Các hệ thức lượng trong tam giác

Câu hỏi kiểm tra bài cũ:
HÃy nêu các hệ thức lượng trong tam giác vuông:
a2 = b2 + c2
A
c

B

b2 = a.b’
c2 = a.c’

b

h

c’

b’
H

a

h2 = b’ . c’
C

1
1
1
= 2+ 2
2

h
b
c
bc = a.h


Đ4 Các hệ thức lượng trong tam giác
1)Định lí cosin trong tam giác
2)Định lí sin trong tam giác
3)Các công thức về diện tích tam giác
4)Công thức độ dài đường trung tuyÕn


Đ4.Các hệ thức lượng trong tam giác
1) Định lý cosin trong tam gi¸c.
víi mäi tam gi¸c ABC, ta cã:

a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
b2 = a2 + c2 - 2ac cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC

A
c

b
a
C

B

* Chøng minh:
BC = AC - AB ⇒BC2 = (AC - AB)2

= AC2 + AB2 - 2AC.AB

= AC2 + AB2 - 2AC. AB cosA

VËy: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
Các đẳng thức khác được chứng minh tương tự.


Đ4.Các hệ thức lượng trong tam giác

1)Định lý cosin trong tam gi¸c.
A
c=
?

b=
4

a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
b2 = a2 + c2- 2ac cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC

600

C

a =2

B

*)VÝ dơ1:
Cho tam gi¸c ABC biÕt a =2cm , b = 4cm , C = 600.Tính cạnh c
Bài giải:
Theo định lí hàm số cosin:

c2 = a2 + b2 - 2ab cosC = 4 +16 -16.cos600 = 20 - 8 =12

⇒ c = 2 3 ( cm)


*)Một ứng dụng của định lí cosin

a2 = b2 + c2 - 2bccosA
b2 + c2 − a 2
cos A =
2bc

b +c >a
2

2

2

b +c =a
2

2

2

b2 + c2 < a2

cosA > 0

cosA = 0

cosA < 0

A < 90

A = 90

A > 900

0

0

NxÐt:*)Tõ ®.lÝ cosin ta cã thĨ nhËn biÕt mét tam gi¸c là vuông, nhọn hay tù
*)Định lí Pitago là một trường hợp riêng của định lí Cosin


A

Đ4.Các hệ thức lượng trong tam giác
2) Định lý sin trong tam giác.

Trong ABC, R bán kính
đường tròn ngoại tiếp,ta có :

R
O
B

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

Cminh: (O;R)là đ.tròn ng.tiếp ABC.
vẽ đường kính BA', BCA'vuông ở C
BC = BA'sinA' ⇒ a = 2R sinA'.
(A=A' hc A+A' =1800)
a
= 2R
do đó a = 2R sinA.vậy
sin A

Các đẳng thức khác được chøng minh t­¬ng tù.

A'

C

A
B

C
O

R
A'


b sin A
a=
sin B

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

a sin B
sin A =
b

a = 2R sinA

a
R=

2 sin A


Đ4.Các hệ thức lượng trong tam giác
A

2) Định lý sin trong tam gi¸c.

VÝ dơ2:

b=
?

c=
1

0

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

600

450

B

C

Cho tam gi¸c ABC biÕt C = 450, B = 600, c =10 .Tính cạnh b
Bài giải: áp dụng công thức:

b
c
c sin B 10 sin 60
=
⇒b=
=
0 =
sin B sin C
sin C
sin 45
0

3
10
2
2
2

=5 6


a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
a

b
2
2
2
=
b = a + c - 2ac cosB
sin A sin B
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC
VÝ dô3 Chøng minh r»ng trong mäi ∆ABC ta cã:
Bg:

c
=
= 2R
sin C

a 2 + b2 + c2
CotgA + CotgB + CotgC =
R
abc

a
b2 + c2 − a2
®.lÝ hsè cosin⇒ CosA =
§.lÝ hsè sin:⇒ sin A =
2R
2bc
CosA
b2 + c2 - a2
a = b2 + c2 - a2 .R

⇒ CotgA =
=
:
SinA
2R
2bc
abc
2
2
2
⇒ CotgA = b + c - a . R
abc
a 2 + b2 + c2
2
2
2
R
T.tù: CotgB = a + c - b . R CotgA + CotgB + CotgC =
abc
abc
2
2
2
CotgC = a + b - c . R
abc


Bài tập trắc nghiệm: Cho tam giác ABC .Xét tính đúng sai
của các mệnh đề sau:
Đúng

1

a2 = b2+ c2 + 2bc cosA

2

a2 = c2- b2 +2ab cosC

3

b2 = a2+ c2 - 2ac cosC

4

a
b
=
sin A sin C

5

sin B sin C
=
b
c

Sai


Bài tập trắc nghiệm: Cho tam giác ABC .Xét tính đúng sai

của các mệnh đề sau:
Đúng
1

a2 = b2+ c2 + 2bc cosA

2

a2 = c2- b2 +2ab cosC

3

b2 = a2+ c2 - 2ac cosC

4

a
b
=
sin A sin C

5

sin B sin C
=
b
c

×
×

Sai

×
×
×


a2 = b2 + c2 – 2bc cosA
b2 = a2 + c2 – 2ac cosB
c2 = a2 + b2 - 2ab cosC

Bài toán1:
giải tam giác

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

Bài toán2:
chứng minh

Bài toán
khác...

Bài tập về nhà:

*)Bài 1,2,3,4 (Trang51-52-SGK)


Cám ơn các Thầy giáo, Cô
giáo cùng tập thể lớp 10a6
đà tạo điều kiện giúp đỡ Tôi
hoàn thành bài giảng


Đ4.Các hệ thức lượng trong tam giác
A

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
Ví dụ2:

c=
?

b=
4

2) Định lý sin trong tam giác.
600

a =2

C

B

Cho tam gi¸c ABC biÕt C= 450, B = 600, c =10 .Tính : b , R
Bài giải:

b
c
c sin B 10 sin 60
TÝnh b:
=
⇒b=
=
0 =
sin B sin C
sin C
sin 45
0

3
10
2
2
2

=5 6

b
b
5 6
5 6
TÝnh R:
= 2 R ⇒R=
=5 2
=
0 =
3
sin B
2 sin B 2 sin 60
2
2