CD7 BÀI TẬP VỀ TAM GIÁC

Phát triển tư duy Hình học 7

Chuyên đề 7. TAM GIÁC
A. Kiến thức cần nhớ
1. Tổng ba góc của một tam giác (Hình a)
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180�
� C
�  180�
ABC � �
A B
Hình a

2. Áp dụng vào tam giác vuông (Hình b)
a) Định nghĩa: Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
b) Tính chất: Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
ABC
�
�
� C
�  90�
�B
��
A

90
�
�
.

Hình b

Hình c
3. Góc ngoài của tam giác (Hình c)
a) Định nghĩa: Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam
giác.
b) Tính chất:
*Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với
nó.
�
�
ACD  �
AB

*Góc ngoài của tam giác lớn hơn mỗi goc trong không kề với nó.
�
�
ACD  �
A, �
ACD  B
B. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm x, trong hình vẽ bên:

Giải
 Tìm cách giải. Để tìm số đo x, chúng ta vận dụng:
0
- Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 .

- Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

 Trình bày lời giải.
0

� � �
+ Hình 1. ABC có A  B  C  180 (tính chất)
410  2 x 0  280  x 0  1800 � x 0  37 0
�
� �
+ Hình 2. MNP có MPx  M  N (tính chất góc ngoài của tam giác )

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

3x 0  4 x 0  1260 � x 0  180
0
� � �
+ Hình 3. DEF có D  E  F  180 (tính chất)
x 0  700  x 0  420  1800 � x 0  760
0 �
0
�
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A  80 ; B  60 . Hai tia phân giác của góc B và C
cắt nhau tại I. Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D. Chứng minh
� C
�
BDC

Giải
 Tìm cách giải:

Đề bài cho số đo góc A và góc B nên hiển nhiên tính được só đo góc C. Dựa
theo kết luận của bài toán thì chúng ta chỉ cần tính số đo góc BDC. Khi tính
toán số đo góc, chúng ta lưu ý giả thiết có yếu tố tia phân giác.

 Trình bày lời giải.
�C
�  1800
ABC có �
A B
(tính chất)
0
0
0 �
0
�
80  60  C  180 ; C  40 .
�  1200
ABC có �
ABx  �
AC
.
�B
� 1�
�B
ABx  600
1
2
2
�C
�  1C

�  200
C
1
2
2
Ta có:

BCD có
� C
�  CBD
�  1800
BDC
1
�  200  600  600  1800 � BDC
�  400.
BDC
�
�
Do đó BDC  C.

�
�
Ví dụ 3. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E. Các tia phân giác ACE ; DBE
�
�
�  BAC  BDC
BKC
2
cắt nhau ở K. Chứng minh:
.

Giải
 Tìm cách giải.

Chúng ta nhận thấy góc BKC là góc của tam giác BKG; CKH nên cần phải
��
ghép vào hai tam giác ấy. Khai thác yêu cầu của bài toán (liên quan đến A; C )
đồng thời để vận dụng yếu tố tia phân giác của giả thiết, chúng ta cần xét các
cặp tam giác KGB, AGC và cặp tam giác KHC , DHB.

 Trình bày lời giải
Gọi G là giao điểm của CK và AE và H là giao
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 2


Phát triển tư duy Hình học 7

điểm của BK và DE.
Xét KGB và AGC có:
� �
KGB
AGC (đối đỉnh)
�B
��
� (1)
�K
AC
1
1

Xét KHC và DHB có:
�  BHD
�
KHC
(đối đỉnh)
�C
� D
�B
�
�K
2
2

(2)

� �
�B
� ;C
�C
� � 2K
��
��K
�  A D.
B
A D
1
2
1
2
2

Từ (1) và (2) kết hợp với

Ví dụ 4. Cho hình vẽ bên , biết rằng BD và CE là các
tia phân giác của góc B và góc C.
0
�
�
a) Nếu A  80 tính BIC
0 �
0
�
�
b)Nếu BDC  84 ; BEC  96 . Tính A .

Giải

0
0
� �
� � �
a) ABC có A  B  C  180 nên B  C  100 .
� C
� 1B
� 1C
�
B
2
2
2
2

� C
�  500.BIC co B
� C
�  BIC
�  1800
0
�
B
2
2
2
2
nên BIC  130
0
0
�
� �
� �
0
�
b) BDC có BDC  B2  C  180 mà BDC  84 nên B2  C  96 .
0
� B
�C
�  1800
� �
0
�
BEC có BEC

2
mà BEC  96 nên B  C2  84 .
0
0
� � � �
Suy ra B2  B  C  C2  96  84
3 � �
( B  C )  1800 � �
B  C  1200 nên �
A  600
Do đó 2

Nhận xét
�
�  900  A
BIC
0
�
2 (*)
- Nếu A �80 thì ta luôn chứng tỏ được
� �
� �
�
- Để tính A chúng ta cần tìm góc B  C hoặc B 2  C 2 mà không cần tính
�
từng góc B và góc C. Ngoài ra dựa vào công thức (*) ta có thể tính BIC
bằng cách xét BIE và CID để tìm được:
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3

Phát triển tư duy Hình học 7

�  EIB
�  DIC
� C
�  840  960
B
1
1
� � � � �
�
�
Và lưu ý : B1  C1  B2  C2  EIB  DIC ta tính được EIB
0
�
Ví dụ 4. Cho ABC có A  90 . Kẻ AH vuông góc với BC (H � BC). Các tia phân
giác góc C và BAH cắt nhau tại K. Chứng minh rằng AK  CK .

Giải
�  HCA
�
�
ABH ; ABC vuông nên BAH
(cùng phụ với ABC ).
1�
�
�  1 HAC
�

A1  BAH
;C
� �
1
2
2
Mặt khác
do đó A1  C1
0
� �
Ta có A1  KAC  90

�  KAC
�  900
�C
1
Suy ra tam giác KAC vuông tại K
Vậy AK  CK
Nhận xét: Qua bài ta nhận thấy có thêm một dấu hiệu nhận biết tam giác
0
vuông là chứng minh tam giác có tổng hai góc bằng 90 .

C. Bài tập vận dụng
7.1. Tìm x, trong các hình vẽ sau:

0
�
0 �
�
7.2. Cho hình vẽ bên. Biết rằng A  45 . B1  130 . Tính C1 ?

7.3. Các góc ngoài đỉnh A, B, C tỉ lệ với 2; 3; 4.
Tính tỉ lệ ba góc trong của tam giác đó.
�
�
�
�
7.4. Cho tam giác ABC có A  2 B và B  3C .
a) Tính góc A; B; C?
b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại
đỉnh C. Tính góc AEC?
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4


Phát triển tư duy Hình học 7

� �
7.5. Tam giác ABC có B  C . Tia phân giác góc BAC cắt BC tại D.
�
�
� �
a) Chứng minh ADC  ADB  B  C.
b) Đường thẳng chứa tia phân giác góc ngoài ở đỉnh A của tam giác ABC cắt
� C
�
B
�
AEB 

.
2
đường thẳng BC tại E. Chứng minh rằng
0
� �
7.6. Cho tam giác ABC có B  C  18 . Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính số
đo góc ADC? góc ADB?
0
�
7.7. Cho tam giác ABC. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Biết ADB  85 .

� �
a) Tính B  C .
�
�
b) Tính các góc của tam giác ABC nếu 4 B  5C .
7.8. Cho tam giác ABC, O là điểm nằm trong tam giác.
�
� �
�
a) Chứng minh rằng BOC  A  ABO  ACO.
�
A
�
ABO  �
ACO  900 
2 và tia BO là tia phân giác của góc B. Chứng minh
b) Biết
rằng CO là tia phân giác của góc C.
0

�
�
7.9. Cho tam giác ABC có A  180  3C

�
�
a) Chứng minh rằng B  2.C
b) Từ một điểm D trên cạnh AC vẽ DE//BC (E �AB ). Hãy xác định vị trí của D
�
sao cho tia DE là tia phân giác của góc ADB .
7.10. Chứng minh với mỗi tam giác bao giờ cũng tồn tại một góc ngoài không
0
lớn hơn 120

�
7.11. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của C cắt AB tại D.
a) Chứng minh rằng góc BDC là góc tù.
0
�
b) Giả sử BDC  105 . Tính số đo góc B

7.12. Cho hình vẽ bên.
� � � � � �
Tính tổng A  B  C  D  E  F ?

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 5

Phát triển tư duy Hình học 7

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 6