Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (2014)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
**********************

ĐÀO THỊ HỒNG HÂN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI
BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp dạy học môn Toán
Người hướng dẫn khoa học
Th.S ĐÀO THỊ HOA

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN
Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận
được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp và các
bạn sinh viên trong khoa. Qua đây, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới
các thầy cô trong tổ phương pháp, đặc biệt là cô Đào Thị Hoa – người đã
định hướng cho em lựa chọn đề tài, dẫn dắt, chỉ bảo tận tình, chu đáo
giúp em hoàn thành khóa luận của mình.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Đào Thị Hồng Hân

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em.
Những số liệu và kết quả trong khóa luận hoàn toàn trung thực. Đề tài
này chưa từng được công bố trong bất kì công trình khoa học nào.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Đào Thị Hồng Hân


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.............................................................................................. . 1
Chương 1. Cơ sở lí luận ...................................................................... . 3
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải của bài toán ...................................... 3
1.2. Vai trò, ý nghĩa của việc giải bài toán.............................................. 3
1.3. Phân loại bài toán ........................................................................... . 6
1.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán: Dựa theo 4 bước của
G.POLYA ..................................................................................................... 7
1.5. Một số kĩ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài toán .............. 10
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số................................................................ 12
2.1. Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số .................. 12
2.2. Các kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ......... 12
2.2.1. Kĩ năng sử dụng đạo hàm ..................................................... 12
2.2.2. Kĩ năng dùng các bất đẳng thức đặc biệt............................... 15
2.2.3. Kĩ năng sử dụng miền giá trị của hàm số .............................. 17
2.2.4. Kĩ năng dùng luỹ thừa với số mũ chẵn.................................. 18
2.2.5. Kĩ năng dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm ............................. 19
2.2.6. Kĩ năng sử dụng toạ độ - vectơ ............................................. 21
2.2.7. Kĩ năng lượng giác hoá......................................................... 23
2.3. Hệ thống bài tập vận dụng ............................................................. 24

KẾT LUẬN........................................................................................ . 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 59


MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Mục đích của việc giảng dạy môn toán ở phổ thông là trang bị cho
học sinh những kiến thức cơ bản về môn toán, phương pháp giải toán,
rèn luyện kĩ năng giải toán, giúp học sinh khai thác các hoạt động tiềm
ẩn trong nội dung môn toán phát triển tư duy logic cho học sinh. Dạy
học giải bài tập toán góp phần không nhỏ vào việc thực hiện mục đích
này.
Chương trình toán trung học có rất nhiều dạng toán khác nhau.
Trong đó có những dạng toán khó, cụ thể như dạng toán “Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số”. Đây là một dạng toán khó đối với
học sinh phổ thông bởi các bài toán này rất phong phú, đa dạng và có
phạm vi rộng; là một trong những dạng toán được quan tâm nhiều trong
các kì thi đại học, kì thi tuyển chọn học sinh giỏi trong nước và quốc tế.
Việc giải các bài toán này đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức
hợp lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ, đưa người học lại gần với các
bài toán trong thực tế. Chính điều đó làm học sinh hứng thú hơn đối với
dạng toán này. Tuy nhiên, các bài tập thuộc dạng này trong sách giáo
khoa chưa nhiều và cách giải còn chưa được hệ thống.
Với những lí do trên và với sự quan tâm, hứng thú của bản thân, em
xin lựa chọn đề tài: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ”.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Rèn luyện cho học sinh trung học phổ thông kĩ năng giải các bài
toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Thông qua đó
nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học môn toán ở phổ thông.

1


3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu cơ sở lí luận của việc giải toán.
- Hệ thống các kiến thức, kĩ năng giải dạng toán tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất của hàm số.
- Xây dựng hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng giải dạng toán tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số ở trường trung học phổ thông.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, em đã sử dụng một số phương
pháp sau:
Nghiên cứu lí luận
Quan sát, điều tra
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nếu học sinh được rèn luyện các kĩ năng giải bài tập tìm giá trị lớn
nhất giá trị nhỏ nhất của một hàm số thì học sinh sẽ dễ dàng hơn trong
việc giải những bài toán cực trị và học sinh sẽ thấy hứng thú học toán
hơn.
7. CẤU TRÚC KHÓA LUẬN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo thì khoá luận
gồm hai chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số

2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm bài toán và lời giải của bài toán
1.1.1. Khái niệm bài toán
Theo G.POLYA, bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một
cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất
định trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt ngay được.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng:
Bài toán là sự đòi hỏi phải đạt tới đích nào đó. Như vậy bài toán có thể
đồng nhất với một số quan niệm khác nhau về bài toán như: đề toán, bài
tập,…
1.1.2. Khái niệm lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần
thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Như vậy, ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài
toán.
Bài toán có thể: có một lời giải, không có lời giải hoặc nhiều lời
giải.
Giải được một bài toán được hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất
một lời giải của bài toán trong trường hợp bài toán có lời giải hoặc lí giải
được bài toán là không giải được trong trường hợp nó không có lời giải.
1.2. Vai trò, ý nghĩa của việc giải bài toán
1.2.1. Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh
Trong thực tế, một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm
toán học và các kết luận toán học. Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải

3

phân tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề
toán và các kiến thức đã biết khác có liên quan tới bài toán, tổng hợp lại
đề để ra kiến thức mới. Và cứ như vậy các kiến thức mới tìm ra lại cùng
các kiến thức đã biết trước phân tích, tổng hợp lại để đề ra kiến thức mới
nữa,…Cuối cùng chúng ta đi đến được lời giải của bài toán.
Như vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có
trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán
cũng được củng cố qua lại nhiều lần.
1.2.2. Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh
Đặc điểm nổi bật của toán học cũng như của môn toán là một khoa
học suy diễn, được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Do vậy, lời giải
của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác có thứ tự chặt chẽ để
đi đến một mục đích rõ rệt. Vì vậy, khi giải một bài toán nó có tác dụng
trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận logic, suy
luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn,…
Chúng ta biết rằng, không thể có một phương pháp chung nào để
giải được mọi bài toán. Mỗi bài toán có một hình vẻ khác nhau, muốn
tìm ra được lời giải của bài toán chúng ta phải phân tích, phải biết cách
dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới các vấn
đề tương tự, gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá,
…
Như vậy, qua việc giải bài toán thì năng lực tư duy sáng tạo được
rèn luyện và phát triển.
1.2.3. Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học
sinh
Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất
cứ bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ

môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải
quyết được các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó.
Trong việc giảng dạy toán, bài toán lại tham ra vào trong mọi tình
huống của quá trình dạy học môn toán.
Trong giảng dạy khái niệm toán học, bài toán được sử dụng để tổ
chức, gây tình huống, để dẫn dắt học sinh có thể đi đến định nghĩa khái
niệm; bài toán được sử dụng để nêu ra làm các ví dụ hoặc phản ví dụ
minh hoạ cho khái niệm, bài toán được sử dụng để luyện tập củng cố,
vận dụng khái niệm.
Trong giảng dạy định lí toán học, bài toán có thể được sử dụng để
tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lí
toán học, bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập sử dụng định
lí. Đặc biệt là việc tổ chức, hướng dẫn học sinh chứng minh định lí chính
là việc tổ chức, hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một bài toán
cơ bản có nhiều ứng dụng trong một phần hay một chương nào đó của
môn học.
Trong luyện tập toán học, bài toán là phương tiện chủ yếu trong các
tiết luyện tập toán học. Trong đó người giáo viên phải xây dựng được
một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp
học sinh củng cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào
đó.
1.2.4. Bồi dưỡng, phát triển nhân cách cho học sinh
Đặc điểm cơ bản trong tính cách của con người là mọi hoạt động
đều có mục đích rất rõ ràng. Khi giải một bài toán ta luôn có hướng mục
đích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn
luyện năng lực hoạt động của con người. Để giải một bài toán, nhất là
đối với các bài toán khó người giải phải vượt qua rất nhiều khó khăn,

phải kiên trì, nhẫn nại và nhiều khi người ta phải có quyết tâm rất lớn để
giải bài toán đó. Nói theo cách của G.POLYA là “khát vọng và quyết
tâm giải được bài toán là một nhân tố chủ yếu trong quá trình giải mọi
bài toán”. Do vậy ta thấy rằng: hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ
yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người.
1.3. Phân loại bài toán
Người ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt
được mục đích nhất định thường là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
1.3.1. Phân loại theo hình thức bài toán
Người ta căn cứ vào kết luận của bài toán: kết luận của bài toán đã
cho hay chưa để phân chia bài toán ra thành hai loại:
Bài toán chứng minh: là bài toán kết luận của nó đã đưa ra một cách
rõ ràng trong đề bài toán.
Bài toán tìm tòi: là bài toán trong đó kết luận của nó chưa có sẵn
trong đề bài toán.
1.3.2. Phân loại theo phương pháp giải bài toán
Người ta căn cứ vào phương pháp giải bài toán: bài toán này có
angorit giải hay chưa để chia các bài toán ra thành hai loại:
Bài toán có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó
theo một angorit nào đó hoặc mang tính chất angorit nào đó.
Bài toán không có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của
nó không theo một angorit nào hoặc không mang tính chất angorit nào.
1.3.3. Phân loại theo nội dung bài toán
Người ta căn cứ vào nội dung của bài toán được phát biểu theo
thuật ngữ của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài
toán thành các loại khác nhau như: bài toán số học, bài toán đại số, bài
toán hình học.


1.3.4. Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Người ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài
toán: bài toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ
năng nào đó hoặc là bài toán nhằm phát triển tư duy.Ta có hai loại bài
toán như sau:
Bài toán củng cố kĩ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay
sau khi học một hoặc một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.
Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống
các kiến thức cũng như kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có khả năng tư
duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
1.4. Phương pháp tìm lời giải bài toán: Dựa theo 4 bước của
G.POLYA
1.4.1. Bước 1: Tìm hiểu đề
Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi
tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
Những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố
thay đổi, biến thiên của bài toán?
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.
Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết không?
1.4.2. Bước 2: Xây dựng chương trình giải
Để tìm được lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì bước xây
dựng chương trình giải là bước quyết định, đồng thời cũng là bước khó
khăn nhất. Bước này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết
để nhận xét, so sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài
toán.
Đối với những bài toán không có angorit giải, chúng ta sẽ phải tiến
hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:


i, Phương pháp đi xuôi

Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề bằng
suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó.
Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của
bài toán làm tiền đề mới. Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các
hệ quả logic mới gần gũi hơn với kết luận…Cứ tiếp tục quá trình ấy
chúng ta tìm ra được hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán. Khi ấy,
ta tìm được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
AB
X ,
C  D

trong đó A, C là các giả thiết, còn X là kết luận
ii,Phương pháp đi ngược
Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận
hợp logic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này.
Tiếp tục chúng ta chọn lọc để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết của bài
toán để làm kết luận mới, từ đó rút ra các tiền đề logic mới của các kết
luận mới này… Quá trình này lại được tiếp diễn, ta tìm được các tiền đề
logic trùng với giả thiết của bài toán và tìm được lời giải của bài toán.
Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:
C  A
X 
,
D  B

trong đó A, C là giả thiết còn X là kết luận
Chú ý: Thông thường trong nhiều trường hợp để tìm được lời giải của
bài toán ta thường kết hợp hai phương pháp đi xuôi và phương pháp đi
ngược.

iii, Phương pháp sử dụng các phép suy luận quy nạp
Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có nhiều phương
pháp. Tuy nhiên, không phải phương pháp nào cũng có thể đi tới lời giải
của bài toán.
Có những bài toán mà ta sử dụng nhiều phương pháp như: phương
pháp đi xuôi, phương pháp đi ngược, thậm chí kết hợp cả hai phương
pháp đó mà vẫn chưa tìm ra lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần
chuyển hướng suy nghĩ theo hướng khác, tạm gọi là phương pháp sử
dụng các phép suy luận quy nạp, nghĩa là: suy nghĩ đến bài toán liên
quan, có tính chất gần với bài toán ta cần giải (có thể là bài toán con, bài
toán tương tự, đôi khi là là bài toán khái quát).
Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của bài toán có liên quan với
bài toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của
bài toán đã cho. Theo G.POLYA, chúng ta thường đặt ra các câu hỏi sau:
“Anh có biết một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?”, “Đây
là một bài toán gần giống với bài toán của anh đã được giải rồi. Anh có
thể dùng được nó làm gì không ?”, “Nếu anh không giải được bài toán đã
cho thì trước hết hãy giải bài toán gần giống nó”.
1.4.3. Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Đây là quá trình tổng hợp lại bước xây dựng chương trình giải, ta
dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của toán học, các
mệnh đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong bước thực hiện chương trình giải một bài toán cần chú ý
phân biệt sự khác nhau giữa những điều đã thấy được và những điều suy
ra được chính là điều chứng minh được.
1.4.4. Bước 4: Nhận xét lời giải và nghiên cứu sâu lời giải bài toán
Thử lại các kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải
đã tìm được của bài toán.

Nghiên cứu các bài toán có liên quan.
1.5. Một số kĩ năng thường sử dụng khi dạy học giải bài tập toán
Môn toán đòi hỏi học sinh phải thường xuyên thực hiện những hoạt
động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát
hóa. Do đó có tác dụng rèn luyện cho học sinh những hoạt động trí tuệ
này. Và đó chính là những kĩ năng cần thiết cho việc rèn luyện kĩ năng
giải bài tập toán, cụ thể:
- Phân tích là tách (trong tư tưởng) một số hệ thống thành những
vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ.
- Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành những
vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống.
Phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau
nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống nhất. Chúng là hai hoạt
động trí tuệ cơ bản của quá trình tư duy. Những hoạt động trí tuệ khác
đều diễn ra trên nền tảng phân tích và tổng hợp.
- Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc
điểm không bản chất. Đương nhiên sự phân biệt bản chất với không bản
chất ở đây mang ý nghĩa tương đối, nó phụ thuộc mục đích hành động.
- Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập
hợp đối tượng lớn hơn chứa tập ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc
điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát. Như vậy, ta thấy
ngay rằng trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa.
Cùng với phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, trong
môn Toán học sinh còn thường phải thực hiện các phép tìm đoán, so
sánh, tương tự,...Do đó có điều kiện rèn luyện cho học sinh những hoạt
động trí tuệ này.
Những kĩ năng trên có thể được minh họa qua ví dụ sau:

Ví dụ:
Tìm công thức tính sin 3x theo các hàm số lượng giác của đối số x .
Thoạt tiên hoạt động phân tích làm biến đổi sin 3x thành
sin  2x  x  . Sự phân tích này diễn ra trên cơ sở tổng hợp, liên hệ
biểu
thức sin 3x với công thức sin  a  b   sin acosb  sinbcosa . Việc
khớp
trường hợp riêng sin  2x 
x

vào biểu thức tổng quát sin  a 
b

là một

sự khái quát hóa; việc này được thực hiện nhờ trừu tượng hóa, nêu bật
các đặc điểm bản chất “hàm số sin”, “ đối số có dạng tổng hai số” và
tách chúng khỏi những đặc điểm không bản chất như “ một số hạng của
tổng gấp đôi số hạng kia”. Tiếp theo khái quát hóa là việc đặc biệt hóa
công

thức

a  2x, b 
x

sin  a  b   sin acosb 
sinbcosa

cho

trường

hợp

để đi đến công thứcsin  2x  x   sin 2xcos x  sin
xcos2x .

Hoạt động phân tích lại diễn ra khi tách riêng sin 2x và cos 2x
trong công

thức

trên
2

để

biến

đổi

thành sin 2x  2sin

2

xcos x ; cos2x  cos x  sin x . Từ đó dẫn tới biến đổi vế
phải thành
2

3
3sin xcos x  sin x . Cuối cùng, việc liên kết biểu thức xuất phát sin

3x

với kết quả biến đổi 3sin xcos2 x  sin3 là một sự tổng hợp dẫn tới:
x
2

3

sin3x  3sin xcos x  sin x .


CHƯƠNG 2
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
2.1. Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y  f (x) xác định trên tập D
* Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f (x) trên tập D
(kí hiệu M  max f (x) hay M  max nếu hai điều kiện sau được thoả
xD
y
xD
mãn :
x  D : f (x)  M

 D : f (x )  M
 x
1

1

*Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f (x) trên tập D
(kí hiệu m  min f (x) hay m  min ) nếu hai điều kiện sau được thoả
xD
y
xD
mãn :
x  D : f (x) 
m

 D : f (x ) 
 x
2
2

m

2.2. Các kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, chúng ta có
thể sử dụng nhiều kĩ năng khác nhau. Sau đây là những kĩ năng tìm giá
trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2.2.1. Kĩ năng sử dụng đạo hàm
* Cơ sở của phương pháp: chủ yếu dùng đạo hàm để khảo sát chiều
biến thiên của hàm số và dựa vào bảng biến thiên cùng với các giá trị đặc
biệt trên tập xác định của hàm số mà suy ra kết quả.
* Dạng toán: Cho hàm số y  f (x) có tập xác định D . Hãy tìm
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

* Cách giải:
- Tính y ' . Cho y '  0, tìm các nghiệm của phương trình y '  0
là
x1, x2 , ..., xn  D
- Lập bảng biến thiên, ta suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số
* Nếu có tập xác định D   a;b thì không cần lập bảng biến thiên
- Tìm các điểm tới hạn x1 , x2 ,...,

xn

của f (x) trên  a;b 

- Tính f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ),..., f (xn )
- Kết luận: max f (x)  max{ f (a), f (b), f (x1 ), f (x2 ),..., f (xn )}
x[a,b]

min f (x)  min{f (a), f (b), f (x1 ), f ),..., f (xn )}
x[a,b]
(x2
* Giả sử hàm số y  f (x) liên tục và có đạo hàm trên  a;b . Hàm
y  f (x) tăng (giảm) trên

 a;b  nếu

f '(x) 
0

( f '(x)  0 ) x   a;b

(dấu “=” chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm thuộc đoạn  a;b  ).
- Nếu f (x) tăng trên đoạn  a;b thì min f (x)  f (a)
xD

và

max f (x)  f (b)
xD

- Nếu

f (x)

giảm trên đoạn

 a;b

thì

min f (x)  f (b)
xD

max f (x)  f (a)
xD

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  x  18  2x 2
Hướng dẫn: Tập xác định: D  [  3,3] . Ta có:

và

y ' 1


4x

2 18  2x 2

2

18  2x 
2x
18 
2
2x


y'0

18  2x 2  2x  0 

18 
2x 2

 2x

x  0
x 



0



x 3 x  3


2
18
x2 

2  2x 



4x
3
 x 3
Nếu x  3 y  3, x 
y  3 x   3 thì y  3 3
thì
,
3thì
x 
0

Vậy giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x  3 , giá trị nhỏ nhất của
y
là 3 3 , đạt được

x 3
khi
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của
Hướng dẫn: Tập xác định : D 
y'

2

x 1
x 2  x 1

. Ta có:

(x 2  x 1)  (2x 1)(x
2
2
1) (x  x 1)

y '  0  x  2x  0 

y

x 2 
2x
 2
(x  2x 1) 2

x  0


 x
2

Bảng biến thiên
x

-∞

y'
y

-2
-

0

0

0
+

0

+∞
-

1



1
3

Dựa vào bảng biến thiên ta được:
- Giá trị lớn nhất của y là 1, đạt được khi x  0

0


-

Giá trị nhỏ nhất của y là 

1
, đạt được khi x  2
3


2.2.2. Kĩ năng dùng các bất đẳng thức đặc biệt
2.2.2.1. Bất đẳng thức Cauchy :
Với ai  0với mọi i 1,2,...,n ta có :
a1  a2  ...  an  n n a1a2 ...an
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an
* Nếu a1a2 ...an  P không đổi
thì
nhất là n n P khi và chỉ khi a 
a
1

2

a1  a2  ...  an  S đạt giá trị
nhỏ

 ...   n P
a
n

* Nếu a1  a2  ...  an  S không đổi a1a2 ...an  P đạt giá trị lớn
thì
 Sn

nhất
 là
khi
a và chỉ khi a 
 
1
n 

 ...  a 
2

n

S

n

Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của y  3x1  32x

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm
2x

và 3

3

x1

, ta được:
 2 33  6 3

y  3x1  32x  2
3x1.32x
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi 3

x1

3

2x

 x 1  2  x  x 

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 6 3 , đạt được khi x 

1
2

1

2

CHÚ Ý : Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần đặc biệt chú ý đến điều
kiện các ai phải không âm. Cũng giống như khi sử dụng các bất đẳng
thức khác, có khi phải biến đổi một số bước mới có thể áp dụng trực tiếp.
2.2.2.2. Bất đẳng thức Bunhiacopski
Cho 2 bộ số(a1,a2 ,...,an ),(b1 ,b2 ,...,bn ) ta có:
2

2

2

2

2

2

2


(a1  a2  ...  an ).  b2  ...  bn )  (a1b1  a2b2  ...  anbn )
(b1
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ
khi

a1
b1



a2
b2

 ... 

an
bn


Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A  2x 
3y
2x2  3y 2  5
Hướng dẫn: Ta có: A2   2x  3y 2  2. 2x  3. 3y


Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có
2
2
A2   2

x3  . 2



2



2

2
 y 3 

         

Hay A2  5. 2x 2  3y 2   5.5  25
x 2 y 3

x  y

A  25   2

3 
2
2
2x

3y


 2
5
2  5

2x
3y

2

x  y 1
 x  y  1

Do A2  25  5  A  5
Vậy min A  5 đạt được
khi
max A  5 đạt được
khi

x  y  1
x  y 1

2.2.2.3. Các bất đẳng thức lượng giác
Cho hàm số y  u(x) có tập xác định D
* sin u(x) 1 , cosu(x) 1 , sinu(x)  cosu(x) 
*sin 2x 

2 x  D

2 tan x
2 tan x

1
1 tan 2 x 1 tan 2 x

1 tan 2 x 1 tan 2 x
* cos 2x 
2 
2 1

1 tan
1 tan x
x
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y  sin x  cos
x

biết


Hướng dẫn: x , ta có:
0  sin x  1  sin 2 x  sin x


và
0  cos x  1  cos2 x  cos x
Do đó: y  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x 1
Dấu " = " xảy ra khi
2

sin x  sin
x


xcos 2 x  cos

 sin x  0

cos x
sin x  0


1
x   k

sin
x
cosx  0

1


 cos x  0


2

x  k (k 

Vậy giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi



k  

)

2
Xét y 2 



sin x  cos x  1 2 sin x .
2

1 sin 2x  2

cos x
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi sin 2x 1  x 




4

Vậy giá trị lớn nhất của y là

2 khi x 


4

2

n  

n



n  

n

2

2.2.3. Kĩ năng sử dụng miền giá trị của hàm số
* Định nghĩa miền giá trị của hàm số : Cho hàm số f (x) có miền xác
y
định D . Khi đó hàm số có miền giá trị:
f (D) 


y  D / y

f (x), x  D

Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức
là tìm điều kiện để phương trình y0  f (x) có nghiệm (với y0 là một giá
trị tùy ý của hàm số y  f (x) trên tập xác định D ). Sau đó, từ điều kiện
tìm được biến đổi về một trong các dạng sau:
1. Nếu