biểu đồ nội lực

LÊ THANH PHONG

CHƯƠNG 4:

NỘI LỰC TRONG BÀI TOÁN THANH

I. Hợp lực của nội lực trên tiết điện - ứng lực.
Một chỉ tiết dạng thanh được đặc trưng bởi trục thanh và mặt cắt ngang của nó. Chúng ta hay
thường xét những mặt cắt vng góc với trục của nó và gọi là tiết diện.

Hình 4.1: Phương pháp
mặt cắt ngang.

Để tìm nội lực trên tiết diện của thanh ta sử dụng phương pháp mặt cắt: tưởng tượng cắt

thanh tại tiết diện cần khảo sát bằng mặt cắt Z (hình 4.1). Xét

sự cân bằng của một phần

nào đó, chẳng hạn phần bên trái (hình 4.2a), Phần này được cân bằng nhờ tác dụng của ngoại

lực và hệ các nội lực trên tiết diện của phân bên phải tác dụng lên nó. Hợp của hệ nội lực

phân bố trên mặt cắt khi thu về điểm nằm trên trục thanh được véctơ chính R và mơmen
chính M như trên hình 4.2a.
Véctơ chính R được phân

ra ba thành phần

theo ba trục tọa độ

X,.QG..Q,: Véctơ mơmen

chính #⁄ được phân ra ba thành phần quay quanh ba trục tọa độ M,,M,,M,

hinh 4.2b. Két

quả là nhận được sáu thành phân nội lực trên tiết diện gọi là các ứng lực.
Hình 4.2: Hợp của nội
lực trên tiết diện.

Trong hệ tọa độ

Cxyz: Trục z trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt ngang, còn hai trục

kia nằm trong mặt cắt ngang,
Thành phần lực dọc theo phương z ký hiệu là N,

gọi là lực dọc, hai thành phần nằm trong

mặt cắt và hướng theo trục x và y ký hiệu là @, và Q, được gọi là lực cắt.
Các mômen

quay

quanh trục x và y ký hiệu là

M,

va

M,

duge

gọi là mơmen

uốn, cịn

mémen quay quanh trục « ký hiệu là M⁄, được gọi là mômen xoắn,
Sáu thành phần này được gọi là các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang hay còn gọi là các
ứng lực hình 4,2b, Chúng được xác định từ 6 phương trình cân bằng độc lập.
Ba phương trình cân bằng hình chiếu lên ba trục tọa độ:

N,+S`'Z(P.)=0
i=l

0,+>d¥(P)

0

Ø,+3X(P,)=0
1

Trong đó Z(P,), X(P,), Y(P,) là hình chiếu của các lực P, xuống các trục z x, y.
31

(4.1).


LÊ THANH PHONG

Ba phương trình cân bằng mơmen

đối với ba trục tọa độ:

M,+Ÿ m.(P)=0
i=l

Mỹ, +Sm (P,)
i=l

=0

(4.2).

M,+`m (P,)= 0
i=l

Trong đó:

m,(P,)

: m,(P

) : m,(P,) -m6émen

cua céc luc P, đối với các truc x, y, Z.

Các thành phần nội lực có liên hệ với các thành phần ứng suất như sau:
—_

—_
—
—

Lực dọc là tổng các ứng suất pháp.

Lực cắt là tổng các ứng suất tiếp cùng phương với nó.
Mơmen uốn là tổng các mômen gây ra bởi các ứng suất đối với trục x hoặc y.
Mômen xoắn là tổng các mômen của các ứng suất tiếp đối với trục z.

Hình 4.3: Nội lực và ứng,
suất trên tiết diện,

y

Nếu gọi ơ,, r,.. r„„ là các thành phân ứng suất tại điểm A(x,y) trên mặt cắt ngang hình 4.3, ta
có các biểu thức sau:

N.=[odF

M,=[ø,yaF

F

F

9,= Ỉ r„ÄF

M,= Ỉ ø,xảF

F

ae

0.= Ỉ 1,dF

(4.3),

M,= Ỉ (z,„.y— +,„.x)dF

*

”

Trong đó đ#' là phân tố diện tích bao quanh điểm A(x,y).
Nhờ các quan hệ (4.3) mà ta có thể tìm được các thành phân ứng suất khi biết các thành phần
nội lực.

==
—

Ned

Nod

2

>

Q 20

a)

=0

/

\

M>0

ee
â)

M>0 3

>

; a

đ==

4

"C1

N

opener ẩ

3

Hỡnh 4.4: Chiu dng ca ni lực.

s

`
M,>0

2

$
M;>0

Qui ước dấu của các thành phân nội lực:
—

Lực dọc được xem là dương khi có chiều hướng ra ngồi mặt cắt (nghĩa là gây kéo cho
đoạn thanh đang xét), hình 4.4a.

32


LÊ THANH PHONG

—_

Mơmen xoắn qui ước dương khi nhìn vào mặt cắt thấy quay cùng chiều kim đồng hồ,

—_

Lực

—

Mémen uén được xem là dương khi có xu hướng làm căng lớp vật liệu bên dưới đối với

hình 4.4b.

cắt được xem

là dương khi có khuynh

chiều kim đồng hồ, hình 4.4c.

hướng

làm quay đoạn thanh đang xét theo

những thanh nằm ngang, hình 4.4d hoặc có xu hướng làm cho các thanh cong bị cong thêm,

hình 4.4e.
II. Biểu đồ nội lực.
1. Định nghĩa.

Biểu dỗ nội lực là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc theo trục thanh, Hoành độ
của biểu đổ lấy song song với trục thanh. Tung độ là các giá trị của nội lực tại các mặt cắt
ngang tương ứng.

Đoạn chịu lực: là đoạn trong đó nội lực được biểu diễn bởi một hàm số duy nhất,

Cách chia đoạn chịu lực: Đoạn

chịu lực được chia tại những

nơi giới hạn của lực, mơmen

phân bố, những nơi có lực, mơ men tập trung.

2. Vẽ biểu đồ nội lực bằng phương pháp mặt cắt biến thiên.
Thanh có bao nhiêu đoạn chịu lực thì ta tưởng tượng có bấy nhiêu mặt cắt cắt thanh ra làm
hai phần. Xét cân bằng của một phần nào đó, dưới tác dụng của các ngoại lực và hệ nội lực

do phần còn lại tác dụng, bằng cách đặt thêm các thành phần nội lực tại mặt cắt đó theo

chiểu qui ước dương.

Xác lập biểu thức nội lực trong từng đoạn nhờ vào các phương trình cân bằng tĩnh học, khi ta
xét cân bằng phần thanh bị cắt ra theo (4.1) và (4.2).

Dựng hệ trục tọa độ. Dựa vào các biểu thức nội lực, vẽ đồ thị biểu diễn mối liên hệ giữa tọa

độ dọc theo thanh và nội lực trong từng đoạn thanh tương ứng. Đó chính là các biểu đồ nội

lực cần tìm,

3. Vẽ biểu đồ nội lực bằng phương pháp vẽ nhanh.
a-_ Liên hệ vi phân giữa mômen uốn, lực cắt về tải trọng ngang phân bố.

e Vấn để: Đã biết lực cắt và mômen uốn ở mặt cắt bên phẩi của đoạn chịu lực, chẳng hạn
tai A: or

g® (2).

Mes

biết hàm tải trọng ngang phân bế trong đoạn chịu lực, đoạn AB:

© Yêu cầu: Xác định bậc của hàm lực cất @,và mômen uốn #⁄,, tính lỗi lõm, điểm uốn
(nếu có) của các hàm này trong đoạn chịu lực AB. Đồng thời suy ra lực cắt và mô men

uốn tại mặt cắt bên trái cuối đoạn chịu lực (điểm B): @⁄7”,
quan hệ vi phân giữa mômen

uốn

7”, Nếu thiết lập được các

#⁄,, lực cắt Q,, va tai trọng phân bế dz). thi sé gitip

ta xác định được bậc của đường cong, tính lỗi lỏm, cực trị và đặc biệt là sự chênh lệch

của các hàm nội lực M,, Q, ở đầu và cuối mỗi đoạn chịu lực khi đã biết quy luật của tải

trọng phân bố 4z).
Tưởng tượng cắt dầm bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 cách nhau một đoạn vi phân

(hình 4.5a).

33

đz có tọa độ z

LÊ THANH PHONG

Hình 4.5: Liên hệ giữa tải bụng: ham

và nội lực.

Xét cân bằng đoạn vi phân tách ra (hình 4.5b):

®r=0=0,~Í0,+d0,)+4(z}=0=
dQ,

(4.4).

= q2)

dz

Time, 05M, -M, +a, )+0,de+ HEY g
Bỏ qua vơ cùng bé bậc hai (dz) dan dén:

dM, _ Ó,

Kết hợp (4.4) và (4.5):
Vậy

đạo hàm

(4.5).

dz

Se

“ =4(2)

2

bậc nhất theo z của mômen

(4.6)

uốn bằng lực cắt. Đạo hàm bậc hai của mômen

uốn bằng đạo hàm bậc nhất của lực cắt và bằng cường độ lực phân bố.
Chiều trục z hướng từ trái sang phẩi, lực phân bố mang dấu dương nếu hướng lên.

Mặt khác từ (4.4), (4.5) ta rút ra được:
B

B

Ti (4.4) suy ra dQ, = qde=> Ỉ dQ, = Ỉ q(zjdz => AQ"? = Qi"?oo Qe = G45
A

Hay

A

oe" =P
B

B

A

A

+588

(4.7).

Từ (4.5) suy ra đM, = Qd¿= [AM, = [O,d¿= AM" = Mỹ? = Mi"^ = S27
Hay
Sy" So,

Mie = MP" +85"

(4.8).

- diện tích của biểu đổ tải trọng phân bố q(z) va dién tich cia biéu dé lc c&t Qy

trong đoạn AB,

AØ2”,AMZ”- Độ chênh lệch lực cắt và mômen uốn giữa hai mặt cắt: bên phải của A và bên

trái của B.

Š¿” mang dấu dương (+) khi lực phân bố q(z) hướng lên trên, ss

mang dấu dương (+) khi

diện tích của biểu đổ lực cắt Ø; là dương (ở phía trên trục hồnh) và ngược lại.
Nhận xét:

Theo các quan hệ (4.4), (4.5), (4.6) thi: Hàm của lực cắt Q, cao hơn hàm của tải trọng phân
bố 4(2

một bậc. Hàm của mô men

#⁄, cao hơn hàm của lực cắt Q@, một bậc và cao hơn hàm

của lực phân bố q(z) hai bậc. Nếu 4, là hàm số bậc hai thì bể lõm cúa nó ln hứng lấy các

mũi tên của lực phân bố q(z).
Mặt khác theo (4.5) thì nơi nào trên sơ đồ tính hàm lực cắt Q, triệt tiêu thì hàm mơmen

tiết diện đó đạt cực trị.
34

tại


LÊ THANH PHONG

Lực cắt Q, và mô men uốn M, tại một tiết diện nào đó có thể biết được khi đã biết lực cắt
và mô men uốn tại một tiết diện trước đó theo cơng thức (4.7), (4.8).

b-

Liên hệ giữa mômen uốn, luc cat và tải trọng ngang lập trung.

e

Vấn đề: Đã biết lực cắt và mômen uốn ở mặt cắt bên trái tại những nơi giới hạn của đoạn

chịu lực, chẳng hạn tại C: oye, Mire „ biết tải trong tap trung tai C: P,M

(có thể P, hoặc

M khơng tổn tại) hình 4.5a,
© u câu: Xác định lực cắt và mômen uốn tại mặt cắt bên phải của điểm C: @/*“,M?°£,
hình 4.5c.

Tưởng tượng cắt dầm bởi hai mặt cắt cách nhau một đoạn vi phân đ¿ ở hai bên điểm C có tọa

độ ¿` (hình 4.5a).

Xét cân bằng đoạn vi phân tách ra (hình 4.5c) ta có:

SY =0=0"° +P-O" =0=> AQ, =O" -Q" =P
Hay

oP’ =OF" +P

Sim, =0= Mi L0d

m-mec i

d

(4.9).

=0

Bỏ qua các vô cùng bé bậc nhất = 4M, = M?°° - MƑ =M
Hay

MP

= MYO 4M

(4.10),

AO,,.AM, - Độ chênh lệch lực cắt và mômen uốn (bước nhảy) giữa hai mặt cắt bên phải và
bên trái tại điểm có lực hoặc mômen tập trung.
Trong các công thức (4.9) và (4.10) P mang dấu dương (+) khi lực tập trung P hướng lên trên.
M mang dấu dương (+) khi mômen tập trung #⁄ quay cùng chiểu kim đồng hồ và ngược lại.

Để thực hiện vẽ nhanh biểu đồ nội lực ta lưu ý đến các nhận xét về các quan hệ vi phân giữa
các đại lượng và bước nhảy trong các công thức (4.4) đến (4.10).
Nhận xét:

e Khi thực hiện vé tt tradi sang phải:
Theo công thức (4.9): Nơi nào trên sơ đơ tính có lực tập trung thì tại nơi đó trên biểu đồ lực

cắt Q„ có bước nhảy, trị số của bước nhảy bằng trị số của lực tập trung. Chiểu của bước nhảy
cùng(®) chiều với lực tập trung.

Theo cơng thức (4.10): Nơi nào trên sơ đỗ tính có mơmen tập trung thì tại nơi đó trên biểu đỗ

mémen uén M, có bước nhảy, trị số của bước nhảy bằng trị số của mômen tập trung. Chiểu
của bước nhẩy là hướng xuống (dương)

nếu mômen tập trung quay cùng(*) chiều kim đồng

hồ.
e

Khi thực hiện vẽ từ phải sang trái: Những nơi đánh đấu “*” có nghĩa ngược lại.

c- _ Liên hệ giữa lực dọc và các tải trọng đọc.
Trường hợp xét các tải trọng dọc theo thanh hình 4.6a. Tưởng tượng cắt thanh bởi hai mặt cắt
1-1 và 2-2 cách nhau một đoạn vi phân

a)

All

[oR

2

1I
z

B

đ¿ có tọa độ z (hình 4.6a)

=}

`

b)

12

N,+dN,
nFTN
y
đz

đz

Hình 4.6: Liên hệ giữa tải trọng dọc và nội lực.

Xét cân bằng đoạn vi phân tách ra (hình 4.6b):
>Z=-N -q„„.đ¿+N +ạN =0—

35


LÊ THANH PHONG
dN

t= gy.

(4.11).

dz

B

B

A

A

B

AN, = @.dz= [dN, = | dincde= ANS = NYP — NPM = g,de
A
B

Hay

NỊ?=N?h^+ Ỉ Dae

(4.12).

A

Các công thức (4.11), (4.12) cho ta cách vẽ biểu đổ lực dọc bằng phương pháp vẽ nhanh.

d- Liên hệ giữa mômen xoắn và các tải trọng mômen xoắn.
Trường hợp thanh chịu các mơmen tải trọng gây xoắn hình 4.7a. Tưởng tượng cắt thanh bởi
hai mặt cắt 1-1 và 2-2 cách nhau một đoạn vi phân

đ¿ có tọa độ z (hình 4.7a)

A

M,IdM; 1 m(z) pl M,
12 dz

;

dz

Hình 4.7: Liên hệ giữa mơmen tải trọng và nội lực.

Xét cân bằng đoạn vi phân tách ra (hình 4.7):

=m, =M,+mdz—-(M,+dM,)=0>

dM
dz
B

Z=m

(4.13).

B

B

dM, = m.dz=> fd, = fmde= AM?” = Mỹ? = MP2 = [ mái
B

Hay

Mi" = MP + [mag

(4.14).

Các công thức (4.13), (4.14) ta sẽ vẽ được biểu đỗ mơmen xoắn bằng phương pháp vẽ nhanh.

Ví đụ 4.1.

Vẽ biểu đồ nội lực của dâm cho trên hình 4.8a bằng phương nụ mặt cắt biến thiên,
"
a

) A

2I

pout
ï
B
y
1

P=ga

5

M=2qa?
a)
OC)
Đao
On

“4i

mo

RS
p44/2

|
;

'

Mp am

p9 “g

d)

'©
1

0qa?/8

ae

M xl

M=2qa

C
k—4|n-

!

Hinh 4,8: Cho vi dy 4.1,
2ga”

Gidi.
Xác định phản lực:

im, =-M-P.2a+q.2aa-N,.4a=0 => N, = -qal2, N, c6 chiéu di xuéng.
m¿

=—M + P.2a- q.2a.3a+Y,.4a = 0 —> Y„ =34a/2.

Vẽ biểu đỗ:
36


LÊ THANH PHONG
- _ Xét đoạn AB:

Dùng mặt cắt 1—1 gốc tại A có tọa độ z,(0< z, < 2a), Xét cin bằng phần bên trái của dâm

(hình 4.8b):

»Y =Ÿ,-4=Q,¡=0

= 0, =-9%, +3ga/l2

(a).

Im, =¥,.q-9@ /2-M,, =0 > M,, =-qzj /2+3qaz,/2
Trong đoạn AB

(b).

Q,, 1a ham bậc nhất, &,, là parabol bậc hai,

a =-đãi +4a =0>4= Sai

đu | a. = -452)

2

+ an Sa = sứ

2

; oe

=-q<0

Dé thi M, quay bé lém lén trén, Cac gid tri đặc biệt:
B= Ox

Q,, =3qa/2,

M,=0.

& =2a:

Q,, =—-qa/2,

M,=qa°.

%=3a/2:
-

OQ, =0;

M,, =9qa’ 18.

Xétdoan BC:

Dùng mặt cắt 2—2 gốc tại C, tọa độ z„ (0< 4 <2a). Xét cân bằng phần bên phải của dim

(hình 4.8e):

LY=-N,+0,=0
im,

>Q,,=qa/2

=-M+N,.z,+M,

(c).
=> M,, =-qaz,/2+2qa

=0

(d).

Trong đoạn CB Ø, là hằng số còn M, là hàm bậc nhất. Các giá trị đặc biệt:
% =0:

Q,, = qal2,

M,„, =2qa”.

⁄& =2:

Q,, = gal2,

M,, =qa’.

Dựa vao cdc biéu thifc (a), (b), (c), (d) vẽ được biểu dé lực cắt (hình 4.84) và mơmen uốn

(hình 4.5e).

Vi du 4.2.

Vẽ biểu đỗ nội lực của cột cho trên hình 4.9a bằng phương pháp mặt cắt biến thiên.

b)

©)

Pị=2qa

Pị=2qa

A

A

+

Z¡

Na

Lp

P,=3qa
B

#

No
3

Hình 4.9: Cho ví dụ 4.2.

Giải.
- _ Xét đoạn AB:

Dùng mặt cắt I—1 gốc tại A, tọa độ z¡ (0 < z¿ <2a). Xét cân bằng phần trên của cột (hình

4.9b):

37


»Z=-P,-Nạ =0 =Nạ=-—2qa.
-_

LÊ THANH PHONG

N„là hằng số trong đoạn AB,

Xét đoạn BC:

Dùng mặt cắt 22 gốc tại A, tọa độ ¿; (2a < ¿ < 3a). Xét cân bằng phẫn trên hình 4.9c:
Z=-P.+P,—N,„=0 =N,„ =qa. N„ là hằng số trong đoạn BC,
- _ Xét đoạn CD:

Dùng mặt cắt 3-3 gốc tại A, tọa độ z; (3a < z¿ <6a). Xét cân bằng phần trên của cột (hình

4.94):

EZ=-P,+P,- AZ, — 3a)— N,=0>N,,

=-qc, +4qa,

N.,là bậc nhất trong đoạn CD,

Biểu đỗ lực dọc được vẽ trên hình 4.9e,

Ví đụ 4.3.

Vé biểu đỗ nội lực trục chịu xoắn cho trên hình 4. 10a bằng phương pháp mặt cắt biến thiên.
L
3L
2L
"—
n
....
54
Ạ

»

(EWCTCUEEEg
A iB
2I
ỨC ạị
VD

2mL

i

a

3mL

i

Hinh 4,10: Cho ví du 4.3,
Gidi.
-

Xét doan AB:

Tưởng tượng cắt trục bing mat c&t 1-1 géc tai A, toa dd z,(0bên trái của trục (hình 4. 0b):

im, =M,+M,,=0=> Mụ„ =—2mL. M„ là hằng số trong đoạn AB.
-

Xét doan BC:

Dùng mặt c&t 2-2 gốc tại A, tọa độ z; (L < z¿ <4L). Xét cân bằng phân bên trái của trục

(hình 4.10):

im, =M, -mÍ& -L)+M,
-

=0

=>M,

=mz -3mL,

Mla bac nhat trong doan BC.

Xét doan BC:

Dùng mặt cắt 3—3 g&c tai A, toa dd zg, (4L
(hình 4.104):

im, = M,-m.3L+M,+M,,=0

= M,„, =—3mL.
38

M „là hằng số trong đoạn CD,


LÊ THANH PHONG
Biểu đỗ mơmen xoắn được vẽ trên hình 4.10e.

Ví dụ 4.4.
Vẽ biểu đỗ nội lực của đầm cho trên hình 4. I la bằng phương pháp vẽ nhanh.
Giải.
Xác định phản lực:
im; = M-~ P.2a+q.4a.2a- Y„.3a= 0 > Y„ = Sqa/3.
im, =M-P5a—q4aat+N,3a=0>N,

=Tqal3.

Vé biéu dé: VE ti trdi sang phdi.
a, Vẽ biểu đổ lực cắt @, (hình 4.11b):
e

Doan AB:
an

ar.

Tung độ đầu: @/”ˆ

PLA

—

tra

= @7ˆT=

_

—

P=0ga =~dqa.

Bậc của biểu đổ: trong đoạn AB 4(z)=0

= OQ, hằng số.

Tung độ cudi: 97? = QP“ =—aa.

e

DoanBC:

Tung độ đầu: @"° = @”” + N; = -qa+5 đa = 34M:
Bậc của biểu đổ: trong đoạn BC 4(¿)= const > Q, bậc nhất,
4.

4

Tung d6 cudi: OF" = QPF + SF = 3
e

—3qa = — da b

ĐoạnCD:

Tung d6 dau: OP

=O" +Y, = ~34a+5 đa = qa.

Bac cla biéu dé: trong doan CD q(z)= const > Q, bac nhất,
Tung d6 cudi: QF? = OP +S

= qa-qa=0.

39


LÊ THANH PHONG

M=2qa?

Yc=8qa/3

.
S€rrrrrrrrrrrrrrrrrr

Oy--->

Nạg=7qa/3

Hình 4.11: Cho ví dụ 4.4.

b. Vẽ biểu đơ mơmen uốn M, (hình 4.I1c):
e

Doan AB:

Tung d6 dau: MP“ = Mi" =0,
Bậc của biéu dé: trong doan AB Q, = const => M, bic nhat.
Tung độ cuối: Mƒ?”= M?°⁄ +53" =0-ga.2a=-2qa’.
e

Doan BC:

Tung d6 dau: MP"? = M*¥* + M =—2qa’ +2qa° =0.
Bậc của biểu đổ: @„ bậc nhất = M, bậc hai. Bề lõm của hàm bậc hai quay lên trên.
Q, triệt tiêu tai O > M, đạt cực trị tại Ó ( BO = 44/3).
Tung độ của điểm cực trị và tung độ cuối:

14
4
8
M? x = MP?
482°2, =0+—.—ga.—a=—qa’.
x
2
qg
3
gt
8
15
5
1
MY"
= M° +8°° =— qa’ -—.—qa.—a=-— qa’.
:
sa
o2
tg
af

e

Doan CD:

Tung d6 dau: M?" = MY +0=-qa’/2,
Bậc của biểu đổ: @„ bậc nhất M, bậc hai, Bề lõm của hàm bậc hai quay lên trên.
Q, triệt tiêu tại D —= M, đạt cực trị tại Ð.
ở

Tung 46 cudi: Mi? = MP" 4.85? =

1

1

val rea

=0,

Ví du 4.5.
Vẽ biểu để nội lực của cột cho trên hình 4.12a bằng phương pháp vẽ nhanh.

40


LÊ THANH PHONG

Giải. Vẽ từ trên xuống đưới.
®

Doan AB:

Tung d6 dau: N24 = N?"4 — P = 0-2¢a=-2qa.
Bậc của biểu đổ: trong đoạn AB 4(z)= 0 = N, hing sé.
Tung độ cuối: Nƒ”"” = N4,
®

ĐoanBC:

Tung độ đầu: W'?? = N?””"? =—2qa,
Bậc của biểu đổ: trong đoạn BC q(z)= const > N, bậc nhất,
3a

Tung d6 cudi: N°" = NAF + i qyiz = ~2qa - 3qa =—5qa.
0

e

DoanCD:

Tung độ đầu: N”““ = N””"“ + P, =—5qa + 6qa = qa,
Bậc của biểu đổ: trong đoạn CD 4(z)= 0 = N, hằng số.
Tung độ cuối: Nƒ”"” = N?“° = ga,
Biểu đồ lực dọc trên hình 4.12b,
M;=5mL

Mi=3mL

>|

'
'
'

3mL

IM

i
Hình 4.12: Cho ví dụ 4.5.

2mL

Tình 4.13: Cho ví dụ 4.6.

Ví dụ 4.6.
Vẽ biểu đồ nội lực trục chịu xoắn cho trên hình 4.13a bằng phương pháp vẽ nhanh.

Giải. Vẽ từ phải qua trái.
®

Doan AB:

Tung 46 dau: M24 = M4

4M = 043mL =3mL,

Bậc của biểu đổ: trong đoạn AB 4(z)= 0 = AM, hằng số.

Tung độ cudi: MP? = M2 = 3m1.
e®

ĐoanBC:

Tung độ đầu: M?“” = M?””— M, =3mL— 5mL=~—2mL,
Bậc của biểu đổ: trong đoạn BC 4(z)= 0 — M, hằng số,

Tung d6 cudi: MP?" = Mi"? =-2mL,

e

DoanCD:

Tung 46 dau: M2" = MP" =—ImL,
41


LÊ THANH PHONG

Bac cla biéu dé: trong doan CD q(z)= const > M, bậc nhất,
Tung độ cudi: MP?

3a

= MPO + loa: =~2mL+3mL— m1.
oO

Biểu đồ mơmen xoắn trên hình 4.13b,

Ví đụ 47.

Vẽ biểu để nội lực của dầm cho trên hình 4. 14a bằng phương pháp vẽ nhanh.

Giải.

Xác định phản lực: tách khớp C.
Xét dầm phụ AC hình 4.14b:

om, =M,+P,2L+q2L.L-Y,.3L=0 => Y„ = 24L.

im, = M,-P,.L-4q.2L.2L+N,3L=0=>N,=qL.
Xét dâm chinh CF hinh 4,14c:

Lm, = M, +P,.2L+4q.2L.L—Ye.L—-Y,.4L=0=> Y; = 24L,
Em, = M, — P,2L— q.2L.3L—Y„.5L+
Nạ.4L =0 = Nạ = “at,
Vẽ biểu đổ: Vẽ từ ái sang phải,

a. Vẽ biểu đồ lực cắt Q, (hình 4.144):
e Doan AB: ctia dim phu AC,
Tung độ đâu:

oh" =O" +N, =0+qL=aqh.

Bậc của biểu đề:

q(z)= const > Q„ bậc nhất,

Tung d6 cudi: OF? = QP4 45% =qL—q.2L=-qL.
e©
ĐoạnBC: của dầm phụ AC.
Tung độ đầu:

9?7=07”—P, =-aL~ ạL =~2qL.

Bậc của biểu đổ: q(z)= 0 > OQ, hing sé,
Tung d6 cudi: OF = OP? =-2qL.
®_ ĐoạnCD: của dầm chính CF,
Tung độ đầu:

9?“ =Q@7“ TY, =0—2qL =~24L.

Bac cla biéu dé: q(z)=0 > Q, hằng số.
Tung độ cuối: @7'” = Q?°° =—24L,
e© Đoạn DE: của dầm chinh CF,
Tung độ đầu:
Q97”=07”P+N,= -2gh.+

13

gL = qe

Bậc của biểu đổ: trong đoạn DE gq(z)= const > Q, bậc nhất.

Tung độ cuối: @7” = @?*5 +S” = SaL= q2L= “aL.
©_

Đoạn EE: của dâm chính CF,
42


LÊ THANH PHONG
Tung độ đầu: @?"” =@”” — P, =

gh 34h = — 14L.

Bậc của biểu đồ: trong đoạn EE g(¿)}= 0 => Q, hằng số,
7

Tung độ cuối: @“” = Q7" =

tt .

Oy

2qLˆ

}kNYY
5qL?⁄2

Hình 4.14: Cho ví dụ 4.7.
b. Vẽ biểu đỗ mơmen uốn #⁄, (hình 4.14e):
e©

Đoạn AB: của dâm phụ AC,

Tung d6 dau: M?* = M”^ =0,

Bậc của biểu đồ:
Q, bậc nhất — M, bậc hai. Bễ lõm của hàm bậc hai quay lên trên,
Q, triệt tiêu tại @ — M,

đạt cực trị tại O(AO=

1}.

Tung độ của điểm cực trị và tung độ cuối:

Me x = MP"

+55" = 0+ 5 gbeb = 2U :
x
Mi" = M2 +85" = se
e

=34LL =0,

ĐoạnBC: của dầm phụ AC.

Tung độ đầu: Mf?”” = M?””+ M, =0+2g]2 = 2q1?.
Bậc của biểu đồ: trong đoạn BC Q, = const > M, bac nhất.
Tung độ cuối: M7“ = M?”” +“

=2qg1? —2aL.L =0.
43


e©

LÊ THANH PHONG

Đoạn BC: của dầm chính CE,

Tung d6 dau: M?° = M7?“ =0,

Bậc của biểu đổ: trong doan CD Q, = const => M, bac nhất,

Tung độ cudi: MP = MIM + S2” =0-2qL.L=~241”.
e

Doan DE: cia dam chính CE,

Tung độ đầu: Mf?”” = M7?” =—2g1?.
Bậc của biểu đổ: @„ bậc nhất = ÄM, bậc hai. Bề lõm của hàm bậc hai quay lên trên,
^

:

Tung độ cuối:

e_

2E

M””

h,D

= Mƒ””+S

DE

Ỷ

=-2q1ˆ

2

1

13

5

5

+—| —qL+—~qL
2\4
4

2

|2L=—qL.
2

Đoạn EE: của dầm chính CF,
.

5

Tung độ đầu: ƒ°” = Mv" = gee .
Bậc của biểu đồ: trong đoạn EF @, = cons = M, bậc nhất,

Tung độ cuối: M7” = Mƒ"” +S2” = 34

~ 241.2

=-ql?.

Ví dụ 4.8.

Vẽ biểu đồ nội lực của khung chịu lực như trên hình 4.15a.
Giải.
im, =M+Pa+qaa~N,a=0=

Lm, =M+Pa-qa>-Y,a=0>Y,
rX=P-X,=0>

kJ| ta

Xác định phản lực:
Nụ =—4a.

= 54a.

X, =qa

Vẽ biểu để: Dùng phương pháp vẽ nhanh: ( Bắt đâu từ A).
Để sử dụng được phương pháp này ta vận dụng các nguyên tắc sau: Khi xét đoạn khung nào
thì lực hoặc mơmen

tác dụng lên các đoạn khung khác

sẽ được

dời về hai đầu của

đoạn

khung đang xét theo qui tắc dời lực,

Nếu là mômen thì ta chỉ việc dời nó đến vị trí mới.
Nếu là lực thì ngồi giá trị của lực dời đến vị trí mới, cịn có thêm mơmen

trị của lực đó gây ra đối với điểm dời đến.
e

Doan AB hinh 4,15b:

Hợp của lực phân bế q được dời
và một mômen bằng 4a” /2 quay
Phản lực tại gối D được đời về B
tập trung Ynp.a quay ngược chiều

đúng bằng giá

về B tương đương với một lực tập trung g.a huéng xuống
cùng chiều kim đồng hồ.
tương đương với lực tập trung „ hướng lên và mơmen
kim đồng hồ.

Tổng hợp các lực trên chính là lực của phần khung BCD

tác dụng lên đoạn khung AB và

ta xem như là ngoại lực tác dụng lên nó, Đến đây ta có thể áp dụng phương pháp vẽ nhanh

đã biết để vẽ biểu đô nội lực trong đoạn AB.

Hoàn toàn tương tự, ta tiến hành cho các đoạn còn lại.

44


a

IIIIIIIIIIIIIIIII E

LÊ THANH PHONG

2qa
ao

w

:5

IS

3qa/

Hình 4.15: Cho ví dụ 4.8.
e

Doan BC hinh 4, 15c:

TaiB:

Phần lực Y„ có phương đi qua B nên khi dời về B chỉ có lực tập trung Y,.
Phản lực X„

tương đương với lực tập trung X„

và mômen

X,.z

quay ngược

chiều kim đồng hỗ.

TaiC:
e

Phần lực N„ có phương đi qua C nên khi dời về C chỉ có lực tập trung Np.

Đoạn CD hình 4.15đ:

Tưởng tượng dùng một mặt cắt qua C, dể thấy đoạn CD tác dụng lên phần dầm ABC một
lực

W„

(khơng gây ra mơmen

đối với €) do đó phần khung ABC

đoạn BC qua C một lực có độ lớn là W„ =5ga/2

cũng chỉ tác dụng lên

theo chiều ngược lại. Vậy nội lực trong

đoạn CD chỉ có lực dọc.

Các biểu đồ nội lực sau khi kết hợp như trên hình 4.15e.

Vi du 4.9.

Có biểu đồ mơmen uốn của dầm đặt trên hai gối B và H (hình 4.16a). Hãy xác định biểu đỗ

lực cắt và tải trọng tác dụng lên dầm.

45


a)

“BX

LÊ THANH PHONG

aa”
À

37qa18

C

2qa?⁄3

a

5
49q4/36

2qa/3

ga

a

5a/3

bd

bậc hai

a

5a/6|

7a/6

hạ

ñ

HÀ

c

}

Se
Sh,F
CE F's
Hinh 4,16: Cho vi du 4,9,

Gidi.

Đây là bài toán ngược, muốn giải được ta phải biết sử dụng thành thạo phương pháp vẽ

nhanh, cũng như nắm vững các nhận xét về bước nhảy trên biểu đồ.
Tiến hành thực hiện từ trái sang phải.
a. Xác định biểu đồ lực cắt: (hình 4.16b)
e

Đoạn AB:

Trong đoạn AB biểu đồ của mômen uốn M⁄?”là bậc nhất — biểu đỗ lực cắt @2” là hằng số.
Từ mặt cắt A sang mặt cắt B mơmen ⁄‡” lệch về phía âm = biểu để lực cắt có tung độ âm
(nằm dưới trục hồnh), gọi tung độ của lực cắt là ñ,:

AM?” =hị.a

AM?"

=hị=

Mˆ-M}?_ -qa -0

a

a

=-qa.

a

Tương tự, tiến hành xét các đoạn còn lai.
e

ĐoạnBC:

M*

Bac nhat > OY hing sé.

Từ mặt cắt B sang mặt cắt Cmơmen

#7” lệch về phía dương = biểu đồ lực cắt Q7“

tung độ dương (nằm trên trục hoành):

AM“ =h,a
e

Shy =

AM?” _ M?— MỸ _ 24a°13-(qa')_ 5

a

a

=4.

a

Doan CE:

MẸ” có dạng bậc hai = biểu đồ lực cắt @ƒ” có dạng bậc nhất.

Tại D biển đồ M, đạt cực trị => trên biển đổ lực cắt Ø, triệt tiêu.
Từ mặt cắt C sang mặt cắt D mơmen M2” chênh lệch về phía dương = biểu đổ lực cắt Q2”
nằm trên trục hoành.
AM

=1
2

Ša—m,
3

=Ố
5

AMC?

š

a

_6

MC

5

t

—M?

a

t _ 637 qa
5

2

_

/18a

2qa

2

_

"`

3

Từ mặt cắt D sang mặt cắt E mômen 4£” lệch về phía âm = biểu đồ @⁄” có tung độ âm:
46


LÊ THANH PHONG
AM DE _ Mộ D — MF””trái E _ 24a)
=h, =6

1,
1
2.13

AM” =—h,.-a
e

a

2

=31qa 2 718 lig

—

a

a

2

Đoạn EE:

Trong doan EF biéu dé M* bac nhat > biéu đô @7” hằng số,
Ty mat cit E sang mat cdt F biéu dé M*" léch vé phia 4m => tung dé trén biéu dé luc cat
Q;” nim duéi truc hoành (âm):

AM”

AM?" =hya =h;=
e

MỆ-MP””

a

24a’ 13-qa

a

1

=

a

ge ills

Doan FH:

Trong doan nay biéu dé M2" cé dang bac hai = biểu đồ @”” là bậc nhất.
Tai Gmémen

uén M, dat cuc tri > luc c&t Q, triệt tiêu.

Từ mặt cắt F sang mặt cắt G mômen #7” lệch về phía dương = biểu đỗ lực cắt 0" có
tung độ dương (nằm trên trục hoành). Tung độ lực cắt tai F:

ams
= h 3a =p, {12 AMỸ — 12 Mộ Mộ

"26

“"“S

a

5

a

_12494°136~—24g°/3_

5

a

24a
3

Từ mặt cắt G sang mặt cắt H mômen ⁄ƒ” lệch về phía âm = biểu đổ lực cắt nằm dưới trục
hoành. Tung độ lực cắt tại H:

ait Lg, Ea an, A
2°

6

T

_ 1B.MẸ

AMG

M"—M®S

a

Kết quả biểu đơ lực cắt trên hình 4. 17b.
qi=q

P\=qa

a)

{

yp

C

7

_

M=ga

a
a?

—MẸ _L2D=dÐgSlf8B_ T.,
_

7

a

3

qœ=2q

EF

INs=8qa/3

ŸY:;=7qa/3

5qa/3

5qa/3

A
ga

2

/3

in

©

a

Hình 4,17: Cho ví dụ 4.9,

70%

b. Xác định tải trọng tác dụng lên dầm:

Tại A: Trên biểu đổ @„ có bước nhẩy đ, = ga về phía âm = trên dâm có lực tập trung

P, =qa hướng xuống,
Tại gối B: từ trái sang phải trên biểu đỗ @„ có bước nhảy là:
Ng=h,—hị=

5
get

8

qa = ge

>0=

“
phản luc N, tai g6i B hudng lén.

Lực phân bố trong đoạn CE:
hạ —h, = q,.2a — qị “ay|Ty#.~14n]=~4<

0=

4, hướng xuống.

Tại E trên biểu đổ M, có bước nhảy bằng øa” về phía âm => trén dim có mơmen tập trung
M = qa’ quay ngudc chiéu kim déng hé.
47


LÊ THANH PHONG

Tại F trên biểu đỗ Q, từ trái sang phải có bước nhảy:
h, hạ

= 34m +2 40 = 2qa > 0 nên trên dầm có lực tập trung ?, = 2ga

hướng lên.

Lực phân bố trong đoạn FH:
h; —h„= q.2a —> q; “gạ| T40

34m ]~=34m <0=

ạ, hướng xuống.

Tại H: từ trái sang phải trên biểu đỗ Q, có bước nhảy:
Y, =0-h,

= _.

>0=

phần lực Y„ tại gốiH hướng lên

Sơ đồ tải trọng tác dụng lên dầm như trên hình 4.17a.

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

4.1+4.8. Vẽ biểu dé nội lực của dầm cho trên hình 4,18 +4.25.
M=20KNm q=14KN/m
BLS0IENI
M-ISKNm
#y

B

3m

1m

Ff

D

”?” 1m

A

enti

¥y
4m
Hình 4.22.

Hình 4.18,

M=2qa”

ied

A
a

`

bs

M¡=12KNm

Cc

a

Hình 4.19,

`

ES

3a

a

n

3

z

1m

P;=qa

P2=qa

M;=6KNm

2m

P=q

B

Cc

P=40KN

1m

P;=3,

M;=20KNm

4

2a

D

2a

a

E

Hình 4.23.
M;=2qa

tạ

=
q=8KN/m [P-5KN

2m

FS
:

1m

Hình 4.20,
Mi=qa?

& UK,

›=2qa?

y

Papen

a

|

M 1=qa”

P=3qa

2a

a

a

a

a

Hình 4.24,
Pị==aa "hữ
|

P;=3qa

.

KHI
bed

moe

| aa fa a |e
Hinh 4,25,

Hình 4.21.

4.9+ 4.12, Vẽ các biểu đồ nội lực của trục chịu xoắn cho trên hình 4.26 + 4.29,
M;=6mL,

M;=5mL

Min

men

SỈ,
Hinh 4,26,
M:=5mL,

2mL,

4L

Hình 4.28.
M;=4mLM;=mL,

mẹ 4mL,

Hinh 4,27,

wae ml.

M;

KR

Ma

Hinh 4,29,

4.13+4.17. Vẽ các biểu đồ nội lực của cột chịu kéo nén đúng tâm cho trên hình 4.30 + 4.34.

48


LÊ THANH PHONG
ề

z4

<<<4<<f>

aniline

ỊM

Ic

lam |

Ps=5qa

P„4qa
B

i

JD

P.-20KN

c

Lm
Ỳ

P,=55KN
B

+ |a=4KNZn
lim | y
Ỷ

+ A

Hình 4.30.

|

Pi=3qa
aE.

A
P\=20KN
Hinh 4.33.

Hinh 4.32.

Hình 4.

Hình 4.34.

4.18+4.19. Khơng cần tính phản lực, vẽ biểu đồ nội lực của các dầm cho trên hình 4.35+ 4.36.

M=2q2_P=3q|

ae

4a

Hinh 4.35.

|

Hinh 4.36.

4.20. Trên hình 4.37 là một xe vận tải đang chạy qua cầu có chiều dài L. Tìm z: vị trí nguy hiểm
nhất của xe, nghĩa là vị trí phát sinh mơmen uốn lớn nhất trong cầu. Biết khoảng cách giữa hai
bánh xe là A, tải trọng do hai bánh xe truyền xuống cầu là P và 3P,

Hình 4.37.

4.21+4.22. Biểu để mômen uốn của dầm được đặt trên hai gối A và B (hình 4.38, 4.39), Hay

xác định biểu đồ lực cắt và tải trọng tác dụng lên dầm,
8qa 2

5qa?

Aga?

3ga?

_

10ga2

8qa?

„@

2q?
A

as
3qa?
k————\

aga?
3a

4ga 2

Sữa? ga
a [a8 | a

Hình 4.39.

Hình 4.38.

49

2qa 2
yy:

A

5qa⁄2
5a/2

3a/2