Các mô hình ứng dụng của lý thuyết đổi mới tập 2

NGUYỄN QUÝ HỶ

CÁC MA hỉnh

ú n g d ụ n g Củ a
■

LÝ THUYẾT ĐỔI MỚI
TẬP 2: Mố HÌNH TÓNG QUÁT

NHÀ XUÁT BẢN ĐẠI HỌC QUÓC GIA HÀ NỘI


M ục lục
Lời nói đầu

5

Chương 1 P h â n loại quần th ể tr o n g mô hình tổ n g quát

11

1.1 Quần thể đổi inới toàn p l i ầ n ..................................................

11

1.2 Q u ần tliể đổi niới từng p h ầ n ..................................................

17

1.3 Q uần thổ có đổi mới vô h ì i i h ..................................................

28

1.4 Khái niộiii tiền (luần t h ể .........................................................

39

Chương 2
2.1

D ổ i mới của tiền quần th ể

41

Hàm đổi mới và chờ đổi m ớ i ..................................................

2.2 Ilàiii tồn tại và bị loại

............................................................

2.3 Tiền quần thể dơn giản và tựa đơn giản
2.4

Hàm clví báo mỡ phỏng và sai số

Chương 3

41
58

...........................

71

.........................................

80

D ổ i mới củ a quần th ể

93

3.1

Hàm và tuổi còn tliọ của quần t h ể .......................................

93

3.2

Hàm tuổi và tuổi của quần t h ể .............................................. 112

3.3 Hàm tuổi mô Ị)hỏng và sai số dự b á o ................................ 126

Chương 4

Q u ầ n th ể th u ần nhất

139

4.1

Các mô hình dự báo ngắn h ạ n .............................................. 139

4.2

Các định lý giới hạn về hàm đổi inới

4.3

Các inô hình dự báo dài h ạ n ..................................................173
- 3 -

................................ 156


Cổc mõ hình ứng dụng nhì lý thuyết (lổi niúi

4

Chương 5 M ô hình đổi mới trong các lý thuyết liên q u an lJ 9
õ.l

Quần thổ trong Lý tliu}-ết độ tin c ậ y ............................. 199

5.2

Quần thể trong Lý thuyết xếp l i à n g ................................. 231

Õ.3

Kliái (juát IIIỒ hình dỗi tnúi bằiig qiiá tiìiih (liểin . . . .

254

Chương 6 M ộ t số m ô hình tối ưu dự báo của Lý thuyết
đổi mới

259

G.l

Dầ>i tư tối ưu clio qiiầii thổ

...............................................‘2G9

G.2

Khai thác tối ưu một (Iiiầii t h ổ ........................................... 279

C.3

Dỗi mới di.r phòng tối ưu quần t h ổ .....................................28Õ

G.4

Tliiết kế tối líu các họ I^liục v ụ ........................................... '299

G.õ

Khai thác tối ưu mạng Ị)liục v ụ ........................................ 30-1

Phụ lục A Tích phãn Stieltjes

321

A.l

Hàm có l)iếii I)hân giỏi i i í Ị i .................................................. 321

A.2

Các loại tích Ịỉhân S t i e l tị e s .................................................. 32G

A.3

Pliép tính tích

A.4

Tính tuyệt đói liên tục của tích Ị ) l i â i i ..............................3-10

A.5

Các tích Ị)hân Stieltjes (tặc biột............................................ 350

Ị ) h ân

S tio ltjc s ............................................... 331

Phụ lục B M ô p hỏng các đại lượng ngẫu nhiên

355

B.l

Tạo đại lượiig ngẫu nhiôii liên t ụ c .....................................355

B.2

Tạơ đại lượiig Iigẫu nhiên ròi rạc

B.3

Tạo phân bố t r ộ n ................................................................... 3G2

Tài liêu th a m khảo

.....................................359

365


Lời n ó i đ ầ u
Bắt (ĩầu bằng Bài toán dự báo (lâu số của Robertsou (1933) trong
nhâu kháu học (cleniograỊ)liy), năm 1941 \v. Fcller |25| đã xây dựng
PìiươvẠ] trình dỏi mới (dưới dạng phương trìiili tích ]jliâu Volterra)
(lổ dự háo ngắn ìiạn số trung bìiiỉi (TB) những lần xảv ra hiộii tượng
dõt mớt (sinh ra) của những cá thế (iiulividuals) trong một (ịuần thổ

(population) nià vào inỗi thời điổni chỉ có 1 cá thể (gọi là Quá trình
dõi -ntới), trong đó hiện tượng đổi mới (liễn ra ngay san các hiện tvrựiig
bị loại (inất đi) của các cá tliế cũ. Năin 1948 J. L. Doob Ịl7| đã lioàii
thiện nliữiig kết (luả Iiàv.
T ừ Iihững kết quả trên, năm 1958

L. Sniitii (tã chứng miiili DỊnli

lý cơ bcni [121] dổ dự báo dài hạn (trong tií(Jng lai xa) số lần đổi mới
TB trong một đơn vị thời gian đối với một (|uá trình (lổi niới troiig
Mô hình tông quát, nghĩa là tliời gian tồn tại (gọi là tuổi thọ) củ a
mồi cá thổ là một đại lượng ngẫu Iiliiêii ((tliiii) r tổng (Iiiát (ròi rạc
lioặc liôn tục). Tnròng liỢỊ) (lliiii r là rời rạc (gọi là Mõ ìúnìi rờt rạc),
Iiliững kết (|uả này của Sinitli (tã Iiằni trong các công tiìiili trước cló
của A. N. Kolniogoi-ov (193G) [92| và của p. Eixlỏs, \v. r d l c r and H.
Pollard (1949) [23|, khi họ ngliiên cứu bài toáii tổng quát hơn (gọi
là Dài toán Dỉackuìelỉ)-. Dự báo dài liạn số làii đổi mới TB trong một
khoảng tliời gian ìi xác địiili đối với quá trìiili dổi mới. Cũng trong
dạng của Bài toán Blackwell nói trên đối với K4õ ììnih liên tục ( r là
đlnii liên tv.ic), những kết quả của Địiili lý cư bản cũng đã Iiằm trong
công trìnli trước đó của D.Black\vell (1948) |4|. Nhờ Dịnh lý cơ bản
của Sinit h, w . Feller |9| (lã giải quyết bài toán Black\vell đối với inô
hình tổng (luát. Bốn năm trước khi Dịnh lý cơ bảii được phát biổu,
VV.L.Sniith (1954) CÒII chứng iniiili Dmh lý then chốt 120 . Nhờ định


Các i;iô hình ứng dụng củ;i lý tlìiỉyốt (ĩổi mới

G

lý nàv inà những bài toán clự l)áo dài liạii liôii cjuan t(ii tuôi và tuồi
CÒII

thọ của các cá tliổ trong quần tliể được giải (ịuyết Ị l l l .

Sau sự xuất liiện trên ciìa các Cô/ig trĩnìi nền iảng cho Lý tlniyf't
đổi inới (LTDM), hàng loạt các sách c-huyêii khảo vồ lý tliiiyỗt này
được xuất bảii gắn với tên tuỏi của p. R. Cox |1()|, M. rrócliet |28|,
I. Kóziiie\vska |94j-|9G|,|98|... Cả nliữiig sách chuyôii khảo về xác suất
(như Ị l l l ] , |31|) cũiig (làiih những vị trí xứng <láiif> dio LTDM. Trong
nliững tài liệu kể trên, nhiều bài toán di.r háo mới đã xuất, liiộii gắn
với mô lành rời rạc của cả quần tìiế dưn giíhi |28| (số cá thể kliôiig
thay đỗi) lẫn quần thể ĩĩiở rộny 194|, Ị95| (số cá thổ thay (lối) trong
quá trình Ị)hát tricn của (ỊUần thổ. Ngoài m Iiliiồu hài toán (luyết (lịnh
chính sácli trong LTDM cũng (ĩã được (lặt ra và (lược giải (luyết (lối
vúi các niO hình liên tục |98 .
Diồu đáng chủ V là giữa LTDM \'<ì Lý tliuyốt (tộ tin C'ậ>' 3 . Lý
tliu yế t xỏ]) hàiig (])hục vụ đáni d ỏ n g ) |98|. Lý

(ịua t i ì n h (lirMii

và Quá trìnli (tiếm gán m ã |õ| có một inối liên hộ hữu (•(), trong (ló cỏ
thể coi Lý tliuyết độ tin cậy và Lỹ lliuyốt Ị)hục \-ụ (láiii (ìôiig Iiliư là
những trường hỢp riêng của LTDM |98|; còn Lý thuyết (|uá trình (tiôni
gán inã (xom |5|) là st.r niỏ rộng của lý thuyết này. Bỏi vậy, nliiồu bài
toán trong các lý tliuyết trôn có thể chuyến tliàiili các bài toán trong
LTDM. \ ’ới lý (lo này, LTDM (lược ứng dụiif’ rông rãi trôn thố

VÌU)

không chỉ Iiliân khẩu liọc (như khi nó Iiiới ra đời) nià còn vào Iiliiềti
lĩnh vực khác như: Sinli-y liọc, tliưdng ngỉiiỘỊ) |94|. kỹ tlmật cơ klií và
giao thõng vận tải |98|...
Sau việc xuất bản (1962) ở Londoii-Ne\v York niốii sách (lầu tirii
về LTDM của D.R. Cox |10|. niên khóa 1974-197Õ {■liuyôii đồ về lý
thuvct này bắt đầu được đọc cho sinh viên chuyên ngành Tơáii học
tính toán ỏ trtrờng DH Tổng liơp Hà Nôi (nay là trường DH K hoa
liọc TN. DHQG Hà Nội). Từ lulni 1994, chuyOn đề LTDM được' bổ
sung tliêni Ịíliầii nâiig cao sau đại học cho chuyên ngành Toán-Tin ứng


Lời nói dầu
(lụng (như là 1 chuyên đồ cơ sỏ).
Cùng vứi vi(;c giảng dạy và cải tiến nội (lung giáo trình nói trên,
LTDM đã được ứng (h.mg (197Õ-1979) ở nhà máy Liên hợp Dệt Nam
Dịnli và T T Tính toán - Tổng cục Dường sắt để (lự trù phụ tùng tliav
thổ và quản lý klio tàng |4G|-[48|, |50j, |52|; ở T T Diều độ - Tổng cục
Dường sắt để điều động các toa xe rỗng |49j, |115|, Ịll7j, |71 .
Trong th ậ p kỷ 80 tiếp theo, lý thuyết này đã được sử dụng để hoạch
(lịiili cliính sách vay-tlianh toán nợ quốc tế |38|, [124j, [5lỊ, [C0Ị-[62j,Ị2|,
128|, [99Ị, Ịcc| ở Ban Kinh tế T ư Dảng và Ngân hàng Nhà nước; Dể ciự
háo (}uá trình hiốii (ĩổi (lân số theo từng độ tuổi và khả uăng lao động
gắn vứi

I ig li ề

ngliiệi) inỗi địa pliương ị57|, |114|, |11C|, ịl3| ở Trung

tani Dịa lý Kiiili tố & Xã hội - UBKH Xã liội; LTDM cũng đã đưực
sử (lụng đe xác địiili trữ lượiig tliủy điện các sốiig Dà-Xẽ Xaii-Dồiig

Nai trong mạng lưới Thủy điộn Tliốiig nhất Bắc-Nam |45|, [39|-|42
70

10 ở Viện Năng lượng k Diện klií hóa - Bộ Diện Lực.
Trong những năm 1994-2001, LTDM đã được sử (lụng vào Chương

trình Phủ xanìi (lất trống-dồi núi trọc ở Tây nguyên và Duyên hải
Nam Trung Bộ |Õ3|-|5G|, [58|, |59|, |G4|, |6õ|, |C9|, |7|, ịlOOỊ ỏ Viện Quy
lioạcli và Tliirt kế NN - Bộ Nôiig iighiOỊ); vào Dề tài nghiên cứu xã hội
học về vai trò của naiìi chủ ỈIỘ cư dãn ven ỉnẽii trong bước chuyển sang
K T tìiị trườUỊỊ |3õ|-|37| ở Triiiig tâni Xã hội liọc - Học việii HCQG n ồ
Chí Minh; và vào Chưưng trình Tin học Nìià nước vồ Chiến lược đổi
mới tối ưu Hệ thống máy tíiili |G7], [68]. Lý tlmyết Iiày cũng đã được
dùng dể Dự báo dộng đất theo số liệu (lịa chấn [7G|, |77|, [79|-|81|, |8
ỏ Viện \ ’ật lý Dịa cầu - Trung tâm KH Tự iihiOii & Công nghệ QG.
Trong những năm đầu Thế kỷ 21, Mõ hìiih kết liợp giữa LTDI\I
(theo các số liệu địa chấn ị85|) và xấp xỷ ngẫu nhiên (theo các số liệu
địa cliất-địa vật lý |72|, Ị73|) đã được xây dựng Ịl0Cj-Ịl08|, |87| để clự
báo động đ ấ t trên Dải Dứt gãy Dịa cliấii sôiig Dà và xác địiili độ rủi
10

động đ ấ t cho Công trình Thủy điệii Sưn La, phục VỊI Dề tài giám


Các IIÌÕ ỉùnìi ứng (ỉụiig củỉì lý thìivát (ỉối niới
địiili và phản hiện XH của Liên hiệp các Hội KH (k: K T vỏ lựa chọii
(iuy inô cho công trình này |78|, 186|; LTDM cũng dã được (lùn> (lổ
tliam inưu cho Bộ Hải sản về NC sinh vật hiến 182|, ngliồ cá ỏ ''.'ịnli
Bắc Bộ [83j và về nuôi trồng hải sản ven l)ờ |101|. \'ới tình trạiii, nơ
đọng quỹ hảo hiểm liiện nay, LTDM l)ước (tầii đưực sử (lụng đổ Iigliiôii

cứu sự rủi ro của các công ty bảo liiổni |ll|,|1 2 |.|4 3 |.|l 13|, |14 .
Có được nliững kết (ịuả ứng (lụng trôn đây là (lo Iihiồu chuyr' 1. gia
không cliỉ trong các lĩnh vực khoa liọc kỹ thuật, kinh tế, tài (•;iíiih
kliác nhau Iiià cả trong các lĩnh vực khoa học xã hội và (luảii lý nhà
nước đã (ịiiaii tâm tìni liiểu và hợp tác với các Iilià toán học đổ ứiig
dụiig lý tliuyết này vào lĩnh vực công

của Iiiìiili. Nhằm tiếp tục st.r

hợp tác đó trong tươiig lai và phục vụ việc đào tạo bậc đại học cũng
như sau đại liọc theo inã số chuyên Iigành Toáii ứng (lụng (mới (lược
ban h àn li), c h ú n g tôi đ ã thu g o m n h ữ n g bài g i ả n g t roiig 4 0 Iiíìni CỊua

của inình đổ biên soạn IkỊ sácli (2 tậ]í) dưới ti('u (tề Các '/nõ lủnìi ứvẠỊ
dụnq trong Lý tỉiuyét (lói ĩiỉới, trong (íó ở Tậ]) I |88| là Các mõ ÌÙĨIÌI
rời rạc, Còn ở Tập II này, chúng ta 8Õ bàn đỏii cliủ đề trên trong ngôn
ngữ Các mõ hình tổng quát - ([ua nội (lung các Chương 1-G và sự l)ổ
sung bằng các Phụ lục A-B,
Với đặc thù nói trên của chuyên ngành toán ứng dụng và củ;i ljạn
d ọ c , c h ủ n g t ô i k h ô n g có đ i ề u k i ệ n s ử ( i ụ n g Iiliữiig k i ế n t h ứ c ( lu á s â u v r

Lý thuyết Xác suất như trong các sách vồ LTDM (tã x u ấ t bản. Chẳng
hạn, không sử dụng Martingal đổ trình bày các địiili lý giúi hạn của
tập này (như ị31|). Thay vào đó, từ "Quần thổ" (inà nhữiig người viết
giấy khai sinh cho LTDM |25], [121|, |4|, |10| dã dùng đổ inô tả ý Iigliĩa
thực tiễn của khái Iiiộin về "Quá tiìnli đổi rnới" trong |10|, |31|, |98 .
111]...) được nâng lẽn thành khái niệm về Quần thê đổi rnới (tiên đề
hóa) |63| và sử dụng nó để trình bày LTDM trong cả 2 tậ p của bộ
sách - như là dạng tổng quát hóa của các quá trình đổi inới nói trên,
Theo nghĩa này, khái niộrn kinh điển về "Hàm đổi mới của q u á trìiili

Lời IIói (ỉmi

9

dổi mỏi" (lược tổng (Ịuát hỏa thành Hàm (Un ĩiiới của quẫn thể. Bởi
lý (lo (ló, các k(~‘t (luả (ịuen tlniộc về (iuá tiìiih đỗi mới cần được niỏ
lông (trong phát biổu và chứng minh) cho các (luầii thổ đổi mới. Tuy
iiliiOii, giá (lổ trả cho viỌc Iiày đưực đồn l)ù lại bởi sự (lỗ (làng liơii khi
trình bày trong ngôn ngữ (ịuầii tlie klioảng

ììvnh ứng dụng ở

tã]) này ((]UiV các thí (lụ niiiih họa) của LTDM truvềii thống hoặc lir‘11
(iuan đốn lý thnyốr Iiày, Iiliư: Lý thuvết độ tin cậv, lý tluiyốt

XC'Ị)

liàiiỊi,',

lý thuyết (|uá tiìiili điổiii..., với lưu ý rằiig: Tên cuốn sách gắn với các
mô hình nói trên và nỏ (lược soạn thảo còn cỏ niục (tícli cuiig cấ]) tư
liC'U dổ bạii dọc- ứng clụiig LTDM vào thực tiễu.
Do sách dược xuất bản lần đầu nên kliôiig tránli khỏi những sai sót,
tluìiig tõi nioiig (lược si.r gÓỊ) V của bạn đọc. Nliâii đây, tôi chân thàiili
cảm (Jn GS Nguyrii \ an Hữu, PGS Nguyễn \ ’ăii ỈIộ đã (lọc 1k\ii thảo
và gÓỊ) Iiliiồu ý kiến

Cịuý

báu; GS Nguyễn Duy Tiến (tã cung cấp các

lài lirMi lir'ii (ịuan. Cảm ƠII T h .s Nguyễn Ngọc Thắng (lã gỗj) những ý
kif'ii xác (láng, khi l)ir'ii tậi) cuốn sách Iiày. Dặc biột, tồi lliâii tình cảiii
ƠII các (lồng iighiỘỊ)^-^ trong XẼmina Các Phương pháp Ngẫu ĩiliiâi và
Giải lích ,sấ (thuộc Hội ứng dụng Toán hục Việt Nam), suốt 40 Iiăni
(|ua (t;ì cùng tôi ngliir'ii cứu và ứng (lụiiR LTDM vào thực tiền, tạo
Iiguốii Ị)lu)ng phú clio Ị)liầii lớn các thí (lụ (tưa ra trong ruốn sách Iiày.

Tcíc giả

*‘ >Trong khoảng 100 IIIÔ hình ứng dụng ở cả 2 tập
tên trong da n h mục Tài liệu tham khảo


Chương 1
P hân loại quần th ể trong mô
hình tốn g quát
1.1

Quần th ể đổi mới toàn phần

Nhằm inỏ rộng kliái niệm (ĩổi Iiiỏi (DM) tơàii Ị)hầii của (Hiầii tlid kliôiiịi,
tliuần nliất Q trong niô hìiih rời rạc: (|88|, Mục 4.1), ta xét kliái niộiii
Iiày trong IIIÔ hình tổng Cịuát |G3| gắn với các dã}' ngẫu Iiliiôii sau:
{r,‘ }„>o(ỉ = l , 2 , . . . ) ,
:=
và đliin

+ rin {n > 1),

trong đ ó :

= 0 ; Vn > 0 {Vu > 1)

(1.1.1)
(1.1.2)

gọi là thời điểm DM thứ 71 (liay của tliế liệ /ỉ), còn 7/„ là

thời gian chờ lần DM thứ n (các dlnn Iiày kliôiig nliất thiết là rời rạc).
Khi (liền đạt "hiỌn tượiig DM" (|88|, Mục 0.2) trong trường liỢp này,
ta xem rằng vào thời điểm (Ẹ„ có

(lối tượng được đưa vào quân thê

Q dể thực hiện chức Iiăng dổi mới ciuần tliể. Khi dó đliin rời rạc ỉ^„ sẽ
gợi là lượng D M của tJié iiệ n (hay lượng D M thứ ĩi), Iiốu:
G N„ ;= {0 , 1 , 2 , . . . } c [u,c»)

(V71>0),

(1.1.3)

trong đó: iy„ (lượng DM thứ 0) gợi là lượng cá tliẽ ban dầu của Q.


Chương 1. Pìiíìii Inụi (Ịuầii thổ trong IIÌÕ lììiiỉi tỏng

12

\ ’ới inỗi II > 0. (lliiii r,' khổiif!; âin:
0 < r'< + D C ^

(l<í<^ j

(11.4)

gụi là tuõi thọ ( h a y tu ổ i còn thọ lúc (lỏi ĩìiới) của cá tlũ' {i, n) ( a . tìiv.

thứ I của thé ìiệ n) troiig số ;y„ cá tlu' (lưực (lổi niới vào thời dioir
Cá the Iiày sõ tồn tại trong Q (lếu lliời diẻm hị loại:
+

(1 < / < / / „ ; / ; > 0).

(li.õ )

Sau thời đicin bị loại, cá thổ bị (lưa ra kliỏi (ịuầii thổ và ta gọi đhv là
liuyii tượng bị loạt của cá thổ {i. ìì) ([88|, -Mục 0.2).
Dổ xót một cách thực cliất ([uá trình Ị)hát triổn của mỗi quần thổ
Q ta đưa ra các giả tliiốt dưới (lây (lối vứi các (lãy ngầu Iiliiôii (1.1.1):
(A) - {ĩ]n}n>i íà dãy của nìiữuỊỊ dlnii rj,i :=

> 0 dộc ỉặỊi

(tnrtig toàn hộ) vù "kÌKrìựỊ iầni thườriỊ]”: p{i]n = 0} < 1 (Víi > 1),
nghĩa là ta loại bỏ trường liỢp "tầiri tìiuờng" dưúi dãy:
3/ỉu > 1 : P { ’ln.. = 0} = 1 o ĩ]n„ = 0 {hrc).

(B) - V/I

>

(l.l.C)

0, (ỉbni <^„ dộc lập với dlĩiii rời rạc z^„, sao cho:
iLn :=

< ĩí < +OC

(V/; > 0).

(1-1-7)

(C) - V/í > 0, các (llnii T,', [i > 1) là dộc lập với Ẹ,, vả
(D) - v?ỉ. > 0, CẨIC ãhm T,^ > 0 (Ví > 1) cùn(j pliãn phối vớt dlnn T„:
F„[x)

P{ r„ < ,r} =

< x)

(Vi > 1, :í: e M’),

(1.1.8)

trong dó có thể lìỉẽvi (jiả thiết về tính kliõng tầm thường của các (llnn
(Vn > 0), để loại bỏ triíờuị] ìiỢp tầm t-hường dưới dãy:
Bìiị > 0 : P{Tn^ = 0} = 1

= 0 Ụicc).

(1.1.9)

Liên (luaii đốn các giả thiết (A) và (D) ta xét kết quả sau:
tắt là T.l > u và liicu bất cìÃn^ thức này theo nghĩa hầu chác d i ắ n (lỉcc).


I.L Quầ;j tlui dổi mới toàn Ị)hần

13

B ổ đ ề 1 .1.1. Néu ĩĩiổi dãy {//,i}7i>i, {'?"7)}n>o

đlmi kìíõiìẨỊ (ĩiỉi,

kìíõìiỊị tầỉĩi thường tlù sẽ tồn ÌẨII các (lảy số
a„ > 0 : p„

(lé cho:

p{ij„ > a,,} > 0 (V?;. > 1),

3„ > 0 ; r„ := P { t „ > / ? „ } > 0

(V/i > 0)

Cliứtụi minìi. \'ì biến cố ngẫu nhiên {/•/„ < o,,} đối lậi) với hiến cố
{//,J > Í1 „ } , nOn tliay ch o ( 1.1 .10) ta có thổ c h ứ n g niiiili Iiiộnli (lề sau:

3{a„}„>i

: a„ > ơ ; PịiỊn < a„} - 1 - Pn < 1 (Vn > 1). (1.1.11*)

Thật vây, iiTmi ta giả tliiốt Iigược' lại rằng:

3/ío > 1 : P { i h ) = 1 :

■= [ìn,, < ỵ ] (V/c = 1/2,3

n,DÌhD...DÌhDÍU+i-.-

=>

Ngoài ra, (lo //„„ > 0 nên {//„^ = 0} = n r = i
Kổt

hựỊ)

= n r = i{ '/ » . <

'}■

(liều này với (1.1.13) \’à (1.1.12) ta có (xcin |8-l| tr. 403):
^{Vn.. = 0 } =

ỉ h n P { i ì i , } = Hin

< Ả,'"^}= 1.

K ỗ t (|U;\ t r ê n (lây i n â u t lii iẫ n vỏi tín li kliôiig ỉ ầ i ii tliưíìiig c ủ a (thin //„ _
là; P ị i Ị u

= ( ) } < ]

v à kết thúc: c h ứ n g iniiili Ị)liảii c h ứ n g (lối với c ô n g

tliức (1.1.11*). Klii (ló ta thu dirợc (lạng tưong đươiig ( l . i . i o ) của nó.
Bầng pliưcnig ])háiJ tương tự, ta có thổ (lựa trôn tíiili kliỗiig âin và
kliôiig tầ m thường của các (llnii T„ (V/ỉ. > 0) (le suy ra (1.1.11).

□

Bây giờ t:a niử rộiig các kliái niệm ■'không lliiiần nliất" (DỊ)ih nghĩa
4.1.3, Ị88j ) và "(tổi mới toàii phần" (Chú ý 4.1.1, |88| ) troiig niỗ liìiili
rừi r ạ c t h à n h c á c k h á i Iiiộiii tiKíiig ứ n g t r o n g ‘ĨÌLÕ l ã n h t u n g quát:

D ịn h nghĩa 1.1.1. Nếu các giả thiổt (A) - (D) đối với các dãy ngẫu
nhiên (1.1.1) được thỏa inãn, thì quần thể trong VIÕ hìnìi tổng quát:
Q := { {i,n ) : n > 0 , 1 < / < iy,i}


ChìMiig ỉ. Pỉiíìn loại (Ịiiần thể trong inô ỉúiìỉi tỏiìg cii/ìt

14

gợi là kìưìuỊỊ tliĩiầĩi nhất và DM toàn pÌLần (hay hằĩiy cá tìiể vìÁrì). Mỗi
Ị)hầii t ử [i, ìi) 6 Q gọi là m ộ t cá thể\ đliiii r „ ( t r o i i g g i ả t h i ế t (D) gọi

là tuốt tỉiọ c ủ a thế h ệ 11 . Nếu các (lliiii / / „ + i , r „ (/ỉ. > 1) c ù n g I)liâi. bố
vúi cá c đ l n n q. T th ì q u ầ n thổ Q gọi là tÌLUầĩi n ì i ấ t và r gọi là t u ổ i th ọ

các cá thổ cảia Q. Mô lùiili trên (ĩược gọi là rờt rạc, nếu //,; = const,Tn
là dlnii rời rạc và gọi là liũĩi tục, Iiếu

là những đliin liôn ti.K.

Trong Lý tliuyết xỏp liàng (Queuiiig tlieory ịll8 |,Ịl 11|,|98|), các
(|Uần tlie trôn là sự tổng (luát hóa các hệ phục vạ cõ (íiũn, t.heo Iipliĩa:
D Ị n h n g h ĩ a 1.1.2. Một hệ Q (lược gọi là hệ phục vụ (PV), nốu IIÓ
gồm s kênli (trạiii) p \ ' , L chỗ trong hàng đợi, R Iiguồn yêu cầu các
tliani số s, L, R có thế nhận giá trị +oc) và lioạt clộug theo cách sau:
- Mỗi

ĨJÔU

cầu từ R nguồn dến hệ (một cách ngẫu Iiliiôn \'à (tộc lập)

đưực xếp liàng đổ chù PV (iiốii còn chỏ trong hàng (lụi) lioặc bị từ
cliối p \ ' (iiếu liốt chỗ trong hàng đợi). Các kônli hoạt (lộng độc lập vỏi
nhau và với sự xuất hiện các yêu cầu. Vào mỗi tliùi dicm 1 kênh cliỉ
p \ ' không CỊuá 1 yêu cầu, với tìiời gian P V ngẫu nliiôii. Mỗi yrni cầu đã
xếị) hàng được PV, khi có ít Iiliất 1 kê‘ìiìi rỗi và được lựa chọn 1 cách
ngẫu nliiẽii (SIRO-sol(!ctioii in raiidoin order), theo thứ íự (FÍF0-Íìrst
in Tirt out) hoặc theo thứ tự đảo (LIFO-last iii ĩirt out). Khi đó ta gụi:
-Thời gian chờ P V là tliùi gian từ lúc xếp hàng đéii klii yêu cầu (lưực
PV; Tổng thời giaii PV và chờ p \ ' gợi là thời gian lưu trú của yêu cầu.
-Thời gian chờ yêu cầu là tỉiùi gian giữa 2 lúc đến xếp hàng liên tiếỊ).
- Một hệ PV gọi là thất tìioát (blocked), Iiéu trong đó có sự từ chối các

yêu cầu đến hộ và là k h ô n g tìiất thoát (no n -b locked ), nếu Iigược lại.

Ta (lùng kv hiệu phân loại Kendall [91| dạng Q := G Ỉ 1 / G I 2/S : (/?, L)
đổ chỉ 1 "liộ PV cổ điổii" nói trên, trong đó vào thời điổni
yêu cầu đến hệ và thời gian chờ yêu cầu này là đlim
độc lập với thời gian T„ đổ PV nó, trong đó inỗi (lãy {?/„}

chỉ có 1

:= ị„, {r„}

gồm các đliiri không âm, độc lập, có cùng phân bố lần lượt là G l ị , GỈ-2 -


1.1. Quần thể dổi mới toàn phẫn

15

D ị n h n g h ĩ a 1.1.3. Khi IIIỎ rộng niô hình trên, ta gọi hệ I)hục vụ Q là
tôn(j quát, Iiếu vào thời diểm E,n có Un yêu cầu dợt n là (í, ri) (i = 1 -r ỉ^7i)
cùng đếii xếi) hàng và tliời gian PV các yêu cầu Iiày là các đliin
cổ c ù n g pliân b ố với T,1 , s a o cho các d ã y n g ầ n nliiêii ( 1 .1 . 1 ) t h ỏ a m ãn

các: giả tliiết (A)-(D) (nghĩa là inỗi dãy ngẫu nhiêĩi [i]n]

{r„}

kliông Iihất thiết có cùng phân bố). Khi đó ta dùng ký liiệu phân loại:
Q = { W „ ( i ) } „ / { A - „ ( i ) } „ / { F „ { i ) } . , / s : (R, L),

(1.1.14,1)

\((i H „ịxì := P{7/„ < x}, K„(x) - Pịu„ < x } , F„(x) := P { t „ < a-}.
C h ú ý 1.1.1. T ừ địnìi rigÌLĨa trên, ta có thể xem quần thể kìiôiig thuần
nhất, D M toàn phần Q như một hệ P V tổng quát (với yêxL cầu (i,n) lù
cá tìiể {i, n) € Q, thời gian

dể P V nó là tuổi thọ của cá thể nảy):

Q = { H „ ( x ) } ,y { A '„ ( i ) } .y { F „ ( .i ) } „ / o o : (oo,0),

(1.1.141,)

kỉiõiig thất thoát (R = oo, L = 0); mỗi yeu cầu dến duực phục vụ
ngay (s — oc) theo thứ tự (FIFO), trong dó CẨÍC yẽu cầu đợt 71 có tìiời
gian chờ P V T\,ị_ = 0 và thời (jian lưu tríi

cũng là thời gian P V T,,.

Hàm phân bố của thời gian chờ yêu cầu 7]rij số yêu cầu

thời gian

P V mỗi yêu cầu dợt n lần lượt là Hj,{x), /C, (o:), F,,(x).
T h í d ụ (1 .1 .1 ) : Công tv dịch vụ D nhận đơn đặt hàng của kliách
(với số lượiig không liạii chế) vào lúc ĨIIỎ cửa các ngày làin việc, trong
dó số đơn của ngày thứ n 6 No là đlnn
Pịi^n =

§

e-"" (k > 0,A„ > 0)

-^(^ 71) có phân bố Poissoii:
A„ = E{iy,,}.

(1.1.15)

Mỗi đơn hàng của khách được đặt chỉ để thực hiện 1 trong 2 dịch vụ
m à thời gian thực hiện dịch vụ j {j — l

2) của đơn đ ặ t ngày n là

Tn^ (đ/v: h) {n € N), trong đó Tn^ = ^

(q„ > 0) là đại lưỢng tất

địrili, còn Tn'^ ~ L{an) là đlnii có phân bố tuyến tính với h àm m ậ t độ:
/„ (x ) = l ị o , ^ ] ( o : ) Q „ ( l - ^ ) , với: l x ( x ) = < ^ ^
^
2
0{xệX).

(1.1.16)


Chìíơiig 1. Phíìii h ạ i (ỊUầii thổ trong niô hình tống (Ịuãt

IG

Giả sử trong' số đ(Jn đ ặ t và o n gày thứ n, số (1(JI1 vồ (lỊcli \-ụ ] = l c h i n i i

tv lộ

(0 < 7 „ < 1) và niọi (lưii hàng (lều (tược thực hiỌii liôii liR-

trong các ngày làin việc (kổ từ lúc nliậii (l(Jỉi). Xgliĩa là, khi xốp kế tiốỊ)
nhau thời gian (81i. Iigàv) của các Iigàv làm viộc' liên tiốỊ) ÌI = 0, 1,2...
ta thu được trục thời gian (ct/v: li) trong R ‘. Khi (ló t;v có thổ xem
([uá trình thực liiệii các đơii hàng của Công ty Đ như Cịiiá tiìnli tiến
lióa của (luầii tlio Q trong (lạng (1.1.14), với cá tlif' {i.n) là (toii hàng
thứ i (1 < i < Un) Iiliậii vào Iigày làiii viộc th ứ II. Do ịn = 8/ỉ [ìì e N„)
nên //,, = 8. Hn{x) := P{Vn < .r} = l|s.+,c)(.r) (V/; > 1). Nglũa là
{!ìn}n>i 1'^

liằiig (tất (lỊiili) và giả thiết (A) liicii Iiliir-n là
thỏa niãii. Bởi vậy, iifMi số lượiig TB của các (l(ín mui Iigày không tlir
vượt khỏi niức ũ thì tham số A„ trong (1.1.15) sõ (lưựr xác (lỊnli từ
(liều kiện 0 <

< ũ < +OC (Vy/ e N). Ngoài ra, (lo Ẹn

tất (lịnh IIÔII

ỈIÓ sẽ "độc lậỊ)" vứi dlnii /y„ và t a có giả tliiổt ( B ) . N ế u gọi th ời giaii

thực hiện đơii liàiig (;,/;) là r,'j và X('in rằng r ' độc lậỊ) với số

các

đơn liàiig Iiliận cùng ngày, thì ta c:ó tiu'' thừa Iiliận giả thiốt (C).
Mặt khác, nếu gọi

là biốii cố ngẫu nhirn áẽ cho (tcJii hàii”, (/. n) có

nhu cầu được phục vụ tii('() (lịcli vụ J {} = 1 - ^ 2 ) thì ta có:

{ K h i : n ‘, xảyi-a)^

(I.i.u r)

[K ìn : n r „ x ả y m j ' \ p { ữ ị , } = ì P { r ' < x} = 7 „ P { r ’ < i'| íi;„} + (1 7 . 1 ị ^ , + o c ) ( - ^ - ) + (1

-

(V,r

7n )P {rf <

G R ', / >

lo
0

(.r < 0).

(l-7 „ K ^ T (l-2 f)
+ (1 - 7„)n„:t(l 1

( 0 < r < jL ).
)

{ ± < :r < ^ ) .
ỉ Ẳ )-

1, ,í, G N )


17

ỉ . 2. Quầii thó d oi m ớ i từiìíỊ ])ỉtẫii

{i > 1) có cùng hàm phân bố F„(,r) với T„ và từ

Bởi vây các (lliiii

(1.1.IG) ta thu (lược các (liồu kiộii còn lại trong (D). Khi đó từ Dịnli
n^liĩa 1.1.1 ta Iiliậii thấy Q là 1 (|uần thổ DM toàn Ị)liầii và do đố từ
C h ú V 1 . 1 . 1 t a c ó t l i ổ XOIII Q Iilnr 1 liộ p \ ' t ổ i i g ( l u á t ( v ớ i n h ữ n g v ô u

cầu là {-ác cá th(‘‘ (/,/7.) e Q) và biổu (liỗn nỏ (lưúi (lạng (1.1.141)):
c = {

!

[

() (Irụ- m ặ c (lầu Ì

] ,1

»

,

.

:

= coii.st, n h ư n g (lo T

,1

(CC.O).

(1.1.18)

k h ô n g Ị)liải là đliiii rời rạc

hoặc liT'!! tục (vì hàm Fn{x) troiig (1.1.17) không có (lạng l)ậc tliang,
lại c ó l ) ư ớ c n h ả y t ạ i X =

Iií"'!! HIÔ h ì n h (ỊUần t h ổ t r ô n k h ô n g J)liải

là rời r ạ c l i o ặ c lirii t ụ c v à c h ỉ c ỏ t h ổ xốỊ) v à o l o ạ i m ô h ì n h t ổ n g

1.2

quát,.

Q uần th ể đổi mới từng phần

'lVt)ng khái iiiOin DM toàn ị)liần của Dịiili Iigliĩa 1.1.1, mõi cá thể (i, /í)
có tuổi còn tliọ lúc (ĩổi mỏi (hay tuổi thọ) là r,'. xốu cliĩ (luaii tâm
(Irn lịch s i ’r c á c c á tliT' g ắ n v ới s ự ị)l iá t triổi i củ ;i (ịUần t h ổ , t h ì t a c ỏ

thổ (lồng iiliAt khái Iiir-ni "tuổi còn thọ lúc dổi inứi" và "tuổi thọ" của
mỗi cá tliể ti'ong loại cỊUầii tliổ Iiày. Tuy nhiêii, CÒII có nhiều loại cá
tho Iiià lịch sir Ị)hát tririi của nó không hoàii toàn gắii với lịch sử I)hát
triTMi ciia (ỊUầii tliổ: c ỏ thổ cá tliổ (Iược sinh ra tnrớt’ khi IIỎ được, đưa
vào (ỊUần thổ làm c h ứ c n ă n g "(tổi mới" (nliir tr ường IiỢị:) các m á y inóc

(lược tiốp tục si'f (lụng sau giai (loạn l)ảc) (lưỡng, đại tu định
\ ớ i ý n g h ĩa trê n , k hái Iiiộiii về (ỊUần thổ kliõiig tlm ầii n h ấ t D.\I toàii
Ị)liần t r o n g D ị i i h n g h ĩ a 1 . 1 ,1 c ầ n (tưực: n i ở r ộ i i g (lổ x é t m ộ t i n ô h ì n l i

tỏng Cịiiát. luín, trong (ló mõi cá thổ ụ . n ) e Q gắn với 2 đlmi:
Tj‘„, với

v;i

- là tu(ỶL lúc dổi VLỚi (do bằng thời gian (ìã tồn tại của cá

thổ trước lúc ilổi mới) và

- là tuôi thọ (đo bằng tổng thời giaii tồii

tại của cá tliể trước và sau lúc (tổi mới). Pliâii l)iột với kliái niộiii "tuổi
tliụ" Iiày, mỗi cá tlu' {i, n) e Q còn có tuéM(HỌữiQÚỜOJẩifiĩìtí'À ììộ{(.\o

TRUNG ĩ Ầm thông tin thư viện


18

Chương 1. Phân loại quần thể trong mô hình tổng quát

bằng thời gian tồn tại của cá thổ sau lúc đổi inới) và có dạng;
(k ỉn :r:,,> T ỈJ ,

0

(A-/w : c

< ^ỉnì-

Trong quần thể loại trên, các giả thiết (C), (D) được lần lượt thay bởi
các giả thiết sau:
{CiJ- Vn > 0, các dlnn

{i > l),Cn,ỉ^n độc lập (trong toàn bộ).

(Dì)- Vn > 0, các đlnn trong mỗi dãy

1'à không ârn

và cùng phân hố với lần lượt các đlnn To„,Ti„;
I F,^{x) :=
Fi„(x) :=

P { r ,n < x } = p { c <

(^ 2 .2 )

P { t , „ < i } = P { t Ì„ < i )
IT,. :=

P { t„. > n,,} > ũ

(Vn > 0)^

(1.2.3)

Khi đó có thể tổng quát hóa Dịnh nghĩa 1.1.1 dưới dạng:
Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.1. Dối với các dãy ngẫu nhiên;
{Cn}n>0 , {^n}n>0 , { ( C , r { J } „ > 0

(z> l),

(1.2.4)

nếu các giả thiết (A), (B), (Ci), (Di ) được th ỏ a mãn, thì quằn thể Q
trong dạng (1.1.14) gọi là khõnD M bằng thể cũ) trong mô hình tổng quát. Mỗi phần tử {i,n) G Q
gọi là một cá thể] Các đlnn Ton,Tin (xác định trong giả thiết (Di)) và
lần lượt gọi là tuổi thọ, tuổi lúc dổi mới và lượng DM, thời điểrn
DM của các cá thể ĐM lần n. Dặc biệt, nếu các đlnn Ton,rin (V?i > 1)
là c ù n g p h â n b ố với lầ n lượt cá c đ l n n T(0 ) (và T(1 )):

Fon{x) := P{Ton < x } = F(o)(x) := P { t ( 0) < x } ,

^^

Fin{x) := P { r i „ < x} = F(i)(x) := -P{t(i) < .x},
thì quần thể Q gọi là thuần nhất D M từng phần trong mô hình tổriịi
quát. Khi đó, các đlnn T(0) và T(1 ) lần lượt gọi là tuổi thọ và tuổi lúi.
đổi mới của mọi cá th ể trong quần thể này.


19

ỉ . 2. Quần t h ể dổi inới từ n g Ị)Ịìần

C h ú ý 1.2.1. Trong một qĩLần t h ể Q không thuần nhất D M từng phần,
nếu rí„ = 0 (Vn G N, í > 1) thì
1ịo,oc)(-t)-

= T,', Fo„{x) = F„(x), Fi„(x) =

các dãy ngẫu nhiên ( 1 . 2 . 4 ) có dạng ( ỉ . ỉ . ỉ ) và Q

trở thành quần th ể khõng thuần nhất D M toàn phần tronq Dịnh nqìãa
1.1. ỉ. Trong trường hựp này, nếu tuổi còn thọ lúc đổi mới

(n > 1)

là những dỉĩin cùng phân bố xác suất với dlnn t :
F„{x) := P { r „ < x} = F{x) := P { r < 2;} (V77. > 1 , X e K^),
thì Q trở tìiành "thuần nhất D M toàn phần " với T là "tuổi thọ các cá
thế" của Q trong mõ hình tổng quát. Dây là sự m ở TỘng trực tiếp các

khái niệrn tương ứng (Dịĩih nghĩa 1.1.1, Ị88j) của mô hĩnh rời rạc.
Khi niở rộng vec tơ A'n cơ cấu biến thiên (Dịiih nghĩa 4.1.2, [88]) thành
hàni phân bố Fxn{x) về tuổi Ti„ lúc đổi mới của các cá thể, ta đưa
ra dưới đâ}^ khái niệm tiệm cận thuần nhất trong mõ hình tổng quát,
như là sự inở rộng của khái niệm nàv trong Dịnh Iigliĩa 4.1.5, [88j:
D ịi i h n g h ĩ a 1.2.2. Q uần thể Q ĐM từng phần trong mô hình tổng
quát được gọi là tiệm cận thuần nhất, nếu các dãy hàiri phân bố
■'^on(íO}n, {^In( 2;)}n liội tụ về các phân bố giới hạn Fo^{x), F i ^ { x )
của các dliin Tooo, Ticc Iiiio <^ĩó:
= F „ „ ( x ) := P ị r ^ < X},
lllĩl„_>_l_cc

^

■ P { t \ oc —

Khi đó, quần thể tliuầii nhất DM từng phần Qoc (với tuổi thọ và tuổi
lúc DM của các cá thể lần lượt là TO^O) T^ioo) được gọi là quần thể giới
hạn của quần thể tiệm cận thuần nhất Q.
C h ú ý 1.2.2. Tương tự như trong Dịnh nghĩa 1.1.1, nếu các đlnn
Vn,Ton,Tìu (n > l) là liên tục thì các khái niệm nêu trong các Dịĩih
nghĩa 1.2.1 và 1.2.2 (trong mõ hình tổng quát) trở thành các khái niệm
tương ứng trong rnõ hình liên tục.


Chương 1. Piìãn ỉoại (luniì thổ trong mõ hình tỏng (ỊUÚI

20

Dổ biểu diễn điềti kiện (1.2.3) bằiig tích pliâii Sti('ltjcs (nêu troiig Phụ

lục A), ta xét mệnh đề dưúi dây:
B ổ đ ề 1.2.1. Nếu các dỉnn T^„,TỈ„ (Vz > 1, n > 0) dộc lập tr oìự Ị
toàn bộ và (jiả tìiiét ( D i) (íưực

tÌLỎa

lìiăìi, thì dtèu kiậ-ii (1.2.3)

trovẠ]

dó tương dươiig với diều kiện (lướt đây:
>c
0< 1-

= /
Jo

F„„(x)f/Fi„(x) < 1

(Vn > 0).

(1.2.7)

Ngoài ra, các dlnn r,', (i > 1. 7Ị > 0) trong (1.2.1) là kÌLÕng tầm thưừny
và cùng pliãn 'pìiối vói dhm:
'^071

'^\n

{ỉ^ht Tq„ > Tị„),

( 1 . 2 .8 )

Tn '■=
0

{ k h i T„„ <

Chứng ĩimiìi. T ừ (1.2.2) và tínli (tộc lậj) giữa

Tị„).

và Tịn ta sử (lụng

côiig tliức (A.Õ.9) và Ilt; (Ịuả A.3.G của Dịiili lý Fubini, (lổ suy ra:
0 < P { t:.„ < r;„} = E{1|„.,. j(T^„)} = £'{E|li„,,,.j(T-,;„)|ríJ) =
1
7n

E 1 Ịo-;-j

) T\^1 — X

P' '^on — '^ìn ^In

— /

'đF\

Ị i { ' J

^0

= r
Jo

P{Ton < x } c ỉ F U x ) = r
Jo

F„„(x-)r/F,„(r) ụ. > 1).

(1.2.9)

Trêii C(J sở n à v và biổu thức củ a x á c suất 7ĨJI tro n g (1.2.3) ta tliu (lược:
■•ro

TT,,, := P { t„„ > r,.„} = 1 -

/
Jo

F„„{x)dF,„{x) {Vn > 0).

(1.2.9*)

Bỏi vậy (1.2.3) và (1.2.7) là tương (tương.
Mặt kliác, do

> 0 và các đliin trong mỗi (,lãy {Tý„},>i, { r í , J ,> 1

là cùng phân phối với lần lưựt các dlnn
tích

I)liân

liiổu theo

ngliĩa

T o „ ,

Ti„(giả tliiốt {Dị)), nC'ii từ

Lebesgue-Sticlt.jes (Dịiih nghĩa A.2.2).


21

1.2. Q u ần t h ể dổi mới từng ph ần
( 1 .2 . 1 ) ta .suy ra rằng: rác đln n

(; > 1) là c ù iig

Ị)liối với (lliin

T„ (trong (1.2.8)). Khi đó, từ (1.2.7)-(1.2.9*) ta còn có:
P { t „ = 0} =

< Tu,}= /

F„„{x)dFu.{x) = 1 - TT,,. < 1

Jo

(V/ỉ > ũ). Ngliĩa là các dliin r„ (Vn > 0) là không tầm tliườỉig.
T h í d ụ (1.2.1): Công ty xây dựng Q (ở địa

J)hương)

□

tlu.i động nhận

từ Tổng công t}- các xe liêii liỢỊ) (xúc-ủi-clào đất) theo từng đợt của tiến
(ĩộ

kliói lượng công việc, với "thời gian" đo bằng Tấn

Giả sư rằng: Dợt tliứ II có

X

Kni (T.Kni).

xe cùng loại (cùng nlũui n iá c và nưi sản

xuất) được giao nhận vào "thời điểm'' ngẫu nhiên

{T.K in) của tiốii

(ĩộ nói trên, trong số này có cả những xe mới lẫn những xe đã được
bảo (lường định kỳ (duy tu, truiig tu, đại tu, ...). Ta gọi

là "tuổi

lúc dổi mới" của xe thứ I (í = 1 H- ưn) ti-ong đợt 11 , nếu (lua đánli giá
nghiộin thu nó được xcm như từ một xe mới loại trêii đã hoàn thàiili
khối lượiig công việc là rỉ,, (T.Kiii). Dồiig tliời, gọi //„ là số T.Kin
inà Cõiig ty đã lioàii tliàiili, kc từ đợt trước đến đợt giao xe thứ n và
xem rằng {i]n}n>\

những đliiii độc lập cùng phân bố với đlnn

V ^ Ei-{p,X) (Ị)hâii bố Erlaiig), có liàiii inật độ:

/,(.0 =
(Vx e

A > 0, p -

là số tự Iiliiên).

Khi đó, từ tíiih liên tục của đliin ĩ] ta có p{q,, = 0} = ũ < 1 {Vn > 1)
{n > 0) là các đlnii

và thu (lược giả tliiết (A). Nếu
có Ị)liân bố nhị thức âin (Pascal):
Pịu„ = k} =

r,.

^

^ ^

(VI- s N, r„ > 0, 0 < p„ < 1) ^
và nếu số TB các xe được nhận về trong mỗi đợt không thổ vượt quá
rnức ũ (iiạu chế bởi kliả uăng của Công ty về số lượiig tài xế, kích


22

Chương 1. Phân loại quần thế trong niõ hình tổng quát

thước bến đỗ...), tlù các thain số r„, Pn trong phân bố nói trên (òn
< ũ (Vn > 0) và ta có thể thừa Iil.ận

phải thỏa mãn điều kiện

giả thiết (B), khi xeni rằng số lượng dược giao Iiliận không lộ thuộc
vào lúc giao nliận xe trong niỗi đợt. Ngoài ra. nếu gọi "tuổi thọ" r/„,
của xe t h ứ i t r o n g đợt g i a o xe t h ứ II là số T.Kin i n à IIÓ sẽ h o à n t h ành
(tíiili từ lúc inua niới đến khi xe bị hỏng hoặc phải (lưa di bảo dưỡiig
ở Công ty) thì ta có thổ thừa nhậu giả thiết (Ci), khi xom rằng không
có sự lộ thuộc vào nhau giữa khối lượng công việc này và khối !ư(Jng
rị được đánh giá khi ngliiệm thu cũng Iilur số lượng Un, lúc giao nliận
xe trong từng đợt n.
Do tính cùng nhãn iriác và nơi sản xuất của các xo nhận về troiií>;
(i = 1 ^ Un) nói trên có tlu' xem như

mỗi đợt n, nên các đlnn

Iiliữiig thể hiện độc lập của đlmi

Ngoài ra, nếu giả thiết rằng

phưưng pháp đánh giá nghiệm tliu về "tuổi lúc đổi mới" (nhíẬn xc) là
Iiliất q u á n , k h á c h q u a n và đ ồ n g loạt đối với mọi xe tr o n g mỗi đ ợ t thì

ta có thể xem các đliin

(z = 1 ^

Iihư nliữiig thổ hiện (lộc lâp

cvìa đlnn Ti„. Trong thí (lụ IIÌU' ta tliừa nhậii Ton ~

phân l)ố

inũ âin, Tìri ~ Frac{ca.bn) có phâii bố Ị)han thưc, với các hàin mật
độ

(A- = 0

1) và pliâii bố Fa,,(x) tương ứiig lần lượt là:
(/í„ > 0); U X ' m) =

(a„ := (r„ - 6.)-*, c„ > K > 0); F,„(.r) = r
fr,At)dt.
J-oo

(1.2.12)

Klũ đó từ (A.Õ.3) ta nhận thấy rằng; giả thiết (Di) cũng được- thỏa
mãn, trong đó điều kiện (1.2.3) có dạng (xeni (1.2.7) và (A.5.12)):
,^
Í 0

roo T-I /■ \ I n / \
1'O.n (l —f
< /o F o n {x)d F U x) =

-

^

Jũ

(l + fc„x)2

^)r,(íy./' _
- =

^

Do các điều kiện (A), (B), (Ci), {Di) (nêu trong Dinh nghĩa 1.2.1) đều
được thỏa mãn, nên ta có thể xein quá trìiih khai thác các xc liên hợp


1.2. Quần thể đổi mới từng phần

23

trong tiến độ xủc-ủi-đào đất của Công ty Q như quá trinli p h á t triển
của niột quần thổ không thuần nhất, DM từng phần. Trong trường
liỢ]) này, vì r/„,T o„ ,T i„ {n >

1) là các đlnii liên t ụ c ( x e m ( 1 . 2 . 1 0 ) ,

(1.2.12)) nên từ Chú ý 1.2.2 ta nhậii thấy quần thể DM từng phần
(bằng cá thể cũ) nói trên đưực xét trong mô hình liên tục. Hơn nữa,
nếu các tham số trong các hàm mật độ (1.2.12) thỏa mãn điều kiện:
lini //„ = /X , liin C,1 — c , liin bn — b {ị.1 > 0, c > ò > 0),

ri—>+ oo

n—►-t-oo

n—y+ DO

thì từ (1.2.12) ta dỗ dàng thu được (1.2.6). Khi đó quần thể không
thuần n h ấ t DM bằng cá tliể cũ trong inõ hình liêii tục trẽn đây là
tiệm cận thuần nhất và quần tliể giới hạn Qoo

IIÓ có tuổi thọ Tooo)

tuỗi lúc DM Ti30 t ủ a các cá thể là các đlnn cũng có phân bố mũ âm
và phân thức trong dạng (1.2.12), với

:= /i, bn := h, Cn := c.

Dể đơn giản lióa các rnổ hình di.r báo về quần thể Q không thuần
Iiliất DM từng phần, sau này ta thường clmyổri IIÓ về quần thể Queu;
không thuần nhất DM toàn phần tương ứng, nghĩa là "toàn phần hóa
D M từng phần" của quần thể Q. Với ý nghĩa đó, ta xót vicỊc chuyển
Idiái ni(Ịm đổi mới từng phần về toàn phần qua mệnh đề sau;
D ị n h lý 1.2.1. Nếu quần thể khõng thuần nhất Q (xác định bởi các
dãy ngẫu nhiên ( 1 . 2 .4 )) là D M từng phần, thì các dlnn
(lịnh bởi (1.2.1) ỉà cùng phãn bố với dỉnn

Tn,

{i > 1) xác

có hàrn phân bố:

F„(x) := P { r„ < x} =

(1.2.13)

= 1 - 7T,, /q^[1 - F„,,(x + y)]dF^n{y) (-T > ũ),
Fn{x) := P { r„ < x} = 0

(x < 0).

(1.2.14)

Khi dó quần thể không thuần nhất Qnt-.m ^àc định bởi các dãy ngẫu
nhiên (1.1.1) (với

xác định bởi (1-2.1)) là D M toàn phần, trong dó

tuổi còn thọ lúc dổi mới của mỗi thế hệ n > 0 là dlnn T„ nối trên.


Clìưínig 1. Phrìỉì ioiìi

24

(ỊUầỉì

tỊìẽ trong mõ hĩiiỉì tỏiig qiỉút

Clíứĩig ĩìiinli. T ừ (1.2.1), (1.2.3) và công thức xác: suất (ỉầy đủ ta cỏ:
P K < ^} = P { r L > r U . P K < -^Kn > ^;n} + ỉ ’{ r L < r L : ^
< r;„} = 7ĩnP{K„ - r;„ < :r} + (1 - " „ )P { 0 < :r}

X

^ PỊtỊ, < x} = 7r„P{r^„ < X + t Ị J + (1 Từ tíiili (lộc lậ]) của ró„ với

(V.r > u).

7T„)

(1.2.15)

(giả thiết (Ci) \’à tính cùng phân Ị)hối

(1.2.2) trong rnỗi dãy {'r,‘„},>i,

(giả tliiốt ( ơ i ) ) ta thu (t rợc:

< 3; + r í , J = £ { l Ị 0 , , + , ; j ( r ' J } =
= /
70

P { to„ < 3:+ri„|ri„ == y}dFi„{y) = /
Jo
=

< ^' +
Do

r

Jo

P { t„„ < x+y}(lFi„{Ịj).

K Á X + y ) d F U v ) {'-r. > 0 ),

( 1 .2 . 1 G)

= 1 Iiên từ (1.2.15) và (1.4.1G) ta suy ra:
F„(x)

=

P{Tn

./n

(.T + (/)(/Fi„(/y) + (1 - 7T„)

^ roo

roo

Fon{-í-+ y)đFu,{y) -

— 1 + 7T„

/

đFuXv)

+ ; { / ) - ! dFu^iy)

{x > 0).

0

r»00

=

1 + 7T„

Nghĩa là (1.2.13) được chứng minh. Mặt khác, clo r„ > 0 (xoni (1.2.8))
nôn F„{x) = P { r„ < :r} = 0 (Vx < 0) và ta tlni được (1.2.14).

Cuối cùng, từ Bổ đề 1.2.1 ta biết rằiig: V/ỉ > 0 các đliin r ' >
0 (V'i > 1) là cùng phân phối với đlnn kliông tầin thường

T„.

Khi (ìó

điều kiện {D) được tlioả niãn.
Từ điều kiện (Ci) và công thức (1.2.1)) ta dễ clàiig suy ra sự tlioả mãn
điều kiện (C) đối với các đlnn r^. Khi kết hợp các kết quả này với
các giả thiết (A), (B) trong Dịnh nghĩa 1.2.1, ta thu được Dịnli ngliĩa
1.1.1 đối với quần thể không thuần

Iiliất

đổi inới DM toàn Ịihần

xác địnli bởi dãy ngẫu nhiên (1.1.1), trong đó tuổi thọ
(i,n) 6

xác địiih bởi (1.2.1).

của cá thồ
□


1.2. Cịutin tlìc i!ui mới từiìg J)liần

25

'Từ định lý trr '11 ta có thổ toàn Ị)liần hóa mồi CỊiiầii thổ D.M từng
l)liầii, khi cliiiyen 11(3 về "dạii”' toàn I)hẳii hỏa" sau đây:
D Ịiih n g h ĩ a 1.2.3. Quần tliổ DM toàii Ị)liầii

cho từ Dịnli lý

1.2.1 ,L!,oi là (ìạĩig toàn pỉiần hóa của (luầii thổ D.M từng phần Q.
C h ú ý 1.2.3. Có tìiê

xeiìi

hệ P V tỏng quát (Dtnh ngìũa 1.1.3), dạĩig:

Q = { / / . , ( i ') } „ / { A '4 J ') } „ / { F , .(,!)}„ /» : (oc.oc),

(1.2.1C-)

/;„(r) := P{ii„ < x). A'„(.r) := P{;/„ < :i:}, F„{x) := P{t„ < .t},
nìiư 'Iiiột q u ầ n t h ê D h ĩ từng pìiần Q , trung dó y ê u cầu ( i , n ) là cá t h ể
(/, /ỉ) G Q , tìiời ỊỊUin lưu irú r,'„, íìiời gian chờ P V

vù

tỉiỜL (ỊÌan P V

(Lính theo cõn(j thức (1.2.1)) lẫn lượt là tuôi thụ, tuôi lúc D M của
cá tlic {i, iì) Ễ Q và ỉuõi CÒ71 tkọ lúc DM của cá thế (i, ỉi) G Q,ICW
Số kênh của hệ P V (1.2.16*) là s < +OC, uiỗi yêu cầu (i,n) đến dều
dược xếp hàng (R=L-~ oc) và (ỉược P V một cácìi ngẫu nìiiên (SIIỈO).
Nhưng ìiậ P V này là thất tÌLoát, vì: Nếu yêu cầu (i,n) có tliời giaii chờ

PV

vượt quá 'ììiức (lự kiế'ii

vè thời gian lưu trú, tìà nó sữ. tự rời

kliói ìiàỉiỊ) (lợi và gián tiếp bi từ cìiối PV.
T h í d ụ (1.2.2) : Khách vào SirMi thị A liàiig ngày tlioo từiig đựt, trong
(ló (lơt /;. (lốn lúc (f,i với

khách. Gợi rỷ,, là thời giaii lưu lại Siêu thị

(từ lúc vào c ử a dốii lúc ra) c ủ a kìiácìi đựt n ( i , n ) {i = 1 H- ;v„); rí„ là
tliùi gi an c h ọ n h à n g c ủ a khách này (từ lúc và o c ử a đốn khi tới (lUầy

thanh toán); ?/,( :=

là thời gian chờ đợt, khácli thứ n, trong

đó {o = 0 là lúc inở cửa Siêu thị (với ưo = 0) và đliin rị„ ~ Frac{cn, b,i)
(phân 1jỐ pliân tliức), có liàin mật độ:
(Vi Ễ R ‘, A. > b„ > 0),

(h2.17)

Do Ijn (n > 1) là các đliiii liên tục nên P{;/u = 0} = 0 < 1 (Vu > 1)
và giả tliiết (A) sẽ được tliỏa inãn, nếu ta XCIII rằng tliời giaii chờ giữa


Chương 1. Phân loại quần thể trong inô hình tổng quắt

2G

các đợt kliácli trong ngàv không lộ tliuộc vào nhau. Ngoài ra, nếu số
đến Siêu thị mỗi đợt không vượt quá inức ũ và

T B kliácli

số khách

(lợt 11 là đlnii Un ~ G{pn) (phân bố hình học), thì ta có:
P{un = k} - /;,,(! - P ný {k > 0, 0 <
^

< 1)

o 10N
[1.2.16)

E{u„} = ^ < ũ { n > l ) .

Khi đó giả thiết (B) sẽ (lưực thỏa IIŨUI, nếu xeni rằng số lượng kliách
k h ô n g lệ tli u ộc và o lúc đến c ủ a niỗi đợt. Giả sử Ton ~ U { o , a r i ) (Ị)liàn

bố đều trên [o,a,i]), Ti„ ~
hàm niiật độ

PoLv{a„, dn) (phân bố lũy thừa). Khi đó

và Ị)liâii bố

(^• = 0 ^ 1) của chúng có dạng:

= l|.,„,,|(x )i,
, F„, ( x) =

A „ ( x ) = l[„,.„l(x)
(0 < X <

0„ ) ,

a,,,đ„

= 0 (x' < 0), Fkn{x) = 1 {x > Un), Ả; = 0
ran

/ '+ 0 0

í

=/

(1.2^19)

1 =>

rỉ

i Ì Ệ h ệ ĩ ĩ l

0 < r ' " Fo„{x)dFu,{x) =

Jo

> 0.

< 1 (n

> 1).

(1.2.20)

+ 1

Nếu thời gian chọn liàiig và tliời gian lưu lại Siêu thị của niỗi kliách
kliông lệ thuộc vào nhau và vào lúc đến cũng nliư số lượng khách trong
cùng đợt, thì ta tliii được giả thiết (C]). Ngoài ra, từ (1.2.20) ta suy
ra si.r thỏa mãn cỉia điều kiện (1.2.7) và do dó (xom Bổ đề 1.2.1) điều
kiện (1.2.3) cũng được thỏa inãii. Bởi vậv ta tliu được giả thiết (D-[) \'à
giả tliiết {D) đối với các dãy
các đlrin

{i > 1) cũng được thỏa inãn, vì

(?' > 1) cùng phân bố với đlnn liên tục Ton (xem (1.2.19))

nên ta có P{T o,i = 0} = 0 < 1. Tương tự, từ sự thỏa m ãn điều kiện
(Ci) ta suy ra sự thỏa ĩiiãn điều kiện (C) đối với các đliin

{i > 1).

T ừ sự thỏa mãn các điều kiện (A),(B),(C),(D) nói trên và Dịiih
nghĩa 1.1.1 ta suy ra qnầii thổ Qo (gồin những cá thể là khách hàng
(i,ii) vào Siêu thị trong ngày) là DM toàn phần. Khi đó, từ Chú ý