BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1 ẨN ĐẠI SỐ 10 CÓ ĐÁP ÁN

BÀI 2_CHƢƠNG 4_ĐẠI SỐ 10
BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH 1 ẨN
I – KHÁI NIỆM BẤT PHƢƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1. Bất phƣơng trình một ẩn
Bất phương trình ẩn
f x

g x

x

là mệnh đề chứa biến có dạng

f x

g x

1

trong đó f x và g x là những biểu thức của
Ta gọi f x
f x0

g x0

và g x

f x0

g x0

x.

lần lượt là vế trái của bất phương trình 1 . Số thực x 0 sao cho
là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình 1 .

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô
nghiệm.
Chú ý:
Bất phương trình 1 cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g x

f x

g x

f x .

2. Điều kiện của một bất phƣơng trình
Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số

x

để f x và g x có nghĩa là điều

kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình 1 .
3. Bất phƣơng trình chứa tham số
Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem
như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem
với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các
nghiệm đó.
II – HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn
chúng.

x

gồm một số bất phương trình ẩn

x

mà ta phải tìm nghiệm chung của

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một
nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.


III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƢƠNG TRÌNH
1. Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng
Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương
đương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với
nhau và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương đương đó.
2. Phép biến đổi tƣơng đƣơng
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương
trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn
giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi
tương đương.
3. Cộng (trừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của

bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P x

Q x

P x

f x

Q x

f x

4. Nhân (chia)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà không
làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia)
hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều
kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P x

Q x

P x .f x

Q x .f x , f x

0, x

P x

Q x

P x .f x

Q x .f x , f x

0, x

5. Bình phƣơng
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điều kiện
của nó ta được một bất phương trình tương đương.
P x

Q x

P2 x

Q2 x , P x

0, Q x

0, x

6. Chú ý
Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những
điều sau
1) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình


có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa

mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P x Q x với biểu thức f x ta cần lưu ý đến điều
kiện về dấu của f x . Nếu f x nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường
hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình.
3) Khi giải bất phương trình P x Q x mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường
hợp
a) P x , Q x cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
b) P x , Q x cùng có giá trị âm ta viết
P x

Q x

Q x

P x

rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.
1. D ng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ CẶP BẤT PHƢƠNG
TRÌNH TƢƠNG ĐƢƠNG
Phƣơng ph p gi i t
ận.
1
là:
2  3x

Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số y 
2
A.  ;  .
3


2
B.  ;  .


3

3
C.  ;  .
2


3
D.  ;  .


2

Lời gi i
Chọn B

2  3x  0
Hàm số xác định khi
2
 x 
3
Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số y 
A.  ;2 .

1

là:
2 x

B.  2;  .

C.  ;2 .

D.  2;  .

Lời gi i
Chọn A
Hàm số xác định khi

2 x  0
 x  2

Ví dụ 3. Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình x  5  0 ?


B.  x 2  x  5   0 .

2
A.  x  1  x  5  0 .

x  5  x  5  0 .

C.

x  5  x  5  0 .

D.
Lời gi i

Chọn D
x  5  0  x  5 .

Tập nghiệm của bất phương trình là T1   5; +  .
x  5  0
 x  5

 x 5.
x  5  x  5  0  
x  5  0
x  5

Tập nghiệm của bất phương trình này là T2  5; +  .
Vì hai bất phương trình này không có cùng tập nghiệm nên chúng không tương
đương nhau.
Ví dụ 4. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. x2  3x  x  3 .
C.

B.

x 1
 0  x 1  0 .
x2

1

 0  x  1.
x

D. x  x  x  x  0 .
Lời gi i

ChọnD
Vì a  b  a  c  b  c , c 
B i tập ận

. Trong trường hợp này c  x .

ng c chi mức độ

NHẬN BIẾT
Câu 1. Tập xác định của hàm số y  3  2 x  5  6 x là
5
A.  ;  .


6

6
B.  ;  .


5

3
C.  ;  .

2
D.  ;  .

3
C.  ;   .

3 6
D.  ;  .
4 5



2



3

Câu 2. Tập xác định của hàm số y  4 x  3  5 x  6 là
6
A.  ;   .
5



6
B.  ;   .
5



4




1
là
x4
B. 1;   \ 4 .

Câu 3. Tập xác định của hàm số y  x  1 
A. 1; .

C. 1;   \ 4 .

D.  4;   .

4 3
C.  ;  .
3 2

D.  .

Câu 4. Tập xác định của hàm số y  2 x  3  4  3x là
2 3
B.  ;  .
3 4

3 4
A.  ;  .
2 3

Câu 5. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
A.

;2 .

B. x

.

x

Câu 6. Cho bât phương trinh:
 I

1 

2

x

;

C. x

2

x

1
.
2

D.

1

2x .

1
;2 .
2

x

8
 1 1 . Môt hoc sinh giai như sau:
3 x

1
1  II  x  3  III  x  3
 

.
3  x 8 3  x  8  x  5

Hoi hoc sinh nay giai sai ở bước nào?

A.  I  .

B.  II  .

D.  II  và  III  .

C.  III  .

Câu 7. Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương
A.

x 1  x và  2 x  1 x  1  x  2 x  1 .

B. 2 x  1 

2
D. x  x  2   0 và  x  2   0 .

2
C. x  x  2   0 và x  2  0 .

1
1
và 2 x  1  0 .

x 3 x 3

Câu 8. Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương:
A. 5 x  1 

1
1
và 5x  1  0 .

x2 x2

B. 5 x  1 

1
1
và 5x  1  0 .

x2 x2

2
D. x  x  5   0 và x  5  0 .

2
C. x  x  3  0 và x  3  0 .

THÔNG HIỂU
Câu 9. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
5;4 .

x

x

1
5

x

4;

.

Câu 10. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình

x

1

x

2

A. x

A. x

5;4 .

1;

B. x

.

B. x

1;

C. x

.

C. x

1;

2

4

x.

; 5.

D. x
2

x

1.

\ 2 . D. x

1;

\ 2 .

Câu 11. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 5 > 0?
A. (x – 1)2 (x + 5) > 0
B. x2 (x +5) > 0
C. x  5 (x + 5) > 0
D. x  5 (x – 5) > 0
3
3
<3+
tương đương với:
2x  4
2x  4
3
3
B. x < và x  2
C. x <
2
2

Câu 12. Bất phương trình: 2x +
A. 2x < 3

D. Tất cả đều đúng

Câu 13. Bất phương trình: (x+1) x( x  2)  0 tương đương với bất phương trình:
A. (x+1) x

x2  0

B.

( x  1) 2 x( x  2)  0


( x  1) x( x  2)

C.

( x  3)

0

2

D.

( x  1) x( x  2)

0

( x  2)2

Câu 14. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. x2  3x  x  3
x 1
0x–10
x2

C.

Câu 15. Bất phương trình
A.

2x

Câu 16. Bất phương trình
1

A.

2x

1

C.

2x

1

2x

2x

1

x

3

x

2018

3

x

D. x + x  x  x  0
3

2x

B. x

5.

1
<0x1
x

B.

5

4

5
2

và

1

0

2.

x

3
2x

5
.
2

C. x

D. Tất cả đều đúng.

tương đương với bất phương trình nào sau đây?
B.

.
2018.

x

tương đương với:

4

2x

1

1

1
3

x

2x 1

D.

.

1

2018

x

3

x

2018

x

.

Câu 17. Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
A. x 2 0 và x 2 x 2 0.
B. x 2 0 và x 2 x 2

0.

và x 2 x 2

0.

C.

2

x

và x 2 x 2

0

0.

D.

2

x

0

Câu 18. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình
A. x – 1 2 x 5 0.
B. x 2 x 5 0.
C.

x

5 x

5

0.

Câu 19. Bất phương trình
A. x x 1 2

0.

1

x

0

x

1

x

0.

x

1

x

Câu 20. Bất phương trình
A. 1 2 x x 1 x 1
C.

1

x2

x

1

x 1

5

0

?

0.

tương đương với

x

B.

5 x

x

D.

5

x

C.

1

x

2

2x .

tương đương với
B. 2 x 1

x2 .

D.

1

x x

VẬN DỤNG
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

x

0.

x

1

D.
x 2x

x

1

2

0.

x

1.

x 2.

để hàm số y

6

x

m

m

1
.
3

2x

có tập xác định là một

đoạn trên trục số.
A.

m

B.

3.

C.

3.

m

Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

D.

3.

m

m

để hàm số y

m 2x

x

1 có tập xác định là một

đoạn trên trục số.
A.

m

B.

2.

m

Câu 23. Với giá trị nào của

a

C. m

2.

1
.
2

D.

m

2.

thì hai bất phương trình a 1 x a 2 0 và a –1 x a 3 0 tương đương:

1.
A. a 1.
B. a 5.
C. a
D. a 2.
Câu 24. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình m 2 x m 1 và 3m x 1

A. m

3.

B. m

2.

C. m

1.

D. m

3.

x 1 tương đương:

Câu 25. Với giá trị nào của
A. m

1.

m

thì hai bất phương trình m 3 x

B. m

1
B
11
C
21
B

2
B
12
D
22
D

0.

3m

C. m 4.
B ng đ p n

3
B
13
C
23
B

4
D
14
D
24
D

5
D
15
D
25
B

6

D. m

6

B
16
B

và 2m 1 x m 2 tương đương:
0 hoặc m

7
D
17
A

4.

8
B
18
C

9
B
19
C

10
C
20
B

2. D ng 2: GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Phƣơng ph p gi i t
V

ận.

1: Tập nghiệm của bất phương trình: 5 x 
B. S 

A. S   .

.

x 1
 4  2 x  7 là:
5

C. S   ; 1 .

D. S   1;   .

Lời gi i
Chọn C.
* iải theo tự luận:
Ta có: 5 x 

x 1
 4  2 x  7  14 x  14  x  1 .
5

Vậy Tập nghiệm của bất phương trình là: S   ; 1 .

* iải theo pp trắc nghiệm:
Thay x  2 , thỏa mãn  Loại A, D.
Thay x  0 , không thỏa mãn  Loại B. Vậy chọn đáp án C.
V

2: Tập nghiệm của bất phương trình: 2 x  1  x là S   a; b  . Tính P  a.b ?
A. P 

1
.
2

B. P 

1
.
6

C. P  1 .
Lời gi i

Chọn D.
* iải theo tự luận: 2 x  1  x (1)

D. P 

1
.
3

TH1: x 

1
1
, bất phương trình (1) trở thành: 1  2 x  x  x  .
2
3

Kết hợp với điều kiện, ta có:
TH1: x 

1
1
x .
3
2

1
, bất phương trình (1) trở thành: 2 x 1  x  x  1 .
2

Kết hợp với điều kiện, ta có:

1
 x  1.
2

1
1 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S   ;1 . Và P  .
3
3 

V

3: Cho bất phương trình:

x 1
x2

A. 1 .

 1 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
C. 3 .

B. 1 .

D. 0 .

Lời gi i
Chọn A.
* iải theo tự luận: Đ : x  2
TH1: x  2 , luôn không đúng.
TH2: 2  x  1 , bất phương trình trở thành: 1  x  x  2  x  
Kết hợp với điều kiện,ta có: 2  x  

1
.
2

1
.
2

TH3: x  1 , bất phương trình trở thành: x  1  x  2 , vô lí.
1

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   2;   .
2


Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1 .
*Giải theo trắc nghiệm:
Thay x  1 ; x  1 ; x  3 ; x  0 vào bất phương trình, ta thấy x  1 là nghiệm của bất
phương trình, còn các giá trị khác thì không. Vậy chọn x  1 .
B i tập ận
NHẬN BIẾT.

ng c chi mức độ


Câu 1:

Hãy chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:
A. x  1  x  1 .
B. x  1  1  x  1 .
C. x  1  x  1 .

Câu 2:

Câu 3:

Tập nghiệm của bất phương trình x  3x  2  2  3x  2 là:
A. S   2;   .
B. S   2;   .
C. S   2;   .
Nghiệm của bất phương trình 5x  1 
A. x 

Câu 4:

20
.
23

2
x  3 là:
5

23
.
20

x 1 2x

1 .
5
3

C. x  

5
.
2

D. x 

20
.
23

D.  x  1 x   x  1 x  2  .
2

Tập nghiệm của bất phương trình x  x  6   5  2x  10  x  x  8  là:
A.  ;5  .

Câu 6:

B. x 

D. S   ; 2 .

x  2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây:
A. x  2 .
B. 2  x  2 x  1 .
C.

Câu 5:

D. x  1  x  1 .

B.  5;   .

C.  .

D.

.

D.

.

Tập nghiệm của bất phương trình 5  x  1  x  7  x   x 2  2x là:

 5

A.   ;   .
 2


B.  2, 6;   .

C.  .

TH NG HIỂ .
Câu 7:

Tập nghiệm của bất phương trình 5 x  3  1 là:

3

A.  ;  .
5

Câu 8:

.

C.  .

3

D.  ;   .
5


Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào có tập nghiệm là
?
9

A. 9 x  4  5  x  4  .
B. 2 x  4  7 x  3x  x  6 .
5

C. x 

Câu 9:

B.

5x
2x x
3 
 .
6
13 6

Tập nghiệm của bất phương trình

D. 5x  6  3x .
2x x
x
  6   8 chứa tập nào dưới đây?
3 5
3


3

A.  ;  .
5


B. 1;3 .

C.  20;30 .

3

D.  ;   .
5


Câu 10: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào vô nghiệm?
8

A. 8 x  3  5  x  3  .
B. 2 x  3  7  7 x  5x  5 .
5

C. x 

5x
x x
3   .
6
3 6

D. 5x  6  3x .

Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình
A.  ; 1 .

B.  ; 1  1;   . C. 1;   .

Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình
A.  ; 2  .

2x

 x  3
B.  2;   .

Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình
A. 1;   .

2
 1 là:
1 x

2

D.  1;1 .

 0 là:
C.  2;   \ 3 .

D.  2;3  .

2x  1
 2 là:
x 1

3

B.  ;    3;   . C.
4



3 
 ;1  .
4 

3

D.  ;   \ 1 .
4


x2 x
 2 là:
x
B.  ; 2   1;   . C.  ;0   1;   . D.  0;1 .

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình
A.  0;1 .
VẬN D NG.
Câu 15: Cho bất phương trình:
trình là:
A. 2 .

x4
2
4x
. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương



2
x  9 x  3 3x  x 2

B. 1 .

C.  2 .

Câu 16: Các nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 4 của bất phương trình

D. 1 .

2x
 23  2x  16 là:
5

A. 4; 3; 2; 1;0;1; 2;3 .

B. 0;1; 2;3 .

C. 2;3 .

D. 0;1; 2 .


1
2x
Câu 17: Số nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 6 của bất phương trình 5x   12 
là:
3
3

A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .

x4
2
4x
. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương


2
x  9 x  3 3x  x 2

Câu 18: Cho bất phương trình:
trình là:
A. 2 .

C.  2 .

B. 1 .

D. 1 .

Câu 19: Tập nghiệm của bất phương trình: 3x  5  x 1  11  x  x 1
P  2a  b ?
A. 2 .

C.  2 .

B. 5 .

Câu 20: Cho bất phương trình:

là S   a; b  . Tính
D. 1 .

2
8
 . Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là:
x  13 9

A. 2 .

C. 4 .

B. 3 .

D. 5 .

22  55


Câu 21: Cho bất phương trình:  x    x   0 . Số các nghiệm nguyên không âm của bất
7  4


phương trình là:
A. 13 .
B. 14 .

C. 15 .
D. 16 .

Câu 22: Cho bất phương trình:
A. 6 .

7
x  5x  23 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
6
B. 7 .
C. 6 .
D. 7 .

Câu 23: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình  x  3 1  x  0 là:
C.  2 .

B. 3 .

A. 2 .

D. 5 .

Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình  2x  8 2  x  0 có dạng  a; b  . Hiệu b  a bằng:
B. 4 .

A. 2 .

C. 5 .

D. 6 .

2x  3
 6x  4 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
5
B. 3 .
C. 1 .
D.  2 .

Câu 25: Cho bất phương trình: 1 
A. 2 .

B ng đ p n
1
B
11
B
21
B

2
A
12
C
22
C

3
A
13
D

23
B

4
C
14
C
24
D

5
C
15
A
25
C

6
C
16
B

7
B
17
A

8
A
18

A

9
C
19
B

10
B
20
C


Hƣớng ẫn gi i chi tiết CÁC C
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình

H

x2 x
 2 là:
x

B.  ; 2   1;   . C.  ;0   1;   . D.  0;1 .

A.  0;1 .
Chọn C.
*Giải theo pp tự luận

TH1: Nếu x  2 thì Bpt 

x  0
x2 x
2
2(1  x)
2 2
0
x
x
x
x  1

Kết hợp Đ thì: x   2;0   1;  
TH2: Nếu x  2 thì

1

x
x  2  x
4 x  2
2(2 x  1)
2x 1

2
0
0
0
Bpt 
2

x

x
x
x
x

0

Kết hợp Đ thì x   ; 2 
Vậy x   ;0   1;  
*Giải theo pp trắc nghiệm
-Thay x =

1
=> Loại A và D
2

-Thay x = 1 => Thỏa mãn => Chọn C.
Câu 18: Cho bất phương trình:

x4
2
4x
. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương


2
x  9 x  3 3x  x 2

trình là:
A. 2 .

B. 1 .

C.  2 .

D. 1 .

Chọn A.
*Giải theo pp trắc nghiệm
Thay x  1 ; x  1 ; x  2 ; x  2 vào bất phương trình, ta thấy tất cả đều là nghiệm của bất phương
trình, Vậy chọn x  2 là giá trị nguyên lớn nhất


Câu 20: Cho bất phương trình:
A. 2 .

2
8
 . Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là:
x  13 9

C. 4 .

B. 3 .

D. 5 .

Chọn C.
*Giải theo pp tự luận


 8x  122
 122 
8
 2
0
x  13;





9(x  13)
8 
2
8

 86 122 
x  13 9

 


 x  ;
 \ 13

x  13 9
8 8 
 8x  86
86




 2 8
 x   ;13 
 9(x  13)  0
 x  13
9
 8





Số các nghiệm nguyên của x là 11;12;14;15
 Chọn C

3. D ng 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
Phƣơng ph p gi i t
V

ận.

1: Bất phương trình mx  3  m vô nghiệm khi:
A. m  0 .

B. m  0 .

C. m  0 .

D. m  0 .

Lời gi i
Chọn A.
* iải theo tự luận:
m  0
m0 .
Bất phương trình mx  3  m vô nghiệm khi: 
3  m  0

Vậy với m  0 , bất phương trình đã cho vô nghiệm.
* iải theo pp trắc nghiệm:
Thay m  0 , bất phương trình đã cho vô nghiệm.  Vậy chọn đáp án A.
V

2: Tìm m để bất phương trình m2 x  3  mx  4 có nghiệm?
A. m  1 .

B. m  0 .

C. m  0 và m  1 .
Lời gi i

Chọn D.

D. m 

.

* iải theo tự luận:

m  m  1  0
, vô lí.
m2 x  3  mx  4  m  m  1 x  1 vô nghiệm  
1  0
Vậy với m 
V

, bất phương trình có nghiệm.

3: Điều kiện của m để bất phương trình:  2m  1 x  m  5  0 nghiệm đúng với x   0;1 :
A.

1
m5 .
2

C. m  5 và m 

B. m  5 .

1
. D. m  5 .
2

Lời gi i
Chọn D.
* iải theo tự luận:

 2m  1 x  m  5  0   2m  1 x  5  m
TH1: Với m 

(*)

5m
1
, bất phương trình (*) trở thành: x 
.
2m  1
2

 5m

;  
Tập nghiệm của bất phương trình là S  
 2m  1


 5m

;   ,
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x   0;1 thì  0;1  
 2m  1


Hay

5m
 0  m  5.

2m  1

TH2: m 

1
1
, bất phương trình (*) trở thành: 0 x  5  .
2
2

Bất phương trình vô nghiệm.  không có m .
TH3: Với m 

1
5m
, bất phương trình (*) trở thành: x 
.
2
2m  1

5m 

Tập nghiệm của bất phương trình là S   ;
2m  1 

5m 

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x   0;1 thì  0;1   ;
,
2m  1 




Hay 1 

5m
4
 5  m  2m  1  m  .
2m  1
3

Kết hợp điều kiện m 

1
,  không có m thỏa mãn.
2

Vậy với m  5 , bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x   0;1 .
*Giải theo trắc nghiệm:
Thay m  6 , bất phương trình trở thành 13x  1  0  x 

1
, bất phương trình nghiệm
13

đúng với x   0;1 .  m  6 thỏa mãn.
Vậy chọn D .
B i tập ận

ng c chi mức độ

NHẬN BIẾT.
Câu 1:

Câu 2:

Với giá trị nào của m thì bất phương trình mx  m  2 x vô nghiệm?
A. m  0 .
B. m  2 .
C. m  2 .

D. m 

.

Cho bất phương trình: m  x  m   x  1 . Các giá trị nào sau đây của m thì tập nghiệm của
bất phương trình là S   ; m  1 :
A. m  1 .

Câu 3:

C. m  1 .

D. m  1 .

Cho bất phương trình: mx  6  2 x  3m . Tập nào sau đây là phần bù của tập nghiệm của bất
phương trình trên với m  2 :
A. S   3;   .

Câu 4:

B. m  1 .

B. S  3;   .

C. S   ;3 .

D. S   ;3 .

Với giá trị nào của m thì bất phương trình 3x  m  2m  x có nghiệm?
A.  0;   .
B.  2;   .
C.  .
D.

.

TH NG HIỂ .
Câu 5:

Câu 6:

Với giá trị nào của m thì bất phương trình

m

nghiệm ?
A. m  1 .

C. m  1 .

 m  1 x  5m   m 2  2  x  3m  1

B. m  2 .

C. m  2 .

vô

D. m  1 .

Với giá trị nào của m thì bất phương trình  m2  m  x  m  6 x  2 có tập nghiệm là
A. m  3 .

Câu 7:

B. m  1 .

2

D. 2  m  3 .

Với giá trị nào của m thì bất phương trình m 2 x  1   3m  2  x vô nghiệm ?

?


A. m  2 .
Câu 8:

Câu 9:

C.  .

B. m  1 .

D. m  2 và m  1 .

Với giá trị nào của m thì bất phương trình m2 x  4m  3  x  m2 vô nghiệm ?
A. m  1 .
B. m  1 .
C.  .
D. m  1 và m  1.
Với giá trị nào của m thì bất phương trình m 2  x  1  m  x  3m  2  vô nghiệm?
A. m  2 .

C.  .

B. m  1 .

D. m  2 và m  1 .

và bất phương trình 3mx  x  2m  5 có tập nghiệm T mà  1;    T . Khi

Câu 10: Cho m
đó:
A. m  0 .

C. m  1 .

B. m  1 .

D. m  1 .

Câu 11: Với điều kiện nào của a và b thì bất phương trình ax  a2  bx  b2 vô nghiệm ?
A. a  b .
B. a  b .
C. a  b .
D. a  b .
Câu 12: Với giá trị nào của m thì bất phương trình
A. m  11 .

B. m  11 .

5x  m
 7 có nghiệm x  5 ?
2
C. m  11 .
D. m  11 .

Câu 13: Với giá trị nào của m thì bất phương trình m  x  1 không có nghiệm x  3 ?
A. m  4 .
B. m  4 .
C. m  4 .
D. m  4 .
Câu 14: Với giá trị nào của m thì bất phương trình 4 x  m  0 có nghiệm thỏa 2 x  3   x  1 ?
8
8
8
8

A. m   .
B. m   .
C. m   .
D. m   .
3
3
3
3
Câu 15: Với m  0 thì bất phương trình mx  3  0 :
A. vô nghiệm.
B. đúng x 
.

C. đúng x  0 .

Câu 16: Với m  2 thì bất phương trình mx  5  2 x :
A. vô nghiệm.

B. đúng x 

D. có nghiệm x  0

.

D. luôn có nghiệm x  1 .

C. có nghiệm x  0 .
Câu 17: Với m  2 thì bất phương trình mx  5  2 x :
A. vô nghiệm.
B. đúng x 

.

C. đúng x  0 .

D. có nghiệm x  1 .

1
thì bất phương trình x  4m2  2mx  1 :
2
A. vô nghiệm.
B. đúng x 
.
C. đúng x  2 .

D. có nghiệm x  2 .

Câu 18: Với m 

Câu 19: Với m 

1
thì bất phương trình x  4m2  2mx  1 có tập nghiệm là :
2

A. 1;   .

B.  2m  1;   .

C.  ; 2m  1 .

D.  2m  1;   .


VẬN D NG
Câu 20: Điều kiện của m để bất phương trình  m  3 x  3m  7  0 nghiệm đúng với x   2;   ?
A. không có m .

B. m  3 .

C. m  3 .

D. m 

13
.
5

Câu 21: Điều kiện của m để bất phương trình  m  2  x  2m 2  6 nghiệm đúng với x  1 ?
A. m  2 .

C. m  2 .

B. m  2 .

D. không có m .

Câu 22: Điều kiện của m để bất phương trình  2m  3 x  m  3  0 nghiệm đúng với x  1; 2  ?
A. m 

3

.
2

B. m 

3
.
2

C. m  0 .

D. m  1 .

VẬN D NG CAO
Câu 23: Cho bất phương trình : mx  2m 2  2 x  8   . Xét các mệnh đề sau:

I 

Bất phương trình tương đương với x  2  2  m  .

 II 

Một điều kiện để mọi x  12 là nghiệm của bất phương trình    là m  2 .

 III 

Giá trị của m để    thỏa mãn với x  12 là m  2  m  4 .

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  I  .

B. Chỉ  III  .

C.  II  và  III  .

D.  I  ,  II  và  III  .

Câu 24: Cho bất phương trình: m3  x  2   m 2  x  1 . Xét các mệnh đề sau:
(I)Bất phương trình tương đương với x  m  1    2m  1 .
(II) Với m  0 , bất phương trình thỏa x 

.

1 

(III) Giá trị của m để bất phương trình đúng x  0 là  ;   0 .
2


Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ  II  .

B.  I  và  II  .

C.  II  và  III  .

D.  I  ,  II  và  III  .

Câu 25: Cho bất phương trình: 1  x .  mx  2   0 * . Xét các mệnh đề sau:
(I)Bất phương trình tương đương với mx  2  0 .

(II) m  0 là điều kiện cần để mọi x  1 là nghiệm của bất phương trình (*).


(III) Với m  0 , tập nghiệm của bất phương trình là

2
 x 1 .
m

Mệnh đề nào đúng?
B. Chỉ  III  .

A. Chỉ  I  .

D.  I  ,  II  và  III  .

C.  II  và  III  .

B ng đ p n
1
B
11
A
21
D

2
C
12
A

22
C

3
D
13
B
23
B

4
D
14
B
24
C

Hƣớng ẫn gi i chi tiết CÁC C

5
A
15
D
25
B

6
B
16
C

7
C
17
C

8
B
18
B

9
D
19
D

10
B
20
B

H

Câu 2: Cho bất phương trình: m  x  m   x  1 . Các giá trị nào sau đây của m thì tập nghiệm của bất
phương trình là S   ; m  1 :
A. m  1 .

C. m  1 .

B. m  1 .

D. m  1 .

Lời gi i
Chọn C.
* iải theo tự luận:
Bất phương trình m  x  m   x  1  (m  1) x  (m  1)(m  1)
Để tập nghiệm của bpt là S   ; m  1 thì m  1

 Vậy chọn đáp án C.
Câu 3: Cho bất phương trình: mx  6  2 x  3m . Tập nào sau đây là phần bù của tập nghiệm của bất
phương trình trên với m  2 :
A. S   3;   .

B. S  3;   .

C. S   ;3 .

D. S   ;3 .

Lời gi i
Chọn D.
*Giải theo pp tự luận
Bất phương trình mx  6  2 x  3m  (m  2) x  3(m  2)  x  3 (với m  2 )
Vậy phần bù của tập nghiệm là S   ;3

 Vậy chọn đáp án D.


Câu 5: Với giá trị nào của m thì bất phương trình  m2  m  1 x  5m   m 2  2  x  3m  1 vô nghiệm

?
B. m  1 .

A. m  1 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Lời gi i
Chọn A.
*Giải theo pp tự luận
Bất

phương

trình

m

2

 m  1 x  5m   m 2  2  x  3m  1  (m  1) x  2m  1

vô

m  1  0
 m 1
nghiệm khi 
 2m  1  0

 Vậy chọn đáp án A.
Câu 6: Với giá trị nào của m thì bất phương trình  m2  m  x  m  6 x  2 có tập nghiệm là
A. m  3 .

B. m  2 .

C. m  2 .

?

D. 2  m  3 .

Lời gi i
Chọn B.
*Giải theo pp tự luận

Bất phương trình  m2  m  x  m  6 x  2  (m  2)(m  3) x  2  m có tập nghiệm là R khi
(m  2)(m  3)  0
 m  2

2  m  0

 Vậy chọn đáp án B.
Câu 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình m2 x  4m  3  x  m2 vô nghiệm ?
A. m  1 .

B. m  1 .

C.  .

D. m  1 và m  1.

Lời gi i
Chọn B.
*Giải theo pp tự luận

m2 x  4m  3  x  m2  (m 1)(m  1) x  (m 3)(m1)
TH1: Nếu m  1 thì BPT  0 x  0 nên BPT vô nghiệm
m  1  0
TH2: Nếu m  1 thì BPT  (m  1) x  m  3 vô nghiệm  
không có m thỏa mãn
m  3  0

 Vậy chọn đáp án B.


Câu 10: Cho m

và bất phương trình 3mx  x  2m  5 có tập nghiệm T mà  1;    T . Khi

đó:
A. m  0 .

B. m  1 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Lời gi i
Chọn B.
*Giải theo pp tự luận
Để BPT 3mx  x  2m  5  (3m 1) x  2m  5 có tập nghiệm T mà  1;    T thì

1

m  3
1
6
  m  mà m nên m  1

5
 2m  5  1 3
 3m  1

 Vậy chọn đáp án B.
Câu 20:: Điều kiện của m để bất phương trình  m  3 x  3m  7  0 nghiệm đúng với x   2;   ?
A. không có m .

B. m  3 .

C. m  3 .

D. m 

13
.
5

Lời gi i
Chọn D.
* iải theo tự luận:

 m  3 x  3m  7  0  (m  3) x  7  3m (*)
TH1: Với m  3 , bất phương trình (*) trở thành: x 

7  3m
.
m3

7  3m 

Tập nghiệm của bất phương trình là S   ;
m  3 

7  3m 

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x   2;   thì  2;     ;
m  3 


 không có m .
TH2: m  3 , bất phương trình (*) trở thành: 0 x  2 .
Bất phương trình vô nghiệm.  không có m .
TH3: Với m  3 , bất phương trình (*) trở thành: x 

7  3m
.
m3

 7  3m

;  
Tập nghiệm của bất phương trình là S  
 m3


 7  3m

;   ,
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x   2;   thì  2;    
 m3


Hay

7  3m
13
 2  7  3m  2(m  3)  m  .
m3
5

Vậy với m 

13
, bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x   2;   .
5

Câu 23: Điều kiện của m để bất phương trình  m  2  x  2m 2  6 nghiệm đúng với x  1 ?
A. m  2 .

C. m  2 .

B. m  2 .

D. không có m .

Lời gi i
Chọn D.
* iải theo tự luận:

 m  2  x  2m2  6 (*)
2m 2  6
TH1: Với m  2 , bất phương trình (*) trở thành: x 
.
m2
 2m 2  6

;  
Tập nghiệm của bất phương trình là S  
 m2


 2m 2  6

;  
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x  1 thì  ;1  
 m2



 không có m .
TH2: m  2 , bất phương trình (*) trở thành: 0 x  2 .
Bất phương trình vô nghiệm.  không có m .

2m 2  6
TH3: Với m  2 , bất phương trình (*) trở thành: x 
.
m2

2m 2  6 
Tập nghiệm của bất phương trình là S   ;

m2 




2m 2  6 
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x  1 thì  ;1   ;
,
m2 


2m 2  6
 1  2m 2  6  m  2 .
Hay
m2
Kết hợp điều kiện m  2  không có m .

Vậy không có m thỏa mãn.
Câu 23: Cho bất phương trình : mx  2m 2  2 x  8   . Xét các mệnh đề sau:

I 

Bất phương trình tương đương với x  2  2  m  .

 II 

Một điều kiện để mọi x  12 là nghiệm của bất phương trình    là m  2 .

 III 

Giá trị của m để    thỏa mãn với x  12 là m  2  m  4 .

Mệnh đề nào đúng?
B. Chỉ  III  .

A. Chỉ  I  .

C.  II  và  III  .
Lời gi i

Chọn B.
mx  2m 2  2 x  8     m  2  x  2  m  2  m  2  (1)
Với m  2 , bất phương trình trở thành : x  2  m  2 
Với m  2 , bất phương trình (1) luôn đúng.
Với m  2 , bất phương trình trở thành: x  2  m  2  .
Để bất phương trình đúng với x  12 thì 2  m  2   12  m  4 .

 III  đúng.
Câu 24: Cho bất phương trình: m3  x  2   m 2  x  1 . Xét các mệnh đề sau:
Vậy

 I  ,  II 

sai;

(I)Bất phương trình tương đương với x  m  1    2m  1 .
(II) Với m  0 , bất phương trình thỏa x 

.

1 

(III) Giá trị của m để bất phương trình đúng x  0 là  ;   0 .
2


Mệnh đề nào đúng?

D.  I  ,  II  và  III  .


C.  II  và  III  .

B.  I  và  II  .

A. Chỉ  II  .

D.  I  ,  II  và  III  .

Lời gi i
Chọn B.
m3  x  2   m 2  x  1  x.m 2  m  1  m 2  2m  1
2m  1
.
m 1
2m  1
1
Để bất phương trình đúng với x  0 thì  
(TMDK)
0m
m 1
2
Với m  0 , bất phương trình (1) luôn đúng.
2m  1
Với m  1 , bất phương trình trở thành :  x  
m 1
1 

Vậy để bất phương trình đúng x  0 thì m   ;   0 .
2


Với m  1 , bất phương trình trở thành :  x  

Vậy  II  và  III  đúng.
4. D ng 4: GIẢI HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
Phƣơng ph p gi i t

V

ận.

3x  2  2x  3
1: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
là:
1  x  0
1 
 ;1 .
5 

A.

B.  ;  1 .

C. 1;  ;  . D.  .

Lời gi i
Chọn D
Giải từng bất phương trình trong hệ ta có:
3x  2  2x  3  x  1
1  x  0  x  1.

Vậy hệ bất phương trình vô nghiệm.
V

2x  1  3x  2
2: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
 x  3  0


 3;    .

A.

 ;  3   3;   .
Lời gi i

B.

 ;3 .

C. 
 3;3 .

D.


Chọn C

2x  1  3x  2
x  3

 3  x  3 .
Ta có: 
 x  3  0
 x  3
Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm là S   3;3 .
B i tập ận

ng c chi mức độ

NHẬN BIẾT.

3x  5  0
Câu 1: Hệ bất phương trình 
tương đương với hệ bất phương trình nào sau đây?
x  2  0

3x  5
.
A. 
 x  2

3x  5
.
B. 
 x  2

3x  5
.
C. 
 x  2

3x  5
.
D. 
x  2

x  5  0

Câu 2: Hệ bất phương trình 
tương đương với hệ bất phương trình nào sau đây?
3x  1  x  4

x  5
.
A. 
2 x  5

 x  5
.
B. 
2 x  5

 x  5
.
C. 
x  5

 x  5
.
D. 
2 x  5

TH NG HIỂ .

3x  1  0
Câu 3: Số nào sau đây là một nghiệm của hệ bất phương trình 
?
x  3  0

A. 5.

B. 2.

C. 2.

D.

1
.
2

 x  1  3x
Câu 4: Số nào sau đây không là nghiệm của hệ bất phương trình 
?
2 x  3  0
A. 3.

B.

5
2

C.

1
.
2

D. 2.

2  x  0
là:
2 x  1  x  2

Câu 5: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
A.  ; 3 .

B.  3; 2 .

C.  2;    .

D.  3;    .


 2x  1
 3   x  1
Câu 6: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
là:
 4  3x  3  x
 2


4
A.  2;  .
5



4

B.  2;  .
5


C.  2;    .


4
D.  ;  .
5


2 x  5  0
là:
8  3 x  0

Câu 7: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
 5 8
A.  ;  .
 2 3

 8 5
C.  ;  .
3 2

3 2
B.  ;  .
 8 5

8


D.  ;    .
3


5 x  4  0
Câu 8: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
là:
10  3x  0
4 3 
A.  ; 
 5 10 

10

C.  ;  
3



 5 10 
B.  ; 
4 3 

 4 10 
D.  ;  .
5 3 

2 x  1  5  x


Câu 9: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 7  3x  x
là:
4  3 x  0

 4 7 
A.  ;  .
 3 4

 4 4
B.   ;  .
 3 3

7

C.  ;  .
4


 4

D.  ;    .
 3


VẬN D NG.
5

6 x  7  4 x  7
Câu 10: Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình 
là:

 8 x  3  2 x  25
 2

A. Vô số.

B. 4.

C. 8.

D. 0.

 x  1 x  6   0
là:
 2 x  1  3

Câu 11: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 
A. 1;2 .

B. 1;2 .

C.  ;1   2;   .

D. .