18 chủ đề hình học 12 các dạng toán trọng tâm dành cho học sinh lớp 12 chương trình cơ bản và nâng cao nâng cao kỹ năng làm bài

NHOM BIẾN SOẠN SÁCH Bổ TRỢ GIÁO DỤC OLYMPIC
h ủ biên: N G U Y Ề N VẢN D Ũ N G - N G Ư Y Ẻ N TẤ T 'ỤHU

✓ C á c d ạ n g toán trọng tâm.
/

D ành cho học sin h lớp 12

chương trin h Co bản và N âng cao.
/
/

N âng cao k ĩ năng làm bài

BỐI dưỡng H S khá giói và chuần bi
c h o c á c kì thi TN • TSĐ H.

NHA XUẤT BÁN ĐẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI


NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội
Điện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896;
Hành chính: (04) 39714899; Tổng bién tập: (04) 39714897
Fax: (04)39714899
***?. /
***
/ ả

C h ịu tr á c h n h iệ m x u ấ t b ả n :

G iám đốc P H Ừ N G Q U Ố C BẢO
T ổ n g biên tậ p PH Ạ M T H Ị TRÂM
B iên tậ p nội d u n g
M IN H KHAI
S ử a bài
LÊ HOÀ
C h ế bản
CÔ N G TI ANPHA
T r in h b à y bia
SƠN KỲ
Đối tác liê n k ế t x u ấ t ban
CÔ N G TI ANPHA

S Á C H LIÊN KẾT
18 CHỦ ĐỂ HĨNH HỌC 12

Mã số: 11,-061)11*010
In 2.000 cuốn, khổ 16 \ 24 em lại Công ti TNHH in llưiiỊi IMiú
SỐ xuất bần: 1823-201 o/cxH/25-178/ĩ)IIỌG11N. ngày 19/10/2010
Ụuyếl ilịnli \u â t l)àn số: 02 I.k-T!\/Ụl)-\\I51>IIỌ(»II\
In xong và nộp lưu chiểu quỷ I năm 2011.


LỜI N Ó I Đ Ẩ U
Khi m ỗi c h ú n g ta 18 tuổi c ũ n g lá thời gian học lớ p 12, n ă m cuối cấp
cua c h ư ơ n g trìn h p h ố thòng. Mỗi bạn họ c sinh đ ẹ u cỏ k ế hoạch cho
tư ơ n g lai, m à khới đ ầ u là s ự v ư ợ t qua kỳ thi tu y ế n sin h vào m ộ t trường
đại học m o n g ước.
Nỉhằm g ó p p h ấ n g iú p các em học sin h th ự c hiện đ ư ợ c m a ư ớ c đó, bắt
đ ấ u từ việc n ắ m v ữ n g kiến th ứ c cơ bán, p h át triển tu d u y , n â n g cao kha

n àng v ậ n d ụ n g , p h â n tích và tổng hợ p giái q u y ế t v ấ n đề, c h ú n g tôi biên
soạn b ộ sách v ề 18 chú đ ê tro n g c h ư ơ n g trình toán h ọ c 12.
T ro n g mồi ch u đ ê gốm b a p h ẩ n
I. T ó m tắt lý th u y ết: hệ thống hóa các kiến th ứ c trọng tâm.
II. Ví d ụ m in h họa: gồm n h ũ n g ví d ụ đ iê n h ìn h cho m ỗi p h ư o n g
p h á p giái to án tư ơ n g ứ n g với chủ đế. C ác ví d ụ n à y đ ư ợ c s ắ p xếp theo
một logic n h ấ t đ ịn h g iú p các em có th ế tỏng q u á t h ó a và có kỹ n ă n g giai
các bài to á n tư ư n g tự.
III. Bài tập: gõm m ột hệ thống các bài tậ p đ ế các em có thê tụ
luyện tậ p n h ằ m k h ắc sâ u kiến th ứ c và rèn lu yện kỹ n ă n g .
T rong bộ sách này, với tinh thần tăng cưừng trách nhiệm của mỗi tác
giá, c ũ n g n h u th u ậ n tiện cho việc trao đỗi cùa độc giả, c h ú n g tôi p h â n công:
+ Tác giá N g u y ễ n Tát T h u phụ trách chinh cuốn "18 chù dê g iả i tích 12".
+ Tác giả N guyền Vãn D ũ n g p h ụ trách chính cuốn "1S chù đ ế hình học 12".
C h ú n g tôi tin tư ở n g rằ n g vói hộ sách này, m ỗi em hục sin h đ ể u có
thê tìm th ấy n h ữ n g đ iều th ú vị v à bô ích.
M ặ c d ù m ỗi tác gia đ ã d à n h nhiều tâm h u y ế t cho c u ố n sách, so n g sự
sai só t là đ iếu khó trán h khói. C h ú n g tôi rất m o n g n h ậ n d ư ợ c sụ phán
biện v à g ó p ý cù a q u ý độ c gió đ ế n h ũ n g lần tái b à n s a u c u ố n sách đ ư ợ c
h o à n th iệ n hơn.
M ọ i ý kiên đ ó n g g ó p xin gửi vê'địa chi:
T r u n g tâ m Sách giáo d ụ c A npha
225C N g u y ễ n Tri Ph ư ơ n g , P.9, Q5, T p HCM .
C ô n g ti Sách - thiết bị giáo dục A n p h a
50 N g u y ễ n Văn Săng, Q. Tán phú, T p H ổ C hí M in h
ĐT: 08.62676463, 38547464
Email: alphobookeentorO' yjho o .co m
T râ n trọ n g cám ơn!

3

CHÙ ĐỂ 1. KHỐI ĐA DIỆN
[. T Ó M T Á T LÝ T H U Y Ế T
0 I linh đ a diện là hình được tạo bới một sổ hữu hạn các đa giác phảng thỏa
màn hai tính chất
■ I íai đa giác bất kỳ hoặc không có điếm chung, hoặc có một đinh chung,
hoặc có một cạnh chung.
■ M ỗi cạnh cùa một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
3 I lình đ a diện (H) cúng với các điểm nam trong (H) được gọi là khối đa
diện giới hạn bởi hình (H).
s

Khối đ a diện được gọi là khối chóp, khối lãng trụ, ... nếu nó được giới
hạn tưư ng ứng bởi một hinh chóp, hình lăng trụ, ...
o Phân ch ia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H ,),(H 2) nếu (H) là
hợp cù a (H ,) và (H 2), (H ,) không có điểm chung trong với (H 2).
ữ

Khối đ a diện (H) dược gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thắng nối hai
điếm bất kỳ của (H ) luôn thuộc (H).
Khối đ a diện đều là khối đa diện lồi có hai tính chất
■ Mỗi mặt của nó là một đa giác đều n cạnh.
• Mỗi đinh của chúng là dinh chung của đúng p mặt.
■ Khối da diện dều đó được gọi là khối da diện đều loại {n;p}.
Gụi D, C,M lần lượt là sổ dinh, số cạnh, số mặt của khối đa diện lồi (H)
thì dặc số Euler của (H ) là x(H) = D - C + M = 2 (định lý Euler).

II. C Á C v t DỤ M IN H H Ọ A
v'í d ụ 1.1. C hử ng minh rằng mội khói đa diện có Í! nhất 4 đinh.

Lòi ịỊÌái.
Xét khối đa diện (H) có một mặt là Mị. Gọi A ,B,C là ba đinh liên tièp
cùa M , . Ta có AB.BC là hai cạnh liên tiếp của (H).
Vì một cạnh là cạnh chung cùa dúng hai mặt, nên tồn tại mặt M2 khác
Mị và có chung cạnh AB với Mị. Mặt M2 phài có ít nhất một dinh
khác vỏri các dinh A ,n.
Giá sir D = c thì M 2 v à Mị có hai cạnh chung là AB và BC(BD), tức
là hai m ặt trùng nhau, điều này mâu thuẫn với M2 khác Mj. Vậy D phải
khác c , tức là da diện (H) phải cỏ ít nhất bốn đinh,
d ụ 1.2. ( 'hứng m inh rằ n g m ỗi hình đa diện có ít nhai 6 cạnh.
Lòi giai.
X ét hinJh đu diện (H ) có một mặt là Mị. Khi dó Mj có ít nhất ba cạnh
liên tiếp là C 1;C,;C.(. Gọi M 2 là mặt khác Mj có chung cạnh c , với

5


Mị. Trên mặt M.2 còn có ít nhất hai cạnh Ợ ,;C 5 khác C ,.D o tín h phủ
biệt của

M 2 và

M,

nên

C ,;C 5

phải

khác

C2;C3.

Nhu

vậ

C ,;C 2;C3;C4;C5 khác nhau.
Gọi M3 lả mặt khác Mị có chung cạnh C2 với M,. Khi đó M , có
nhất hai cạnh C6;C7 khác C2 và phân biột với C p C 3.
- Nếu Cg khác với C4;C5 thì hình (H) có ít nhất 6 cạnh.
- Nếu C6 s C 4 thi do M 3 và M2 có nhiều nhất một cạnh chung nên c
khác C4;C5 nên (H) có ít nhất 6 cạnh là C1;C2;C3;C4;C5;C7.
- Nẻu Ctì K C6 thì cũng tương tự trên (H) có ít nhất 6 cạnh.
Vậy hình (H) luôn có ít nhất 6 cạnh.
Ví dụ 1.3. Chứng m inh rang nếu một khối đa diện có so cạnh của m ơ i một l
sổ lè thì s ố m ặt p h ả i là so chẵn.
Lời giai.
Xét khối da diện (II) có số mặt là M và số cạnh của mỏi mật lầ n lượt 1
V

%

•

• ^ •

C 1;C2;...;CM, trong dó C k là số lẻ với mọi k =
Vi mỏi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt, do đỏ số cạnh của khối li

diện l à C = C| +C2---"-+ CM .
2
Ta có c là số nguycn dương ncn Cị + C 2 +... + CM phải là sổ chằn. I)
đó M phài là số chẵn.
Ví dụ ^.4. Chứng m inh rằng không lon tạ i hình đa diện có 7 cạnh.
Lòi giiii.
Xót một hình da diện có một mặt M, với sổ cạnh lứn hơn hoặc băng
Khi đó, do mỗi đinh của mặt M, là đinh chung của it nhất 3 c;ạnh. nc
tại mỗi dinh của nó có thêm ít nhất một cạnh di qua. khi dó sổ c ạ n h ci
hình da diện sẽ lớn hơn hoặc bủng 8 . Vi vậy, hình đa diện ( H ) có t
cạnh là 7 thi không tồn tại mật nào có số dinh lớn hơn hoặc bằmg 4, li
là các mặt cùa hình dó phủi là các tam giác.
Gọi M ,c là sỏ mặl và số cạnh của hình da diộn (H). Du mỏii cạnh
cạnh chung cùa dũng hai mặt nên 3M = 2C = 14=>M = — (vô l v. do ĩ
3
là số nguyên dưomg).Vậy không tồn tại hình đa diện có 7 cạnh.
Ví dụ 1.5. Chửng minh rằng trong một khối đa diện bất k\\ tun lụi hai l/ ii
mù số cạnh x u a t ph á i lừ m oi đinh này bằng nhau.
Lòi giai.
Xét khối đa diện (H) có số đinh là D và số cạnh xuất phát từ các du
lần lượt là C t ;C2;...;C D, trong đó Cị, là các số nguyên durưng \
6


k = Ịl;2;...;D }. Vi số dinh cùa khối da diện là D nên số cạnh xuất phát từ
mỗi đinh phái nhỏ hơn D, do dó Ck < D. N hư vậy tập C k có D phần từ
mà chi nhận các giá trị từ 1 đến D, do dó theo nguyên lý Dirichlet, tồn
tại hai phần từ có giá trị bang nhau.
Vậy m ột khối đa diện hái kỳ, luôn tồn tại hai đinh mà số cạnh xuất phát
từ hai dinh đó bằng nhau.

Vi dụ 1.6. C hứng m inh rang luôn tòn tại một hình đa diện có 2n + 1 cạnh,
với n lù so nguyên dương và n > 4.
Lòi giai.
Xét một hình chóp có đáy là da giác gồm n - 1 cạnh S.A,A2...An_l .
G hép thêm vào mặt S.A jA 2 v à ớ phía ngoài hinh chóp S.AjA2...An_j
một hình chóp T.SAịA2.
Do hình chóp S.A1A2...An_1 có 2 ( n - l ) cạnh nôn hình đa diện gôm
11 + 1 đinh S .A p A2,...,A n_j,T sẽ có 2n + 1 cạnh.
k'i ilụ 1.7. í 'hửng minh rang luôn tồn tại m ột khối đa diện lồi có n cạnh, với
n là s ổ nguyên dương và n > 8.
Lòi giải.
- Nếu n là số chần, xét hình chóp có đáy là đa giác có — cạnh thì hinh
2
chóp dó sè có n cạnh.
- Neu n là số lc thi do n > 8 nên n = 2m + 3 (m £ 3). c ẳ t hinh chóp có
đáy là m cạnh theo một mặt phẳng thỏa mãn cắt dúng hai cạnh đáy vả
m ột cạnh bên cùa hinh chóp thi dược một hình đa diện có 2m + 3 cạnh.
Tóm lại. luôn tồn tại m ật khối đa diện có n cạnh với n > 8 .
C hủ ỷ: Trường hạp n là sô lẽ cỏ thè làm như ví d ụ 6.
/i dụ 1.8. S ứ dụng định lý E uler chứng minh rằng có đúng 5 khôi da diện là
khối du diện đều.
Lòi giãi.
Xét khối d a diện đều loại Ịn;p} có sổ đinh, số cạnh v à số mặt lần lượt là
D.C.M.
- Do mồi đinh là dinh chung cùa dúng p cạnh nên D dinh sẽ có pD
cạnh, mà mồi cạnh lại xác dịnh hai dinh nên 2C = pD (1).
- Vi mòi mặt cỏ n cạnh nên M mặt sẽ có nM cạnh, nhưng mỗi cạnh lại
là cạnh chung cua dúng hai mặt do đó 2C = nM (2).
T ừ (1),(2) và kết hợp tính chất cua dãy tỷ sổ bàng nhau ta có
p.

„
D C M D - C + M ( D - C + M)2np
p l ) - 2L = nM o — = — = — = —---- ---— = ------------------I
ỉ
_1 1 _ I _ 2n + 2p - n p
p
2
n
p 2 n
7


Kết hơp đinh lý Euler D

-c+M= 2

suy ra — = V - 'T“ = “ — — -----1 1
1 2 n + 2p - n p
p 2
n
4n
2np
4p
Vậy D =
,M =
(3).
2n + 2p - n p
2n + 2p - np
2n + 2p - np
Ta có D ,C ,M ,n,p đều là các số nguyên dưorng nên 2n + 2 p - np > 0, m

,c =

2n + 2 p - n p = n ( 2 - p ) - 2 ( 2 - p) + 4 = - ( p - 2 ) ( n - 2 ) + 4,

do

d

(p - 2)(n - 2) < 4.
Vì đa giác đều phải có ít nhất 3 cạnh, mỗi dinh cũng có không it hơn
cạnh nên n > 3,p s 3
n - 2 , p - 2 lả hai số nguyên dương có tích nh
hơn 4, nên chi có thể xảy ra các trường hợp
Trường hợp 1:

n —2 = 1
D

n = p = 3, ta có khôi đa diện đêu loại {3;3Ị

2 —1

đây chinh là khối tứ diện đều.
T1rường
•
họp -ì
2: n - 2 = 2
p- 2=1

n = 4;p = 3, ta có khối đa diện đều loi

{4;3}, đày chính là khối lập phương.
Trường hơp 3: | n 2 = 1 =>n = 3;p = 4, ta có khối da diên đều lo;
[p - 2 = 2
{3;4}, dây chính là khối bát diện đều (tám mặt đều).
Trường hợp 4:

n —2 = 3
p-2 =1

n = 5;p = 3, ta có khối da diện đều lo;

{5; 3}, đây chính là thập nhị diện dều (mười hai mật đồu).
n -2 =1
*
1
Trường hợp 5: <
=>n = 3;p = 5, ta có khôi đa diện đêu lo;
p —2 = 3
{3;5}, dây chính là khối nhị thập diện đều (hai mươi mặt đểu).
9

Loại

8

Tên gọi

*

. *

Sô dinh

Sô cạnh

Sô măt

{3:3}

Khối tứ diện đều

4

6

4

{4:3}

Khối lập phương

8

12

6

(3;4|

Khối tam mặt đều

6

12

8

{5;3}

Khối mười hai mặt đều

20

30

12

13:5}

Khối hai mươi mặt đều

12

30

20

M ộ t số Iiliận xét.
+) Chi có một khối đa diện đều có số dinh bằng số mặt là khối tứ diện đều.
+ ) C ó hai cặp có sô cạnh băng nhau.
+) C ó hai cập mà số dinh của khối này hăng sô mặt của khôi kia và
ngược lại, số mặt cùa khối này bằng sổ dinh của khối kia.
Ví dụ 1.9. Hãy plĩán chia khối lãng trụ ABC.ATVC' (hành
a) Du khối tứ diện.
hì M ột khối chóp lam giác và một khối chóp tứ giác. A
Lòi giải.
a) Khối lăng trụ A B C .A 'B 'C ' được
phàn chia thành ba khối tứ diện lã
ABCA'; BCA'B'; CA'B C'.
b) Khối lãng trụ ABC.A'B'C' được
phân chia thành khối chóp tam
giác C.A'B'C' và khối chóp tứ
giác ià C.A'B’AB.
Ví dụ 1.10. ỉỉiiỵ p h â n chia khối hộp ABCD.A'B'C'D' thành
a) S á u khối chóp lam giác,
h) N ăm khối tứ diện.
a) Vì m ột khối hộp dược coi là
ghép bời hai khối lâng trụ, mà
mỗi khối láng trụ có thề phân
chia thành ba khối chóp tam
giác, nên khối hộp dưực phân
chia thành sáu khỏi chóp tam
giác.
h) Khối hộp dược phân chia
thánh năm khối tứ diện lá
ACDA'; BCDC'; BA'Ii'C'; DA'C'D'; BDA'C\
Ví dụ 1.11. Cho khối tứ diện đều ẠBCD. C him g m inh rằng

a) Trọng tâm các mặt cùa khối đỏ là các m ật của m ột tứ diện đều.
h) C á c trung điẽm các cạnh cùa khối đó lù các đinh cùa m ột khối tám
m ặ t đểu.
Lời giải.
a) Gọi Q ,M lần lượt là trung điém của C D .C B ; G j,G a,G 3,G 4 lần lượt là
trụng tâm các mặt (A BC ),(A CI)),(A BD ) và (BCD).
Gọi a lã cạnh của tử diện, ta có


Tương tự G ,G 4 = G ,G 3 = G 2G 3 = G ,G , = G 3G 4 = ệ

nên G,C.2G3G4 là một tứ diện đều cạnh
b) Gọi N ,P ,R ,S lẩn lượt là trung
điềm các cạnh AD.AB, AC,BD.
Theo tính chất đường trung
bình, ta cỏ
QM = QN = QS = QR

—.

A

p

= PM = P N = P S = PR
a

=2
Vậy M RNSQP là hinh bát diện
đều.

Ví dụ 1.12. Chứng minh rằng tám các m ột cùa một hình hút diện đêu là Ci
đinh của một hình lập phương.
Lòi giải.
Xét khối bát diện dều ABCDEF cạnh a . Gọi 0 ,M ,N ,P ,Q ,M ',N ',I> '.(
lần là tâm của các mặt ABCD, EAD, EAB, EBC, ECD, FAD, FAB, FBC,FCD.
Vi các dinh A ,B,C,D cách đều E ,F nôn cùng thuộc một mặt phang, c
đó ABCD là hình thoi. Mà E cách đều A.B.C, D nên ABCD là hir
vuông, do dó AC.BD đôi một vuông góc. T ừ dỏ A C ,B D ,E F đòi mvuông góc tại o . Ta có MM' // E F và MM' = ' E F =
.
3
3
Tưong tự N N ',P P ',Q Q ' cũng song song

10


Vậy M NPQ.M 'N'P'Q' là hình hộp.
Mặt khác MN.MQ.MM' lần lượt song song với B D ,A C ,E F nên chúng
đôi một vuông góc, lại có MN = ^ B D = —
3
3
hình lập phương.

do đỏ MNPQ.M'NT'0' là

III. BÀI T Ậ P
Hài 1.1. Chứng minh một khối đa diện có ít nhất 4 mặt?
Hài 1.2. Chứng minh rằng không tồn tại một khối đa diện có số cạnh ít hơn
sô mặt, hay có sô cạnh ít han sô đinh,
liùi 1.3. Chứng minh ràng nếu khối đa diện có các mặt là tam giác thi số mặt

phai là sô chẵn.
Hài 1.4. Chứng minh răng trong một khôi đa diện mà mỗi dinh lã dinh chung
cua dúng p cạnh thi hoặc p chẵn, hoặc số dinh cùa khối dó chẵn.
Itài 1.5. Chúng minh rằng trong một khối đa diện hấl kỳ tồn lại mặt có số
cạnh nhỏ hơn 6.
Hài 1.6. Chứng minh rang trong một khối đa diện bất kỳ, hoặc tồn tại một
mặt là tam giác, hoặc tồn lại một dinh là đinh chung của đúng ba cạnh.
Hài 1.7. Chửng minh ràng trong một khối đa diện bất kỳ tồn tại hai mặt có sổ
cạnh bàng nhau.
Bài 1.8. Hủy dùng 4 mặt phảng đế chia một khối tứ diện cho trước thành 9
khôi tử diện.
lỉài 1.9, Chứng minh ràng tồn tại một khối da diện cỏ 20 mặt là tam giác
đêu nhưng không phái là khối hai mươi mặt đều.
lỉài 1.10. Chứng minh răng tâm các mặt của hinh lặp phương là các dinh cùa
một bát diện đều.
Itãi 1.11. Cho khối bát diện dều ABCDEP cạnh a, trong đó E ,F lã hai đinh
không ciintỉ nằm trên một cạnh. Gọi A \B ',C ',D ',A * ,B ',C ',D ’ lầri lượt là
trung điểm các cạnh EA, EB, EC, ED, FA, FB, PC, FD. Chứng minh
rằng A'B'C'D'.A*B'C*D' là một hình hộp chữ nhật và tính các cạnh của
hình chữ nhật dó
lỉài 1.12. Cho khối đa diện có 2 n ,n > 2 dinh và một dường thẩng A bát kỳ
không có diểm chung với bất kỳ doạn thẳng não nối hai dinh cùa khối đa
diện. Xét lất cà các tam giác có ba đinh là ba đinh của khối da diện.
Chứng minh ràng sổ các tam giác nói trên mà dường thẳng A di qua
diêm num trong tam giác đó lã một số chẵn.

11


CHÙ ĐỀ 2. PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAI'

I. T Ó M T Ậ T LÝ T H U Y Ế T
o Phép biến hình F trong không gian là một quy tắc đc với mỗi iđiém N
(trong không gian), xác định được một điếm M' duy nhất gọi là ảnh cù
điểm M qua phép biến hình F. Ký hiệu M ’ = F(M).
■ Phép biến hinh F biến hình (H) thành hình (H') gồm tất cả các unh cũ
các điểm thuộc hình (H).
■ Có nhiều phép biến hình trong không gian như phép dồng dạng., phép \
tự, phép dời hình, ... hay phép chiếu theo một phương cho trinớc, phó
co dãn, phép nghịch đảo, ...
■ Phép đồng nhất F là một phép biến hình biến mỗi diểm M thàinh chín
nó, tức là M = F(M).
Q Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoáng cách giữa Ihai điềi
bất icỳ.
■ Phép dời hình F biến hai điểm M ,N thành hai điểm M '.N ' th ì ta luô
có M 'N ' = MN.
■ Phép dời hình biên ba diêm tháng hàng thành ha điểm thãnỵ hàng V
không làm thay dồi thứ tự của chúng; biến đường thẳng thànih dườn
tháng; biến tia thành tia; biến mặt phẳng thành mặt phãng; biến nửa mi
phảng thành nửa mặt phầng; biến đoạn thẳng thành một đoạn thăng bàn
nó; biến một tam giác thành một tam giác bang nó; biến một lứ ditện thân
một íử diện; biên một mặt cầu thành một mặt cầu có cùng hán kính..
■ Hợp ti.ình của những phép dừi hình là phép dời hình.
■ Một sổ f hép dờ' hình thường gặp: Phép đồng nhất; phép đối x ủ n g tân
phcp tịnh t;ến phép đối xứng qua mặt phẳng; phép đối xứng quia đườn
tháng; phép qưay quanh một đường ihẳng ...
G Phép tịnh tiến trong không gian: Phép tịnh tiến theo véc tơ V lù phê
biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MM' = V.
■ Phép tịnh tiến Tử không có đicm bất động.
■ Nếu V = Ổ thì phép tịnh tiến là phép đồng nhất.
■ Phép tịnh tiến biến hai điểm A,B thành hai điểm A';B' thi ATB' = Alí

o

nên sẽ biến một đường thảng thành một đường thảng song so>ng hoặ
trùng với nó.
Phép dối xứng tâm: Cho điểm o cổ định. Phép đổi xứng tâm o là phé
biến mỗi diểm M thành điếm M' sao cho OM ' + O M =Õ .
■ Phép đối xứng tâm o có một điêm bất động lá 0.

12


■ Phép đối xứng tâm 0 biến hai điểm A,B thảnh hai diếm A';B' thì
A'B' = -A B , ncn sẽ biến một đường tháng thành một đường thẳng song
song hoặc trùng với nó.
■ Phép đối xứng tâm biến mặt phẳng thành mặt phắng song song hoặc
Irùng với mặt phàng đó.
o Phép đối xứng qua đường thăng A : Phép đối xứng trục A là phép biến
mỗi điểm M thuộc A thành chinh nó, biến mồi điềm M không thuộc A
thành điểm M' sao cho A là trung trực cùa MM'.
■ Phép dổi xứng trục A có một đường thảng bất động là A.
■ A gọi là trục đối xứng cùa hình (H) khi và chi khi qua phép đối xứng
trục A thì hình (H) biến thành chính nó.
o

Phép dối xứng qua mặt phẳng ( P ) : Phép đối xứng qua mặt phảng (P) là
phép biến mỗi diểm M thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M
không thuộc (P) thành điểm M ’ sao cho (P) là mặt phẩng trung trực
cùa MM'.
■ Phép đối xứng qua mặt phảng (P) có một mặt phảng bất động duy nhất

là (P).
■ Phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến đường thảng d thành đường
thẳng d' hoặc song song với nhau, hoặc cất nhau tại một điểm thuộc
mặt phăng dôi xứng.
■ (P) gọi là mặt phẳng dối xứng cùa hình (H) khi và chi khi qua phép đối

xứng qua mặt phảng (P) thì hình (H) biền thành chinh nó.
o Hai hình được gọi là bàng nhau nếu tồn tại một phép dời hình biến hình
này thành hinh kia.
■ Hai hình tứ diện hằng nhau khi và chi khi chúng có các cạnh tương ứng
bàng nhau.
■ Hai tứ diện đều có các cạnh bàng nhau thì bảng nhau.
■ Hai hình lập phương có cạnh bang nhau thì bâng nhau.
o Cho một số k không đổi khác 0 và một điểm 0 cô định. Phép biên
hình trong không gian biến mỗi điểm M thành diêm M ' sao cho
OM ' = kÕM dirực gọi là phcp vị lự lâm o tý số k.
• Nếu tý sổ vị tự âm thì ta gọi là phép vị tự trong, nếu tý sổ vị tự dương
thi ta gọi lã phép vị tự ngoài.
■ Phép vị tự lâm 0 tỷ số k có một điểm bất động duy nhât lá o.
■ Nếu k = 1 thì phép vị tự là phép đồng nhất. Nếu k = - 1 thì phép vị tự là
phép đối xứng tâm.
■ Phép vị tự lâm o tỷ số k biến hai điếm A ,B thành hai điêm A';B' thi
A Ĩ i' = kÃB. do dó A'B' = |k| AB.

13


■ Phép vị tự biến ba đLcra thẳng hàng thành ha diềm thằng hàng và không
làm thay dôi thứ tự cùa ba điếm dó; biến dưòng thắng thánh dườnu
thăng song song hoặc trùng với nó; biển tia thảnh tia; hiến mặt phánu

thành mặt phảng song song hoặc trùng với nó; biến nửa mặt phẩng thành
nứa mặt phảng; biến đoạn thẳng thành một doạn thẳng có độ dài gấp |k|
lần; biến một tứ diện thành một tứ diện; biến một mặt cầu thành mật mặt
cẩu có bán kinh gap |k| lẩn.
o

Hình (H) được gợi lù dông dạng với hình (H') nếu có mộ! phiip vị tự
biến (H) thành (HJ) mà hình (H ị) bàng hinh (H').
■ Mai hình lứ điện đều hất kỳ luôn đồng dạng.
■ 1lai hinh lập phưưng bat kỳ luôn đong dạng.

II. C Á C V Í DỤ M IN H H Ọ A
Ví dụ 2.1. Chửng minh rằiỉịỉ một phép dời hình biến hon điém khủng đổng
phang thành chính I1 Ó là phép đồng nliat
Lòi giãi.
Gọi phép biến hình dà cho là F và bốn điểm không đồng ph.lnu là
A;B;C;D. Ta có A = F(A );B = F(B);C = F(C); D = F(D).
Già sử tôn tại một diêm M sao cho M' = F(M) * M.
Vì phép dời hình khôny. làm thay dồi khoảng cách giữa hai diêm bát kỷ,
nên MA = M'A;MB = M'B;MC = M 'C;M D = M'D,
suy ra các điếm
A;B;C;D nảm trên mặt phảng trung trực cùa M M \ tức là hon đicm

dó

dồng phảng. Đièu này mẫu thuần với giã thiết, ncn F(M) = M với mọi
diểm M, tức là phép dời hỉnh dó là phép đồng nhất.
Ví dụ 2.2. ClnhiíỊ minh rằng một hình đa diện (H) có tàm đối xứ ng thì sô
mậỉ, s ổ cạnh, su đinh cùa (H) đều là sổ chằn.
Lò i giai.

Gọi 0 là tâm dối xứng của hình (H) và A là điểm bât kỳ thuộc mặl
(M) nào dó cùa (H). Gọi A' là ãnh của A qua phép đối xứng tàm o.
thì A' phái nằm trên mặt phắng (M') não đó cua (H). Do đó mỗi cặp
mặt phăng (M) và (M') ứng với một đoan AA\ nhưng số đoạn đó là số
nguyên, nên số mặt của hình đa diện (H) phái là số chần.
Mặt khác, mỗi điếm bất kỳ thuộc một cạnh náo đó củ a (H), điểm đối
xứng của qua o cũng thuộc dúng một cạnh thuộc (H). Vi vậy số cạnh
cua hinh (H) cũng phai là số chằn.
Trong phcp dổi xứng tâm o , mỗi dinh thuộc (H) sẽ biển thành một dinh
khác cũng thuộc (II), nen sổ dinh cùa (H) cùng phai là sổ chẵn.

14


Ví tlụ 2.3. Cho lử diện ABCD có trọng lâm G. G ọi 0 là tâm m ặt cầu ngoại
liếp lú diện và O' lù ánh cua o qua phép đối xứng tám G. C húng minh
rủng m ặt pliủng di quLi AB và O' song song hoặc chửa đường thủng đi
qiui o và trung điêm cạnh CD.
Lòi giãi.
Gọi M ,N lẩn lượt là trung điểm
cua AB và CD,

(P)

là mặt

phăng đi qua AB và O'. Ta có
trọng tâm G cùa tứ diện ABCD
là trung điềm của dỏạn thăng
MN. Vì 0 ' là ảnh cùa điềm o

qua phép đối xứng tâm G nên
G là trung diểm cùa 0 0 ' và ®
MN, hay tứ giác MONO' là
hình binh hành, suy ra MO'
song song với ON. do dó (P)
hoặc song song với ON hoặc
chứa đường thẳng ON.
Ví dụ 2.4. ( 'hinig m inh rằng một hình đa diện có hữu hạn trục đối xứng.
Lòi giải.
Xét hình đa diện (H). Già sừ A là một trục dối xứng củ a (H).
Vì dicm dổi xứng của mỗi dinh cùa (H) qua dường thẳng A cùng là một
dinh cùa (II), nên dường thảng A phái là dường thảng di qua hai diểm
phân biệt nào dó trong tập hựp các dinh của (H) hoặc các trung điểm cùa
doạn nối hai dinh của (H). Nlnmii lập hợp dó lá hữu hạn nên số đường thảng
A
Ví dụ
a)
b)

là hữu hạn. hay số trục đối xứng của một hình đa diện là hữu hạn.
2.4. Tìm các trục đoi xứng cùa
Tứ diện đều.
Đ a giác đều n - cạnh trong không gian.
Lò i giải.
a) Xét tử diện đều ABCI). Gọi M, N lần lượt là trung điểm cùa AB và
CD. Phép dối xứng trục MN sẽ biến A -> B; B -> A;C -» D;D -> c
nên tứ diện đều ABCD biến thành tứ diện đều BADC. Do đó MN là
trục đoi xúng cùa lữ diện đều.
Trong mồi tứ diện có ba cặp dườnii thẳng nổi trung điềm hai cạnh chéo
nhau, nên tứ diện dèu có ba trục đối xứng tương tự MN.

Mật khác, nêu A là trục đôi xúng cùa tứ diện đêu và di qua một đinh
(chăng hạn lả đinh A ), thì với mồi điểm X thuộc tứ diện tồn tại điểm
X' thuộc tử diện là ảnh của X qua phép dổi xứng trục A. Gọi (P) là mặt
15


pháng chửa A và XX', thì (P) cắt tứ diện theo một thiết diện là lam giác CJ
đinh là A. Vi A phái là trục đôi xứng của thiết diện, do dó tam giác cân lại
A, suy ra A vuông góc với mặt phăng (BCD) tại diêm A \ Mà A là trục
đối xứng của tứ diện ABCD và A không nàm trong (BCD) nên A' là tâm
đối xứng của tam giác BCD. Nhimg tam giác không có tâm dối xứng nên
không ton tại trục dối xứng cùa tử diện đi qua đinh.
Tóm lại tử diện đều chì có ba trục đối xứng là các dường thảng nối trung
điềm các cạnh (Jối diện,
b) Trường hợp 1: n lá số chẵn, số trục đối xứng nam trong inặl phăng chứa
đa diện đều bàng n. Vì da giác đều có một tâm đối xứng lá tâm cùa đa
giác, nên dirờng thảng đi qua tâm đối xứng và vuông góc với mặt phảng
chứa đa giác là trục đối xứng của đa giác. Vậy trường hợp náy da giác
đều có n + 1 trục dối xúng.
Trườnụ họp 2: n là số lẻ, số trục đối xứng nàm trong mặt phảng chứa da
điện đều vẫn bàng n. Lúc này, đa giác đều không có tâm đối xứng, nên
trục đối xứng không nam trong mặt phảng chứa đa giác sỗ không tôn tại.
Vậy trường hựp này chi có n trục đối xứng.
Ví d ụ 2.5. Cho tứ diện đều ABCD có trọng tăm G. C hứng minh rằng với
m ọi điểm M nằm trong lứ diện la luôn có
MA + MB + MC + MD > GA + GB + G C + GD.
Lòi giải.
Ă
Gọi E ;F lần lượt là trung điểm cùa
/v N s .

AB và CD. Ta có G là trung điểm
/ \ O n.
của E F và EF là trục đối xứng cùa
/
AẠ' \ X.
tứ diện đều ABCD.
yệ;;"” \ \ \
Nv
Gọi M' là ánh của M qua phép đối
\\
N.
xứng trục EF, và H là giao điểm Ị
\
' \ . (j
của MM' và EF. Ta có
/
\
\
\
MB = AM';MD = C M 'nên
........V y - - - - 4 ^ - ..........
MA + MB = AM + AM' ^ 2AH

\ \ M’

' MC + MI) = CM + C M 'ầ 2 C H .
Do đó
VT = MA + MB + MC + M D > 2(AH + CH)

c

(1).

Xét trong mặt plìẳng (ECD), lấy điểm A' sao cho tia EA ' vuông góc
với EF, nằm khác phía so với tia FC và EA' = EA.
Hai tam giác vuông AEH và A'EH bàng nhau (c.g.c) nên HA = H A \
do dó HA + HC = HA' + HC > A'C (2).
Nhmig tứ giác E A T C là hinh binh hành, ncn A'C di qua Irọng làin G, ncn
A'C = CiC + GA'. Mà ta cũng có GA = GA' suy ra A'C = G C + GA (3).
16


T ừ (1),(2),(3) ta có VT> 2(GA + GC) (*). Tương tự VT ầ 2(GB + GD) (**).
C ộng vế với vê cùa (*) và (**) ta có điều phái chứng minh.
Ví dụ 2.6. Tìm các m ặt phàng đối xứ n g của
a) Hình vuông trong không gian,
h) ỉ Tinh lập phương,
c) Bát diện đêu.
LÒI giải.
a) Hình phẳng luôn có một mặt pháng đối xứng là mặt phẳng chứa hình
phăng dó. Nên hình vuông ABCD có một mặt phẳng đối xứng là
(ABCD). Ngoài ra, hinh lập phương còn có 4 mặt phẳng đối xứng là
mặt phang chứa vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đi qua:
+) Hai đình đối diện AC;BD.
+) Trung điểm hai cạnh đối của AB và CD, của AD và BC.
V ậy hình vuông trong không gian có 5 mặt phăng dối xứng.
b) T ừ số mặt phảng dổi xứng của hinh vuông, suy ra số mặt phẳng đối xứng
của hinh lập phương ABCD.A'B'C'D' là 9. Bao gồm 3 mặt phăng đối
xirng là trung trực các đoạn thang AB, AD.AA' và 6 mặt phảng đối
xứng là các mặt phảng chứa hai cạnh đối diện của hình lập phương.
c) 1lình bát diện đểu ABCDEF có 9 mặt phăng đòi xứng gôm

+) Ba mặt phảng dối xứng (ABCD),(BEDF),(AECF).
+) Sáu mật phang má mồi mặt phang là mặt phăng trung trực cùa hai
cạnh song song (vi dụ mặt phảng trung trực cùa AB và C D ).
Ví dụ 2.7. Cho hai điếm A,B nằm ngoài mặt phàng (P) sao cho A, B
không cách đều (p). Tìm vị tri điểm M thuộc m ặt phăng (P) sao cho
|MA - MB| đạt g iá trị lớn nhất.
L ò i giãi.
Theo hất dẳng thức tam giác, ta luôn có |M A - M R |s A B , nlurng dấu
đảng thức chi xảy ra khi MẤ = k M H ( k > 0 ) , tức là M thuộc đựờng
tháng AB và nẳm ngoài đoạn tháng AB. Vì thế xảy ra hai trường hợp:
Trường hợp I: A ,B nằm cùng plìía với mặt phãng (P).
D o A ,B không cách dều (P) nên đường thẳng AB sổ cẳt (P) tại một
điểm, diểm đó chinh là điểm M cần tim. Lúc này, giá trị lớn nhất cùa
biểu thức |M A - M B | là AB.
Trường hợp 2: A, lỉ nam khác phía với mặt phăng (P).
Bất đảng ihức |MA - MB| á AB vẫn đúng nhimg không xày ra dấu đẳng
thức, vi thế ta nghĩ đến điểm A' đối xúng với A q u a -(£),-khi đó A' và
B nằm cùng phía nên ta có |MA’ -

T O N s lim H Ư ^ E N
Ồ Ĩ Q Ĩ O Ơ Ư D Ậ / ơ a


Dấu dắng ihức có khi M là giao điểm của A'B với mặt phảng (p). Mặt
khác (P) là mặt phảng trung trực của A'A nên MA - MB1= MA' - M P .
Vậy trong trường hựp nảy, giá trị lớn nhất cùa |MA - MB| là A'B.
Vi dụ 2.8. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. C hứng m inh rằng
a) Các hình chóp A.A'B'C'D'; Ơ.ABCD bằng nhau.
b) Các hình lăng trụ ABC.ATVC'; AA'D'.BB'C' bằng nhau.
Lời giai.

a) Hai hinh bang nhau khi và chi khi
tồn tại một phép dời hình biến
hình này thành hinh kia. Nên ta di
tim các phép dời hinh đã biết mà
biến hình chóp A.A'B'C'D' Ihành
hình chóp Ớ.ABCD.Gọi o là
tâm của hinh lập phương. Xét
phép đối xứng tâm o thì
A -> C \A ' -> C,B' -> D,C' -» A,D' -> B
Nên hình chóp A.A'B'C'D' biến thành hình chóp C.CDAB, do dó hai
hình chóp dó bàng nhau.
b) Phép đối xứng qua mặt phàng (ADC'B') biến các điếm A ,B ,C ,A ',IỈ\C '
lần lượt thành các diểm A, A',D',B, B',C' nên lãng trụ ABC.A'B'C' hiến
thành lãng trụ AAT)'.BB'C', do đó hai lãng trụ đó hung nhau.
Ví dụ 2.9. Cho hình chóp F.ABCD có dày ABCD là hình vuông. Cạnh lìén
FC vuông góc với dáy và có Jộ dài bang AB. C hứng m inh rằng cú th i
dùng ba hình chóp nói trên đô ghép lại thành m ột hình lậ p phm m g.
Lòi giai.
Từ hình chóp trên ta dựng hình lập
phương HEFCi.ABCD. Ta thấy hai
hình chóp P.ABCD và F.ABEH
đổi xứng nhau qua mặt phang
(ABF), hai hình chóp F.ABCD va
F.AHGD dối xứng nhau qua mặt
phẳng (ADF). Do đó ba hình chóp
F.ABCD, F. ABEH, F. AHGD bằng
nhau.
Như vậy hình lập phương HEFG.ABCD được chia thành ha hì n ít chóp
mà mỗi hình chóp bằng hình chóp F.ABCD. Từ đó suy ra có thc ghép
ba hinh chóp bang hình chóp F.ABCD đè được một hình lập phưcmg.

r
18


Ví d ụ 2.10. Cho lú diện ABCD cỏ trụng tám G và m ột điếm o.
a) Gọi A',B',C',D' lần licợt là trọng tàm các tam giác BCD.CDA, DAIÌ, ABC.
Clnmg minh có phép vị tự biến tứ diện A'B'C'D' thành tứ diện ABCD.
h) (ỉp / A ị, B |. C |, Dj lần lượt lù trụng lâm các tú diện OIỈCD, OCDA,
Ol)AB,OABC. Chứng minh AịBịCịDị là ánh của tứ diện ABCD qua
m ột phép vị lự Tun vị tri của điếm o đế 0 là tâm cùa phép vị lự nói trên.
Lòi giài.
a) Vì G là trọng tâm cùa tứ diện ABCD nên các dường
thẳng A A , IỈB\CC',D D ' đồng quy tại G và
C.A
GA'

GB
GB'

GC
GC'

A

GD
GD'

suy ra: GÃ = -3G Ã ',G B = -3G1V,
G C = -3G C', GD = -3GD',

hay phép vị tự tâm G tỷ sổ
- 3 biển tứ diện A'B'C'D'
thành tứ diện ABCD.
b) Vì A| là trọng tàm tứ diện OBCD nên với mọi
điềm M ta có Ầ ,ố + A^li + AịC + A,I) = ỏ và
M Õ 4 M B + \ Ĩ C + MI) = 4 M Ã ,.

Do dỏ MO + MÃ + MB +• MC + MD = MẤ
dược MO + MA + MIÌ + MC + MD =

+ 4M A ,.T ương tự ta cũng có

MU + 4MB,.

T ừ dó suy ra: MÕ + MÃ + MB + MC + MI)
= MẤ + 4M A, = M C + 4MBÌ- = MB + 4MC^ = MD + 4MD^.
Vi vậy, nếu ta chọn dicm M sao cho MO + MA + MB + MC + MD = 0
thì M \ = - 4 ^ , M C = - 4 M B ^ ,M C - tMCÌ‘,M D = -4MD^.
Khi đó phcp vị tự tâm M, tỷ số k = - - biến tứ diện ABCD thành tử
diện A ịB ịCịD p Mặt khác, với G là trọng tâm cùa tử diện ABCD thi
MÃ + MB + MC + MD = 4MG => MÕ = -4M G .
nên đế phcp vị tự nói trên có tâm là diểm () thì o phải trùng với diêm G.
Ví d ụ 2.11. Cho tứ diện ABCD. Gụi A',B',C',D' lần lượt là trọng tâm các
tam giác IĩCD,CDA,DAB, ABC và R' là bán kính m ật cầu đ i qua
A',

I)', r là bán kính mật cầu nội tiếp tử diện ABCI). C hứng minh

răng R' > r.
19

Lòi giải.
- Nếu tứ diện ABCD đều thi có ngay R' = r.
- Nếu tử diện ABCD không đều thì mặt cầu (S') đi qua các diến
A',B',C',D' sẽ bị các mặt cùa tứ diện cắt thành một số chòm cầu nàin ngoà
tứ diện. Dựng các mặt phang song song với các mật cũa tứ diện và tiếp xúc vó
(S'). Các mặt dó cắt nhau tại các điểm A p B p C ị.D ị. Tứ diện A 1B IC |D 1 c<
các mặt phảng song sonti với các mặt cùa tứ diện ABCD và chúa tù diệi
ABCD, nên tồn tại một phcp vị tự tý số k > l biến ABCD thànl
Aj BịCị D ị. Khi đó mật cầu nội tiếp tứ diện ABCD biến thảnh mặt cầu (S')
suy ra R' = k r > r. Vậy bất đãng thức R' > r dược chứng minh.
Ví dụ 2.12. Cho hai hình tứ diện ABCD Vớ A'B'C'D' có các cạnh tươnị
ứng song song. C hứng minh rằng hai tứ diện đó đồng (lụng
Lời giải.
Theo bài ra ta có A B //A 'B ' nên tồn tại một số thực k * 0 sao cho
ÃB = kẤ'B'. Ta chứng minh, khi dó cũng có
à c = k à r r , Ãĩ) = k à V '. BC = kẼTỠ.CD = k ỡ ữ . D B = k D 'B :.
Thật vậy, do hai tam giác ABC và A'B'C' có các cạnh tương ứng song
song nên tồn tại các số thực p,q sao cho AC = pA 'C',BC = q B 'ơ .
Khi đó ẤB = kà ;B ' o à C - B C = k (à 7C ' - B ;C')
o pÁ'C' - qB'C' = k A 'Ờ - k B 'ờ o (p - k)AX:; = (q - k)B'C'

Mà hai véc tơ A'C';B'C' không cùng phương, nên đáng thức chi có th
xảy ra khi p - k = k - q = 0 =>p = q = k.
Các đẳng thức còn lại dược chứng minh tương tự.
+) N ếu k = 1 thi ta có ÃB = ẦtB \Ã C = Ã^C', BC =
20

nên AA' = BB',AẢ' = CC', BB' = CC',... do đó phép tịnh tiến theo véc ta
V = ẠA' biến tứ diện ABCD thành tử diện A'B'C'D'.
+) Nếu k * l thì hai đường thảng AA', BB' cắt nhau tại một điềm o nào
• 1
đó. khi ây phép vị tụ tâm o tỷ sô
sẽ biên tứ diện ABCD thành ni diên
k
A'B'C'D'.Tóm lại luôn tồn tại hoặc một phép tịnh tiến, hoặc một phép vị tự
biên tử diện này thành tứ diện kia. nên hai tứ diện đó đồng dạng.
III. BÀI T Ậ P
Bài 2.1. Chứng minh một hình chóp không có tâm đối xứng.
Iỉài 2.2. Chứng minh răng một hinh lãng trụ mà đáy có tâm đối xứng thì hình
đó có tàm dòi xứng.
Bài 2.3. Cho tứ diện ABCD có các đường cao cắt nhau tại H. Gọi 0 ,G lần
lượt là tàm mặt cầu ngoại tiếp và trọng tâm của tứ diện. Chứng minh
rang G là trung điềm của OH.
Hài 2.4. Chứng minh rang một hình hộp chừ nhật không có quá 3 trục đối
xứng. Xác định sổ trục đối xứng của hình lập phương.
Hài 2.5. Tìm các mặt phảng đổi xứng cùa
a) T ứ diện đều ABCD.
b) Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'.
Hài 2.6. Cho tứ diện dều ABCD. Gọi M là điểm bất kỳ trong tam giác
ACD, I là giao điểm cua BM với mặt phăng trung trực cạnh AB.
Chứng minh ràng — (IA + IM) ầ. AB.
2

Hài 2.7. Cho mặt phảng (P) và hai điểm A.B không thuộc mặt phẳng (P)
và không cách đều mặt phẩng ( P ) . Tim điểm M trên mặt phẩng (P) sao
cho MA + MB dạt yiá trị nhò nhất.
Bài 2.8. Cho hình hộp chừ nhật ABCD.A'B'C'D'. Tìm điểm M thuộc mặt

phảng (A'B'C'D') sao cho T = MA + MB + MC + MD nhò nhất.
Rài 2.9. Chứng minh rằng nếu một tứ diện có 4 đường cao dồnự quy, thì
ánh cùa nó qua một phép vị tự là một tứ diện có 4 dường cao đồng quy.
Hài 2.10. C ho tứ diện ABCD có R ,r lần lirợt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
và nội liếp tứ diện. Chứng minh rang R > 3r.
Bài 2.11. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M ,N ,P lần lượt là trung điềm
các cạnh H’C';C'A'; A'B'. Chửng minh rằng các đường thẳng AM.BN.CP
đổng quy.
Hài 2.12. Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm M trong không gian sao cho mặt
cầu di qua các dinh cùa tír diện đó có tâm cách đều các trọng tâm của các
tứ diện MBCD, MCI)A, MDAB,MABC.
21


CHỦ ĐỂ 3. NHỬNG VẤN ĐỂ CHUNG VỂ THÊ TÍCH.
THÊ TÍCH KHỐI LẢNG TRỤ
I. T Ó M T Á T LÝ T H U Y Ế T
o Thể tích của khối đa diện là một sổ dương thỏa màn các tính chất
■ I lai khối đa diện hàng nhau thì có thố tích bang nhau.
■ Nếu một khối da diện dược phân chia thành nhiều khối da diện nhỏ thì
thế tích cùa nó hang tồng thể tích cùa các khối đa diện nhỏ đó.
■ Khối lập phương có cạnh bàng 1 thì có thể tích bầng 1.
o Khối hộp chữ nhật có ba kích thước lã a, b,c thi thê tích của khối hộp dó
o

là V =abc.
Thể tích cùa khối chóp cỏ chiều cao là h, diện tích đáy là B dược tính
theo công thức V = - Bh.

o

o

■ Chiều cao của khối chóp lã khoảng cách từ đinh cùa khối chóp
mặt phănu chứa mặt đáy cùa khôi chóp.
Thề tích khối lăng trụ băng tích số cùa diện tích dáy B và chiều cao
khối lãng trụ h, tức là V = ĩih.
■ Chiều cao cùa khối lăng trụ là khoáng cách giữa hai mặt phàng
của lăng trụ.
Khi chia một khối đa diện (H) thành nhiều khối đa diện (H k) thi thê

dỏn
cua
dáy
tích

của (H) bằng tổng thể tích các khối đa diện (H k).
o
o

ữ

I lai khối đa diện bảng nhau thi có thể tích bung nhau,
Diện tích xung quanh, diện tích toàn phân
■ Diện tích xung quanh cùa khối chóp (khối làng tại) lá tông diện tích
các mặi bên cùa khối chóp (khối lãng trụ) đỏ.
■ Diện tích toàn phân cùa khôi chóp (khôi lăng trụ) là diện tích tât cá các
mặt cùa khỏi chóp (khối lăng trụ). Diện tích toàn phàn băng diện tích
xung quanh cộng với diện tích các mặt dãy.
Diện tích da giác dáy

■ Tam giác ABC có các công thức tính diện tích
s = —a h a = —ab sin c =
= p r = >/p(p - a )(p - b)(p - c).
2
2
4R
■ Diện tích hình vuông cạnh a là s = a \
■ Diện lích hình chừ nhật cạnh a ,b là s = ab.
■ Gọi a là góc uiìra hai dirờng chéo cùa hinh binh hành ABCD thì diện
tích cùa nỏ là s = AB.AD.sin A = —AC.BD .sina.
2

22


■ Diện tích hinh thang có độ dài hai dáy a ,b và chiều cao h dirợc tính
theo công thức s = - ( a + b).h.

2

• T ứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc thì
o

Xét tam giác ABC vuông tại A, dường cao AH thi
ABa + AC2 = BC2;

AHa = HB.HC

BA2 = BH.BC;

o

s=—
AC.BD.
2

CA2 = CH.CB

- J _ = _ L - + - L . ; s = —AB.AC = —BC.AH
AH
AB
AC
2
2
I lệ thức lượng trong tam giác ABC
■ Dinh lý hàm số sin

—- — = —
s in A
sin B

sin C

= 2R.

■ Định lý hàm số cosin a 2 = b “ + c2 - 2ỒCCOS A.

^2
C ông thức tinh dộ dài trung tuyến mị; =

2
2

*
4

II. C Á C V Í DỤ M IN II HỌA
Ví d ụ 3.1. C hửng minh rằng nếu phép vị tụ tâm o với tỳ số k biến hình
chóp S.ABC thành hình chóp S'.A'B'C' thì

= |k|3.
” s.ABr

Lòi giái.
Gọi dường cao cùa hình chóp S.ABC là SH, khi dó qua phép vị tự tỷ số
k, dường cao SH sẽ biển thành S'H' của hinh chóp S'.A'IÌ'C'. Ta có

s H ' =|k|.SH .
M ặt khác, cũng qua phép vị tự dỏ, tam giác ABC biến thánh tam giác
A'B'C' do đó diện tích của chúng sẽ tý lệ với bình phirơng tý sô vị tự.
hay SAKC = k SABC.

-S H .S .NB(.
3
V ậy ta có diều phải chimg minh.
S.ABC

ABC

Ví tlụ 3.2. C hứng minh rằng nếu m ột khối chóp cụt cỏ diện lích hai đáy là

B và B' và chiều cao là h thì thê lích khối chóp là
V = i ( B + B' + >/BB7)h.
3
23


Lòi giải.
Giả sừ khối chóp cụt có thể tích là V và đáy lớn là đa giác
A,A.,Aa...An, đáy bé là BlB2B3...Bn. Gọi
là giao điểm cùa dưùng

s

tháng chứa các cạnh bên của khối chóp cụt.
Ta có V - VSéAiAíA3 o

A vs

Bn.

Kè dirờng cao SH cùa khối chóp S.A1AaA 3...An,SH cát mặt đáy còn lại
B,B.,B3...IÌn tại K thì HK = h. Do hai mặt đáy cùa khối chóp cụt song
...
. SK SB.
B.B,
song với nhau, nôn —— = — - = ——
SH
SA,
A,A2
—

—
‘*1‘ *
Hai đa giác đáy dong dạng nên
B'

ÍB ,B , f

r S K ì2

SK y ĩv
S H -S K
n /ẽ -a /B 7
Suy ra —— = —7=- =>------------- = ------7=r—
SH
sh
Vb

từ dó la CÓSH =

hv/B
n/B-v^ĨĨ7

,S K =

Vi thế
V = —S H . B - —SK.B'
3
3
_h[

hTb

3(yfR-JW

ữ 'y/ĩỹ

\

/

n/B - n/ĨĨ7J

-ì H

ị Ị Ĩ U
b +b.+»
3
^ B -V ĩv
3
Vậy bài toán dược chứng minh.
Ví d ụ 3.3. Cho khối tứ diện ABCD có trung điếm h a i cạnh AB VÀ CI) lần
lượt là E,F. Hai m ặt p h ổ n g (ABF) vù (CDE) chia khối lứ diện ABCD

thành bốn khối tứ diện.
a) C hứng tô rang bốn khổi tứ diện đó có thè tích háng nhau
b) C hứng minh rang nếu ABCD là tứ diện đều rhì hon khôi tứ diện đó
băng nhau.
Lòi giãi.
a) Hai mặt phảng chia (ABF) và (CDE) chia khối tử diện ABCD thành
bốn khối tứ diện ADEF, ACEF, BDEF, BCEF.

- Vì E lả trung điểm cùa AB nên khoáng cách từ A,B đến mặt phảng
(CDE) băng nhau, vì thê VACDE = V|1C1)E = —VABCD.
24


-

Tương tự, do F là trung điểm của CD nên VABCF = VABDP = —VABCD.
2

v ậ y V ACDE = V BCDE = V ABCF = V ABDF =

\

A

có thẻ tích bàng nhau.
b) Nếu tứ diện ABCD là tứ diện
dều thì mặt phảng
(ABF) là
mật phảng đối xửng của tử
diện, nên qua phép đối xứng
m ặt phảng (ABF) thì tứ diện

V ABCD> h a y b ố n t ứ d i ệ n tạ o t h à n h

/ V \.
/
E Ị
A

\
\

N.
\

ABCF biến thành tứ diện
/ \
\
ABDF, vì thế hai tứ diện đó
/ \
\
bầng nhau.
V
V
Tương tự, hai tứ diện ADCE
\.
và BDCE bằng nhau.
Mặt khác, EF là trục đối xứng cúa
tứ diện, nên qua phép đối xứng đó,
tứ diện A D E F biến thành BCEF
nên hai tứ diện này cũng bàng nhau.
Tóm lại, khi ABCD là tứ diện đều thì bốn khối tứ diện đó hằng nhau.
Ví dụ 3.4 Chu khối đa diện ABCA'B'C' có các cạnh AA',BB')CC' đôi m ột
song song và ăộ dài lần lượt là a,b,c. Diện lích m ặt cát vuông góc với
cạnh AA' là s. C hứng minh rằng thế tích của khối đa diện đó là
V = —(a + b + c)S.
3

Lời giãi.
Không mất tính tống quát, giá sử a = min(a,b,c).
Xét mặt phảng (P)//(ABC) và đi qua điểm A \ mặt phẳng (P) cắt các
cạnh BB',CC' tại M,N. N hư vậy, khối đa diện ABCA'B'C' (cỏ thể tích
V ) được chia thành hai khối đa diện là khối lăng trụ ABCATV1N (có thế
tích V ,) và khối chóp A'.B’C'NM (có thể tích V2). Ta có V = Vj + V2.

25