Học sinh giỏi toán thành phố hcm 2018219

Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019

GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 12
TPHCM KHÓA THI 05/03/ 2019
MÔN TOÁN
TIME: 120 PHÚT

ĐỀ BÀI
Câu 1.
Câu 2.

Câu 3.

Giải phương trình:

log5  x  2   log 3 x  log 2018  x  2015  log 2019  x  2016 

.

3
log 2019 b
�1 ;
Cho hàm số f ( x )  x  3x và hai số thực a , b thỏa mãn các điều kiện: a  2018
f (log 2018 a )  2  f (log 2019 b) . Tính log 2019 (a  b) .

Cho hàm số
m � 1;1

y   x 2  1

2

có đồ thị

 C .

Xét M di chuyển trên

 C

và có hoành độ

 C  tại hai điểm A , B phân biệt và khác M . Tìm
ở M cắt
giá trị lớn nhất của tung độ trung điểm I của đoạn thẳng AB .
Câu 4.

. Tiếp tuyến của

 C

B C có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A với BC  2a
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A���

 ABC  trùng với trung điểm BC . Biết rằng diện tích của
và hình chiếu của A�lên mặt phẳng
B�bằng 6a 2 .
tứ giác BCC �
a) Tính theo a thể tích của hình lăng trụ đã cho.

b) Tính theo a thể tích của hình trụ nhỏ nhất có hai đáy lần lượt nằm trên hai mặt phẳng
BC 
 ABC  ,  A���
và chứa toàn bộ lăng trụ đã cho bên trong.

Câu 5.

Cho các số thực

a, b, c � 1; �

10
thỏa mãn a �b và log a b  2 logb c  5log c a  12 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 log a c  5log c b  10log b a .
HẾT.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 1


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

log5  x  2   log 3 x  log 2018  x  2015  log 2019  x  2016 

Giải phương trình:

.

(1)

Lời giải
Tác giả: Tú Tam Tạng Fb:Tú Tam Tạng
Điều kiện: x  0 .
Với điều kiện trên phương trình (1) trở thành:
log5  x  2   log 3 x  log 2018  x  2015  log 2019  x  2016   0
Đặt

.

f  x   log5  x  2   log 3 x  log 2018  x  2015  log 2019  x  2016 

f�
 x 

với x  0 .

1
1
1
1




 x  2  ln 5 x ln 3  x  2015 ln 2018  x  2016 ln 2019

� 1
��1
�
1
1
�


� �
�
� x  2  ln 5  x  2015 ln 2018 � �x ln 3  x  2016  ln 2019 �.
�(ln 2018  ln 5). x  2015.ln 2018  2 ln 5 � � ln 2019  ln 3 . x  2016.ln 2019 �
�
� �
�
�  x  2   x  2015 ln 5.ln 2018
� � x  x  2016  ln 3.ln 2019
�
� f�
 x   0 x � 0; �

Ta có:

Câu 2.

f  3  0 � x  3

. Suy ra

f  x

đồng biến trên

 0; � .

là nghiệm duy nhất.

S   3
Vậy tập nghiệm của phương trình là
.
3
log 2019 b
�1 ;
Cho hàm số f ( x )  x  3x và hai số thực a , b thỏa mãn các điều kiện: a  2018
f (log 2018 a )  2  f (log 2019 b) . Tính log 2019 (a  b) .

Lời giải
Tác giả: Tạ Thị Huyền Trang ; Fb:Tạ Thị Huyền Trang

Đặt

log2018 a  a1
�
�
log2019 b  b1
�

.

log 2019 b
�1 � 2018log2018 a  2018log2019 b �20180
Ta có a  2018

� log 2018 a  log2019 b �0 � a1  b1 �0 .
3
( x )  3x 2  3 .
Xét hàm: f ( x )  x  3 x � f �

f�
( x )  0 � x  �1 .
BBT:

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 2


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019

Đặt a1  b1  m,( m  0) . Ta có f (log 2018 a )  2  f (log 2019 b) � f (a1 )  2  f (b1 )

� a13  3a1  2  b13  3b1 � (b1  m ) 3  3(b1  m)  2  b13  3b1  0
� 3b12m  3b1m 2  m13  3m  2  0

Ta có

.

�
3b12m  3b1m 2 �0, b1 �0; m  0 �
b 0
b 0 �
�
� �1
� �1
�3
m  1 �a1  b1  1  1
�
�m1  3m  2 �0, m
log 2019 b  0
b 1
�
�
��
��
log 2018 a  1
a  2018
�
�
.

Vậy log 2019 ( a  b)  log 2019 2019  1 .
HƯỚNG GIẢI 2
Đặt u  log 2018  a , v  log 2019 b
Ta có :
Lại có :

a  2018log2019 b � log 2018 a  log 2019 b �0 � u  v �0

.

f  log 2018 a   2  f  log 2019 b 

� f  u  2  f  v � f  v  f  u

với mọi u  v �0 .

�u  1
f  v  f  u  2 � �
�v  0
Do đó : u, v � 0;1 . Khi đó từ
log 2019  a  b   1
Suy ra a  2018 và b  1 . Vậy

Câu 3.

Cho hàm số
m � 1;1

y   x 2  1

2

 C .

có đồ thị

Xét M di chuyển trên

 C

và có hoành độ

 C  tại hai điểm A , B phân biệt và khác M . Tìm
ở M cắt
giá trị lớn nhất của tung độ trung điểm I của đoạn thẳng AB .
. Tiếp tuyến của

 C

Lời giải
Tác giả: Lương Thị Hương Liễu ; Fb: Hương Liễu Lương.
 4 x3  4 x .
Ta có: y �

 m ;  m  1  :
Phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm
2

   : y   4m 3  4m   x  m    m 2  1
Phương trình hoành độ giao điểm của

2

2

� y   4m3  4m  x  3m 4  2m 2  1

 C

và

.

  :

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 3


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

x

2

Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019

 1   4m 3  4m  x  3m 4  2m 2  1 � x 4  2 x 2   4m 3  4m  x  3m 4  2m 2  0
2

xm
�
��
�  x  m   x  2mx  3m  2   0

g  x   x 2  2mx  3m 2  2  0  *
�
.
2

2

2

m � 1;1
�
�
�
 2m 2  2  0 � �
1
��
�
m ��
2
g
m

6
m

2
�
0
� 
�

3 .
�
Điều kiện: (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác m

 C  và    cắt nhau tại hai điểm A  x1 ; y1  và B  x2 ; y2  với x1 , x2 là hai nghiệm của
Giả sử
phương trình (*).
Gọi I là trung điểm của đoạn AB . Ta có

xI 

x1  x2
 m
2
.

y I   4m 3  4m    m  m    m 2  1  7m 4  6m 2  1  f  m 
2

Suy ra,

.

m0
�
f�
 m   28m  12m  0 � �
21
�
m�

�
7 .
Xét
3

Bảng biến thiên:

Từ BBT, ta có

max f  m  
 1;1

16
21
m�
7 khi
7 .

16
7 là giá trị cần tìm.
Vậy
B C có đáy ABC là tam giác vuông cân ở A với BC  2a
Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A���
yI 

Câu 4.

 ABC  trùng với trung điểm BC . Biết rằng diện tích của
và hình chiếu của A�lên mặt phẳng
B�bằng 6a 2 .

tứ giác BCC �
a) Tính theo a thể tích của hình lăng trụ đã cho.
b)Tính theo a thể tích của hình trụ nhỏ nhất có hai đáy lần lượt nằm trên hai mặt phẳng
BC 
 ABC  ,  A���
và chứa toàn bộ lăng trụ đã cho bên trong.

Lời giải
Tác giả: Phạm Hoàng Hải; Fb: Phamhoang Hai
a)

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 4


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019

BC
�
a
�AO  BO  CO 
2
��
�AB  AC  a 2
�
Ta có ABC vuông tại A , BC  2a
.

B�là hình chữ nhật.
Dễ chứng minh BCC �
Mà

S BCC �B� 6a 2 � BB�
 3a � AA�
 3a

.
 3a � A�
O  2a 2 .
Xét AOA�vuông tại O có AO  a , AA�
1
1
�
VABC . A���
AB. AC . A�
O  .a 2.a 2.2a 2  2a 3 2
B C  S ABC . A O 
2
2
Vậy
(đvtt).
B C lên  ABC  ta được tam giác OB1C1 tương ứng.
b) Dựng hình chiếu vuông góc A���

B C có đáy là hình tròn chứa ABB1C1CA  H  .
Hình trụ chứa ABCA���
 C  là hình tròn cần tìm;  C  chứa  H  �  C  chứa mọi tam giác trong  H  .
Gọi

� Nếu  C  ngoại tiếp ít nhất một tam giác trong  H  và chứa  H  thì  C  có diện tích nhỏ
nhất.
Xét đường tròn ngoại tiếp AB1C1 có tâm G .

S
 2a 2
Có AB1  AC1  a 5 , AB1C1
.

� RG 

AB1. B1C1. AC1 a 5.a 5.2a 5

 a
4 S AB1C1
4.2a 2
4

.
2

9
a 73
� 1 �
GB  GC  BO  OG  a  �
a  RG �  a 2  a 2 
 RG
64
8
� 2 �

.
2

2

2

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 5


Sản phẩm của Group FB: TỔ 6 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC

Đề HỌC SINH GIỎI TPHCM - Năm 2019

� 5 �
G; a �
�
Vậy B , C thuộc đường tròn � 4 �.
� 5 �
G; a �
�
� Đường tròn � 4 �ngoại tiếp AB1C1 và chứa  H  là đường tròn cần tìm.
2

25 2 3
�5 �
� V  � a �. .2a 2 
a

8
�4 �
(đvtt).
Câu 5.

Cho các số thực

a, b, c � 1; �

10
thỏa mãn a �b và log a b  2 logb c  5log c a  12 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 log a c  5log c b  10log b a .
Lời giải
Tác giả: Phan Tran Bao Bao ; Fb: Phan Tran Bao Bao
�x, y, z  0
�x. y. z  1
�
�
�x �10
�
Đặt x  loga b; y  logbc; z  log c a . Ta có �x  2 y  5 z  12
Khi đó :

P

2 5 10 2 5 100 90
2 5 100
    


�3 3 . .
 9  30  9  21
z y x z y
x
x
z y x

Suy ra Pmin

�
�
log a b  10
�x. y. z  1
�x  10 �
�
�
�
1
�2 5 100
� 1
�
� �y  � �
logb c  � b  c 2  a10
� 
x
2
�z y
� 2
�
1

�
�
�x  2 y  5z  12 �z  1
log c a 
�
�
 21 đạt được khi
� 5
�
5
.

Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!

Trang 6