Một số phương pháp nén âm thanh và xây dựng chương trình thử nghiệm (2014)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
----------------------------------------

NGUYỄN THỊ NAM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NÉN ÂM
THANH VÀ XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH
THỬ NGHIỆM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Tin học

Người hướng dẫn khoa học
ThS. LƯU THỊ BÍCH HƯƠNG

HÀ NỘI – 2014


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn tận tình của cô
giáo Th.S Lưu Thị Bích Hương, khoa Công nghệ thông tin, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2.
Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận, mặc dù rất bận rộn trong
công việc nhưng cô vẫn dành nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng
dẫn em. Cô cung cấp cho em rất nhiều hiểu biết về một lĩnh vực mới khi em
mới bắt đầu bước vào thực hiện khóa luận.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Công
nghệ thông tin, cũng như các thầy, cô giáo trong trường đã giảng dạy và giúp
đỡ em trong 4 năm học vừa qua. Chính các thầy, cô giáo đã xây dựng cho
chúng em những kiến thức nền tảng và kiến thức chuyên môn để em có thể

hoàn thành khóa luận tốt nghiệp và chuẩn bị cho những công việc của mình
sau này.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và bạn bè đã giúp đỡ
động viên em rất nhiều trong suốt quá trình học tập để em có thể thực hiện tốt
khóa luận này.
Tuy đã có những cố gắng nhất định nhưng do thời gian và trình độ có
hạn nên chắc chắn khóa luận này còn nhiều thiếu sót và hạn chế. Kính mong
nhận được sự góp ý của thầy, cô giáo và các bạn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Nguyễn Thị Nam


LỜI CAM ĐOAN
Tên em là: NGUYỄN THỊ NAM
Sinh viên lớp: K36 – Tin học, khoa Công nghệ thông tin, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2.
Em xin cam đoan:
1. Đề tài “Một số phương pháp nén âm thanh và xây dựng chương
trình thử nghiệm” là sự nghiên cứu của riêng em, dưới sự hướng dẫn của cô
giáo Th.S Lưu Thị Bích Hương.
2. Khóa luận hoàn toàn không sao chép của tác giả nào khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chiu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Người cam đoan

Nguyễn Thị Nam

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................. 4
1.1. Lý thuyết xử lý tín hiệu số ..................................................................... 4
1.1.1. Tín hiệu và hệ thống rời rạc ............................................................ 4
1.1.2. Phép biến đổi Fourier rời rạc .......................................................... 9
1.2. Các khái niệm về âm thanh .................................................................. 11
1.2.1. Sóng cơ.......................................................................................... 11
1.2.2. Sóng âm......................................................................................... 14
1.3. Nén âm thanh ....................................................................................... 21
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NÉN ÂM THANH ...................... 23
2.1. Các phương pháp nén không có tổn thất.............................................. 23
2.1.1. Mã hóa Huffman ........................................................................... 25
2.1.2. Mã Huffman sửa đổi ..................................................................... 27
2.1.3. Mã hóa số học ............................................................................... 28
2.1.4. Giải thuật Lempel-Ziv-Welch (LZW) .......................................... 28
2.2. Các phương pháp nén có tổn thất......................................................... 31
2.2.1. Các phương pháp nén âm thanh đơn giản..................................... 33
2.2.2. Nén âm thanh dùng mô hình âm - tâm lý...................................... 33
2.2.3. Nén âm thanh MPEG .................................................................... 34
2.3. Nén âm thanh file *.WAV theo chuẩn MPEG..................................... 36
2.3.1. Tập tin dạng sóng (WAVE FILE)................................................. 36
2.3.2. MPEG............................................................................................ 43


CHƯƠNG 3: XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH THỬ NGHIỆM .................. 59
3.1. Bài toán ................................................................................................ 59
3.2. Xây dựng chương trình ........................................................................ 59
3.2.1. Giới thiệu chương trình................................................................. 59
3.2.2. Thiết kế giao diện.......................................................................... 59

3.2.3. Kết quả thực nghiệm ..................................................................... 63
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ...................................................... 65
1. Kết luận ................................................................................................... 65
2. Hướng phát triển ..................................................................................... 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 67


DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 2.1: Định dạng dòng dữ liệu bit ............................................................. 26
Hình 2.2: Ngưỡng che trên thước đo băng giới hạn ....................................... 34
Hình 2.3: Định dạng dòng dữ liệu bit ............................................................. 35
Hình 2.4: Khả năng của âm thanh MPEG ứng với các tần số lấy mẫu tại các
bit khác nhau ................................................................................................... 45
Hình 2.5: Hiệu ứng che (Masking) ................................................................. 46
Hình 2.6: Đồ thị ngưỡng nghe với các tần số khác nhau................................ 46
Hình 2.7: Đồ thị thí nghiệm che tần số với âm thử có tần số 1KHz............... 47
Hình 2.8: Đồ thị thí nghiệm che tần số với âm thử có tần số 1KHz............... 48
Hình 2.9: Đồ thị thí nghiệm che nhất thời cho các mức to khác nhau của âm
thử.................................................................................................................... 48
Hình 2.10: Đồ thị thí nghiệm che nhất thời cho âm thử với các tần số khác
nhau ................................................................................................................. 49
Hình 2.11: Lược đồ mã hóa âm thanh theo Perceptual Subband.................... 50
Hình 2.12: Tỉ số nén cần phải đạt tới 100% chất lượng CD với các bộ mã hóa
và giải mã khác nhau....................................................................................... 53
Hình 3.1: Form giao diện chương trình .......................................................... 60
Hình 3.2: Form chọn tệp tin cần nén............................................................... 60
Hình 3.3: Form tệp tin âm thanh cần nén........................................................ 61
Hình 3.4: Form chọn địa chỉ cần lưu file nén ................................................. 61
Hình 3.5: Form định chỉ số tốc độ bit của tập tin đích ................................... 62
Hình 3.6: Form chọn tần số lấy mẫu của tập tin đích ..................................... 62

Hình 3.7: Giao diện của quá trình nén thành công ......................................... 63
Hình 3.8: Thông tin của tập tin trước khi nén................................................. 63
Hình 3.9: Thông tin của tập tin sau khi nén .................................................... 64


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1: Cấu trúc của WAVE FILE ............................................................. 40
Bảng 2.2: Chi tiết về các lớp ........................................................................... 54
Bảng 2.3: Độ phân giải các lớp ....................................................................... 57


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt

Ý nghĩa

DFT

Discrete Fourier Transform

DFS

Discrete Fourier Series

DCT

Discrete Cosine Transform

FFT

Fast Fourier Transform

PCM

Pulse Code Modulation

WAV

WAVE: WAVE Form Audio File Format

FLAC

Free Lossless Audio Codec

ALAC

Apple Lossless Audio Codec

APE

Monkey‟s Audio

MP3

Moving Picture Experts Group 1 Layer 3

ACC

Advanced Audio Coding

WMA

Windows Media Audio

LZW

Lempel Ziv Welch

DRM

Digita Rights Management

LPC

Linear Predictive Coding

CELP

Code Excited Linear Predictor

API

Applycation Program Interface

RIFF

Resource Interchange File Format

DVD

Digital Versatile Disc

MDK

Multimedia Development Kit

SDK

Software Development Kit


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

1


Công nghệ thông tin là ngành công nghiệp mũi nhọn của thế giới nói
chung và của Việt Nam nói riêng, nó đã phát triển mạnh mẽ không ngừng
trong những năm gần đây. Khi đời sống được nâng lên, khoa học kỹ thuật
phát triển, nhu cầu về giải trí cũng đa dạng lên, các loại hình giải trí không
ngừng gia tăng và ngày càng phong phú, đa dạng các loại hình giải trí như:
Trò chơi điện tử, nghe nhạc, xem phim và đặc biệt là những trò chơi dạng
không gian ba chiều... Sự phát triển ồ ạt này đã dẫn tới ngành công nghệ phần
cứng không thể đáp ứng được những đòi hỏi về lưu trữ, đồng hành với sự phát
triển này đó chính là mạng Internet với số lượng người tham gia truy cập ngày
càng lớn, nhu cầu của họ thì ngày càng phong phú và đa dạng về tất cả các
loại hình nói trên. Do đó tốc độ truy cập, tốc độ truyền tải trên mạng được
quan tâm hơn để người dùng không phải sốt ruột ngồi chờ tải những trang
web mà mình truy cập, không phải cảm thấy khó chịu khi tải xuống những tập

tin âm thanh và những bài hát mà họ ưa thích vì đường truyền quá chậm trong
khi công nghệ phần cứng đã phát triển mạnh. Chính vì vậy các nhà nghiên
cứu phần mềm đã chú ý đến việc phát triển phần mềm để hỗ trợ phần cứng.
Họ đã tạo ra những chương trình, phần mềm hỗ trợ tích cực cho phần cứng, từ
đó đã ra đời những phần mềm nén âm thanh, nén hình ảnh, nén video, tách âm
thanh từ những tệp tin video… để tạo ra những dạng âm thanh, hình ảnh,
video như: MINDI, MPEG, MP3, MP4…; những tệp tin ảnh dạng: GIF,
JPEG… với dung lượng lưu trữ vô cùng nhỏ mặc dù chất lượng có giảm đi
đôi chút nhưng không đáng kể so với những gì nó đạt được để truyền tải, truy
cập nhanh hơn.
Trong nghiên cứu về nén âm thanh, người ta đã từng biết đến các chuẩn
nén khá phổ biến như: MPEG, MP3, JPEG... Hiện nay, con người đã nghiên
cứu và đưa ra rất nhiều thuật toán nén nhằm đáp ứng các yêu cầu khác nhau

2


trong thực tiễn. Xuất phát từ những yêu cầu đó, tính năng của mỗi chương
trình nén cũng khác nhau. Tuy nhiên, tất cả các thuật toán nén đó vẫn phải
dựa trên các tiêu chí như: tỉ lệ nén, tốc độ nén, khả năng nén, hiệu suất nén và
chất lượng âm thanh sau khi nén...
Từ hướng tiếp cận trên, đồng thời với mong muốn tiếp cận với các
công nghệ mới, bổ sung các kiến thức về khoa học kỹ thuật hiện đại, cũng
như tổng kết những kỹ năng, kiến thức trong suốt quá trình học tập tại trường,
em xin chọn đề tài “Một số phương pháp nén âm thanh và xây dựng
chương trình thử nghiệm”.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu về các phương pháp mã hóa và nén
âm thanh. Đồng thời xây dựng một chương trình nén âm thanh file *.WAV
theo chuẩn MPEG trên nền Framework.Net với ngôn ngữ lập trình C#.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu, tìm hiểu một số phương pháp nén âm thanh cơ bản. Đi sâu
nghiên cứu phương pháp nén âm thanh theo chuẩn MPEG.
4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là các phương pháp nén âm thanh.
5. Phạm vi nghiên cứu
Chương trình nén âm thanh được xây dựng để ứng dụng trong việc tạo
ra các phần mềm hỗ trợ phần cứng. Nén âm thanh được sử dụng trong mã hóa
MP3, internet radio, đĩa CD... nhằm giảm kích thước của tín hiệu. Trong
phạm vi khóa luận này, em đi nghiên cứu về một số phương pháp nén âm
thanh cơ bản, đồng thời xây dựng chương trình nén nhằm giảm dung lượng
của một tập tin âm thanh có phần mở rộng là .WAV và thu được một tập tin
khác sau khi nén có phần mở rộng là .MP3.

3


6. Phương pháp nghiên cứu
a. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu qua việc đọc sách, báo và các tài liệu liên quan nhằm xây
dựng cơ sở lý thuyết và các biện pháp cần thiết để giải quyết các vấn đề của
khóa luận.
b. Phương pháp chuyên gia
Tham khảo ý kiến của các chuyên gia để có thể thiết kế chương trình
phù hợp với yêu cầu thực tiễn.
c. Phương pháp thực nghiệm
Thông qua quan sát thực tế, yêu cầu của cơ sở, những lý luận được
nghiên cứu và kết quả đạt được qua những phương pháp trên.
7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học: Thuật toán nén âm thanh file WAVE theo chuẩn

MPEG được tìm hiểu, nghiên cứu sẽ bổ sung thêm một phương pháp về nén
âm thanh.
Ý nghĩa thực tiễn: Chương trình thực nghiệm nếu thành công sẽ góp
một phần nhỏ trong lĩnh vực nén âm thanh nhằm giảm tốc đô truy cập, tốc độ
truyền tải trên mạng, để người dùng không phải cảm thấy khó chịu khi tải
xuống những tập tin âm thanh và những bài hát mà họ ưa thích vì đường
truyền quá chậm.
8. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm các
chương sau:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Một số giải thuật nén âm thanh
Chương 3: Xây dựng chương trình thử nghiệm

4


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Lý thuyết xử lý tín hiệu số
1.1.1. Tín hiệu và hệ thống rời rạc
a. Giới thiệu
Tín hiệu là biểu hiện vật lý của thông tin, thường là thông tin về trạng
thái hay hành vi của một hệ vật lý nào đó. Về mặt toán học, tín hiệu được coi
là hàm của một hay vài biến độc lập. Ví dụ: Tín hiệu âm thanh là sự thay đổi
áp suất không khí theo thời gian, tín hiệu hình ảnh là hàm độ sáng theo hai
biến không gian.
Theo qui ước chung, tín hiệu được coi là hàm theo một biến độc lập và
là biến thời gian.
Tín hiệu số (Digital signal) là tín hiệu rời rạc (theo biến độc lập thời

gian) đồng thời có biên độ cũng rời rạc hóa (lượng tử hóa).
b. Đáp ứng xung trong hệ tuyến tính bất biến
Tín hiệu vào x(n) được gọi là tác động, tín hiệu ra y(n) được gọi là đáp
ứng của hệ xử lý. Ta có quan hệ:

y(n) 
T x(n)

5


Trong đó: T là phép biến đổi x(n)  y(n)
Một hệ thống là tuyến tính nếu thỏa nguyên lý xếp chồng: Giả sử y1(n)
và y2(n) là đáp ứng của hệ tương ứng với tác động vào là x1(n) và x2(n). Hệ là
tuyến tính nếu và chỉ nếu:

T a.x1 (n)  b.x2 (n)  a.y1 (n)  b.y2
(n)
Như vậy, một hệ tuyến tính có thể xử lý tổng tác động như là các tác
động này được xử lý độc lập, sau đó các đáp ứng tương ứng sẽ được cộng lại.

6


Một tín hiệu x(n) bất kỳ có thể biểu diễn:




x(n)  x(k). (n  k)

k 

Do vậy đối với hệ tuyến tính:


y(n)  x(k).h k (n)
k 

Trong đó: hk (n) gọi là đáp ứng xung của hệ đối với tác động là xung (n-k)
Theo công thức trên, hệ tuyến tính vẫn còn tùy thuộc vào thời điểm tác
động k. Một hệ tuyến tính là bất biến (theo thời gian) nếu tín hiệu vào bị dịch
đi một đoạn thời gian là k thì tín hiệu ra cũng chỉ dịch một đoạn k, tức mọi
hk(n) trở thành h(n-k).
Như vậy mọi hệ tuyến tính bất biến đều được đặc trưng hoàn toàn
bằng đáp ứng h(n), biết h(n) ta hoàn toàn tính được đáp ứng y(n) của tín hiệu
vào x(n).


y(n)  x(k).h(n  k)
k

Công thức trên còn được gọi là Tổng chập của hai tín hiệu x(n) và h(n)
và còn được ký hiệu:

y(n)  x(n) *
h(n)
c. Tính chất của tổng chập của hệ tuyến tính bất biến
 Tính giao hoán:

y(n)  x(n) *

h(n)

= x(k).h(n  k)

 h(n)* x(n)






k



 h(k).x(n  k)

k 

 Tính phân
phối:

x(n) * h1 (n)  h2 (n)  x(n) * h1 (n)  x(n) * h2 (n)


Như vậy, từ tính chất giao hoán ta thấy rằng: Hai hệ tuyến tính bất biến
có đáp ứng xung là h1(n) và h2(n) được mắc nối tiếp nhau sẽ tương đương với
một hệ có đáp ứng xung:

h(n)  h1 (n) * h2

(n)
và thứ tự mắc nối tiếp không quan trọng.
Từ tính chất phân phối, hai hệ tuyến tính bất biến mắc song song nhau
sẽ tương đương với một hệ có đáp ứng xung bằng tổng hai đáp ứng xung:

h(n)  h1 (n)  h2
(n)
x(n) 

h1 (n)



y(n)
h2 (n)

x(n)  h1 (n)  h2 (n)  y(n)
d. Hệ nhân quả (causal system)
Các hệ có tín hiệu ra chỉ phụ thuộc vào tín hiệu trong quá khứ và hiện
tại được gọi là các hệ nhân quả, tức phải có tác động vào (nguyên nhân) thì
mới có tác động ra (kết quả).
Định lý: Hệ tuyến tính bất biến là nhân quả nếu đáp ứng xung h(n) = 0
với mọi n < 0.
Đối với một hệ tuyến tính bất biến và nhân quả, dạng chung của công
thức tổng chập:




y(n)  x(k).h(n  k)

k 


hoặc viết cách khác:

y(n)   x(n  k).h(k)
k 0

Nếu đáp ứng xung h(n) có độ dài hữu hạn N thì:
N 1

y(n)   x(n  k).h(k)
k 0


Mở rộng cho tín hiệu: tín hiệu nhân quả là tín hiệu bắt đầu khác 0 từ
thời điểm 0.


� �

= 0 ��ℎ� � < 0
≠ 0 ��ℎ� � ≥ 0

e. Tính ổn định
Định nghĩa: Một hệ là ổn định nếu đáp ứng của hệ luôn bị chặn đối với
tác động vào bị chặn.
Định lý: Một hệ tuyến tính bất biến là ổn định nếu và chỉ nếu đáp ứng
xung thỏa mãn điều kiện sau: S 



 | h(n) | 

n

f. Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Ta chỉ khảo sát các hệ thống tuyến tính bất biến và có thể đặc trưng bởi
các phương trình sai phân có hệ số hằng. Mối liên hệ giữa tín hiệu vào x(n) và
tín hiệu ra y(n) có dạng như sau:
N

M

 a y(n  k)   b x(n  r)

k 0

k

r 0

r

Trong đó: Tập các hệ số ak và br đặc trưng cho hệ tuyến tính bất biến.
g. Biểu diễn các hệ rời rạc trong miền tần số
 Phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc:

y(n) 



 h(k).x(n  k)

k 
jn

Với tín hiệu vào x(n)= e

(có tần số =2f) và đáp ứng xung h(n), ta

có tín hiệu ra:

y(n)  e

jn

j

.H (e )

j

Hàm H(e ) gọi là đáp ứng tần số của hệ, biểu diễn đáp ứng của hệ
jn

thống theo hàm của tần số đối với dãy tác động e , nó cho biết sự thay đổi về
biên độ và pha theo tần số khi tín hiệu đi qua hệ.
j

H(e ) là một hàm số phức và có thể biểu diễn theo phần thực và ảo:


j

j

j

H(e )= Hr(e )+ jHi(e )
Hoặc theo biên độ và pha:
j

j

jargH(ej )

H(e )= | H(e )| e

(02)

j

H(e ) là hàm liên tục theo  và tuần hoàn với chu kỳ 2. Ta có thể
khai triển nó thành chuỗi Fourier, ngược lại h(n) có thể được tính toán từ
j

H(e ) bằng các công thức tính hệ số khai triển chuỗi Fourier:



h(n)  1 2  H (e j ).e jn .d




 
Trong đó: H (e )   h(n).e j n
j

n

Biến đổi Fourier của dãy rời rạc:




S(t) 
Đối với tín hiệu tuần hoàn:

( jk 2T )t

k


Ak .e

t0 T

Ak 
1 T

( jk 2 /T
)



.dt

S(t).e
0

 Phép biến đổi Fourier thuận:


X (e )  x(k).e  jn
j

n

 Phép biến đổi Fourier nghịch:





x(n)  1/ 2


X (e j ).e jn d

 Phổ biên độ, phổ pha và phổ năng lượng:
Do X(f) là một hàm phức nên ta có thể biểu diễn dưới dạng modul và
argument:
j arg [ X (f)]

X (f) = |X (f)| e


Hàm modul X(f) theo f được gọi là phổ biên độ của tín hiệu x(n), còn
hàm (f)=arg[X(f)] được gọi là phổ pha.
Cuối cùng (f)=|X(f)|2 được gọi là phổ năng lượng, biểu diễn sự phân
bố theo tần số của năng lượng tín hiệu x(n).
h. Định lý lấy mẫu Shannon
Một tín hiệu tương tự xa(t) có dải phổ hữu hạn với giới hạn trên là
Fmax(Hz), tức là phổ bằng 0 khi f nằm ngoài dải (- Fmax, Fmax). Ta sẽ chỉ có thể
khôi phục lại xa(t) một cách chính xác từ các mẫu xa(n.Ts) nếu như:
Fs  2Fmax
hay

Ts  1/(2Fmax)

Khôi phục lại tín hiệu tương tự từ tín hiệu lấy mẫu:
Ta có thể khôi phục lại tín hiệu xa(t) bằng cách cho tín hiệu lấy mẫu đi
qua một mạch lọc thông thấp lý tưởng (low-pass filter) có đáp ứng tần số
Hlp(f) với tần số cắt là fc = Fs/2. Phổ của tín hiệu xa(t) sẽ được lọc lại chính
xác chỉ với điều kiện: Fs  2Fmax
Nghĩa là thỏa mãn định lý lấy mẫu. Khi đó trong không gian tần số:
Xa(f) = X(f).Hlp(f)

Còn trong không gian thời gian:
Xa(t) = x(nTs)*hlp(t)
Trong đó: hlp(t) là đáp ứng xung của mạch lọc thông thấp lý tưởng có
biên độ dải thông là Ts.
1.1.2. Phép biến đổi Fourier rời rạc
a. Chuỗi Fourier rời rạc của tín hiệu rời rạc tuần hoàn
Tín hiệu tuần hoàn xp(n) là tuần hoàn với chu kỳ N nếu:
xp(n)= xp(n+N), với mọi n
Đối với tín hiệu rời rạc, ta khai triển Fourier theo hàm:
k(n) = e

j(2k/N)n

, k=0,1, 2...


Các hàm điều hòa phức rời rạc chỉ có N tín hiệu phân biệt nhau vì tín
hiệu sai khác nhau là bội của N thì đều như nhau:
k(n) = kN(n) = k2N(n) = e

j(2k/N)n

Đối với tín hiệu tuần hoàn và rời rạc xp(n), ta có chuỗi Fourier rời rạc
(DFS):


X p (n) 

a

k

k
.e j(2
n

/N)

k=N

Trong đó: Các hệ số ak là các hệ số khai triển chuỗi Fourier rời rạc hay
còn được gọi là các vạch phổ của tín hiệu tuần hoàn.
b. Biến đổi Fourier rời rạc của tín hiệu có độ dài hữu hạn (DFT: Discrete
Fourier Transform)
Việc biểu diễn Fourier cho tín hiệu rời rạc có độ dài hữu hạn gọi là
phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT).
Tín hiệu có độ dài hữu hạn là tín hiệu có giá trị khác 0 trong một
khoảng hữu hạn thời gian nào đó và bằng 0 trong khoảng còn lại. Đây là loại
tín hiệu tồn tại trong thực tế vì chúng ta chỉ có thể quan sát mọi tín hiệu trong
một khoảng thời gian là hữu hạn từ N1 đến N2. Để đơn giản hoá, ta có thể qui
ước tín hiệu x(n) tồn tại trong khoảng thời gian: 0  n  M-1, tức là:
M = N2 - N1+1.
Với tín hiệu x(n) này được dùng như là một chu kỳ tín hiệu, ta có thể
xây dựng tín hiệu xp(n) tuần hoàn với chu kỳ N bằng cách xếp chồng tuần
hoàn:


x p (n)  x(n  iN )
i

Nếu N  M thì không xảy ra hiện tượng trùm thời gian giữa các phần
của xp(n).
Do xp(n) chỉ có duy nhất một cách biểu diễn chuỗi Fourier rời rạc nên
x(n) cũng vậy. Từ chuỗi Fourier ta tính ra được 1 chu kỳ tín hiệu của xp(n),
trong đó có x(n):