Lý thuyết sai số và phương pháp số bình phương nhỏ nhất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRẦN QUỐC BÌNH

LÝ THUYẾT SAI s ố
VÀ PHƯƠNG PHÁP SỐ
BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT

NHÀ XUẤT BẢN NÔNG NGHIỆP
H À N Ộ I - 2005


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU...............................................................................................................................6
CHƯƠNG I. Cơ SỞ LÝ THUYẾT SAI s ố ...............................................................................7
1.1. Khái niệm về phép đ o ..................................................................................................... 7
1.2. Nhiệm vụ của lý thuyết sai số........................................................................................8
1.3. Sai sô" đo đ ạ c ..................................................................................................................... 9
1.4. Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác của kết quẩ đo..............................................11
1.4.1. Sai sô" tuyệt đối..................... .................................................................................... 11
1.4.2. Sai số tương đốì.........................................................................................................18
1.5. Sai sô" trung phương của hàm các trị đo..................................................................... 20
1.6. Sai sô" làm tr ò n ...............................................................................................................24
1.7. Sai sô" hệ thông và các phương pháp làm giảm ảnh hưởng của ch ú n g .................26
1.7.1. Ảnh hưởng của sai sô" hệ thông tới độ chính xác của một trị đo....................... 27
1.7.2. Anh hưởng của sai sô" hệ thông tới độ chính xác của trị trung bình
sô" h ọ c ........................................................................................................................27
1.7.3. Ánh hưởng của sai sô" hệ thống tối độ chính xác của tổng các trị đo có
cùng độ chính xác....................................................................................................28
1.7.4. Các biện pháp làm giảm ảnh hưởng của sai sô" hệ th ô n g .................................. 29
Bài tập chương 1....................................................................................................................33

CHƯƠNG II. XỬ LÝ CÁC KẾT QUẢ ĐO MỘT ĐẠI LƯỢNG............................................34
2.1. Xử lý các kết quả đo một đại lượng có cùng độ chính xác....................................... 34
2.2. Trọng sô" và trị trung bình trọng sô"........ ................... ............................................... 37
2.2.1. Khái niệm về trọng số*vàtrị trung bình trọng sô"................................................ 37
2.2.2. Trọng sô"của hàm các trị đo..................................................................................39
2.2.3. Vấn đề tính trọng số*và sai sô" trung phương của trọng sô' đơn vị..................... 41
2.3. Xử lý các kết quả đo một đại lượng không cùng độ chính xác................................ 43
2.4. Đánh giá độ chính xác của dãy các trị đo kép........................................................... 46
2.4.1. Sai sô" hệ thống không đáng k ể .............................................................................. 47
2.4.2. Sai sô" hệ thông cần phải tính đ ến .........................................................................47
Bài tập chương I I ..................................................................................................................50
CHƯƠNG III. KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN BÌNH SAI VÀ NGUYÊN TAC
SỐ BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT........................................................................................... 51
3.1. Khái niệm về bài toán bình s a i....................................................................................51
3.2. Nguyên tắc sô"bình phương nhỏ n h ấ t........................................................................5b
Bài tập chương I I I .................................................................................................................55
CHƯƠNG IV. PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI THAM s ố ....................................................... 57
4.1. Bài toán bình sai tham sô"............................................................................................57
4.2. Các bước giải bài toán bình sai tham sô".................................................. .................. 59
4.3. Dạng ma trận của bài toán bình sai tham s ố ........................................................... 64


4.4. Đánh giá độ chính xác theo kết quả bình sai tham sô'............................................ 66
4.5. Một sô' dạng phương trình sô" hiệu chỉnh trong lưới trắc địa.................................. 71
4.5.1. Các phương trình sô' hiệu chỉnh trong lưới thủy chuẩn..................................... 72
4.5.2. Các phương trình sô"hiệu chỉnh trong lưới trắc địa mặt bằng..........................73
Bài tập chương IV ................................................................................................................83
CHƯƠNG V. PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI ĐIỂU K IỆN .....................................................85
5.1. Bài toán bình sai điều k iện .........................................................................................85
5.2. Các bưốc giải bài toán bình sai điều k iệ n ............................................................... 88

5.3. Dạng ma trận của bài toán bình sai điều k iện .........................................................92
5.4. Đánh giá độ chính xác theo kết. quả bình sai điều kiện.......................................... 94
5.5. Một sô" dạng phương trình điều kiện trong lưới trắc địa......................................... 97
5.5.1. Các phương trình điều kiện trong lưói thủy ch u ẩn ........................................... 97
5.5.2. Các phương trình điều kiện chủ yếu trong lưới tam giác đo góc.......................98
5.5.4. Các phương trình điều kiện trong lưới đường chuyền..................................... 106
5.6. So sánh các phương pháp bình sai điềukiện và bình sai tham sô'........................ 110
Bài tập chương V................................................................................................................ 111
CHƯƠNG VI. PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI KẾT H ộp VÀ BÀI TOÁN TÍNH
CHUYỂN ĐỔI TỌA ĐỘ........................................................................................................ 113
6.1. Phương pháp bình sai kết hợp..................................................................................113
6.1.1. Cơ sở toán học của phương pháp bình sai kết hợp.............................................113
6.1.2. Một số* dạng của phương pháp bình sai kết hợp............................................. 115
6.2. Bài toán chuyển đổi tọa độ........................................................................................ 118
6.3. Tính toán tham sô"chuyển đổi Helmertgiữa hai hệ tọa độ vuông góc phẳng... 119
6.3.1. Mô hình chuyển đổi với điểm xoay ở tâm tọa độ (mô hình 1).......................... 120
6.3.2. Mô hình chuyển đổi với điểm xoay nằm ngoài tâm tọa độ (mô hình 2).........122
6.4. Tính.toán tham số*chuyển đổi Helmert giữa hai hệ tọa độ vuông góc không
gian gần n h a u .................................. .......................................................................... 127
6.4.1. Mô hình chuyển đổi với điểm xoay ỏ tâm tọa độ (mô hình 1).......................... 127
6.4.2. Mô hình chuyển đổi với điểm xoay nằm ngoài tâm tọa độ (mô hình 2).........130
Bài tập chương V I.............................................................................................................. 140
ĐÁP SỐ VÀ LÒI GIẢI CỦA CÁC BÀI TẬ P........................................................................142
PHỤ LỤC................................................................................................................................ 155
A. Một sô" khái niệm của Lý thuyết xác suất và Thông kê toán học............................ 155
B. Bảng hàm Laplace........................................................................................................ 168
c. Ma trận và hệ phương trình tuyến tín h ..................................................................169
D. Tuyến tính hóa bằng chuỗi Taylor............................................................................183
E. Tìm cực trị có điều kiện bằng hàm Lagrange......... ................................................ 185
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... ............................186

4


LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết sai sô" và Phương pháp sô" bình phương nhỏ n h ất là môn học cơ bản
trong chương trình đào tạo cử nhân khoa học ngành Địa chính ở trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Đây là một môn học khó, song đóng
vai trò then chốt trong khôi các môn học về công nghệ địa chính. Có thể nói tấ t cả
các lĩnh vực đo đạc trắc địa - bản đồ như đo vẽ địa chính, đo vẽ địa hình, trắc địa cao
cấp, trắc địa ảnh, xử lý ảnh sô", hệ thông định vị toàn cầu GPS,... đều có liên quan
đến nội dung của Lý thuyết sai số và Phương pháp sô" bình phương nhỏ nhất.
Do thời lượng của môn học có hạn nên giáo trình được biên soạn với tiêu chí
là giói hạn trong những kiến thức cơ bản nhất, song các kiến thức này được trình
bày chi tiết và chặt chỗ nhằm giúp học viên nắm vững các vấn đề được đưa ra. Nội
dung của giáo trình không đề cập đến một sô" vấn đề nâng cao như phát hiện sai sô"
hệ thông và sai sô" thô trong lưới trắc địa, bình sai lưới trắc địa không gian và lưới
trắc địa m ặt đất - vệ tinh, bình sai lưới tự do, các th u ật toán nâng cao sử dụng
trong bình sai,... Người đọc quan tâm đến những vấn đê này có thể tham khảo
thêm những tài liệu được liệt kê trong danh mục ở cuối giáo trình.
Lý thuyết sai sô" và Phương pháp sô' bình phương nhỏ n h ất là môn học dựa
trên nển tảng của Lý thuyết xác suất, Thống kê toán học và Đại sô" tuyến tính. Do
đó, phương pháp học môn này cũng tương tự như đổi với Toán học cao cấp: học viên
không phải học thuộc các công thức trong giáo trình mà cần nắm được ý tưởng và
phương pháp lập luận để đưa ra các công thức đó, khi cần có thể tự mình suy luận
ra chúng hoặc tra cứu tài liệu. Để giúp ngươi đọc nắm vững kiến thức lý thuyết,
trong giáo trìn h có một sô' lượng lớn các ví dụ và bài tập tính toán. Sau khi học
xong mỗi chương lý thuyết, học viên nên tự mình giải các bài tập của chương đó rồi
so sánh với đáp sô" và lòi giải được trình bày tóm tắ t ở phần cuối của giáo trình.
Ngoài ra, để có thể nhanh chóng tiếp thu các kiến thức ]ý thuyết, cần ôn lại những

kiến thức nền của Toán học cao cấp được trình bày trong phần phụ lục.
Trong quá trình biên soạn giáo trình, tác giả đã nhận được nhiều đóng góp
quý báu của các đồng nghiệp trong khoa Địa lý cũng như của các chuyên gia ở Bộ
Tài nguyên và Môi trường. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc n h ất tới các nhà
giáo, các nhà khoa học đã giúp đỡ hoàn thành giáo trình này.
Đây là giáo trình được biên soạn lần đầu nên không thể tránh khỏi những sai
sót và khiếm khuyết. Tác giả rấ t mong nhận được những đóng góp, phê bình của
học viên và các nhà khoa học.
Hà Nội, tháng 10 năm 2005
TÁC GIẢ
5


Chương I
Cơ SỞ LÝ THUYẾT SAI s ố

Lý thuyết sai sô" là khca học nghiên cứu về nguyên nhân xuất hiện, luật phân
phối và tính chất của các sai số trong đo đạc, trên cơ sỏ đó đề xuất các phương pháp
đo và xử lý kết quả đo nhằm đảm bảo độ chính xác cần thiết.
1.1. KHÁI N IỆM VỂ P H É P ĐO
Phép đo là đem so sánh đại lượng cần đo vối đại lượng cùng loại được chọn
làm đơn vị. Trong đo đạc địa chính, các đại lượng đo thường là khoảng cách, góc, độ
cao (hay chênh cao) và tọa độ (hay sô" gia tọa độ). Để tăng độ chính xác, một đại
lượng thường được đo nhiều lần.
Người ta phân biệt các phép đo có cùng độ chính xác và các phép đo không
cùng độ chính xác:
- Các phép đo có cùng độ chính xác được thực hiện bằng một dụng cụ (hay các
dụng cụ có cùng độ chính xác), theo cùng một phương pháp trong những điều kiện
giông nhau. Ví dụ: đo góc ngang hay góc đứng bằng các máy kinh vĩ có cùng độ
chính xác theo cùng một phương pháp và sô" lượng vòng đo, đo một khoảng cách

nhiều lần bằng một thước dây theo cùng một phương pháp,...
- Nếu các điều kiện trên khồng được thực hiện thì các phép đo được coi là
không cùng độ chính xác. Ví dụ: đo góc theo cùng một phương pháp và sô" lượng
vòng đo nhưng với các máy kinh vĩ khác nhau về độ chính xác, đo một khoảng cách
lớn bằng các thước dây có chiều dài khác nhau,...
Trong thực tế, có rấ t nhiều yếu tô" ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả đo
và chúng khó xác định nên người ta thường đưa ra kết luận các phép đo có cùng độ
chính xác hay không dựa theo kinh nghiệm và các chỉ tiêu đánh giá độ chính xác
(được nghiên cứu ở mục 1.4).
Đế giải các bài toán trong đo đạc địa chính, ta thường phải đo nhiều đại
lượng. Chẳng hạn, từ 2 điểm A và B đã biết trước, để xác định vị trí của điểm c
trên m ặt phẳng cần đo ít n h ất 2 đại lượng. Sô" đại lượng tối thiểu phải đo để giải
bài toán đặt ra được gọi là sô'đại lượng cần đo. Như vậy 2 là sô" đại lượng cần đo để
xác định vị trí của 1 điểm trên m ặt phẳng.
7


Trong đo đạc địa chính, để tăng độ chính xác, người ta thường đo nhiều đại
lượng hơn số cần thiết. Hiệu giữa sô" đại lượng thực tế đo và sô' đại lượng cần đo
được gọi là s ố đại lượng đo dư (hay còn gọi là số đại lượng đo thừa [2]). Như vậy,
giữa sô" đại lượng cần đo k, thực tế đo n và đo dư r có mốì quan hệ sau:
r =n - k .

(1.1)

Ví dụ 1.1.
a. Để xác định khoảng cách AB người ta đo bằng thước dây 3 lần. Như vậy, số đại lượng
cần đo bằng 1, sô' đại lượng đo dư bằng 2.
b. Một tứ giác trắc địa có sơ đồ trên hình 1.1. Để xác định tọa độ phẳng của các điểm c
và D khi đã biết tọa độ của A và B, người ta đo 8 góc được đánh số trên sơ đồ và khoảng cách CD.

Bởi vì để xác định tọa độ (x,y) của 1 điểm trên mặt phẳng cần đo 2 đại lượng nên sô' đại
lượng cần đo k = 2x2 = 4, số đại lượng thực tế đo « = 8 + 1=9, số đại lượng đo dư
r = n - k = 9 - 4 = 5.

Hình 1.1. Sơ đồ tứ giác trắc địa (ví dụ 1.1)

1.2. NHIỆM VỤ CỦA LÝ THUYET

sa i

số

Một phép đo cho dù có được thực hiện cẩn th ận bao nhiêu thì cũng vẫn có sai
số. Việc hoàn thiện phương pháp đo đạc và các dụng cụ đo, cũng như việc nâng cao
trìn h độ của ngưòi đo chỉ có thể làm tăng độ chính xác của các kết quả đo chứ
không thể triệt tiêu hoàn toàn được các sai sô. Bởi vậy, trong thực tế người ta
thường thực hiện đo đạc với một độ chính xác cho trước. Việc đặt ra độ chính xác
cho trưốc đó cũng như việc đánh giá độ chính xác của các kết quả đo là nhiệm vụ
chủ yếu của lý thuyết sai sô".
Lý thuyết sai số nghiên cứu các vấn đề sau:
1. Nghiên cứu nguyên nhân xuất hiện và lu ật phân phối của sai số đo đạc và
sai sô" tính toán, trên cơ sở đó đề xuất các phương pháp làm giảm ảnh
hưởng của chúng.
8


2. Xác định giá trị tin cậy nh ất của các đại lượng đo.
3. Đánh giá độ chính xác của các kết quả đo và hàm của chúng.
4. Xác định các giới hạn để loại bỏ những trị đo không đạt yêu cầu nhằm đảm
bảo độ chính xác cần thiết.

1.3. SAI SỐ ĐO ĐẠC
Như chúng ta đã biết, bất kỳ phép đo nào cũng có sai sô", tức là sự khác biệt
giữa giá trị đo được và giá trị thực. Nguyên nhân phát sinh ra sai sô' là do trong
quá trìn h đo đạc, ngoài đối tượng đo còn có sự tham gia của người đo, dụng cụ đo và
môi trường xung quanh. Toàn bộ các điều kiện trên luôn luôn thay đổi theo thời
gian và chúng ta không thể đánh giá chính xác và triệt tiêu ảnh hưởng của chúng
được. Bởi vậy, kết quả đo bao giờ cũng khác giá trị thực và mỗi lần một khác. Nếu
gọi tập hợp các yếu tô" ảnh hưởng đến kết quả đo: đối tượng đo, ngưòi đo, phương
pháp đo, dụng cụ đo và môi trường xung quanh là điều kiện đo thì có thể cho rằng
sự dao động của các kết quả đo thể hiện những thay đổi của điều kiện đo.
Để nghiên cứu tính chất của sai sô’ thì tốt n h ất là biết được giá trị thực của
các đại lượng đo. Trong thực tế, có thể coi giá trị thực là giá trị của các đại lượng
đo đã được biết với độ chính xác cao, có sai số nhỏ hơn nhiều so vối sai sô" của các
phép đo mà chúng ta thực hiện. Ngoài ra, có một số hàm của các đại lượng đo có
giá trị thực đã biết trước, ví dụ như tổng các góc trong một tam giác bằng 180°,
Lổng chênh cao trong một tuyến t h ủ y chu ẩn khép kín bằng 0, hiệu giữa 2 kết quả
đo một đại lượng bằng 0,...
Khi đo một đại lượng có giá trị thực bằng X thì sai sô'thực 6 của kết quả đo
(hay trị đo) X được xác định bởi công thức sau:
1
e =x - X .

(1.2)

Nếu chúng ta biết một sô" lượng lớn các sai số thực thì có thể nghiên cứu quy
lu ật xuất hiện của chúng. Tuy nhiên, trong đa số các trường hợp, giá trị thực X (và
suy ra là các sai số thực 9), không biết được. Bởi vậy, để nghiên cứu tính chất của
sai sô", người ta thường sử dụng các phương pháp nghiên cứu gián tiếp như nghiên
cứu lu ậ t phân phôi xác suất của trị đo hay của hàm các trị đo.
Khi ta đo một đại lượng nào đó thì kết quả đo chịu ảnh hưởng của vô số các

yếu tố" khác nhau. Ví dụ như khi đo góc ngang bằng máy kinh vĩ có thể có các
nguồn sai sô" sau: sai số hiệu chỉnh máy, sai sô' định tâm máy, sai số của bàn độ
ngang, sai số của bộ phận đọc kết quả, sai số của người đo khi ngắm mục tiêu và
khi đọc kết quả, sai sô" do khúc xạ của tia ngắm, sự không ổn định của điểm ngắm
và của máy kinh vĩ, ảnh hưởng của nhiệt độ không khí,... v ề phần mình, sai số
hiệu chỉnh máy lại bao gồm các sai số do trục ngắm không vuông góc với trục quay
9


của ông kính, trục quay của máy không vuông góc với trục của ống thủy dài,... Nếu
phép đo được thực hiện cẩn th ận thì mỗi yếu tố trên có ảnh hưởng rấ t nhỏ so vói
tổng ảnh hưởng của chúng tới kết quả đo. Khi đó, theo định lý giới hạn tru n g tâm
của lý thuyết xác su ấ t thì kết quả đo có ph â n phối chuẩn (xem phụ lục A.3).
Theo nguồn gốc phát sinh và quy lu ật xuất hiện, các sai số đo được phân loại
th àn h sai số thô, sai số hệ thông và sai sô' ngẫu nhiên.
• S a i s ố th ô (hay còn gọi là sai lầm hay sai sô' lớn) p h át sinh do lỗi lầm hay
sự thiếu trách nhiệm của người đo hoặc do hỏng hóc của máy đo. Ví dụ như khi đo
khoảng cách bằng nhiều đoạn ngắn người đo đếm nhầm số đoạn, hoặc khi đo góc
quên không khóa vành độ ngang,... Sai số thô cần được p h át hiện và loại bỏ ra khỏi
các kết quả đo. Phương pháp đơn giản n h ất để p h át hiện sai sô" thô là đo lặp nhiều
lần một đại lượng rồi phân tích thống kê dãy các kết quả th u đưực. Phương pháp
này tuy đơn giản nhưng tôn nhiều công sức, nhất là khi xây dựng các lưới trắc địa có
nhiều đại lượng đo. Do đó, việc đề xuât các phương pháp phát hiện sai số thô là một
trong những vấn đề cấp thiết của Lý thuyết sai s ố ‘.
• S a i sô h ê th ố n g là sai số phát sinh theo một quy lu ật n h ất định từ một
nguồn nào đó. Nếu xét sai sô" hệ thông như một đại lượng ngẫu nhiên thì kỳ vọng
của nó thường khác 0. Ví dụ như nếu sử dụng thước dây có chiều dài thực lớn hơn
danh nghĩa của nó (20,0lm thay vì 20,00m) thì kết quả đo bao giò cũng nhỏ hơn
khoảng cách thực. Trong nhiều trường hợp, sai scí hệ thông là một số không đổi cả
về giá trị và dấu". Các phương pháp giảm thiểu sai sô" hệ thông sẽ được nghiên cứu

ở mục 1.7.
• S a i s ố n g ẫ u n h iê n là sai sô" không p h át sinh theo một quy lu ật nhất
định. Nếu xét sai sô" ngẫu nhiên như một đại lượng ngẫu nhiên thì nó có kỳ vọng
bằng 0 hoặc gần bằng 0. Ví dụ: sai số do định tâm máy, ngắm không chính xác vào
mục tiêu, ước lượng phần lẻ khi đọc kết quả trên vành độ khi đo góc " hoặc sai sô" do
lực căng không đều khi đo khoảng cách bằng thước dây,... Các sai sô"làm tròn trong
đo đạc và tính toán cũng là sai sô" ngẫu nhiên. Thông thường, sai số ngẫu nhiên
tuân theo lu ật phân phối chuẩn, trừ một sô" trường hợp ngoại lệ như sai số làm tròn
tuân theo lu ật phân phôi đều. Chú ý rằng khi điều kiện đo thay đổi thì một số
nguồn phát sinh sai số hệ thông sẽ trở thành nguồn phát sinh sai sô’ngẫu nhiên và
ngược lại.
Một sô" tính chất của sai sô" ngẫu nhiên:
1Người đọc có th ể th a m khảo thêm về v ấn đề này trong [12].
" T ro n g m ột sô’ tà i liệu, sai số hệ th ố n g được coi là có d ấu k h ô n g đổi. K h ắn g đ ịn h này không hoàn toàn
ch ín h xác vi có m ột sô" ít trư ờ ng hớp n h ư khi v à n h độ của m áy k in h vĩ chia k hông đều th ì sai s ố hệ
th ố n g đo góc sẽ có d ấ u th ay đổi tù y th eo góc đ ư ợ c đo n ằm trê n p h ầ n nào của v à n h độ.
Ví d ụ n h ư nếu v à n h độ ch ia đến p h ú t n h ư n g người đo ước lượng và đọc k ết q u ả đến giây th ì trong
k ế t q u ả th u được có sa i số n g ẫu n h iê n do p h ầ n giây được ước lượng k hông ho àn to àn chính xác.

10


- Trong một điều kiện đo nhất định, trị tuyệt đôi của sai sô" ngẫu nhiên không
vượt quá một giá trị nh ất định.
- Trong đa số các trường hợp, sai sô" có trị tuyệt đỗi nhỏ xuất hiện nhiều hơn
sai sô" có trị tuyệt đối lớn.
- Sô" lượng các sai sô' có dấu dương (+) và dấu âm

(-) gần bằng nhau.

- Trị trung bình sô" học của một số lượng lớn các sai số ngẫu nhiên tiến về 0:
| i m A ! + A 2 + ... + A „ _ 0

(13)

n->00

1.4. CÁC T IÊ U CHUẨN ĐÁNH GIÁ ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA KẾT QUẢ ĐO
Để đánh giá độ chính xác của kết quả đo một đại lượng nào đó, cần phải xác
định sự chênh lệch có thể có giữa kết quả thu được X và giá trị thực X của đại
lượng đo. Sự chênh lệch này chính là sai số thực 9 và có thổ được biểu diễn qua 2
th àn h phần (với điều kiện sai số thô đã được loại bỏ):
-

Sự chênh lệch A giữa kết quả đo được

.V

và kỳ vọng toán học E(x) của nó,

đây là th àn h phần ngẫu nhiên của sai số.
- Sự chênh lệch 8 giữa kỳ vọng toán học

E(x)

và giá trị thực X của đại lượng

cần đo, đây là thành phần hệ thông của sai sô".
Như vậy, mối quan hệ giữa sai số thực 6, sai số ngẫu nhiên A và sai sô" hệ
thông ố được biểu diễn bởi công thức:

0 = x - X = [x- £(*)] + [£(*) - ỵ ] = A + S.

(1.4)

Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác của kết quả đo thường được sử dụng
bao gồm: sai sô" thực, sai sô" trung phương, sai sô" trung bình, sai sô' xác su ất và sai
sô" giới hạn. Mỗi sai sô" này lại có thể được biểu diễn dưối 2 dạng: sai sô" tuyệt đối và
sai sô" tương đối (hình 1.2).
Phần tiếp theo của mục này sẽ nghiên cứu về từng loại sai sô" áp dụng cho các
kết quả đo một đại lượng, riêng sai số thực đã được định nghĩa ở mục 1.3 nên
không được đề cập đến.
1.4.1. Sai sô tu y ệt đối
a.

Sai s ố trung phương

Sai sô" trung phương là tiêu chuẩn hay
chính xác của kết quả đo. Nếu đại lượng cần

được sử dụng n h ất để đánh giáđộ
đo có giá trị thực bằng X thì sai sô"

11


tru n g phương m của trị đo Jt được tính theo công thức':
m = Ị Ẽ { ẽ r) ,

(1.5)

với 6 - x - X là sai số thực.

H ìn h 1.2. Các tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác của kết quả đo

Nếu đại lượng X được đo n lần (n khá lớn) vói sai sô" thực ỡl 0-1,2,...,/?) đã biêt
thì sai sô" tru n g phương m của một trị đo có thể được tính như sau:

(1.6 )

m

Sau đây, chúng ta sẽ biểu diễn sai số trung phương thông qua các th àn h phần
ngẫu nhiên và hệ thông.
Kết hợp công thức (1.4) vối (1.5) và theo tính chất của kỳ vọng toán học ta có:
m2 = E[(A + S)2] = E[ A2 + ổ 2 + 2AỖ]
= E(A2) + E(Ổ2) + 2E(AỔ).
Giả thiết rằng À và ổ là các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, theo tính chất
của sai số ngẫu nhiên:
* T rong giáo trìn h này, cũ n g n h ư tro n g các tà i liệu [14] và [15], sai sô" tru n g phư ơng được l ấ y theo giá
trị tu y ệ t đối, tức là k hông có d ấu ±. Khi v iế t k ế t q u ả đo có kèm sai SC) tru n g phư ơng th ì cần t h ê m d ấu
± để đ ảm bảo ý n g h ĩa của nó. Ví dụ: m = 1"; a = 10°15'05"±r.

12


E( Aỗ) = £ (A) X E( ỗ) = 0 X E( ỗ) = 0,

(1.8)

m2 = E(A2)+ E(ổ2).

(1.9)

suy ra:

Ký hiệu:
mlS = yjE(A2) - thành phần ngẫu nhiên của sai số trung phương*,
m 5 = -<ỊE(ổ 2) - thành phần hệ thống của sai sô" trung phương.
Công thức (1.9) có thể được viết như sau:
( 1. 10)

Trong thực tế, nếu các trị đo có cùng độ chính xác thì thành phần ngẫu nhiên
của sai số’trung phương mA được tính theo công thức:

với

X,

là các trị đo và:

( 1.12)

nM
Trong công thức trên, V, được gọi là số hiệu chỉnh vào trị đo

X ị,

còn

X

là trị

xác su ấ t n h ấ t (trong trường hợp này là trị trung bình số học) của các trị đo.
Nếu biết được m và mA thì thành phần hệ thông của sai số trung phương
được tính từ công thức (1.10):
(1.13)
Trong sô' 3 đại lượng m, mA và ms , thông thường chúng ta chỉ tính được mầ
theo công thức (1.11). Khi đó, sau khi thực hiện các biện pháp làm giảm ảnh hưởng
của sai số hệ thông (xem mục 1.7), có thể coi ms 0 và sai số trung phương m được
tính gần đúng như sau:

(1.14)

‘ Do kỳ vọng của sa i số n g ẫ u n h iê n E(A) = 0 n ê n có fehể th ấ y m A c h ín h là độ lệch c h u ẩ n củ a sai sô" n g ẫu
n h iê n A.

13


b. Sai s ố trung bình
Sai sô' trung bình
và kỳ vọng E(x):

K

là kỳ vọng của trị tuyệt đốì của hiệu giữa kết quả đo

v = £ |jc-£ (* )|]= £ |jA |].

X

(1.15)

Trong thực tế, khi có một sô' lượng lớn

n

các trị đo

X,

thì sai sô' trung bình

K

được tính gần đúng như sau:
(1.16)

n „1
với số" hiệu chỉnh V, được tính theo công thức (1.12).
c. Sai s ố xác suất

Giả sử đại lượng X được đo n lần với kết quả Xị,x2,...,x„ và sai sô" ngẫu nhiên
tương ứng A |,à 2,...,A„. Sai số"xác su ấ t r của một trị đo là trung vị' của trị tuyệt đối
của sai số ngẫu nhiên A:
r = med{|a|).

(1.17)

Như vậy, xác suất để sai số ngẫu nhiên có trị tuyệt đối nhỏ hơn r bằng xác suất
để nó có trị tuyệt đốỉ lớn hơn r và bằng 0,5:
/>(jA |<r)=/5(|A |> r)-0,5.

(1.18)

Trong thực tế, để tính sai số xác suất, người ta sắp xếp cácsô" hiệu
theo thứ tự tăng dần của giá trị tuyệt

chỉnh

V,

đôìth àn h dãy số v1,v2,...,v„ rồi tùy theo n là

số chẵn hay số lẻ mà sử dụng một trong các công thức sau:
r » 0,5 X

v «/2| +

(n+2)/2

vói n lẻ.

vổi n chẵn và:
(1.19)

d. Sai sô'giới hạn
Sai số giói hạn được sử dụng để phát hiện và loại bỏ sai sô" thô ra khỏi kết quả
đo. Giả sử sai sô' hệ thông đã được giảm thiểu bằng các biện pháp ở mục 1.7 và có

ảnh hưởng không đáng kể, chúng ta sẽ kiểm định giả thuyết cho rằng k ết quả đo
chỉ chứa sai số" ngẫu nhiên. Do phần lớn các sai sô" ngẫu nhiên A tuân theo luật
phân phối chuẩn nên theo phụ lục A.2.6 ta có một số xác su ất sau:
*Xem p h ụ lục A.2.3 về tru n g vị.

14


p J a - £(A)| > m}= p )a| > w}= 0,3173;
p )a - E( A)| > 2m}= p(a| > 2m}= 0,0455;

(1.20)

p |a - £(A)| > 3m}= /»Ịa| > 3/w}= 0,0027;
với m là sai sô" trung phương.
Công thức (1.20) cho thấy: nếu |a | > 3w thì có thể khẳng định A không tu ân
theo phân phôi chuẩn, tức là giả thuyết cho rằng kết quả đo chỉ chứa sai sô" ngẫu
nhiên bịbác bỏ và như vậy A là sai sô" thô cần phải loạibỏ. Xác su ất của sai lầm ở
đây bằng 0,0027 hay gần 0,3%, tức là rấ t nhỏ. Nếu chúng ta lấy giới hạn bằng 2m
thì xác su ấ t của sai lầm bằng 4,5%. Xuất phát từ những suy luận này, trong đo đạc
người ta thường lấy sai sô" giới hạn /wmax = 3m (trong những trường hợp yêu cầu độ
chính xác cao thì /wmax = 2m). Các trị đo có sai sô" (hay sô" hiệu chỉnh) lốn hơn mmax
về giá trị tuyệt đối được coi là chứa sai sô" thô và cần loại bỏ.
e. Mối quan hệ thống kê giữa sai s ố trung bình, sai sô'xác suất và thành p h ầ n
ngẫu nhiên của sai s ố trung phương
Với giả thiết sai số ngẫu nhiên tuân theo luật phân phôi chuẩn, chúng ta có
thể tìm được mốì quan hệ thông kê giữa sai sô" trung bình Ky sai sô" xác su ất r và
thành phần ngẫu nhiên của sai sô" trung phương mA. Từ công thức (1.15) ta có:
K
m

4 a \)

( 1.21 )

m

Do A tuân theo luật phân phối chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và độ lệch chuẩn
bằng mA nên ta có hàm m ật độ xác su ất sau 1:

/(A ) =

(1.22 )

2

m

Đ ặt / = — rồi kết hợp (1.22) với (1.21) sẽ được:

m

( UI \
= E |A

2ro: dA
- í mà mầ4 ĩĩĩ

2 7
-V2/r

ệ r 0 te

_

22 4
FT
V27T

■SỈ2~n

V 7T

N hư vậy, mối quan hệ thống kê giữa sai số trung bình và thành phần ngẫu
' Xem p h ụ lục A.2.6 vê h àm m ậ t độ xác s u ấ t của p h â n phối chuẩn.

15


nhiên của sai sô" tru n g phương có dạng sau:
K = mw \

71

(1.23)

~ 0>80 X m A .

Để tìm môi quan hệ thông kê giữa sai số xác su ất và th à n h phần ngẫu nhiên
của sai sp trung phương, chúng ta sử dụng công thức (1.18) và tín h chất của phân
phối chuẩn (phụ lục A.2.6):

p(Ịa| < r) = p ( - r < À < r)
ệ

r

(
ệ

= 2ệ

r

\
0,5.

(1.24)

V

Do đó:
r
ệ

r

\
= 0,25.

(1.25)

Tra bảng hàm Laplace ộ(x) ở phụ lục B sẽ tìm được:

m,

0,67, suy ra r * 0,67wà .

(1.26)

Các công thức (1.23) và (1.26) biểu diễn mốì quan hệ giữa sai sô' trung
phương, sai số trung bình và sai số xác suất. Cần chú ý rằng đây là mối quan hệ
thống kê (không phải là quan hệ số học) nên các công thức này chỉ đúng khi số
lượng các phép đo khá lớn.

Ví dụ 1.2.
Khoảng cách AB được đo 4 lần với các kết quả sau:
20,01m; 20,03m; 19,98m; 19,98m.
Hãy đánh giá độ chính xác của các kết quả đo trên.
Lời giải:
Khoảng cách trung bình giữa A và B bằng:
_ _ 20,01 + 20,03 +19,98 +19,98 .
4

X = ---------------------- ---------------------- = 2 0 , 0 0 m .

Các sô' hiệu chỉnh V, được tính theo công thức (1.12):
Vị - -0,0 lm;

v2 = -0,03m;

v3 = 0,02 m;

v4 = 0,02 m.

Sai số trung phương được tính theo công thức (1.14):
16


/ ( —0,01 ) 2 + ( - 0 , 0 3 ) 2 + 0 ,0 2 2 + 0 ,0 2 2 _ / 0 , 0 0 1 8

m « mA = ------ ------------ -------------------- = J ——— = 0,024m.
A V
4 -1
V 3
Sai số giới hạn /wmax = 3 X m

0,072m. Như vậy, trong các kết quả đo trên không có sai

-

s ố thô.

Sai số trung bình được tính theo cồng thức (1.16):
0,01 + 0,03 + 0, 02 + 0, 02

K * —----------- -------------- = 0,02m.
4
Sắp xếp các số hiệu chỉnh
Vj = -0,01

theo thứ tự tăng dần của giá trị tuyệt đối ta được dãy số:

V,

0,02

0,02

-0,03m.

Do số lượng các phép đo là số chẵn (/7 = 4) nên theo công thức (1.19), sai số xác suất là
trị trung bình tính theo giá trị tuyệt đối của số hiệu chỉnh thứ 2 và thứ 3 trong dãy số trên:
r « 0,5 X |v 21+ |v31] = 0,5 X [0,02 + 0,02 ] = 0 ,0 2 m .

So sánh các sai số m,r,K ta thấy công thức (1.23) gần được thỏa mãn, còn công thức
(1.26) không được thỏa mãn do số lượng các phép đo bằng 4 là quá nhò.
Ví dụ 1.3.
Độ chênh cao giữa 2 điểm M51 và K18 được đo thủy chuẩn 10 lần với kết quả hiển thị
trong bảng 1.1.
B ản g 1.1. K ết quả đo thủ y chuẩn (ví dụ 1.3)
Lấn đo /
Chênh cao X, (mm)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1185

1196

1183

1185

1187

1189

1184

1186

1184

1183

Hãy đánh giá độ chính xác của các kết quả đo với sai số giới hạn được xác định theo công
thức: rnmm = 2m.
Lời giải:
Trước riên, chúng ta tính độ chênh cao trung bình giữa 2 điểm M51 và K I8:
1185 + 1196 + 1183 + ... + 1183 llo ^ _
10
Các số hiệu chỉnh V,. được tính theo công thức (1.12) và kết quả hiển thị trong bảng 1.2.
X = ------------------------— -------------------------- = 1 1 8 6 , 2 m m .

B ảng 1.2. K ết quả tính s ố hiệu chỉnh lần đầu (ví d ụ 1.3)
Lần đo /
Chênh cao X, (mm)
Số hiệu chỉnh V, (mm)
v,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1185

1196

1183

1185

1187

1189

1184

1186

1184

1183

1,2

-9,8

3,2

1.2

-0,8

-2,8

2,2

0,2

2,2

3,2

1,44

96,04

10,24

1,44

0.64
:..:

7,84

4.84

0,04

4,84

10,24

ir

17


Sai sô' trung phương được tính theo công thức (1.14):
1 , 4 4 + 9 6 , 0 4 + ... + 1 0 , 2 4

137,6

m ~ WA= J --------- -------------—— = J — — = 3,91mm.

A V

10-1

V

9

Sai số giới hạn: wmax = 2m = 2 X3,91 = 7,82mm.
Kiểm tra các kết quả ta thấy trị đo x-ị có số hiệu chỉnh vượt quá sai số giới hạn. Như vậy,

có nhiều khả năng là trị đo này chứa sai số thô và cần kiểm tra lại. Trong ví dụ này, chủng ta sẽ
loại bỏ x2 và tính lại từ đầu.
Độ chênh cao trung bình được tính lại bằng:
_ 1185 + 1183 + ... +1183

X = --------------------------------------- « 1185,1 m m .

9

Kết quả tính các số hiệu chỉnh sau khi loại bỏ sai số thô được trình bày trong bảng 1.3.
B án g 1.3. Kết quả tính s ố hiệu chỉnh sau khi lcại bỏ sai s ố th ô
Lần đo /

(ví dụ 1.3)

1

3

4

5

6

7

8

9

10

1185

1183

1185

1187

1189

1184

1186

1184

1183

Số hiệu chỉnh V' (mm)

0,1

2,1

0,1

-1,9

-3,9

1,1

-0,9

1,1

2,1

v.

0,01

4,41

0,01

3,61

15,21

1,21

0,81

1,21

4,41

Chênh cao X, (mm)

Sai số trung phương sau khi loại bỏ sai số thồ:
0,01+4,41+... + 4,41
30,89
m « J -----------— -----------= J —— = ],97mm.
V
9-1
V 8
Sai số giới hạn được tính lại: /wmax = 2 X 1,97 = 3,94mm.
Kiểm tra các số hiệu chỉnh sau khi tính lại ta thấy không còn kết quả nào có sai số vượt
quá sai số giới hạn. Riêng trị đo số 6 có số hiệu chỉnh gần bằng sai số giới hạn nên cần được
chú ý trong quá trình xử lý số liệu. Sai số trung bình được tính theo công thức (1.16):
M 0,1+ 2,1+... +2,1 _ 13,3 ~ , 0
K « —--------------- —=
w l,48mm.
9

9

Sắp xếp các số hiệu chỉnh
V, = 0,1

0,1

V,

-0, 9

theo thứ tự tầng dần của giá trị tuyệt đối ta được dãy số:
u

1,1

-1,9

2,1

2,1

- 3 , 9m m.

Do số lượng các phép đo là số lẻ (n - 9) nên sai số xác suất bằng giá trị tuyệt đối của số
thứ 5 trong dãy số trên:
~ |v(„+i)/2 j =

= l,lrnm.

1.4.2. S ai số tư ơ n g đôi
Các sai số thực, sai số trung phương, sai số trung bình và sai số xác suất
18


nghiên cứu ở phần trên được gọi là sai sô" tuyệt đối. Trong một sô’ trường hợp, việc
sử dụng các sai sô" tuyệt đối không thuận tiện và khó hình dung. Ví dụ như 2
khoảng cách l/W -lOOm và lcl) = 200m cùng được đo vói sai số trung phương bằng
0,lm . Rõ ràng là chất lượng đo khoảng cách lCD tốt hơn so với lAH. Tuy nhiên, nếu
chỉ sử dạng sai số" trung phương (tức là sai số tuyệt đối) mà không đưa ra khoảng
cách thực thì rấ t khó có thể so sánh các kết quả này.

Khi so sánh chất lượng của các kết quả đo nhiều đại lượng có cùng đơn vị vật
lý nhưng khác nhau về giá trị, việc sử dụng sai sô" tương đối có thể sẽ thuận tiện
hơn so vói sai sô" tuyệt đổì'.
Sai s ố tương đối là tỷ số giữa sai sô" tuyệt đối tương ứng và giá trị của đại lượng
đo. Sai sò’ Lương đối thường đươc biểu diễn dưới dang phân sô" — . Nếu ký hiêu X là
N
kết quả đo và 6, m, rnmm, K, r lần lượt là sai số thực, sai sô" trung phương, sai số giới
hạn, sai số trung bình và sai số xác suất thì các sai số tương đôi được tính như sau:
1 0
——= —;

- Sai sô" thưc tương đối:

N0

- Sai số trung phương tương đối:

X

— = —;
N„

- Sai sô' trung bình tương đối:

ỉ
K
—— = —;
N

k

X

r
—1 = —;

' suat
A' tương đôi:
- Sai so xác

Nr

- Sai sô" giới hạn tương đối:

X

X

—!— = m‘nax.
^max
^

Ví dụ 1.4.
Trong ví dụ 1.2 ở trên, các sai số tương đối bằng:
c • sô* trung phương
u ^ tương đôi: —1 = 0,024m
- Sai
—-— « —1 ;
Nm 20,00m 833
o : sôt£giới hạn

u tươiig đôi: —-—
1 =—
0fi72m
- Sai
—— » —1—;
Nmm
20,00m
278
c ■ AIV I
.... 1
0,02m
1
- Sai sô trunữ bình tương đối: — = —— — = —:— ;
N k 20,00m 1000
c
:
_ ° ’0 2 m
_
- Sai
sô
xác suất tương đôi: — =1——----= ——
.

Nr

20,00m

1

1000

1 S ai s ố tư ơng đôì h ay đư ợ c sử d ụ n g n h ấ t để đ án h giá độ ch ín h xác k ết q uả đo k h o ản g cách (chiều dài).
Đốì với các k ế t q u ả đo góc người ta ít sử d ụ n g sai sô" tương đôi.

19


1.5. SAI SỐ TRUNG PH Ư Ơ N G CỦA HÀM CÁC TRỊ ĐO
Trong đo đạc địa chính, chúng ta thường phải xác định những đại lượng là
hàm số của các trị đo. Ví dụ như số gia toạ độ A.V là hàm số của góc định hướng a
và khoảng cách ngang s: Ax = s Xcos(a); hay chênh cao Ahs, giữa 2 điểm bằng hiệu
sô" đọc được trên mia sau d x và mia trước d, khi đo thủy chuẩn: A/?v, =ds - d r Rõ
ràng là sai số của hàm phụ thuộc vào dạng của nó và sai số của các tham số.
Trong
thuyết) của
tổng chênh
thực F' của

một sô" trường hợp, chúng ta có thể biết được giá trị thực (giá trị lý
hàm số", chẳng hạn như tổng các góc trong một tam giác bằng 180°,
cao trong một tuyến thủy chuẩn khép kín bằng 0,... Nếu biết giá trị
hàm các trị đo F(x,y,...,u) thì có th ể tính được sai số thực 0/. bằng cách

lấy giá trị tính theo các tham sô’đo được trừ đi giá trị thực':
ỡr = F(x,y,...,u)-F l .

(1.27)

Trong đa sô" các trường hợp, chúng ta không biết giá trị thực F] nên không
thể tính được sai sô" thực 0h . Tuy nhiên, nếu biết sai sô" trung phương của các trị đo

thì có th ể tính được sai sô' tru n g phương của hàm F theo phương pháp dược trình
bày dưới đầy.
Giả sử có hàm của các trị đo được xác định như sau:
(1.28)
với x,y,...,u là các trị đo (tham sô) với sai sô' trung phương lần lượt bằng
mx,m

Các trị đo này có thể tương quan hay không tướng quan với nhau.

Ký hiệu X,Y,...,U là giá trị thực của các đại lượng đo. Sai số thực của các trị
đo bằng:
ex = x - X ,
6y = y - Y,

(1.29)

(1.30)
Nếu các phép đo được thực hiện cẩn th ậ n th ì sai số thực 6X,6X.....8, là các

*T rong m ột số”trường
20

hợp, sai sô" thực của

h àm các trị đo được gọi là sai

số khép.


đại lượng khá nhỏ nên chúng ta có thể phân tích hàm F (x -Ỡ x,y - Q v,...,u- 6U)

th à n h chuỗi Taylor và loại bỏ các phần tử phi tuyến tính:
F(x - ex9y -

dF\
r d F \'
0Xõx / 0
Vổ.v Jữ

u - ỡ u) = F(x9y 9...9u)

( ÕF\
0,
\d u ỵ

rồi th ế vào biểu thức (1.30) sẽ được:
ớ. +

V ổz/ / 0

dy /0
V‘V

Trong các công thức trên
V

là đạo hàm riêng tính theo giá trị

õy

dx

(1.31)

ổ ...

Jt, y,... đo được. Sai sô" tru n g phương của hàm các trị đo được tính từ công thức
(1.31) và (1.5):
m ị= E (0 ị)

( ÕFN

E(0l) +...+

V

©

o

l dx )

E(ỡ:)+

k ĩ1

2

' ÕF
a r ' ^ỒF^
£ (0 Ạ ) +

V dx

y

£ (# )+

...

J

T hay £ (ớ 2) = m 1 vào công thức trên sẽ được:
' d F '2
'õ Ị ^ 1
/M? +
\ àc , 0
v ^ /ũ

rõF^2
ÕF
m . +2
£(ớ,ớ,) + ...
õx /0 v ^ / 0
\ õu /0

(1.32)

Sau đây, chúng ta sẽ biểu diễn E(9X6V),E{GX0U),... thông qua các sai sô’ trung
phương. Trong Lý th u y ết xác su ấ t (xem phụ lục A.2) có công thức tính hệ sô' tương
quan r giữa 2 biến ngẫu nhiên X, V như sau:
E { [x -E (x )] x [y -E (y )] }

ơ(x)ơ(y)

(1.33)

Nếu các sai số hệ thông SX, S V khá nhỏ thì độ lệch chuẩn sẽ bằng các sai sô
tru n g phương tương ứng: ơ(x)& mx,ơ(ỵ)!s m (xem phần chú giải của công thức
(1.9)). Do đó:
E[(x - X - Ổ x) x ( y - Y - S y )]
r*y =

ơ(x)ơ(y)

E{0x9y )
mxm

suy ra:
E{9„e ) » mxm r .

(1.34)
21


Suy luận tương tự với các cặp trị đo (.Y,w), (7 ,

rồi thế vào biểu thức (1.32)

ta sẽ có công thức tính sai sô" tru n g phương của hàm các trị đo:
r dF

'

õ f

í

)

m; +

m, =

w ;+ ...+

V Jo

ỒF

mị + 2

\ÕUJỒ

mxmvrxv+...

(1.35)

lổ r A>

với mx,m ,...ìmtấ là sai sô" tru n g phương của các trị đo.
Trong đo đạc, các trị đo thường độc lập (không tương quan) với n h au j, tức là
rxy « 0 . Khi đó, công thức (1.35) được rú t gọn như sau:

2

mx +

mF =
V

dx

r dF^

(1.36)

m

,0

ỔM

Cần chú ý rằng các công thức (1.35) và (1.36) cho phép tính sai số trung
phương của hàm các trị đo khi sai sô" hệ thống không đáng kể. Nếu sai số hệ thống
phải tính đến thì cần sử dụng các công thức sau [13]:
m /•■-

(1.37)

VWA/-' + nKw >
r ar\d f_

' ÔF
V dx y
m}p =
\S x ,0

+

\ du

V ày / 0

mà +

mAu ’

J

v ổwy0

& Jot ỡy j

Các công thức trên cho thấy: sai số hệ thõng có thề sẽ tích tụ trong các đại
lượng E(ÔXS ), E(SXSU\... và một sô" dạng của hàm F có khả năng làm tăng đáng kể
sai sô" tru n g phương của nó (xem mục 1.7).
Trong các phần tiếp theo của giáo trình, nếu không được nói rõ thì chúng ta
mặc định rằng sai sô" hệ thông không đáng kể và các trị đo không tương quan với
nhau, tức là sai sô" trung phương của hàm F được tính theo công thức (1.36). c ầ n chú
ý là khi áp dụng các công thức ở mục này thì đơn vị đo của góc là radian.
Ví dụ 1.5.
Hãy tính sai số trung phương của trị trung bình số học:

+ x 2 + ... + X
X = —------- — ------------- ,

n

1 C ác đ ạ i lư ợng đo có th ể p h ụ thuộc vói n h a u song các k ế t quả đo từ n g đại lượng k h ô n g p h ụ thuộc
(kh ô n g tư ơ n g q u a n ) với n h a u . V í dụ: tổng các góc tro n g m ột tam giác bằn g 180°, song k ế t q u ả đo t.ừng
góc nói c h u n g sẽ k h ô n g p h ụ th u ộ c với n h a u trướ c k h i được xử lý toán học.

22


nếu biết sai số trung phương của các trị đo m] = m2 =.... = mn = m0.

Lời giải:
Trước tiên chúng ta tính đạo hàm riêng của trị trung bình số học theo các trị đo:
Õx
Õx
Õx
1
õx„ n
dx] dx2
Áp dụng công thức (1.36) để tính sai sớ trung phương của trị trung bình sô' học:
'®
mĩ

v

õx /0
V^I

rnnl

mĩ +
Vchc2 y0

= VK 2 + í ế2 + •••
...+ ^ 2- =~ JI - ot0 u

n

n~

Như vậy, trị Irung bình số học có độ chính xác lớn hơn vw lần so với từng trị đo riêng biệt.
Ví dụ 1.6.
xy
Tính sai số trung phương của hàm F (x,y,z) = — y với x9y 9z là các trị đo độc lập có sai
z
số trung phương tương ứng bằng mx,my,m :.
Lời giải:
Các đạo hàm riêng của F (x,y,z) bằng:
ÕF
dx

y
z’

ÕF
õy

ÕF _ xy
dz
z1

X

z’

Sai số trung phương của F (x,y,z) được tính theo công thức (1.36):
m, =

y

2

2

X

2

2

2

2

2

X y

ÌTÌX + — m v + ----—ttĩt
z2 x z2 y
z4

Để có được kết quả đơn giản hơn, ta chia cả 2 vế của biểu thức trên cho F = — rồi lấy
bình phương sẽ được:
'm '*

m

m
+

f

mz

\2

y
xy
Như vậy, bình phương của sai số trung phương tương đối của hàm F (x,y,z) = — bằng
•7

tổng bình phương của sai số trung phương tương đối của các trị đo x,y,z.
Ví dụ 1.7.
Để xác định độ cao của điểm B bằng phương pháp đo cao lượng giác, người ta đăt máy tại
điểm A rồi đo góc đứng Y
khoảng cách ngang s. Các số liệu ban đầu và kết quả đo như sau:

- Độ cao của điểm A: H A- \ l,520m, sai số trung phương mHị = 0,01 Om;
- Chiều cao máy t = l,425m, mt = 0,002m;
23


- Số đọc được trên mia / = 0,862m, tiĩị = 0,002m;
- Góc đứng y = 2°30'15", mr = 15";
- Khoảng cách ngang s = 122,15 m, ms = 0,03m;
Hãy tính độ cao của diểm B và sai số trung phương của nó.
Lời giải:
Trong trắc địa có công thức đo cao lượng giác sau:
H B = H A+ầhAB = HA +Sxìg(r) +t - l .
Đưa các kết quả đo vào công thức trên sẽ tính được độ cao của điểm B:
H h = 11,520 +122,15 xtg(2°30’15")+ 1,425 -0,862 = 17,425m.
Đạo hàm riêng của H H theo từng trị đo:
ÕH„ _ .
ÔHA

ÕHh _ 1.
dí

ÕHH _ 1,
dl

= tg(r) = tg(2°30'15")»0,044;

ÕS

ẼZl . S .
dy

cos (ỵ)

COS2(2°30’15")

»122.384.

Sai số trung phương của độ cao điểm B tính theo công thức (1.36):
2

mỉ
0

=

J

l2 X0,012 + 0,0443 X0,()32 + 122,3842 X— l í _ + l2 X0,0023 + l2 X0,0022

V

206265-

= Vo,000188952 «0,014m.
Trong công thức trên, p - 206265 là hệ số chuyển đổi đơn vị của góc từ giây thành radian.
Như vậy, độ cao cùa điểm B bằng: H tì = 17,425m ± 0,014m.

1.6. SAI SỐ LÀM TRÒN
Sai sô" làm tròn có thể x u ất hiện trong đo đạc và trong tính toán. Một ví dụ về
sai sô" làm tròn trong đo đạc là khi thước dây được chia đến xăngtim ét mà người đo
chỉ đọc đến đềximét. Tuy nhiên, nếu ngưòi đo ước lượng rồi dọc kết quả đến

m illim ét thì sai số* do ngươi đo ưốc lượng không phải là sai sô" làm tròn mà là sai sô^
đọc k ết quả (một loại sai sô" ngẫu nhiên khác).
Sai sô" làm tròn r ấ t hay gặp trong tính toán VỚI SCI thập phân bởi nhu cầu
làm đơn giản hóa các phép tính hay bởi khả năng có hạn của các công cụ tính toán.
24


Nếu ký hiệu a là 0,5 đơn vị của chữ sô" thập phân cuối cùng giữ lại trong số làm
tròn (a = 0,5; 0,05;...) thì quy tắc làm tròn được p h át biểu như sau:
- Nếu phần bỏ đi trong sô" thập phân nhỏ hơn a thì sau khi loại phần bỏđi, sô"
còn lại vẫn giữ nguyên. Ví dụ nếu làm tròn về 1/10 đơn vị thì ta có 1,23 -> 1,2;
1,644 -> 1,6.
- Nếu phần bỏ đi trong sô" thập phân lốn hơn a thì sau khi loại phần bỏ đi, sô"
còn lại tăn g thêm 1 đơn vị của chữ sô" thập phân cuối cùng giữ lại. Ví dụ nếu làm
tròn về 1/10 đơn vị thì ta có 1,27 —» 1,3; 1,689 —» 1,7; 1,4501 —> 1,5.
- Nếu phần bỏ đi trong sô" thập phân đúng bằng a thì sau khi loại phần bỏ đi,
nếu chữ sô" th ập phân cuối cùng giữ lại là số chẵn th ì ta giữ nguyên k ết quả, nếu là
sô" lẻ thì ta cộng thêm 1 đơn vị của chữ sô" thập phân cuối cùng. Như vậy, sau khi
làm tròn k ết quả bao giò cũng có chữ sô" thặp phân cuôì cùng là sô" chẵn. Quy tắc
này do G auss đề x uất nhằm hạn chế sai sô" hệ thông khi làm tròn'. Ví dụ, nếu làm
tròn về 1/10 đơn vị thì ta có 1,25 —> 1,2; 1,650 —» 1,6; 1,7500 -» 1,8.
Sai sô" làm tròn e có các tính chất sau đây:
- Sai sô" làm tròn giới hạn bằng a;
- Các sai sô" m ang dấu "+" và

có xác su ất như nhau;

- Kỳ vọng toán học của sai sô" làm tròn E(e) = 0;
- Sai sô" có giá trị lốn và sai số có giá trị nhỏ có xác su ấ t như nhau".
Từ các tín h chất trên có th ể thấy sai số làm tròn tu ân theo lu ật phân phôi

đều trong khoảng [-a,+a] với hàm m ât đô xác su ấ t f( e ) = — . Sai sô" tru n g phương
2a
mỊt của giá trị làm tròn b được tính theo công thức sau:
m,l = ự Ẽ Ị0fj = J Ẽ Ụ rj = p e ĩ j - < / e = - ^ .

(1.38)

Khi tính toán xử lý sô" liệu đo đạc, cần lựa chọn độ chính xác làm tròn (tức Ịà
lựa chọn a) sao cho phù hợp vối độ chính xác của các kết quả đo. Nếu lựa chọn a
quá nhỏ thì khối lượng tín h toán sẽ lớn, còn nếu a quá lớn thì sẽ ảnh hưởng tới độ
chính xác của kết quả cuối cùng. Quy tắc thường được sử dụng trong thực tế là lựa
chọn a sao cho sai số làm tròn không vượt quá 1/5 sai số đo.

1 N ếu tro n g trư ờ n g hợp p h ầ n bỏ đi tro n g sồ" th ậ p p h â n đ ú n g b ằ n g a m à ta là m trò n về sô" lớn hơn g ần
n h ấ t n h ư v ẫ n th ư ờ n g làm th ì có th ể sẽ p h á t sin h s a i sô" h ệ th ô n g do k ế t q u ả là m trò n có xu hư ớng lớn
hơn g iá trị thực.
" T ín h c h ấ t này cho th ấy sai sô" làm trò n không tu â n theo lu ậ t p h â n phối chuẩn.

25


Ví dụ 1.8.
Nếu sai số trung phương đo khoảng cách md được xác định bằng ũ,2cm thì cần làm tròn
trị đ o đ ế n m ilim é t. K hi đ ó a = 0 ,5 m m và sai s ố tru n s phương do làm tròn được tính th eo cô n g

thức (1.38):
— - a = _i£ = 0,29ĩnm = 0,029cm.
Vã
Ảnh hưởng chung của sai số làm tròn và sai số đo bằng:

m = -ịmị + m2d = 0,0292 + 0,22 = 0,202cm ~ nij.
Như vậy, nếu trong trường hợp trên ta làm tròn các trị đo đến milimét thì sẽ không gây

ảnh hưởng nhiều đến kết quả cuối cùng.
Khi tính toán xử lý các trị đo cần chú ý rằng mặc dù ảnh hưởng của sai sô'
làm tròn tới từng trị đo riêng rẽ có thể dễ dàng xác định, song nếu xử lý đồng thời
nhiều trị đo có quan hệ với nhau thì ảnh hưởng của sai số làm tròn rấ t khó xác
định. Vấn đề đánh giá ảnh hưởng của sai sô" làm tròn khi xử lý dồng thời nhiều trị
đo vượt ra ngoài khuôn khổ của giáo trình này, các độc giả quan tâm có thể tham
khảo thêm một số tài liệu, ví dụ như [2] hay [14].
1.7. SAI SỐ H Ệ T H Ố N G VÀ CÁC PH Ư Ơ N G PH Á P LÀM GIẢM ẢNH HƯỞNG
CỦA C H Ú N G
Nguyên nhân chủ yếu gây ra sai sô" hệ thông trong đo dạc là ảnh hương của sự
thay đổi m ang tính chất hệ thông của điều kiện đo. Một sô" ví dụ vô' sai số hệ thông;

- Sai số đo khoảng cách do kiểm nghiệm thước gai, do không tính đến (hoặc
tính chưa chính xác) ảnh hưởng của gió, nhiệt độ,...
- Sai số đo góc do vành độ chia không đều, do trục ngắm không vuông góc với
trục quay của ống kính (sai số 2C),...
- Sai số đo thủy chuẩn do trục ngắm không song song với trục của ông thủy
dài, do mia đo được chia không đều,...

Chúng ta đã biết sai số ngẫu nhiên tuân theo các quy luật thông kê, còn quy
luật xuất hiện của sai sô" hệ thông phụ thuộc vào nguồn phát sinh ra nó nên nói
chung r ấ t khó phát hiện. M ặt khác, do sai sô" hệ thông thường có dấu không đổi nên
chúng có xu hướng tích tụ trong k ế t quả cuối cùng khi xử lý hàm của các trị đo* chứ
không có xu hướng triệt tiêu nhau như sai số ngẫu nhiên. Vì vậy, việc phát hiện và
loại bỏ sai số hệ thống là một vấn đề cấp thiết của lý thuyết sai sô”. Sau đây, chúng ta
' X em công th ứ c (1.37).

26