối ưu đa
mục tiêu theo hướng tiếp cận trên không gian ảnh. Cụ thể, thay vì xác định một phần
hoặc toàn bộ tập nghiệm hữu hiệu X E, các thuật toán này sẽ cho phép xác định một
T

phần hoặc toàn bộ tập giá trị hữu hiệu Y N = f(XE); trong đó f(x) = (f1(x); : : : ; fm(x)) :
Vì m n nên cấu trúc của Y N đơn giản hơn nhiều so với cấu trúc của X E và tiếp cận
trên không gian ảnh, cho phép giảm đáng kể thời gian tính toán.
Bài toán tối ưu đa mục tiêu liên tục đã được nghiên cứu từ lâu theo cách tiếp cận
trên không gian quyết định cũng như không gian ảnh với rất nhiều thuật toán được đề
xuất (xem [6, 7, 8, 9, 10] và danh mục tham khảo kèm theo). Tuy nhiên, trong khoảng
hơn một thập kỉ trở lại đây, bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc được nghiên cứu bằng
nhiều phương pháp khác nhau như: "-ràng buộc, vô hướng hóa Tchebycheff, vô
hướng hóa tổng có trọng và các phương pháp biến thể khác (xem [11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25]). Trong đó, đáng chú ý phải kể đến một số công
trình như: Przybylski [25], Klamroth và cộng sự [24], Dachert¨ và Klamroth [13],

2


Dachert¨ và cộng sự [23] với các thuật toán hiệu quả được đề xuất. Những công
trình này ([13, 23, 24, 25]) sử dụng lược đồ chung (generic method, viết tắt là GM)
để tìm toàn bộ tập điểm giá trị hữu hiệu như sau: các điểm giá trị hữu hiệu được
tìm ra sau mỗi bước lặp bằng cách sử dụng phép vô hướng hóa; sau bước giải

bài toán vô hướng hóa, một phần không gian của tập ảnh sẽ được loại bỏ để tiếp
tục tìm kiếm những điểm giá trị hữu hiệu còn lại. Miền ở trong không gian ảnh
được sử dụng trong việc tìm kiếm điểm giá trị hữu hiệu được cập nhật sau mỗi
bước lặp và được gọi chung là miền tìm kiếm (the search region). Việc nghiên
cứu cấu trúc và cách cập nhật miền tìm kiếm đóng vai trò quan trọng và ảnh
hưởng đến tính hiệu quả của phương pháp này (xem [13, 23, 24, 25]).
Một bài toán tối ưu không lồi liên quan chặt chẽ với bài toán tối ưu đa mục tiêu
là Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu (hay Bài toán tối ưu trên tập Pareto). Đó là bài
toán tối ưu một hàm số trên tập nghiệm hữu hiệu X E của bài toán tối ưu đa mục
tiêu. Việc giải bài toán này giúp ta chọn được một nghiệm hữu hiệu tốt nhất theo
một mục tiêu nào đó mà không nhất thiết phải xác định toàn bộ X E. Điều này có ý
nghĩa đặc biệt trong việc lựa chọn các phương án để đưa ra quyết định thích hợp.
Bài toán tối ưu trên tập Pareto được nghiên cứu lần đầu trong công trình của
Philip [26] cho trường hợp tuyến tính. Hướng nghiên cứu này sau đó thu hút được
sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước (xem [27, 28, 29, 30, 31, 32,
33, 34, 35, 36, 37] và danh mục các tài liệu tham khảo kèm theo). Tuy nhiên, theo
hiểu biết của chúng tôi, cho đến nay chưa có nghiên cứu nào cho trường hợp bài
toán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mục tiêu tựa lõm, đơn điệu tăng và bài toán
tối ưu đa mục tiêu tương ứng có tập chấp nhận được là tập hữu hạn điểm. Thông
thường, bài toán tối ưu đa mục tiêu dạng này là mô hình toán học của các bài
toán thực tế mà số liệu được cho bằng phương pháp thống kê.

2. Mục đích nghiên cứu
Trong luận án này, chúng tôi tiến hành các nghiên cứu sau:
Mô hình hóa bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD
dưới dạng một bài toán tối ưu rời rạc và đưa bài toán này về một bài toán tối
ưu DC, đề xuất thuật toán toàn cục (nhánh cận kết hợp DCA) để giải.
Nghiên cứu bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến
(SCEP) được đề xuất bởi Astorino và Miglionico [38]. Đây là một bài toán tối ưu
(liên tục) không lồi khó với ràng buộc không lồi. Astorino và Miglionico [38] đã đề

xuất một thuật toán dựa trên tiếp cận địa phương để giải. Chúng tôi đưa bài
toán (SCEP) về dạng một bài toán tối ưu đơn điệu rời rạc và xây dựng thuật
toán toàn cục dựa trên lược đồ nhánh-giảm-cận để giải. Ngoài ra, chúng tôi
cũng đề xuất thêm một thuật toán địa phương hiệu quả cho bài toán (SCEP).

3


Xuất phát từ ý nghĩa quan trọng của miền tìm kiếm đối với bài toán tối ưu đa
mục tiêu rời rạc chúng tôi sử dụng khái niệm đa khối (polyblock) nửa mở cho
việc biểu diễn miền tìm kiếm. Từ đó có được cái nhìn trực quan về miền tìm
kiếm của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc. Bên cạnh việc đề xuất một thủ
tục mới cập nhật miền tìm kiếm cho lược đồ chung GM để tìm toàn bộ tập
điểm giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc, chúng tôi cũng
nghiên cứu sự ảnh hưởng việc quản lí những bài toán con (chính là những
bài toán có được nhờ phép vô hướng hóa) được lưu trong suốt quá trình tìm
kiếm đến tính hiệu quả của lược đồ GM. Theo hiểu biết của chúng tôi, cho
đến nay vấn đề này vẫn chưa được nghiên cứu.

Chúng tôi xét một lớp các bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu với hàm mục
tiêu (của bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu) là đơn điệu tăng tựa lõm, tập
ràng buộc là tập hữu hiệu XE của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc có
miền ràng buộc X bao gồm hữu hạn các điểm cho trước. Chúng tôi đề
xuất thuật toán toàn cục giải bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu này.

3. Đối tượng nghiên cứu
Bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không dây OFDMA/TDD.
Bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến.
Bài toán tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.

4. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu xây dựng mô hình.
Nghiên cứu đề xuất thuật toán giải những bài toán quan tâm.
Tính toán thử nghiệm những thuật toán mới và so sánh với những
thuật toán khác.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Kết quả thu được của đề tài góp một phần nhỏ làm phong phú thêm cho lí thuyết
tối ưu nói chung và tối ưu không lồi nói riêng. Tính hiệu quả của các thuật toán đề
xuất đều được chúng tôi minh họa thông qua việc lập trình chạy thử nghiệm so sánh
với các thuật toán khác cho rất nhiều các ví dụ sinh ngẫu nhiên và các ví dụ có sẵn
với nhiều cỡ bài toán khác nhau. Những thuật toán mới đề xuất này có thể được áp
dụng vào việc giải quyết những vấn đề tương tự trong thực tiễn một cách hiệu quả.

4


6. Cấu trúc và kết quả của luận án
Nội dung chính của luận án được chia thành ba chương như sau:
Chương 1: “Kiến thức chuẩn bị” trình bày một số khái niệm, kết quả và thuật toán
quan trọng của tối ưu DC, tối ưu đơn điệu. Các kết quả ở đây có thể xem là sự chuẩn
bị về mặt lý thuyết để giải ba bài toán tối ưu không lồi trong Chương 2 và Chương 3.
Chương 2: “Một số thuật toán giải hai bài toán tối ưu không lồi trong viễn thông”.
Chương này dành để trình bày những kết quả liên quan đến việc nghiên cứu hai bài
toán tối ưu không lồi trong viễn thông là: bài toán phân bổ tài nguyên cho mạng không
dây OFDMA/TDD và bài toán năng lượng phủ cảm biến cho mạng cảm biến vô tuyến.

Chương 3: “Thuật toán giải một số bài toán trong tối ưu đa mục tiêu rời
rạc”. Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu liên quan tới bài toán
tìm toàn bộ tập giá trị hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc và bài

toán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu rời rạc.
Các kết quả của luận án đã được công bố trong ba bài báo được nhận đăng ở các
tạp chí Computer & Operations Research, Optimization Letters, Pacific Journal of
Optimization, một bài đăng trong kỉ yếu hội nghị quốc tế về kĩ thuật công nghiệp và
quản lí hệ thống Lần thứ 7, 11-13/10/2017 tại Đại học khoa học ứng dụng Saarland,
Saarbrucken, Đức, và một bài báo đang gửi đăng tại tạp chí 4OR A Quarterly Journal
of Operations Research. Các kết quả này đã được tác giả báo cáo tại:

Xêmina Lý thuyết tối ưu và ứng dụng, Bộ môn Toán ứng dụng, Viện
Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày
19/11/2015, 17/12/2015, 24/03/2016,
Xêmina Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan,
Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, ngày 17/05/2016,

Hội nghị Toàn quốc Lần thứ 4 về Ứng dụng toán học, tổ chức tại Đại
học kinh tế quốc dân, Hà Nội, ngày 23-25/12/2015,
Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học Lần thứ 14, Ba Vì, ngày 21-23/04/2016,
Hội nghị quốc tế về kĩ thuật công nghiệp và quản lí hệ thống Lần thứ 7, 1113/10/2017, tại Đại học khoa học ứng dụng Saarland, Saarbrucken, Đức, (7th
International Conference on Industrial Engineering and Systems Management,
Saarland University of Applied Sciences, Saarbrucken, Germany, date 11-13/10/2017),

Xêmina Khoa học dữ liệu và tối ưu các hệ thống phức tạp, phòng nghiên
cứu Opt-Data, Khoa quốc tế, Đại học quốc gia Hà Nội, ngày 04/12/2018.

Xêmina Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại
học Bách Khoa Hà Nội, ngày 18/02/2019.
5


Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này được dành để nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản
liên quan đến tối ưu DC (Mục 1.1) và tối ưu đơn điệu (Mục 1.2). Nội dung
chính của chương này được tham khảo trong [2, 3, 39, 40, 41, 42, 43].

1.1 Tối ưu DC
Mục này sẽ nhắc lại một số khái niệm và kết quả cơ bản liên quan đến
bài toán tối ưu DC và thuật toán DCA.
1.1.1 Một số khái niệm cơ bản
n

Nếu hàm số f xác định trên một tập C R thì ta luôn có thể mở rộng nó
n

thành một hàm xác định trên toàn không gian R bằng cách đặt f(x) = +1 với
mọi x 2= C: Vì vậy không giảm tính tổng quát trong những phần tiếp theo
n

của Mục 1.1 chúng ta sẽ xét hàm f : R ! R [ f ; +1g (tức là một hàm xác định
trên toàn không gian) và quy ước rằng +1 (+1) = +1:
Kí hiệu:
n

domf = fx 2 R j f(x) < +1g (miền hữu hiệu của hàmf);
n

epif = f(x; t) 2 R

R j f(x)

tg (trên đồ thị của hàmf):

Hàm f được gọi là
n

(i) chính thường nếu domf 6= ; và f(x) >

với mọi x 2 R ;
0

n

(ii) nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x 2 R ; tức là
0

lim inf f(x)
x!x

1

0

n

f(x ) với mọi x 2 R ;

0

2

n

(iii) lồi nếu với mọi x ; x 2 R ; 2 [0; 1] ta có
1

f( x + (1

2

1

)x )

f(x ) + (1
6

2

)f(x ):


Ngoài ra f được gọi là lõm nếu f là hàm lồi; aphin nếu f vừa lồi vừa
lõm; f được gọi là lồi chính thường nếu f vừa lồi vừa chính thường. Rõ
ràng, từ định nghĩa ta có f lồi nếu và chỉ nếu trên đồ thị của nó là một
tập lồi. Xem minh họa ở Hình 1.1.
y

EPIf

y=f(x)
x

Hình 1.1: Minh họa trên đồ thị của hàm lồi y = f(x)

Kí hiệu 0(Rn) là tập tất cả các hàm nửa liên tục dưới, lồi chính thường trên Rn;
n
h:; :i và k:k tương ứng là tích vô hướng và chuẩn Euclide trong R :
Ví dụ 1.1. (i) Hàm chỉ của một tập lồi C khác rỗng
0
nếu x 2 C
C

(

1 nếu trái lại

(x) = +

là một hàm lồi chính thường.

P

p 1=p

(ii) Hàm chuẩn của một véc-tơ jjxjjp = ( i jxij ) (p 1) là hàm lồi chính
1=2
thường. Nói riêng chuẩn Euclide jjxjj = hx; xi
cũng là một hàm lồi
chính thường.

(iii) Hàm toàn phương f(x) = 1=2 hx; Qxi + hx; ai + ; trong đó Q là ma trận
n

thực đối xứng cấp n n; a 2 R và 2 R: Nếu Q là ma trận nửa xác định
dương thì f(x) là hàm lồi.
(iv) Hàm
i

(x) = maxf a ; x
i

i; i = 1; : : : ; mg + C (x);

n

n

với a 2 R ; i 2 R; i = 1; : : : ; m; C là tập lồi đa diện khác rỗng trong R ;
là hàm lồi và được gọi là hàm lồi đa diện.
Hàm f xác định bởi
f (y) = supfhx; yi

n

n

f(x) j x 2 R g; với y 2 R
7

được gọi là hàm liên hợp của f:
Hàm bao lồi đóng của hàm f, kí hiệu là cof; là một hàm có trên đồ thị là
bao lồi đóng của trên đồ thị của f: Hàm được gọi là lồi đóng nếu hàm bao lồi
n

đóng của nó là chính nó. Như vậy nếu f 2 0(R ) thì f là hàm lồi đóng và từ
[40, Hệ quả 10.1, trang 154] ta suy ra mệnh đề sau.
n

n

Mệnh đề 1.1. Nếu f 2 0(R ) thì f 2 0(R ) và f = f:
Ví dụ 1.2. (i) Hàm lồi toàn phương f(x) = 1 xT Qx + qT x; với Q là ma trận đối
2

n

xứng xác định dương cấp n n và q 2 R ; có
f (y) = supfhx; yi f(x) j x 2 Rng
= supfhx; yi 1 xT Qx
2
1 T

x Qx + (y

= supf 2
= 1 (y q)T Q(y q):
2

T

n

q xjx2R g
T

n

q) x j x 2 R g

Như vậy, hàm liên hợp của một dạng toàn phương đối xứng xác định dương
cũng là một dạng toàn phương, đối xứng xác định dương. Trong trường hợp

1

2

đặc biệt ta có hàm liên hợp của hàm 2jjxjj là chính nó (xem [40, trang 152]).

(ii) Hàm liên hợp của hàm chỉ
(y) = supfhx; yi

C (x)

ng

jx 2

R

C

= supfhx; yi j x 2 Cg:
n

Cho " > 0; véc-tơ p 2 R được gọi là một "-dưới gradient của hàm chính thường
0

0

f tại x (x 2 domf) nếu
0

p; x x f(x)

0

n

f(x ) + " với mọi x 2 R :
0

Tập tất cả các "-dưới gradient được gọi là "-dưới vi phân của f tại x : Kí hiệu
0
là @"f(x ):
n
0
Véc-tơ p 2 R được gọi là dưới gradient của hàm chính thường f tại x
0
(x 2 domf) nếu

0

p; x x f(x)

0

n

f(x ) với mọi x 2 R :
0

0

Tập tất cả các dưới gradient được gọi là dưới vi phân của f tại x : Kí hiệu là @f(x ):
0

0

Như vậy ta có @f(x ) = \">0@"f(x ):
Định lí sau cho ta biết sự tồn tại của "-dưới vi phân và dưới vi phân của
một hàm chính thường.
8


Định lí 1.1. ([43, Định lí 2.9, trang 19] và [43, Định lí 2.10, trang 20])
n

(i) Với " > 0 bất kì, mỗi hàm lồi chính thường f trên R đều có "-dưới vi
0

phân khác rỗng tại mỗi điểm x 2 domf:
n

n

(ii) Mọi hàm lồi chính thường f nửa liên tục dưới trên R ; tức f 2 0(R ); có
0

dưới vi phân không rỗng tại mỗi điểm x 2 int(domf).

Kí hiệu
n

dom@f = fx 2 R j @f(x) 6= ;g:
n
0(R )

Như vậy, theo Định lí 1.1 nếu f 2

thì int(domf) dom@f:

0

0

0

Ví dụ 1.3. (i) Nếu hàm f khả vi tại x thì @f(x ) = frf(x )g:
(ii) Dưới vi phân của hàm chỉ

C ( ) của một tập lồi C là

@ C (x) = fp j hp; z xi

0 8z 2 Cg = NC (x);

trong đó NC (x) là nón pháp tuyến của C tại x0:
(iii) Dưới vi phân của hàm f(x) = jjxjj là
@f(x) = (fp 2 n j jjpjj = 1; p; x = x
p
p 1g
Rn
f 2 R j jj jj
h
i jj jjg

khi x = 0:
khi x = 0
6

Chi tiết chứng minh có thể tham khảo [43, trang 22].
n

0

(iv) Xét hàm (y) = supx2C hx; yi ; với C là tập lồi trong R : Khi đó p 2 @ (y )
khi và chỉ khi
0

(y)

,
, p; y

0

n

(y ) p; y y 8y 2 R
0
0
sup x; y
p; y sup
x; y
p; y
x2C
ih
i 0 x2C
h0
= x2C

sup

x; y

8y 2 R

n

:

Trường hợp đặc biệt, dưới vi phân của hàm C (y) = supx2C hx; yi ; tại
0
y chính là nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu lồi sau
max x; y
x2C

9

0

:


Bài toán tối ưu DC và đối ngẫu DC
Bài toán tối ưu DC (hay còn gọi là bài toán tối ưu hiệu hai hàm lồi) là một
trong những lớp bài toán quan trọng của tối ưu không lồi được nghiên cứu
mạnh trong hơn nửa thập kỉ gần đây với rất nhiều ứng dụng trong thực tế.
Theo [3, 43], hầu hết các bài toán tối ưu không lồi có thể đưa về một bài
toán tối ưu DC. Bài toán tối ưu DC tổng quát có dạng
= inffg1(x)

h1(x) j x 2 C; u1(x) u2(x) 0g;
n

trong đó g1; h1; u1; u2 là các hàm lồi trên tập lồi C R : Tuy nhiên, theo [3],
bằng cách sử dụng định lí về hàm phạt chính xác và hàm chỉ C ; bài toán
này có thể viết lại được dưới dạng
n

= infff(x) = g(x)

h(x) j x 2 R g;

(P)

n

với g; h là các hàm lồi trên R : Khi g; h thỏa mãn thêm điều kiện nửa liên tục dưới
n

n

trên R (tức g; h 2 0(R )) ta sẽ thu được mối liên hệ giữa bài toán (P) và bài toán đối
ngẫu của nó cùng kết quả về điều kiện tối ưu. Những nội dung này sẽ được trình bày
dưới đây, trích từ các tài liệu [3, 44] và danh mục tài liệu tham khảo kèm theo.
Hàm f trong bài toán (P) được gọi là hàm DC còn g; h được gọi là các thành
phần DC của f: Bài toán (P) được gọi là một bài toán tối ưu DC. Nếu g hoặc h là
hàm lồi đa diện thì bài toán (P) được gọi là bài toán tối ưu DC đa diện. Nếu g và h
n

n

có giá trị hữu hạn trên R thì ta nói f là hàm DC hữu hạn trên R :

Theo định nghĩa của hàm liên hợp và Mệnh đề 1.1 ta có
n

= inffg(x) h(x) j x 2 R g
n

= inffg(x) h (x) j x 2 R g
= inf f g(x)
sup fh x; y i h (y) g j x 2
n

y2R

R

ng

n

= inff (y) j y 2 R g
với
(y) = inffg(x) (hx; yi
=

(h (y)
+

g (y)

1

n

h (y)) j x 2 R g
nếu y domh

2

trường hợp còn lại.

Như vậy bài toán (P) tương đương với bài toán
= inffh (y) g (y) j y 2 domh g:
10


Chú ý rằng với quy ước +1 (+1) = +1 ta có thể viết lại bài toán trên như sau
n

= inffh (y)

g (y) j y 2 R g:

(D)

Như vậy bài toán (P) và bài toán (D) là cặp bài toán đối ngẫu đối xứng, tức là bài toán
(D) là đối ngẫu của bài toán (P) và bài toán (P) là đối ngẫu của bài toán (D). Để tránh

trường hợp tầm thường khi giá trị của

có thể bằng

ta luôn giả

thiết

domg domh và domh

domg

trong những phần tiếp theo.
n

Điểm x được gọi là cực tiểu địa phương của g h trên R nếu g(x ) h(x )
hữu hạn (tức x 2 domg \ domh) và tồn tại một lân cận U của x thỏa mãn
g(x ) h(x ) g(x) h(x); 8x 2 U:

(1.1)

Với quy ước +1 (+1) = +1; bất đẳng thức (1.1) tương đương với
g(x ) h(x ) g(x)

h(x); 8x 2 U \ domg:

Điểm x được gọi là điểm tới hạn của g h nếu @g(x ) \

6; :

@h(x ) =
Định lí sau cho ta điều kiện cần và đủ của nghiệm tối ưu của bài toán (P) và
(D) và mô tả mối quan hệ giữa hai tập nghiệm của cặp bài toán đối ngẫu này.
Định lí 1.2. (Xem [39, Định lí 1 ]) Kí hiệu P và D tương ứng là tập nghiệm
của bài toán (P) và (D). Khi đó
(i) x 2 P nếu và chỉ nếu @"h(x) @"g(x) với mọi " > 0;
(ii) y 2 D nếu và chỉ nếu @"g (y) @"h (y) với mọi " > 0;
(iii)

S

f@h(x) j x 2 Pg D domh ;

S

(iv) f@g (y) j y 2 Dg P domg:
Theo khẳng định (iii) và (iv) của Định lí 1.2, việc giải bài toán gốc (P) tương
đương với việc giải bài toán đối ngẫu (D). Như vậy trong nhiều trường hợp, khi
bài toán gốc "khó giải", ta có thể giải bài toán đối ngẫu. Khẳng định (i) và (ii)
của Định lí 1.2 cho phép kiểm tra một điểm cho trước có phải là nghiệm tối ưu
toàn cục của bài toán gốc (P) hay bài toán đối ngẫu (D) hay không. Tuy nhiên
những điều kiện này rất khó để kiểm tra trong thực tế. Khi đó chúng ta có thể
sử dụng kết quả dưới đây liên quan đến tính tối ưu địa phương.

11


Định lí 1.3. (Xem [45, Định lí 1] hoặc [39, Định lí 2]) Kí hiệu:
P‘ = fx 2 X j @h(x )

@g(x )g;

D‘ = fx 2 X j @g (x )

@h (x )g:

(i) Nếu x là cực tiểu địa phương của g h thì x 2 P‘; tức là @h(x ) @g(x ):
Ngược lại nếu h thỏa mãn thêm điều kiện là hàm lồi đa diện thì từ

@h(x ) @g(x ) kéo theo x là cực tiểu địa phương của g h:
(ii) Cho x là điểm tới hạn của g h và y 2 @g(x ) \ @h(x ): Gọi U là lân cận
của x sao cho U \ domg dom@h:
Nếu với mỗi x 2 U \ domg tồn tại y 2 @h(x) sao cho
h (y)

g (y)

h (y )

g (y )

thì x là cực tiểu địa phương của g h; tức
g(x)

h(x)

g(x )

g(x ); 8x 2 U \ domg:

1.1.2 Thuật toán DCA
Hầu hết các bài toán tối ưu DC là không lồi và việc tìm nghiệm tối ưu toàn cục của
nó đòi hỏi chi phí lớn về thời gian. Vì vậy trong nhiều trường hợp người ta sử dụng
các phương pháp tối ưu địa phương để giải sao cho đảm bảo tính hiệu quả cũng như
chất lượng của nghiệm thu được, đặc biệt khi làm việc với các bài toán cỡ lớn (largescale). DCA là một trong những thuật toán như vậy. Thuật toán DCA được đề xuất lần
đầu bởi GS. Phạm Đình Tảo năm 1986, sau đó được nghiên cứu phát triển, mở rộng
trong rất nhiều các công trình hợp tác của GS. Lê Thị Hoài An và GS. Phạm Đình Tảo
từ năm 1994. Cho đến nay DCA trở thành một công cụ hữu ích giải quyết được nhiều
mô hình bài toán trong thực tế và ứng dụng, kể cả những bài toán cỡ lớn (xem [3] và

danh mục tài liệu tham khảo kèm theo).
k

k

Ý tưởng chính của DCA là xây dựng hai dãy fx g và fy g sao cho giá trị tương
ứng của hàm mục tiêu của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu giảm dần. Hơn nữa
hai điểm tụ của hai dãy tương ứng là điểm tới hạn của bài toán gốc và bài toán
k

k

đối ngẫu. Nói cách khác, trong DCA hai dãy fx g và fy g được xây dựng sao cho

(i) Hai dãy f(g

k

k

h)(x )g và f(h

g )(y )g là hai dãy giảm.
1

k

k

(ii) Mỗi điểm tụ x ( tương ứng (t.ư. ), y ) của dãy fx g (t.ư., fy g) là điểm tới hạn

của g h (t.ư., h
1

g ).

Từ đây chữ "tương ứng" sẽ được viết tắt là "t.ư.".

12


0

k

k

Cụ thể, với điểm xuất phát x 2 domg; các điểm fx g và fy g được xác định
lần lượt bởi
k

k

k+1

y 2 @h(x ); x

k

2 @g (y )(k 0):

k

k+1

Theo định nghĩa của hàm liên hợp và dưới vi phân, y ; x

(k 0); lần

lượt là

nghiệm của hai bài toán tối ưu lồi sau đây
k

y 2 argminfh (y)
xk+1

2

[g (y

argmin g(x)

[h(x

k 1
k)

k

)+ x ;y

+x

n

y

]:y2R g

k 1

x k ; yk

] :x

f

2

Rn

(Dk)
(P

:

g

k

)

Bài toán (Pk) thực chất là một bài toán tối ưu lồi thu được từ bài toán (P) bằng
k

k

cách thay h bởi hàm xấp xỉ aphin tại y 2 @h(x ): Tương tự, bài toán lồi (D k) thu được
k

k1

từ bài toán (D) bằng cách thay g bởi hàm xấp xỉ aphin tại x 2 @g (y ): Tuy nhiên khi
áp dụng DCA ta thường chọn h là hàm lồi sao cho có thể tính @h(x) qua công thức
tường minh. Khi đó việc áp dụng DCA được quy về việc giải một dãy các bài toán tối
ưu lồi. Sau đây là lược đồ tóm tắt của DCA giải bài toán (P) (xem [46]).
0

Khởi tạo: Chọn điểm khởi tạo x 2 domg; số thực > 0 đủ nhỏ, k := 0; er
:= 1:
k

k

Bước 1: Tính y 2 @h(x )
k+1

k

k

n

Bước 2: Tính x
2 @g (y ) = argminfg(x) h x; y i j x 2 R g
Bước 3: Cập nhật er := min jjxk+1 xkjj ; jf(xk+1) f(xk)j
k

maxfkx k; 1g

:

k

maxfjf(x )j; 1g
k+1

Bước 4: Nếu er < thì dừng thuật toán, kết luận x
là nghiệm thu được
bởi DCA. Ngược lại gán k := k + 1 và quay lại Bước 1.
Các kết quả về sự hội tụ và tính chất của thuật toán DCA, có thể xem chi
tiết trong [39, Mục 3.1].

1.2 Tối ưu đơn điệu
Trong mục này, các khái niệm và kết quả cơ bản trong tối ưu đơn điệu và tối ưu đơn
điệu rời rạc được nhắc lại cùng thuật toán nhánh-giảm-cận cho bài toán tối ưu đơn điệu
rời rạc. Nội dung chính của mục được tham khảo trong tài liệu [2, 41, 42, 43].

1.2.1 Một số khái niệm cơ bản
n

Cho x; y; a; b 2 R : Khi đó, x y (t.ư., x < y) nếu xi
i = 1; :::; n: Nếu a b thì hộp [a; b] được xác định bởi
n

[a; b] = fx 2 R j a x
13

bg;

yi (t.ư., xi < yi) với mọi