Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của các bài toán qui hoạch toàn phương lồi với ràng buộc toàn phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Nguyệt

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA CÁC BÀI TOÁN QUI
HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LỒI
VỚI RÀNG BUỘC TOÀN PHƯƠNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Nguyệt

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM
CỦA CÁC BÀI TOÁN QUI
HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LỒI
VỚI RÀNG BUỘC TOÀN PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. Nguyễn Văn Tuyên

Hà Nội – Năm 2019


Lời cảm ơn
Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trong
quá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đề
tài khóa luận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn
Văn Tuyên, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ,
hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện
khóa luận này.
Trong quá trình nghiên cứu, do trình độ có hạn nên không tránh
khỏi những thiếu sót và hạn chế. Em kính mong nhận được sự đóng
góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc để khóa
luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng ... năm 2019

Nguyễn Thị Nguyệt


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn
Văn Tuyên khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất
kì đề tài nào khác.

Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoa
học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng ... năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Thị Nguyệt


Mục lục

Mở đầu

2

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Các định lý tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.2

Hàm lồi trơn

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4.3

Hàm lồi không trơn . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2 Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm

17

2.1

Một định lý kiểu Eaves . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Sự ổn định dưới nhiễu của hàm mục tiêu . . . . . . . .

25

Kết luận

29

Tài liệu tham khảo

30

1

Mở đầu
Quy hoạch toàn phương là một lớp bài toán quy hoạch phi tuyến dạng
đơn giản nhất. Đó là bài toán tìm cực tiểu của một hàm toàn phương
trên một tập ràng buộc được cho bởi các bất đẳng thức toàn phương.
Nếu hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc là lồi, thì ta gọi bài toán này
là bài toán quy hoạch toàn phương lồi.
Các bài toán quy hoạch toàn phương được quan tâm và nghiên
cứu vì nhiều vấn đề nảy sinh trong kinh tế, tài chính, công nghệ, kỹ
thuật, . . ., có thể mô hình hóa dưới dạng của bài toán này.
Mục đích của khóa luận này là nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn
định nghiệm của các bài toán quy hoạch toàn phương lồi với các ràng
buộc toàn phương.
Các kết quả chính trong khóa luận được trình bày trên cơ sở bài
báo của Kim, Tâm và Yên [5].
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm hai chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của Giải tích lồi
như: tập lồi, phép chiếu, hàm lồi và các định lý tách.
Chương 2 trình bày về sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của
các bài toán quy hoạch toàn phương lồi với ràng buộc toàn phương
lồi. Mục 2.1 trình bày về một định lý kiểu Eaves. Mục 2.2 trình bày
về sự ổn định nghiệm dưới nhiễu của hàm mục tiêu.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

1.1

Tập lồi

Khái niệm của một tập lồi là trung tâm của lý thuyết tối ưu hóa. Một
tập lồi là sao cho đối với hai điểm bất kì của nó, toàn bộ đoạn chứa
hai điểm này thuộc tập hợp.
Định nghĩa 1.1. Một tập X ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu với mọi
x1 ∈ X và x2 ∈ X thì nó chứa mọi điểm
αx1 + (1 − α)x2 ,

0 < α < 1.

Tính lồi được bảo toàn bằng phép toán giao của các tập hợp.
Bổ đề 1.1. Cho I là tập chỉ số tùy ý. Nếu các tập Xi ⊂ Rn , i ∈ I là
tập lồi thì tập X =

i∈I

Xi cũng là tập lồi.

Chứng minh. Nếu hai điểm x1 và x2 là phần tử của x thuộc họ Xi . Vì
Xi là tập lồi, đoạn nối những điểm này thuộc Xi , ∀i ∈ I. Do đó, giao
của nó cũng là tập lồi .
Ta nhân tập X với một vô hướng c để được
3


cX := {y ∈ Rn : y = cx, x ∈ X}.
Tổng Minkowski của hai tập hợp được định nghĩa như sau:
X + Y := {z ∈ Rn : z = x + y, x ∈ X, y ∈ Y }.
Các phép toán này bảo toàn tính lồi.
Bổ đề 1.2. Cho X và Y là các tập lồi trên Rn , c và d là các số thực.

Khi đó, tập Z = cX + dY là tập lồi.
Chứng minh. Nếu z 1 ∈ Z thì z 1 = cx1 +dy 1 với x1 ∈ X, y 1 ∈ Y .Tương
tự, z 2 ∈ Z có dạng z 2 = cx2 + dy 2 với x2 ∈ X , y 2 ∈ Y . Khi đó, với
mọi α ∈ [0, 1],
αz 1 + (1 − α)z 2 = c(αx1 + (1 − α)x2 ) + d(αy 1 + (1 − α)y 2 ) ∈ Z,
chứng minh hoàn thành.
Một điểm αx1 + (1 − α)x2 , ở đó α ∈ [0, 1] xuất hiện ở Định
nghĩa 1.1, thuộc đoạn nối x1 và x2 . Chúng ta có thể “nối” nhiều điểm
hơn bằng cách xây dựng bao lồi của chúng.
Định nghĩa 1.2. Một điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm
x1 , x2 , ..., xm nếu có α1 ≥ 0, α2 ≥ 0, ..., αm ≥ 0 sao cho
x = α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm ,
và
α1 + α2 + ... + αm = 1.
Định nghĩa 1.3. Bao lồi của tập X ( kí hiệu là conv X) là giao của
tất cả các tập lồi chứa X.
Quan hệ giữa hai khái niệm này là nội dung của bổ đề tiếp theo.
Bổ đề 1.3. Tập conv X là tập tất cả các bao lồi của các điểm trong
X.

4


Chứng minh. Ta xét Y là tập tất cả các bao lồi của các phần tử trong
X. Nếu y 1 ∈ Y và y 2 ∈ Y , thì
y 1 = α1 x1 + α2 x2 + ... + αm xm ,
y 2 = β1 z 1 + β2 z 2 + ... + βl z l ,
ở đó, x1 , x2 , ..., xm , z 1 , z 2 , ..., z l ∈ X, với mọi αi , βi là các số không
âm, và
m

l

αi = 1,

βi = 1.

i=1

i=1

Do đó, với mọi λ ∈ (0, 1), điểm
m
1

2

l
i

λy + (1 − λ)y =

(1 − λ)βi z i

λαi x +
i=1

i=1

là bao lồi của các điểm x1 , x2 , ..., xm , z 1 , z 2 , ..., z l . Vì vậy Y là tập lồi.

Hiển nhiên , Y ⊃ X . Do đó,
conv X ⊂ Y.
Mặt khác, nếu y ∈ Y , thì y là bao lồi của tất cả các điểm thuộc X,
phải được chứa trong mỗi tập lồi chứa X. Do đó, conv X ⊃ Y , điều
phải chứng minh.
Bổ đề 1.4. Nếu X ⊂ Rn , thì với mỗi phần tử của conv X là một tổ
hợp lồi của nhiều nhất n + 1 điểm của X.
Chứng minh. Cho x là một tổ hợp lồi của m > n + 1 điểm thuộc X.
Ta chỉ ra rằng m có thể bị giảm đi một đơn vị. Nếu αj = 0 với một
vài j, thì ta có thể xóa đi điểm thứ j đó và hoàn thành. Vì vậy giả
sử tất cả αi dương. Vì m > n + 1, tồn tại các số γ1 , γ2 , . . . , γm , không
5


đồng thời bằng 0, do đó
 
 
 
1
2
x
x
xm





 = 0.
γ1

+ γ2
+ · · · + γm
1
1
1

(1.1)

αi
: γi > 0 . Chú ý rằng τ được định nghĩa tốt, vì tồn
γi
tại γj > 0 do tổng của chúng bằng không. Đặt α¯i = αi − τ γj , i =
Đặt τ = min

1, 2, . . . , m. Theo (1.1), ta có

m
¯i
i=1 α

= 1 và

m
¯i xi
i=1 α

= x. Do định

nghĩa của τ , có ít nhất một α¯j = 0 và ta có thể xóa bỏ điểm thứ j.
Tiếp tục theo cách này ta có thể giảm giá trị của m cho đến khi bằng

n + 1.
Kết quả trên được gọi là của bổ đề Carathéodory.

1.2

Phép chiếu

Cho một tập lồi đóng V ⊂ Rn và một điểm x ∈ Rn . Ta gọi một điểm
thuộc V gần điểm x nhất là hình chiếu của x trên V và kí hiệu là
ΠV (x).
Định lý 1.1. Nếu V ⊂ Rn là một tập lồi, đóng và khác rỗng, thì với
mỗi x ∈ Rn tồn tại duy nhất một điểm z ∈ V gần x nhất.
Chứng minh. Đặt µ = inf { z − x : z ∈ V }. Vì V khác rỗng, µ hữu
hạn. Xét một dãy các điểm z k ∈ V sao cho z k − x → µ, khi k → ∞.
Nó bị chặn, vì vậy nó chứa một dãy con hội tụ z k . Không giảm tổng
quát ta giả sử dãy này hội tụ và có giới hạn bằng z. Ta có
z − x = lim z k − x = µ.
k→∞

Vì V đóng, z ∈ V . Điều này chứng tỏ sự tồn tại.
6


Giả sử có hai điểm phân biệt z 1 ∈ V và z 2 ∈ V có khoảng cách
µ từ x. Chọn z = (z 1 + z 2 )/2. Do tính lồi của V nên z ∈ V . Theo
Định lý Pythagore, ta có:
z−x

2

= µ2 −

1 1
z − z2
4

2

< µ2 ,

mâu thuẫn. Do đó hình chiếu là duy nhất.
Bổ đề 1.5. Giả sử rằng V ⊂ Rn là tập lồi đóng và cho x ∈ Rn . Khi
đó z = ΠV (x) nếu và chỉ nếu z ∈ V và
v − z, x − z ≤ 0 với mọi v ∈ V.

(1.2)

Chứng minh. Đặt z = ΠV (x) và v ∈ V . Xét các điểm có dạng
w(α) = αv + (1 − α)z,

0 ≤ α ≤ 1.

Do V lồi, nên w(α) chứa trong V và khoảng cách đến x không thể nhỏ
hơn z − x . Ta có
w(α) − x

2

= z + α(v − z) − x, z + α(v − z) − x
= z−x

2

+ 2α z − x, v − z + α2 v − z

2

.

Xét biểu thức trên như là một hàm số của α ∈ [0, 1]. Nó bị chặn dưới
bởi z − x

2

nếu và chỉ nếu hạng tuyến tính có hệ số không âm. Điều

đó chứng tỏ (1.2).
Giả sử (1.2) đúng z ∈ V nào đó. Cho v = ΠV (x) trong (1.2), ta
được
ΠV (x) − z, x − z ≤ 0.

7


Theo phần đầu tiên của chứng minh, vì z ∈ V , bất đẳng thức (1.2)
được thỏa mãn
z − ΠV (x), x − ΠV (x) ≤ 0.
Cộng hai bất phương trình cuối ta được
ΠV (x) − z, ΠV (x) − z ≤ 0.
Điều đó kéo theo rằng ΠV (x) = z.

Mệnh đề sau chỉ ra rằng toán tử chiếu là một ánh xạ không giãn.
Định lý 1.2. Cho V ⊂ Rn là tập lồi đóng. Khi đó, với mọi x, y ∈ Rn ,
ta có
ΠV (x) − ΠV (y) ≤ x − y .
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.5, ta có
ΠV (y) − ΠV (x), x − ΠV (x) ≤ 0
ΠV (x) − ΠV (y), y − ΠV (y) ≤ 0
Cộng theo vế của 2 bất đẳng thức trên ta được
ΠV (x) − ΠV (y)

2

+ ΠV (x) − ΠV (y), y − x ≤ 0.

Hiển nhiên, ta có
1
ΠV (x) − ΠV (y) + (y − x) 2
2
1
1
= ΠV (x) − ΠV (y) 2 + ΠV (x) − ΠV (y), y − x + y − x 2 .
2
2

0≤

8


Cộng theo vế của 2 bất đẳng thức cuối ta được

1
ΠV (x) − ΠV (y)
2

2

≤

1
y − x 2,
2

đó là điều phải chứng minh.

1.3

Các định lý tách

Một tập lồi đóng và một điểm ngoài của nó có thể tách bằng một mặt
phẳng
Định lý 1.3. Cho X ⊂ Rn là tập lồi đóng và x ∈
/ X. Khi đó, tồn tại
y ∈ Rn khác không và ε > 0 sao cho
y, v ≤ y, x − ε, ∀v ∈ X.
Chứng minh. Lấy z là một điểm của X mà gần x nhất. Nó tồn tại vì
X đóng. Theo Bổ đề 1.5, ta có
x − z, v − z ≤ 0, ∀v ∈ X.
Đặt y = x − z. Chú ý rằng y khác không, vì x ∈
/ X. Với mỗi v ∈ X,
bất đẳng thức cuối cùng kéo theo

y, v ≤ y, z = y, x + y, z − x = y, x − y 2 .
Đặt ε = y 2 , ta thu được điều phải chứng minh.
Nếu tập X không đóng, điểm x ∈
/ X là điểm biên khi đó ta có
phiên bản yếu hơn của kết quả ở trên.
Định lý 1.4. Cho X ⊂ Rn là tập lồi và x ∈
/ X. Khi đó, tồn tại y ∈ Rn
khác không sao cho
y, v ≤ y, x , ∀v ∈ X.
9


Chứng minh. Cho xk → x, xk ∈
/ X. Theo Định lý 1.3, ta có thể tìm
y k = 0 sao cho
y k , v ≤ y k , xk , ∀v ∈ X.

(1.3)

Vì y k = 0, để không làm mất tính tổng quát ta giả sử rằng y k = 1,
do đó ta có thể chia cả hai vế của (1.3) cho y k . Gọi y là điểm tụ của
dãy {y k }. Chuyển giới hạn (bằng cách thay dãy con nếu cần) trong
(1.3) ta thu được điều cần chứng minh.
Định lý sau là phiên bản tách cho các tập lồi.
Định lý 1.5. Cho X1 và X2 là các tập lồi trên Rn . Nếu X1 ∩ X2 = ∅,
thì tồn tại một y ∈ Rn khác không sao cho
y, x1 ≤ y, x2 , ∀x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 .
Chứng minh. Đặt X = X1 − X2 . Vì x = 0 không thuộc X nên ta có
thể sử dụng Định lý 1.4 để tìm y = 0 tách 0 và X. Điều này dẫn đến
y, v ≤ 0 với mọi v có dạng x1 − x2 với x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 .

Nếu một trong hai tập hợp là bị chặn, thì ta có thể tách chặt
hai tập này.
Định lý 1.6. Cho X1 và X2 là các tập lồi đóng trên Rn và X1 bị chặn.
Nếu X1 ∩ X2 = ∅, thì tồn tại một y ∈ Rn khác không và ε > 0 sao cho
y, x1 ≤ y, x2 − ε, ∀x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 .
Chứng minh. Từ tính đóng của X1 , X2 và tính bị chặn của X1 , tập
X = X1 − X2 là đóng. Vì 0 ∈
/ X, ta có thể áp dụng Định lý 1.3 và
chứng minh tương tự Định lý 1.5.

10


Giả thiết về tính bị chặn ở Định lý 1.5 là quan trọng. Xét hai
tập đóng X1 = {x ∈ R2 : x2 ≤ 0} và X2 = {x ∈ R2 : x2 ≥ e−x1 }. Mặc
dù X1 ∩ X2 = ∅, nhưng chúng không tách chặt được.

1.4
1.4.1

Hàm lồi
Định nghĩa

Kí hiệu R := R ∪ {±∞} và gọi là tập số thực mở rộng.
Cho f : Rn → R là một hàm số. Miền hữu hiệu và tập trên đồ
thị của f tương ứng được kí hiệu bởi:
domf = {x ∈ Rn : f (x) < +∞} ,
epif = {(x, v) ∈ Rn × R : v ≥ f (x)} .
Định nghĩa 1.4. Một hàm số f được gọi là lồi nếu epif là một tập
lồi.

Định nghĩa 1.5. Một hàm f được gọi là lõm nếu −f lồi.
Định nghĩa 1.6. Một hàm f được gọi là chính thường nếu f (x) > −∞
với mọi x và f (x) < +∞ với ít nhất một x.
Bổ đề 1.6. Một hàm f là lồi khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 và 0 ≤ α ≤ 1
ta có
f (αx1 + (1 − α)x2 ) ≤ αf (x1 ) + (1 − α)f (x2 ).

(1.4)

Định nghĩa 1.7. Một hàm f được gọi là lồi chặt nếu bất đẳng thức
(1.4) là chặt với mọi x1 = x2 và 0 < α < 1.
Bổ đề 1.7. Nếu f lồi thì domf là một tập lồi.

11


Chứng minh. Nếu x1 ∈ domf và x2 ∈ domf , thì theo Bổ đề 1.6, ta có
f (αx1 + (1 − α)x2 ) < +∞.
Khi đó αx1 + (1 − α)x2 ∈ domf , nên domf là một tập lồi.
Bổ đề 1.8. Nếu fi , i ∈ I, là một họ các hàm lồi, thì
f (x) = sup fi (x)
i∈I

là một hàm lồi.
Bổ đề 1.9. Nếu f là một hàm lồi, thì với mọi x1 , x2 , . . . , xn và α1 ≥
0, α2 ≥ 0, . . . , αm ≥ 0 sao cho α1 + α2 + . . . + αm = 1, ta có
f (α1 x1 + α2 x2 + . . . + αm xm ) ≤ α1 f (x1 ) + α2 f (x2 ) + . . . + αm f (xm ).
Định nghĩa 1.8. Một hàm f : Rn → R được gọi là nửa liên tục dưới,
nếu với mỗi dãy hội tụ xk thì ta có
f ( lim xk ) ≤ lim inf f (xk ).

k→∞

k→∞

Bổ đề 1.10. Một hàm f : Rn → R nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu
tập epif là một tập đóng.
Bổ đề 1.11. Cho X ⊂ Rn là một tập lồi và f : Rn → R là một hàm
lồi. Khi đó tập X các nghiệm của bài toán tối ưu
min f (x)
x∈X

là tập lồi.

12


1.4.2

Hàm lồi trơn

Kí hiệu ∇f (x) cho gradient của hàm f tại x,




∂f (x)
 ∂x1 
 ∂f (x) 
 ∂x2 

∇f (x) =  .  .
 .. 


∂f (x)
∂xn

ở đây x1 , x2 , . . . , xn biểu thị tọa độ của vectơ x.
Nếu f khả vi liên tục đến cấp hai, thì ∇2 f (x) được gọi là ma
trận Hess của f tại x,

∂ 2 f (x) ∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x)
...
 ∂x2
∂x1 ∂x2
∂x1 ∂xn 
 2 1

2
 ∂ f (x) ∂ 2 f (x)
∂ f (x) 


...
 ∂x ∂x

2
2
∂x

∂x
∂x
∇ f (x) :=  2 1
2
n .
2


 ...
...
...
... 
 2

 ∂ f (x) ∂ 2 f (x)
∂ 2 f (x) 
...
∂xn ∂x1 ∂xn ∂x2
∂x2n


Các định lý sau cho ta các đặc trưng của hàm lồi và lồi chặt qua
các đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của nó.
Định lý 1.7. Giả sử rằng hàm f khả vi liên tục. Khi đó,
(i) f lồi nếu và chỉ nếu với mọi x và y
f (y) ≥ f (x) + ∇f (x), y − x ;
(ii) f lồi chặt nếu và chỉ nếu với mọi x = y
f (y) > f (x) + ∇f (x), y − x .

13

Định lý 1.8. Giả sử f : Rn → R khả vi liên tục đến cấp hai. Khi đó,
(i) f là lồi nếu và chỉ nếu ma trận Hess của nó ∇2 f (x) là nửa xác
định dương với mọi x ∈ Rn .
(ii) Nếu ma trận Hess

2

f (x) là xác định dương vợi mọi x ∈ Rn , thì

f lồi chặt.
1.4.3

Hàm lồi không trơn

Cho f : Rn → R là một hàm lồi và cho x ∈ domf . Khi đó với mỗi
d ∈ Rn đại lượng
f (x; d) = lim
τ ↓0

f (x + τ d) − f (x)
,
τ

(1.5)

được gọi là đạo hàm theo hướng d của f tại x.
Bổ đề 1.12. Với mỗi x ∈ domf và mỗi d ∈ Rn giới hạn trong (1.5)
tồn tại (hữu hạn hoặc vô hạn). Nếu x ∈ int domf , khi đó f (x; d) là

hữu hạn với mọi d.
Định nghĩa 1.9. Cho f : Rn → R là một hàm lồi chính thường và
x ∈ domf . Một vectơ g ∈ Rn thỏa mãn
f (y) ≥ f (x) + g, y − x với mọi y ∈ Rn
được gọi là một dưới-gradient (subgradient) của f tại x. Tập hợp tất
cả các dưới-gradient của f tại x được gọi là dưới vi phân của f tại x
và kí hiệu là ∂f (x). Nếu dưới vi phân của f tại x khác rỗng thì hàm
f được gọi là khả dưới vi phân tại điểm này.
Bổ đề 1.13. Giả sử f : Rn → R là một hàm lồi chính thường và
x ∈ domf . Một vectơ g là một dưới-gradient của f tại x nếu và chỉ
14


nếu
f (x; d) ≥ g, d với mọi d ∈ Rn .
Định lý 1.9. Cho f : Rn → R là một hàm lồi. Giả sử x ∈ int domf .
Khi đó, ∂f (x) là một tập lồi, đóng, bị chặn và khác rỗng. Hơn nữa,
đối với mỗi hướng d ∈ Rn ta có:
f (x; d) = max g, d .
g∈∂f (x)

Bổ đề 1.14. Giả sử f : Rn → R là một hàm lồi, α > 0, và h(x) =
αf (x). Khi đó, h lồi và ∂h(x) = α∂f (x), với mọi x.
Bổ đề 1.15. Giả sử f : Rn → R là một hàm lồi. A là ma trận có kích
thước m × n và h(x) = f (Ax). Khi đó ∂h(x) = AT ∂f (Ax), với mọi x.
Định lý 1.10. Giả sử f = f1 +f2 trong đó f1 : Rn → R và f2 : Rn → R
là các hàm lồi chính thường. Nếu tồn tại một điểm x0 ∈ domf sao cho
f1 liên tục tại x0 , thì
∂f (x) = ∂f1 (x) + ∂f2 (x), với mọi x ∈ domf.
Tiếp theo chúng ta trình bày công thức tính dưới vi phân của

hàm max. Xét hàm
F (x) = sup f (x, y).
y∈Y

Giả sử f : Rn × Y → R thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) f (·, y) lồi với mọi y ∈ Y ;
(ii) f (x, ·) là nửa liên tục trên với mọi x trong một lân cận xác
định của một điểm x0 ;
(iii) Tập Y ⊂ Rm compact.
Hàm F là lồi theo công thức ở Bổ đề 1.8. Nó là chính thường do (ii).
15


Kí hiệu Y (x) là tập các phần tử y ∈ Y mà f (x, y) = F (x). Vì f (x, ·)
là nửa liên tục trên và Y là compact, nên tập Y (x) không rỗng và
compact, với mỗi x trong một lân cận xác định của x0 .
Kí hiệu ∂x f (x0 , y) là dưới vi phân của hàm f (·, y) tại x0 .
Định lý 1.11. Giả sử có điều kiện (i)-(iii). Khi đó
∂F (x0 ) ⊃ conv(

∂x f (x0 , y)).
y∈Y (x0 )

Ngoài ra nếu hàm f (·, y) liên tục tại x0 với mọi y ∈ Y , thì
∂F (x0 ) = conv(

∂x f (x0 , y)).

y∈Y (x0 )

16


Chương 2
Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các điều kiện cần và đủ cho
sự tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương lồi với tập
ràng buộc được định nghĩa bởi một số hữu hạn các bất đẳng thức
toàn phương tuyến tính lồi.
Xét một bài toán quy hoạch toàn phương lồi có dạng:


Min f0 (x) = 1 xT Q0 x + bT x + β0
0
2

(2.1)


∀x ∈ Rn , fi (x) = 1 xT Qi x + bTi x + βi ≤ 0, i = 1, . . . , m,
2
ở đó, Qi ∈ Rn×n , bi ∈ Rn , βj ∈ R, ∀i = 1, 2, ...., m là các dữ liệu cho
trước. Như thường lệ, kí hiệu

T

là phép chuyển vị ma trận. Giả sử

rằng tất cả các Qi , i = 1, . . . , m là các ma trận đối xứng nửa xác định
dương. Kí hiệu

1
C = {x ∈ Rn | fi (x) = xT Qi x + bTi x + βi ≤ 0, i = 1, . . . , m} (2.2)
2
là tập ràng buộc của (2.1).
Định lý Frank–Wolfe cổ điển [6] khẳng định rằng: Nếu một hàm
toàn phương tuyến tính (có thể không lồi) bị chặn dưới trên một tập

17


lồi đa diện khác rỗng trong Rn , thì nó đạt được giá trị nhỏ nhất trong
tập hợp đó.
Theo [2, Định lý 3, tr. 44] và [7, Hệ quả 2, tr. 94], định lý sau
đây là sự mở rộng của Định lý Frank-Wolfe cổ điển bởi Belousov [1,
Chương 2, Mục 4, Định lý 13] và Terlaky [10].
Định lý 2.1 (xem [1, 10]). Xét bài toán quy hoạch toàn phương lồi
(2.1). Nếu tập ràng buộc C ở (2.2) là khác rỗng và hàm mục tiêu f0 (x)
là bị chặn dưới trên C, thì (2.1) có nghiệm.
Chứng minh chi tiết của Định lý 2.1 có thể được tìm thấy trong
[2] và [7]. Luo and Zhang [7, Ví dụ 2, tr. 94] đã chỉ ra rằng có tồn tại
một bài toán quy hoạch toàn phương không lồi trong R4 với hai ràng
buộc toàn phương lồi mà hàm mục tiêu là bị chặn dưới trên tập ràng
buộc khác rỗng, không có nghiệm. Bằng cách xét một bài toán quy
hoạch toàn phương trong không gian ba chiều, Belousov and Klatte [2,
tr. 45] đã thấy rằng ảnh hưởng của tính không lồi của hàm mục tiêu
trên R3 . Vì thế, ngay cả trong trường hợp bài toán toàn phương trong
không gian ba chiều, điều kiện nửa xác định dương của Q0 không thể
bỏ trong giả thiết của Định lý 2.1.
Để có thể áp dụng Định lý 2.1, chúng ta phải kiểm tra xem hàm
mục tiêu f0 (x) của (2.1) có bị chặn dưới trên C hay không. Đây là

một vấn đề khá khó.
Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số điều kiện cần
và đủ qua nón lùi xa cho sự tồn tại nghiệm của (2.1). Các kết quả của
chương này được trình bày theo bài báo [5].
Nón lùi xa của một tập lồi khác rỗng C ⊂ Rn được định nghĩa
bởi:
0+ C = {v ∈ Rn | x + tv ∈ C, ∀x ∈ C, ∀t ≥ 0}.
18


Theo [9, Định lý 8.3], ta có
0+ C = {v ∈ Rn | ∃x ∈ C với x + tv ∈ C ∀t ≥ 0}.
Nón lùi xa của tập ràng buộc của (2.1) có thể được tính cụ thể qua
bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.1. Cho C được xác định bởi (2.2) với tất cả các ma trận Qi
đều nửa xác định dương. Nếu C khác rỗng, thì
0+ C = {v ∈ Rn | Qi v = 0, bTi v ≤ 0, ∀i = 1, . . . , m}.

(2.3)

Chứng minh. Lấy cố định điểm x ∈ C và cho v ∈ Rn bất kì. Chúng ta
cần chứng minh v ∈ 0+ C khi và chỉ khi
Qi v = 0, bTi v ≤ 0, ∀i = 1, . . . , m.

(2.4)

Nếu v ∈ 0+ C, thì
1
(x+tv)T Qi (x+tv)+bTi (x+tv)+βi ≤ 0, ∀i = 1, . . . , m, ∀t ≥ 0. (2.5)
2

Vì Qi là nửa xác định dương, theo (2.5) ta được
bTi (x + tv) + βi ≤ 0, ∀i = 1, . . . , m, ∀t ≥ 0.

(2.6)

Nhân hai vế của bất đẳng thức bTi (x + tv) + βi ≤ 0 trong (2.6) với t−1 ,
t > 0 và cho t → +∞ ta được bTi v ≤ 0,∀i = 1, . . . , m. Tiếp theo, nhân
hai vế của bất đẳng thức
1
(x + tv)T Qi (x + tv) + bTi (x + tv) + βi ≤ 0
2
của(2.5) với t−2 , t > 0 và cho t → +∞ ta được v T Qi v ≤ 0. Vì
19


v T Qi v ≥ 0, nên ta có v T Qi v = 0, tức z = v là nghiệm của bài toán tối
ưu không ràng buộc
1
min ϕi (z) := z T Qi z | z ∈ Rn .
2
Theo quy tắc Fermat, ∇ϕi (v) = 0, do đó Qi v = 0.
Mặt khác, nếu (2.4) đúng, thì với t ≥ 0 bất kỳ, ta có
1
(x + tv)T Qi (x + tv) + bTi (x + tv) + βi
2
1
= xT Qi x + bTi x + βi + tbTi v
2
1
≤ xT Qi x + bTi x + βi ≤ 0

2
với i = 1, . . . , m. Điều này có nghĩa là x + tv ∈ C, ∀t ≥ 0. Vì vậy,
v ∈ 0+ C.
Nếu Qi là ma trận không, ∀i = 1, . . . , m, thì ta nói (2.1) là bài
toán toàn phương lồi với ràng buộc tuyến tính. Trong trường hợp đó,
định lý kiểu Eaves sau đúng.
Định lý 2.2 (Dostál [3]). Nếu (2.1) là một bài toán quy hoạch toàn
phương lồi với ràng buộc tuyến tính và nếu C = ∅, thì (2.1) có nghiệm
khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn:
(bTi v ≤ 0, ∀i = 1, 2, ..., m, Q0 v = 0) ⇒ bTo v ≥ 0.

2.1

Một định lý kiểu Eaves

Mệnh đề tiếp theo là một tổng quát hóa của Định lý 2.2. Chú ý rằng,
không giống như trường hợp của bài toán quy hoạch toàn phương

20


lồi với ràng buộc tuyến tính, điều kiện cần kiểu Eaves cho sự tồn tại
nghiệm của (2.1) không trùng với điều kiện đủ.
Định lý 2.3. Xét bài toán (2.1) và giả thiết rằng C = ∅. Khi đó những
điều sau là đúng:
(i) Nếu (2.1) có nghiệm thì
(v ∈ 0+ C, Q0 v = 0) ⇒ bTo v < 0.

(2.7)

(ii) Nếu hoặc (2.7) đúng và b0 = 0, hoặc điều kiện sau
(v ∈ (0+ C)\{0}, Q0 v = 0) ⇒ bTo v > 0.

(2.8)

được thỏa mãn, thì (2.1) có nghiệm.
Chứng minh. (i) Giả sử (2.1) có nghiệm x. Khi đó, để nhận được (2.7),
lấy v ∈ 0+ C sao cho Q0 v = 0. Vì x¯ + v ∈ C và Q0 v = 0, nên ta có
0 ≤ f0 (x + v) − f0 (x)
1
1
= [ (x + v)T Q0 (x + v) + bT0 (x + v) + β0 ] − [ x−T Q0 x + bT0 x + β0 ]
2
2
= bT0 v.
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng bT0 v ≥ 0, ∀v ∈ 0+ C thỏa mãn
Q0 v = 0.
(ii) Để chứng minh (2.1) có nghiệm dưới một trong hai giả thuyết
thêm vào Định lý 2.1, ta chỉ cần chỉ chứng minh rằng f0 là bị chặn
dưới trên C.
Trước hết, giả sử rằng b0 = 0. Vì z T Q0 z ≥ 0, ∀z ∈ V n , ta được:
1
f0 (x) = xT Q0 x + bT0 x + β0 ≥ β, ∀x ∈ C,
2
21