rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
TRƢỜNG THPT NGUYỄN TRUNG TRỰC

Đề tài
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC HÓA
TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC
TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Ngƣời thực hiện: LÊ THỊ KIỀU DIỄM

Long An, 2015


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN
TRƢỜNG THPT NGUYỄN TRUNG TRỰC

Đề tài
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC HÓA
TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG TRONG DẠY HỌC
TỔ HỢP – XÁC SUẤT

Ngƣời thực hiện: LÊ THỊ KIỀU DIỄM

Long An, 2015


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG
ĐỀ TÀI
Viết tắt

GV
HS
SGK
THPT

Viết đầy đủ
Giáo viên
Học sinh
Sách giáo khoa
Trung học phổ thông


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 2
Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 5
1.1. Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn ............................................ 5
1.1.1. Khái niệm toán học hóa tình huống thực tiễn .................................. 5
1.1.2. Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn..................................... 5
1.1.3. Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT .............. 6
1.1.3.1. Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của HS phổ
thông trong dạy học toán ....................................................................... 6
1.1.3.2. Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT.... 7
1.2. Một số vấn đề về việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực
tiễn cho HS trong dạy học Tổ hợp – Xác suất ở trƣờng THPT ...................... 9
1.2.1. Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn
cho HS trong dạy học môn Toán............................................................... 9
1.2.1.1. Vai trò của Tổ hợp – Xác suất trong đời sống thực tiễn...... 9
1.2.1.2. Vai trò việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực
tiễn cho HS THPT ............................................................................... 10
1.2.2. Định hƣớng rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho

HS trong dạy học Tổ hợp – Xác suất ở trƣờng THPT ............................. 10
1.3. Thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn
cho HS trong dạy học Tổ hợp – Xác suất ở trƣờng THPT .......................... 11
1.4. Kết luận Chƣơng 1 ............................................................................... 13
Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC
HÓA TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH THPT ...................... 114


2.1. Khai thác tình huống thực tiễn để gợi động cơ trong dạy học môn Toán 14
2.2. Luyện tập cho học sinh kỹ năng sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ
toán học để diễn đạt tình huống thực tiễn một cách chính xác................. 1614
2.2.1. Tập luyện cho học sinh diễn đạt những tình huống, bài toán dƣới
nhiều hình thức khác nhau ................................................................. 1614
2.2.2. Rèn luyện khả năng phân biệt ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán
học giúp học sinh sử dụng đúng thuật ngữ toán học ............................. 17
2.3. Rèn luyện kỹ năng xác định mô hình toán học cho tình huống thực tiễn
thông qua dạy học Tổ hợp – Xác suất ......................................................... 18
2.3.1. Tăng cƣờng hoạt động thực nghiệm kết hợp thảo luận nhóm, qua đó
rèn luyện các kỹ năng thực hành toán học ............................................... 18
2.3.2. Bổ sung những ví dụ, bài tập có nội dung thực tế; xây dựng tình
huống dạy học gắn liền với thực tiễn................................................... 1919
2.3.3. Kiểm tra mức độ tiếp thu bài học, vận dụng kiến thức của học sinh
thông qua tình huống thực tiễn ................................................................ 20
2.3.4. Đề cập đến ứng dụng của Tổ hợp – Xác suất trong môn học khác nhƣ
Vật lý, Hóa học, Sinh học,… .................................................................. 22
2.4. Kết luận chƣơng 2............................................................................ 2323
Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ...................................................... 25
3.1. Mục đích thực nghiệm .................................................................... 2425
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm .................................................. 2425
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm ............................................................... 2425

3.2.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................. 2425
3.3. Đánh giá thực nghiệm ........................................................................ 28


3.3.1. Đánh giá về mặt định tính............................................................ 28
3.3.2. Đánh giá về mặt định lƣợng ........................................................ 28
3.4. Kết luận Chƣơng 3 ........................................................................... 3031
KẾT LUẬN ............................................................................................... 3132
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 32
PHỤ LỤC ...................................................................................................... 34


2

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Ở những nền giáo dục hiện đại liên hệ thực tiễn luôn là “kim chỉ nam”
trong quá trình soạn sách giáo khoa bậc phổ thông. Nếu học sinh tìm đƣợc
câu trả lời cho câu hỏi: “Tại sao phải học kiến thức này?” thì họ sẽ chủ động
trong quá trình tìm hiểu tri thức nói chung – kiến thức môn Toán nói riêng.
Thông qua hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn, giáo viên cho
học sinh thấy đƣợc vai trò của toán học trong cuộc sống. Toán học hóa tình
huống thực tiễn trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám
phá, giải đáp tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học. Các em đƣợc rèn
luyện kỹ năng tƣ duy toán học và khả năng nhìn nhận vấn đề bằng góc độ
toán học. Từ đó học sinh cảm nhận việc học toán có ý nghĩa hơn, tạo động cơ
và niềm đam mê học toán.
Qua nghiên cứu chƣơng trình sách giáo khoa toán trung học phổ thông,
chƣơng Tổ hợp – Xác suất là hoàn toàn mới đối với học sinh. Đó là những
khái niệm rất khó đối với những ngƣời mới làm quen. Cần phải hình thành

chúng dần dần qua các ví dụ thực tiễn. Chƣơng này cung cấp những kiến thức
cơ bản nhất về Đại số tổ hợp và lí thuyết xác suất, một lĩnh vực quan trọng
của toán học, có nhiều ứng dụng trong đời sống.
Từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng toán học
hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học
Tổ hợp – Xác suất” để làm đề tài của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống
thực tiễn cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất nhằm góp phần nâng
cao chất lƣợng dạy học toán hiện nay ở các trƣờng trung học phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu


3

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện kỹ năng toán
học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học
môn Toán nói chung và dạy học Tổ hợp – Xác suất nói riêng.
- Làm rõ thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống
thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung Tổ hợp –
Xác suất.
- Đề xuất một số biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống
thực tiễn cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất.
- Tiến hành thực nghiệm sƣ phạm nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quả
của các biện pháp đƣợc đề xuất.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tƣợng nghiên cứu
Biện pháp rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho học
sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác suất.
4.2. Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho
học sinh trung học phổ thông trong dạy học nội dung Tổ hợp – Xác suất (Đại
số và Giải tích 11 chƣơng trình chuẩn), ở trƣờng trung học phổ thông Nguyễn
Trung Trực, huyện Tân Trụ, tỉnh Long An.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu các tài liệu về chủ trƣơng của Bộ giáo dục trong công tác
giáo dục, Luật giáo dục và các tài liệu về giáo dục học, tâm lý học, phƣơng
pháp dạy học môn Toán.
- Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, sách bồi dƣỡng giáo
viên, các báo, tạp chí về rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn
cho học sinh trung học phổ thông.
- Nghiên cứu các công trình đã công bố có liên quan đến đề tài.


4

5.2. Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm
Sử dụng một số tình huống thực tiễn liên quan đến Tổ hợp – Xác suất
đƣợc toán học hóa đã biên soạn để tiến hành thực nghiệm sƣ phạm. Qua đó
giúp học sinh rèn luyện kỹ năng toán học hóa, học tốt nội dung Tổ hợp – Xác
suất và thấy đƣợc chƣơng này thiết thực nhất cho đời sống. Việc này đƣợc
kiểm chứng khi dạy một lớp thực nghiệm và một lớp đối chứng ở trƣờng
trung học phổ thông. Sau đó đánh giá tính hiệu quả của đề tài qua phiếu lấy ý
kiến học sinh, kết quả bài kiểm tra khảo sát sau tiết học.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định và thực hiện đƣợc một số biện pháp rèn luyện kỹ năng
toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trong dạy học Tổ hợp – Xác
suất một cách khoa học và có tính khả thi sẽ phát huy tốt hơn tính tích cực
chủ động học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học môn

Toán ở các trƣờng trung học phổ thông.
7. Những đóng góp của đề tài
- Góp phần hoàn thiện cơ sở lý luận của việc rèn luyện kỹ năng toán
học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trung học phổ thông.
- Đề xuất một số biện pháp rèn kỹ năng toán học hóa tình huống thực
tiễn cho học sinh trung học phổ thông.
8. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu và kết luận, đề tài gồm ba chƣơng:
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Một số biện pháp rèn kỹ năng toán học hóa tình huống thực
tiễn cho học sinh trung học phổ thông
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm
Đề tài có sử dụng 33 tài liệu tham khảo và kèm theo 4 Phụ lục.


5

Chƣơng 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn
1.1.1. Khái niệm toán học hóa tình huống thực tiễn
Toán học hóa tình huống thực tiễn là chuyển một vấn đề thực tế thành một
bài toán để sử dụng những kiến thức toán học đã biết nhằm nghiên cứu giải
quyết. Đây là việc vận dụng toán học vào các tình huống phổ biến, thƣờng xảy ra
trong cuộc sống. Đối mặt với các tình huống, họ liên tƣởng tới những tri thức
toán học phù hợp để xây dựng thành bài toán và tìm cách giải quyết nhằm đáp
ứng nhu cầu của mình. Toán học hóa tình huống thực tiễn là hoạt động quan
trọng cần thiết đối với mỗi chúng ta.
Theo thuật ngữ “toán học
hóa” đƣợc giải nghĩa là: đưa về dạng toán học (Mathematization: reduction to

Mathematical). Do đó, có thể hiểu quá trình toán học hóa tình huống thực tiễn là
quá trình đƣa vấn đề đó về dạng toán học (xây dựng mô hình toán cho tình
huống thực tiễn). Vì vậy, để thực hiện đƣợc hoạt động toán học hóa tình huống
thực tiễn, con ngƣời cần đƣợc trang bị phƣơng pháp mô hình hóa.
1.1.2. Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn
Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn là hoạt động chuyển một vấn
đề thực tế về một vấn đề trong nội tại bản thân toán học để sử dụng các công cụ
của khoa học này nghiên cứu giải quyết. Hoạt động này có thể chia thành hai
dạng: dạng thứ nhất là hoạt động của các nhà khoa học; dạng thứ hai là hoạt
động của những ngƣời có học vấn phổ thông.
Đối với ngƣời có bậc học phổ thông, hoạt động toán học hóa tình huống
thực tiễn xảy ra khi học đối mặt với các tình huống có ảnh hƣởng trực tiếp đến
cuộc sống cá nhân. Họ phải nổ lực chuyển những tình huống này về dạng toán
học phổ thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình.
Hoạt động này thiên về việc vận dụng toán học vào các tình huống đơn giản ,


6

phổ biến thƣờng xảy ra trong cuộc sống. Tuy nhiên, việc vận dụng đó lại mang
tính chất gián tiếp.
Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn là một hoạt động quan trọng
cần thiết đối với mọi ngƣời lao động. Hoạt động này mang tính phổ biến cho
những ngƣời có học vấn phổ thông, giúp cho họ năng động thích ứng với thực
tiễn đời sống. Đề tài của tôi quan tâm tới việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa
tình huống thực tiễn cho HS THPT nhằm góp phần đáp ứng các điều kiện cho
hoạt động đó trong tƣơng lai của ngƣời học.
1.1.3. Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT
1.1.3.1. Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của HS phổ thông
trong dạy học toán

Giáo dục toán học phải đƣợc kết hợp với thực tiễn, đến gần trải nghiệm
của trẻ em và liên quan đến xã hội để tri thức trở thành có giá trị đối với con
ngƣời. Trong giảng dạy toán, điều quan trọng không phải nằm ở chỗ tri thức
khép kín mà nằm trong các hoạt động, trong quá trình toán học hóa.
Hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn của HS trong dạy học toán
thuộc về quá trình toán học hóa bề ngang, tuy nhiên quá trình này không thể tách
rời quá trình toán học hóa bề dọc. Đối với HS THPT, các em có thể dùng tham
số, biểu đồ, hình vẽ để mô tả tình huống thực tiễn, suy diễn mô hình,…. Trong
[13], tác giả Bùi Huy Ngọc cho rằng quá trình vận dụng toán học vào thực tế
đƣợc mô tả theo sơ đồ 1.2:


7

Mô hình

(b2)
Tình huống

(Q)

thực tế

Bài toán

(b1)

TH

(b3)

thực tế

(b4)

Lời giải bài
toán TH

Sơ đồ 1.1
Sơ đồ trên diễn tả tƣơng đối đầy đủ các bƣớc vận dụng toán học vào thực
tế, đôi khi không nhất thiết phải đầy đủ nhƣ sơ đồ đã mô tả. Trong thực tiễn dạy
học, mặc dù vẫn đƣợc coi là rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn
nhƣng thực chất chỉ rèn luyện bƣớc (b2). Các tình huống thực tiễn để rèn luyện
bƣớc (b1) còn ít đƣợc quan tâm xây dựng và khai thác.
1.1.3.2. Kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT
Qua tham khảo nghiên cứu của các tác giả nhƣ Phan Anh (luận án tiến sĩ
“Góp phần phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh
trung học phổ thông qua dạy học Đại số và Giải tích”), Nguyễn Danh Nam (đề
tài cấp bộ “Nghiên cứu vận dụng phƣơng pháp mô hình hóa trong dạy học
môn toán ở trƣờng phổ thông”),… tôi cho rằng các thành tố của kỹ năng toán
học hóa tình huống thực tiễn của HS THPT bao gồm:
1/ Kỹ năng liên tƣởng, kết nối các ý tƣởng toán học khi gặp tình huống
thực tiễn: Khả năng HS thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn, phát
hiện ra các kiến thức toán học cần và có thể sử dụng để giải quyết vấn đề từ tình
huống thực tiễn (có cả kiến thức liên môn). Khả năng này đòi hỏi HS phải huy
động, kết hợp một cách sáng tạo các kiến thức đã học với trải nghiệm thực tế của
bản thân.


8

2/ Kỹ năng phân tích các yếu tố trong giả thiết của tình huống thực tiễn:
Khả năng xác định các yếu tố trung tâm của tình huống giúp HS định hƣớng
đƣợc cách giải quyết vấn đề một cách nhanh nhất. Đồng thời loại bỏ những yếu
tố không bản chất làm cho tình huống trở nên đơn giản hơn và hƣớng đúng trọng
tâm hơn.
3/ Kỹ năng sử dụng ngôn ngữ, ký hiệu toán học để thay thế ngôn ngữ tự
nhiên của tình huống thực tiễn: Trong quá trình đó đòi hỏi HS có kỹ năng trong
việc lựa chọn ẩn số; biểu diễn các đại lƣợng bằng ký hiệu, khái niệm, mệnh đề
toán học; biểu đạt các mối quan hệ bằng đồ thị, biểu đồ, hình vẽ, tóm tắt bằng sơ
đồ,…. Ngoài ra ngƣời học còn có khả năng diễn đạt một vấn đề, một đại lƣợng
bằng nhiều ký hiệu khác nhau.
4/ Kỹ năng xây dựng mô hình toán học.
Sau khi xác định, đánh giá mối quan hệ, mức độ phụ thuộc giữa các yếu
trong tình huống thực tiễn, HS tiến hành lập mô hình toán học cho tình huống.
Khả năng xây dựng mô hình toán học biểu hiện qua việc HS sử dụng các biến,
các ký hiệu, các biểu thức,… để chuyển đổi các thông tin trong tình huống thực
tiễn thành các dữ kiện toán học, và sắp xếp lại các dữ kiện đó đảm bảo diễn đạt
một cách chính xác ý nghĩa của tình huống, nhằm phát biểu tình huống thực tiễn
dƣới dạng toán học thuần túy.
5/ Kỹ năng điều chỉnh mô hình toán học: Sau khi xây dựng đƣợc mô hình
toán học cho tình huống thực tiễn, HS cần kiểm tra tính đúng đắn, phù hợp của
các ký hiệu, ẩn số, biểu thức, phép toán giữa các biểu thức với các dữ kiện đã
cho trong tình huống thực tiễn và có thể điều chỉnh một số phép toán, cách ký
hiệu ẩn số,… trong mô hình nếu cần thiết. Trong đề tài này, các biện pháp sƣ
phạm đề xuất tập trung vào rèn luyện kỹ năng 1, kỹ năng 3 và kỹ năng 4.


9

1.2. Một số vấn đề về việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống
thực tiễn cho HS trong dạy học Tổ hợp – Xác suất ở trƣờng THPT
1.2.1. Vai trò của việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực
tiễn cho HS trong dạy học môn Toán
1.2.1.1. Vai trò của Tổ hợp – Xác suất trong đời sống thực tiễn
Ngày nay lý thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan
trọng cả về phƣơng diện lý thuyết và ứng dụng. Nó là công cụ không thể thiếu
đƣợc mỗi khi ta nói đến dự báo, bảo hiểm; mỗi khi cần đánh giá các cơ may,
các nguy cơ, rủi ro. Hiện nay ở hầu hết các nƣớc trên thế giới, xác suất đã
đƣợc đƣa vào giảng dạy ở bậc THPT và là môn cơ sở bắt buộc của nhiều
ngành ở bậc đại học. Một trong những sự thay đổi lớn về chƣơng trình Toán ở
THPT trong việc thay sách giáo khoa là đƣa vào giảng dạy một số kiến thức
cơ bản về xác suất.
Ảnh hƣởng chính của xác suất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc
xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa. Chính phủ cũng áp dụng các
phƣơng pháp xác suất để điều tiết môi trƣờng hay còn gọi là phân tích đƣờng
lối. Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất. Một ứng dụng khác là
trong xác định độ tin cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùng nhƣ xe hơi, đồ điện tử sử
dụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng
hóc. Xác suất hƣ hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm.
Trong khoa học cũng nhƣ trong đời sống hàng ngày, chúng ta thƣờng
gặp các hiện tƣợng biến cố ngẫu nhiên. Đó là các biến cố mà ta không thể dự
đoán một cách chắc chắn rằng chúng xảy ra hay không xảy ra. Chẳng hạn, thị
trƣờng chứng khoán là một minh họa rất rõ cho sự ngự trị của ngẫu nhiên.
Các nhà kinh tế cùng với các nhà toán học đã cố gắng sử dụng các công cụ
toán học, đặc biệt là xác suất để toán học hóa thị trƣờng chứng khoán. Việc


10

này giúp các nhà đầu tƣ tối đa hóa các cơ hội đạt thuận lợi và tối thiểu hóa các
nguy cơ rủi ro.
1.2.1.2. Vai trò việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực
tiễn cho HS THPT
Rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS sẽ đáp ứng
yêu cầu mục tiêu bộ môn Toán và có tác dụng tích cực trong việc dạy học toán.
Đây cũng là một mục tiêu, nhiệm vụ quan trọng của việc dạy học toán ở trƣờng
THPT.
Rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn góp phần tích cực
hóa trong việc lĩnh hội kiến thức. Trong dạy học toán, để HS tiếp thu tốt, rất cần
đến sự liên hệ gần gũi bằng những tình huống, những vấn đề thực tế. Chẳng hạn,
trong gợi động cơ mở đầu và động cơ kết thúc có thể sử dụng hình thức gợi động
cơ xuất phát từ thực tiễn.
Rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn giúp HS có kỹ năng
vận dụng kiến thức toán học và làm quen dần tình huống thực tiễn, góp phần tích
cực trong việc thực hiện mục tiêu đào tạo HS phổ thông, đáp ứng mọi yêu cầu
của xã hội. Để tạo điều kiện vận dụng tri thức vào thực tế, còn phải có những kỹ
năng thực hành cần thiết cho đời sống, đó là kỹ năng tính toán, vẽ hình, đo
đạc,….
1.2.2. Định hướng rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn
cho HS trong dạy học Tổ hợp – Xác suất ở trường THPT
1/ Rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS thông qua
các tình huống dạy học được GV xây dựng có liên quan đến yếu tố thực tiễn.
Bằng những tình huống điển hình có trong cuộc sống, GV gợi nhu cầu
ở ngƣời học, tạo điều kiện cho HS kết nối các yếu tố thực tiễn với các ý tƣởng
toán học. HS hoạt động tự giác để giải quyết vấn đề trong tình huống để làm
thỏa mãn nhu cầu bản thân đồng thời đạt mục đích học tập. GV cho các em
thấy đƣợc những ứng dụng của Tổ hợp – Xác suất trong cuộc sống.

11

2/ Rèn luyện thông qua việc yêu cầu HS thường xuyên minh họa kiến
thức Tổ hợp – Xác suất bằng các bài toán thực tiễn liên quan.
Đây là yếu tố không thể thiếu trong dạy học, dùng ví dụ để minh họa
kiến thức có thể làm bài giảng hay hơn, cũng là phƣơng tiện bƣớc đầu giúp
HS ghi nhớ kiến thức dễ dàng, duy trì sự chú ý của các em với bài học. Các ví
dụ thực tiễn giúp bài giảng trở nên sinh động và đƣa lớp học đến gần cuộc
sống chung quanh hơn.
3/ Rèn luyện thông qua việc tăng cường hoạt động thảo luận nhóm, hợp
tác nhóm; hoạt động tương tác giữa GV và HS, giữa HS và HS trong dạy học
nội dung Tổ hợp – Xác suất.
Việc này tạo điều kiện cho HS chủ động tích cực trao đổi thông tin,
chia sẻ các băn khoăn, kinh nghiệm của bản thân, nhận xét kết quả đạt đƣợc
cùng nhau xây dựng kiến thức mới. Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập
thể, ý kiến mỗi cá nhân đƣợc bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ qua đó HS đƣợc
nâng lên một trình độ mới.
4/ Rèn luyện thông qua việc tổ chức các hoạt động ngoại khóa tìm hiểu
thực tiễn giúp HS nhận diện kiến thức Tổ hợp – Xác suất trong đời sống.
HS đƣợc trải nghiệm thực tế, học tập thông qua các hoạt động quan sát,
thu thập số liệu, thao tác cụ thể để xử lý thông tin, đối chiếu kết quả lý thuyết
với thực tế. HS hình thành kinh nghiệm cho bản thân, làm phong phú kiến
thức của mình từ lý thuyết đến thực tiễn và ngƣợc lại.
1.3. Thực trạng của việc rèn luyện kỹ năng toán học hóa tình huống
thực tiễn cho HS trong dạy học Tổ hợp – Xác suất ở trƣờng THPT
Tuy có những cố gắng trong sự chỉ đạo về đƣờng lối giáo dục, nhƣng thực
trạng dạy học toán ở các trƣờng phổ thông nƣớc ta trong những năm vừa qua vẫn
chƣa có những chuyển biến mạnh mẽ. Thực trạng dạy học toán vẫn còn tồn tại
một số vấn đề:

12

- Chƣa thực sự chú trọng mảng tri thức thực hành ứng dụng trong dạy học
toán. Nhiều GV còn quan niệm lệch lạc rằng: những tri thức đó chỉ nhằm vào
mục đích ôn tập lại nội dung phần lý thuyết đã học sau từng bài, từng chƣơng,
bởi vậy dạy học mảng tri thức này chƣa đƣợc đúng hƣớng. Những kỹ năng thực
hành ứng dụng quan trọng của ngƣời lao động, không đƣợc chú ý rèn luyện, nhất
là kỹ năng toán học hóa tình huống thức tiễn.
- Nhiều HS tốt nghiệp bậc THPT ra trƣờng chƣa thể hiện đƣợc vốn kiến
thức toán học trong các hoạt động thực tiễn của bản thân. Biểu hiện rõ nhất hầu
nhƣ không sử dụng tri thức, phƣơng pháp toán học trong các tình huống cụ thể;
sự chênh lệch về hiệu quả công tác của ngƣời có học vấn phổ thông và ngƣời
không đạt đƣợc trình độ đó không phân biệt đƣợc. Nhƣ vậy, có thể nói giáo dục
toán học phổ thông chƣa làm đúng vai trò của nó; bởi vì cái đích cuối cùng của
quá trình học tập là ngƣời học có kỹ năng đối phó với một tình huống cụ thể.
- Quan điểm hoạt động hóa ngƣời học của các nhà khoa học giáo dục thể
hiện trong sách giáo khoa chƣa đƣợc các GV đứng lớp thực hiện một cách hiệu
quả. Nhiều GV thực hiện chỉ dẫn của sách giáo khoa về tổ chức các hoạt động
cho HS một cách miễn cƣỡng. Tình trạng “thầy đọc trò chép” một số nơi còn tái
diễn. GV mới chỉ dạy cho HS những gì có trong sách mà không cho họ cơ hội
quan sát và tự thao tác các hoạt động, nhất là các hoạt động phản ánh quy trình
vận dụng tri thức toán học vào đời sống thực tiễn.
- Toán ứng dụng trong sách giáo khoa đƣợc thiết kế một cách có hệ thống
nhằm trang bị cho ngƣời học các tri thức nhƣ xác suất, thống kê có nhiều ứng
dụng trong thực tế. Tuy nhiên trong điều kiện chủ quan hay khách quan, GV
chƣa thực sự chú trọng vào vai trò của nó.
- Chúng ta đã chủ trƣơng tránh tình trạng “quá tải” trong nội dung lý
thuyết của chƣơng trình nhằm cho HS có điều kiện rèn luyện một số năng lực
quan trọng khác. Một số chủ đề mới mà sách giáo khoa đƣa vào nhƣ xác suất,

thống kê không ít GV chƣa có cách tổ chức và phƣơng pháp dạy học phù hợp.


13

- Đa số GV cho rằng HS THPT còn yếu và thiếu nhận thức về đời sống
thực tiễn, không nhận ra đƣợc mối quan hệ định tính trong các sự vật hiện tƣợng.
Các em chƣa thực sự hứng thú với các hoạt động ứng dụng của toán học vào đời
sống, khả năng giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn trong sách giáo
khoa ở mức độ thấp. Một vấn đề rất quan trọng đƣợc tôi chú ý nhất là hầu hết
các ý kiến cho rằng: vận dụng toán học không chỉ dừng lại ở mức độ áp dụng các
công thức toán học, định lý trực tiếp mà còn phải thể hiện cả trong việc toán học
hóa tình huống thực tiễn và giải quyết nó nhằm đáp ứng nhu cầu của bản thân.
- Khó khăn đầu tiên của HS liên quan đến khái niệm ngẫu nhiên: làm việc
với đại lƣợng ngẫu nhiên không phải là đơn giản. Các tình huống chứa tính ngẫu
nhiên hầu nhƣ ít xuất hiện ở bậc tiểu học và trung học cơ sở, điều này khiến cho
HS THPT khó chấp nhận sự ngẫu nhiên.
1.4. Kết luận Chƣơng 1
Chƣơng 1 đã làm nổi bật vai trò to lớn của toán học đối với hoạt động
thực tiễn của con ngƣời qua hoạt động toán học hóa, đã phân tích một số nội
dung của việc mô tả tình huống thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học, một hoạt
động rất cần thiết cho ngƣời lao động trong xã hội hiện đại.
Trong chƣơng 1, đề tài đã nêu ra các thành tố của kỹ năng toán học hóa
tình huống thực tiễn của HS THPT, đồng thời xác định 4 định hƣớng việc rèn
luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn cho ngƣời học làm cơ sở cho
việc thực hiện nhiệm vụ của Chƣơng 2 và Chƣơng 3.


14

Chƣơng 2
MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN HỌC HÓA CÁC
TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH THPT
2.1. Khai thác tình huống thực tiễn để gợi động cơ trong dạy học môn
Toán
Gợi động cơ học toán từ tình huống thực tiễn góp phần tạo hứng thú học
tập, phát huy tính tích cực chủ động của HS. Chẳng hạn, trong gợi động cơ mở
đầu có thể sử dụng bài toán từ tình huống thực tiễn, qua đó ngƣời học nhận thấy
sự gần gũi giữa toán học và thực tiễn. GV tổ chức các hoạt động tìm hiểu thực tế,
mô tả các số liệu thực tế bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học nhƣ ký hiệu,
bảng biểu, hình vẽ, biểu đồ, đồ thị, mô hình,…. Từ tình huống thực tiễn, đòi hỏi
HS phải dùng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề trong tình huống.
Ví dụ 2.1: Dạy học nội dung hai quy tắc đếm.
- GV nêu ra một hệ thống những bài toán về hai quy tắc đếm (từ cụ thể
đến khái quát), ghi trên phiếu học tập, phát cho từng nhóm nghiên cứu, thảo
luận, đề xuất lời giải.
- Trƣớc hết mỗi HS cần độc lập nghiên cứu lời giải các bài toán đƣợc ghi
trong phiếu học tập. Sau đó cả nhóm thảo luận và phát hiện quy tắc tính cho mỗi
dạng nhƣ thế nào, phân biệt chúng nhƣ thế nào. Các nhóm khác nhau có các hệ
thống bài tƣơng đƣơng với nhau.
- Các hệ thống bài toán trong một phiếu học tập có thể cho nhƣ sau:
Hệ thống 1, gồm các bài toán có nội dung cụ thể:
1/ Trong một hộp có 6 viên bi trắng khác nhau và 3 viên bi đen khác nhau.
a) Có bao nhiêu cách chọn ra một viên bi?
b) Có bao nhiêu cách chọn ra một cặp viên bi: trắng, đen?
2/ Trên giá sách có 4 quyển Văn và 3 quyển Toán.
a) Có bao nhiêu cách chọn một quyển sách?
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 2 quyển sách cùng loại?

15

3/ Hoàng có 3 kiểu quần và 5 kiểu áo.
a) Có bao nhiêu cách chọn một quần hoặc một áo để mặc?
b) Có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo?
Hệ thống 2, gồm các bài toán khái quát từ các bài cụ thể ở trên:
1/ Một công việc đƣợc hoàn thành bởi hai hoạt động: hoạt động một có m
cách, hoạt động hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công việc?
2/ Một công việc đƣợc hoàn thành bởi hai hoạt động liên tiếp: hoạt động
một có m cách, hoạt động hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành
công việc?
3/ Một công việc đƣợc hoàn thành bởi hai phƣơng án: phƣơng án một có
m cách, phƣơng án hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công

việc?
4/ Một công việc đƣợc hoàn thành sau hai công đoạn: công đoạn một có
m cách, công đoạn hai có n cách. Hỏi có bao nhiêu cách để hoàn thành công

việc?
Hệ thống 3, gồm các bài toán để củng cố tiếp các bài toán khái quát ở
trên:
1/ Chợ Bến Thành ở Thành phố Hồ Chí Minh có 4 cửa để ra, vào.
a) Có bao nhiêu cách vào rồi ra khỏi chợ?
b) Có bao nhiêu cách vào rồi ra khỏi chợ bằng hai cửa khác nhau?
2/ Một tập bài có 5 quân đỏ khác nhau và 4 quân đen khác nhau.
a) Có bao nhiêu cách chọn ra một quân bài?
b) Có bao nhiêu cách chọn ra hai quân bài khác màu?
Bằng cách này HS có thể tự phát hiện đƣợc hai quy tắc đếm.
Thông qua biện pháp sƣ phạm này, GV tổ chức các hoạt động trong giờ
lên lớp và ngoài giờ lên lớp nhằm giúp HS tập luyện việc thu nhận thông tin từ

tình huống thực tiễn, từ đó có thể nhận diện một số vấn đề toán học từ tình
huống thực tiễn.


16

2.2. Luyện tập cho học sinh kỹ năng sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và
ngôn ngữ toán học để diễn đạt tình huống thực tiễn một cách chính xác
2.2.1. Tập luyện cho học sinh diễn đạt những tình huống, bài toán dưới
nhiều hình thức khác nhau
Chẳng hạn, khi dạy học những định nghĩa, định lý cần khuyến khích
HS phát biểu những nội dung này theo cách hiểu riêng của họ và dƣới nhiều
hình thức khác nhau, bởi vì trong chƣơng trình phổ thông, nhiều đối tƣợng
toán học đƣợc định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau, nhiều định lý toán học
cũng có thể thay đổi một vài điều kiện để đƣợc một mệnh đề tƣơng đƣơng.
Ví dụ 2.2: Quy tắc cộng đƣợc SGK Đại số và Giải tích 11 (chƣơng
trình chuẩn trang 44) trình bày nhƣ sau: “Một công việc đƣợc hoàn thành bởi
một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động
kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ
nhất thì công việc đó có  m  n  cách thực hiện.”. Chú ý rằng, quy tắc cộng
có thể mở rộng cho nhiều hành động.
Ngoài ra, quy tắc cộng còn đƣợc trình bày dƣới dạng mô tả nhƣ sau:
“Nếu có m cách chọn đối tƣợng X , n cách chọn đối tƣợng Y và nếu mỗi
cách chọn đối tƣợng X không trùng với bất kì cách chọn đối tƣợng Y nào thì
có  m  n  cách chọn đối tƣợng X hoặc Y .”.
Quy tắc cộng đƣợc phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử
của hai tập hợp không giao nhau, đƣợc phát biểu nhƣ sau:
“Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì
n  A  B   n  A  n  B  ”.

Do đó HS có thể phát biểu quy tắc cộng dƣới dạng khác nhƣ sau: “ Một
công việc A đƣợc hoàn thành bởi các hành động sau:
- Hành động 1 có n1 cách thực hiện
- Hành động 2 có n2 cách thực hiện


17

…
- Hành động k có nk cách thực hiện
(Trong đó không có bất kì cách thực hiện nào của hành động này trùng
với cách thực hiện của hành động kia).
Khi đó công việc A có  n1  n2  ...  nk  cách thực hiện.
HS thƣờng xuyên sử dụng ngôn ngữ toán học để giải thích các sự vật,
hiện tƣợng sẽ giúp các em rèn luyện về ngôn ngữ, đồng thời họ quen dần với
việc xây dựng mô hình toán học để giải quyết vấn đề.
2.2.2. Rèn luyện khả năng phân biệt ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ
toán học giúp học sinh sử dụng đúng thuật ngữ toán học
Đặc điểm của ngôn ngữ toán học là biểu đạt ngắn gọn, lôgic và không
mang sắc thái biểu cảm. Trong khi đó diễn đạt của ngôn ngữ tự nhiên nhiều khi
mang tính đa nghĩa, ƣớc lệ, mang màu sắc biểu cảm và chấp nhận những suy
nghĩ không lôgic. Điều này đã gây không ít khó khăn cho việc mô tả tình huống
thực tiễn bằng ngôn ngữ toán học, dựa trên các dữ liệu có sự tham gia của ngôn
ngữ tự nhiên. Một dẫn chứng cho kết luận vừa đƣa ra ở trên là HS rất ngại giải
những bài toán có nội dung thực tiễn, mặc dù chúng đã đƣợc các nhà khoa học
giáo dục chuẩn hóa về mặt ngôn ngữ.
Ví dụ 2.3: Một ngƣời bỏ ngẫu nhiên 5 lá thƣ vào 5 chiếc phong bì đã ghi
rõ địa chỉ. Hỏi có bao nhiêu cách bỏ thƣ nhƣ vậy?
Trong ví dụ này cần chỉ rõ cho HS thấy đƣợc nếu ta cố định 5 bì thƣ thì
việc bỏ 5 lá thƣ vào 5 phong bì là một hoán vị của 5 bức thƣ đó.

18

2.3. Rèn luyện kỹ năng xác định mô hình toán học cho tình huống
thực tiễn thông qua dạy học Tổ hợp – Xác suất
2.3.1. Tăng cường hoạt động thực nghiệm kết hợp thảo luận nhóm, qua đó
rèn luyện các kỹ năng thực hành toán học
HS tiếp xúc với tình huống thực tiễn đƣợc tập dƣợt các kỹ năng thực hành
toán học: thu thập số liệu, dự đoán kết quả, thao tác trên số liệu để kiểm tra kết
quả. Bƣớc đầu HS làm quen với việc vận dụng toán học vào thực tiễn, chủ động
tích cực trao đổi thông tin, chia sẻ khó khăn, cùng nhau xây dựng bài học. Cùng
với hoạt động giảng dạy, để nâng cao chất lƣợng học tập GV cần quan tâm tổ
chức các hoạt động ngoại khóa, thảo luận về chủ đề toán học cho trƣớc hoặc
thành lập câu lạc bộ toán học.
Ví dụ 2.4: GV tổ chức thực nghiệm cho HS theo từng nhóm hoặc cá
nhân. Các thực nghiệm đơn giản có thể thực hiện tại lớp nhƣ gieo đồng tiền hoặc
gieo con súc sắc. Số lần gieo tăng dần, GV yêu cầu HS ghi lại kết quả của từng
lần gieo.
GV yêu cầu HS ghi lại kết quả số lần xuất hiện mặt sấp, mặt ngửa và tính
tần suất. Không gian mẫu bao gồm tổng số lần đồng tiền rơi xuống đất. Khi đồng
tiền rơi xuống đất chúng ta có thể thấy mặt sấp hoặc mặt ngửa của đồng tiền, có
nghĩa là có hai khả năng có thể xảy ra. Do đó, mẫu số của xác suất phải là 2. Vậy
xác suất để đồng tiền rơi xuống đất có mặt sấp là

1
hay 50%. GV có thể tổ chức
2

trò chơi khi thực nghiệm với chiến thuật chiến thắng của trò chơi là HS phải biết

tính xác suất để đƣa ra đƣợc dự đoán trong thực nghiệm:
- GV cho HS dự đoán và ghi lại kết quả của từng HS;
- Tổ chức cho nhóm HS hoặc cá nhân tiến hành thực nghiệm;
- Tính kết quả và xác định xem HS nào có dự đoán gần đúng với kết quả
nhất sẽ là ngƣời chiến thắng.


19

2.3.2. Bổ sung những ví dụ, bài tập có nội dung thực tế; xây dựng tình
huống dạy học gắn liền với thực tiễn
Nội dung Tổ hợp – Xác suất trong chƣơng trình phổ thông thể hiện rõ nét
nhất ứng dụng toán học vào đời sống thực tiễn. Do đó, cần khai thác khía cạnh
này thông qua việc minh họa kiến thức bằng ví dụ, bài tập có nội dung thực tiễn.
Đây là phƣơng tiện giúp bài giảng trở nên sinh động, HS dễ tiếp thu kiến thức.
Hiện nay việc đƣa ra các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy học đang đƣợc
quan tâm, tuy nhiên số lƣợng bài tập đã có trong SGK chƣa đa dạng về thể loại.
Bởi vậy, việc có một hệ thống bài tập bổ sung vào hệ thống này là rất hữu ít và
cần thiết.
Ví dụ 2.5: Một hộp có 13 viên bi đƣợc đánh số thứ tự từ 1 đến 13. Lần
lƣợt lấy các viên bi ra khỏi hộp. Tính xác suất để 4 viên bi lấy ra cuối cùng lần
lƣợt là 10, 11, 12, 13.
Để giải quyết bài toán này HS phải sử dụng các kiến thức về chỉnh hợp,
hoán vị. Tuy nhiên ở đây, ta không bàn đến vấn đề đó, mà GV có thể dẫn ra ở
đây một ví dụ và yêu cầu HS nhận xét xem bài toán mới có cùng dạng với bài
toán đã nêu ở trên hay không? Bài toán mới nhƣ sau:
Một người muốn gửi một bức thư mật có nội dung như sau: “M. you in
the Park” (chữ M viết tắt của từ “Meet”). Anh ta dùng hoán vị các chữ cái để
mã hóa bức thư trên. Bức thư được gọi là mã hóa một cách bí mật nếu từ
“Park” không xuất hiện ở vị trí cuối cùng của dãy các chữ cái. Anh ta mã hóa

bức thư một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất bức thư được mã hóa là bí mật.
Rõ ràng để thực hiện yêu cầu của GV, HS phải hoạt động ngôn ngữ. HS
phải hiểu đƣợc việc mã hóa bức thƣ trên chính là một hoán vị các chữ cái trong
bức thƣ. Hoán vị này cũng tƣơng tự nhƣ việc lần lƣợt lấy 13 viên bi ra khỏi hộp.
Bức thƣ đƣợc gọi là mã hóa một cách bí mật nếu từ “Park” không xuất hiện ở vị
trí cuối cùng của dãy các chữ cái, tức là HS phải hiểu rằng: việc bức thƣ đƣợc
mã hóa thành công cũng tƣơng tự nhƣ 4 viên bi lấy ra cuối cùng lần lƣợt là 10,


20

11, 12, 13. Nhƣ vậy, HS sẽ trả lời đƣợc câu hỏi của GV đặt ra là hai bài toán
cùng dạng với nhau. Sau đó, GV yêu cầu HS phát biểu một bài toán cùng dạng
(cùng mô hình toán học) với hai bài toán trên. Qua hoạt động này có thể giúp HS
tìm ra những hiện tƣợng, những sự việc có cùng mô hình toán học, góp phần
khái quát hóa tình huống thực tiễn theo quan điểm toán học.
2.3.3. Kiểm tra mức độ tiếp thu bài học, vận dụng kiến thức của học sinh
thông qua tình huống thực tiễn
Bài kiểm tra đƣợc lồng ghép tình huống thực tiễn thúc đẩy HS tìm hiểu,
nghiên cứu, khai thác các kiến thức toán học liên quan. Hoạt động luyện tập ứng
dụng toán học vào tình huống thực tiễn diễn ra thƣờng xuyên giúp HS lĩnh hội
và củng cố kiến thức sâu sắc hơn. Qua đó GV đánh giá tình hình học tập, rèn
luyện kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn của các em; đồng thời phản ánh
chất lƣợng giáo dục.
Ví dụ 2.6: Bài toán “Bảng trò chơi ở Hội chợ”
Ở một Hội chợ, các ngƣời chơi ném các đồng xu vào một bảng đƣợc kẻ
những ô vuông. Nếu một đồng xu dính vào biên, nó bị loại. Nếu lăn ra khỏi
bảng, nó sẽ đƣợc ném lại. Nhƣng nếu đồng xu nằm lọt vào trong ô vuông, ngƣời
chơi thắng đƣợc đồng xu lại và thêm một phần thƣởng. Xác suất để thắng trò
chơi này là bao nhiêu?

Hình 2.1. Hình minh họa bảng ô vuông và đồng xu
Rõ ràng bài tập xuất phát từ tình huống thực tiễn. Trƣớc hết HS nhận ra
rằng xác suất để thắng phụ thuộc vào kích cỡ tƣơng ứng của các ô vuông và
đồng xu (xác định các biến số quan trọng). Sau đó, chuyển vấn đề thực tiễn