Trung học phổ thông Triệu Sơn III, đề thi học sinh giỏi toán lớp 12 thầy giáo Vũ Đoàn Kết

Sở gd & ĐT thanh hoá
Trờng thpt triệu sơn 3
*****************
Kì thi học sinh giỏ lớp 12
Môn Toán-Bảng A
(Thời gian 180 phút,không kể giao đề )
Ngời ra đề: Vũ Đoàn Kết
Bài 1 . Cho hàm số : f(x) = x(x-1)(x-2)(x-2006). Tính f
'
(0).
Bài 2. Tính I =

+

1
0
4
2
1
)1(
x
dxx
Bài 3 . Tìm m để phơng trình :
032.4
2
=+
mm
xx

có nghiệm duy nhất.
Bài 4. Giải phơng trình :

1221
3
=+
xx
.
Bài 5. Tìm tổng các nghiệm thuộc [2;40] của phơng trình:

x
x
xx
2
3
22
sin
1sin
cotcos2
+
=+
g
Bài 6. Cho

ABC, Chứng minh rằng (p-a)(p-b)(p-c)


8
abc
với
2
cba
p

++
=
.
Bài 7. Tính L=

n
lim
[(1+x)(1+x
2
)(1+x
4
)(1+x
2
n
)], với
x
<1.
Bài 8. Giải bất phơng trình:
0
12
122
1


+

x
x
x
Bài 9. Trong không gian cho hai điểm A,B cố định có AB=10.

Tìm quỹ tích điểm M sao cho AM=3BM.
Bài10. Chứng minh rằng: Nếu n,k

N thì:

n
kn
c
+
2
.
n
kn
c

2

(
n
n
c
2
)
2
.

hết
Nguồn t liệu:
Bài 1,bài 9: Sáng tác
Bài2,bài 8 : Bộ đề thi đại học(BGD-1996)

Bài 3,bài 6:Các bài giảng luyện thi môn toán(Đào Tam chủ biên)
Bài 4,bài 7: Phơng pháp mới giải đề thi đại học(Trần Phơng)
Sở gd & ĐT thanh hoá
Trờng thpt triệu sơn 3
*****************
đáp án thang điểm đề thi học sinh giỏi lớp 12
Môn Toán-Bảng A
Ngời làm đáp án: Vũ Đoàn Kết

Đáp án thang điểm này gồm có : 4 trang.
Bài Nội dung điểm
Bài 1 2.0
Cho x
0
=0 một số gia

x=x-x
0
=x.
Ta có

y=f(x
0
+

x)-f(x
0
)
= f(

x)-f(0)=
)2006) (2)(1(

xxxx
0.5
Suy ra
)2006) (2)(1(
=


xxx
x
y



f
)0(
'
=
x
y
x



0
lim
=
0

lim

x
)2006) (2)(1(

xxx
=(-1)(-2)(-2006)=2006 !
1.0

vậy f
)0(
'
=2006! 0.5
Bài 2 2.0
Phân tích x
4
+1 =(x
2
+
2
x+1)( x
2
-
2
x+1)
0.5
Phân tích
1212
1
1

22
4
2
+
+
+
++
+
=
+

xx
DCx
xx
BAx
x
x
Đồng nhất hai vế ta đợc

=
=

=

=
2
1
2
1
2
1
2
1
D
C
B
A
1.0
Vậy I=

++
+
=
+
1
0
1
0
2

4
12
)22(
22
1
1
xx
dxx
x
dx
+

+

1
0
2
12
)22(
22
1
xx
dxx
=
0
1
)12ln(
22
1
0

1
)12ln(
22
1
22
++++

xxxx
=
)
22
22
ln(
22
1
+

0.5
Bài 3 2.0
Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình thì -x
0
cũng là nghiệm . Do tính
duy nhất nghiệm nên x
0
=-x
0

x
0
=0 0.5
Thay x
0
=0 vào phơng trình ta đợc m= -1, m=2 0.5
Với m=-1, ta có pt:
10120)22)(12(0224
===+=+
x
xxxxx
0.5
Với m=2, ta có pt:
10120)12(012.24
2
====+
x
xxxx
Vậy m=-1,m=2 là giá trị cần tìm.
0.5
Bài 4 2.0
Đặt t=
1212
3
3
=
xtx
0.5
Pt

=
=+






=+++
=+

=
=+

tx
tx
txtx
tx
xttx
tx 21
0]2
4
3

)
2
1
)[((
21
)(2
21
3
22
3
33
3
1.0


x
3
-2x+1=0

x=1, x=
2
51+
, x=
2
51
.
Vậy phơng trình có 3 nghiệm là: x=1, x=
2
51+
, x=

2
51
.
0.5
Bài 5 2.0
ĐK:sinx

0,PT

2cos
2
x+cotg
2
x=sin x +1+ cotg
2
x


2sin
2
x+sinx-1=0

+=
+=
+
=

=
=





kx
kx
k
x
x
x
2
6
5

2
6
2
43
2
1
sin
1sin
3
2
1
0.5
a.Cho 2
5,4,3,2,1,040
2
43
=
+

k
k

Vậy tổng các nghiệm của họ x
1
là :


39)34(
2
5

0
=+

=
k
k
0.5
b.Tơng tự tổng các nghiệm của họ x
2
là :


43)2
6
(
6
1
=+

=
k
k
0.5
c.tổng các nghiệm của họ x
3
là :


35)2
6

5
(
5
0
=+

=
k
k
Vậy tổng các nghiệm là 39

+43

+35

=117

0.5
Bài 6 2.0
Theo BĐT CôSi ta có: (p-a)(p-b)
44
)2(
22
cbap
=


0.5
Tơng tự: (p-b)(p-c)
44

)2(
22
acbp
=


(p-a)(p-c)
44
)2(
22
bcap
=


Nhân vế với vế của 3 BĐT trên ta đợc :
[(p-a)(p-b)(p-c)]
2
4
1
.)
4
(
2
abc

1.0

8
))()((
abc

cpbpap

(Đpcm)
0.5
Bài 7 2.0
Nhân và chia biểu thức lấy giới hạn với (1-x) ta đợc : 0.5
L=
)1(
1
)].1) (1)(1)(1)(1[(lim
242
x
xxxxx
n
n

++++

=
)1(
1
)].1) (1)(1)(1[(lim
2422
x
xxxx
n
n

+++

==
=
x
x
n
n



1
])(1[
lim
22
1.0
Vì
1<x
nên
22
)(lim
n
x
n

=0. Vậy L=
x

1
1
0.5
Bài 8 2.0

Vì f(x)=2
1-x
-2x+1=-2x+1+
x
2
2
là hàm nghịch biến và f(1)=0 nên
f(x)>f(1)=0

x<1

1-x>0. Vậy f(x) cùng dấu với (1-x).
1.0
Vì g(x)=2
x
-1 là hàm đồng biến và g(0) =0 nên g(x)>0

x>0.
Vậy g(x) cùng dấu với x. 0.5
Suy ra BPT
100
1
0
)(
)(
<


x
x

x
xg
xf
.
Vậy tập nghiệm của BPT là: (0;1]
0.5
Bài 9 2.0
Chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho A=(-5;0;0), B=(5;0;0). 0.5
Gọi M(x;y;z) là điểm thoã mãn AM=3BM

AM
2
=9BM
2

(x+5)
2
+y
2
+z
2
=9(x-5)
2
+9 y
2
+9z
2

x
2

+y
2
+z
2
-
2
25
x +25 =0 (*) Đây là phơng trình mặt cầu.
1.0
Vậy quỹ tích điểm M cần tìm là mặt cầu có phơng trình (*). 0.5
Bài 10 2.0
Cố định n, với 0
nk

, xét dãy số {u
k
}
Ta có
)!(!
)!2(
.
)!(!
)!2(
.
22
knn
kn
knn
kn
u

cc
n
kn
n
n
k


+
+
==


)!1(!
)!12(
.
)!1(!
)!12(
.
1212
1


++
++
=
++
+
knn
kn

knn
kn
u
cc
n
kn
n
kn
k
0.5

1
)2)(1(
))(12(
1

++
++
=
+
knkn
knkn
u
u
k
k

(2n+k+1)(n-k)

(n+k+1)(2n-k)

2nk+n

0 đúng vì 0
nk

.
Vậy {u
k
} là dãy số giảm.
1.0
Suy ra với k

0 ta có u
k
=
n
kn
n
kn
cc
+
22
.

2
2
)(
n
n

c

=u
0
(đpcm)
0.5
Hết