Khóa luận tốt nghiệp toán học :RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHO HỌC SINH THPT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC




NGUYỄN THỊ HIỀN





RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CHO HỌC SINH THPT





KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC





SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC




NGUYỄN THỊ HIỀN





RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CHO HỌC SINH THPT




Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Doãn Mai Hoa

SƠN LA, NĂM 2014


LỜI CẢM ƠN

Đề tài của em hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của Thạc sĩ Doãn Mai Hoa
- giảng viên khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại Học Tây Bắc. Đồng thời, em
cũng nhận được rất nhiều sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo, Ban chủ
nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, Phòng khoa học công nghệ và hợp tác Quốc tế,
Trung tâm thông tin thư viện, các thầy cô giáo trong trường THPT Phan Đình
Giót (Thành phố Điện Biên), các em học sinh lớp
12
12C , 12C
trường THPH
Phan Đình Giót, cùng các bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán - Lý.
Nhân dịp này, chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy
cô giáo, các em học sinh đã nhiệt tình giúp đỡ chúng em trong quá trình hoàn
thành đề tài.
Với đề tài này, em mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2014
Người thực hiện
Sinh viên: Nguyễn Thị Hiền


CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BĐT
Bất đẳng thức
THPT
Trung học phổ thông
GTLN
Giá trị lớn nhất
GTNN
Giá trị nhỏ nhất
S
Diện tích
TN
Thực nghiệm
ĐC
Đối chứng
GV
Giáo viên
HS
Học sinh
PT
Phương trình
CĐ
Cao đẳng
ĐH
Đại học
K
Khá
G
Giỏi
TB
Trung bình

STT
Số thứ tự



MỤC LỤC

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài…………………………………………………………… 1
2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………………….1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………………………1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………………………… 1
5. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………… 2
6. Cấu trúc của đề tài…………………………………………………………….2
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN………………………… 3
1.1. Phương pháp dạy học……………………………………………………….3
1.2. Kĩ năng – Kĩ năng giải bài tập toán…………………………………………3
1.2.1 Các mức độ của kĩ năng………………………………………………… 3
1.2.2. Các giai đoạn hình thành kĩ năng giải bài tập toán học………………… 4
1.2.3. Con đường hình thành kĩ năng giải bài tập……………………………….4
1.3. Vai trò của bài tập toán học…………………………………………………5
1.4. Vị trí chức năng của bài tập toán học……………………………………….5
1.5. Định nghĩa GTLN – GTNN……………………………………………… 6
1.6. GTLN – GTNN trong chương trình THPT…………………………………7
1.7. Một số phương pháp tìm GTLN – GTNN………………………………… 7
1.8. Thực trạng của việc dạy và học GTLN – GTNN của học sinh THPT…… 9
1.8.1. Điều tra đối với giáo viên……………………………………………… 10
1.8.2. Điều tra đối với học sinh……………………………………………… 10
1.9. Đề xuất nâng cao chất lượng dạy của giáo viên, chất lượng học của học
sinh…………………………………………………………………………… 12

CHƢƠNG 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM
GTLN – GTNN……………………………………………………………… 13
2.1. Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm GTLN –
GTNN………………………………………………………………………… 13


2.2. Rèn luyện một số kĩ năng giải bài toán tìm GTLN – GTNN…………… 14
2.2.1. Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số………………………….14
2.2.2. Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến… 19
2.2.3. Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức chứa hai biến……… 23
2.2.4. Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức có từ ba biến số trở
lên…………………………………………………………………………… 33
2.2.5. Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức lượng giác………… 41
2.2.6. Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN trong hình học…………………… 48
CHƢƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM…………………………………54
3.1. Mục đích thực nghiệm…………………………………………………… 54
3.2. Nội dung thực nghiệm…………………………………………………… 54
3.3. Tổ chức thực nghiệm…………………………………………………… 54
3.4. Tiến hành thực nghiệm…………………………………………………….54
3.5. Kết quả rút ra từ thực nghiệm…………………………………………… 55
3.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm…………………………………………… 55
3.7. Kết quả rút ra từ thực nghiệm…………………………………………… 56
KẾT LUẬN……………………………………………………………………57
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….57

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống trong thế kỉ 21, thế kỉ của khoa học công nghệ và hội
nhập. Tri thức, kĩ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong sự

phát triển xã hội, trong đó giáo dục góp phần to lớn trong việc trang bị tri thức,
kĩ năng cho con người.
Toán học, một khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như đối với các
ngành khoa học khác. Nó ra đời và ngày càng phát triển thâm nhập vào hầu hết
các lĩnh vực khoa học và đời sống.
Các bài toán về GTLN – GTNN là một trong những mảng kiến thức hay và
khó nhưng lại có vai trò hết sức quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo
cho học sinh.
Bài toán GTLN – GTNN rất đa dạng và phong phú, để giải được chúng đòi
hỏi phải nắm vững được công thức đạo hàm, các bất đẳng thức, công thức lượng
giác… điều quan trọng là phải có kĩ năng sử dụng các phương pháp để tìm
GTLN – GTNN.
Rèn luyện kĩ năng giải bài toán GTLN – GTNN vừa là mục đích, vừa là
phương tiện làm cho học sinh nắm vững được kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ
năng suy luận toán học, tính toán, toán học hóa các tình huống thực tế và rèn
luyện các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập sáng tạo, cẩn thận chính xác…
góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh.
Xuất phát từ lý do trên tôi lựa chọn đề tài: “ Rèn luyện một số kĩ năng giải
bài toán tìm GTLN – GTNN cho học sinh THPT” nhằm đề xuất một vài suy
nghĩ về việc nâng cao chất lượng dạy học GTLN – GTNN ở trường THPT.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cấu trúc rèn luyện kỹ năng giải bài toán GTLN – GTNN cho
học sinh THPT góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học giải bài toán GTLN –
GTNN.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn liên quan đến đề tài.

2
- Nghiên cứu các kĩ năng cần thiết trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải bài
tập GTLN – GTNN.

- Đề xuất biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng giải một số bài toán GTLN
– GTNN.
- Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu đánh giá tính khả thi của biện pháp
đã đề xuất.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán GTLN – GTNN để rèn luyện một số kĩ năng giải
bài tập cho học sinh THPT.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán về GTLN – GTNN trong chương trình THPT.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận
Nghiên cứu, tìm hiểu và phân tích các tài liệu, các công trình nghiên cứu
khoa học liên quan đến rèn luyện kĩ năng và một số vấn đề lý luận có liên quan.
5.2. Phương pháp quan sát điều tra
Nghiên cứu, tìm hiểu việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh ở một số trường
THPT qua các bài toán GTLN – GTNN.
5.3. Phương pháp thử nghiệm sư phạm
Đánh giá tính khả thi của biện pháp đã đề xuất.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, mục lục, danh mục các tài liệu tham khảo khóa luận
gồm có 3 chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2. Rèn luyện một số kĩ năng giải bài toán GTLN – GTNN cho học
sinh THPT.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.



3

CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phƣơng pháp dạy học
Phương pháp thường được hiểu là con đường, là cách thức để đạt những
mục tiêu nhất định.
Phương pháp dạy học là những hình thức và cách thức hoạt động của giáo
viên và học sinh trong những điều kiện dạy học xác định nhằm đạt mục đích dạy
học. Phương pháp dạy học là những hình thức và cách thức, thông qua đó và
bằng cách đó giáo viên và học sinh lĩnh hội những hiện thực tự nhiên và xã hội
xung quanh trong những điều kiện học tập cụ thể.
1.2. Kĩ năng – Kĩ năng giải bài tập toán
Theo tâm lý học kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hoạt động
nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.
Kĩ năng giải bài tập toán học của học sinh có thể hiểu đó là kỹ năng sử dụng
có mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học.
Một số học sinh có kĩ năng giải bài tập toán tức là biết phân tích bài toán từ
đó xác định được hướng giải đúng, trình bày lời giải một cách lôgic, chính xác
trong một thời gian nhất định.
1.2.1. Các mức độ của kĩ năng
Trong toán học có thể chia làm hai nhóm kỹ năng giải bài tập toán:
- Rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán học cơ bản.
- Rèn luyện kĩ năng giải bài tập toán tổng hợp.
Trong mỗi nhóm lại có ba trình độ khác nhau:
Biết làm: Nắm được quy trình giải một loại bài bập toán cơ bản nào đó
tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh.
Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác theo cách giải như bài mẫu
nhưng chưa có biến đổi.
Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo
khác lời giải mẫu do biết tận dụng vốn kiến thức kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với
những bài toán cơ bản mà với cả bài toán mới.

4
1.2.2. Các giai đoạn hình thành kĩ năng giải bài tập toán
Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lý thuyết để giải những bài tập cơ bản, từ
đó sẽ hình thành ở học sinh các thao tác cơ bản như: viết các đại lượng theo
ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, ký hiệu, tính giá trị dựa vào công
thức… việc hình thành kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn này là giải bài tập mẫu cụ
thể để học sinh biết được angotit thao tác giải một bài tập toán học cơ bản (có
thể giáo viên tự trình bày hoặc gợi ý để học sinh tự giải).
Giai đoạn 2: Học sinh vận dụng kiến thức thao tác để giải bài tập toán cơ
bản qua đó hình thành kĩ năng giải các bài cơ bản. Việc hình thành kỹ năng
riêng rẽ của giai đoạn này là: Luyện giải một số bài tập toán học tương tự bài tập
mẫu nhằm giúp học sinh nắm được sơ đồ định hướng giải một bài tập toán học
cơ bản.
Giai đoạn 3: Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho
học sinh giải những bài tập tổng hợp phức tạp, đa dạng hơn. Việc hình thành
đúng kỹ năng riêng rẽ của giai đoạn 3 là: Rèn luyện giải một bài tập toán học
tổng hợp (khác bài mẫu) ngày một đa dạng, phức tạp hơn từ thấp đến cao nhằm
giúp học sinh vận dụng sơ đồ định hướng để giải các bài tập tổng hợp.
Muốn hình thành được kỹ năng giải bài tập toán học cần hiểu được cấu trúc
của nó, kỹ năng giải chúng không đơn lẻ là một hệ thống các kỹ năng như: kỹ
năng giải bài tập lý thuyết, kỹ năng tính toán, kỹ năng thực hành các phép biến
đổi… và các kỹ năng này là một thể thống nhất.
Sự phân chia chỉ là tương đối, trong cùng một hệ thống giữa các kỹ năng
đều có mối liên hệ chặt chẽ, kỹ năng này là cơ sở để hình thành kỹ năng kia và
ngược lại, việc hình thành kỹ năng sau lại củng cố rèn luyện kỹ năng trước đó.
1.2.3. Con đƣờng hình thành kĩ năng giải bài tập
Theo lý luận dạy học thì kỹ năng được hình thành do luyện tập mà có, có
thể hình thành kỹ năng giải bài tập theo nhiều cách:
Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự bài tập

mẫu. Việc luyện tập này có thể tiến hành ngay trong tiết học, cũng có thể rải rác
qua một số bài hoặc bài tập về nhà. Việc dạy học sinh giải bài tập toán học theo

5
sơ đồ định hướng là rất quan trọng, giúp vèn luyện từng thao tác giải từng loại
bài tập toán học cụ thể. Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi
những điều kiện và yêu cầu cảu bài toán được thay đổi từ đơn giản đến phức tạp.
Hệ thống bài tập được sắp xếp từ dễ đến khó, giúp học sinh phát triển các kỹ
năng bậc cao.
Luyện tập theo nhiều hình thức giải các bài tập toán học khác nhau: Ngoài
bài tập để có thể có nhiều hình thức rèn kỹ năng giải bằng lời, giải dưới dạng
viết, giải bằng thực nghiệm.
Luyện tập thường xuyên: Mỗi kỹ năng được hình thành phải được học sinh
thực hiện thành thạo vì thế cần tạo điều kiên để học sinh rèn luyện kỹ năng trong
tiết học, trong hoạt động học ở nhà.
1.3. Vai trò của bài tập toán học
Trong dạy học toán học, mỗi bài tập toán học được sử dụng với những
dụng ý khác nhau: Có thể dùng để đào tạo tiền để xuất phát, để gợi động cơ. Ở
thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những
chức năng khác nhau (chức năng dạy học, chức năng giáo dục) những chức năng
này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học như giúp học sinh nắm
vững, củng cố tri thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực trí tuệ, bồi
dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm chất đạo đức
của ngườu lao động mới. Vì vậy việc dạy học giải bài tập toán cần được quan
tâm đặc biệt.
1.4. Vị trí chức năng của bài tập toán học
Ta đã biết các bài toán GTLN – GTNN là một dạng của bài tập toán học.
Cho nên để hiểu được vai trò của của việc tìm GTLN – GTNN ta sẽ đi tìm hiểu
về vị trí cũng như chức năng của bài tập toán học.
Ở trường phổ thông, dạy học là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh

có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài
toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất hiệu quả và không thể thay thế
được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy,
hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào trong thực tiễn.

6
Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích
dạy học toán ở thường phổ thông. Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài
tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.
Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý
khác nhau, một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để
làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra… Tất nhiên, việc dạy giải
một bài tập cụ thể thông thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào
đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu. Mỗi bài tập toán cụ
thể được đặt ra ở thời kỳ nào đó cảu quá trình dạy học đều chứa đựng một cách
tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Những chức năng này đều
hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học. Trong môn toán, các bài tập
mang các chức năng:
+ Với chức năng dạy học
Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ
xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
+ Với chức năng giáo dục
Bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng
hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới.
+ Với chức năng phát triển
Bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh, đặc biệt là rèn luyện
những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất cảu tư duy khoa học với
chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá
khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Bài tập tìm GTLN – GTNN mang đầy đủ chức năng của bài tập toán học

mà ta đã trình bày ở trên.
1.5. Định nghĩa GTLN – GTNN
GTLN – GTNN của hàm số:
Cho hàm số
y f(x)
xác định trên tập D
a. Số M được gọi là GTLN của hàm số
y f(x)
trên tập D nếu
f(x) M

với mọi
xD
và tồn tại
0
xD
sao cho
0
f(x ) M


7
Kí hiệu
D
M maxf(x)
.
b. Số m được gọi là GTNN của hàm số
y f(x)
trên tập D nếu
f(x) m, x D  

và tồn tại
0
xD
sao cho
0
f(x ) m

Kí hiệu
0
D
m minf(x )
.
1.6. GTLN – GTNN trong chƣơng trình THPT
Qua nghiên cứu SGK, SBT Đại số lớp 10, Đại số và giải tích lớp 11, Giải
tích lớp 12 có thể thấy được một số đặc điểm nội dung chương trình về các bài
toán GTLN – GTNN như sau:
Các bài toán tìm GTLN – GTNN nằm rải rác ở các chương của đại số: Giải
tích và chủ yếu ở chương trình lớp 12.
Các bài toán tìm GTLN – GTNN tuy nội dung trên lớp ít nhưng có thể thấy
ở hầu hết các phần kiến thức như hàm số, bất đẳng thức, lượng giác, ứng dụng
đạo hàm… không có hệ thống bài tập theo dạng, không có được những phương
pháp cụ thể.
1.7. Một số phƣơng pháp tìm GTLN – GTNN
1.7.1. Phƣơng pháp đạo hàm
- Bài toán: Cho hàm số
y f(x)
có tập xác định D. Hãy tìm GTLN –
GTNN.
- Cách giải:
+ Tính

y.

Cho
y 0,


tìm các nghiệm
1 2 n
x ,x x D
.
+ Lập bảng biến thiên.
+ Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra GTLN – GTNN của hàm số.
* Nếu f(x) có tập xác định
 
D a,b
thì không cần lập bảng biến thiên
+ Tìm các điểm tới hạn
1 2 n
x ,x x
của f(x) trên
 
a,b

+ Tính
       
1n
f a ,f b ,f x f x

+ Kết luận.

8
1.7.2. Phƣơng pháp dùng các bất đẳng thức
* Bất đẳng thức Cauchy
Với
i
a 0, i 1 n  
ta có
n
1 2 n 1 2 n
a a a n a a a   

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 2 n
a a a  
.
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Với
 
ii
a ,b i 1 n

2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n
a b a b a b a a a . b b b         

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 2 n
1 2 n

a a a

b b b
  
.
* Các bất đẳng thức lượng giác
+)
 
sinu x 1
với
xD

+)
 
cosu x 1, x D  
, trong đó Dlà tập xác định của u(x).
+)
   
sinu x cosu x 2

+)
22
2tanx 2tanx
sin2x 1
1 tan x 1 tan x
  


+)
22

22
1 tan x 1 tan x
cos2x 1
1 tan x 1 tan x

  


* Các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối cơ bản
a0
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
a b a b  
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
ab 0
.
a b a b  
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
ab 0
.
1.7.3. Phƣơng pháp miền giá trị
Ta dùng điều kiện tồn tại nghiệm để tìm miền giá trị của hàm số tức là tìm
điều kiện để phương trình
 
o
y f x
có nghiệm. Sau đó từ điều kiện tìm được
biến đổi về một trong các trường hợp sau:
1. Nếu
o
yM

thì
 
xD
maxf x M




9
2. Nếu
o
ym
thì
 
xD
minf x m



3. Nếu
o
m y M
thì
 
xD
maxf x M


và
 

xD
minf x m


.
1.7.4. Phƣơng pháp tọa độ - vectơ
Cho hai vectơ
   
1 2 1 2
a a ;a , b b ;b
. Ta có các bất đẳng thức sau
1.
ab a . b
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 2 2 1
a b a b 0

2.
a b a b  

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a,b
cùng hướng
Hay
1 2 2 1
11
22
a b a b 0
a b 0
a b 0













1.7.5. Phƣơng pháp lƣợng giác hóa
Bằng phương pháp biến đổi lượng giác (
x sint, x cost, x tant   
) ta
đưa biểu thức và điều kiện của bài toán về dạng lượng giác. Từ đó dựa vào phép
tính lượng giác ta sẽ dễ dàng hơn trong việc giải bài toán tìm GTLN – GTNN đã
cho ban đầu.
Các bài toán tìm GTLN – GTNN có thể sử dụng phương pháp lượng giác
hóa thường có các dấu hiệu nhận biết sau đây:
+) Trong biểu thức của đại lượng cần tìm GTLN – GTNN có chứa các đại
lượng dạng
2 2 2
x y ; 1+x 

+) Điều kiện trong bài toán ban đầu có dạng
2 2 2
x y a ,a 0   

+) Biểu thức đã cho ban đầu gắn liền với một biểu thức lượng giác quen
biết nào đó.
1.8. Thực trạng việc rèn luyện kĩ năng giải bài toán GTLN – GTNN
của học sinh THPT
Để tìm hiểu thực trạng việc rèn luyện kĩ năng giải bài toán GTLN – GTNN
ở trường THPT, tôi tiến hành điều tra hai đối tượng giáo viên và học sinh trường
THPT Phan Đình Giót (Thành Phố Điện Biên) như sau:

10
- Giáo viên: trường THPT Phan Đình Giót.
- Học sinh: hai lớp
1
12C
và
2
12C
.
1.8.1. Điều tra đối với giáo viên
Qua điều tra thực tế về đội ngũ giáo viên và việc dạy học GTLN – GTNN
cho học sinh lớp 12 của trường THPT Phan Đình Giót – Điện Biên tôi thu được
kết quả như sau:
Bảng 1. Đội ngũ giáo viên của trường:
Số lượng
giáo viên
Tuổi nghề (năm)
Hệ đào tạo
Chất lượng GV
1-10
10-20
Trên

20
CĐ
ĐH
Trên
ĐH
G
K
TB
12
6
4
2
0
11
1
3
8
1

Qua bảng điều tra trên ta thấy phần lớn GV có tuổi nghề còn rất trẻ. Hầu
hết GV được đào tạo trình độ ĐH chính quy, về chất lượng giảng dạy đa số đạt
loại khá giỏi. Có những GV đạt chất lượng loại giỏi và danh hiệu giáo viên dạy
giỏi các cấp. Mặc dù chưa nhiều nhưng cũng có vai trò tích cực cổ vũ và động
viên các thầy cô giáo phấn đấu, nâng cao tay nghề và chất lượng giảng dạy. Tuy
nhiên do phần lớn giáo viên mới ra trường, tuổi nghề còn trẻ, còn ít kinh nghiệm
giảng dạy. Nhưng giáo viên trẻ lại tích cực giới thiệu, khuyến khích học sinh
giải GTLN – GTNN theo mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo.
1.8.2. Điều tra đối với học sinh
Khó khăn lớn nhất của học sinh THPT nói chung và học sinh THPT miền
núi nói riêng là chưa linh hoạt trong việc giải bài toán GTLN – GTNN. Dễ chán

nản, ngại làm khi gặp những bài toán đó ở dạng khó.
Bên cạnh đó đa số các em là con em của các đồng bào dân tộc nên không
có điều kiện để học tập, tài liệu tham khảo còn ít. Do đó kết quả học tập chưa
cao.

11
Bảng 2. Điều tra đối với học sinh:
STT

Tên trường
THPT
Lớp
Sĩ số
Dân tộc
thiểu số
Kết quả học tập
Khá -
giỏi
TB
Yếu -
kém
1
Phan Đình
Giót
1
12C

45
28
34

8
3
2
Phan Đình
Giót
2
12C

43
27
37
4
2
Nhận xét: Số lượng học sinh dân tộc là bộ phận nhỏ. Đây là một trong số
lớp chọn của trường có tỉ lệ học sinh khá cao.
Qua dự giờ môn toán, kiểm tra viết, trực tiếp chấm bài, kiểm tra vở và trao
đổi trực tiếp với giáo viên tôi thu được kết quả sau:
Bảng 3. Thống kê một số kĩ năng khi giải bài toán tìm GTLN – GTNN:
STT
Kỹ năng cơ bản
Lớp
1
12C

Lớp
2
12C

Thành
thạo

(%)
Chưa
thành
thạo(%)
Chưa
biết
(%)
Thành
thạo
(%)
Chưa
thành
thạo(%)
Chưa
biết
(%)
1
Nhận dạng bài
toán tìm GTLN -
GTNN
80
20
0
78
20
2
2
Sử dụng định
nghĩa
77

15
8
73
22
5
3
Sử dụng công cụ
đạo hàm
65
20
15
50
40
10
4
Sử dụng bất
đẳng thức
15
50
35
20
40
40
5
Tìm miền giá trị
32
43
25
35
45

20
6
Các phương
pháp khác
22
28
50
15
40
45

12
Nhận xét: Qua bảng điều tra tôi thấy học sinh hầu hết nắm được các
phương pháp tìm GTLN – GTNN của hàm số: là phương pháp định nghĩa và
phương pháp dùng công cụ đạo hàm còn các phương pháp khác các em chưa
thành thạo hoặc chưa biết. Trong mỗi lớp các kĩ năng cao chỉ có vài học sinh
thực hiện được. Do vậy khả năng sáng tạo của học sinh còn chậm.
1.9. Đề xuất nâng cao chất lƣợng dạy của giáo viên, chất lƣợng học của học
sinh
* Giáo viên cần giới thiệu nhiều phương pháp cho học sinh khi giải bài tập.
* Trong mỗi giờ luyện tập giáo viên cần củng cố hệ thống kiến thức cũ mà
các em đã học nhằm khơi dậy, tái tạo kiến thức cũ giúp các em vận dụng giải
quyết các bài tập một cách nhanh chóng.
* Cần hướng dẫn học sinh xây dựng hệ thống bài tập từ những bài tập đã có
vào chương trình như một chuyên đề.

13
CHƢƠNG 2. RÈN LUYỆN MỘT SỐ KĨ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN
TÌM GTLN – GTNN

2.1. Một số giải pháp rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm GTLN – GTNN
Để rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm GTLN – GTNN cần dựa vào mức độ
và trình độ, kĩ năng giải bài tập toán học cụ thể là:
- Cần rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm GTLN – GTNN ở 6 dạng chính:
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức chứa hai biến.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức có từ ba biến số trở
lên.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của biểu thức lượng giác.
+ Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN trong hình học.
- Mỗi loại trên bao gồm nhiều bài toán khác nhau và cần rèn luyện ở ba
mức độ: mức độ biết làm, mức độ thành thạo và mức độ mềm dẻo, linh hoạt,
sáng tạo.
* Một số phương hướng chung để rèn luyện kĩ năng giải bài toán tìm
GTLN – GTNN:
- Tập cho học sinh thói quen mò mẫm, dự đoán, phân tích, tổng hợp.
- Tập cho học sinh biết nhìn nhận tình huống, đặt ra nhiều góc độ khác
nhau, giải quyết vấn đề dưới nhiều khía cạnh, biện luận các khả năng xảy ra.
- Tập cho học sinh biết giải quyết vấn đề bằng nhiều phương pháp khác
nhau, tìm ra cách giải quyết tối ưu.
- Tập cho học sinh biết vận dụng các thao tác, khái quát hóa, đặc biệt hóa
và tương tự.
- Tập cho học sinh biết hệ thống hóa các kiến thức và phương pháp.
- Biết quan tâm đến các sai lầm của học sinh, tìm nguyên nhân và đưa ra
cách khắc phục.


14
2.2. Rèn luyện một số kĩ năng giải bài toán tìm GTLN – GTNN

2.2.1 Dạng bài toán tìm GTLN – GTNN của hàm số
* Mức độ biết làm
Ví dụ 1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số
 
32
f x x 3x 2   
trên đoạn
 
1;4
.
Hướng dẫn:
Để tìm GTLN – GTNN của hàm số trên đoạn
 
1;4
ta sử dụng phương pháp
đạo hàm như đã nêu ở chương 1.
Lời giải:
Ta có
 
2
f x 3x 6x

  

 
2
x0
f x 0 3x 6x 0
x2




     




Tính
   
f 1 4; f 4 14  
;
   
f 0 2; f 2 6
.
Vậy GTLN của hàm số f(x) trên đoạn
 
1;4
là
   
max
f x f 0 2

GTNN của hàm số f(x) trên đoạn
 
1;4
là
   
min
f x f 4 14  
.

Ví dụ 2. Tìm GTNN của hàm số
x 1 x 1
y 3 3
  


Hướng dẫn:
Để tìm GTNN của hàm số này ta cso thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
Lời giải:
x
, ta có
x 1 x 1
3 0, 3 0.
  


Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
x 1 x 1 x 1 x 1 2
2
y 3 3 2 3 .3 2 3
3
2
y
3
      
    


Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi
x 1 x 1

3 3 x 0
  
  

Vậy
2
min y khi x 0
3

.

15
* Mức độ thành thạo
Ví dụ 1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số
2
2
2x x 1
y
x x 1



.
Hướng dẫn:
Để tìm GTLN – GTNN của hàm số trên ta sử dụng phương pháp miền giá
trị đã nêu ở chương 1.
Lời giải:
Tập xác định
D 
.

Ta có
2
2
13
x x 1 x 0 x .
24

       



Gọi
y
là một giá trị bất kì của hàm số đã cho. Khi đó có
x
sao cho
phương trình
2
2
2x x 1
y
x x 1



có nghiệm,
hay phương trình
   
2
2 y x 1 y x 1 y 0     

(1) có nghiệm x.
+)
y2
phương trình (1) trở thành
3x 3 0 x 1   

Do đó phương trình nhận
y2
(2)
+)
y2
phương trình (1) có nghiệm
    
2
1 y 4 2 y 1 y 0     


2
9 6y 3y 0
1 y 3
   
   

Do đó
 
 
y 1;3 , y 2   
phương trình (1) có nghiệm. (3)
Từ (2) và (3)


phương trình (1) có nghiệm
 
y 1;3  
.
Vậy
miny 1 và maxy 3  
.
Ví dụ 2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số
2
y x 18 2x  
.
Hướng dẫn:
Quan sát bài toán ta thấy trong hàm số có chứa dấu căn bậc 2, do đó để tìm
GTLN – GTNN ta sử dụng phương pháp đạo hàm.


16
Lời giải:
Tập xác định
 
D 3;3 .
Ta có
2
22
4x 18 2x 2x
y1
2 18 2x 18 2x
  

  



22
y 0 18 2x 2x 0 18 2x 2x

        

2 2 2
x0
x 0 x 0
x3
x3
18 2x 4x x 3
x3






     

  
  









Ta có
x3
thì
y3

x3
thì
y3

x3
thì
y 3 3
.
Vậy GTLN của y bằng 3 đạt được khi x = 3.
GTNN của y bằng
33
đạt được khi
x3
.
* Mức độ mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo
Ví dụ 1. Biết rằng (x; y) là nghiệm của hệ
2 2 2
x y m
x y m 6



   



Tìm GTLN, GTNN của hàm số
F xy 2(x y).  

Hướng dẫn:
Đây là bài toán tìm GTLN, GTNN, để giải bài toán này trước hết ta đi tìm
điều kiện của m, sau đó xét hàm số F trên đoạn mà m thỏa mãn. Từ đó tìm ra
được GTLN, GTNN của hàm số nhờ vào bảng biến thiên.
Lời giải:
Đặt
S xy, P x y  
theo định lý Vi-ét ta có
2 2 2
S m S m
S 2P m 6 P m 3




     


Suy ra, (x; y) là nghiệm của phương trình
2
t St p 0  


17
Hay

22
t mt m 3 0   
()

Ta có
 
22
( m) 4 m 3    

2 2 2
= m 4m 12 3m 12    

Để phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi
2
0 3m 12 0 2 m 2         

Khi đó ta có
 
2
F xy 2(x y) m 2m 3, m 2;2       

Lập bảng biến thiên của F trên đoạn
 
2;2

m
-2 -1 2
F

-3 5

-4


Từ bảng biến thiên ta có
 
 
2;2
2;2
maxF 5; minF 4


  
.
Ví dụ 2. Tìm GTNN của hàm số
f(x) x 1 x 3 x 5 x 7       

Hướng dẫn:
Ta thấy hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, nên để tìm GTNN của hàm số
này ta sử dụng các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối cơ bản để giải.
Lời giải:
Xét
f(x) x 1 x 3 x 5 x 7       

Và
 
1
f x x 1 x 5 x 1 x 5 x 1 x 5 4             

 

2
f x x 3 x 7 x 3 x 7 x 3 x 7 4             

Do đó
     
12
f x f x f x 4 4 8    

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
  
  
x 1 5 x 0
1 x 5
3 x 5
3 x 7
x 3 7 x 0
  




   


  




Vậy GTNN của hàm số f(x) bằng 8, đạt được khi

 
x 3;5 .


18
Ví dụ 3. Tìm a và b sao cho hàm số

2
ax b
y
x1




đạt GTNN bằng -1; GTLN bằng 4.
Hướng dẫn:
Để giải bài toán này ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa. Từ đó tìm
được GTLN, GTNN của hàm số theo a và b, dựa vào giả thiết của bài toán tìm
ra được a và b.
Lời giải:
Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng
2
1x
cho nên
ta có thể lượng giác hóa bằng cách đặt
x tan

Khi đó, hàm số y trở thành
2

2
atan b a b b
y asin cos bcos = sin2 cos2
1 tan 2 2 2

         



Áp dụng công thức
2 2 2 2
a b asinu bsinu a b     

Ta được
22
max
b1
y a b
22
  

22
min
b1
y a b
22
  

Để tìm a và b thỏa mãn yêu cầu bài toán quy về việc giải hệ phương trình
22

2
22
b1
b3
a b 4
22
31
b1
a 9 4 ( )
a b 1
22
22


  





   

   




Giải (*) ta được,
22
3 1 1 5

a 9 4 a 9
2 2 2 2
     

2
22
a 9 5
a 9 25 a 16 a 4
  
       