Hình học lớp 10 chương 1 bài hệ trục tọa độ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.19 MB, 20 trang )
BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
I–
TH
T
1. Trục và độ dài đại số trên trục
a)Định nghĩa
Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là
điểm gốc và một vectơ đơn vị e.
Điểm O gọi là gốc tọa độ.
Hướng của vecto đơn vị là hướng của trục.
Ta kí hiệu trục đó là O;e .
O
M
e
b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục O;e . Khi đó có duy nhất một số
số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.
k
sao cho OM k e. Ta gọi
c) Cho hai điểm A và B trên trục O;e . Khi đó có duy nhất số a sao cho AB a e. Ta gọi số a là độ dài
đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a AB.
Nhận xét.
Nếu AB cùng hướng với e thì AB AB, còn nếu AB ngược hướng với e thì AB AB.
Nếu hai điểm A và B trên trục O;e có tọa độ lần lượt là a và b thì AB b a.
2. Hệ trục tọa độ
a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ O;i , j gồm hai trục O;i và O; j vuông góc với nhau. Điểm gốc
O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục O;i được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục O; j
được gọi là trục tung và kí hiệu là
Oy.
Các vectơ i và j là các vectơ đơn vị trên
Hệ trục tọa độ O;i , j còn được kí hiệu là Oxy.
Ox
và
và i j 1.
Oy
y
1
j
O
i
x
1
O
Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi
tắt là mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA u và gọi A1 , A2 lần lượt là hình chiếu của
vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA OA1 OA2 và cặp số duy nhất x; y để
OA1 x i , OA2 y j . Như vậy u
xi
y j.
Cặp số x ; y duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ
u
đối với hệ tọa độ
Oxy
và viết u x; y hoặc
u x; y . Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ u.
Như vậy
u
u x; y u x i y j
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng
nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng
A
A2
u
j
O
i
A1
nhau.
Nếu u x; y và u x; y thì
x x
u u
.
y y
Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó.
c) Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy
được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.
Như vậy, cặp số x; y là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM x; y . Khi đó ta viết M x; y
hoặc M x; y . Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M . Hoành độ của
điểm M còn được kí hiệu là xM , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM .
M x; y OM x i y j
M x; y
M2
j
O
i
M1
Chú ý rằng, nếu MM1 Ox, MM 2 Oy thì x OM 1 , y OM 2 .
d) iên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm A x A ; y A và B x B ; y B . Ta có
AB
xB
x A ; yB
yA .
3. Tọa độ của các vectơ u v, u v, k u
Ta có các công thức sau:
Cho u u1 ;u2 , v v1 ;v2
Khi đó:
u v u1 u2 ;v1 v2 ;
u v u1 u2 ;v1 v2 ;
k u k u1 ;k u2 , k .
Nhận xét. Hai vectơ u u1 ; u2 , v v1 ; v2 với v 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho
u1 k v1 và u2 k v 2 .
4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác
a) Cho đoạn thẳng AB có A x A ; y A , B x B ; yB . Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm
I x I ; y I của đoạn thẳng AB là
xI
b) Cho tam giác
của tam giác
ABC
ABC
x A xB
y yB
, yI A
.
2
2
có A x A ; y A , B xB ; yB , C xC ; yC . Khi đó tọa độ của trọng tâm G xG ; yG
được tính theo công thức
xG
xA xB xC
y yB yC
, yG A
.
3
3
II – D N TO N
1. Dạng 1: Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ
thức liên quan trên trục O;i
Phương pháp giải.
Sử dụng các kiến thức cơ bản sau:
Trên trục O,i , điểm M có tọa độ a OM a.i
Trên trục O,i , vecto u có tọa độ a OM a.i
Vectơ AB có độ dài đại số là m AB AB mi
Nếu a,b lần lượt là tọa độ của A,B thì AB b a
x x
Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là: xI A B
2
Các tính chất:
+ AB BA
+ AB CD AB CD
+ A; B;C ( O ; i ) : AB BC AC
A. VÍ DỤ MINH HỌA
V dụ 1: Trên trục tọa độ O;i cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt là 2;1. Tọa độ của vecto AB là:
A. 3 .
B. 3 .
C. 1 .
i giải
D. 1 .
Chọn B.
Ta có: AB 1 2 3 AB 3i.
V dụ 2: Trên trục tọa độ O;i cho 2 điểm A,B có tọa độ lần lượt 3 và 5 . Tọa độ trung điểm I của
AB là :
B. 4 .
A. 4 .
C. 1 .
i giải
D. 1 .
Chọn D.
Tọa độ điểm I là: xI
V dụ 3: Trên trục O;i
IA
A.
IB
IC
3 ( 5 )
1.
2
cho 3 điểm A,B,C có tọa độ lần lượt là a;b;c . Tìm điểm I sao cho
0
abc
.
2
B.
abc
.
3
C.
i giải
Chọn D.
Gọi điểm I có tọa độ là x .
IA a x IA ( a x )i;
IB b x IB ( b x )i;
IC c x IC ( c x )i;
a b c
.
3
D.
a bc
.
3
IA IB IC 0 ( a b c 3x )i 0
abc
a b c 3x 0 x
.
3
V dụ 4: Trên trục O;i , cho ba điểm A,B,C lần lượt có tọa độ là 5; 2; 4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa
mãn 2MA 4MB 3MC 0 .
10
A. .
3
B.
10
.
3
C.
10
.
9
D.
9
.
10
i giải
Chọn C.
Gọi điểm M có tọa độ là x .
MA 5 x MA ( 5 x )i;
MB 2 x MB ( 2 x )i;
MC 4 x MC ( 4 x )i;
2MA 4MB 3MC 0 10 2 x i 8 4 x i 12 3x i 0
10 9 x 0 x
B. BÀI TẬP TỰ
Câu 1:
ỆN
Trên trục O;i , cho ba điểm A,B lần lượt có tọa độ là 2; 6 . Tìm tọa độ điểm I sao cho
IA 3IB .
A. 4 .
Câu 2:
10
.
9
B. 4.
C. 5.
D. 10.
Trên trục O;i , cho ba điểm M ,N lần lượt có tọa độ là 2; 3 . Độ dài đại số của MN là:
A. 5 .
B. 5.
C. 1.
D. 1.
2. D N 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy .
Phương pháp giải.
Để tìm tọa độ của vectơ a ta làm như sau
Dựng vectơ OM a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên Ox, Oy . Khi đó
a a1 ;a2 với a1 OH , a2 OK
Để tìm tọa độ điểm A ta đi tìm tọa độ vectơ OA
Nếu biết tọa độ hai điểm A( xA ; yA ), B( xB ; yB ) suy ra tọa độ AB được xác định theo công
thức AB xB xA ; yB yA
Chú ý: OH OH nếu H nằm trên tia Ox (hoặc Oy ) và OH
OH nếu H nằm trên tia đối tia Ox
(hoặc Oy ).
A. VÍ DỤ MINH HỌA
V dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M x; y . Tìm tọa độ của các điểm M 1 đối xứng với
M qua trục hoành?
A. M 1 x; y .
B. M 1 x; y .
C. M 1 x; y .
D. M 1 x; y .
i giải
Chọn A.
M 1 đối xứng với M qua trục hoành suy ra M 1 x; y .
V dụ 2:Vectơ a 4;0 được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?
B. a i 4 j .
A. a 4i j .
C. a 4 j .
D. a 4i .
i giải
Chọn D
Ta có: a 4;0 a 4i 0 j 4i .
V dụ 3:Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai vectơ u 2; 1 và v 1; 2 đối nhau.
B. Hai vectơ u 2; 1 và v 2; 1 đối nhau.
C. Hai vectơ u 2; 1 và v 2;1 đối nhau.
D. Hai vectơ u 2; 1 và v 2;1 đối nhau.
i giải
Chọn C
Ta có: u 2; 1 2;1 v u và v đối nhau.
V dụ 4:Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD tâm I và có A(1;3) . Biết điểm B thuộc trục
Ox và BC cùng hướng với i . Tìm tọa độ các vectơ AC ?
A. 3; 3 .
B. 3; 3 .
C. 3; 3 .
D. 3; 0 .
i giải
Chọn C.
Từ giả thiết ta xác định được hình vuông trên mặt
phẳng tọa độ Oxy như hình vẽ bên.
Vì điểm A( 1; 3 ) suy ra AB 3, OB 1
y
A
Do đó B 1; 0 , C 4; 0 , D 4; 3
D
O
Vậy AC 3; 3 .
B
O
Cx
cạnh a
V dụ 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho hình thoi ABCD
và BAD 600 . Biết A trùng với gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox và xB 0, yB 0 . Tìm tọa độ các đỉnh
B và C của hình thoi ABCD .
a 3 a
a 3 a
; , C a 3 ; 0 .
; , C a 3 ; 0 .
A. B
B. B
2
2
2 2
a 3 a
a
; , C a 3; .
D. B
2
2
2
a 3 a
a
; , C a 3; .
C. B
2
2 2
i giải
Chọn A.
Từ giả thiết ta xác định được hình thoi trên mặt phẳng tọa độ
Oxy
a
Gọi I là tâm hình thoi ta có BI AB sin BAI a sin 300
2
2
a
a 3
AI AB 2 BI 2 a 2
4
2
a 3 a
a 3 a
; , C a 3; 0 , D
; .
Suy ra A 0; 0 , B
2
2
2
2
y
B
C
A
I
D
x
B. BÀI TẬP TỰ
ỆN
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Cho điểm M 2;3 . Tìm tọa độ của các điểm M 1 đối xứng với
M qua trục tung?
A. M 3; 2 .
B. M 2; 3 .
C. M 2; 3 .
D. M 2; 3 .
Câu 4:
Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i
cùng hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC .
A 0;
a 3
,B
2
a
a
;0 , C ;0
2
2
Câu 5:
Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho tam giác đều ABC cạnh a , biết O là trung điểm BC , i
Câu 6:
cùng hướng với OC , j cùng hướng OA . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC .
i giải
a 3
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với trọng tâm G 0;
6
Trong hệ trục tọa độ O,i, j , cho hình thoi ABCD tâm O có AC 8, BD 6 . Biết OC và i
cùng hướng, OB và j cùng hướng. Tính tọa độ trọng tâm tam giác ABC
i giải
A 4; 0 , C 4; 0 , B 0; 3 , D 0; 3
G 0;1 .
Câu 7:
Cho hình bình hành ABCD có AD 4 và chiều cao ứng với cạnh AD 3 , BAD 600 . Chọn
hệ trục tọa độ A;i, j sao cho i và AD cùng hướng, yB 0 . Tìm tọa độ các vecto
AB, BC , CD và AC
Câu 8:
Cho lục giác đều ABCDEF . Chọn hệ trục tọa độ O,i, j , trong đó O là tâm lục giác đều , i
cùng hướng với OD , j cùng hướng EC . Tính tọa độ các đỉnh lục giác đều , biết cạnh của lục
giác là 6 .
i giải
ĐS: A 6; 0 , D 6; 0 , B 3; 3 3 ,
C 3; 3 3 , F
3; 3 3 , E 3; 3 3
C. Đ P N PHẦN BÀI TẬP TỰ
D. H ỚN D N I I C C C
ỆN
H CỦA PHẦN TỰ
ỆN
D N 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng u v, u v, k u
Phương pháp.
Dùng công thức tính tọa độ của vectơ u v, u v, k u
Với u ( x; y ) ; u' ( x'; y') và số thực k , khi đó u v ( x x'; y y') và k.u ( kx;ky )
A. VÍ DỤ MINH HỌA
V dụ 1:Trong hệ trục O; i; j , tọa độ của vec tơ i j là:
A. 1;1 .
B. 1;0 .
C. 0;1 .
i giải
Chọn D.
Ta có: i j 1;0 0;1 1;1 .
D. 1;1 .
V dụ 2: Cho u 3; 2 , v 1; 6 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. u
v và a 4; 4 ngược hướng.
B. u, v cùng phương.
C. u v và b 6; 24 cùng hướng.
D. 2u v, v cùng phương.
i giải
Chọn C.
Ta có u v 4; 4 và u v 2; 8 .
4 4
u v và a 4; 4 không cùng phương. Loại A
4 4
3 2
Xét tỉ số
u, v không cùng phương. Loại B
1 6
2 8 1
Xét tỉ số
0
u v và b 6; 24 cùng hướng.
6 24 3
V dụ 3:Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 4;0 . Tọa độ điểm M thỏa 3 AM AB 0 là
Xét tỉ số
A. M 4;0 .
B. M 5;3 .
C. M 0; 4 .
D. M 0; 4 .
i giải
Chọn C.
x 0
3 xM 1 4 1 0
Ta có: 3 AM AB 0
M
M 0; 4 .
y
4
3
y
3
0
3
0
M
M
V dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 3;3 , B 1; 4 , C 2; 5 . Tọa độ điểm M thỏa mãn
2MA BC 4CM là:
1 5
A. M ; .
6 6
1 5
B. M ; .
6 6
1 5
C. M ; .
6 6
i giải
5 1
D. M ; .
6 6
Chọn C.
1
xM 6
2 3 xM 2 1 4 xM 2
1 5
Ta có: 2MA BC 4CM
M ; .
6 6
2 3 yM 5 4 4 yM 5
y 5
M
6
B. BÀI TẬP TỰ
ỆN
Câu 9:
Cho a x; 2 , b 5;1 , c x;7 . Vec tơ c 2a 3b nếu:
A. x 3 .
B. x 15 .
C. x 15 .
D. x 5 .
Câu 10: Cho a (0,1) , b (1; 2) , c (3; 2) .Tọa độ của u 3a 2b 4c :
A. 10; 15 .
B. 15;10 .
C. 10;15 .
D. 10;15 .
C. a b 2; 3 .
D. b 2 .
Câu 11: Cho a 3i 4 j và b i j . Tìm phát biểu sai:
A. a 5 .
B. b 0 .
Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 4;0 . Tọa độ điểm M thỏa 3 AM AB 0 là
A. M 4;0 .
B. M 5;3 .
C. M 0; 4 .
D. M 0; 4 .
Câu 13: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 2 , B 2; 3 . Tìm tọa độ đỉểm I sao cho IA 2 IB 0.
8
2
A. I 1; 2 . B. I 1; . C. I 1; .
D. I 2; 2 .
3
5
Câu 14: Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 .Tọa độ điểm D sao cho AD 3 AB là:
A. 4; 6 .
C. 0; 4 .
B. 2;0 .
D. 4;6 .
Câu 15: Cho a 5;0 , b 4; x . Haivec tơ a và b cùng phương nếu số x là:
A. 5 .
C. 1 .
B. 4 .
D. 0 .
D N 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình.
Phương pháp.
Dựa vào tính chất của hình và sử dụng công thức
x x
y yB
+ M là trung điểm đoạn thẳng AB suy ra xM A B , yM A
2
2
xA xB xC
y A yB yC
+ G trọng tâm tam giác ABC suy ra xG
, yG
3
2
x
x'
+ u x; y u' x'; y'
y y'
A. VÍ DỤ MINH HỌA
V dụ 1 :Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3; 5 , B 1; 2 , C 5; 2 . Tìm tọa độ trọng tâm
của tam giác
G
ABC ?
A. G 3; 3 .
9 9
B. G ; .
2 2
i giải
C. G 9; 9 .
D. G 3; 3 .
Chọn D.
3 1 5
xG
3
3
Ta có
G 3; 3 .
y 5 2 2 3
G
3
V dụ 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 2; 2 , B 3; 5 và trọng tâm là gốc tọa độ
O 0; 0 . Tìm tọa độ đỉnh C ?
A. C 1; 7 .
C. C 3; 5 .
B. C 2; 2 .
D. C 1; 7 .
i giải
Chọn A.
Gọi C x ; y .
2 3 x
0
x 1
3
Vì O là trọng tâm tam giác ABC nên
.
y 7
2 5 y 0
3
V dụ 3: Cho M 2;0 , N 2; 2 , P 1;3 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ABC . Tọa
độ B là:
A. 1;1 .
B. 1; 1 .
C. 1;1 .
i giải
Chọn C
D. 1; 1 .
A
N
P
B
C
M
x xN xP xM
x 2 2 (1)
x 1
Ta có: BPNM là hình bình hành nên B
.
B
B
yB 2 0 3
yB 1
y B y N y P yM
V dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M 1; 1 , N 5; 3 và P thuộc trục Oy ,
trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là
A. 0; 4 .
C. 2; 4 .
B. 2;0 .
D. 0; 2 .
i giải
Chọn A.
Ta có: P thuộc trục Oy P 0; y , G nằm trên trục Ox G x;0
1 5 0
x
x 2
3
G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:
y 4
0 (1) (3) y
3
Vậy P 0; 4 .
V dụ 5:Cho tam giác ABC với AB 5 và AC 1 . Tính toạ độ điểm D là của chân đường phân giác
trong góc A , biết B( 7; 2 ),C( 1; 4 ) .
1 11
A. ; .
2 2
C. 2;0 .
B. 2;3 .
11 1
D. ; .
2 2
i giải
Chọn B.
A
B
Theo tính chất đường phân giác:
D
C
DB AB
5 DB 5DC DB 5DC.
DC AC
Gọi D x; y DB 7 x; 2 y ; DC 1 x; 4 y .
x 2
7 x 5 1 x
Suy ra:
.
y
3
2
y
5
4
y
Vậy D( 2; 3 ).
V dụ 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 3; 1 , B 1; 2 và I 1;1 . Xác định tọa độ các điểm C ,
D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng tâm tam giác ABC . Tìm tọa tâm O của hình
bình hành ABCD .
5
C. O 2;
2
i giải
5
B. O 2;
2
7
A. O 3;
2
5
D. O 2;
2
Chọn B.
Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên
x x x
xI A B C xC 3xI xA xB 1
3
y yB yC
yI A
yC 3 yI y A yB 4
2
Suy ra C 1;4
Tứ giác ABCD là hình bình hành suy ra
1 3 1 xD
x 5
AB DC
D
D( 5; 7 )
2 1 4 yD
yD 7
Điểm O của hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm AC do đó
x x
y yC
5
5
xO A C 2, yO A
O 2;
2
2
2
2
B. BÀI TẬP TỰ
ỆN
Câu 16: Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 . Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là:
1
A. ; 1 .
2
1
B. 1; .
2
1
C. ; 2 .
2
D. 1; 1 .
Câu 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A và B có tọa độ là A 2; 2 ;
B 3;5 . Tọa độ của đỉnh C là:
B. 1; 7 .
A. 1;7 .
C. 3; 5 .
D. 2; 2 .
Câu 18: Tam giác ABC có C 2; 4 , trọng tâm G 0; 4 , trung điểm cạnh BC là M 2;0 . Tọa độ A
và B là:
A. A 4;12 , B 4;6 .
B. A 4; 12 , B 6; 4 .
C. A 4;12 , B 6; 4 .
D. A 4; 12 , B 6; 4 .
Câu 19: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C 2; 4 , trọng tâm G 0; 4 và trung điểm cạnh
BC là M 2; 0 . Tổng hoành độ của điểm A và B là
A.
2.
B.
2.
C.
4.
D.
8.
Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho B 5; 4 , C 3;7 . Tọa độ của điểm E đối xứng với C qua B là
A. E 1;18 .
B. E 7;15 .
C. E 7; 1 .
D. E 7; 15 .
Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy , cho A 2; 4 , B 1; 4 , C 5;1 . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là
hình bình hành là:
A. D 8;1 .
B. D 6; 7 .
C. D 2;1 .
D. D 8;1 .
Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy , gọi B ', B '' và B ''' lần lượt là điểm đối xứng của B 2; 7 qua trục Ox ,
Oy và qua gốc tọa độ O . Tọa độ của các điểm B ', B '' và B ''' là:
A. B ' 2; 7 , B" 2;7 và B"' 2; 7 .
B. B ' 7; 2 , B" 2;7 và B"' 2; 7 .
C. B ' 2; 7 , B" 2;7 và B"' 7; 2 .
D. B ' 2; 7 , B" 7; 2 và B"' 2; 7 .
Câu 23: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A 0; 3 , D 2;1 và I 1; 0 là tâm của
hình chữ nhật. Tìm tọa độ trung điểm của cạnh BC.
A. 1; 2 . B. 2; 3 . C. 3; 2 .
D. 4; 1 .
D N 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân t ch một vectơ qua hai
vectơ không cùng phương.
Phương pháp.
Cho u ( x; y ) ; u' ( x'; y') . Vectơ u' cùng phương với vectơ u u 0 khi và chỉ khi có số k
x' kx
sao cho
y' ky
x' y'
x
y
qua hai vectơ a a1 ;a2 , b b1 ;b2 không cùng phương, ta giả sử
Chú ý: Nếu xy 0 ta có u' cùng phương u
Để phân tích c c1 ;c2
a1 x b1 y c1
c xa yb . Khi đó ta quy về giải hệ phương trình
a2 x b2 y c2
A. VÍ DỤ MINH HỌA
V dụ 1: Cho A 1; 2 , B 2;6 . Điểm M trên trục Oy sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng thì tọa độ
điểm M là:
A. 0;10 .
B. 0; 10 .
C. 10;0 .
D. 10; 0 .
i giải
Chọn A.
Ta có: M trên trục Oy M 0; y
Ba điểm A, B, M thẳng hàng khi AB cùng phương với AM
Ta có AB 3; 4 , AM 1; y 2 . Do đó, AB cùng phương với
AM
1 y 2
y 10 . Vậy M 0;10 .
3
4
V dụ 2: Cho các vectơ a 4; 2 , b 1; 1 , c 2;5 . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c , ta
được:
1
1
A. b a c .
8
4
1
1
B. b a c .
8
4
1
C. b a 4c .
2
i giải
1
1
D. b a c .
8
4
Chọn A.
1
m
1 4m 2n
1
1
8
Giả sử b ma nc
. Vậy b a c .
8
4
1 2m 5n
n 1
4
V dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho A m 1; 1 , B 2; 2 2m , C m 3;3 . Tìm giá trị m để A, B, C là
ba điểm thẳng hàng?
A. m 2 .
B. m 0 .
Chọn B.
Ta có: AB 3 m;3 2m , AC 4; 4
C. m 3 .
i giải
D. m 1 .
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC
3 m 3 2m
m 0.
4
4
V dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; 3 ), B( 3; 6 ), C( 1; 2 ) . Xác định điểm D trên
trục hoành sao cho ba điểm A, B, D thẳng hàng.
1 2
1 2
A. E 5; 10 .
B. E ;
C. E ; .
D. E 5;10 .
3 3
3 3
i giải
Chọn B.
Vì E thuộc đoạn BC và BE 2EC suy ra BE 2EC
Gọi E x; y khi đó BE x 3; y 6 , EC 1 x; 2 y
1
x 3
x 3 2 1 x
Do đó
y 6 2 2 y
y2
3
1 2
Vậy E ; .
3 3
V dụ 5:Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 4 điểm A 0;1 , B 1; 3 , C 2; 7 và D 0; 3 . Tìm giao điểm
của 2 đường thẳng AC và BD .
2
A. ; 3 .
3
2
D. 3; .
3
2
C. 3; .
3
2
B. ; 3 .
3
i giải
Chọn A.
Gọi I x; y là giao điểm AC và BD suy ra AI ; AC cùng phương và BI ; BD cùng phương
Mặt khác
AI ( x ; y 1 ), AC ( 2 ; 6 ) suy ra
x y 1
6 x 2 y 2 (1)
2
6
BI ( x 1; y 3 ), BD ( 1; 0 ) suy ra y 3 thế vào (1) ta có x
2
3
2
Vậy I ; 3 là điểm cần tìm.
3
B. BÀI TẬP TỰ
ỆN
Câu 24: Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng?
A. Hai vec tơ u 4; 2 và v 8;3 cùng phương.
B. Hai vec tơ a 5;0 và b 4;0 cùng hướng.
C. Hai vec tơ a 6;3 và b 2;1 ngượchướng.
D. Vec tơ c 7;3 là vec tơ đối của d 7;3 .
Câu 25: Cho 4 điểm A 1; 2 , B 0;3 , C 3; 4 , D 1;8 . Ba điểm nào trong 4 điểm đã cho là thẳng
hàng?
A. A, B, C .
B. B, C, D .
C. A, B, D .
i giải
Chọn C
D. A, C, D .
Ta có: AD 2;10 , AB 1;5 AD 2 AB 3 điểm A, B, D thẳng hàng.
Câu 26: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; 3 ), B( 3; 6 ), C( 1; 2 ) . Xác định điểm E trên
cạnh BC sao cho BE 2EC .
1 2
1 2
2 1
2 1
A. E ; B. E ; C. E ;
D. E ;
3 3
3 3
3 3
3 3
1 2
Câu 27: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ba điểm A( 6; 3 ), B ; , C( 1; 2 ), D( 15; 0 ) . Xác định
3 3
giao điểm I hai đường thẳng BD và AC .
7 1
7 1
7 1
7 1
A. I ; B. I ; C. I ;
D. I ;
2 2
2 2
2 2
2 2
Câu 28: Cho ba điểm A( 1; 1 ), B( 0;1 ), C( 3; 0 ) . Xác định tọa độ điểm D biết D thuộc đoạn thẳng
BC và 2BD 5DC .
15 2
15 2 15 2 2 15
A. ; .B. ; C. ;
D. ;
7
7
7 7 7 7 7 7
Câu 29: Cho tam giác ABC có A( 3; 4 ), B( 2;1 ), C( 1; 2 ) . Tìm điểm M trên đường thẳng BC sao
cho S ABC 3S ABM .
A. M 1 0;1 , M 2 3; 2 .B. M 1 1; 0 , M 2 3; 2 .
C. M 1 1; 0 , M 2 2; 3 .
D. M 1 0;1 , M 2 2; 3 .
Câu 30: Cho hình bình hành ABCD có A 2; 3 và tâm I 1;1 . Biết điểm K 1; 2 nằm trên
đường thẳng AB và điểm D có hoành độ gấp đôi tung độ. Tìm các đỉnh B,D của hình bình
hành.
A. B 2;1 , D 0;1 .B. B 0;1 ; D( 4; 1 ).
C. B 0;1 ; D 2;1 , .
C. H ỚN
D N
I IC CC
D. B 2;1 , D 4; 1 .
H
CỦA PHẦN TỰ
ỆN
Câu 26: Vì E thuộc đoạn BC và BE 2EC suy ra BE 2EC
Gọi E x; y khi đó BE x 3; y 6 , EC 1 x; 2 y
1
x
x
3
2
1
x
3
Do đó
y 6 2 2 y
y2
3
1 2
Vậy E ;
3 3
Câu 27: Gọi I x; y là giao điểm của BD và AC .
46 2
Do đó DI x 15; y ,DB ; cùng phương suy ra
3 3
3 x 15 3 y
x 23 y 15 0 (1)
46
2
x 6 y 3
x y 3 0 (2)
AI x 6; y 3 , AC 5; 5 cùng phương suy ra
5
5
7
1
Từ (1) và (2) suy ra x và y
2
2
7 1
Vậy giao điểm hai đường thẳng BD và AC là I ; .
2 2
Câu 28: Ta có 2BD 5DC, BD xD ; yD 1 ,DC 3 xD ; yD
15
xD 7
2 xD 5 3 xD
15 2
Do đó
D ; .
7 7
2 yD 1 5 yD
y 2
D
7
Câu 29: Ta có S ABC 3S ABM BC 3BM BC 3BM
Gọi M x; y BM x 2; y 1 ; BC 3; 3
3 3 x 2 x 3
3 3 x 2 x 1
Suy ra
hoặc
3 3 y 1
3 3 y 1
y 0
y 2
Vậy có hai điểm thỏa mãn M 1 1; 0 , M 2 3; 2 .
Câu 30: I là trung điểm AC nên C 4;1
Gọi D 2a;a B 2 2a; 2 a
AK 1; 1 , AB 4 2a; 1 a
Vì AK , AB cùng phương nên
III – Đ
Câu 1:
4 2a 1 a
a 1 D 2;1 , B 0;1
1
1
I M TRA C
I BÀI
Trong mặt phẳng Oxy , cho A x A ; y A và B xB ; yB . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB
là:
x x y yB
A. I A B ; A
2
2
.
x x y yB
B. I A B ; A
2
2
.
x x y yB
C. I A B ; A
3
3
.
x y A xB y B
;
D. I A
2
2
i giải
.
Chọn B.
x x
xI A B
x x A xB xI
2
Ta có: I là trung điểm của đoạn thẳng AB AI IB I
y
y
y
y
y
I
A
B
I
y A yB
I
2
x x y yB
Vậy I A B ; A
2
2
Câu 2:
.
Cho các vectơ u u1; u2 , v v1; v2 . Điều kiện để vectơ u v là
u u 2
A. 1
.
v1 v2
u v1
B. 1
.
u2 v2
u v
C. 1 1 .
u2 v2
i giải
u v
D. 1 2 .
u2 v1
Chọn C.
Câu 3:
Trong mặt phẳng Oxy , cho A x A ; y A và B xB ; yB . Tọa độ của vectơ AB là
A. AB y A xA ; yB xB .
B. AB xA xB ; yA yB .
C. AB xA xB ; yA yB .
D. AB xB xA ; yB yA .
i giải
Chọn D.
Theo công thức tọa độ vectơ AB xB xA ; yB yA .
Câu 4:
Trong mặt phẳng Oxy , cho A xA ; y A , B xB ; yB và C xC ; yC . Tọa độ trọng tâm G của tam
giác ABC là:
x x x y yB yC
A. G A B C ; A
3
3
.
x x x y yB yC
C. G A B C ; A
.
3
3
x x x y yB yC
B. G A B C ; A
.
3
2
x x x y yB yC
D. G A B C ; A
.
2
3
i giải
Chọn C.
Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC OA OB OC 3OG với O là điểm bất kì.
Chọn O chính là gốc tọa độ O . Khi đó, ta có:
xA xB xC
x
G
xA xB xC 3xG
3
OA OB OC 3OG
y A yB yC 3 yG
y y A yB yC
G
3
x x x y yB yC
G A B C ; A
.
3
3
Câu 5:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A 5; 2 , B 10;8 . Tọa độ của vec tơ AB là:
A. 2; 4 .
B. 5; 6 .
C. 15;10 .
D. 50; 6 .
i giải
Chọn B.
Ta có: AB 10 5;8 2 5;6 .
Câu 6:
Cho hai điểm A 1;0 và B 0; 2 .Tọa độ điểm D sao cho AD 3 AB là:
A. 4; 6 .
B. 2;0 .
C. 0; 4 .
D. 4;6 .
i giải
Chọn D.
xD xA 3 xB xA
xD 1 3 0 1
x 4
Ta có: AD 3 AB
.
D
y
6
y
y
3
y
y
y
0
3
2
0
D
D
A
B
A
D
Câu 7:
Cho a 1; 2 , b 5; 7 . Tọa độ của vec tơ a b là:
A. 6; 9 .
B. 4; 5 .
C. 6;9 .
D. 5; 14 .
i giải
Chọn C.
Ta có: a b 1 5;2 7 6;9 .
Câu 8:
Cho hình chữ nhật ABCD có AB 3, BC 4 . Độ dài của vec tơ AC là:
A. 9.
B. 5.
C. 6.
i giải
Chọn B.
Ta có: AC AC AB2 BC 2 32 42 5 .
D. 7.
Câu 9:
Cho hai điểm A 1; 0 và B 0; 2 . Vec tơ đối của vectơ AB có tọa độ là:
A. 1; 2 .
B. 1; 2 .
C. 1; 2 .
D. 1; 2 .
i giải
Chọn B.
Ta có vectơ đối của AB là BA 0 1; 2 0 1; 2 .
Câu 10: Cho a 3; 4 , b 1; 2 . Tọa độ của vec tơ a b là:
A. 2; 2 .
B. 4; 6 .
C. 3; 8 .
D. 4;6 .
i giải
Chọn A.
Ta có: a b 3 (1);(4) 2 2; 2 .
Câu 11: Cho A 0;3 , B 4; 2 . Điểm D thỏa OD 2 DA 2 DB 0 , tọa độ D là:
A. 3;3 .
B. 8; 2 .
C. 8; 2 .
5
D. 2; .
2
i giải
Chọn B.
x 8
xD 0 2 0 xD 2 4 xD 0
Ta có: OD 2 DA 2 DB 0
.
D
y
2
y
0
2
3
y
2
2
y
0
D
D
D
D
Câu 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A 3; 2 , B 7;1 , C 0;1 , D 8; 5 . Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A. AB, CD đối nhau.
B. AB, CD cùng phương nhưng ngược hướng.
C. AB, CD cùng phương cùng hướng.
D. A, B, C, D thẳng hàng.
i giải
Chọn B.
Ta có: AB 4;3 , CD 8; 6 CD 2 AB .
Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy , cho các điểm A 1;3 , B 4;0 , C 2; 5 . Tọa độ điểm M thỏa mãn
MA MB 3MC 0 là
A. M 1;18 .
B. M 1;18 .
C. M 18;1 .
D. M 1; 18 .
i giải
Chọn D.
x 1
1 xM 4 xM 3 2 xM 0
Ta có: MA MB 3MC 0
.
M
y
18
3
y
0
y
3
5
y
0
M
M
M
M
Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy , cho A 2;0 , B 5; 4 , C 5;1 . Tọa độ điểm D để tứ giác BCAD là
hình bình hành là:
A. D 8; 5 .
B. D 8;5 .
C. D 8;5 .
D. D 8; 5 .
i giải
Chọn D.
5 5 2 xD
x 8
Ta có: tứ giác BCAD là hình bình hành khi BC DA
.
D
1 4 0 yD
yD 5
Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy , cho A 2; 4 , B 1; 4 , C 5;1 . Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là
hình bình hành là:
A. D 8;1 .
B. D 6; 7 .
C. D 2;1 .
D. D 8;1 .
i giải
Chọn C.
1 2 5 xD
x 2
Ta có: tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB DC
.
D
4 4 1 yD
yD 1
Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A 0; 2 , B 1; 4 . Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn
AM 2 AB là:
A. M 2; 2 .
B. M 1; 4 .
C. M 3;5 .
D. M 0; 2 .
i giải
Chọn A.
x 2
xM 0 2 1 0
Ta có: AM 2 AB
M
M 2; 2 .
y
2
y
2
2
4
2
M
M
Câu 17: Cho a 4, 1 và b 3, 2 . Tọa độ c a 2b là:
A. c 1; 3 .
B. c 2;5 .
C. c 7; 1 .
D. c 10; 3 .
i giải
Chọn B.
Ta có: c a 2b 4 2.(3);1 2.(2) 2;5 .
Câu 18: Cho a (2016 2015;0), b (4; x) . Hai vectơ a, b cùng phương nếu
A. x 504 .
B. x 0 .
C. x 504 .
i giải
D. x 2017 .
Chọn B.
Ta có: a, b cùng phương a k .b x 0 .
7
Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy , Cho A ; 3 ; B(2;5) . Khi đó a 4 AB ?
2
A. a 22; 32 .
B. a 22;32 .
C. a 22;32 .
11
;8 .
D. a
2
i giải
Chọn A.
7
Ta có: a 4 AB 4 2 ;5 3 22; 32 .
2
Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy , cho a (m 2; 2n 1), b 3; 2 . Nếu a b thì
A. m 5, n 3 .
3
B. m 5, n .
2
C. m 5, n 2 .
i giải
Chọn B.
m 5
m 2 3
Ta có: a b
3.
n
2n 1 2
2
D. m 5, n 2 .
Câu 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(2; 1) . Điểm B là điểm đối xứng của A qua trục hoành.
Tọa độ điểm B là:
A. B(2;1) .
B. B(2; 1) .
C. B(1;2) .
D. B(1; 2) .
i giải
Chọn A.
Ta có: B là điểm đối xứng của A qua trục hoành B 2;1 .
Câu 22: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho a (2;1), b (3; 4), c (7; 2) . Cho biết c m.a n.b . Khi đó
A. m
22
3
.
;n
5
5
1
3
B. m ; n
.
5
5
C. m
22
3
.
;n
5
5
D. m
22
3
;n .
5
5
i giải
Chọn C.
22
m
7 2m 3n
5
Ta có: c m.a n.b
.
3
2 m 4n
n
5
Câu 23: Cho các vectơ a 4; 2 , b 1; 1 , c 2;5 . Phân tích vectơ b theo hai vectơ a và c , ta
được:
1
1
A. b a c .
8
4
1
1
B. b a c .
8
4
1
C. b a 4c .
2
i giải
1
1
D. b a c .
8
4
Chọn A.
1
m
1 4m 2n
1
1
8
Giả sử b ma nc
. Vậy b a c .
8
4
1 2m 5n
n 1
4
1
Câu 24: Cho a ( x; 2), b 5; , c x;7 . Vectơ c 4a 3b nếu
3
A. x 15 .
B. x 3 .
C. x 15 .
i giải
Chọn D.
x 4 x 3.(5)
Ta có: c 4a 3b
1 x 5 .
7
4.2
3.
3
D. x 5 .
Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy , cho A m 1; 1 , B 2; 2 2m , C m 3;3 . Tìm giá trị m để A, B, C là
ba điểm thẳng hàng?
A. m 2 .
C. m 3 .
i giải
B. m 0 .
Chọn B.
Ta có: AB 3 m;3 2m , AC 4; 4
Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB cùng phương với AC
3 m 3 2m
m 0.
4
4
D. m 1 .
Câu 26: Cho hai điểm M 8; 1 , N 3; 2 . Nếu P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N thì P có
tọa độ là:
A. 2;5 .
B. 13; 3 .
C. 11; 1 .
11 1
D. ; .
2 2
i giải
Chọn A.
Ta có: P là điểm đối xứng với điểm M qua điểm N nên N là trung điểm đoạn thẳng PM
8 xP
3 2
x 2
Do đó, ta có:
P
P 2;5 .
yP 5
2 (1) yP
2
Câu 27: Cho tam giác ABC với A 3; 1 , B 4; 2 , C 4;3 . Tìm D để ABDC là hình bình hành?
A. D 3;6 .
B. D 3;6 .
C. D 3; 6 .
D. D 3; 6 .
i giải
Chọn B.
4 3 xD 4
x 3
Ta có: ABDC là hình bình hành AB CD
D
D 3;6 .
2 1 yD 3
yD 6
Câu 28: Cho K 1; 3 . Điểm A Ox, B Oy sao cho A là trung điểm KB . Tọa độ điểm B là:
A. 0;3 .
1
B. ;0 .
3
C. 0; 2 .
D. 4; 2 .
i giải
Chọn A.
Ta có: A Ox, B Oy A x;0 , B 0; y
1 0
1
x 2
x
A là trung điểm KB
2 .Vậy B 0;3 .
3
y
0
y 3
2
Câu 29: Cho tam giác ABC với A 3;1 , B 4; 2 , C 4; 3 . Tìm D để ABCD là hình bình hành?
A. D 3; 4 .
B. D 3; 4 .
C. D 3; 4 .
D. D 3; 4 .
i giải
Chọn B.
4 3 4 xD
x 3
Ta có: ABCD là hình bình hành AB DC
D
D 3; 4 .
2 1 3 yD
yD 4
Câu 30: Các điểm M 2;3 , N 0; 4 , P 1;6 lần lượt là trung điểm các cạnh BC , CA , AB của tam
giác ABC . Tọa độ đỉnh A của tam giác là:
A. 1; 10 .
B. 1;5 .
C. 3; 1 .
i giải
Chọn C.
D. 2; 7 .
A
N
P
B
M
C
x x xP xN
x 2 0 (1)
x 3
Ta có: APMN là hình bình hành nên A M
.
A
A
y A 3 (4) 6
y A 1
y A yM y P y N
Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP có M 1; 1 , N 5; 3 và P thuộc trục Oy
,trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox .Toạ độ của điểm P là
A. 0; 4 .
B. 2;0 .
C. 2; 4 .
D. 0; 2 .
i giải
Chọn A.
Ta có: P thuộc trục Oy P 0; y , G nằm trên trục Ox G x;0
1 5 0
x
x 2
3
G là trọng tâm tam giác MNP nên ta có:
y 4
0 (1) (3) y
3
Vậy P 0; 4 .
Câu 32: Cho các điểm A 2;1 , B 4;0 , C 2;3 . Tìm điểm M biết rằng CM 3 AC 2 AB
A. M 2; 5 .
B. M 5; 2 .
C. M 5; 2 .
D. M 2;5 .
i giải
Chọn A.
xM 2 3 2 2 2 4 2
x 2
Ta có: CM 3 AC 2 AB
M
M 2; 5
y
5
y
3
3
3
1
2
0
1
M
M
----------------- Hết------------.
