ĐỀ THI TOÁN THPT QUỐC GIA 2020
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (445.6 KB, 20 trang )
ĐỀ THI THỬ SỐ 13
Câu 1. Cho phương trình:
2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos x 3.
2
Số điểm
biểu diễn nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Câu 2. Cho phương trình:
3sin2x cos2x 4sin x 1 . Tổng các nghiệm trong
; �
khoảng �
�
�của phương trình là:
2
A.
B.
C.
D.
6
3
x
Câu 3. Cho hàm số f x
, hàm số đồng biến trong khoảng nào sau đây:
ln x
A. 0;1
B. 1;e
Câu 4. Giá trị m để hàm số y
C. 0;e
D. e; �
x2 mx 2m 1
có cực trị là:
x
A. m 1
B. m �1
C. m 1
D. m �1
2
2
2
2
Câu 5. Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4
môn trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và 1 môn do thí
sinh tự chọn trong số các môn: Vật lí, Hóa học, Sinh học, Lịch sử và Địa lí.
Trường X có 40 học sinh đăng kí dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn Vật
lí và 20 học sinh chọn môn Hóa học. Lấy ngẫu nhiên 3 học sinh bất kỳ của
trường X. Tính xác suất để trong 3 học sinh đó luôn có học sinh chọn môn
Vật lí và học sinh chọn môn Hóa học?
A. 12
B. 120
C. 134
D. 11
113
247
247
247
2
x x5
Câu 6. Giá trị m để đường thẳng y m cắt đường cong y
tại hai
x2
điểm phân biệt là:
�
�
m �3
m 3
A. �
B. m 3
C. m 7
D. �
m �7
m7
�
�
Câu 7. Cho hàm số y x2 4x 3 x2 6x 8 . Tập xác định của hàm số là:
1;3�
2;4�
A. D �
�
���
�
�
B. D (�;2] �[3; �)
C. D �
2;3�
�
�
D. D �
3
Câu 8. Cho hàm số f x x x . Nếu f ' x f ' x thì x bằng:
A. 0
B. �
1
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
C. �
1
3
D. x tùy ý
Trang 222
18
�2
1�
x x � 1 2x
Câu 9. Tìm hệ số của x8 trong khai triển �
4�
�
A. 125970
B. 4031040
C.
8062080
D. 503880
k
k 1
k2
Câu 10. Ta có: C 14, C 14 , C 14 lập thành cấp số công. Biết k có 2 giá trị là a và b. Giá
trị của ab là:
A. 30
B. 32
C. 50 D. 56
ax b
Câu 11. Cho hàm số y
có bảng biến thiên dưới đây:
xc
Cho các mệnh đề:
(1) Hàm số đồng biến trên toàn tập xác định.
(2) Hệ số a 2;c 2.
(3) Nếu y '
3
x 2
thì b 1.
2
(4) Đồ thị hàm số nhận giao của 2 đường tiệm cận I 2;2 là tâm đối xứng.
Có bao nhiêu mệnh đề sai?
A. 4
B. 3
C. 1
D. 0
Câu 12. Tìm các giới hạn sau:
1 2.3n 2
a
a
Giới hạn lim n
bằng
(phân số tối giản). Giá trị A b 17a
là:
n 1
b
b
2 12.3
A.
1
9
B.
1
18
C.
1
9
D.
17
18
1 3
x 2m 1 x2 mx 4 . Tìm m để: y' 0, x � 1;2 .
3
A. m 0.
B. m 1.
C.0
1
Câu 14. ho là góc thỏa sin . Tính giá trị của biểu thức
4
A (sin 4 2sin2 ) cos
Câu 13. Cho hàm số y
255
225
255
225
B.
C.
D.
128
182
182
128
2x
x
Câu 15. Giải phương trình 4 24.4 128 0. Hỏi phương trình có mấy nghiệm?
A. Một nghiệm
B. Hai nghiệm
C. Ba nghiệm
D. Vô nghiệm
A.
Câu 16. Tính loga
3
a.
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
Trang 223
A. a
B. 1
C.
a
6
D.
1
6
2x y
� 2xy
�2 �
�2 �2
�
�
� � 6� � 7 0 . Khẳng định nào sau đây đúng ?
Câu 17. Cho hệ �
�3�
�3 �
�log9 xy
3
1
�
�
A. Điều kiện x y 0
B. Hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt
C. Hệ đã cho có một nghiệm duy nhất là 1; 2
D. Số nghiệm của hệ đã cho là 3
Câu 18. Phương trình logx 2 log4 x
7
0 có một nghiệm dạng
6
a
b
c
. Khi đó
a b c bằng? (a, c tối giản)
A. 8
B. 9
C. 11
D. 13
x y
�
2 .9 36
�
Câu 19. Xét hệ phương trình �x y
có nghiệm x;y . Khi đó phát biểu nào
3 .4 36
�
sau đây đúng:
A. x 2y 0
B. x 2y 4
C. x 2y 4
D. 2x y 0
Câu 20. Đạo hàm của hàm số y ln 1 x 1
1
A.
1
2 x 1 2 x 1
B.
2
Câu
y
2 x 1 2 x 1
21.
Tìm
D.
2
giá
trị
1
log (x 1) log2(x2 2x 1) 3
2
2
2
2
1
1
C.
2 x 1 2 x 1
của
x
2 x 1 2 x 1
để
hàm
số
có
nghĩa:
:
�
1
1 x
�
A. x 1
B. �
C. x 7
D. 0 x 3
2
x
7
�
Câu 22. Bạn Hùng trúng tuyển vào Trường Đại học Ngoại Thương nhưng vì
do không đủ tiền nộp học phí nên Hùng quyết định vay ngân hàng trong 4
năm mỗi năm 4.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3% / năm. Sau khi
tốt nghiệp Đại học bạn Hùng phải trả góp hàng tháng cho ngân hàng số
tiền t (không đổi) cũng với lãi suất 0,25%/tháng trong vòng 5 năm. Tính số
tiền (t) hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho ngân hàng (Làm tròn đến kết
quả hàng đơn vị).
A. 309718,166 đồng
B. 312518,166 đồng
C. 398402,12 đồng
D. 309604,14 đồng
Câu 23. Tìm chu kỳ của những hàm số sau đây: y = tan(3x + 1)
2
B.
C. 2
D. 3
3
3
2
Câu 24. Gọi D là miền giới hạn bởi P : y 2 x x và trục hoành. Tính thể tích
A.
vật thể V do ta quay (D) xung quanh trục Oy
Chọn đáp án đúng:
A. 12
13
B. 8
3
C. 2
9
D.
15
Câu 25. Tính tích phân: �
x x sinx dx a 3 b . Tính tích ab :
0
A. 3
B.
1
3
Câu 26. Tính tích phân I
C. 6
2
4x 3 .ln xdx 7lna b . Tính
�
1
B. 1
A. 1
D.
C. 0
Câu 27. Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có
sin
2
3
a b :
4
D.
1
2
đường kính bằng 4 5 m . Trên đó có người thiết kế
hai phần để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản. Phần
trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol
có đỉnh trùng với tâm của nửa hình tròn và hai đầu
mút của cánh hoa nằm trên những
đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng 4(m), phần còn
lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết
các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 300.000
đồng/m2. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó?
(Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)
A. 1.791.000 đồng. B. 2.922.000 đồng. C. 3.582.000 đồng. D.
5.843.000
đồng.
2008 ln2 x
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f x
có dạng
x
ln x
a ln x
3
C.
b
Khi đó tổng S a b là?
A. 2012
B. 2010
C. 2009
Câu 29. Cho hai mặt trụ có cùng bán kính
bằng 4 được đặt lồng vào nhau như hình
vẽ. Tính thể tích phần chung của chúng
biết hai mặt trụ vuông góc và cắt nhau
A. 512
B. 256
F x
C. 256
3
D. 2011
D. 1024
3
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
Trang 225
Câu 30. Xét các kết quả sau:
(1) i 3 i
(2) i 4 i
(3) 1 i 2 2i
3
Trong ba kết quả trên, kết quả nào sai?
A. Chỉ (1) sai
B. Chỉ (2) sai
C. Chỉ (3) sai
sai
Câu 31. Số nào sau đây bằng số 2 i 3 4i ?
A. 5 4i
B. 6 11i
C. 10 5i
Câu 32. Phương trình (1 2i )x 3x i cho ta nghiệm:
A.
1 1
i
4 4
B. 1 3i
C.
1
i
2
D. Chỉ (1) và (2)
D. 6 i
1
D. 2 i
2
Câu 33. Gọi P là điểm biểu diễn của số phức a bi trong mặt phẳng phức.
Cho các mệnh đề sau:
(1) Môđun của a bi là bình phương khoảng cách OP.
(2) Nếu P là biểu diễn của số 3 4i thì khoảng cách từ O đến P bằng 7.
Chọn đáp án đúng:
A. Chỉ có (1) đúng B. Chỉ có (2) đúng C. Cả hai đều đúng D. Cả hai đều
sai.
Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M là điểm biểu diễn của số
phức z 4 2i . Phương trình đường trung trực của đoạn OM là:
A. x 2y 5 0
B. 2x y 5 0
C. x 2y 5 0
D. 2x y 5 0
a bi a,b �;a
Câu 35. Cho số phức z γ�
Biết f 1 �0,
A. max z 2 5
0, b
0 . Đặt đa thức f x ax2 bx 2 .
�1 � 5
� �� . Tìm giá trị lớn nhất của z
�4 � 4
B. max z 3 2
C. max z 5
D. max z 2 6
Câu 36. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Tam giác SAB
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Biết
SD 2a 3 và góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 300 .
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
3
3
3
3
A. 4a 6
B. 4a 6
C. 4a 6
D. 4a 6
5
3
9
7
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên
SB b và tam giác SAC cân tại S. Trên cạnh AB lấy điểm M với AM x
0 x a . Mặt phẳng qua M song song với AC, SB và cắt BC, SC, SA lần
lượt tại N, P, Q. Xác định x để diện tích thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
a
a
a
a
A. x .
B. x .
C. x .
D. x .
4
3
2
5
Câu 38. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a; chiều cao
bằng 2a . Mặt phẳng (P) qua B’ và vuông góc A’C chia lăng trụ thành hai
khối. Tính khoảng cách từ điểm A đến (P).
A. 9a 5
10
B. 7a 5
5
C. 7a 5
10
D. 3a 5
10
Câu 39. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 ,
BD 3a, hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) là trung điểm
của A’C’. Biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD’C’)
21 . Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’.
7
a
A. a
B. 2a
C. 3a
D.
2
h
20
cm
Câu 40. Cho khối nón tròn xoay có đường cao
, bán kính đáy r 25cm
. Một mặt phẳng (P) chứa đỉnh S và giao tuyến với mặt phẳng đáy là AB.
Khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt phẳng (P) là 12 cm. Khi đó diện tích
thiết diện của (P) với khối nón bằng:
A. 500 cm2
B. 475 cm2
C. 450 cm2
D. 550 cm2
bằng
Câu 41. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh
a, cạnh SA 2a 3 . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của
3
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
A. R a 39
B. R a 35
C. R a 37
D. R a 39
7
7
6
6
Câu 42. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác MNP biết
uuuur
uuur
MN 2;1; 2 và NP 14;5;2 .Biết Q thuộc MP; NQ là đường phân giác
trong của góc N của tam giác MNP. Hệ thức nào sau đây là đúng?
uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
A. QP 3QM
B . QP 5QM
C. QP 3QM
D. QP 5QM
Câu 43. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm
M 1;0;0 , N 0;2;0 , P 0;0;3 . Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng
(MNP) bằng:
3
6
5
9
A.
B.
C.
D.
7
7
7
7
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:
x2 y2 z2 2x 6y 4z 2 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với
r
giá của véc tơ v (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng ( ) : x 4y z 11 0 và tiếp
xúc với (S).
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
Trang 227
�
4x 3y z 5 0
A. �
4x 3y z 27 0
�
�
3x y 4z 1 0
C. �
3x y 4z 2 0
�
�
x 2y z 3 0
B. �
x 2y z 21 0
�
�
2x y 2z 3 0
D. �
2x y 2z 21 0
�
�
xt
�
y 1 2t
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) : �
�
z1
�
và điểm A(1;2;3) . Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3 có vecto pháp tuyến là:
u
r
u
r
u
r
u
r
A. n 2;1; 3
B. n 2;1;2
C. n 2; 1; 2
D. n 4; 2;2
Câu 46. Tìm phương trình mặt phẳng R đối xứng với mặt phẳng Q qua
mặt phẳng P với P : x y z 3 0, Q : x y z 4 0.
A. 7x y 2z 21 0
C. 5x 3y 3z 1 0
B. 5x 3y 3z 16 0
D. 7x y 2z 1 0
Câu 47. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(2;3;0);B(0; 2;0) và đường
�
xt
�
y 0 . Điểm C trên đường thẳng d sao cho tam
thẳng d có phương trình �
�
z 2 t
�
giác ABC có chu vi nhỏ nhất là:
7 3
7 17
27
17
7 13
A. C ( ;0; )
B. C ( ;0; )
C. C ( ;0; )
D. C ( ;0; )
5 5
5
5
5
5
5
5
Câu 48. Cho hình hộp ABCD.A ' B 'C ' D ' biết A 1;0;1 ; B 2;1;2 ; D 1; 1;1 ;C ' 4;5; 5
.
Tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp là:
A. A ' 3;5; 6 ; B ' 4;6; 5 ; C 2, 0,2 ; D ' 3, 4, 6 .
B. A ' 3, 5, 6 ; B ' 4,6, 5 ; C 2,0, 2 ; D ' 3, 4, 6 .
C. A ' 3,5, 6 ; B ' 4,6, 5 ; C 2, 0,2 ; D ' 3, 4, 6 .
D. A ' 3,5, 6 ; B ' 4,6, 5 ; C 2,0, 2 ; D ' 3, 4, 6 .
Câu 49. Trong không gian Oxyz, cho d :
x y z3
, điểm A 3;2;1 , phương
2 4
1
trình đường thẳng đi qua A cắt vuông góc với đường thẳng (d) là:
�
x 2y 2z 7 0
�
A. �
2x 3y z 4 0
�
�
x 1 3t
�
y 1 5t
B. �
�
z 1 2t
�
�
x 3 9t
�
y 2 10t
D. �
�
z 1 22t
�
�
x y 2z 7 0
�
C. �
4x 3y _ 2z 5 0
�
Câu 50. Cho hai điểm A 2; 4; 1 và B 5;0;7 . Chọn phát biểu sai:
�x 2 3t
�
A. Phương trình tham số của đường thẳng AB là: �y 4 4t t ��
�z 1 8t
�
�
x 2 3t
�
y 4 4t t ��
0; �
B. Phương trình tham số của tia AB là: �
�
�
z 1 8t
�
�x 2 3t
�
C. Phương trình tham số của đoạn thẳng AB là: �y 4 4t t � 0;1
�z 1 8t
�
D. Cả 3 phát biểu đều sai.
�x 2 3t
�
Phương trình tham số của đoạn thẳng AB là: �y 4 4t t � 0;1
�z 1 8t
�
ĐÁP ÁN ĐỀ 13
1D
11C
21B
31C
41C
2B
12D
22A
32A
42B
3D
13A
23A
33D
43B
4C
14D
24B
34B
44D
5B
15B
25B
35A
45C
6D
16D
26B
36B
46B
7C
17C
27D
37C
47A
LỜI GIẢI CHI TIẾT
2
Câu 1. 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 4cos x 3
8C
18A
28D
38C
48A
9C
19B
29D
39A
49D
10B
20A
30D
40A
50D
� 2sin x 1 3cos4x 2sin x 4 1 4sin2 x � 2sin x 1 3cos4x 3 0
�
1
sin x
7
��
với k �Z . Chọn D.
2 � x k2 hay x
k2 hay x k
�
6
6
2
cos4
x
1
�
Câu 2. PT � 2 3sin x cosx 2sin2 x 4sin x 0 � 2sin x
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
3cosx sin x 2 0
Trang 229
�
sin x 0
��
�
3cosx sin x 2
�
�
�
sin x 0
�
� � �
�
sin x � 1
� �
� � 3�
�
x k
�
, k ��.
�
x k2
� 6
�
�
S�
k ; k2 k ���. Chọn B.
� 6
Câu 3. Chọn D.
TXĐ: D 0;1 � 1; �
Đạo hàm: y '
ln x 1
,
ln2 x
y ' 0 � ln x 1 � x e
BBT:
Câu 4. Chọn C.
Ta có: y x m
2m 1
2m 1
� y ' 1
x
x2
1
Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y ' 0 có nghiệm � m
2
3
Câu 5. Số phần tử của không gian mẫu là n C 40
- Gọi A là biến cố “3 học sinh được chọn luôn có học sinh chọn môn Vật lý và
học sinh chọn môn Hóa học”
1
2
2
1
1
1
1
.C 20
C 10
.C 20
C 20
.C 10
.C 10
- Số phần tử của biến cố A là nA C 10
Vậy xác suất để xảy ra biến cố A là PA
nA
n
120
. Chọn B.
247
Câu 6. Chọn D.
ax2 bx c
r
px q
Hàm số y
ae �0, r �0 có ae. 0 và y ' 0 có hai
ex f
ex f
nghiệm phân biệt.
Yêu cầu bài toán � m y x1 3 hoặc m y x2 7 (x1, x2 là cực đại, cực
tiểu)
Cách khác. Điều kiện: x �2.
Phương trình hoành độ giao điểm
x2 x 5
m � x2 m 1 x 2m 5 0 *
x2
Để cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì * có 2 nghiệm phân biệt khác 2.
�
0
2
�
��
� m 1 4 2m 5 0 � m2 10m 21 0 �
1 �0
�
Câu 7. Chọn C.
�
�
x2 4x 3 �0
1 �x �3
�
�
� �
2
Hàm số xác định khi: � 2
2 �x �4
x 6x 8 �0
�
�
�
m7
. Chọn D.
�
m 3
�
x
2;3�
3. Vậy D �
�
�
3
2
2
Câu 8. Chọn C. f x x x � f ' x 3x 1 � f ' x 3x 1
2
2
2
Theo giả thiết: f ' x f ' x � 3x 1 3x 1 � x
1
1
�x�
3
3
18
20
k
�2
1�
1
1 20 k
1 20 k k k
x x � 1 2x 1 2x �C 20
2x �C 20
2x
Câu 9. �
4�
4
4 ko
4 ko
�
1 8 8
8
x8 � C 20.2 64C 20 8062080 . Chọn C.
4
Câu 10. Chọn B. 0 �k �12
14!
14!
2.14!
k
k 2
k 1
�
C 14
2.C 14
Ta có: C 14
k !(14 k)! (k 2)!(12 k)! (k 1)!(13 k)!
�
k4
1
1
2
��
k8
(14 k)(13 k) (k 2)(k 1) (k 1)(13 k)
�
Câu 11. Chọn C.
(1) Sai: Từ bảng biến thiên thấy hàm số đồng biến trên từng khoảng
�
�; 2 ; 2; � .
(2) Đúng: Từ bảng biến thiên
� TXĐ: D R \ 2 � Tiệm cận đứng x c 2 � c 2.
Tiêm cận ngang y 2 � a 2.
(3) Đúng: y '
2a b
x2
2
3
x2
2
� b 1.
(4) Đúng.
1
2
n 1
1 2.3n 2
3 1.
3
Câu 12. Ta có: lim 2n 12.3n 1 lim
n 1
18
�2 �
2. � � 12
�3 �
Suy ra a = 1, b = 18 A = 18 17 1/18 = 17/18. Chọn D.
x2 2x
Câu 13. y� 0 � m
f x , x � 1;2 .
4x 1
x � 1;2 , x2 2x 0, 4x 1 0 � f x 0 � m 0. Chọn A.
2
Câu 14. A (sin 4 2sin2 ) cos (cos2 1)2sin2 .cos 2cos .2sin2 .cos
8cos4 .sin 8(1 sin2 )2.sin
225 Chọn D.
.
128
Câu 15. Chọn B.
42x 24.4x 128 0 � 4x
2
�
4x 16
24.4x 128 0 � 4x 16 4x 8 0 � �x
�
4 8
�
�
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
�
x2
�
3
�
x
� 2
Trang 231
Câu 16. Chọn D. loga
3
1
6
a loga a
1
.
6
Câu 17. Chọn C.
+ Thế x;y 1; 2 vào hệ phương trình đã cho thấy thỏa mãn.
Điều kiện: x y 0 � x y
2x y
2x y
� 2xy
� 2xy
�2 �
�2 �2
�2 �2
�2 �2
�
�
�
� � 6� � 7 0 � �
� � 1�� � 7
�
�
�3�
�3 �
�3�
�3�
�log xy
�
log x y 0
3
1
�
� 9
�
�
�
2x y 0
x 1 (thỏa mãn điều kiện).
�
�
��
��
xy 1
y 2
�
�
9
Câu 18. Chọn A. logx 2 log4 x
Phương trình: logx 2 log4 x
7
0
6
b
7
0. Điều kiện: 0 x #1
6
Đặt t log2 x
b �
�t 3
1
1
7
1 t 7
log2 x 0 � 0 � 3t2 7t 6 0 � �
2
�
log2 x 2
6
t 2 6
t
�
3
3
t log2 x 3 � x 2 8
2
2
1
3
t
log
x
�
x
2
2
3
3
4
Câu 19. Chọn B.
Chia vế theo vế phương trình (1) và (2), ta được:
x
y
x
2y
x 2y
�2 � �9 �
�2 � �3 �
�2 �
� �. � � 1 � � �. � � 1 � � �
�3 � �4 �
�3 � �2 �
�3�
Thay x 2y vào (1), ta được:
1 � x 2y 0 � x 2y
�
x2
�
22y.9y 36 � 22y.32y 36 � 62y 36 � 2y 2 � y 1 � �
� x; y 2;1 .
y1
�
1
1
Câu 20. Chọn A. Ta có: y� 2 x 1
1 x 1 2 x 1 2 x 1 2
Câu 21. Chọn B. Điều kiện: x 1
log22(x 1) log2(x2 2x 1) 3 0 � log22(x 1) 2log2(x 1) 3 0
�
t 1
2
Đặt t log2 x 1 ta được: t 2t 3 0 � �
t3
�
�
1
�
log2(x 1) 1
0 x 1
��
��
2�
�
log (x 1) 3
x
1
8
� 2
�
Câu 22. Chọn A.
Tiền vay từ năm thứ nhất đến
4000000 1 3%
�
1
1 x
�
2
�
x7
�
lúc ra trường, bạn Hùng nợ ngân hàng:
4
Tiền vay từ năm thứ hai đến lúc ra trường, bạn Hùng nợ ngân hàng:
4000000 1 3%
3
Tiền vay từ năm thứ ba đến lúc ra trường, bạn Hùng nợ ngân hàng:
4000000 1 3%
2
Tiền vay từ năm thứ tư đến lúc ra trường, bạn Hùng nợ ngân hàng:
4000000 1 3%
Vậy sau 4 năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là:
4
3
2
S 4000000 �
1
3%
1
3%
1
3%
1 3% �
�
�
� 17236543,24
�
Lúc này ta coi như bạn Hùng nợ ngân hàng khoảng tiền ban đầu là
17.236.543,24 đồng, số tiền này bắt đầu được tính lãi và được trả
góp trong 5 năm.
Ta có công thức :
�t
N 1 r
1 r
n
n
.r
1
17236543, 24 1 0, 0025
1 0, 0025
60
60
.0, 0025
1
309718,166
Câu 23. Giả sử hàm số có chu kỳ T
tan �
3 x T 1� tan 3x 1
�
�
� 3 x T 1 3x 1 k x � T k � T
3
3
Vậy hàm số có chu kỳ T
. Chọn A.
3
Câu 24. Chọn B.
0 �x �2 thì y 2 x x 2 � x 2 2 x y 0
�
x1 1 1 y , x � 0;1
Phương trình bậc hai theo y. Ta có ' 1 y, y �1. � �
�
x2 1 1 y , x � 1; 2
�
1
�1 1 y
Vy �
�
�
0
2
1
2
1 1 y �dy 4 �1 ydy
�
�
0
Đặt u 1 y � u 1 y � 2udu dy
2
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
Trang 233
y 1
u0
�
�
��
Đổi cận �
y0 �
u 1
�
1
�
u 3 � 8
Vy 4 �1 ydy 4 �
u 2udu 8 �
u du 8 � �
3
�3 �
0
1
0
0
Câu 25. Chọn B.
1
0
1
(đvtt )
2
I
0
0
0
0
x3
x cosx
cosxdx
0 �
3 0
0
x2dx �
x sinxdx �
x2dx �
xd(cosx)
�
1
3
sinx 3
0 3
3
Câu 26. Chọn B.
�
1
�
u ln x
du dx
�
�
��
Đặt �
. Khi đó
x
dv 4x 3 dx
�
v 2x2 3x
�
�
2
2
2
2x2 3x
I 2x2 3x ln x �
dx 2.22 3.2 ln2 2.12 3.1 ln1 �
2x 3 dx
1
x
1
1
14ln2 0 x2 3x
2
1
14ln2 0 �22 3.2 12 3.1 � 14ln2 10 4 14ln2 6.
�
�
Câu 27. Đáp án D.
Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào hình sao cho O trùng
với tâm parabol, trục Ox trùng với đường kính
nửa đường tròn và trục Oy hướng xuống. Khi đó
diện
tích
phần
trồng
hoa
bằng
2
2�
x2 20 x2dx �11,93962 .
0
Suy ra diện tích phần trồng cỏ Nhật Bản bằng 10 11,93962 �19, 47631 . Do
vậy số tiền cần thiết để trồng cỏ là xấp xỉ 5843000 đồng.
Câu 28. Chọn D.
1
Đặt u ln x � du dx
x
2008 ln2 x
Ta có: F x �
f x dx �
dx �
2008 u2 du 2008�
du �
u2du
x
3
ln x
u3
2008u
C 2008lnx
C
3
3
Câu 29. Chọn D.
1
Cách 1: Ta xét
phần giao của hai trụ như hình
8
Ta gọi trục tọa độ Oxyz, như hình vẽ
Khi đó phần giao (H) là một vật thể có đáy
là một phần tư hình tròn tâm O bán kính 4,
thiết diện của mặt phẳng vuông góc với
Ox là một hình vuông có diện tích
S x 42 x2
4
4
S x dx �
16 x dx
�
2
Thể tích khối (H) là
0
0
128
. Vậy thể tích phần giao là
3
1024
.
3
Cách 2: Dùng công thức tổng quát giao hai trụ V
Câu 30. Chọn D.
1
(1) và (2) sai vì: i 3 i 2.i i và i 4 i 2
2
2
16 3 1024
.
R
3
3
1
Ngoài ra, (3) đúng vì ta có: 1 i 1 3i 3i 2 i 3 2 2i
3
Câu 31. Chọn C.
Ta có: 2 i 3 4i 2 �3 2 � 4i i �3 i � 4i 6 8i 3i 4i 2 6 5i 4 10 5i
Câu 32. Chọn A.
Phương trình 1 2i x 3x i tương đương với
1 2i 3 x i � x 2i 2i 21. 1i i 21.
2
Câu 33. Chọn D.
Phải sửa lại:
1 Môdun của a bi là khoảng cách OP
2
i i 1
1 1
i
4 4
Nếu P là biểu diễn của số 3 4i thì khoảng cách từ O đến P bằng
3 4i 5
Câu 34. Chọn B.
Gọi là trung trực của đoạn OM
� qua trung điểm I của OM � I 2;1
u
r uuuu
r
n OM 4;2
và có vectơ pháp tuyến
� : 4 x 2 2 y 1 0 � 4x 2y 10 0 � 2x y 5 0
Câu
35.
Theo
�f 1 �0
�
a b 2 �0
�
�
�
� �1 � 5
�a b
5�
�f �4 �� 4
� 2 �
16 4
4
�
�� �
12 a
Khi đó a =
�b�=
2
4
2
giả
�
a �b 2
�
�
�
a 4b �12
�
20 a
4
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
a
thiết,
ta
có
�
a �b 2
�
� 12 a
b�
�
4
�
4 . Vậy z 2 a2 b2 �a2
12 a
2
16
Trang 235
Xét
hàm
số
f ' a 0� a
f a 16a2 12 a
2
17a2 24a 144 với
a ��
0;4�
�
�,
có
12
17
� �
12
2304
4 320, f �17
�
17
Tính các giá trị f 0 144,
� �
Vậy giá trị lớn nhất của z là: z
max
f a 320
suy ra max
�
0;4�
� �
a2 b2 42 22 2 5
Câu 36. Chọn B.
�
Gọi H là trung điểm của AB. Suy ra SH ABCD và SCH
300
Ta có: SHC SHD � SC SD=2a 3 . Xét tam giác SHC vuông tại H ta có:
� SC .sin 300 a 3 ;
�
SH SC .sin SCH
HC SC .cosSCH
SC .cos300 3a.
Vì
tam
giác
SAB
đều
mà
SH a 3
nên
AB 2a .
Suy
ra
BC HC 2 BH 2 2a 2
Do đó, S ABCD AB.BC 4a 2 2 . Vậy, VS . ABCD
1
4a 3 6
S ABCD .SH
3
3
BM
.AC a x 2
BA
AM
bx
Tam giác SAB có MQ//SB � MQ
.SB
BA
a
Câu 37. Ta có: MN//AC � MN
SMNPQ MN .MQ
b 2
ax x
a
a x x
Ta có: a x x �
4
2
a
4
a
Do đó SMNPQ max khi a x x � x
2
Chọn C.
Câu 38. Chọn C.
Trong (ACC’A’), kẻ AP song song với MN (P thuộc CC’), AP cắt A’C tại J. Chỉ
ra khoảng cách cần tìm bằng HJ.
Tính được A ' H a 5 ;CJ a 5 ; A 'C a 5 ta được HJ 7a 5
10
5
10
Khoảng cách cần tìm là 7a 5
10
Câu 39. Chọn A.
Áp dụng định lý cosin cho tam giác A’B’D’
�
suy ra B
' A ' D ' 1200 .
Do đó A’B’C’, A’C’D’ là các tam giác đều cạnh a 3 .
Gọi O A 'C '�B 'D' , Ta có BO (A ' B 'C ' D ') .
Kẻ OH A ' B ' tại H, suy ra A ' B ' (BHO) .
�
�
� .
Do đó ((ABCD
),(C
DD 'C ')) BHO
a 3
21
0 2
�
� = 2 � BO HO.tan �
Từ cos BHO
� tan BHO
BHO = A 'O.sin60 .
2
3
7
3
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’.
Vì BO a 3 1 A 'C ' nên tam giác A’BC’ vuông tại B
2
2
B'D'
(A'BC')
Vì
nên B’D’ là trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BC’.
Gọi G là tâm của tam giác đều A’C’D’. khi đó GA’ = GC’ = GD’ và GA’ = GB
= GC’ nên G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’BC’D’.
2
2 3a
Mặt cầu này có bán kính R = GD’ OD ' . a
3
3 2
Câu 40. Chọn A.
Gọi S là đỉnh của khối nón. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S cắt khối nón theo
hai đường sinh bằng nhau là SA SB nên ta có thiết diện là tam giác cân
SAB.
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có OI AB . Từ tâm O của đáy ta kẻ
OH SI tại H, ta có OH SAB và do đó theo giả thiết ta có OH 12cm . Xét
1
1
1
1
1
2 2 � OI 15 cm
2
2
2
OI
OH
OS
12 20
Mặt khác, xét tam giác vuông SOI ta còn có: OS.OI SI .OH
OSOI
.
20.15
Do đó SI
25 cm
OH
12
1
Gọi St là diện tích của thiết diện SAB. Ta có: St AB.SI , trong đó AB 2AI
2
2
2
2
2
2
2
Vì AI OA OI 25 15 20 nên AI 20cm và AB 40cm
tam giác vuông SOI ta có:
1
Vậy thiết diện SAB có diện tích là: St .40.25 500 cm2
2
Câu 41. Gọi O là tâm của mặt cầu, khi đó O nằm trên đường thẳng ∆ qua C và
vuông góc với (ABD).
Gọi H là hình chiếu của O lên SG,với G là trọng tâm tam giác ABC, tính được
SG a .
Đặt HG x, x 0
TH1: O và S nằm cùng phía đối với (ABD).
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
Trang 237
2
2
Khi đó, OA OS � a2 x2 a a x � x a
3
6
2
Do đó, R a2 a a 37
36
6
TH2: O và S nằm khác phía đối với (ABD)
2
2
Khi đó, OA OS � a2 x2 a a x , phương
3
trình này không có nghiệm dương.
Dĩ nhiên, khi đã tìm được bán kính ở trường hợp 1 rồi
thì trường hợp 2 ta cũng không cần xét đến vì tồn tại
một và chỉ một mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng
phẳng. Chọn C.
Câu 42. Chọn B.
uuuur
uuur
MN 2;1; 2 � MN 9 3 ; NP 14;5;2 � NP 196 25 4 15
uuur
uuur
uuuu
r
QP
NP
15
5 � QP 5QM
NQ là phân giác trong của góc N � uuuur
MN
3
QM
Câu 43. Chọn B.
M 1;0;0 , N 0;2;0 , P 0;0;3 � MNP : x y z 1 � 6x 3y 2z 6 0
1 2 3
6
6
� d O, MNP
36 9 4 7
Câu 44. Chọn D.
u
r
(S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của ( ) là n (1;4;1) .
uur
r r
VTPT của (P) là: nP �
n, v �
�
� (2; 1;2) PT của (P) có dạng: 2x y 2z m 0 .
�
m 21
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d(I ,(P )) 4 � �
.
m 3
�
Vậy P : 2x y 2z 3 0 hoặc P : 2x y 2z 21 0 .
Câu 45. Chọn C.
(d) đi qua điểm
M (0; 1;1)
r
u
r
và có VTCT u (1;2;0) . Gọi n (a;b;c)
a2 b2 c2 �0 là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): a(x 0) b(y 1) c(z 1) 0 � ax by cz b c 0
ru
r
Do (P) chứa (d) nên: u.n 0 � a 2b 0 � a 2b
(2)
d A,(P ) 3 �
a 3b 2c
a b c
2
2
2
3�
� 4b2 4bc c2 0 � 2b c
2
5b 2c
5b c
2
2
(1).
3 � 5b 2c 3 5b2 c2
0 � c 2b (3)
Từ (2) và (3), chọn b 1 a 2, c 2 PT mặt phẳng P : 2x y 2z 1 0 .
với
Câu 46. Chọn B.
Lấy điểm M 2; 1; 1 � Q
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng P , M �đối xứng với M qua P
suy ra H là trung điểm của MM �
.
uuuu
r uur
Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng P � MH P � uMH nP .
�
x 2 t
uur
�
y 1 t .
Phương trình đường thẳng MH qua M có VTCP nP là: �
�
z 1 t
�
Tọa độ H MH � P
�
x 2 t
�
y 1 t
�
� t 1.
thỏa mãn hệ: �
z 1 t
�
�
z y z 3 0
�
Từ đó suy ra H 2;0;0 � M �
2;1;1 .
Gọi
d
là
giao
tuyến
của
P , Q
suy
ra
là:
d
� 7
�x
� 2
uur
�
x yz 3 0 �
1
�
��
y t � ud 0; 1;1
�
x yz 4 0 �
2
�
�z t
�
�
uuuuur �3 3
uuuuur uu
r
�7 1 �
� �
� 5 3 3 � uur
�
A
;
;0
�
d
�
M
'
A
;
;
1
�
M
'
A
,
u
; ; �� nR 5;3;3
Lấy �
�
�
� �
d� �
�2 2 �
�2 2
�
� 2 2 2�
uur
Phương trình R qua M �có VTPT là nR là: 5x 3y 3z 16 0.
Câu 47. Chọn A. Vì AB không đổi nên tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất khi CA +
CB nhỏ nhất.
�
OA (t 2)2 32 (2 t)2 2(t 2)2 32
�
Gọi C (t;0;2 t) �d . Ta có �
CB t2 2 (2 t)2 2(1 t)2 22
�
�
r
r
r r
Đặt u ( 2(t 2);3), v ( 2(1 t);2) u v ( 2;5)
r
r
r r
r
r
Áp dụng tính chất | u | | v |�
| u v |, dấu “=” xảy ra khi u cùng hướng với v
r
r
r r
Ta có: CA CB | u | | v |�
| u v | 2 25 3 3
Dấu “=” xảy ra khi
2(t 2)
2(1 t)
3
7
� t . Khi đó C ( 7 ;0; 3)
2
5
5 5
Câu 48. Chọn A.
uuur
Ta có AB 1,1,1
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
Trang 239
uuuu
r
DC xC 1, yC 1, zC 1 với C xC , yC , zC
�
x 1 1
uuur uuuu
r
uuuur
�C
yC 1 1 � C 2, 0,2 � CC ' 2, 5, 7
Ta có AB DC � �
�
z 1 1
�C
�x 2 2
uuuur uuuur
uuuur
� B'
Ta có BB ' xB ' 2, yB ' 1, zB ' 2 ; CC ' BB ' � �yB ' 1 5 � B ' 4,6, 5
�
z 2 7
�B '
uuuur uuuur
uuuur uuuur
Ta có AA ' CC ' � A ' 3,5, 6 ; DD ' CC ' � D ' 3, 4, 6
Câu 49. Chọn D.
r
Ta có đường thẳng (d) đi qua M 0, 0, 3 , VTCP a 2;4;1
uu
r
Gọi là mặt phẳng đi qua A, d nên nhận na 2;4;1 làm VTPT.
Phương trình : 2 x 3 4 y 2 1 z 1 0
� 2x 4y z 15 0
�
x 2t
�
y 4t
Phương trình tham số của (d) là: �
�
z 3 t
�
Thế vào phương trình : 2 2t 4 4t 3 t 15 0 � t
6
7
�12 24 15 � uuur � 9 10 22 �
; ; �
Vậy d � B � ; ;
�� AB �
7�
�7 7 7 �
�7 7
Vậy phương trình đường thẳng qua A, cắt vuông góc với (d) chính là
đường thẳng
�
x 3 9t
�
AB : �
y 2 10t
�
z 1 22t
�
Câu 50. Chọn: Đáp án D
Giả sử M là một điểm bất kì. Khi đó:
uuuu
r uuu
r
M thuộc đường thẳng AB � AM t AB, t ��
uuuu
r uuu
r
M thuộc tia AB � AM t AB, t �[0; �)
uuuu
r uuur
M thuộc đoạn thẳng AB � AM t AB, t � 0;1
�x 2 3t
�
Từ đó suy ra phương trình tham số của đường thẳng AB là: �y 4 4t t ��
�z 1 8t
�
�
x 2 3t
�
y 4 4t t ��
0; �
Phương trình tham số của tia AB là: �
�
�
z 1 8t
�
HOCTAI.VN – HỌC ĐỂ THÀNH TÀI!
Trang 241
