Toán cao cấp cho vật lý và kỹ thuật tập 1

ĐẠI H Ọ C Q U Ố C G IA HÀ N Ộ I

LÊ VÀN TRỰC - TRẤN VÃN c ú c

TOÁN CAO CẤP
CHO VẬT LÝ VÀ KỸ THUẬT
#

•

(TẬP I)

NHẢ XUẤT BẢN NÔNG N G H IỆ P
HÀ NỘI - 2005


L Ờ I N Ó I ĐẨ U
iáo trình “Toán cao cấp cho Vật lý và Kỹ th u ậ t” mà chúng tôi biên soạn ở
dây lù phấn chủ yếu của môn học “Toán cao cấp 5 ” (cho các ngành Vật
lý, Khoa học vật liệu, Công nghệ hạt nhàn,...) viết theo chương trình mới
nhất của Đại học Quốc gia Hà nội được thông qua nám í 999.
Giáo trình được biên soạn chủ yếu dựa trên những bài giáng của chúng tôi cho sinh
viên các ttqành Vật lỷ thuộc Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội trong
mấy nam íỊần dãy và một sỏ giáo trình Toán cao cấp dã biên soạn trước.
Chím ạ tới cô'gắng biên soạn một giáo trình trong phạm vi 15 dan vị học trình chứa
nlìữtìíỊ nội diuiiị cơ bân ỉihẩí của iỊÌcỉi lích toán học cổ diểti, phù hợp với dối tượng học
n ạ à n ìì t o á n t ì v à s á t v ớ i c h ư ơ n ạ t r ì n h c h i t iế t d ã d ư ợ c thôiií* q u a d ế m o n g c ỏ s ự th ô n ạ

nhất trong íỊÌàtĩíỊ dạy.
Đôi với sinh viên học các nqànli Vật lý và Kỹ thiiậỉ “Toán cao cấp ” là môn học

khôtìíỊ th ể thiếu, nhưng yêu cầu chính dối với sinh viên là biết vận dụng vù xem lủ công
cụ d ể phục vụ cho việc học các ngành khoa học về Vật lý và Kv thuật. Vì lề dó, troỉìíỊ
quá trình biên soạn có một số mệnh dê, định tỷ mà phần chứng minh phức tạp hay một
s ổ phẩn lý thú nhưng khó, theo chương trình “Toán cao cấp B ” khởniỊ đồi hỏi phái trình
bày, dế dơn giản chúng tôi không dưa vào. Những phần đó nếu sình viên có nhu cầu cỏ
íhê tham khảo trong cúc giáo trình đã được biên soạn cho sình viên học nhỏm nỉịìmh ì
“Toán cao cáp A 99.
Giáo trình này chủ yếu dùng d ể giảng dạy và học tập cho sinh victỉ học rúc ngùiih
Vợi lý, Kỹ thuật, Công nghệ,... tuy nhiên cung cỏ thểdùỉiịị lùm tài liệu tham khao cho
sinh viên cúc nhóm ngành khác.
Giáo trình gồm hai tập.
Tập I bao gồm 7 chương. Bổn chương dầu do Lê Văn Trực biên soạn, các chiamg
còn lụi do Trần Văn Cúc biên soạn.
Chương l : M à đầu vê lý thuyết tập hợp và sô thực.
Chương 2: Giới hạn của dày và của hùm sổ.
Chương 3: Hừm liên tục một biển số.
Chương 4: Phép tính vi phân cùa hàm một biến.
Chương 5: Tích phản không xác đinh.
Chương ố: Tích phân xác dinh.
Chương 7: Hàm nhiêu biến.


Tập II bao gồm 5 chương dtì Trần Văn Cúc biên soạn.
ChươtiíỊ 8: Phương trình vi phún.
Chiừỉnạ 9: Chuỗi s ố - Dãy hàm- Chuỗi hàm.
Chương 10: Tích phân bội.
Chương 11: Tích phân đường- Tích phân mặt.
Chươnq 12: Hùm biển phức.
Cuối mỗi chương có các bài tập d ể luyện tập. Cuối mỗi tập có phần hướtìíị d ầ n vcừà
trả lời các bài tập.

Mặc dù d ã rất cỏ' í>ắng trong biên soạn nỉnmg giáo trình nàV chắc chắn còn nhiéềivu
thiếu sót. Chúng tôi rất monỉỊ nhận được ỷ kiến đóng góp của các dồnq nghiệp và củdưa
các dộc giả d ể giáo trình được hoàn thiện hơn trong lần biên soạn vù xuất bản sau.

Hù Nội ngày 30 tháng 8 năm 2003

Các tác giá

4


M Ụ C LỤ C
T rang
Lời nói đầu

1

C h ư ơ n g l: MỞ ĐAU

v ề lý t h u y ế t tập h ợ p v à

s ố THựC

1.1- Tập hợp và lô-gic mệnh đề

5
5

1.2- Ánh xạ
1.3- Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự

11

1.4- Số thực

13

Chương 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY VÀ CỦA HÀM s ố

19

2 .1 - Giới hạn của dãy số

19

2.2-

26

Tiêu chuẩn hội tụ

2.3- Khái niệm về hàm số một biến số thực

34

2.4- Giới hạn của hàm sô'

46

Chương 3: HÀM LIÊN TỤC MỘT BIÊN s ố

66

3.1- Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm

66

3.2- Các tính chất của hàm liên tục

75

3.3- Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược

80

3.4- Khái niệm liên tục đều

82

Chương 4: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN s ố

91

4.1 - Đạo hàm và cách tính

91

4.2- Các quy tắc tính đạo hàm

92

4 .3 - Vi phân của hàm số

99

4.4-

Các định lý cơ bản của hàm khả vi

102

4.5- Đạo hàm và vi phân cấp cao

108

4.6- Công thức Taylor

111

4.7- Quy tắc L ’hospital để khử dạng vô định

115

4 . 8 - Khảo sát hàm số

121

5

C hương 5. TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH

13 7

5.1- Nguyên hàm và tích phân không xác định

137

5.2- Bảng tích phân không xác định cơ bản

138

5.3- Các phương pháp tính tích phân không xác định

138

5.4- Tích phân các hàm hữu tỷ

143

5.5 Tích phân các biểu thức vô tỷ

145

5.6 Tích phân các hàm lượng giác

147

Chương 6. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

153

6.1- Định nghĩa tích phân xác định

153

6.2- Các điều kiện khả tích của hàm số

154

6.3- Tính chất của tích phân xác định

158

6.4- Các lớp hàm khả tích

161

6.5- Cách tính tích phân xác định

163

6.6- Phép đổi biến trong tích phân xác định

166

6.7- ứng dụng tích phân xác định

170

6.8- Tích phân suy rộng

182

Chương 7. HÀM NHIỀU BIÊN

201

7.1 Một số khái niệm

201

7.2 Hàm nhiều biến.

204

7.3. Công thức Taylor.

221

7.3 Cực trị của hàm hai hiến.

222

7.4 ứng dụng hình học của phép tính vi phân.

229

Hướng dẫn bài tập và đáp sô

251

Tài liệu th a m k h ả o

324

6


Chương 1
MỞ ĐẦU VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ SỐTHựC
■

■

■

1.1- TẬ P H ỢP VÀ LOGIC M ỆNH ĐỂ
1.1.1- Tập hợp
Cho tập hợp M, để chí X là phần tử của tập M ta viết .ve M (đọc là X thuộc M), để chí
X không phải là phần tử của tập M ta viết X Ể M (đọc là X không thuộc M)
Tập hợp M chỉ có một phần tử a, kí hiệu là {a}
Tập hợp M không có phần tử nào gọi là tập rỗng, tập rỗng ký hiệu

là ệ

Cho hai tập hợp A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều làphđn tử của B ta nói rằng A là
một tập con của B và ta viết A cz B
Nếu A c B và A * D ta nói rằng A là tập hợp con thực sự của tập hợp B và viết là
A d B ,trong trường hợp này tổn tại ít nhất một phần tử trong B mà không phải là phần

từ của A. Ví dụ như tập hợp các số nguyên z là tập con của tập hợp các số hữu tỷ Q.
Cho A,B,C là ba tập hợp. Khi đó ta có tính chất sau:
a)

ệdA

b)

A<^BvhBc:A<í>A = B

(1.1.2)

c)

A d fí và B c c => A c c

(1.1.3)

(1.1.1)

1 .1 .2 - Một sô tập hợp thường gặp
Trong các giáo trình đại số ở trường phổ thông trung học ta đã làm quen với tập hợp
các số tự nhiên N
N - {0,1,2,...«,....}

(1.1.4)

AT ={l,2,...,w,.....}

(1.1.5)

Để xét nghiệm của phương trình x+n=0 trong đó n e N ta đưa
nguyén Z:

thêm tập các số

z=
Để xét nghiệm của phương trình mx+n=0 trong đó m,n 6 z tađưa thêm
hữu tỷ Q

( 1. 1.6 )
tập các số

7


Ổ = |x|x = —,rt ^ 0,m,« 6 z |

(1-1.7)

Ta đã biết bốn phép tính cơ sở (cộng trừ nhân chia) của số hữu tỷ và cách sấp xếp
chúng theo độ lớn (nếu a, b là hai số hữu tỷ khác nhau, thì một trong chúng bé hơn số
thứ hai). Tổng a+b, hiêu a-b, tích a.b, thương —(b * 0) của hai số hữu tỷ a, b lai là số
b
hữu tỷ, nhưng với các phép toán khác nếu chỉ xét trên tập các số hữu tỷ, những điều nói
trên không còn đúng nữa. Ví dụ phép lấy căn là phép toán như vậy. Ta hãy tìm căn bậc
hai của số 2, tức là tìm một số X mà bình phương của nó bằng hai. Ta khẳng định rằng
không có số hữu tỷ nào mà bình phương của nó bằng 2. Giả sử số hữu tỷ X như vậy tồn
tại, ta có thể viết dưới dạng phân số tối giản — , trong đó p, q chỉ có ước số chung là
<7

2

± 1. Khi đó ^- 7- = 2 , p 2 - 2q 1 cho nên p 2 là số chẵn và do đó p cũng là số chẵn, p=2m,
q-

trong đó m là số nguyên, do đó 4m 2=2q2,2mĩ =q2 cho nên q1 là số chẵn và vì thế q là số
chẵn. N hư vậy p, q là các số chẵn, điểu này mâu thuẫn với giả thiết là p, q c h ỉ có ước số
chung là ± 1. Mâu thuẫn nhận được chứng minh khẳng định trên.
Từ nguvên nhân này, trong toán học ta đưa thêm vào những số mới, đó là các số vô
tỷ. Ví dụ về số vô tỷ là V 2 ,V 3 ,lg 3 ,;r,sin 2 0 "...
Tập các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập các số thực và kí hiệu là R. Như
vậy ta có bao hàm thức:

N a z cz Q a R

( 1. 1.8 )

1.1.3- Các phép toán trên tập hợp
a) Hợp A u B của tập hợp A và tập hợp B, đọc là “A hợp B" là tập hợp được định
nghĩa bởi:
A kj B = {x|x € A hoặc X e B}

(1.1.9)

b) Giao A n B của hai tập hợp A và £, đọc là “A giao B" là tập hợp định nghĩa bới:
A n B = {xjx G A và X G B}
c) Hiệu A I B = {x|x € A và X Ể B}

(1.1.10)
(1.1.11)

Ta nói rằng các tập A v à B là rời nhau nếu A n B = o
d) Bổ sung C aB của B trong A (B CỊ A) là tập hợp định nghĩa bởi

C aB - { x \x e A vàx
8

Ể

B}

(1.1.12)


(Ar\B)nC = A n{B nC )

(1.1.13)

ii)

(Au B)u C = A

(1.1.14)

iii)

( A n B ) u C =(À'uC)n(BuC)

(1.1.15)

iv)

ụ u B)n

c =(AnC )u(BnC)

(1.1.16)

V)
vi)

C À( BÌ u B 2) = C ABÌ n C AB2

(1.1.18)

vii)

C A( B ị n B ĩ ) = C ABĩ u C AB2

(1.1.19)

u

(B^C)

(1.1.17)

II

II

i)

tu

Phép giao hợp và bổ sung có các tính chất sau:

1.1.4- Tích Descartes
Cho hai tập hợp A, B không rỗng. Tích Descartes của hai tập hợp A và B, kí hiệu là
AxB là tập hợp các cặp (x ỵ) trong đó X e A , y e B , đồng thời (x y)=(a b) khi và chỉ khi
X=CI, y = b .

N hưvậy A

xB

= Ị( x y ) | x e A , y e B |

(1.1.20)

Thay cho AxA ta viết là A 2
Ví dụ: {1,2} X {2 ,3 ,4 } = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4)}
Ngoài ra {l,2}2 = {(1,1);(1,2);(2,1);(2,2)}
1 .1 .5 -C á c kí hiệu lôgic
Bây giờ giả sử M là một tập hợp và t là một tính chất nào đó của các phântử của tập
M. Nếu phân tử X 6 M có tính chất t ta viết t(x). Gọi c(t) là tập hợp của tất cả các phần
tử của tập M có tính chất í
c(t) = { x e M I X có tính chất t }

(1.1.21)

cự) = {x e M\t(x)}

(1.1.22)

hay

khi đó nếu
c(t)=M
thì mọi phân tử của M đều có tính chất t, ta nói rằng “với mọi X 6 M , X có tính chất
/ ” và ta viết Vx e M : t(x) hay V/(x)
x e

M

9


Ký hiệu: V gọi là ký hiệu phổ biến hay với mọi
Nếu c(t) * ệ , thì có ít nhất một phần tử X e M có tính chất /, ta nói rằng “tồn tại
m ột phần tử X e M , X c ó tính chất f ' và viết

3x e M : t ( x ) hay 3í(x)
Ký hiệu 3 gọi là ký hiệu tồn tại
1.2- ÁNH XẠ
1.2.1- Định nghĩa
Cho hai tập hợp A và B. Ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B là một quy luật / c h o
tương ứng mỗi phần tử X e A với một và chỉ một phần tử y € B .
Ví dụ 1:
A=B=R

Cho

Xét quy luật y=x1 cho tương ứng X € R và y e R , vì mỗi X e

R tương ứng với một

và chỉ một y e R , nên quy luật trên là một ánh xạ từ R tới R
Ví dụ 2:
Cho A = D = {x|x e R ,x > o}
Quy luật y - yfx cho tương ứng mỗi X e A với một và chỉ một y e B nên là một
ánh xạ từ A tới B
Để diễn tả / là ánh xạ từ tập hợp A tới tập họp D ta viết f : A -» B hay A —

B

và gọi A là tập xác định của ánh xạ/.
Phần tử y e B tương ứng với X e A bởi quy luật / gọi là ảnh của X và X được gọi là

nghịch ảnh của y và ta viết :
y=f(x) hay XH> y = f { x )
Ta gọi tập
( 1 .2 . 1)

hay

( 1.2 .2 )
là ảnh của tập A qua ánh xạ f
Chú ý rằng ta luôn có f( A ) e B . Nếu f (A)=B, ta nói r ằ n g / l à ánh xạ từ tập hợp A lẽn
tập hợp B hay ánh xạ / : A —» B là một toàn ánh.

10


V í dụ 3:
Ánh xạ cho bởi quy luật f(x)=sinx, X e R là ánh xạtập R tới tập R và đồng thời ánh
xạ tập R lên tập hợp tất cả các số thực y sao cho - 1 < y < 1
(1.2.3)

Nếu như M c N d A thì f ( M ) c / ( N)
1 .2 .2 - Đơn ánh, song ánh
Ánh xạ / : A -> B gọi là một đơn ánh nếu f ( xi ) - f ( x2)

x,= x

Ví dụ như ánh xạ được cho bởi f(x) = sinx là đơn ánh từ tập hợp
Ịfp Ị x e Rịo

< X <

n

lên tập hợp ị y e /?|0 < y < l|
Ví dụ 4:
Xct ánh xạ cho bởi quy luật y=x2 vì phương trình x2=y, y 6 R có hai nghiệm khác
nhau X, và x 2 nếu _ y > 0 , có nghĩa lầ f ( x t)=f(x2) nhưng x ] * x 2, vậy ánh xạ này không

phải là đơn ánh.
Ánh xạ / : A —» B gọi là một song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh.
Ví dụ 5:

Ánh xạ / : R —» R cho bởi quy luật y=xi là một song ánh
Ví dụ 6:
Ánh xạ / : / ? - > / ?

cho bởi quy lật y=x2 không phải là song ánh, nhưng ánh xạ

/ : / ? —> R* cho bởi quy luật y=x* là một song ánh
Ví dụ 7:
Chox e R.[x] ký hiệu phần nguyên của X, nghĩa là [x] là số nguyên lớn nhất không
l ớ n h ơ n .V, t ứ c l à [ x j < X < [ x ] + 1

chẳng hạn [- 4 ,5 ] = -4 ; [2 ] = 2; [2 ,5 ] = 2; [2 , 7 ] = 2
Ánh xạ / : / ? - >

z cho bởi quy luật y - [x] không phải là song ánh.

1 .2 .3 . Ánh xạ ngược


Giả s ử / l à một ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B, khi đó ứng vớimỗi phần tử y e B có
một và c h ỉ một X e A sao ch o > ' = / ( x ) . Á n h x ạ cho tương ứng phần tử V e B với phần
tử X e A sao c h o y = / ( x ) g ọ i là ánh xạ ngược của ánh xạ / k ý hiệu là f ' .

Như vậy là / " ' : B -> A
f ‘(y)=x o

f(x)=y với (x e A , y e B )

(1.2.5)

V í dụ 8:

Nếu A là tập hợp các vòng tròn đồng tâm nằm trên cùng một phẳng và f(x) là bán
kín h của vòng tròn X, k h i đ ó / l à đơn ánh tập A lên tập các số thực dương. Á n h xạ ngược

f ' tương ứng vớ i một số thực dương X với vòng tròn nằm trong tập A có bán kín h là X.

1 .2 .4 - Hợp (tích) của hai ánh xạ
Cho hai ánh xạ:
g : M -> A và / : A -> B
Xét ánh xạ từ tập M tới tập hợp B được xác định như sau:
Xe M

z

= f ( g( x) ) e B

(1.2.6)

ánh xạ này gọi là hợp của ánh xạ g và ánh x ạ / (hay tích của gvà f ), ký hiệu là / o g .
Như vậy
fog:M-+B

f ° g(x) = f ( g ( x ) ) , x e M

(1.2.7)

Ví dụ 9:
Ánh xạ cho bởi quy luật sinx2, X 6 R là hợp của ánh xạ trong

cho bởi quy luật

y = X2, x e R và ánh xạ ngoài được cho bởi quy luật sin y , y e R
1.3- Q UAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ QUAN HỆ TH Ứ T ự
1.3.1- Q uan hệ hai ngôi
Cho tập hợp M và tính chất R liên quan đến hai phần tử của M. Nếu X và y là hai
phần tử củ a M thoả m ãn tính chất R , thì ta nói X có quan hệ R với V và ta viết X R y.

Quan hệ này gọi là quan hộ hai ngôi trên M.
Ví dụ 1:
a) Trên tập hợp các đường thẳng trong không gian “đường thẳng d song song với
đường thẳng d1" là một quan hệ hai ngôi.

12


b) Trcn tập hợp các số tự nhiên N “a nguyên tố với b” là quan hệ hai ngôi.
Quan hệ hai ngôi
i) Có tính chất phản xạ nếu X R X, v„r € M (1.3.1)
ii) Có tính chất đối xứng nếu X Ry=> y R x (1.3.2)
iii) Có tính chất bắc cầu nếu X R Vvà V R z => :/'Rz ( 1.3.3)
iv) Có tính chất phản đối xứng nếu .V R y và y R X => X = y
Ví dụ 2:
Quan hệ "x < y " không có tính chất phản xạ vì không có X < X , không có tính chất
đối xứng vì từ X < y

không suy ra được y < x , nhưng có tính chất bắc cầu vì

X < )', ỵ < z => X < z

1.3.2- Q uan hệ tương đương
Quan hệ hai ngôi R trên tập M gọi là một quan hệ tương đương nếu có ba tính chất
phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Khi R là một quan hệ tương đương và X R y, ta viết ,v~y (R) và đọc là “.V tương
đương với y theo quan hệ R ”
Ví dụ 3:
Nếu M là tập hợp các đường thẳng trong một mặt phẩng đã cho thì quan hệ “đường
thẳng .V s o n g so n g với dường thẳng y” là m ột quan hệ tương đương trên tập M .

Xét tập M trong đó có quan hệ tương đương R, gọi X là một phần tử xác định của M.
Khi đó tập hợp tất cả các phần tử y e M tương đương với

.V lập

thành một tập gọi là lớp

tương đương của X theo quan hệ R.
Ví dụ:
Các lớp tương đươngtrong ví dụ trên là các hệ thống các đường thẳng song song
trong mặt phẳng đã cho.
1.3.3- Quan hệ thứ tự
Quan hệ R trên tập M được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có ba tính chất phản xạ,
phản đối xứng và bắc cầu.
Nếu X R Vta viết X < y hay y > X . Khi đó
i) Tính chất phản xạ có nghĩa là X <

X,

Vx € M

13


ii) T ín h chất phản đối xứng có nghĩa là X < y và y < X => X =

y

iii) T ín h chất bắc cầu có nghĩa là X < y \ ầ y < z = > x < z

Tập hợp M mà trên đó có mối quan hệ thứ tự R được gọi là tập hợp có thứ tự.
T a nói rằng X và y có thể so sánh được với nhau nếu X < y hoặc y < X . T a thấy trên

một hợp có thứ tự có những phần tử không so sánh được với nhau.
Ví dụ như tập s các tập con của một tập M cho trước là một hợp có thứ tự theo quan
hệ “ c ” . C ụ thể X < y nghĩa là X là tập con của tập hợp y. T ron g tập hợp s có thể tồn tại
những phần tử không so sánh được với nhau, ví dụ nếu /4 vàB rời nhau thì không có
A d B và cũng không có B c A.
Một quan hệ thứ tự R trên tập
V x , y e M ta đều có X R V hoặc y R X

M được gọi là quan hệ thứ

tự toàn phần nếu

Ví dụ 4:
Trên tập N, z , Q, R quan hệ “ x < _ y ” là một quan hệ thứ tự toàn phán, bới vì
Vx, y e N (hay z, hay Q, hay R) ta đều có X < y hoặc y < X .
Giả sử M là một tập hợp có thứ tự toàn phần. Nếu tồn tại trong M một phần tử lớn
nhất và phần tử này là duy nhất, thì ta k ý hiệu phần tử đó là ma.xM. Tương tự ta ký hiệu
phần tử nhỏ nhất của tập M bằng ký hiệu minM.

1.4-

SỐ THỰC
1.4.1- Nhát cắt
Ta hãy quay trở lại các khái niệm về số thực.
Tập hợp A các số hữu lỷ dược gọi là một nhát cắt nếu:
i) Tập hợp A chứa ít nhất một số hữu tỷ nhưng không chứa toàn bộ các sô' hữu tỷ.
ii) V ớ i p e A và ợ < p thì q e A (như vậy CỊ ià số hữu tỷ)

iii) Trong tập hợp A không có số lổn nhất.
Từ định nghĩa của nhát cắt ta suy rằng nếu p e A và í/ Ể A thi p của tập hợp A được gọi là các số dưới của nhát cắt A, còn các số hữu tỷ không thuộc tập
A được gọi là các số trên của nhát cắt /4.
Gọi à ! là tập hợp các số trên của nhát cắt A. Nếu trong tập A' có số nhỏ nhất r thì
nhát cắt A được gọi là số hữu tỷ và người ta nói rằng nó xác định một số hữu tỷ r. Nốu
trong tập hợp A' không có số nhỏ nhất thì người ta nói rằng nhát cắt A xác định một số
vô tỷ.
14


Tập hợp tất cả các số hữu tỷ và các số vô tỷ được gọi là tập hợp các số thực, ký hiệu
là R. Trong lý thuyết số vô tỷ người ta đã chứng minh dược rằng với hai số thực bấl kỳ
a . p trong đó a < p luôn luôn tìm được một số thực và đặc biệt một số vô tỷ /• nằm
giữa hai số đổ (và thành thử có một tập vô số các số vô tỷ như vậy)
a
( 1.4 . 1)

1.4.2- Trục sô thực
Bây giờ ta tìm cách biểu diễn hình học tập các số thực.

Ta hãy lấy một đường thẳng nằm ngang và trên đó ta lấy một điểm ỡ nào đó làm
gốc. Ta chọn một độ dài thích hợp làm đơn vị và đặt độ dài đó liên tiếp nhau từ điểm 0
sang trái và sang phải sao cho trải khắp đường thẳng. Ví dụ như số 2 được biểu bằng
“điểm 2” , tức là điểm ở về bên phải điểm 0 với khoảng cách 2 dơn vị.
Ta gọi đường thẳng nói trên là đường thẳng sô hay trục số. Bất kỳ một số thực nào
cũng được ứng với một điểm trên đường thảng sô và ngược lại, bất kỳ mộl điểm nào trẽn
đường thắng số cũng được ứng với một số thực.
Sô thực a ứng với điểm M trên trục số được gọi là toạ độ của điểm M. Thông thường
người ta không phân biệt “điểm a" nằm trên đường thắng số và số thực a (là toạ độ của
điểm đó).
Tập hợp R khòng có phần tử cực đại và phần tử cực tiểu, bởi vì đối với một số thực X
bất kỳ luôn luôn tồn tại hai số y và z sao cho y < X < z (ví dụ y=X-1, z= x+ 1). Vì thế ta
hãy bổ sung vào tập R hai phần tử mới mà ta ký hiệu là + 00,-co và ta gọi chung là các
điểm vô tận của trục thực. Ta ký hiệu tập hợp mới xuất hiện như vật là R \ Như vậy là
( 1.4 .2 )

R ' = R v { - oo;+oo}

Tập hợp /?’ ta sẽ gọi là trục thực mở rộng. Cuối cùng ta chý ý thêm là
-0 0 < a < + 00, Ví/ G R

(1.4.3)

1.4.3 - Cận của tập hợp sô
Giả sử M là tập hợp số (tức là tập hợp mà các phần tử của nó là những số thực). Tập
hợp M được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số' thực k sao cho
x
(1.4.4)

Số k bất kỳ có tính chất như vậy được gọi là cận trên của tập M. Do đó tập hợp M là
bị chặn trên nếu nó có ít nhất một cận trên. Nếutập M có một cận trên

thì nó có vô hạn

cận trên, bởi vì nếu số k là cận trên thì bất kỳ số / nàolớn hơn k làcận trên.

Ta có hai

định lý sau nói về các tính chất của cận trên.
15


Định lý ì :
Giả sử M là tập hợp số không rỗng bị chặn trên. Khi đó tồn tại một cận trên bé nhất
trong số tất cả các cận trên của tập M.
Định lý 2:
Giả sử M là một tập hợp số không rỗng bị chặn trên. Khi đó tổn tại một và chỉ một
số k có hai tính chất sau:
i)

x < k , \ / x e M

(1.4.5)

ii)

V e > 0 , 3 ^ e M sao cho x c > k - e .

(1.4.6)

Ta gọi số k đó là cận trên đúng của tập M và ký hiệu là SupM
Ví dụ : Sup(0,l) = 1.
Tập hợp số M được gọi là bị chặn dưới, nếu tổn tại số ẹ sao cho
x>g,\/xeM

(1-4.7)

M ọ i số g có tính chất này gọi là cận dưới của tập M. D o đó tập M bị chặn dỉướii, nếu
nó có ít nhất một cận dưới.
Tương tự ta cũng có hai đ ịn h lý n ói vể các tính chất của cận dưới

Định lý 3:
Giả sử M là tập hợp số không rỗng, bị chặn dưới. Khi đó tồn tại một cận (dưới lớn
nhất trong số những cận dưới của tập M.
Định lý 4 :
Giả sử M là tập hợp số không rỗng, bị chặn dưới. Khi đó tồn tại một và chỉ mộit số g
có hai tính chất:

i)

x>g,VxeM

(1.4.8)

ii)

V£ > 0 ,3xc e M sao cho x c < g + £

(1.4.9)

Ta gọi số g đó là cận dưới đúng của tập M và ký hiệu là infM
Ví dụ : in f(0 ,1) = 0.
Nếu tập M đồng thời là bị chặn dưới và bị chặn trên, ta gọi là bị
Cuối cùng ta quy ước rằng nếu tập M không bị chặn trên thì

chặn.
ta nóirằng cận trên

đúng của tập đó là + co , Sup M = +CO.
Tương tự, nếu lập M không bị chặn dưới ta nói rằng cận dưới đúng của tập đó
- 00 , inf M = -00.
Ví dụ như Sup (0, +oo) = + 00, inf(-co, 0) = -co

16

là


BÀI TÂP CHƯƠNG 1
1.1.

Cho a là số vô tỉ, r là số hữu tỉ

1) Hãy chứng minh rằng ơ+r và a-r là các số vô tỉ
2) Giả sử r * 0 hãy chứng monh rằng các số
ar, — , — là các số vô ti
r a
1.2.

Cho ữ,b G R , gọi s ố
d( a, b) = \a - b \

là khoảng cách giữa hai điểm a và b của trục số
Hãy chứng minh rằng
1)

d(a,b) = 0

2)

d [ a , b ) > 0 khi a * b

3)

d[a,b) = d{b,a)

4)

d[ a, b) + í/(ố ,c )> d( a, c)

1.3. Hãy chứng minh mệnh đề “tập hợp M c R là giới nội khi và chỉ khi tồn tại số
thực r > 0 sao cho :
|x| < r , V * 6 M

1.4. Cho X d R . Định nghĩa : ( -

= {- x|jc e X }

Hãy chứng minh :

1)

i n f ( - X ) = - supA"

2)

su p (-X ) = -in f X

1.5. Cho X , Y c R . Định nghĩa
X + Y = {a e i?|3x e X , 3y € .Y ,a = x + y \
X . Y - {a e R\3x e X , 3y e Y , a = xy}

Nghĩa là X + Y là tập hợp các số thực có dạng X + y với X e x , y <=Y, còn X . Y là
tập hợp các số thực có dạng x. y với X e x , y e Y
1) Giả sử X , Y bị chặn trên, chứng minh:
sup(Ar + Y) = supA' + s u p f
2) Giả sử X , Y bị chặn dưới, chứng minh:
inf ( X + Y) = inf X + inf Y

17

/


3) Giả sử X , Y bị chặn trên, X c R \ Y c R +. Chứng minh
su p (A T ) = (sup x ) ( s u p y )
4) Giả sử X , Y bị chặn dưới,

X c R * , Y d R +. Chứng minh

in f(A T ) = (inf A ') ( i n f y )
1.6. Giả sử ệ * N c M c R ' . Chứng minh rằng :
inf M < inf iV < sup N < supM
1.7. Cho A c R và F = { / | / : A -> a ) . Chứng minh rằng nếu f , g , h e F
ánh xạ đồng nhất trên tập /4, tức là i(x) = X , \/x € A thì :
1)

ự ° g ) ° h = f o(goh)

2)

foi =f

1.8. Cho F là tập hợp nói trên và
F ' = { / | / : A -> A và F là đơn ánh}
Chứng minh rằng nếu f , g e F * thì

18

1)

f o g e F'

2)

/ o / - ‘ =/

và / là

Chương 2

GIỚI HẠN CỦA DÃY s ố VÀ HÀM s ố
2.1- G IỚ I HẠN CỦA DÃY s ố
2.1.1 - Định nghĩa dãy sô
Gọi N = {l,2,3...... }là tập hợp các số

tự nhiên.Một ánh xạ f : N ' ->/? được gọi là

một dãy số thực. Nếu đặt x„ ~f(tĩ) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng:
x u x 2 , x , , .........x „ , ........

(2.1.1)

Phần tử X„ được gọi là số hạng thứ n của dãy số.
Để cho gọn ta sẽ ký hiệu dãy số bàng {xn}. Chỉ sô' n trong số hạng xn chỉ vị trí của
số hạng này trong dãy (2.1.1).
Trước hết ta hãy nêu ra một vài ví dụ về dãy:
í 1ì
1
1
1
: x ,= l , x 2 =
x 3 = ị , x 4 = ^ .....x„
tnJ
2
3
4
[ n )
1[n + 1, Jí : x '

í 1
1 ì ..
l i ' ã T ĩ f x'

1
n

1
2
n
o2 ’ x 2 = 73 ..... x »= n + 1

1
2 ' Xí = 1 •

1 1
4 ’ *•

..
1
1
x ' - ' 2n ■ Xỉ"= ^ ĩ " "

(2.1.3)

(2-1-4)
. . .
(2 '‘ '5)

Ta thấy rằng các số hạng của dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) gần 0 tuỳ ý khi n tăng, các

số hạng của dãy (2.1.4) gần 1 tuỳ ý khi n tăng. Ta nói rằng dãy (2.1.3) và dãy (2.1.5) có
giới hạn 0, còn dãy (2.1.4) có giới hạn 1.
Bây giờ ta đưa ra định nghĩa chính xácvề giới hạncủa dãy.
Định nghĩa 1:
Ta nói

rằng số a là giới hạn của dãy Ị x nỊ nếuđối với mọi số dương £ bé tuỳ ý đều

tìm được một số p e N * sao cho Vrt >p, n e N ta đều có:
I x„ - a

I < e , tức là a - s
(2.1.6)

Nếu a là giới hạn của dãy Ị xn| thì ta viết:

19


lim x„ =a hay x„ - > a khi /ỉ -» cc

(2.1.7)

Ta chú ý rằng số p nói trên nói chung phụ thụôc vào việc chọn £ . Để nhấn mạnh
điều đó đôi khi thay cho p ta sẽ viết P E.
Khoảng mở (a-£ ,a + £ ) có tâm tại điểm a được gọi là làn cận của điểm a.Như vậy,
để a là giới hạn của dãy Ị x n} với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử X „ của
dãy bắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận
đó chỉ có thể có Inột số hữu hạn các phỄìn tử X , )•

r
t
a-s

a

Xn+I

x„

a+£

x2

X,

Hình 2.1.1
Nếu dãy (2.1.1) có giới hạn, ta nói rằng nó hội tụ, nếu không có giới hạn gọi là phân
kỳ.
Ví dụ 1:
Hãy chứng minh dãy \ —
[ có giới hạn là 1
n 4Ta có:

X -11 = —-— , với moi £ cho trước —-— < £
/7 + 1
n+1

Nếu ta lấy p c = [ — - 1

Do đó lim

] (phần nguyên của ( — - 1) thì V n > p t. ta có :

n
= 1.
n+1

Ví dụ 2:
Hãy chỉ ra rằng dãy:
{(-1)" } : - l , 1, - 1 .................. .
không có giới hạn.
Giả sử rằng dãy có giới hạn là a. Khi đó với s = ỉ, tồn tại số p sao cho :
Vớin>ptacó|

20

x„-a

Ị

< £ = ỉ.

( 2 . 1.8 )


Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n + 1 > p, cho nên I x„+l - a I < 1
Từ đó ta suy ra với n > p
| x „ - x B+1 1=

| (x„ - a ) + ( a - x „ +, ) I <1

x„-a

| + | x „ +l- a

|„

< 1+ 1=2
đ iều này mâu thuẫn với tính chất của các s ố hạng của dãy (2 .1 .8 ) là:

I x„ - x „ +l

I = 2 V n € N*

2.1.2- Các tính tính chất của dãy hội tụ
a) Tính duy nhất
Định lý 2.1.1: Mọi dãy hội tụ đều có giới hạn duy nhất.
Chứng minh :
Giả sử dãy:

Xị ,

x 2,

x 3 , .............

(2.1.1)

có hai giới hạn khác nhau a và b với a

Ta lấy số £= — (b-a) >0. Bởi vì, a là giới hạn của dãy (2.1.1), ta tìm được số p, sao
cho:

với n > Pị ta có :
|x n - a | < £, tức là a- £• < x„ < a +£

(2.1.9)

nhưng b cũng là giới hạn của dãy (2.1.1), nên với số £ nói trên, ta tìm được số p2 sao
với n > p 2 ta có :
|xn - b|
(2.1.10)

nếu lấy n > max (p,, p 2 ) thì b - £ < x„ < a + £ => b - £ <'à+e =5* b-a <2s , điều
này mâu thuẫn với giả thiết b-a=2 £
Định lý 2.1.2: Mọi dãy hội tụ đều bị chặn
Chứng minh :
Giả sử lim Xn =a. Theo định nghĩa với £ = 1, ta tìm được một số tự nhiên p sao cho
Aí — >CO

với mọi số tự nhiên n > p, ta có :

21


X. - a <1. Do xn\-\a\ < X. - a nên X.. <

a

+

Gọi k = w ax||jfl|,|.x:2|,|x 1|,...,|x(1|,Ịa| +1| . Khi đó: |xn| < k , V n = 1, 2, 3,..., tức là dãy
{X„ } bị chận.
Ta chú ý rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ.
Ví dụ:
Dãy có số hạng tổng quát:
x n = ( - 1 ) " là dãy bị chặn nhung k h ông hội tụ vì:

x n —> 1khi

n = 2k —>co;xn —> -1 khi

n = 2k 4-1 —»■oo;

Tuy nhiên |xn| = 1, v « .
b) D ãy con
Định nghĩa 2:
Giả sử Ị k nỊ là dãy tăng các chỉ số, tức là :
k, < k 2 < k < ...
Khi đó dãy với các số hạng x k , x kĩ , x k ......

(2.1.12)

được gọi là dãy con của dãy (2.1.1). Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) là 'dãy con
của dãy (2.1.1).
Ta chú ý rằng k n > n V n eN *

(2.1.13)

Thật vậy k, > 1, cho nên k , >1 và do đó k 2 > 2, bởi vì k 2 là số tự nhiên.
Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được k„ > n. ta nhận được k,:+] >n và
do đó k n+l > n +1. Các ví dụ về dãy con là :
x 2 , x 4 , x 6, xg,................. (k, = 2 , k 2=4............k „ =2 n )

(2.1.14)

Xj . X 3 . X 5, X1 ,...............(kị = 1, k 2 =3,...........k„ =2n - 1)

(2.1.15)

x , , x 4 , x 9, x 16,...............(kị = 1, k 2 =4............. k„ = n 2 )

(2.1.16)

x 1, x 3, x 5, x 7 , x II , x ,3 , x l7...............(x„ = p „ , p„ là số nguyên tố)

(2.1.17)

Định lý 2.1.3 :
Mọi dãy con của một dãy hội tụ cũng là một dãy hội tụ và có cùng giới hạn.

22


Chứng minh :
Giả sử dãy (2.1.1) có giới hạn a và I xk' Ị là một dãy con của dãy (2.1.1). Ta hãy
chứng minh dãy | x t I cũng có giới hạn là a. Đặt y „ = xk .
Giả sử cho trước £ > 0 vì lim X„ = a, nên tồn tại số p sao cho với n> p ta có
/ỉ-» 00

:

I x „ - a I <£
Mặt khác với n > p thì k n > p (vì theo trên k n> n) và do

đó Iy n - a \ =\xk - a I < £

Cho nên lim y n = a, điều phải chứng minh.
n-tco

c) Các phép toán vê giới hạn
Định lý 2. 1.4: Cho hai dãy hội tụ, lim x„ =a, lim y n = b,
/;—
>co
n—
>co
Khi đó:
(i)

lim (x„ + y „ ) = a+b
»—
►
00

(2.1.18);

(ii)

lim ( c x „ ) = c a ; lim (c + X„) = c +a với c là hằng số

n—
>co
«->00

(2.1.19);

(iii)

l i m ( x „ y „ ) = ab
/7—
>C0

(2.1.20);

(iv)

lim ( — ) = — với y„
yn
b

(V)

lim ( —
n->00 y

(2.1.21);

b?tO

) = — với y „ * 0, b

ị)

0

(2.1.22);

Chứng minh :
(i) Vì X -» a, y n -> b nếu với £ >0 ta tìm được p , và p 2 sao cho :
khi n > p ị thì I X„ -a I < —, khi n > p 2 thì I y „ -bl < —
g ọ i p = m ax (p I, p 2 ) thì khi n > p ta c ó :

I (x „ + y „)- (a+b)l < l x „ - a l + l y „ - b l < 8 ,
Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
(ii) Chứng minh tương tự như trên
(iii) Ta có đẳng thức : X„ y „ - ab = (x „ -a) (y „ -b) +a(y „ -b) + b(x „ -a)

23


vì x„ —> a, y„ —»b, nên với e> 0 cho trước, tìm

được P i , p , sao cho :

K h i n > p , t h ì I X „ - al < y [ Ẽ , k h i n > p , t hì I y „ - b I < y fẽ

Gọi p= m ax (p !, p 2 ) thì khi n>p
I x „ y „ - ab I < £ + \a\.e + lbl.f , từ đó :lim (x„ y„ - ab) =0.
n—
>00
1

(iv) Do y n —»b, nên ta có thê chọn m sao cho khi n>m thì I y n -b I < —Ibl, tức là :
2
Do I I y n l-lb II < ly/f -b I < —Ib I, suy ra :

2

lb I < I y „ l-lb I < —Ib I
"
2

Từ bất đẳng thức trên suy ra:
khi n>m thì I y „ I > —Ib I

(2.1.23)

Mặt khác, cũng do y„ —» b nên với £ >0 cho trước tìm được p> m sao cho
khi n > p ta có I y „ l-lb I < — Ibl3 £

(2.1.24)

Do vậy khi n>p ta có :
'— - ị l = |Z “

y„ h

hyn

ì
\b\

l y „ - b l < ^

điều này chứng tỏ rằng —— > — khi n -> co

y*

h

(iv) Kết luận này là hệ quả của (iii) và (iv).
d) S ự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bắt đẳng thức
Định lý 2.1.5:
Giả sử lim X„ < lim y n .Khi đó tìm được một số p sao cho với n > p thì X„ < y „.
n —»co

/?—»co

Chứng minh :
Đăt lim X(,= a, lim VH = b và £ ——(b
n—
>00

/í— ^

9

—a)

Do đó a + e = b - e .Theo giả thiếttìm được p I, p 2 sao cho khi :

24


n > p M thì a - £ < X „ < a+ s và khi n > p 2 thì b - £ < y „ < b+ e .

Nếu gọi p = max ^ Pị , p 2) thì bất đẳng thức :
x n < a + e = b - £ < y n, V/7 > p được thoả mãn.
Do đó : x n <

p .

Chú ỷ :
Trường hợp đặc biệt khi y „ = b V n G N *, ta có khẳng định sau :
Nếu như lim X„ = a < b, thì 3 p sao cho V n > p ta có Xn < b.
n —>co

Một cách tương tự nếu lim y n = b >a thì 3 p sao cho V n > p ta có: y n > a.
/ ỉ —>00

Định lý 2.1.6: Cho hai dãy số {x„} và {y„}. Khi đó :
i)

nếu X„ > y ,, và lim x n = a ; lim y n = b thì a > b
/ ỉ —> c o

ii)

/ J —> 00

nếu [zn} là một dãy thoả mãn :

x„ < y „ < z „ , V n v à l i mx„ = l i mz „ = a t hì limy,, = a.
/?—>co

n-> co

/í->co

Chứng minh :
i) Hãy chứng minh khẳng định này bằng phản chứng, giả sử a< b, khi đó tồn tại số r
thoả mãn a < r < b.
Mặt khác vì X„ —» a và a<r nếu tồn tại p , sao cho khi n > p ị thì X„ < r.
Tương tự ta tìm được p 2 sao cho khi n > p 2 thì yn> r.
Nếu gọi p= max (p I, p 2) thì khi : n > p ta có X„ < r và y n > r,nghĩa là X„ < y „ , và
điều này mâu thuẫn với giả thiết
ii) Vì Xn —> a nếu với e >0 cho trước tìm được p, sao cho khi n > p, t h ì :
I

X „ - al < e hay a - £ < X„ < a+ s

Tương tự, vì z„ —> a, ta tìm được p 2 sao cho khi n > p 2 ta có
a - £ < zn< a+ £
Từ đây, đặt p = max ( p ,, p ,), thì khi n >p ta có
a-

*< x „ < y„

< zn< a + s .

Suy ra a - c < y„< a+ £ , tức là y„ —> a, điều phải chứng minh.

25